Paghahanap ng pangkalahatan at partikular na solusyon ng isang differential equation. Differential equation para sa mga dummies

Sa ngayon, isa sa mahahalagang kasanayan para sa sinumang espesyalista ay ang kakayahang malutas ang mga equation ng kaugalian. Paglutas ng mga differential equation - walang magagawa kung wala ito inilapat na gawain, maging ang pagkalkula ng ilang pisikal na parameter o ang simulation ng mga pagbabago bilang resulta ng pinagtibay na patakarang macroeconomic. Ang mga equation na ito ay mahalaga din para sa ilang iba pang mga agham tulad ng kimika, biology, medisina, atbp. Sa ibaba ay magbibigay kami ng isang halimbawa ng paggamit ng mga differential equation sa ekonomiya, ngunit bago iyon ay pag-uusapan natin nang maikli ang tungkol sa mga pangunahing uri ng mga equation.

Differential equation - ang pinakasimpleng uri

Sinabi ng mga pantas na ang mga batas ng ating uniberso ay nakasulat sa wikang matematika. Siyempre, maraming mga halimbawa ng iba't ibang mga equation sa algebra, ngunit ito ay, sa karamihan, mga halimbawang pang-edukasyon na hindi naaangkop sa pagsasanay. Ang talagang kawili-wiling matematika ay nagsisimula kapag gusto nating ilarawan ang mga prosesong nagaganap sa totoong buhay. Ngunit paano ipapakita ang kadahilanan ng oras, na napapailalim sa mga tunay na proseso - inflation, output o demographic indicator?

Alalahanin ang isang mahalagang kahulugan mula sa isang kurso sa matematika tungkol sa derivative ng isang function. Ang derivative ay ang rate ng pagbabago ng function, kaya makakatulong ito sa amin na ipakita ang time factor sa equation.

Ibig sabihin, bumubuo kami ng equation na may function na naglalarawan ng indicator ng interes sa amin at idinagdag ang derivative ng function na ito sa equation. Ito ang differential equation. Ngayon ay lumipat tayo sa pinakasimpleng mga uri ng differential equation para sa mga dummies.

Ang pinakasimpleng differential equation ay may anyo na $y'(x)=f(x)$, kung saan ang $f(x)$ ay ilang function, at $y'(x)$ ay ang derivative o rate ng pagbabago ng kinakailangang function . Ito ay nalulutas sa pamamagitan ng ordinaryong pagsasama: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Ang pangalawang pinakasimpleng uri ay tinatawag na separable differential equation. Ang nasabing equation ay ganito ang hitsura $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Makikita na ang dependent variable na $y$ ay bahagi din ng constructed function. Ang equation ay nalutas nang napakasimple - kailangan mong "paghiwalayin ang mga variable", ibig sabihin, dalhin ito sa anyo na $y'(x)/g(y)=f(x)$ o $dy/g(y)= f(x)dx$. Nananatili itong pagsamahin ang parehong bahagi $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - ito ang solusyon ng separable type differential equation.

Ang huling simpleng uri ay ang unang pagkakasunod-sunod na linear differential equation. Mayroon itong anyong $y'+p(x)y=q(x)$. Narito ang $p(x)$ at $q(x)$ ay ilang function, at $y=y(x)$ ang gustong function. Upang malutas ang naturang equation, ginagamit na ang mga espesyal na pamamaraan (ang Lagrange na paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho, ang paraan ng pagpapalit ng Bernoulli).

Marami pa kumplikadong uri equation - mga equation ng pangalawa, pangatlo at sa pangkalahatan ay arbitrary na pagkakasunud-sunod, homogenous at inhomogeneous na mga equation, pati na rin ng mga sistema ng differential equation. Upang malutas ang mga ito, kailangan mo ng paunang paghahanda at karanasan sa paglutas ng mga mas simpleng problema.

Napakahalaga para sa pisika at, nakakagulat, ang pananalapi ay ang tinatawag na partial differential equation. Nangangahulugan ito na ang nais na function ay nakasalalay sa ilang mga variable sa parehong oras. Halimbawa, inilalarawan ng Black-Scholes equation mula sa larangan ng financial engineering ang halaga ng isang opsyon (uri ng seguridad) depende sa ani nito, ang halaga ng mga pagbabayad, pati na rin ang timing ng pagsisimula at pagtatapos ng mga pagbabayad. Ang paglutas ng partial differential equation ay medyo kumplikado, kadalasan kailangan mong gumamit ng mga espesyal na programa tulad ng Matlab o Maple.

Isang halimbawa ng paglalapat ng differential equation sa economics

Nagbibigay kami, tulad ng ipinangako, ng isang simpleng halimbawa ng paglutas ng isang differential equation. Itakda muna natin ang gawain.

Para sa ilang kumpanya, ang function ng marginal na kita mula sa pagbebenta ng mga produkto nito ay may anyo na $MR=10-0.2q$. Dito ang $MR$ ay ang marginal na kita ng kumpanya at ang $q$ ay ang output. Kailangan nating hanapin ang kabuuang kita.

Tulad ng makikita mula sa problema, ito ay isang inilapat na halimbawa mula sa microeconomics. Maraming mga kumpanya at negosyo ang patuloy na nahaharap sa gayong mga kalkulasyon sa kurso ng kanilang mga aktibidad.

Tara na sa desisyon. Tulad ng nalalaman mula sa microeconomics, ang marginal na kita ay derivative ng kabuuang kita, at ang kita ay zero sa zero na benta.

Mula sa isang matematikal na punto ng view, ang problema ay nabawasan sa paglutas ng differential equation $R’=10-0.2q$ sa ilalim ng kondisyong $R(0)=0$.

Isinasama namin ang equation sa pamamagitan ng pagkuha antiderivative function mula sa parehong bahagi, nakukuha natin ang pangkalahatang solusyon: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$

Upang mahanap ang pare-parehong $C$, alalahanin ang kundisyon na $R(0)=0$. Palitan: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Kaya C=0 at ang ating kabuuang function ng kita ay nagiging $R(q)=10q-0.1q^2$. Nalutas ang problema.

Ang iba pang mga halimbawa para sa iba't ibang uri ng remote control ay kinokolekta sa pahina:

First order differential equation. Mga halimbawa ng solusyon.
Differential equation na may mga separable variable

Mga Differential Equation (DE). Ang dalawang salitang ito ay karaniwang nakakatakot sa karaniwang karaniwang tao. Ang mga differential equation ay tila isang bagay na mapangahas at mahirap i-master para sa maraming mga mag-aaral. Uuuuuu… mga differential equation, paano ako makakaligtas sa lahat ng ito?!

Ang ganitong opinyon at ganoong saloobin ay sa panimula ay mali, dahil sa katunayan SIMPLE AT MASAYA PA ANG DIFFERENTIAL EQUATIONS. Ano ang kailangan mong malaman at matutunan upang malutas ang mga differential equation? Para sa matagumpay na pag-aaral mga diffurants na dapat ay magaling ka sa pagsasama at pagkakaiba. Mas mahusay na pinag-aaralan ang mga paksa Derivative ng isang function ng isang variable at Indefinite integral, mas magiging madaling maunawaan ang mga differential equation. Sasabihin ko pa, kung mayroon kang higit pa o hindi gaanong disenteng mga kasanayan sa pagsasama, kung gayon ang paksa ay praktikal na pinagkadalubhasaan! Ang higit pang mga integral iba't ibang uri alam mo kung paano magpasya - mas mabuti. Bakit? Marami kang kailangang pagsamahin. At magkaiba. Gayundin lubos na inirerekomenda matuto kang maghanap.

Sa 95% ng mga kaso sa kontrol sa trabaho may 3 uri ng first-order differential equation: mapaghihiwalay na mga equation, na tatalakayin natin sa araling ito; homogenous equation at linear inhomogeneous equation. Para sa mga nagsisimula na mag-aral ng mga diffuser, ipinapayo ko sa iyo na basahin ang mga aralin sa pagkakasunud-sunod na ito, at pagkatapos pag-aralan ang unang dalawang artikulo, hindi masasaktan na pagsamahin ang iyong mga kasanayan sa isang karagdagang workshop - mga equation na bumababa sa homogenous.

Mayroong mas bihirang uri ng mga differential equation: mga equation sa kabuuang differentials, mga equation ni Bernoulli, at ilang iba pa. Ang pinakamahalaga sa huling dalawang uri ay ang mga equation sa kabuuang pagkakaiba, dahil bilang karagdagan sa DE na ito ay isinasaalang-alang ko bagong materyal – bahagyang pagsasama.

Kung isa o dalawang araw na lang ang natitira, pagkatapos para sa napakabilis na paghahanda meron kursong blitz sa pdf format.

Kaya, nakatakda na ang mga palatandaan - tayo:

Alalahanin muna natin ang mga karaniwang algebraic equation. Naglalaman ang mga ito ng mga variable at numero. Ang pinakasimpleng halimbawa: . Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang ordinaryong equation? Ibig sabihin, maghanap set ng mga numero na nakakatugon sa equation na ito. Madaling makita na ang equation ng mga bata ay may iisang ugat: . Para masaya, suriin natin, palitan ang nahanap na ugat sa ating equation:

- ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang solusyon ay natagpuan nang tama.

Ang mga diffuse ay nakaayos sa halos parehong paraan!

Differential equation unang order sa pangkalahatan naglalaman ng:
1) malayang baryabol ;
2) dependent variable (function);
3) ang unang derivative ng function: .

Sa ilang mga equation ng 1st order, maaaring walang "x" o (at) "y", ngunit hindi ito mahalaga - mahalaga kaya na sa DU ay unang hinalaw, at ay walang derivatives ng mas matataas na order - , atbp.

Ano ang ibig sabihin? Upang malutas ang isang differential equation ay nangangahulugan ng paghahanap set ng lahat ng function na nakakatugon sa equation na ito. Ang ganitong hanay ng mga function ay madalas na may anyo (– arbitrary constant), na tinatawag pangkalahatang solusyon ng differential equation.

Halimbawa 1

Lutasin ang differential equation

Buong bala. Kung saan magsisimula desisyon?

Una sa lahat, kailangan mong muling isulat ang derivative sa isang bahagyang naiibang anyo. Naaalala namin ang masalimuot na notasyon, na malamang na naisip ng marami sa inyo na katawa-tawa at hindi kailangan. Ito ang namumuno sa mga diffuser!

Sa pangalawang hakbang, tingnan natin kung posible hating variable? Ano ang ibig sabihin ng paghiwalayin ang mga variable? Sa madaling salita, sa kaliwang bahagi kailangan na nating umalis "laro" lamang, a sa kanang bahagi ayusin mga x lang. Ang paghihiwalay ng mga variable ay isinasagawa sa tulong ng mga manipulasyon ng "paaralan": mga panaklong, paglipat ng mga termino mula sa bahagi patungo sa isang pagbabago na may isang pagbabago sa tanda, paglipat ng mga kadahilanan mula sa bahagi patungo sa bahagi ayon sa tuntunin ng proporsyon, atbp.

Mga pagkakaiba at ganap na multiplier at aktibong kalahok sa labanan. Sa halimbawang ito, ang mga variable ay madaling pinaghihiwalay sa pamamagitan ng pag-flip sa mga kadahilanan ayon sa panuntunan ng proporsyon:

Ang mga variable ay pinaghihiwalay. Sa kaliwang bahagi - tanging "Laro", sa kanang bahagi - tanging "X".

Susunod na yugto - pagsasama ng differential equation. Ito ay simple, nag-hang kami ng mga integral sa parehong bahagi:

Siyempre, dapat kunin ang mga integral. Sa kasong ito, ang mga ito ay tabular:

Tulad ng naaalala natin, ang isang pare-pareho ay itinalaga sa anumang antiderivative. Mayroong dalawang integral dito, ngunit sapat na upang isulat ang pare-pareho nang isang beses (dahil ang isang pare-pareho + isang pare-pareho ay katumbas pa rin ng isa pang pare-pareho). Sa karamihan ng mga kaso, ito ay inilalagay sa kanang bahagi.

Sa mahigpit na pagsasalita, pagkatapos kunin ang mga integral, ang differential equation ay itinuturing na malulutas. Ang tanging bagay ay ang aming "y" ay hindi ipinahayag sa pamamagitan ng "x", iyon ay, ang solusyon ay ipinakita sa implicit anyo. Ang implicit na solusyon ng isang differential equation ay tinatawag pangkalahatang integral ng differential equation. Iyon ay, ay ang pangkalahatang integral.

Ang isang sagot sa form na ito ay lubos na katanggap-tanggap, ngunit mayroon bang mas mahusay na pagpipilian? Subukan nating makuha karaniwang desisyon.

Walang anuman, tandaan ang unang pamamaraan, ito ay karaniwan at kadalasang ginagamit sa mga praktikal na gawain: kung ang isang logarithm ay lilitaw sa kanang bahagi pagkatapos ng pagsasama, pagkatapos ay sa maraming mga kaso (ngunit hindi palaging palaging!) ipinapayong isulat ang pare-pareho sa ilalim ng logarithm.

I.e, SA halip na karaniwang isinusulat ang mga talaan .

Bakit kailangan ito? At para mas madaling ipahayag ang "y". Ginagamit namin ang pag-aari ng logarithms . Sa kasong ito:

Ngayon ang mga logarithm at module ay maaaring alisin:

Ang function ay tahasang ipinakita. Ito ang pangkalahatang solusyon.

Sagot: karaniwang desisyon: .

Ang mga sagot sa maraming differential equation ay medyo madaling suriin. Sa aming kaso, ito ay ginagawa nang simple, kinukuha namin ang nahanap na solusyon at iniiba ito:

Pagkatapos ay pinapalitan natin ang derivative sa orihinal na equation:

- ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang pangkalahatang solusyon ay nakakatugon sa equation , na kinakailangang suriin.

Sa pamamagitan ng pagbibigay ng patuloy na magkakaibang mga halaga, maaari kang makakuha ng walang katapusang bilang ng mga pribadong desisyon differential equation. Malinaw na ang alinman sa mga function , , atbp. natutugunan ang differential equation.

Minsan ang pangkalahatang solusyon ay tinatawag pamilya ng mga tungkulin. Sa halimbawang ito, ang pangkalahatang solusyon ay isang pamilya ng mga linear function, o sa halip, isang pamilya ng direktang proporsyonalidad.

Pagkatapos ng detalyadong talakayan ng unang halimbawa, angkop na sagutin ang ilang walang muwang na mga tanong tungkol sa mga differential equation:

1)Sa halimbawang ito, nagawa naming paghiwalayin ang mga variable. Posible bang gawin ito palagi? Hindi hindi palagi. At mas madalas ang mga variable ay hindi maaaring paghiwalayin. Halimbawa, sa homogenous na first order equation dapat palitan muna. Sa iba pang mga uri ng mga equation, halimbawa, sa isang linear na hindi homogenous na equation ng unang pagkakasunud-sunod, kailangan mong gumamit ng iba't ibang mga trick at pamamaraan upang mahanap karaniwang solusyon. Ang mga separable variable equation na isinasaalang-alang natin sa unang aralin ay ang pinakasimpleng uri ng differential equation.

2) Palagi bang posible na isama ang isang differential equation? Hindi hindi palagi. Napakadaling makabuo ng isang "fancy" na equation na hindi maaaring isama, bilang karagdagan, may mga integral na hindi maaaring kunin. Ngunit ang mga naturang DE ay maaaring malutas nang humigit-kumulang gamit mga espesyal na pamamaraan. D'Alembert and Cauchy guarantee... ...ugh, lurkmore.to I read a lot ngayon lang, halos idagdag ko na "from the other world."

3) Sa halimbawang ito, nakakuha kami ng isang solusyon sa anyo ng isang pangkalahatang integral . Posible bang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon mula sa pangkalahatang integral, iyon ay, upang ipahayag ang "y" sa isang tahasang anyo? Hindi hindi palagi. Halimbawa: . Well, paano ko ipapakita ang "y" dito ?! Sa ganitong mga kaso, ang sagot ay dapat na nakasulat bilang isang pangkalahatang integral. Bilang karagdagan, kung minsan ang isang pangkalahatang solusyon ay matatagpuan, ngunit ito ay nakasulat nang napakahirap at clumsily na mas mahusay na iwanan ang sagot sa anyo ng isang pangkalahatang integral.

4) ...marahil sapat na sa ngayon. Sa unang halimbawa, nagkita kami isa pa mahalagang punto , ngunit upang hindi masakop ang mga "dummies" na may avalanche bagong impormasyon Iiwanan ko ito hanggang sa susunod na aralin.

Huwag tayong magmadali. Isa pang simpleng remote control at isa pang tipikal na solusyon:

Halimbawa 2

Maghanap ng isang partikular na solusyon ng differential equation na nakakatugon sa paunang kondisyon

Desisyon: ayon sa kondisyon na kinakailangan upang mahanap pribadong desisyon DE na nakakatugon sa isang ibinigay na paunang kondisyon. Ang ganitong uri ng pagtatanong ay tinatawag din Cauchy problema.

Una, nakahanap kami ng isang pangkalahatang solusyon. Walang variable na "x" sa equation, ngunit hindi ito dapat nakakahiya, ang pangunahing bagay ay mayroon itong unang derivative.

Muli naming isinusulat ang derivative sa kinakailangang anyo:

Malinaw, ang mga variable ay maaaring hatiin, mga lalaki sa kaliwa, mga babae sa kanan:

Isinasama namin ang equation:

Nakuha ang pangkalahatang integral. Dito ako gumuhit ng isang pare-pareho na may isang accent na bituin, ang katotohanan ay sa lalong madaling panahon ito ay magiging isa pang pare-pareho.

Ngayon ay sinusubukan naming i-convert ang pangkalahatang integral sa isang pangkalahatang solusyon (ipahayag ang "y" nang tahasan). Naaalala namin ang dati, mabuti, paaralan: . Sa kasong ito:

Ang pare-pareho sa tagapagpahiwatig ay mukhang hindi kosher, kaya karaniwan itong ibinababa mula sa langit hanggang sa lupa. Sa detalye, ito ay nangyayari tulad nito. Gamit ang pag-aari ng mga degree, muling isinulat namin ang function bilang mga sumusunod:

Kung ito ay isang pare-pareho, kung gayon ay isang pare-pareho din, muling italaga ito ng titik :

Tandaan ang "demolition" ng isang pare-pareho ay pangalawang teknik, na kadalasang ginagamit sa kurso ng paglutas ng mga differential equation.

Kaya ang pangkalahatang solusyon ay: Napakagandang pamilya ng mga exponential function.

Sa huling yugto, kailangan mong maghanap ng partikular na solusyon na nakakatugon sa ibinigay na paunang kundisyon . Simple lang din.

Ano ang gawain? Kailangang kunin ganyan ang halaga ng pare-pareho upang masiyahan ang kondisyon.

Maaari mong ayusin ito sa iba't ibang paraan, ngunit ang pinaka-maiintindihan, marahil, ay magiging ganito. Sa pangkalahatang solusyon, sa halip na "x", pinapalitan namin ang zero, at sa halip na "y", dalawa:



I.e,

Standard na bersyon ng disenyo:

Ngayon pinapalitan namin ang nahanap na halaga ng pare-pareho sa pangkalahatang solusyon:
– ito ang partikular na solusyon na kailangan natin.

Sagot: pribadong solusyon:

Suriin natin. Kasama sa pagpapatunay ng isang partikular na solusyon ang dalawang yugto:

Una, kinakailangan upang suriin kung ang natagpuang partikular na solusyon ay talagang nakakatugon sa paunang kondisyon? Sa halip na "x" pinapalitan namin ang zero at tingnan kung ano ang mangyayari:
- oo, sa katunayan, ang isang deuce ay nakuha, na nangangahulugan na ang paunang kondisyon ay nasiyahan.

Ang pangalawang yugto ay pamilyar na. Kinukuha namin ang nagresultang partikular na solusyon at hanapin ang derivative:

Palitan sa orihinal na equation:


- ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

Konklusyon: ang partikular na solusyon ay natagpuan nang tama.

Lumipat tayo sa mas makabuluhang mga halimbawa.

Halimbawa 3

Lutasin ang differential equation

Desisyon: Isinulat namin muli ang derivative sa form na kailangan namin:

Pagtatasa kung ang mga variable ay maaaring paghiwalayin? Pwede. Inilipat namin ang pangalawang termino sa kanang bahagi na may pagbabago sa karatula:

At i-flip namin ang mga kadahilanan ayon sa panuntunan ng proporsyon:

Ang mga variable ay pinaghihiwalay, isama natin ang parehong bahagi:

Dapat kong babalaan ka, darating ang araw ng paghuhukom. Kung hindi ka natutong mabuti mga integral na hindi tiyak, nalutas ang ilang mga halimbawa, pagkatapos ay wala nang mapupuntahan - kailangan mong makabisado ang mga ito ngayon.

Ang integral ng kaliwang bahagi ay madaling mahanap, nakikitungo kami sa integral ng cotangent karaniwang pagtanggap, na tinalakay natin sa aralin Pagsasama ng trigonometriko function Noong nakaraang taon:


Sa kanang bahagi, mayroon kaming logarithm, at, ayon sa aking unang teknikal na rekomendasyon, ang pare-pareho ay dapat ding isulat sa ilalim ng logarithm.

Ngayon sinusubukan naming gawing simple ang pangkalahatang integral. Dahil mayroon lamang tayong logarithms, posible (at kinakailangan) na alisin ang mga ito. Sa pamamagitan ng mga kilalang katangian maximally "pack" ang logarithms. Magsusulat ako nang detalyado:

Ang packaging ay kumpleto na sa barbarously gutay-gutay:

Posible bang ipahayag ang "y"? Pwede. Ang parehong mga bahagi ay dapat na parisukat.

Ngunit hindi mo na kailangan.

Pangatlong tech na tip: kung upang makakuha ng isang pangkalahatang solusyon kailangan mong itaas sa isang kapangyarihan o kumuha ng mga ugat, pagkatapos Sa karamihan ng mga kaso dapat mong iwasan ang mga pagkilos na ito at iwanan ang sagot sa anyo ng pangkalahatang integral. Ang katotohanan ay ang pangkalahatang solusyon ay magiging kakila-kilabot lamang - na may malalaking ugat, palatandaan at iba pang basura.

Samakatuwid, isinusulat namin ang sagot bilang pangkalahatang integral. magandang tono ito ay itinuturing na kumakatawan dito sa anyo , iyon ay, sa kanang bahagi, kung maaari, mag-iwan lamang ng isang pare-pareho. Hindi kinakailangan na gawin ito, ngunit palaging kapaki-pakinabang na pasayahin ang propesor ;-)

Sagot: pangkalahatang integral:

! Tandaan: ang pangkalahatang integral ng anumang equation ay maaaring isulat na hindi ang tanging paraan. Kaya, kung ang iyong resulta ay hindi nag-tutugma sa isang dating kilalang sagot, hindi ito nangangahulugan na nalutas mo nang mali ang equation.

Ang pangkalahatang integral ay nasuri din nang madali, ang pangunahing bagay ay upang mahanap derivative ng isang function na implicitly na tinukoy. Ibahin natin ang sagot:

I-multiply namin ang parehong termino sa:

At hinati namin sa pamamagitan ng:

Ang orihinal na differential equation ay nakuha nang eksakto, na nangangahulugan na ang pangkalahatang integral ay natagpuan nang tama.

Halimbawa 4

Maghanap ng isang partikular na solusyon ng differential equation na nakakatugon sa paunang kondisyon. Magpatakbo ng tseke.

Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon.

Ipinaaalala ko sa iyo na ang algorithm ay binubuo ng dalawang yugto:
1) paghahanap ng pangkalahatang solusyon;
2) paghahanap ng kinakailangang partikular na solusyon.

Isinasagawa din ang pagsusuri sa dalawang hakbang (tingnan ang sample sa Halimbawa Blg. 2), kailangan mo:
1) siguraduhin na ang partikular na solusyon na natagpuan ay nakakatugon sa paunang kondisyon;
2) suriin na ang isang partikular na solusyon sa pangkalahatan ay nakakatugon sa kaugalian equation.

Kumpletong Solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Halimbawa 5

Maghanap ng isang partikular na solusyon ng isang differential equation , nagbibigay-kasiyahan sa paunang kondisyon. Magpatakbo ng tseke.

Desisyon: Una, maghanap tayo ng isang pangkalahatang solusyon. Ang equation na ito ay naglalaman na ng mga ready-made na kaugalian at , na nangangahulugan na ang solusyon ay pinasimple. Paghihiwalay ng mga variable:

Isinasama namin ang equation:

Ang integral sa kaliwa ay tabular, ang integral sa kanan ay kinuha ang paraan ng pagbubuod ng function sa ilalim ng sign ng differential:

Ang pangkalahatang integral ay nakuha, posible bang matagumpay na ipahayag ang pangkalahatang solusyon? Pwede. Nag-hang kami ng mga logarithms sa magkabilang panig. Dahil ang mga ito ay positibo, ang mga modulo sign ay kalabisan:

(Sana maintindihan ng lahat ang pagbabago, dapat alam na ang mga ganyan)

Kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Maghanap tayo ng isang partikular na solusyon na tumutugma sa ibinigay na paunang kondisyon.
Sa pangkalahatang solusyon, sa halip na "x", pinapalitan namin ang zero, at sa halip na "y", ang logarithm ng dalawa:

Mas pamilyar na disenyo:

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga ng pare-pareho sa pangkalahatang solusyon.

Sagot: pribadong solusyon:

Suriin: Una, suriin kung natugunan ang paunang kundisyon:
- lahat ay mabuti.

Ngayon suriin natin kung ang nahanap na partikular na solusyon ay nakakatugon sa kaugalian na equation. Nahanap namin ang derivative:

Tingnan natin ang orihinal na equation: – ito ay ipinakita sa mga kaugalian. Mayroong dalawang paraan upang suriin. Posibleng ipahayag ang pagkakaiba mula sa nahanap na derivative:

Pinapalitan namin ang natagpuang partikular na solusyon at ang nagresultang pagkakaiba sa orihinal na equation :

Ginagamit namin ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

Ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang partikular na solusyon ay natagpuan nang tama.

Ang pangalawang paraan ng pagsuri ay sinasalamin at mas pamilyar: mula sa equation ipahayag ang derivative, para dito hinahati namin ang lahat ng mga piraso sa pamamagitan ng:

At sa binagong DE ay pinapalitan natin ang nakuhang partikular na solusyon at ang nahanap na derivative . Bilang resulta ng mga pagpapasimple, dapat ding makuha ang tamang pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 6

Lutasin ang differential equation. Ipahayag ang sagot bilang pangkalahatang integral.

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili, buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Anong mga paghihirap ang naghihintay sa paglutas ng mga differential equation na may mga separable variable?

1) Hindi palaging halata (lalo na sa isang tsarera) na ang mga variable ay maaaring paghiwalayin. Isipin mo kondisyonal na halimbawa: . Dito kailangan mong alisin ang mga kadahilanan sa mga bracket: at paghiwalayin ang mga ugat:. Malinaw kung paano magpatuloy.

2) Mga kahirapan sa pagsasama mismo. Integrals madalas lumabas dahil hindi ang pinakasimpleng, at kung may mga flaws sa mga kasanayan sa paghahanap hindi tiyak na integral, pagkatapos ay magiging mahirap sa maraming mga diffuser. Bilang karagdagan, ang lohika na "dahil ang differential equation ay simple, pagkatapos ay hayaan ang mga integral na maging mas kumplikado" ay popular sa mga compiler ng mga koleksyon at manual.

3) Mga pagbabagong-anyo na may pare-pareho. Tulad ng napansin ng lahat, ang isang pare-pareho sa mga differential equation ay maaaring mahawakan nang malaya, at ang ilang mga pagbabago ay hindi palaging malinaw sa isang baguhan. Tingnan natin ang isa pang hypothetical na halimbawa: . Sa loob nito, ipinapayong i-multiply ang lahat ng mga termino sa pamamagitan ng 2: . Ang resultang pare-pareho ay isa ring uri ng pare-pareho, na maaaring tukuyin ng: . Oo, at dahil may logarithm sa kanang bahagi, ipinapayong muling isulat ang pare-pareho bilang isa pang pare-pareho: .

Ang problema ay madalas silang hindi nag-abala sa mga indeks at gumagamit ng parehong titik. Bilang resulta, ang rekord ng desisyon ay tumatagal sa sumusunod na anyo:

Anong maling pananampalataya? Narito ang mga pagkakamali! Mahigpit na nagsasalita, oo. Gayunpaman, mula sa isang mahalagang punto ng view, walang mga pagkakamali, dahil bilang isang resulta ng pagbabago ng isang variable na pare-pareho, ang isang variable na pare-pareho ay nakuha pa rin.

O isa pang halimbawa, ipagpalagay na sa kurso ng paglutas ng equation, isang pangkalahatang integral ang nakuha. Mukhang pangit ang sagot na ito, kaya ipinapayong baguhin ang tanda ng bawat termino: . Sa pormal na paraan, mayroon na namang error - sa kanan, dapat itong nakasulat . Ngunit hindi pormal na ipinahihiwatig na ang "minus ce" ay pare-pareho pa rin ( na tumatagal din sa anumang mga halaga!), kaya walang saysay ang paglalagay ng "minus" at maaari mong gamitin ang parehong titik.

Susubukan kong iwasan ang isang walang ingat na diskarte, at naglalagay pa rin ng iba't ibang mga index para sa mga constant kapag kino-convert ang mga ito.

Halimbawa 7

Lutasin ang differential equation. Magpatakbo ng tseke.

Desisyon: Inaamin ng equation na ito ang paghihiwalay ng mga variable. Paghihiwalay ng mga variable:

Pinagsasama namin:

Ang pare-pareho dito ay hindi kailangang tukuyin sa ilalim ng logarithm, dahil walang magandang darating dito.

Sagot: pangkalahatang integral:

Suriin: Ibahin ang pagkakaiba sa sagot (implicit function):

Inaalis namin ang mga fraction, para dito pinarami namin ang parehong mga termino sa pamamagitan ng:

Nakuha ang orihinal na differential equation, na nangangahulugan na ang pangkalahatang integral ay natagpuan nang tama.

Halimbawa 8

Maghanap ng isang partikular na solusyon ng DE.
,

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ang tanging pahiwatig ay na dito makakakuha ka ng isang pangkalahatang integral, at, mas tama, kailangan mong mag-isip upang makahanap ng hindi isang partikular na solusyon, ngunit pribadong integral. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Apendise

Paglutas ng mga differential equation online sa site para pagsama-samahin ng mga mag-aaral ang materyal na kanilang pinag-aralan. At sanayin ang iyong mga praktikal na kasanayan. Differential equation online. Difuras online, online na solusyon sa matematika. Hakbang sa hakbang na solusyon ng mga problema sa matematika online. Ang pagkakasunud-sunod, o antas, ng isang differential equation ay ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga derivatives na kasama dito. Differential equation online. Ang proseso ng paglutas ng differential equation ay tinatawag na integration. Ang problema sa pagsasama ng isang differential equation ay itinuturing na lutasin kung ang paghahanap ng hindi kilalang function ay maaaring dalhin sa quadrature, hindi alintana kung ang resultang integral ay ipinahayag sa huling anyo sa mga tuntunin ng mga kilalang function o hindi. Hakbang sa hakbang na solusyon ng mga differential equation online. Ang lahat ng mga differential equation ay maaaring hatiin sa ordinaryong differential equation (ODE), na kinabibilangan lamang ng mga function (at ang kanilang mga derivatives) ng isang argumento, at partial differential equation (PDE), kung saan ang input function ay nakadepende sa maraming variable. Differential equation online. Mayroon ding mga stochastic differential equation (SDEs) na kinasasangkutan ng mga random na proseso. Hakbang sa hakbang na solusyon ng mga differential equation online. Depende sa mga kumbinasyon ng mga derivatives, function, independent variable, ang mga differential equation ay nahahati sa linear at nonlinear, na may pare-pareho o variable coefficients, homogenous o heterogenous. Dahil sa kahalagahan ng mga aplikasyon, ang quasilinear (linear na may paggalang sa mas matataas na derivatives) na mga partial differential equation ay ibinukod sa isang hiwalay na klase. Ang mga solusyon ng differential equation ay nahahati sa pangkalahatan at partikular na mga solusyon. Differential equation online. Kasama sa mga pangkalahatang solusyon ang mga hindi natukoy na constant, at para sa mga partial differential equation, mga arbitrary na function ng mga independent variable na maaaring pinuhin mula sa karagdagang mga kondisyon ng integration (mga paunang kundisyon para sa mga ordinaryong differential equation, inisyal at boundary na kondisyon para sa partial differential equation). Hakbang sa hakbang na solusyon ng mga differential equation online. Matapos matukoy ang anyo ng mga constant na ito at hindi natukoy na mga function nagiging pribado ang mga desisyon. Ang paghahanap para sa mga solusyon sa mga ordinaryong differential equation ay humantong sa pagtatatag ng isang klase ng mga espesyal na function - mga function na madalas na nakatagpo sa mga application na hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng kilala. elementarya na pag-andar. Differential equation online. Ang kanilang mga pag-aari ay pinag-aralan nang detalyado, ang mga talahanayan ng mga halaga ay pinagsama-sama, natukoy ang mga pagkakaugnay, atbp. Ang hanay ng mga enumerated na numero ay maaaring tuklasin. Ang pinakamahusay na sagot sa ibinigay na problema. Paano mahahanap sa unang pagtatantya ang papalabas na vector sa rehiyon ng convergence tungkol sa Differential equation nang hindi nililinaw ang natagpuang itaas na limitasyon. Ang pagpipilian ay halata para sa pagtaas ng mga pag-andar ng matematika. Mayroong progresibong pamamaraan sa itaas ng antas ng pananaliksik. Upang iayon sa paunang kondisyon ng problema, ang solusyon ng mga pagkakaiba ay makakatulong upang makahanap ng isang pinahahalagahan na napiling halaga. Maaaring matukoy niya kaagad ang hindi alam. Tulad ng sa nakaraang halimbawa ng pagpapakita ng solusyon sa isang problemang matematikal, ang mga linear differential equation ay ang sagot sa isang partikular na problema sa isang tinukoy na time frame. Ang pagpapanatili ng pamamaraan ng pag-aaral ay hindi lokal na tinukoy. Ito ay upang magkaroon ng isang halimbawa para sa bawat mag-aaral at ang solusyon ng mga differential equation ay matutukoy ng taong itinalaga sa responsableng tagapagpatupad mula sa hindi bababa sa dalawang halaga. Kumuha ng function na may pangkalahatang halaga sa isang partikular na segment at bigyan ng babala kung aling axis ang magkakaroon ng gap. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga differential equation online, posible na malinaw na ipakita kung gaano kahalaga ang resulta, kung ang isa ay ibinigay mula sa mga unang kundisyon. Ang pagputol ng isang rehiyon sa isang kahulugan ng function ay imposible, dahil walang lokal na kahulugan ng gawain. Dahil natagpuan mula sa isang sistema ng mga equation, ang sagot ay naglalaman ng isang variable na kinakalkula sa Pangkalahatang kamalayan, ngunit natural na magiging posible na lutasin ang differential equation online nang walang aksyong ito upang matukoy ang nasabing kundisyon. Malapit sa pagitan ng segment, makikita kung paano nagagawa ng solusyon ng differential equation online na isulong ang resulta ng pananaliksik sa positibong direksyon sa oras ng cutoff ng kaalaman ng mga mag-aaral. Ang pinakamahusay ay hindi palaging nakukuha ng pangkalahatang tinatanggap na diskarte sa negosyo. Sa antas ng 2x, maaaring makita ng isa ang lahat ng kinakailangang natural na linear differential equation, ngunit ang kakayahang magkalkula ng numerical na halaga ay hahantong sa pagtaas ng kaalaman. Ayon sa anumang pamamaraan sa matematika, may mga differential equation na ipinakita sa mga expression na naiiba sa kalikasan, tulad ng homogenous o complex. Ang pagkakaroon ng isang pangkalahatang pagsusuri ng pag-aaral ng function, magiging malinaw na ang solusyon ng kaugalian bilang isang hanay ng mga posibilidad ay kumakatawan sa isang malinaw na error sa mga halaga. Ang katotohanan dito ay namamalagi sa espasyo sa itaas ng mga linya ng abscissa. Sa isang lugar sa domain ng kahulugan kumplikadong pag-andar sa ilang punto sa kahulugan nito, ang mga linear differential equation ay maaaring kumatawan sa sagot sa isang analytical form. iyon ay, sa pangkalahatang mga termino, bilang ang kakanyahan. Walang magbabago kapag binago ang variable. Gayunpaman, kinakailangang tingnan ang sagot nang may espesyal na interes. Sa katunayan, binabago ng calculator ang ratio sa dulo, iyon ay, kung paano ang solusyon ng mga differential equation ay proporsyonal sa pandaigdigang halaga ay ipinahiwatig sa loob ng nais na solusyon. Sa ilang mga kaso, hindi maiiwasan ang isang babala ng mass error. Differential Equation Online Implement Pangkalahatang ideya tungkol sa gawain, ngunit sa huli ito ay kinakailangan upang magbigay sa lalong madaling panahon positibong panig produkto ng vector. Sa matematika, ang mga kaso ng pagkakamali sa teorya ng numero ay hindi karaniwan. Talagang kailangang suriin. Naturally, mas mabuting ibigay ang karapatang ito sa mga propesyonal sa kanilang larangan at sila ang tutulong upang malutas ang differential equation online, dahil napakalaki at positibo ang kanilang karanasan. Ang pagkakaiba sa ibabaw ng mga figure at ang lugar ay tulad na ito ay hindi ang solusyon ng mga differential equation online na magbibigay-daan sa iyo upang makita, ngunit ang hanay ng mga hindi intersected na bagay ay tulad na ang linya ay parallel sa axis. Bilang resulta, maaari kang makakuha ng doble sa dami ng mga halaga. Ang pagiging implicit, ang aming ideya ng kawastuhan ng pormal na notasyon ay nagbibigay para sa mga linear na equation ng kaugalian kapwa sa lugar ng pagtingin at may kaugnayan sa sadyang labis na pagtatantya ng kalidad ng resulta. Ang isang talakayan sa isang paksa na interesado sa lahat ng mga mag-aaral ay kasama sa pagsusuri nang maraming beses. Sa buong pag-aaral buong kurso lectures, hahasain namin ang aming malapit na pansin sa mga differential equation at mga kaugnay na larangan ng pag-aaral ng agham, kung hindi ito sumasalungat sa katotohanan. Maraming mga yugto ang maaaring iwasan sa simula ng paglalakbay. Kung ang solusyon ng mga pagkakaiba ay panimula pa ring bago para sa mga mag-aaral, kung gayon ang luma ay hindi nakalimutan, ngunit umuunlad sa hinaharap sa isang mataas na rate ng pag-unlad. Sa una, ang mga kondisyon para sa isang problema sa matematika ay magkakaiba, ngunit ito ay ipinahiwatig sa talata sa kanan. Matapos ang pag-expire ng oras na tinukoy ng kahulugan, ang posibilidad ng isang proporsyonal na umaasa na kinalabasan sa iba't ibang mga eroplano ng paggalaw ng vector ay hindi ibinukod. Ang ganitong simpleng kaso ay naitama sa parehong paraan tulad ng linear differential equation ay inilarawan sa isang calculator sa isang pangkalahatang anyo, kaya ito ay magiging mas mabilis at ang offset ng mga kalkulasyon ay hindi hahantong sa isang maling opinyon. Limang kaso lamang na pinangalanan ayon sa teorya ang maaaring itulak ang mga hangganan ng kung ano ang nangyayari. Ang aming solusyon ng mga differential equation ay makakatulong upang manu-manong kalkulahin ang halaga sa mga numero na nasa mga unang yugto ng agnas ng functional space. Sa mga tamang lugar, kinakailangan na kumatawan sa punto ng pakikipag-ugnay ng apat na linya sa pangkalahatang kahulugan. Ngunit kung kailangan mong pilitin ang gawain, kung gayon ito ay magiging madali upang itumbas ang pagiging kumplikado. Ang paunang data ay sapat na upang idisenyo ang katabing binti at ang mga online na differential equation ay tumingin sa kaliwa at ang isang panig na ibabaw ay nakadirekta patungo sa vector rotor. Sa itaas ng itaas na limitasyon, ang mga numerong halaga ay posible na lampas sa ipinahiwatig na kondisyon. Posibleng isaalang-alang ang mathematical formula at lutasin ang differential equation online dahil sa tatlong hindi alam sa pangkalahatang halaga ng proporsyon. Ang lokal na paraan ng pagkalkula ay kinikilala bilang wasto. Ang sistema ng coordinate ay hugis-parihaba sa relatibong paggalaw ng eroplano. Ginagawang posible ng pangkalahatang online na solusyon ng mga differential equation na malinaw na makagawa ng konklusyon na pabor sa isang computational sweep sa mga kahulugan ng matrix sa buong tuwid na linya na matatagpuan sa itaas ng graph ng isang tahasang ibinigay na function. Ang solusyon ay makikita sa pamamagitan ng kung ilalapat mo ang motion vector sa punto ng contact ng tatlong hemispheres. Ang silindro ay nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng parihaba sa paligid ng gilid at ang mga linear differential equation ay maaaring magpakita ng direksyon ng paggalaw ng punto ayon sa ibinigay na mga expression ng batas ng paggalaw nito. Ang paunang data ay tama at ang problema sa matematika ay maaaring palitan sa ilalim ng isang simpleng kondisyon. Gayunpaman, dahil sa mga pangyayari, dahil sa pagiging kumplikado ng subproblem ng setting, pinapasimple ng mga differential equation ang proseso ng mga kalkuladong numerical space sa antas ng three-dimensional na espasyo. Madaling patunayan kung hindi, ngunit posible na maiwasan ito, tulad ng sa halimbawa sa itaas. Sa mas mataas na matematika, ang mga sumusunod na punto ay ibinigay: kapag ang isang problema ay nabawasan sa isang pinasimpleng anyo, ang pinakamalaking posibleng pagsisikap sa bahagi ng mga mag-aaral ay dapat na palawigin dito. Ang mga linyang nakapatong sa isa't isa ay nahuhulog sa offset. Ipinagpapatuloy pa rin ng Pro differential solution ang bentahe ng nasabing paraan sa curved line. Kung sa una ay hindi nakikilala ng isa kung ano ang kailangan, kung gayon mathematical formula bumubuo ng bagong halaga ng expression. Ang layunin ay ang pinakamainam na diskarte sa paglutas ng mga gawaing itinakda ng propesor. Hindi mo dapat ipagpalagay na ang mga linear differential equation sa isang pinasimpleng anyo ay lalampas sa inaasahang resulta. Naglalagay kami ng tatlong vectors sa isang finitely composed surface. orthogonal sa isa't isa. Kalkulahin natin ang produkto. Isagawa natin ang karagdagan higit pa mga character at isulat mula sa resultang expression lahat mga variable ng function. May proporsyon. Ang ilang mga aksyon bago ang pagtatapos ng pagkalkula ay hindi magbibigay ng isang hindi malabo na sagot sa solusyon ng mga differential equation kaagad, ngunit pagkatapos lamang na lumipas ang inilaang oras kasama ang ordinate axis. Sa kaliwa ng discontinuity point, implicitly na ibinigay mula sa function, gumuhit kami ng axis orthogonal sa pinakamahusay na pagtaas ng vector at inilalagay ang mga online na differential equation kasama ang pinakamaliit na boundary value ng lower bound ng mathematical object. Magdagdag tayo ng karagdagang argumento sa break area ng function. Sa kanan ng mga punto ng curved line, ang mga formula na isinulat namin para sa pagbabawas sa isang karaniwang denominator ay makakatulong upang malutas ang differential equation online. Ang tanging tamang diskarte ay ang isa na magbibigay liwanag sa mga hindi nalutas na mga problema mula sa teorya hanggang sa pagsasanay, sa pangkalahatang kaso nang hindi malabo. Mga linya sa coordinate na direksyon binigay na puntos hindi kailanman isinara ang matinding posisyon ng parisukat, gayunpaman, ang paglutas ng mga differential equation online ay makakatulong sa mga mag-aaral at sa amin, at mga baguhan pa lamang sa larangang ito, na mag-aral ng matematika. Ito ay tungkol tungkol sa posibilidad ng pagpapalit ng value argument sa lahat ng makabuluhang subline ng isang field. Sa prinsipyo, tulad ng inaasahan ng isa, ang aming mga linear differential equation ay isang bagay na nakahiwalay sa isang konsepto ng pinababang kahulugan. Upang matulungan ang mga mag-aaral, ang isa sa pinakamahusay sa mga katulad na serbisyo ay isang calculator. Dumaan sa lahat ng mga kurso at piliin ang pinakamahusay para sa iyo.

=

Ang artikulong ito ay isang panimulang punto sa pag-aaral ng teorya ng differential equation. Dito nakolekta ang mga pangunahing kahulugan at konsepto na patuloy na lilitaw sa teksto. Para sa mas mahusay na asimilasyon at pag-unawa, ang mga kahulugan ay ibinigay kasama ng mga halimbawa.

Differential Equation (DE)- ito ay isang equation na may kasamang hindi kilalang function sa ilalim ng sign ng derivative o differential.

Kung ang hindi kilalang function ay isang function ng isang variable, kung gayon ang differential equation ay tinatawag karaniwan(pinaikling ODE - ordinaryong differential equation). Kung ang hindi kilalang function ay isang function ng maraming variable, kung gayon ang differential equation ay tinatawag partial differential equation.

Ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng derivative ng isang hindi kilalang function na kasama sa isang differential equation ay tinatawag ang pagkakasunud-sunod ng differential equation.


Narito ang mga halimbawa ng mga ODE ng una, pangalawa at ikalimang order, ayon sa pagkakabanggit

Bilang mga halimbawa ng mga partial differential equation ng pangalawang order, ipinakita namin

Dagdag pa, isasaalang-alang lamang natin ang mga ordinaryong differential equation ng nth order ng form o , kung saan ang Ф(x, y) = 0 ay isang hindi kilalang function na implicitly na tinukoy (kapag posible, isusulat namin ito sa tahasang representasyon y = f(x) ).

Ang proseso ng paghahanap ng mga solusyon sa isang differential equation ay tinatawag pagsasama ng differential equation.

Paglutas ng Differential Equation- ito ay implicit ibinigay na functionФ(x, y) = 0 (sa ilang mga kaso, ang function na y ay maaaring ipahayag nang tahasan sa mga tuntunin ng argumentong x), na ginagawang isang pagkakakilanlan ang differential equation.

TANDAAN.

Ang solusyon ng isang differential equation ay palaging hinahanap sa isang paunang natukoy na pagitan X .

Bakit natin ito pinag-uusapan nang hiwalay? Oo, dahil sa mga kondisyon ng maraming mga problema ang pagitan ng X ay hindi nabanggit. Iyon ay, ang kondisyon ng mga problema ay karaniwang binabalangkas tulad ng sumusunod: "maghanap ng solusyon sa ordinaryong differential equation ". Sa kasong ito, nauunawaan na ang solusyon ay dapat hanapin para sa lahat ng x kung saan ang parehong nais na function na y at ang orihinal na equation ay may katuturan.

Ang solusyon ng isang differential equation ay madalas na tinutukoy bilang differential equation integral.

Mga function o maaaring tawaging solusyon sa isang differential equation.

Isa sa mga solusyon ng differential equation ay ang function . Sa katunayan, ang pagpapalit ng function na ito sa orihinal na equation, nakuha namin ang pagkakakilanlan . Madaling makita na ang isa pang solusyon sa ODE na ito ay, halimbawa, . Kaya, ang mga differential equation ay maaaring magkaroon ng maraming solusyon.


Pangkalahatang solusyon ng differential equation ay ang hanay ng mga solusyon na naglalaman ng lahat ng solusyon ng differential equation na ito nang walang pagbubukod.

Ang pangkalahatang solusyon ng isang differential equation ay tinatawag din pangkalahatang integral ng differential equation.

Bumalik tayo sa halimbawa. Ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay may anyo o , kung saan ang C ay isang arbitraryong pare-pareho. Sa itaas, ipinahiwatig namin ang dalawang solusyon sa ODE na ito, na nakuha mula sa pangkalahatang integral ng differential equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng C = 0 at C = 1, ayon sa pagkakabanggit.

Kung ang solusyon ng isang differential equation ay nakakatugon sa unang ibinigay na karagdagang mga kondisyon, kung gayon ito ay tinatawag isang partikular na solusyon ng differential equation.

Ang isang partikular na solusyon ng differential equation na nakakatugon sa kondisyon na y(1)=1 ay . Talaga, at .

Ang mga pangunahing problema ng teorya ng mga differential equation ay ang mga problema sa Cauchy, mga problema sa halaga ng hangganan at mga problema sa paghahanap ng pangkalahatang solusyon ng isang differential equation sa anumang naibigay na interval X .

Cauchy problema ay ang problema ng paghahanap ng isang partikular na solusyon ng isang differential equation na nakakatugon sa ibinigay paunang kondisyon, nasaan ang mga numero.

Problema sa hangganan ay ang problema ng paghahanap ng isang partikular na solusyon sa isang second-order differential equation na nakakatugon sa mga karagdagang kundisyon sa mga boundary point x 0 at x 1:
f (x 0) \u003d f 0, f (x 1) \u003d f 1, kung saan binibigyan ng mga numero ang f 0 at f 1.

Ang problema sa halaga ng hangganan ay madalas na tinatawag problema sa halaga ng hangganan.

Ang isang ordinaryong differential equation ng nth order ay tinatawag linear, kung mayroon itong anyo , at ang mga coefficient ay tuluy-tuloy na pag-andar argumento x sa pagitan ng pagsasama.

Solusyon ng mga differential equation. Salamat sa aming online na serbisyo maaari mong lutasin ang mga differential equation ng anumang uri at pagiging kumplikado: inhomogeneous, homogenous, non-linear, linear, una, pangalawang order, na may separable o non-separable variable, atbp. Makukuha mo ang solusyon ng mga differential equation sa analytical form na may Detalyadong Paglalarawan. Marami ang interesado sa: bakit kailangang lutasin ang mga differential equation online? Ganitong klase Ang mga equation ay napaka-pangkaraniwan sa matematika at pisika, kung saan imposibleng malutas ang maraming problema nang hindi kinakalkula ang isang differential equation. Gayundin, ang mga differential equation ay karaniwan sa ekonomiya, medisina, biology, kimika at iba pang mga agham. Ang paglutas ng naturang equation online ay lubos na nagpapadali sa iyong mga gawain, ginagawang posible na mas mahusay na ma-assimilate ang materyal at subukan ang iyong sarili. Mga benepisyo ng paglutas ng mga differential equation online. Binibigyang-daan ka ng modernong mathematical service site na malutas ang mga differential equation online ng anumang kumplikado. Sa pagkakaalam mo meron malaking bilang ng mga uri ng differential equation at bawat isa sa kanila ay may kanya-kanyang paraan ng solusyon. Sa aming serbisyo mahahanap mo ang solusyon ng mga differential equation ng anumang pagkakasunud-sunod at uri online. Upang makakuha ng solusyon, iminumungkahi namin na punan mo ang paunang data at i-click ang button na "Solusyon". Ang mga error sa pagpapatakbo ng serbisyo ay hindi kasama, kaya maaari kang maging 100% sigurado na natanggap mo ang tamang sagot. Lutasin ang mga differential equation sa aming serbisyo. Lutasin ang mga differential equation online. Bilang default, sa naturang equation, ang y function ay isang function ng x variable. Ngunit maaari mo ring itakda ang iyong sariling variable na pagtatalaga. Halimbawa, kung tinukoy mo ang y(t) sa isang differential equation, awtomatikong matutukoy ng aming serbisyo na ang y ay isang function ng t variable. Ang pagkakasunud-sunod ng buong differential equation ay depende sa pinakamataas na pagkakasunod-sunod ng derivative ng function na nasa equation. Upang malutas ang naturang equation ay nangangahulugang hanapin ang nais na function. Tutulungan ka ng aming serbisyo na malutas ang mga differential equation online. Hindi nangangailangan ng maraming pagsisikap sa iyong bahagi upang malutas ang equation. Kailangan mo lamang ipasok ang kaliwa at kanang bahagi ng iyong equation sa mga kinakailangang field at i-click ang "Solusyon" na buton. Kapag nagpapasok ng derivative ng isang function, kinakailangan na tukuyin ito ng isang apostrophe. Sa ilang segundo magkakaroon ka na detalyadong solusyon differential equation. Ang aming serbisyo ay ganap na libre. Differential equation na may mga separable variable. Kung sa isang differential equation sa kaliwang bahagi mayroong isang expression na nakasalalay sa y, at sa kanang bahagi ay mayroong isang expression na nakasalalay sa x, kung gayon ang naturang differential equation ay tinatawag na may mga separable variable. Sa kaliwang bahagi ay maaaring mayroong isang derivative ng y, ang solusyon ng mga differential equation ng ganitong uri ay magiging sa anyo ng isang function ng y, na ipinahayag sa pamamagitan ng integral ng kanang bahagi ng equation. Kung mayroong isang kaugalian ng isang function ng y sa kaliwang bahagi, kung gayon ang parehong bahagi ng equation ay isinama. Kapag ang mga variable sa isang differential equation ay hindi pinaghiwalay, sila ay kailangang hatiin upang makakuha ng isang separated differential equation. Linear differential equation. Ang isang differential equation ay tinatawag na linear kung ang function at lahat ng derivatives nito ay nasa unang degree. Pangkalahatang anyo mga equation: y'+a1(x)y=f(x). Ang f(x) at a1(x) ay tuluy-tuloy na function ng x. Ang solusyon ng mga differential equation ng ganitong uri ay nabawasan sa pagsasama ng dalawang differential equation na may mga pinaghiwalay na variable. Ang pagkakasunud-sunod ng differential equation. Ang differential equation ay maaaring sa una, pangalawa, n-th order. Tinutukoy ng pagkakasunod-sunod ng isang differential equation ang pagkakasunud-sunod ng pinakamataas na derivative na nakapaloob dito. Sa aming serbisyo maaari mong lutasin ang mga online na differential equation ng una, pangalawa, pangatlo, atbp. utos. Ang solusyon sa equation ay magiging anumang function na y=f(x), na papalitan kung alin sa equation, makakakuha ka ng pagkakakilanlan. Ang proseso ng paghahanap ng solusyon sa isang differential equation ay tinatawag na integration. Cauchy na problema. Kung, bilang karagdagan sa differential equation mismo, paunang kondisyon y(x0)=y0, kung gayon ito ay tinatawag na problemang Cauchy. Ang mga tagapagpahiwatig na y0 at x0 ay idinagdag sa solusyon ng equation at ang halaga ng isang di-makatwirang pare-parehong C ay tinutukoy, at pagkatapos ay isang partikular na solusyon ng equation para sa halagang ito ng C. Ito ang solusyon ng problemang Cauchy. Ang problema sa Cauchy ay tinatawag ding problema sa mga kondisyon ng hangganan, na karaniwan sa pisika at mekanika. Mayroon ka ring pagkakataong itakda ang problemang Cauchy, iyon ay, mula sa lahat mga posibleng solusyon ng equation, pumili ng quotient na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kondisyon.

Upang ibahagi sa mga kaibigan:
Mga katulad na post