Lutasin ko ang profile ng pagsusulit ng mga palumpong. Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika sa basic at profile na antas

Ang PAGGAMIT sa matematika ay ang pangunahing disiplina na kinukuha ng lahat ng nagtapos. Ang pagsusulit sa pagsusulit ay nahahati sa dalawang antas - basic at profile. Ang pangalawa ay kinakailangan lamang para sa mga nagpaplanong gawing pangunahing paksa ng pag-aaral ang matematika sa mas mataas na edukasyon. Ang iba ay pumasa sa pangunahing antas. Ang layunin ng pagsusulit na ito ay suriin ang antas ng mga kasanayan at kaalaman ng mga mag-aaral na nagtapos para sa pagsunod sa mga pamantayan at pamantayan. Ang paghahati sa mga pangunahing at pangunahing antas ay unang ginamit noong 2017 upang ang mga mag-aaral na hindi nangangailangan ng advanced na matematika para sa pagpasok sa isang unibersidad ay hindi mag-aksaya ng oras sa paghahanda para sa mga kumplikadong takdang-aralin.

Upang makakuha ng sertipiko, at mag-aplay sa unibersidad, kailangan mong kumpletuhin ang mga gawain pangunahing antas. Kasama sa paghahanda ang pag-uulit kurikulum ng paaralan sa algebra at geometry. Ang mga gawain sa PAGGAMIT ng pangunahing antas ay magagamit sa mga mag-aaral na may iba't ibang antas kaalaman. Ang pangunahing antas ay maaaring ipasa ng mga mag-aaral na matulungin lamang sa silid-aralan.
Ang mga pangunahing rekomendasyon para sa paghahanda ay:

• Ang sistematikong paghahanda ay dapat na simulan nang maaga upang hindi ka na kinakabahan, na pinagkadalubhasaan ang lahat ng mga gawain 1-2 buwan bago ang pagsusulit. Ang panahon na kinakailangan para sa mataas na kalidad na pagsasanay ay nakasalalay sa paunang antas ng kaalaman.
• Kung hindi ka sigurado na ikaw ay makabisado ang mga gawain sa iyong sarili, humingi ng tulong sa isang tutor - tutulungan ka niyang i-systematize ang iyong kaalaman.
• Magsanay sa paglutas ng mga problema, halimbawa, gawain, ayon sa programa.
• Lutasin ang mga gawain online - "I-solve ko ang pagsusulit" ay makakatulong sa regular na pagsasanay at paghahanda para sa pagsusulit. Sa isang tutor, magagawa mong pag-aralan ang mga pagkakamali, pag-aralan ang mga gawain na nagdudulot ng mga partikular na paghihirap.

• Pag-aaral ng paksa sa paaralan;
• Pag-aaral sa sarili - paglutas ng mga problema sa pamamagitan ng halimbawa;
• Mga aralin sa isang tagapagturo;
• Pagsasanay sa mga kurso;
• Online na paghahanda.

Mayroong 20 gawain (maaaring magbago ang bilang bawat taon) kung saan kailangan ang mga maikling sagot. Ito ay sapat na para sa isang mag-aaral na may planong pumasok sa mas mataas mga institusyong pang-edukasyon para sa humanities.
Ang paksa ay binibigyan ng 3 oras upang tapusin ang mga gawain. Bago simulan ang trabaho, dapat mong maingat na basahin ang mga tagubilin at kumilos alinsunod sa mga probisyon nito. Kasama sa libro ng pagsusulit ang mga sangguniang materyales na kinakailangan upang makapasa sa pagsusulit sa pagsusulit. Para sa matagumpay na pagkumpleto ng lahat ng mga gawain, 5 puntos ang ibinibigay, ang pinakamababang marka ng threshold ay 3.

Pangalawang pangkalahatang edukasyon

Linya ng UMK G.K. Muravina. Algebra at ang simula ng mathematical analysis (10-11) (deep)

Linya ng UMK Merzlyak. Algebra at ang Simula ng Pagsusuri (10-11) (U)

Mathematics

Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika (antas ng profile): mga gawain, solusyon at paliwanag

Ang papel sa pagsusulit sa antas ng profile ay tumatagal ng 3 oras 55 minuto (235 minuto).

Minimum na Threshold- 27 puntos.

Ang papel ng pagsusulit ay binubuo ng dalawang bahagi, na naiiba sa nilalaman, pagiging kumplikado at bilang ng mga gawain.

Ang tampok na pagtukoy ng bawat bahagi ng gawain ay ang anyo ng mga gawain:

• bahagi 1 ay naglalaman ng 8 mga gawain (mga gawain 1-8) na may maikling sagot sa anyo ng isang integer o isang panghuling decimal fraction;
• bahagi 2 ay naglalaman ng 4 na gawain (mga gawain 9-12) na may maikling sagot sa anyo ng isang integer o isang panghuling bahagi ng decimal at 7 mga gawain (mga gawain 13-19) na may isang detalyadong sagot (buong talaan ng desisyon na may katwiran para sa mga aksyon na ginawa).

Panova Svetlana Anatolievna, guro sa matematika pinakamataas na kategorya mga paaralan, 20 taong karanasan sa trabaho:

“Upang makakuha ng sertipiko ng paaralan, ang isang nagtapos ay kailangang pumasa sa dalawang mandatoryong pagsusulit sa anyo ng Unified State Examination, isa na rito ang matematika. Alinsunod sa Konsepto para sa Pag-unlad ng Edukasyong Matematika sa Pederasyon ng Russia Ang PAGGAMIT sa matematika ay nahahati sa dalawang antas: basic at specialized. Ngayon ay isasaalang-alang namin ang mga opsyon para sa antas ng profile.

Gawain bilang 1- sinusuri ang kakayahan ng mga kalahok sa USE na ilapat ang mga kasanayang nakuha sa kurso ng 5-9 na grado sa elementarya na matematika sa mga praktikal na aktibidad. Ang kalahok ay dapat magkaroon ng mga kasanayan sa computer, magagawang magtrabaho kasama mga rational na numero, makapag-ikot mga decimal magagawang i-convert ang isang yunit ng pagsukat sa isa pa.

Halimbawa 1 Sa apartment kung saan nakatira si Petr, isang malamig na metro ng tubig ang na-install. Noong una ng Mayo, ang metro ay nagpakita ng pagkonsumo ng 172 cubic meters. m ng tubig, at sa una ng Hunyo - 177 metro kubiko. m. Anong halaga ang dapat bayaran ni Peter para sa malamig na tubig para sa Mayo, kung ang presyo ng 1 cu. m ng malamig na tubig ay 34 rubles 17 kopecks? Ibigay ang iyong sagot sa rubles.

Desisyon:

1) Hanapin ang dami ng tubig na ginagastos bawat buwan:

177 - 172 = 5 (cu m)

2) Alamin kung magkano ang babayaran para sa nagastos na tubig:

34.17 5 = 170.85 (kuskusin)

Sagot: 170,85.

Gawain bilang 2- ay isa sa mga pinakasimpleng gawain ng pagsusulit. Ang karamihan ng mga nagtapos ay matagumpay na nakayanan ito, na nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng kahulugan ng konsepto ng pag-andar. Uri ng gawain Blg. 2 ayon sa mga kinakailangan codifier ay isang gawain para sa paggamit ng nakuhang kaalaman at kasanayan sa mga praktikal na gawain at Araw-araw na buhay. Ang Gawain Blg. 2 ay binubuo ng paglalarawan, paggamit ng mga function, iba't ibang tunay na ugnayan sa pagitan ng mga dami at pagbibigay-kahulugan sa kanilang mga graph. Ang gawain bilang 2 ay sumusubok sa kakayahang kunin ang impormasyong ipinakita sa mga talahanayan, diagram, mga graph. Kailangang matukoy ng mga nagtapos ang halaga ng isang function sa pamamagitan ng halaga ng argumento kung kailan iba't-ibang paraan pagtukoy sa isang function at paglalarawan ng pag-uugali at katangian ng function ayon sa graph nito. Ito rin ay kinakailangan upang mahanap ang maximum o pinakamaliit na halaga at bumuo ng mga graph ng mga pinag-aralan na function. Ang mga pagkakamaling nagawa ay random na kalikasan sa pagbabasa ng mga kondisyon ng problema, pagbabasa ng diagram.

#ADVERTISING_INSERT#

Halimbawa 2 Ipinapakita ng figure ang pagbabago sa halaga ng palitan ng isang bahagi ng isang kumpanya ng pagmimina sa unang kalahati ng Abril 2017. Noong Abril 7, bumili ang negosyante ng 1,000 shares ng kumpanyang ito. Noong Abril 10, ibinenta niya ang tatlong-kapat ng binili na bahagi, at noong Abril 13 ay ibinenta niya ang lahat ng natitira. Magkano ang nawala sa negosyante bilang resulta ng mga operasyong ito?

Desisyon:

2) 1000 3/4 = 750 (shares) - bumubuo sa 3/4 ng lahat ng biniling share.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubles) - natanggap ng negosyante pagkatapos ng pagbebenta ng 1000 na pagbabahagi.

7) 340,000 - 325,000 = 15,000 (rubles) - nawala ang negosyante bilang resulta ng lahat ng operasyon.

Sagot: 15000.

Gawain bilang 3- ay isang gawain ng pangunahing antas ng unang bahagi, sinusuri ang kakayahang magsagawa ng mga aksyon gamit ang mga geometric na hugis sa nilalaman ng kursong "Planimetry". Sinusuri ng Gawain 3 ang kakayahang kalkulahin ang lugar ng isang figure sa checkered na papel, ang kakayahang kalkulahin ang mga sukat ng antas ng mga anggulo, kalkulahin ang mga perimeter, atbp.

Halimbawa 3 Hanapin ang lugar ng isang rektanggulo na iginuhit sa checkered na papel na may sukat ng cell na 1 cm sa 1 cm (tingnan ang figure). Ibigay ang iyong sagot sa square centimeters.

Desisyon: Upang makalkula ang lugar ng figure na ito, maaari mong gamitin ang formula ng Peak:

Upang makalkula ang lugar ng parihaba na ito, ginagamit namin ang formula ng Peak:

Halimbawa 4 Mayroong 5 pula at 1 asul na tuldok sa bilog. Tukuyin kung aling mga polygon ang mas malaki: yaong may lahat ng pulang vertice, o yaong may isa sa mga asul na vertices. Sa iyong sagot, ipahiwatig kung gaano karami ang isa kaysa sa isa.

Desisyon: 1) Ginagamit namin ang formula para sa bilang ng mga kumbinasyon mula sa n mga elemento sa pamamagitan ng k:

ang lahat ng mga vertex ay pula.

3) Isang pentagon na may lahat ng pulang vertex.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygons na may lahat ng pulang vertices.

na ang mga vertex ay pula o may isang asul na taluktok.

na ang mga vertex ay pula o may isang asul na taluktok.

8) Isang hexagon na ang mga vertex ay pula na may isang asul na vertex.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygon na mayroong lahat ng pulang vertex o isang asul na vertex.

10) 42 - 16 = 26 polygon na gumagamit ng asul na tuldok.

11) 26 - 16 = 10 polygons - kung gaano karaming mga polygon, kung saan ang isa sa mga vertices ay isang asul na tuldok, ay higit pa sa polygons, kung saan ang lahat ng vertices ay pula lamang.

Sagot: 10.

Gawain bilang 5- ang pangunahing antas ng unang bahagi ay sumusubok sa kakayahang malutas ang pinakasimpleng mga equation (hindi makatwiran, exponential, trigonometric, logarithmic).

Halimbawa 5 Lutasin ang Equation 2 3 + x= 0.4 5 3 + x .

Desisyon. Hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 5 3 + X≠ 0, nakukuha namin

kung saan sumusunod na 3 + x = 1, x = –2.

Sagot: –2.

Gawain bilang 6 sa planimetry para sa paghahanap ng mga geometric na dami (mga haba, anggulo, mga lugar), pagmomodelo ng mga totoong sitwasyon sa wika ng geometry. Ang pag-aaral ng mga itinayong modelo gamit ang mga geometric na konsepto at teorema. Ang pinagmumulan ng mga paghihirap ay, bilang panuntunan, kamangmangan o hindi tamang aplikasyon ng mga kinakailangang theorems ng planimetry.

Lugar ng isang tatsulok ABC katumbas ng 129. DE- median line parallel sa gilid AB. Hanapin ang lugar ng trapezoid ISANG KAMA.

Desisyon. Tatsulok CDE katulad ng isang tatsulok CAB sa dalawang sulok, dahil ang sulok sa vertex C pangkalahatan, anggulo CDE katumbas ng anggulo CAB bilang ang mga kaukulang anggulo sa DE || AB secant AC. Bilang DE ay ang midline ng tatsulok ayon sa kundisyon, pagkatapos ay sa pamamagitan ng ari-arian gitnang linya | DE = (1/2)AB. Kaya ang koepisyent ng pagkakatulad ay 0.5. Ang mga lugar ng magkatulad na mga numero ay nauugnay bilang parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad, kaya

Kaya naman, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Gawain bilang 7- sinusuri ang aplikasyon ng derivative sa pag-aaral ng function. Para sa matagumpay na pagpapatupad, ang isang makabuluhan, hindi pormal na pagmamay-ari ng konsepto ng isang hinalaw ay kinakailangan.

Halimbawa 7 Sa graph ng function y = f(x) sa puntong may abscissa x 0 ang isang tangent ay iguguhit, na patayo sa tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos (4; 3) at (3; -1) ng graph na ito. Hanapin f′( x 0).

Desisyon. 1) Ginagamit namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawa binigay na puntos at hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos (4; 3) at (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-isa)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, kung saan k 1 = 4.

2) Hanapin ang slope ng tangent k 2 na patayo sa linya y = 4x– 13, kung saan k 1 = 4, ayon sa formula:

3) Slope tangent - ang derivative ng function sa punto ng contact. Ibig sabihin, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Sagot: –0,25.

Gawain bilang 8- Sinusuri ang kaalaman ng elementarya stereometry sa mga kalahok ng pagsusulit, ang kakayahang mag-apply ng mga formula para sa paghahanap ng mga surface area at volume ng figure, dihedral angles, ihambing ang mga volume ng magkatulad na figure, magagawang magsagawa ng mga aksyon na may geometric figure, coordinates at vectors , atbp.

Ang volume ng isang cube na nakapaligid sa isang sphere ay 216. Hanapin ang radius ng sphere.

Desisyon. 1) V kubo = a 3 (saan a ay ang haba ng gilid ng kubo), kaya

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Dahil ang globo ay nakasulat sa isang kubo, nangangahulugan ito na ang haba ng diameter ng globo ay katumbas ng haba ng gilid ng kubo, samakatuwid d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Gawain bilang 9- nangangailangan ng nagtapos na baguhin at pasimplehin ang mga algebraic na expression. Gawain Blg. 9 ng tumaas na antas ng pagiging kumplikado na may maikling sagot. Ang mga gawain mula sa seksyong "Mga Pagkalkula at pagbabago" sa USE ay nahahati sa ilang uri:

pagbabago ng mga numerical rational expression;

pagbabago ng algebraic expression at fractions;

mga pagbabagong-anyo ng mga numerical/letter na hindi makatwiran na mga expression;

mga aksyon na may mga degree;

pagbabago logarithmic expression;

1. conversion ng numeric/letter trigonometriko expression.

Halimbawa 9 Kalkulahin ang tgα kung alam na cos2α = 0.6 at

Desisyon. 1) Gamitin natin ang double argument formula: cos2α = 2 cos 2 α - 1 at hanapin

Kaya naman, tan 2 α = ± 0.5.

3) Ayon sa kondisyon

kaya ang α ay ang anggulo ng ikalawang quarter at tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Sagot: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Gawain bilang 10- sinusuri ang kakayahan ng mga mag-aaral na gamitin ang nakuha maagang kaalaman at mga kasanayan sa mga praktikal na gawain at pang-araw-araw na buhay. Maaari nating sabihin na ang mga ito ay mga problema sa pisika, at hindi sa matematika, ngunit ang lahat ng kinakailangang mga formula at dami ay ibinibigay sa kondisyon. Ang mga problema ay nabawasan sa paglutas ng isang linear o quadratic equation, alinman sa linear o parisukat na hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang malutas ang mga naturang equation at hindi pagkakapantay-pantay, at matukoy ang sagot. Ang sagot ay dapat na nasa anyo ng isang buong numero o isang panghuling decimal fraction.

Dalawang katawan ng masa m= 2 kg bawat isa, gumagalaw sa parehong bilis v= 10 m/s sa isang anggulo na 2α sa bawat isa. Ang enerhiya (sa joules) na inilabas sa panahon ng kanilang ganap na hindi nababanat na banggaan ay tinutukoy ng expression Q = mv 2 kasalanan 2 α. Sa anong pinakamaliit na anggulo 2α (sa digri) dapat gumalaw ang mga katawan upang hindi bababa sa 50 joules ang mailabas bilang resulta ng banggaan?
Desisyon. Upang malutas ang problema, kailangan nating lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na Q ≥ 50, sa pagitan ng 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Dahil α ∈ (0°; 90°), malulutas lamang natin

Kinakatawan namin ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay nang graphical:

Dahil sa pag-aakalang α ∈ (0°; 90°), nangangahulugan ito na 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Gawain bilang 11- ay tipikal, ngunit ito ay lumalabas na mahirap para sa mga mag-aaral. Ang pangunahing pinagmumulan ng mga paghihirap ay ang pagbuo ng isang modelo ng matematika (pagguhit ng isang equation). Ang gawain bilang 11 ay sumusubok sa kakayahang malutas ang mga problema sa salita.

Halimbawa 11. Sa panahon ng spring break, ang 11-grader na si Vasya ay kailangang lutasin ang 560 mga problema sa pagsasanay upang maghanda para sa pagsusulit. Noong Marso 18, sa huling araw ng paaralan, nalutas ni Vasya ang 5 mga problema. Pagkatapos araw-araw ay nalutas niya ang parehong bilang ng mga problema nang higit pa kaysa sa nakaraang araw. Tukuyin kung gaano karaming mga problema ang nalutas ni Vasya noong Abril 2 sa huling araw ng bakasyon.

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Sagot: 65.

Gawain bilang 12- suriin ang kakayahan ng mga mag-aaral na magsagawa ng mga aksyon na may mga function, mailapat ang derivative sa pag-aaral ng function.

Hanapin ang pinakamataas na punto ng isang function y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Desisyon: 1) Hanapin ang domain ng function: x + 9 > 0, x> –9, ibig sabihin, x ∈ (–9; ∞).

2) Hanapin ang derivative ng function:

4) Ang nahanap na punto ay kabilang sa pagitan (–9; ∞). Tinukoy namin ang mga palatandaan ng derivative ng function at inilalarawan ang pag-uugali ng function sa figure:

Ang nais na pinakamataas na punto x = –8.

a) Lutasin ang equation na 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa segment.

Desisyon: a) Hayaan ang log 3 (2cos x) = t, pagkatapos 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Hanapin ang mga ugat na nakahiga sa segment .

Makikita mula sa pigura na ang ibinigay na segment ay may mga ugat

Ang circumference diameter ng base ng cylinder ay 20, ang generatrix ng cylinder ay 28. Ang eroplano ay nag-intersect sa mga base nito kasama ang mga chord na may haba na 12 at 16. Ang distansya sa pagitan ng mga chords ay 2√197.

a) Patunayan na ang mga sentro ng mga base ng silindro ay nasa magkabilang panig ng eroplanong ito.

b) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng eroplanong ito at ng eroplano ng base ng silindro.

Desisyon: a) Ang isang chord na may haba na 12 ay nasa layo na = 8 mula sa gitna ng base na bilog, at ang isang chord na may haba na 16, katulad nito, ay nasa layo na 6. Samakatuwid, ang distansya sa pagitan ng kanilang mga projection sa isang eroplano, parallel sa mga base ang mga cylinder ay alinman sa 8 + 6 = 14 o 8 − 6 = 2.

Kung gayon ang distansya sa pagitan ng mga chord ay alinman

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ayon sa kondisyon, ang pangalawang kaso ay natanto, kung saan ang mga projection ng chords ay namamalagi sa isang gilid ng axis ng silindro. Nangangahulugan ito na ang axis ay hindi bumalandra sa eroplanong ito sa loob ng silindro, iyon ay, ang mga base ay nasa isang gilid nito. Ano ang kailangang patunayan.

b) Tukuyin natin ang mga sentro ng mga base bilang O 1 at O ​​2. Gumuhit tayo mula sa gitna ng base na may chord na may haba na 12 ang perpendicular bisector sa chord na ito (ito ay may haba na 8, gaya ng nabanggit na) at mula sa gitna ng kabilang base patungo sa isa pang chord. Nakahiga sila sa parehong eroplanong β patayo sa mga chord na ito. Tawagan natin ang midpoint ng mas maliit na chord B, mas malaki kaysa sa A, at ang projection ng A sa pangalawang base H (H ∈ β). Pagkatapos AB,AH ∈ β at, samakatuwid, AB,AH ay patayo sa chord, iyon ay, ang linya ng intersection ng base sa ibinigay na eroplano.

Kaya ang kinakailangang anggulo ay

Gawain bilang 15- isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado na may isang detalyadong sagot, sinusuri ang kakayahang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, ang pinakamatagumpay na nalutas sa mga gawain na may isang detalyadong sagot ng isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado.

Halimbawa 15 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay | x 2 – 3x| log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Desisyon: Ang domain ng kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang pagitan (–1; +∞). Isaalang-alang ang tatlong kaso nang hiwalay:

1) Hayaan x 2 – 3x= 0, ibig sabihin. X= 0 o X= 3. Sa kasong ito, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagiging totoo, samakatuwid, ang mga halagang ito ay kasama sa solusyon.

2) Hayaan ngayon x 2 – 3x> 0, ibig sabihin. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Sa kasong ito, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat sa anyo ( x 2 – 3x) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 at hatiin sa pamamagitan ng isang positibong expression x 2 – 3x. Nakukuha namin ang log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0.5 -1 o x≤ -0.5. Isinasaalang-alang ang domain ng kahulugan, mayroon tayo x ∈ (–1; –0,5].

3) Panghuli, isaalang-alang x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Sa kasong ito, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat sa anyo (3 x – x 2) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Pagkatapos hatiin sa pamamagitan ng positibong ekspresyon 3 x – x 2 , nakakakuha tayo ng log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Kung isasaalang-alang ang lugar, mayroon tayo x ∈ (0; 1].

Ang pagsasama-sama ng mga nakuhang solusyon, nakuha namin x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Sagot: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Gawain bilang 16- Ang advanced na antas ay tumutukoy sa mga gawain ng ikalawang bahagi na may detalyadong sagot. Ang gawain ay sumusubok sa kakayahang magsagawa ng mga aksyon na may mga geometric na hugis, coordinate at vectors. Ang gawain ay naglalaman ng dalawang aytem. Sa unang talata, dapat patunayan ang gawain, at sa pangalawang talata, dapat itong kalkulahin.

Sa isang isosceles triangle na ABC na may anggulo na 120° sa vertex A, iginuhit ang isang bisector BD. AT tatsulok ABC rectangle DEFH ay nakasulat upang ang gilid ng FH ay nasa segment BC at ang vertex E ay nasa segment AB. a) Patunayan na ang FH = 2DH. b) Hanapin ang lugar ng rectangle DEFH kung AB = 4.

Desisyon: a)

1) ΔBEF - hugis-parihaba, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°): 2 = 30°, pagkatapos ay EF = BE dahil sa katangian ng binti sa tapat ng anggulo na 30°.

2) Hayaan ang EF = DH = x, pagkatapos BE = 2 x, BF = x√3 ng Pythagorean theorem.

3) Dahil ang ΔABC ay isosceles, kung gayon ∠B = ∠C = 30˚.

Ang BD ay ang bisector ng ∠B, kaya ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Isaalang-alang ang ΔDBH - hugis-parihaba, dahil DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Sagot: 24 – 12√3.

Halimbawa 17. Ang deposito sa halagang 20 milyong rubles ay binalak na buksan sa loob ng apat na taon. Sa katapusan ng bawat taon, tinataasan ng bangko ang deposito ng 10% kumpara sa laki nito sa simula ng taon. Bilang karagdagan, sa simula ng ikatlo at ikaapat na taon, taunang pinupunan ng depositor ang deposito sa pamamagitan ng X milyong rubles, kung saan X - buo numero. Hanapin pinakamataas na halaga X, kung saan ang bangko ay magdaragdag ng mas mababa sa 17 milyong rubles sa deposito sa loob ng apat na taon.

Desisyon: Sa pagtatapos ng unang taon, ang kontribusyon ay magiging 20 + 20 · 0.1 = 22 milyong rubles, at sa pagtatapos ng pangalawa - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 milyong rubles. Sa simula ng ikatlong taon, ang kontribusyon (sa milyong rubles) ay magiging (24.2 + X), at sa dulo - (24.2 + X) + (24,2 + X) 0.1 = (26.62 + 1.1 X). Sa simula ng ikaapat na taon, ang kontribusyon ay magiging (26.62 + 2.1 X), at sa dulo - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0.1 = (29.282 + 2.31 X). Sa pamamagitan ng kundisyon, kailangan mong hanapin ang pinakamalaking integer x kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Ang pinakamalaking integer na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang numero 24.

Sagot: 24.

sa ano a sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

may eksaktong dalawang solusyon?

Desisyon: Ang sistemang ito ay maaaring muling isulat bilang

Kung iguguhit natin sa eroplano ang hanay ng mga solusyon sa unang hindi pagkakapantay-pantay, makukuha natin ang loob ng isang bilog (na may hangganan) ng radius 1 na nakasentro sa punto (0, a). Ang hanay ng mga solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay ang bahagi ng eroplano na nasa ilalim ng graph ng function. y = | x| – a, at ang huli ay ang graph ng function
y = | x| , inilipat pababa ng a. Ang solusyon ng sistemang ito ay ang intersection ng mga hanay ng solusyon ng bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Dahil dito, ang sistemang ito ay magkakaroon lamang ng dalawang solusyon sa kaso na ipinapakita sa Fig. isa.

Ang mga punto ng contact sa pagitan ng bilog at ng mga linya ay ang dalawang solusyon ng system. Ang bawat isa sa mga tuwid na linya ay nakahilig sa mga palakol sa isang anggulo na 45°. Kaya ang tatsulok PQR- hugis-parihaba isosceles. Dot Q may mga coordinate (0, a), at ang punto R– mga coordinate (0, – a). Bilang karagdagan, mga pagbawas PR at PQ ay katumbas ng radius ng bilog na katumbas ng 1. Samakatuwid,

Hayaan sn sum P miyembro ng isang arithmetic progression ( isang p). Ito ay kilala na S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Ibigay ang pormula P ika-isang miyembro ng pag-unlad na ito.

b) Hanapin ang pinakamaliit na modulo sum S n.

c) Hanapin ang pinakamaliit P, Kung saan S n ay magiging parisukat ng isang integer.

Desisyon: a) Malinaw, isang n = S n – S n- isa. Gamit ang formula na ito, nakukuha natin ang:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

ibig sabihin, isang n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) dahil S n = 2n 2 – 25n, pagkatapos ay isaalang-alang ang function S(x) = | 2x 2 – 25x|. Ang kanyang graph ay makikita sa figure.

Malinaw na ang pinakamaliit na halaga ay naabot sa mga integer point na matatagpuan na pinakamalapit sa mga zero ng function. Malinaw na ito ay mga punto. X= 1, X= 12 at X= 13. Dahil, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, kung gayon ang pinakamaliit na halaga ay 12.

c) Ito ay sumusunod mula sa nakaraang talata na sn positibo mula noon n= 13. Dahil S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), pagkatapos ay ang malinaw na kaso kapag ang expression na ito ay isang perpektong parisukat ay natanto kapag n = 2n- 25, iyon ay, kasama P= 25.

Ito ay nananatiling suriin ang mga halaga mula 13 hanggang 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Lumalabas na para sa mas maliliit na halaga P buong parisukat ay hindi nakakamit.

Sagot: a) isang n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Mula noong Mayo 2017, ang DROFA-VENTANA joint publishing group ay naging bahagi ng Russian Textbook Corporation. Kasama rin sa korporasyon ang Astrel publishing house at ang LECTA digital educational platform. CEO hinirang si Alexander Brychkin, nagtapos ng Financial Academy sa ilalim ng Pamahalaan ng Russian Federation, kandidato ng agham pang-ekonomiya, pinuno mga makabagong proyekto DROFA publishing house sa larangan ng digital na edukasyon (mga elektronikong anyo ng mga aklat-aralin, Russian Electronic School, digital educational platform LECTA). Bago sumali sa DROFA publishing house, hinawakan niya ang posisyon ng Vice President for Strategic Development and Investments ng EKSMO-AST publishing holding. Ngayon, ang Russian Textbook Publishing Corporation ay may pinakamalaking portfolio ng mga textbook na kasama sa Federal List - 485 na mga pamagat (humigit-kumulang 40%, hindi kasama ang mga aklat-aralin para sa remedial na paaralan). Ang mga bahay sa pag-publish ng korporasyon ay nagmamay-ari ng mga hanay ng mga aklat-aralin sa pisika, pagguhit, biology, kimika, teknolohiya, heograpiya, astronomiya, pinaka-in demand ng mga paaralang Ruso - mga lugar ng kaalaman na kinakailangan upang mapaunlad ang potensyal ng produksyon ng bansa. Kasama sa portfolio ng korporasyon ang mga aklat-aralin at mga gabay sa pag-aaral para sa elementarya iginawad ang Presidential Prize sa Edukasyon. Ang mga ito ay mga aklat-aralin at manwal sa mga paksa na kinakailangan para sa pagbuo ng pang-agham, teknikal at pang-industriya na potensyal ng Russia.

Maraming mga aplikante ang nag-aalala tungkol sa kung paano independiyenteng makuha ang kaalaman na kinakailangan para sa matagumpay na paghahatid mga pagsusulit bago ang pagpasok. Sa 2017, madalas silang bumaling sa Internet upang makahanap ng solusyon. Mayroong maraming mga solusyon, ang mga tunay na kapaki-pakinabang ay nagkakahalaga ng paghahanap para sa isang mahabang panahon. Sa kabutihang palad, may mga kilalang at subok na sistema. Isa sa kanila ay si Reshu GAMITIN si Dmitry Gushchin.

Ang sistema ng pagsasanay ni Dmitry Gushchin na tinatawag na "I will solve the exam" means komprehensibong pagsasanay para sa paparating na pagsusulit. Nilikha at sinubukan ni Dmitry Gushchin na magbigay ng kinakailangang kaalaman nang libre upang matagumpay na makapasa sa mga pagsusulit ang hinaharap na henerasyon. Ang sistema ay dinisenyo para sa malayang pag-aaral mga bagay. Niresolba ko ang Unified State Examination batay sa pare-parehong presentasyon ng impormasyon, na pare-pareho, paksa sa paksa, ay umaangkop sa utak ng estudyante.

USE-2017 sa matematika, pangunahing antas

Si Dmitry Gushchin ay nangangako na tumulong sa mga pagsusulit gaya ng OGE at ang Pinag-isang Pagsusuri ng Estado, gamit ang isang napakakaraniwang pamamaraan. Ito ay nakasalalay sa katotohanan na ang lahat ng mga bagong kaalaman ay ipinakita at na-systematize ayon sa paksa. Ang mag-aaral ay madaling pumili kung ano ang kailangan niyang ulitin para sa panghuling pagsasama-sama ng materyal.

Available ang mga gawain sa basic at profile level. Ang matematika ay isang pangunahing halimbawa ng gayong mga gawain. Ang pangunahing (basic) na antas ay sumasaklaw sa buong paaralan ng kaalaman. Nangangailangan ito ng kaalaman na natatanggap ng bawat estudyante sa loob ng 11 taon. Ang antas ng profile ay idinisenyo para sa mga nagtapos ng mga dalubhasang paaralan na may diin sa isang partikular na paksa.

Ang isang kawili-wiling tampok ng system ay ang pagkakatulad nito sa totoong pagsusulit. Sa kaganapan ng isang pangwakas gawaing kontrol nagsilbi sa GAMITIN ang format. Malalaman din ng mag-aaral ang kanyang huling marka pagkatapos maipasa ang pagsusulit. Nakakatulong ito na mag-udyok sa isang tao na makamit ang mga bagong layunin at matuto ng bagong materyal. Ang pagkaunawa sa iyong mga tunay na pagkakataon sa pagsusulit ay nakakatulong sa iyong tipunin ang iyong mga iniisip at maunawaan kung ano ang eksaktong kailangan mong matutunan.

Ang pinakasikat na mga paksa sa "I will solve the exam" ay ibinibigay kasama ng iba. Kasama sa wikang Ruso ni Dmitry Gushchin ang mga patakaran ng grammar, bantas at syntax, pati na rin ang bokabularyo. Ang Chemistry ay naglalaman ng mga halimbawa ng paglutas ng mga partikular na problema, mga espesyal na formula. Kasama rin sa seksyon ng kimika ang iba't ibang mga compound at konsepto tungkol sa mga kemikal. Sinasaklaw ng seksyon ng biology ang mahahalagang aktibidad ng lahat ng kaharian ng mga buhay na organismo. Naglalaman ito ng mahalagang teorya na sa huli ay makakatulong sa iyong magtagumpay sa pagsusulit.

Ang susunod na tampok ay ang iyong pag-unlad ay naitala at maaari mong subaybayan ang iyong pag-unlad. Ang diskarte na ito ay tutulong sa iyo na ma-motivate ang iyong sarili kahit na wala ka nang ganang mag-aral. Ang iyong sariling resulta ay palaging gumagawa sa iyo ng higit pa.

Ang sistema ay mayroon ding pamantayan para sa pagsusuri ng mga gawa. Gagawin nilang planado at maalalahanin ang paghahanda para sa pagsusulit. Ang isang mag-aaral sa hinaharap ay palaging magagawang basahin ang mga ito at maunawaan kung ano ang bibigyan ng pansin ng tagasuri. Ito ay mahalaga upang bigyang-pansin ang indibidwal mahahalagang aspeto trabaho. Sa pangkalahatan, lubos na nalalaman ng mag-aaral ang kahalagahan ng kanyang pinili at naaalala ang pamantayan sa pagtatasa.

Pangalawang pangkalahatang edukasyon

Linya ng UMK G.K. Muravina. Algebra at ang simula ng mathematical analysis (10-11) (deep)

Linya ng UMK Merzlyak. Algebra at ang Simula ng Pagsusuri (10-11) (U)

Mathematics

Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika (antas ng profile): mga gawain, solusyon at paliwanag

Ang papel sa pagsusulit sa antas ng profile ay tumatagal ng 3 oras 55 minuto (235 minuto).

Minimum na Threshold- 27 puntos.

Ang papel ng pagsusulit ay binubuo ng dalawang bahagi, na naiiba sa nilalaman, pagiging kumplikado at bilang ng mga gawain.

Ang tampok na pagtukoy ng bawat bahagi ng gawain ay ang anyo ng mga gawain:

• bahagi 1 ay naglalaman ng 8 mga gawain (mga gawain 1-8) na may maikling sagot sa anyo ng isang integer o isang panghuling decimal fraction;
• bahagi 2 ay naglalaman ng 4 na gawain (mga gawain 9-12) na may maikling sagot sa anyo ng isang integer o isang panghuling bahagi ng decimal at 7 mga gawain (mga gawain 13-19) na may isang detalyadong sagot (buong talaan ng desisyon na may katwiran para sa mga aksyon na ginawa).

Panova Svetlana Anatolievna, guro ng matematika ng pinakamataas na kategorya ng paaralan, karanasan sa trabaho ng 20 taon:

“Upang makakuha ng sertipiko ng paaralan, ang isang nagtapos ay kailangang pumasa sa dalawang mandatoryong pagsusulit sa anyo ng Unified State Examination, isa na rito ang matematika. Alinsunod sa Konsepto para sa Pag-unlad ng Edukasyong Matematika sa Russian Federation, ang Pinag-isang Estado ng Pagsusuri sa matematika ay nahahati sa dalawang antas: basic at dalubhasa. Ngayon ay isasaalang-alang namin ang mga opsyon para sa antas ng profile.

Gawain bilang 1- sinusuri ang kakayahan ng mga kalahok sa USE na ilapat ang mga kasanayang nakuha sa kurso ng 5-9 na grado sa elementarya na matematika sa mga praktikal na aktibidad. Ang kalahok ay dapat magkaroon ng computational skills, marunong gumamit ng mga rational na numero, makapag-round ng decimal fraction, makapag-convert ng isang unit ng measurement sa isa pa.

Halimbawa 1 Sa apartment kung saan nakatira si Petr, isang malamig na metro ng tubig ang na-install. Noong una ng Mayo, ang metro ay nagpakita ng pagkonsumo ng 172 cubic meters. m ng tubig, at sa una ng Hunyo - 177 metro kubiko. m. Anong halaga ang dapat bayaran ni Peter para sa malamig na tubig para sa Mayo, kung ang presyo ng 1 cu. m ng malamig na tubig ay 34 rubles 17 kopecks? Ibigay ang iyong sagot sa rubles.

Desisyon:

1) Hanapin ang dami ng tubig na ginagastos bawat buwan:

177 - 172 = 5 (cu m)

2) Alamin kung magkano ang babayaran para sa nagastos na tubig:

34.17 5 = 170.85 (kuskusin)

Sagot: 170,85.

Gawain bilang 2- ay isa sa mga pinakasimpleng gawain ng pagsusulit. Ang karamihan ng mga nagtapos ay matagumpay na nakayanan ito, na nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng kahulugan ng konsepto ng pag-andar. Ang uri ng gawain No. 2 ayon sa mga kinakailangan na codifier ay isang gawain para sa paggamit ng nakuhang kaalaman at kasanayan sa mga praktikal na aktibidad at pang-araw-araw na buhay. Ang Gawain Blg. 2 ay binubuo ng paglalarawan, paggamit ng mga function, iba't ibang tunay na ugnayan sa pagitan ng mga dami at pagbibigay-kahulugan sa kanilang mga graph. Ang gawain bilang 2 ay sumusubok sa kakayahang kunin ang impormasyong ipinakita sa mga talahanayan, diagram, mga graph. Ang mga nagtapos ay kailangang matukoy ang halaga ng isang function sa pamamagitan ng halaga ng argument na may iba't ibang paraan ng pagtukoy ng function at ilarawan ang pag-uugali at katangian ng function ayon sa graph nito. Kinakailangan din na mahanap ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga mula sa function graph at bumuo ng mga graph ng mga pinag-aralan na function. Ang mga pagkakamaling nagawa ay random na kalikasan sa pagbabasa ng mga kondisyon ng problema, pagbabasa ng diagram.

#ADVERTISING_INSERT#

Halimbawa 2 Ipinapakita ng figure ang pagbabago sa halaga ng palitan ng isang bahagi ng isang kumpanya ng pagmimina sa unang kalahati ng Abril 2017. Noong Abril 7, bumili ang negosyante ng 1,000 shares ng kumpanyang ito. Noong Abril 10, ibinenta niya ang tatlong-kapat ng binili na bahagi, at noong Abril 13 ay ibinenta niya ang lahat ng natitira. Magkano ang nawala sa negosyante bilang resulta ng mga operasyong ito?

Desisyon:

2) 1000 3/4 = 750 (shares) - bumubuo sa 3/4 ng lahat ng biniling share.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubles) - natanggap ng negosyante pagkatapos ng pagbebenta ng 1000 na pagbabahagi.

7) 340,000 - 325,000 = 15,000 (rubles) - nawala ang negosyante bilang resulta ng lahat ng operasyon.

Sagot: 15000.

Gawain bilang 3- ay isang gawain ng pangunahing antas ng unang bahagi, sinusuri nito ang kakayahang magsagawa ng mga aksyon na may mga geometric na hugis ayon sa nilalaman ng kursong "Planimetry". Sinusuri ng Gawain 3 ang kakayahang kalkulahin ang lugar ng isang figure sa checkered na papel, ang kakayahang kalkulahin ang mga sukat ng antas ng mga anggulo, kalkulahin ang mga perimeter, atbp.

Halimbawa 3 Hanapin ang lugar ng isang rektanggulo na iginuhit sa checkered na papel na may sukat ng cell na 1 cm sa 1 cm (tingnan ang figure). Ibigay ang iyong sagot sa square centimeters.

Desisyon: Upang makalkula ang lugar ng figure na ito, maaari mong gamitin ang formula ng Peak:

Upang makalkula ang lugar ng parihaba na ito, ginagamit namin ang formula ng Peak:

Halimbawa 4 Mayroong 5 pula at 1 asul na tuldok sa bilog. Tukuyin kung aling mga polygon ang mas malaki: yaong may lahat ng pulang vertice, o yaong may isa sa mga asul na vertices. Sa iyong sagot, ipahiwatig kung gaano karami ang isa kaysa sa isa.

Desisyon: 1) Ginagamit namin ang formula para sa bilang ng mga kumbinasyon mula sa n mga elemento sa pamamagitan ng k:

ang lahat ng mga vertex ay pula.

3) Isang pentagon na may lahat ng pulang vertex.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygons na may lahat ng pulang vertices.

na ang mga vertex ay pula o may isang asul na taluktok.

na ang mga vertex ay pula o may isang asul na taluktok.

8) Isang hexagon na ang mga vertex ay pula na may isang asul na vertex.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygon na mayroong lahat ng pulang vertex o isang asul na vertex.

10) 42 - 16 = 26 polygon na gumagamit ng asul na tuldok.

11) 26 - 16 = 10 polygons - kung gaano karaming mga polygon, kung saan ang isa sa mga vertices ay isang asul na tuldok, ay higit pa sa polygons, kung saan ang lahat ng vertices ay pula lamang.

Sagot: 10.

Gawain bilang 5- ang pangunahing antas ng unang bahagi ay sumusubok sa kakayahang malutas ang pinakasimpleng mga equation (hindi makatwiran, exponential, trigonometric, logarithmic).

Halimbawa 5 Lutasin ang Equation 2 3 + x= 0.4 5 3 + x .

Desisyon. Hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 5 3 + X≠ 0, nakukuha namin

kung saan sumusunod na 3 + x = 1, x = –2.

Sagot: –2.

Gawain bilang 6 sa planimetry para sa paghahanap ng mga geometric na dami (mga haba, anggulo, mga lugar), pagmomodelo ng mga totoong sitwasyon sa wika ng geometry. Ang pag-aaral ng mga itinayong modelo gamit ang mga geometric na konsepto at teorema. Ang pinagmumulan ng mga paghihirap ay, bilang panuntunan, kamangmangan o hindi tamang aplikasyon ng mga kinakailangang theorems ng planimetry.

Lugar ng isang tatsulok ABC katumbas ng 129. DE- median line parallel sa gilid AB. Hanapin ang lugar ng trapezoid ISANG KAMA.

Desisyon. Tatsulok CDE katulad ng isang tatsulok CAB sa dalawang sulok, dahil ang sulok sa vertex C pangkalahatan, anggulo CDE katumbas ng anggulo CAB bilang ang mga kaukulang anggulo sa DE || AB secant AC. Bilang DE ay ang gitnang linya ng tatsulok sa pamamagitan ng kundisyon, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pag-aari ng gitnang linya | DE = (1/2)AB. Kaya ang koepisyent ng pagkakatulad ay 0.5. Ang mga lugar ng magkatulad na mga numero ay nauugnay bilang parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad, kaya

Kaya naman, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Gawain bilang 7- sinusuri ang aplikasyon ng derivative sa pag-aaral ng function. Para sa matagumpay na pagpapatupad, ang isang makabuluhan, hindi pormal na pagmamay-ari ng konsepto ng isang hinalaw ay kinakailangan.

Halimbawa 7 Sa graph ng function y = f(x) sa puntong may abscissa x 0 ang isang tangent ay iguguhit, na patayo sa tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos (4; 3) at (3; -1) ng graph na ito. Hanapin f′( x 0).

Desisyon. 1) Gamitin natin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto at hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos (4; 3) at (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-isa)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, kung saan k 1 = 4.

2) Hanapin ang slope ng tangent k 2 na patayo sa linya y = 4x– 13, kung saan k 1 = 4, ayon sa formula:

3) Ang slope ng tangent ay ang derivative ng function sa punto ng contact. Ibig sabihin, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Sagot: –0,25.

Gawain bilang 8- Sinusuri ang kaalaman ng elementarya stereometry sa mga kalahok ng pagsusulit, ang kakayahang mag-apply ng mga formula para sa paghahanap ng mga surface area at volume ng figure, dihedral angles, ihambing ang mga volume ng magkatulad na figure, magagawang magsagawa ng mga aksyon na may geometric figure, coordinates at vectors , atbp.

Ang volume ng isang cube na nakapaligid sa isang sphere ay 216. Hanapin ang radius ng sphere.

Desisyon. 1) V kubo = a 3 (saan a ay ang haba ng gilid ng kubo), kaya

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Dahil ang globo ay nakasulat sa isang kubo, nangangahulugan ito na ang haba ng diameter ng globo ay katumbas ng haba ng gilid ng kubo, samakatuwid d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Gawain bilang 9- nangangailangan ng nagtapos na baguhin at pasimplehin ang mga algebraic na expression. Gawain Blg. 9 ng tumaas na antas ng pagiging kumplikado na may maikling sagot. Ang mga gawain mula sa seksyong "Mga Pagkalkula at pagbabago" sa USE ay nahahati sa ilang uri:

pagbabago ng mga numerical rational expression;

pagbabago ng algebraic expression at fractions;

mga pagbabagong-anyo ng mga numerical/letter na hindi makatwiran na mga expression;

mga aksyon na may mga degree;

pagbabago ng logarithmic expression;

1. conversion ng numeric/letter trigonometriko expression.

Halimbawa 9 Kalkulahin ang tgα kung alam na cos2α = 0.6 at

Desisyon. 1) Gamitin natin ang double argument formula: cos2α = 2 cos 2 α - 1 at hanapin

Kaya naman, tan 2 α = ± 0.5.

3) Ayon sa kondisyon

kaya ang α ay ang anggulo ng ikalawang quarter at tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Sagot: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Gawain bilang 10- sinusuri ang kakayahan ng mga mag-aaral na gamitin ang nakuhang maagang kaalaman at kasanayan sa mga praktikal na gawain at pang-araw-araw na buhay. Maaari nating sabihin na ang mga ito ay mga problema sa pisika, at hindi sa matematika, ngunit ang lahat ng kinakailangang mga formula at dami ay ibinibigay sa kondisyon. Ang mga gawain ay binabawasan sa paglutas ng isang linear o quadratic equation, o isang linear o quadratic inequality. Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang malutas ang mga naturang equation at hindi pagkakapantay-pantay, at matukoy ang sagot. Ang sagot ay dapat na nasa anyo ng isang buong numero o isang panghuling decimal fraction.

Dalawang katawan ng masa m= 2 kg bawat isa, gumagalaw sa parehong bilis v= 10 m/s sa isang anggulo na 2α sa bawat isa. Ang enerhiya (sa joules) na inilabas sa panahon ng kanilang ganap na hindi nababanat na banggaan ay tinutukoy ng expression Q = mv 2 kasalanan 2 α. Sa anong pinakamaliit na anggulo 2α (sa digri) dapat gumalaw ang mga katawan upang hindi bababa sa 50 joules ang mailabas bilang resulta ng banggaan?
Desisyon. Upang malutas ang problema, kailangan nating lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na Q ≥ 50, sa pagitan ng 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Dahil α ∈ (0°; 90°), malulutas lamang natin

Kinakatawan namin ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay nang graphical:

Dahil sa pag-aakalang α ∈ (0°; 90°), nangangahulugan ito na 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Gawain bilang 11- ay tipikal, ngunit ito ay lumalabas na mahirap para sa mga mag-aaral. Ang pangunahing pinagmumulan ng mga paghihirap ay ang pagbuo ng isang modelo ng matematika (pagguhit ng isang equation). Ang gawain bilang 11 ay sumusubok sa kakayahang malutas ang mga problema sa salita.

Halimbawa 11. Sa panahon ng spring break, ang 11-grader na si Vasya ay kailangang lutasin ang 560 mga problema sa pagsasanay upang maghanda para sa pagsusulit. Noong Marso 18, sa huling araw ng paaralan, nalutas ni Vasya ang 5 mga problema. Pagkatapos araw-araw ay nalutas niya ang parehong bilang ng mga problema nang higit pa kaysa sa nakaraang araw. Tukuyin kung gaano karaming mga problema ang nalutas ni Vasya noong Abril 2 sa huling araw ng bakasyon.

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Sagot: 65.

Gawain bilang 12- suriin ang kakayahan ng mga mag-aaral na magsagawa ng mga aksyon na may mga function, mailapat ang derivative sa pag-aaral ng function.

Hanapin ang pinakamataas na punto ng isang function y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Desisyon: 1) Hanapin ang domain ng function: x + 9 > 0, x> –9, ibig sabihin, x ∈ (–9; ∞).

2) Hanapin ang derivative ng function:

4) Ang nahanap na punto ay kabilang sa pagitan (–9; ∞). Tinukoy namin ang mga palatandaan ng derivative ng function at inilalarawan ang pag-uugali ng function sa figure:

Ang nais na pinakamataas na punto x = –8.

a) Lutasin ang equation na 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa segment.

Desisyon: a) Hayaan ang log 3 (2cos x) = t, pagkatapos 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Hanapin ang mga ugat na nakahiga sa segment .

Makikita mula sa pigura na ang ibinigay na segment ay may mga ugat

Ang circumference diameter ng base ng cylinder ay 20, ang generatrix ng cylinder ay 28. Ang eroplano ay nag-intersect sa mga base nito kasama ang mga chord na may haba na 12 at 16. Ang distansya sa pagitan ng mga chords ay 2√197.

a) Patunayan na ang mga sentro ng mga base ng silindro ay nasa magkabilang panig ng eroplanong ito.

b) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng eroplanong ito at ng eroplano ng base ng silindro.

Desisyon: a) Ang isang chord na may haba na 12 ay nasa layo = 8 mula sa gitna ng base na bilog, at ang isang chord na may haba na 16, katulad nito, ay nasa layo na 6. Samakatuwid, ang distansya sa pagitan ng kanilang mga projection sa isang eroplano na kahanay sa Ang mga base ng mga silindro ay alinman sa 8 + 6 = 14, o 8 − 6 = 2.

Kung gayon ang distansya sa pagitan ng mga chord ay alinman

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ayon sa kondisyon, ang pangalawang kaso ay natanto, kung saan ang mga projection ng chords ay namamalagi sa isang gilid ng axis ng silindro. Nangangahulugan ito na ang axis ay hindi bumalandra sa eroplanong ito sa loob ng silindro, iyon ay, ang mga base ay nasa isang gilid nito. Ano ang kailangang patunayan.

b) Tukuyin natin ang mga sentro ng mga base bilang O 1 at O ​​2. Gumuhit tayo mula sa gitna ng base na may chord na may haba na 12 ang perpendicular bisector sa chord na ito (ito ay may haba na 8, gaya ng nabanggit na) at mula sa gitna ng kabilang base patungo sa isa pang chord. Nakahiga sila sa parehong eroplanong β patayo sa mga chord na ito. Tawagan natin ang midpoint ng mas maliit na chord B, mas malaki kaysa sa A, at ang projection ng A sa pangalawang base H (H ∈ β). Pagkatapos AB,AH ∈ β at, samakatuwid, AB,AH ay patayo sa chord, iyon ay, ang linya ng intersection ng base sa ibinigay na eroplano.

Kaya ang kinakailangang anggulo ay

Gawain bilang 15- isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado na may isang detalyadong sagot, sinusuri ang kakayahang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, ang pinakamatagumpay na nalutas sa mga gawain na may isang detalyadong sagot ng isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado.

Halimbawa 15 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay | x 2 – 3x| log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Desisyon: Ang domain ng kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang pagitan (–1; +∞). Isaalang-alang ang tatlong kaso nang hiwalay:

1) Hayaan x 2 – 3x= 0, ibig sabihin. X= 0 o X= 3. Sa kasong ito, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagiging totoo, samakatuwid, ang mga halagang ito ay kasama sa solusyon.

2) Hayaan ngayon x 2 – 3x> 0, ibig sabihin. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Sa kasong ito, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat sa anyo ( x 2 – 3x) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 at hatiin sa pamamagitan ng isang positibong expression x 2 – 3x. Nakukuha namin ang log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0.5 -1 o x≤ -0.5. Isinasaalang-alang ang domain ng kahulugan, mayroon tayo x ∈ (–1; –0,5].

3) Panghuli, isaalang-alang x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Sa kasong ito, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat sa anyo (3 x – x 2) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Pagkatapos hatiin sa pamamagitan ng positibong ekspresyon 3 x – x 2 , nakakakuha tayo ng log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Kung isasaalang-alang ang lugar, mayroon tayo x ∈ (0; 1].

Ang pagsasama-sama ng mga nakuhang solusyon, nakuha namin x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Sagot: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Gawain bilang 16- Ang advanced na antas ay tumutukoy sa mga gawain ng ikalawang bahagi na may detalyadong sagot. Ang gawain ay sumusubok sa kakayahang magsagawa ng mga aksyon na may mga geometric na hugis, coordinate at vectors. Ang gawain ay naglalaman ng dalawang aytem. Sa unang talata, dapat patunayan ang gawain, at sa pangalawang talata, dapat itong kalkulahin.

Sa isang isosceles triangle na ABC na may anggulo na 120° sa vertex A, iginuhit ang isang bisector BD. Ang rectangle DEFH ay nakasulat sa tatsulok na ABC upang ang gilid ng FH ay nasa segment BC at ang vertex E ay nasa segment AB. a) Patunayan na ang FH = 2DH. b) Hanapin ang lugar ng rectangle DEFH kung AB = 4.

Desisyon: a)

1) ΔBEF - hugis-parihaba, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°): 2 = 30°, pagkatapos ay EF = BE dahil sa katangian ng binti sa tapat ng anggulo na 30°.

2) Hayaan ang EF = DH = x, pagkatapos BE = 2 x, BF = x√3 ng Pythagorean theorem.

3) Dahil ang ΔABC ay isosceles, kung gayon ∠B = ∠C = 30˚.

Ang BD ay ang bisector ng ∠B, kaya ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Isaalang-alang ang ΔDBH - hugis-parihaba, dahil DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Sagot: 24 – 12√3.

Halimbawa 17. Ang deposito sa halagang 20 milyong rubles ay binalak na buksan sa loob ng apat na taon. Sa katapusan ng bawat taon, tinataasan ng bangko ang deposito ng 10% kumpara sa laki nito sa simula ng taon. Bilang karagdagan, sa simula ng ikatlo at ikaapat na taon, taunang pinupunan ng depositor ang deposito sa pamamagitan ng X milyong rubles, kung saan X - buo numero. Hanapin ang pinakamataas na halaga X, kung saan ang bangko ay magdaragdag ng mas mababa sa 17 milyong rubles sa deposito sa loob ng apat na taon.

Desisyon: Sa pagtatapos ng unang taon, ang kontribusyon ay magiging 20 + 20 · 0.1 = 22 milyong rubles, at sa pagtatapos ng pangalawa - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 milyong rubles. Sa simula ng ikatlong taon, ang kontribusyon (sa milyong rubles) ay magiging (24.2 + X), at sa dulo - (24.2 + X) + (24,2 + X) 0.1 = (26.62 + 1.1 X). Sa simula ng ikaapat na taon, ang kontribusyon ay magiging (26.62 + 2.1 X), at sa dulo - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0.1 = (29.282 + 2.31 X). Sa pamamagitan ng kundisyon, kailangan mong hanapin ang pinakamalaking integer x kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Ang pinakamalaking integer na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang numero 24.

Sagot: 24.

sa ano a sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

may eksaktong dalawang solusyon?

Desisyon: Ang sistemang ito ay maaaring muling isulat bilang

Kung iguguhit natin sa eroplano ang hanay ng mga solusyon sa unang hindi pagkakapantay-pantay, makukuha natin ang loob ng isang bilog (na may hangganan) ng radius 1 na nakasentro sa punto (0, a). Ang hanay ng mga solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay ang bahagi ng eroplano na nasa ilalim ng graph ng function. y = | x| – a, at ang huli ay ang graph ng function
y = | x| , inilipat pababa ng a. Ang solusyon ng sistemang ito ay ang intersection ng mga hanay ng solusyon ng bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Dahil dito, ang sistemang ito ay magkakaroon lamang ng dalawang solusyon sa kaso na ipinapakita sa Fig. isa.

Ang mga punto ng contact sa pagitan ng bilog at ng mga linya ay ang dalawang solusyon ng system. Ang bawat isa sa mga tuwid na linya ay nakahilig sa mga palakol sa isang anggulo na 45°. Kaya ang tatsulok PQR- hugis-parihaba isosceles. Dot Q may mga coordinate (0, a), at ang punto R– mga coordinate (0, – a). Bilang karagdagan, mga pagbawas PR at PQ ay katumbas ng radius ng bilog na katumbas ng 1. Samakatuwid,

Hayaan sn sum P miyembro ng isang arithmetic progression ( isang p). Ito ay kilala na S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Ibigay ang pormula P ika-isang miyembro ng pag-unlad na ito.

b) Hanapin ang pinakamaliit na modulo sum S n.

c) Hanapin ang pinakamaliit P, Kung saan S n ay magiging parisukat ng isang integer.

Desisyon: a) Malinaw, isang n = S n – S n- isa. Gamit ang formula na ito, nakukuha natin ang:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

ibig sabihin, isang n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) dahil S n = 2n 2 – 25n, pagkatapos ay isaalang-alang ang function S(x) = | 2x 2 – 25x|. Ang kanyang graph ay makikita sa figure.

Malinaw na ang pinakamaliit na halaga ay naabot sa mga integer point na matatagpuan na pinakamalapit sa mga zero ng function. Malinaw na ito ay mga punto. X= 1, X= 12 at X= 13. Dahil, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, kung gayon ang pinakamaliit na halaga ay 12.

c) Ito ay sumusunod mula sa nakaraang talata na sn positibo mula noon n= 13. Dahil S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), pagkatapos ay ang malinaw na kaso kapag ang expression na ito ay isang perpektong parisukat ay natanto kapag n = 2n- 25, iyon ay, kasama P= 25.

Ito ay nananatiling suriin ang mga halaga mula 13 hanggang 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Lumalabas na para sa mas maliliit na halaga P hindi nakakamit ang buong parisukat.

Sagot: a) isang n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Mula noong Mayo 2017, ang DROFA-VENTANA joint publishing group ay naging bahagi ng Russian Textbook Corporation. Kasama rin sa korporasyon ang Astrel publishing house at ang LECTA digital educational platform. Alexander Brychkin, isang nagtapos ng Financial Academy sa ilalim ng Pamahalaan ng Russian Federation, kandidato ng agham pang-ekonomiya, pinuno ng mga makabagong proyekto ng DROFA publishing house sa larangan ng digital na edukasyon (mga elektronikong anyo ng mga aklat-aralin, Russian Electronic School, LECTA digital educational platform) ay hinirang na Pangkalahatang Direktor. Bago sumali sa DROFA publishing house, hinawakan niya ang posisyon ng Vice President for Strategic Development and Investments ng EKSMO-AST publishing holding. Ngayon, ang Russian Textbook Publishing Corporation ay may pinakamalaking portfolio ng mga textbook na kasama sa Federal List - 485 na mga pamagat (humigit-kumulang 40%, hindi kasama ang mga aklat-aralin para sa mga correctional na paaralan). Ang mga bahay sa pag-publish ng korporasyon ay nagmamay-ari ng mga hanay ng mga aklat-aralin sa pisika, pagguhit, biology, kimika, teknolohiya, heograpiya, astronomiya, pinaka-in demand ng mga paaralang Ruso - mga lugar ng kaalaman na kinakailangan upang mapaunlad ang potensyal ng produksyon ng bansa. Kasama sa portfolio ng korporasyon ang mga aklat-aralin at mga pantulong sa pagtuturo para sa mga paaralang elementarya na ginawaran ng Premyo ng Pangulo sa Edukasyon. Ang mga ito ay mga aklat-aralin at manwal sa mga paksa na kinakailangan para sa pagbuo ng pang-agham, teknikal at pang-industriya na potensyal ng Russia.

Kasama sa video course na "Kumuha ng A" ang lahat ng paksang kailangan para sa isang matagumpay pagpasa sa pagsusulit sa matematika para sa 60-65 puntos. Ganap na lahat ng gawain 1-13 ng Profile USE sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic USE sa matematika. Kung gusto mong pumasa sa pagsusulit na may 90-100 puntos, kailangan mong lutasin ang bahagi 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Paghahanda ng kurso para sa pagsusulit para sa mga baitang 10-11, pati na rin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang bahagi 1 ng pagsusulit sa matematika (ang unang 12 problema) at problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Examination, at hindi magagawa ng isang daang puntos na estudyante o ng isang humanist kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na Paraan mga solusyon, bitag at sikreto ng pagsusulit. Ang lahat ng nauugnay na gawain ng bahagi 1 mula sa mga gawain ng Bank of FIPI ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng USE-2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain sa pagsusulit. Mga problema sa teksto at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm sa paglutas ng problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa PAGGAMIT. Stereometry. Mga tusong trick para sa paglutas, kapaki-pakinabang na mga cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula - hanggang sa gawain 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na paliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Base para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng ika-2 bahagi ng pagsusulit.