Hanapin ang halaga ng function graph ng antiderivative.
51. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y=f "(x)- derivative function f(x), tinukoy sa pagitan (− 4; 6). Hanapin ang abscissa ng punto kung saan ang padaplis sa graph ng function y=f(x) ay parallel sa linya y=3x o tumutugma dito.
Sagot: 5
52. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y=F(x) f(x) f(x) positibo?
Sagot: 7
53. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y=F(x) isa sa mga antiderivatives ng ilang function f(x) at walong puntos ang minarkahan sa x-axis: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Sa kung gaano karami sa mga puntong ito ang gumagana f(x) negatibo?
Sagot: 3
54. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y=F(x) isa sa mga antiderivatives ng ilang function f(x) at sampung puntos sa x-axis ay minarkahan: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. Sa kung gaano karami sa mga puntong ito ang gumagana f(x) positibo?
Sagot: 6
55. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y=F(x f(x), tinukoy sa pagitan (− 7; 5). Gamit ang figure, tukuyin ang bilang ng mga solusyon sa equation f(x)=0 sa pagitan [− 5; 2].
Sagot: 3
56. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y=F(x) isa sa mga antiderivatives ng ilang function f (x), tinukoy sa pagitan (− 8; 7). Gamit ang figure, tukuyin ang bilang ng mga solusyon sa equation f(x)= 0 sa pagitan [− 5; 5].
Sagot: 4
57. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y=F(x) isa sa mga antiderivatives ng ilang function f(x) na tinukoy sa pagitan (1;13). Gamit ang figure, tukuyin ang bilang ng mga solusyon sa equation f (x)=0 sa segment .
Sagot: 4
58. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng ilang function y=f(x)(dalawang beam na may karaniwang panimulang punto). Gamit ang figure, kalkulahin F(−1)−F(−8), saan F(x) f(x).
Sagot: 20
59. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng ilang function y=f(x) (dalawang sinag na may karaniwang panimulang punto). Gamit ang figure, kalkulahin F(−1)−F(−9), saan F(x)- isa sa mga antiderivatives ng function f(x).
Sagot: 24
60. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng ilang function y=f(x). Function
-isa sa mga antiderivatives ng function f(x). Hanapin ang lugar ng shaded figure.
Sagot: 6
61. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng ilang function y=f(x). Function
Isa sa mga antiderivatives ng function f(x). Hanapin ang lugar ng shaded figure.
Sagot: 14.5
parallel sa tangent sa graph ng function
Sagot: 0.5
Hanapin ang abscissa ng point of contact.
Sagot: -1
ay padaplis sa graph ng function
Hanapin c.
Sagot: 20
ay padaplis sa graph ng function
Hanapin a.
Sagot: 0.125
ay padaplis sa graph ng function
Hanapin b, dahil mas malaki sa 0 ang abscissa ng touch point.
Sagot: -33
67. Ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya ayon sa batas
saan x t- oras sa mga segundo, sinusukat mula noong simula ng paggalaw. Sa anong punto ng oras (sa mga segundo) ang kanyang bilis ay katumbas ng 96 m/s?
Sagot: 18
68. Ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya ayon sa batas
saan x- distansya mula sa reference point sa metro, t- oras sa mga segundo, sinusukat mula noong simula ng paggalaw. Sa anong punto ng oras (sa mga segundo) ang kanyang bilis ay katumbas ng 48 m/s?
Sagot: 9
69. Ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya ayon sa batas
saan x t t=6 Sa.
Sagot: 20
70. Ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya ayon sa batas
saan x- distansya mula sa reference point sa metro, t- oras sa mga segundo, sinusukat mula sa simula ng paggalaw. Hanapin ang bilis nito (sa m/s) sa oras t=3 Sa.
Sagot: 59
Ang linyang y=3x+2 ay padaplis sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10. Hanapin ang b , dahil ang abscissa ng touch point ay mas mababa sa zero.
Ipakita ang SolusyonSolusyon
Hayaang x_0 ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10 kung saan dumadaan ang tangent sa graph na ito.
Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay angular coefficient tangent, i.e. y "(x_0)=-24x_0+b=3. Sa kabilang banda, ang tangent point ay sabay na nabibilang sa graph ng function at ang tangent, i.e. -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Kumuha kami ng isang sistema ng mga equation \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)
Ang paglutas ng sistemang ito, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga touch point ay mas mababa sa zero, samakatuwid x_0=-1, pagkatapos b=3+24x_0=-21.
Sagot
Kundisyon
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) (na isang putol na linya na binubuo ng tatlong tuwid na mga segment ng linya). Gamit ang figure, kalkulahin ang F(9)-F(5), kung saan ang F(x) ay isa sa mga antiderivatives ng f(x).
Ipakita ang SolusyonSolusyon
Ayon sa formula ng Newton-Leibniz, ang pagkakaiba F(9)-F(5), kung saan ang F(x) ay isa sa mga antiderivatives ng function na f(x), ay katumbas ng lugar ng curvilinear trapezoid bounded sa pamamagitan ng graph ng function na y=f(x), tuwid na linya y=0 , x=9 at x=5. Ayon sa iskedyul, tinutukoy namin na ang ipinahiwatig curvilinear trapezoid ay isang trapezoid na may mga base 4 at 3 at taas 3 .
Ang lawak nito ay katumbas ng \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.
Sagot
Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. Antas ng profile". Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Kundisyon
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng y \u003d f "(x) - ang derivative ng function na f (x), na tinukoy sa pagitan (-4; 10). Hanapin ang mga pagitan ng nagpapababa ng function f (x). Sa iyong sagot , ipahiwatig ang haba ng pinakamalaki sa kanila.
Solusyon
Tulad ng alam mo, ang function na f (x) ay bumababa sa mga pagitan na iyon, sa bawat punto kung saan ang derivative f "(x) ay mas mababa sa zero. Isinasaalang-alang na ito ay kinakailangan upang mahanap ang haba ng pinakamalaki sa kanila, tatlong ganoong mga pagitan ay natural na nakikilala mula sa figure: (-4; -2);(0;3);(5;9).
Ang haba ng pinakamalaki sa kanila - (5; 9) ay katumbas ng 4.
Sagot
Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Kundisyon
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng y \u003d f "(x) - ang derivative ng function na f (x), na tinukoy sa pagitan (-8; 7). Hanapin ang bilang ng mga maximum na puntos ng function na f (x) na kabilang sa pagitan [-6; -2].
.png)
Solusyon
Ipinapakita ng graph na ang derivative f "(x) ng function na f (x) ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus (magkakaroon ng maximum sa mga naturang punto) sa eksaktong isang punto (sa pagitan ng -5 at -4) mula sa pagitan [ -6; -2 Samakatuwid, mayroong eksaktong isang pinakamataas na punto sa pagitan [-6;-2].
Sagot
Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Kundisyon
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) na tinukoy sa pagitan (-2; 8). Tukuyin ang bilang ng mga puntos kung saan ang derivative ng function na f(x) ay katumbas ng 0 .
Solusyon
Kung ang derivative sa isang punto ay katumbas ng zero, kung gayon ang tangent sa graph ng function na iginuhit sa puntong ito ay parallel sa Ox axis. Samakatuwid, nakita namin ang mga naturang punto kung saan ang tangent sa function graph ay parallel sa Ox axis. Sa chart na ito, ang mga nasabing puntos ay mga extremum point (maximum o minimum na puntos). Tulad ng nakikita mo, mayroong 5 extremum point.
Sagot
Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Kundisyon
Ang linyang y=-3x+4 ay parallel sa tangent sa graph ng function na y=-x^2+5x-7. Hanapin ang abscissa ng point of contact.
Ipakita ang SolusyonSolusyon
Ang slope ng linya sa graph ng function na y=-x^2+5x-7 sa isang arbitrary point x_0 ay y"(x_0). Ngunit y"=-2x+5, so y"(x_0)=- 2x_0+5. Angular ang koepisyent ng linyang y=-3x+4 na tinukoy sa kundisyon ay -3.Ang magkatulad na linya ay may parehong slope coefficients.Samakatuwid, nakita namin ang isang halagang x_0 na =-2x_0 +5=-3.
Nakukuha namin ang: x_0 = 4.
Sagot
Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Kundisyon
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) at minarkahang puntos -6, -1, 1, 4 sa x-axis. Alin sa mga puntong ito ang halaga ng derivative ang pinakamaliit? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.
\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)
NilalamanMga elemento ng nilalaman
Derivative, tangent, antiderivative, mga graph ng mga function at derivatives.
Derivative Hayaang tukuyin ang function na \(f(x)\) sa ilang kapitbahayan ng puntong \(x_0\).
Ang derivative ng function na \(f\) sa puntong \(x_0\) tinatawag na limitasyon
\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)
kung umiiral ang limitasyong ito.
Ang derivative ng isang function sa isang punto ay nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng function na ito sa isang naibigay na punto.
| Function | Derivative |
| \(const\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^(n-1)\) |
| \(\dfrac(1)(x)\) | \(-\dfrac(1)(x^2)\) |
| \(\sqrt(x)\) | \(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln(a)\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac(1)(x)\) |
| \(\log_a(x)\) | \(\dfrac(1)(x\ln(a))\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tgx\) | \(\dfrac(1)(\cos^2 x)\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac(1)(\sin^2x)\) |
Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba Ang \(f\) at \(g\) ay mga function depende sa variable na \(x\); Ang \(c\) ay isang numero.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)
6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - derivative ng complex function
Ang geometric na kahulugan ng derivative Equation ng isang tuwid na linya- ang non-parallel axis \(Oy\) ay maaaring isulat bilang \(y=kx+b\). Ang coefficient na \(k\) sa equation na ito ay tinatawag slope ng isang tuwid na linya. Ito ay katumbas ng tangent nakatabinging anggulo itong tuwid na linya.
Diretsong anggulo- ang anggulo sa pagitan ng positibong direksyon ng \(Ox\) axis at ang ibinigay na linya, na binibilang sa direksyon ng mga positibong anggulo (iyon ay, sa direksyon na hindi bababa sa pag-ikot mula sa \(Ox\) axis hanggang sa \(Oy \) aksis).
Ang derivative ng function na \(f(x)\) sa puntong \(x_0\) ay katumbas ng slope ng tangent sa graph ng function sa ibinigay na punto: \(f"(x_0)=\tg \alpha.\)
Kung \(f"(x_0)=0\), ang tangent sa graph ng function \(f(x)\) sa puntong \(x_0\) ay parallel sa axis \(Ox\).
Tangent equation
Ang equation ng tangent sa graph ng function na \(f(x)\) sa puntong \(x_0\):
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
Monotonicity ng function Kung ang derivative ng isang function ay positibo sa lahat ng mga punto sa isang interval, kung gayon ang function ay tumataas sa interval na iyon.
Kung ang derivative ng isang function ay negatibo sa lahat ng mga punto sa isang pagitan, kung gayon ang function ay bumababa sa pagitan na iyon.
Minimum, maximum at inflection point positibo sa negatibo sa puntong ito, ang \(x_0\) ay ang pinakamataas na punto ng function na \(f\).
Kung ang function na \(f\) ay tuloy-tuloy sa puntong \(x_0\), at ang halaga ng derivative ng function na ito \(f"\) ay nagbabago mula sa negatibo sa positibo sa puntong ito, ang \(x_0\) ay ang pinakamababang punto ng function na \(f\).
Tinatawag ang mga punto kung saan ang derivative na \(f"\) ay katumbas ng zero o wala kritikal na puntos mga function \(f\).
Mga panloob na punto ng lugar ng kahulugan ng function \(f(x)\), kung saan ang \(f"(x)=0\) ay maaaring maging minimum, maximum o inflection point.
Ang pisikal na kahulugan ng derivative Kung ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya at ang coordinate nito ay nagbabago depende sa oras ayon sa batas \(x=x(t)\), kung gayon ang bilis ng puntong ito ay katumbas ng time derivative ng coordinate:
Ang acceleration ng isang materyal na punto ay katumbas ng derivative ng bilis ng puntong ito na may paggalang sa oras:
\(a(t)=v"(t).\)
