Kung ang discriminant ay isang negatibong numero. Mga uri ng mga talaan ng mga quadratic equation

Sa math program na ito magagawa mo lutasin ang quadratic equation.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon sa dalawang paraan:
- gamit ang discriminant
- gamit ang Vieta theorem (kung maaari).

Bukod dito, ang sagot ay ipinapakita nang eksakto, hindi tinatayang.
Halimbawa, para sa equation na \(81x^2-16x-1=0\), ang sagot ay ipinapakita sa form na ito:

Ang programang ito Maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school pangkalahatang edukasyon na mga paaralan bilang paghahanda sa kontrol sa trabaho at pagsusulit, kapag sumusubok ng kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang ay kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin math o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng square polynomial, inirerekumenda namin na pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng square polynomial

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atbp.

Maaaring ilagay ang mga numero bilang mga integer o fraction.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi mula sa integer ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o isang kuwit.
Halimbawa, maaari kang pumasok mga decimal kaya: 2.5x - 3.5x^2

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
buong bahagi pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng mga bracket. Sa kasong ito, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, ang ipinakilalang expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi nag-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Quadratic equation at mga ugat nito. Hindi kumpletong quadratic equation

Ang bawat isa sa mga equation
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
may porma
\(ax^2+bx+c=0, \)
kung saan ang x ay isang variable, ang a, b at c ay mga numero.
Sa unang equation a = -1, b = 6 at c = 1.4, sa pangalawa a = 8, b = -7 at c = 0, sa pangatlo a = 1, b = 0 at c = 4/9. Ang ganitong mga equation ay tinatawag quadratic equation.

Kahulugan.
quadratic equation tinatawag ang isang equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang x ay variable, a, b at c ay ilang numero, at \(a \neq 0 \).

Ang mga numerong a, b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation. Ang numerong a ay tinatawag na unang koepisyent, ang bilang b ay ang pangalawang koepisyent at ang bilang c ay ang intercept.

Sa bawat isa sa mga equation ng form na ax 2 +bx+c=0, kung saan ang \(a \neq 0 \), ang pinakamalaking kapangyarihan ng variable x ay isang parisukat. Kaya ang pangalan: quadratic equation.

Tandaan na ang isang quadratic equation ay tinatawag ding equation ng pangalawang degree, dahil ang kaliwang bahagi nito ay polynomial ng pangalawang degree.

Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient sa x 2 ay 1 ay tinatawag pinababang quadratic equation. Halimbawa, ang ibinigay na quadratic equation ay ang mga equation
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Kung sa quadratic equation ax 2 +bx+c=0 kahit isa sa mga coefficient b o c sero, pagkatapos ay tinatawag ang equation na ito hindi kumpletong quadratic equation. Kaya, ang mga equation -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ay hindi kumpleto quadratic equation. Sa una sa kanila b=0, sa pangalawa c=0, sa pangatlo b=0 at c=0.

Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay may tatlong uri:
1) ax 2 +c=0, kung saan \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kung saan \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Isaalang-alang ang solusyon ng mga equation ng bawat isa sa mga uri na ito.

Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +c=0 para sa \(c \neq 0 \), ang libreng termino nito ay inililipat sa kanang bahagi at ang parehong bahagi ng equation ay hinati ng a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Dahil \(c \neq 0 \), pagkatapos \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Kung \(-\frac(c)(a)>0 \), kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.

Kung \(-\frac(c)(a) Upang lutasin ang isang hindi kumpletong parisukat na equation ng anyong ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) i-factor ang kaliwang bahagi nito at makuha ang equation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Samakatuwid, ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) ay palaging may dalawang ugat.

Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 \u003d 0 ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0 at samakatuwid ay may isang solong ugat 0.

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Isaalang-alang natin ngayon kung paano nalulutas ang mga quadratic equation kung saan ang parehong coefficient ng mga hindi alam at ang libreng termino ay nonzero.

Lutasin namin ang quadratic equation sa pangkalahatang pananaw at bilang isang resulta nakuha namin ang formula ng mga ugat. Pagkatapos ang formula na ito ay maaaring ilapat upang malutas ang anumang quadratic equation.

Lutasin ang quadratic equation ax 2 +bx+c=0

Ang paghahati sa parehong bahagi nito sa pamamagitan ng a, makuha natin ang katumbas na pinababang quadratic equation
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Binabago namin ang equation na ito sa pamamagitan ng pag-highlight sa parisukat ng binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

Ang salitang ugat ay tinatawag discriminant ng isang quadratic equation ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” sa Latin - distinguisher). Ito ay tinutukoy ng titik D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Ngayon, gamit ang notasyon ng discriminant, muling isusulat namin ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kung saan \(D= b^2-4ac \)

Ito ay malinaw na:
1) Kung D>0, kung gayon ang quadratic equation ay may dalawang ugat.
2) Kung D=0, kung gayon ang quadratic equation ay may isang ugat \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Kung D Kaya, depende sa halaga ng discriminant, ang quadratic equation ay maaaring magkaroon ng dalawang ugat (para sa D > 0), isang ugat (para sa D = 0) o walang ugat (para sa D Kapag nag-solve ng quadratic equation gamit ang formula na ito. , ipinapayong gawin ang sumusunod na paraan:
1) kalkulahin ang discriminant at ihambing ito sa zero;
2) kung ang discriminant ay positibo o katumbas ng zero, pagkatapos ay gamitin ang root formula, kung ang discriminant ay negatibo, pagkatapos ay isulat na walang mga ugat.

Ang teorama ni Vieta

Ang ibinigay na quadratic equation ax 2 -7x+10=0 ay may mga ugat 2 at 5. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang produkto ay 10. Nakikita namin na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran ng tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Anumang pinababang quadratic equation na may mga ugat ay may ganitong katangian.

Ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.

Yung. Ang theorem ng Vieta ay nagsasaad na ang mga ugat x 1 at x 2 ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay may katangian:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Mahalaga! Sa mga ugat ng kahit multiplicity, ang function ay hindi nagbabago ng sign.

Tandaan! Anumang di-linear na hindi pagkakapantay-pantay ng kursong algebra ng paaralan ay dapat lutasin gamit ang paraan ng mga pagitan.

Nag-aalok ako sa iyo ng isang detalyadong algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan, kasunod nito ay maiiwasan mo ang mga error kapag paglutas ng mga di-linear na hindi pagkakapantay-pantay.

Paglutas ng mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon

Sa pagkakaalam natin,

i 2 = - 1.

gayunpaman,

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Kaya, mayroong hindi bababa sa dalawang mga halaga para sa square root ng - 1, ibig sabihin i at - i . Pero baka meron pa kumplikadong mga numero, kaninong mga parisukat ang - 1?

Upang linawin ang tanong na ito, ipagpalagay na ang parisukat ng isang kumplikadong numero isang + bi katumbas ng - 1. Pagkatapos

(isang + bi ) 2 = - 1,

a 2 + 2abi - b 2 = - 1

Ang dalawang kumplikadong numero ay pantay-pantay kung at kung ang kanilang mga tunay na bahagi at ang mga koepisyent ng mga haka-haka na bahagi ay pantay. Kaya

Ayon sa pangalawang equation ng system (1), kahit isa sa mga numero a at b dapat katumbas ng zero. Kung ang b = 0, pagkatapos ay magbubunga ang unang equation a 2 = - 1. Bilang a tunay, at samakatuwid a 2 > 0. Hindi isang negatibong numero a 2 ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero - 1. Samakatuwid, pagkakapantay-pantay b = 0 ay imposible sa kasong ito. Ito ay nananatiling kilalanin na a = 0, ngunit mula sa unang equation ng system ay nakukuha natin: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Samakatuwid, ang tanging kumplikadong mga numero na ang mga parisukat ay -1 ay ang mga numero i at - i , Ito ay may kondisyong isinulat bilang:

√-1 = ± i .

Sa pamamagitan ng katulad na pangangatwiran, mapapatunayan ng mga mag-aaral na mayroong eksaktong dalawang numero na ang mga parisukat ay katumbas ng negatibong numero - a . Ang mga numerong ito ay √ ai at -√ ai . Conventionally, ito ay nakasulat tulad nito:

√- a = ± √ ai .

Sa ilalim ng √ a dito ang arithmetic, ibig sabihin, positive, root ang ibig sabihin. Halimbawa, √4 = 2, √9 =.3; kaya lang

√-4 = + 2i , √-9= ± 3 i

Kung kanina, kapag isinasaalang-alang ang mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon, sinabi namin na ang mga naturang equation ay walang mga ugat, ngayon ay hindi na posible na sabihin ito. Ang mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon ay may mga kumplikadong ugat. Ang mga ugat na ito ay nakuha sa pamamagitan ng mga formula na kilala sa amin. Hayaan, halimbawa, ibinigay ang equation x 2 + 2X + 5 = 0; pagkatapos

X 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Kaya ang equation na ito ay may dalawang ugat: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Ang mga ugat na ito ay magkakaugnay. Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang kanilang kabuuan ay katumbas ng - 2, at ang produkto ay 5, kaya ang Vieta's theorem ay natupad.

Ang konsepto ng isang kumplikadong numero

Ang kumplikadong numero ay isang pagpapahayag ng anyong a + ib, kung saan ang a at b ay anumang tunay na numero, ang i ay isang espesyal na numero, na tinatawag na imaginary unit. Para sa gayong mga expression, ang mga konsepto ng pagkakapantay-pantay at ang mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami ay ipinakilala tulad ng sumusunod:

1. Ang dalawang kumplikadong numero na a + ib at c + id ay sinasabing magkapareho kung at kung lamang
   a = b at c = d .
2. Ang kabuuan ng dalawang kumplikadong numero a + ib at c + id ay isang kumplikadong numero
   a + c + i (b + d).
3. Ang produkto ng dalawang kumplikadong numero a + ib at c + id ay isang kumplikadong numero
   ac - bd + i (ad + bc).

Ang mga kumplikadong numero ay madalas na tinutukoy ng isang titik, tulad ng z = a + ib. Ang tunay na bilang a ay tinatawag na tunay na bahagi ng kumplikadong bilang na z, ang tunay na bahagi ay tinutukoy a = Re z . Ang tunay na bilang b ay tinatawag na haka-haka na bahagi ng kumplikadong numero z, ang haka-haka na bahagi ay tinutukoy b = Im z . Ang ganitong mga pangalan ay pinili kaugnay ng mga sumusunod na espesyal na katangian ng mga kumplikadong numero.

Tandaan na ang mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga kumplikadong numero ng anyong z = a + i · 0 ay isinasagawa sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa mga tunay na numero. Talaga,

Samakatuwid, ang mga kumplikadong numero ng anyong a + i · 0 ay natural na kinilala sa mga tunay na numero. Dahil dito, ang mga kumplikadong numero ng ganitong uri ay tinatawag na tunay. Kaya, ang hanay ng mga tunay na numero ay nakapaloob sa hanay ng mga kumplikadong numero. Ang hanay ng mga kumplikadong numero ay tinutukoy ng . Itinatag namin iyon, ibig sabihin

Hindi tulad ng mga tunay na numero, ang mga numero ng anyong 0 + ib ay tinatawag na puro haka-haka. Kadalasan ay isulat lamang ang bi , halimbawa, 0 + i 3 = 3 i . Ang isang purong haka-haka na numero i1 = 1 i = i ay may nakakagulat na katangian:
kaya,

№ 4 .1. Sa matematika, ang function ng numero ay isang function na ang mga domain at value ay mga subset ng mga set ng numero—karaniwan ay ang set ng mga totoong numero o ang set ng complex number.

Function Graph

Function Graph Fragment

Mga paraan upang magtakda ng isang function

[baguhin] Paraan ng analitikal

Karaniwan, ang isang function ay tinutukoy gamit ang isang formula na kinabibilangan ng mga variable, pagpapatakbo, at elementarya na pag-andar. Marahil isang pira-pirasong pagtatalaga, iyon ay, naiiba para sa iba't ibang mga halaga ng argumento.

[baguhin] Tabular na paraan

Ang isang function ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng paglilista ng lahat ng posibleng mga argumento nito at ang kanilang mga halaga. Pagkatapos nito, kung kinakailangan, ang function ay maaaring palawigin para sa mga argumento na wala sa talahanayan, sa pamamagitan ng interpolation o extrapolation. Ang mga halimbawa ay isang gabay sa programa, isang iskedyul ng tren, o isang talahanayan ng mga halaga para sa isang Boolean function:

[baguhin] Grapikong paraan

Ang oscillogram ay nagtatakda ng halaga ng ilang function nang graphical.

Ang isang function ay maaaring tukuyin nang grapiko sa pamamagitan ng pagpapakita ng isang hanay ng mga punto ng graph nito sa isang eroplano. Ito ay maaaring isang magaspang na sketch ng kung ano ang dapat na hitsura ng function, o mga pagbabasa na kinuha mula sa isang instrumento tulad ng isang oscilloscope. Ang pagtutukoy na ito ay maaaring magdusa mula sa isang kakulangan ng katumpakan, ngunit sa ilang mga kaso iba pang mga paraan ng pagtutukoy ay hindi maaaring ilapat sa lahat. Bilang karagdagan, ang paraan ng pagtatakda na ito ay isa sa pinakakinatawan, madaling maunawaan at mataas na kalidad na pagsusuri ng heuristic ng function.

[baguhin] Recursive na paraan

Ang isang function ay maaaring recursively tukuyin, iyon ay, sa pamamagitan ng kanyang sarili. Sa kasong ito, ang ilang mga halaga ng function ay tinutukoy sa pamamagitan ng iba pang mga halaga nito.

• factorial;
• Mga numero ng Fibonacci;
• Pag-andar ng Ackerman.

[baguhin] pasalitang paraan

Ang isang function ay maaaring ilarawan sa natural na mga salita sa wika sa ilang hindi malabo na paraan, halimbawa, sa pamamagitan ng paglalarawan sa mga halaga ng input at output nito, o ang algorithm kung saan ang function ay nagtatalaga ng mga pagsusulatan sa pagitan ng mga halagang ito. Pati na rin ang graphically, minsan naman ang tanging paraan ilarawan ang isang function, kahit na ang mga natural na wika ay hindi kasing deterministiko ng mga pormal.

• isang function na nagbabalik ng isang digit sa notasyon ng pi sa pamamagitan ng numero nito;
• isang function na nagbabalik ng bilang ng mga atomo sa uniberso sa isang takdang oras;
• isang function na kumukuha ng isang tao bilang isang argumento at ibinabalik ang bilang ng mga tao na isisilang sa mundo pagkatapos ng kanyang kapanganakan

KOMPLEXONG MGA BILANG XI

§ 253. Pagkuha ng square roots mula sa mga negatibong numero.
Paglutas ng mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon

Sa pagkakaalam natin,

i 2 = - 1.

gayunpaman,

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Kaya, mayroong hindi bababa sa dalawang mga halaga para sa square root ng - 1, ibig sabihin i at - i . Ngunit marahil mayroong ilang iba pang kumplikadong mga numero na ang mga parisukat ay - 1?

Upang linawin ang tanong na ito, ipagpalagay na ang parisukat ng isang kumplikadong numero isang + bi katumbas ng - 1. Pagkatapos

(isang + bi ) 2 = - 1,

a 2 + 2abi - b 2 = - 1

Ang dalawang kumplikadong numero ay pantay-pantay kung at kung ang kanilang mga tunay na bahagi at ang mga koepisyent ng mga haka-haka na bahagi ay pantay. Kaya

Ayon sa pangalawang equation ng system (1), kahit isa sa mga numero a at b dapat katumbas ng zero. Kung ang b = 0, pagkatapos ay magbubunga ang unang equation a 2 = - 1. Bilang a tunay, at samakatuwid a 2 > 0. Hindi-negatibong numero a 2 ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero - 1. Samakatuwid, pagkakapantay-pantay b = 0 ay imposible sa kasong ito. Ito ay nananatiling kilalanin na a = 0, ngunit mula sa unang equation ng system ay nakukuha natin: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Samakatuwid, ang tanging kumplikadong mga numero na ang mga parisukat ay -1 ay ang mga numero i at - i , Ito ay may kondisyong isinulat bilang:

√-1 = ± i .

Sa pamamagitan ng katulad na pangangatwiran, mapapatunayan ng mga mag-aaral na mayroong eksaktong dalawang numero na ang mga parisukat ay katumbas ng negatibong numero - a . Ang mga numerong ito ay √ a i at -√ a i . Conventionally, ito ay nakasulat tulad nito:

√- a = ± √ a i .

Sa ilalim ng √ a dito ang arithmetic, ibig sabihin, positive, root ang ibig sabihin. Halimbawa, √4 = 2, √9 =.3; kaya lang

√-4 = + 2i , √-9 = ± 3 i

Kung kanina, kapag isinasaalang-alang ang mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon, sinabi namin na ang mga naturang equation ay walang mga ugat, ngayon ay hindi na posible na sabihin ito. Ang mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon ay may mga kumplikadong ugat. Ang mga ugat na ito ay nakuha sa pamamagitan ng mga formula na kilala sa amin. Hayaan, halimbawa, ibinigay ang equation x 2 + 2X + 5 = 0; pagkatapos

X 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Kaya ang equation na ito ay may dalawang ugat: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Ang mga ugat na ito ay magkakaugnay. Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang kanilang kabuuan ay katumbas ng - 2, at ang produkto ay 5, kaya ang Vieta's theorem ay natupad.

Mga ehersisyo

2022. (Us tn o.) Lutasin ang mga equation:

a) x 2 = - 16; b) x 2 = - 2; sa 3 x 2 = - 5.

2023. Hanapin ang lahat ng kumplikadong numero na ang mga parisukat ay pantay:

a) i ; b) 1/2 - √ 3/2 i ;

2024. Lutasin ang mga quadratic equation:

a) x 2 - 2x + 2 = 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; sa) x 2 - 14x + 74 = 0.

Lutasin ang mga sistema ng mga equation (No. 2025, 2026):

2027. Patunayan na ang mga ugat ng isang quadratic equation na may mga tunay na coefficient at negatibong discriminant ay kapwa conjugate.

2028. Patunayan na ang theorem ni Vieta ay totoo para sa anumang mga quadratic equation, at hindi lamang para sa mga equation na may non-negative na discriminant.

2029. Sumulat ng isang quadratic equation na may tunay na coefficient, ang mga ugat nito ay:

a) X 1 = 5 - i , X 2 = 5 + i ; b) X 1 = 3i , X 2 = - 3i .

2030. Bumuo ng isang quadratic equation na may tunay na coefficients, ang isa sa mga ugat nito ay katumbas ng (3 - i ) (2i - 4).

2031. Sumulat ng isang quadratic equation na may totoong coefficients, isa sa mga ugat nito ay 32 - i
1- 3i .

Ang mga problema sa quadratic equation ay pinag-aralan din sa kurikulum ng paaralan at sa mga unibersidad. Ang mga ito ay nauunawaan bilang mga equation ng form a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kung saan x- variable, a,b,c – mga pare-pareho; a<>0 . Ang problema ay upang mahanap ang mga ugat ng equation.

Ang geometric na kahulugan ng quadratic equation

Ang graph ng isang function na kinakatawan ng isang quadratic equation ay isang parabola. Ang mga solusyon (roots) ng isang quadratic equation ay ang mga punto ng intersection ng parabola sa x-axis. Ito ay sumusunod na mayroong tatlong posibleng mga kaso:
1) ang parabola ay walang mga punto ng intersection sa x-axis. Nangangahulugan ito na ito ay nasa itaas na eroplano na may mga sanga pataas o ang mas mababang isa ay may mga sanga pababa. Sa ganitong mga kaso, ang quadratic equation ay walang tunay na ugat (ito ay may dalawang kumplikadong ugat).

2) ang parabola ay may isang punto ng intersection sa axis na Ox. Ang nasabing punto ay tinatawag na vertex ng parabola, at ang quadratic equation dito ay nakakakuha ng pinakamababa o pinakamataas na halaga nito. Sa kasong ito, ang quadratic equation ay may isang tunay na ugat (o dalawang magkaparehong ugat).

3) Ang huling kaso ay mas kawili-wili sa pagsasanay - mayroong dalawang punto ng intersection ng parabola na may abscissa axis. Nangangahulugan ito na mayroong dalawang tunay na ugat ng equation.

Batay sa pagsusuri ng mga coefficient sa mga kapangyarihan ng mga variable, ang mga kagiliw-giliw na konklusyon ay maaaring iguguhit tungkol sa paglalagay ng parabola.

1) Kung ang coefficient a ay mas malaki kaysa sa zero, ang parabola ay nakadirekta paitaas, kung negatibo, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

2) Kung ang coefficient b ay mas malaki kaysa sa zero, ang vertex ng parabola ay nasa kaliwang kalahating eroplano kung aabutin negatibong kahulugan- pagkatapos ay sa kanan.

Derivation ng isang formula para sa paglutas ng isang quadratic equation

Ilipat natin ang pare-pareho mula sa quadratic equation

para sa pantay na tanda, nakukuha namin ang expression

I-multiply ang magkabilang panig sa 4a

Para makaalis buong parisukat idagdag sa parehong bahagi b^2 at gawin ang pagbabago

Mula dito makikita natin

Formula ng discriminant at mga ugat ng quadratic equation

Ang discriminant ay ang halaga ng radical expression. Kung ito ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na kinakalkula ng formula Sa zero discriminant, ang quadratic equation ay may isang solusyon (dalawang coinciding roots), na madaling makuha mula sa formula sa itaas para sa D=0 negatibong diskriminasyon walang tunay na root equation. Gayunpaman, upang pag-aralan ang mga solusyon ng quadratic equation sa kumplikadong eroplano, at ang kanilang halaga ay kinakalkula ng formula

Ang teorama ni Vieta

Isaalang-alang ang dalawang ugat ng isang quadratic equation at bumuo ng isang quadratic equation sa kanilang batayan. Mula sa notation, ang Vieta theorem mismo ay madaling sumusunod: kung mayroon tayong quadratic equation ng form pagkatapos ay ang kabuuan ng mga ugat nito ay katumbas ng koepisyent p, kinuha sa kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ng equation ay katumbas ng libreng termino q. Ang formula para sa itaas ay magmumukhang Kung ang pare-parehong a sa classical na equation ay nonzero, pagkatapos ay kailangan mong hatiin ang buong equation dito, at pagkatapos ay ilapat ang Vieta theorem.

Iskedyul ng quadratic equation sa mga salik

Hayaang maitakda ang gawain: i-decompose ang quadratic equation sa mga salik. Upang maisagawa ito, lutasin muna natin ang equation (hanapin ang mga ugat). Susunod, pinapalitan natin ang mga nahanap na ugat sa formula para sa pagpapalawak ng quadratic equation. Ang problemang ito ay malulutas.

Mga gawain para sa isang quadratic equation

Gawain 1. Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation

x^2-26x+120=0 .

Solusyon: Isulat ang mga coefficient at palitan sa discriminant formula

ugat ng binigay na halaga katumbas ng 14, madaling mahanap ito gamit ang isang calculator, o tandaan ito sa madalas na paggamit, gayunpaman, para sa kaginhawahan, sa dulo ng artikulo ay bibigyan kita ng isang listahan ng mga parisukat ng mga numero na madalas na matatagpuan sa mga naturang gawain .
Ang nahanap na halaga ay pinapalitan sa root formula

at nakukuha namin

Gawain 2. lutasin ang equation

2x2+x-3=0.

Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation, isulat ang mga coefficient at hanapin ang discriminant


Gamit ang mga kilalang formula, makikita natin ang mga ugat ng quadratic equation

Gawain 3. lutasin ang equation

9x2 -12x+4=0.

Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation. Tukuyin ang discriminant

Nakuha namin ang kaso kapag ang mga ugat ay nag-tutugma. Nahanap namin ang mga halaga ng mga ugat sa pamamagitan ng formula

Gawain 4. lutasin ang equation

x^2+x-6=0 .

Solusyon: Sa mga kaso kung saan may maliliit na coefficient para sa x, ipinapayong ilapat ang Vieta theorem. Sa pamamagitan ng kondisyon nito, nakakakuha tayo ng dalawang equation

Mula sa pangalawang kondisyon, nakuha namin na ang produkto ay dapat na katumbas ng -6. Nangangahulugan ito na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Mayroon kaming sumusunod na posibleng pares ng mga solusyon(-3;2), (3;-2) . Isinasaalang-alang ang unang kundisyon, tinatanggihan namin ang pangalawang pares ng mga solusyon.
Ang mga ugat ng equation ay

Gawain 5. Hanapin ang mga haba ng mga gilid ng isang parihaba kung ang perimeter nito ay 18 cm at ang lawak ay 77 cm 2.

Solusyon: Ang kalahati ng perimeter ng isang parihaba ay katumbas ng kabuuan ng mga katabing gilid. Tukuyin natin ang x - malaking bahagi, pagkatapos ay 18-x ang mas maliit na bahagi nito. Ang lugar ng isang rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga haba na ito:
x(18x)=77;
o
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Hanapin natin ang discriminant mga equation

Kinakalkula namin ang mga ugat ng equation

Kung ang x=11, pagkatapos 18x=7 , vice versa ay totoo din (kung x=7, pagkatapos ay 21-x=9).

Suliranin 6. I-factorize ang quadratic 10x 2 -11x+3=0 equation.

Solusyon: Kalkulahin ang mga ugat ng equation, para dito makikita natin ang discriminant

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa formula ng mga ugat at kalkulahin

Inilapat namin ang formula para sa pagpapalawak ng quadratic equation sa mga tuntunin ng mga ugat

Pagpapalawak ng mga bracket, makukuha natin ang pagkakakilanlan.

Quadratic equation na may parameter

Halimbawa 1. Para sa anong mga halaga ng parameter a , may isang ugat ba ang equation (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0?

Solusyon: Sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ng halaga a=3, makikita natin na wala itong solusyon. Dagdag pa, gagamitin natin ang katotohanan na sa isang zero discriminant, ang equation ay may isang ugat ng multiplicity 2. Isulat natin ang discriminant

pasimplehin ito at katumbas ng zero

Nakuha namin ang isang quadratic equation na may paggalang sa parameter a, ang solusyon kung saan ay madaling makuha gamit ang Vieta theorem. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang kanilang produkto ay 12. Sa pamamagitan ng simpleng enumeration, itinatatag namin na ang mga numero 3.4 ang magiging ugat ng equation. Dahil tinanggihan na natin ang solusyon a=3 sa simula ng mga kalkulasyon, ang tanging tama ay - a=4. Kaya, para sa a = 4, ang equation ay may isang ugat.

Halimbawa 2. Para sa anong mga halaga ng parameter a , ang equation a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 may higit sa isang ugat?

Solusyon: Isaalang-alang muna ang mga isahan na puntos, sila ang magiging mga halaga a=0 at a=-3. Kapag a=0, ang equation ay pasimplehin sa anyo na 6x-9=0; x=3/2 at magkakaroon ng isang ugat. Para sa a= -3 makuha natin ang pagkakakilanlan 0=0 .
Kalkulahin ang discriminant

at hanapin ang mga halaga ng isang kung saan ito ay positibo

Mula sa unang kondisyon nakakakuha tayo ng>3. Para sa pangalawa, makikita natin ang discriminant at ang mga ugat ng equation


Tukuyin natin ang mga pagitan kung saan kumukuha ang function ng mga positibong halaga. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng puntong a=0 ay nakukuha natin 3>0 . Kaya, sa labas ng pagitan (-3; 1/3) ang function ay negatibo. Huwag kalimutan ang tuldok a=0 na dapat na hindi kasama, dahil ang orihinal na equation ay may isang ugat dito.
Bilang resulta, nakakakuha kami ng dalawang pagitan na nakakatugon sa kondisyon ng problema

Magkakaroon ng maraming katulad na mga gawain sa pagsasanay, subukang harapin ang mga gawain sa iyong sarili at huwag kalimutang isaalang-alang ang mga kondisyon na kapwa eksklusibo. Pag-aralan nang mabuti ang mga formula para sa paglutas ng mga quadratic equation, madalas silang kailangan sa mga kalkulasyon sa iba't ibang mga problema at agham.

Halimbawa, para sa trinomial na \(3x^2+2x-7\), ang discriminant ay magiging \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). At para sa trinomial na \(x^2-5x+11\), ito ay magiging katumbas ng \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Ang discriminant ay tinutukoy ng letrang \(D\) at kadalasang ginagamit sa paglutas. Gayundin, sa pamamagitan ng halaga ng discriminant, mauunawaan mo kung ano ang hitsura ng graph (tingnan sa ibaba).

Mga ugat ng diskriminasyon at equation

Ipinapakita ng value ng discriminant ang halaga ng quadratic equation:
- kung ang \(D\) ay positibo, ang equation ay magkakaroon ng dalawang ugat;
- kung ang \(D\) ay katumbas ng zero - isang ugat lamang;
- kung ang \(D\) ay negatibo, walang mga ugat.

Hindi kinakailangan na matutunan ito, madaling makarating sa gayong konklusyon, alam lamang na mula sa discriminant (iyon ay, \(\sqrt(D)\) ay kasama sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat ng equation: \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) at \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\) Tingnan natin ang bawat kaso nang mas detalyado .

Kung positibo ang discriminant

Sa kasong ito, ang ugat nito ay ilan positibong numero, na nangangahulugang ang \(x_(1)\) at \(x_(2)\) ay magkakaiba sa halaga, dahil sa unang formula ay idinagdag ang \(\sqrt(D)\), at sa pangalawa ito ay ibinabawas . At mayroon tayong dalawang magkaibang pinagmulan.

Halimbawa : Hanapin ang mga ugat ng equation \(x^2+2x-3=0\)
Desisyon :

Sagot : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Kung zero ang discriminant

At gaano karaming mga ugat ang magkakaroon kung ang discriminant ay zero? Mangatwiran tayo.

Ang mga root formula ay ganito: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) at \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . At kung zero ang discriminant, zero din ang ugat nito. Pagkatapos ito ay lumabas:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Iyon ay, ang mga halaga ng mga ugat ng equation ay magkatugma, dahil ang pagdaragdag o pagbabawas ng zero ay hindi nagbabago ng anuman.

Halimbawa : Hanapin ang mga ugat ng equation \(x^2-4x+4=0\)
Desisyon :

Sagot : \(x=2\)