Paano malutas ang mga quadratic equation gamit ang teorem ni Vieta. Quadratic equation
Quadratic equation. Komprehensibong gabay (2019)
Sa katagang " quadratic equation Ang pangunahing salita ay "parisukat". Nangangahulugan ito na ang equation ay kinakailangang naglalaman ng variable (parehong X) sa parisukat, at sa parehong oras ay hindi dapat magkaroon ng Xs sa pangatlo (o mas mataas) na antas.
Ang solusyon ng maraming mga equation ay nabawasan sa solusyon ng mga quadratic equation.
Matuto tayong tukuyin na mayroon tayong quadratic equation, at hindi iba.
Halimbawa 1
Alisin ang denominator at i-multiply ang bawat termino ng equation sa
Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi at ayusin ang mga termino sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan ng x
Ngayon ay maaari nating sabihin nang may kumpiyansa na ang equation na ito ay quadratic!
Halimbawa 2
I-multiply natin ang kaliwa at kanang bahagi sa:
Ang equation na ito, kahit na ito ay orihinal na nasa loob nito, ay hindi isang parisukat!
Halimbawa 3
I-multiply natin ang lahat sa pamamagitan ng:
Nakakatakot? Ang ika-apat at ikalawang degree ... Gayunpaman, kung gagawa tayo ng kapalit, makikita natin na mayroon tayong simpleng quadratic equation:
Halimbawa 4
Ito ay tila, ngunit tingnan natin nang maigi. Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi:
Kita mo, lumiit ito - at ngayon isa na itong simpleng linear equation!
Ngayon subukang tukuyin para sa iyong sarili kung alin sa mga sumusunod na equation ang quadratic at alin ang hindi:
Mga halimbawa:
Mga sagot:
- parisukat;
- parisukat;
- hindi parisukat;
- hindi parisukat;
- hindi parisukat;
- parisukat;
- hindi parisukat;
- parisukat.
May kondisyong hinahati ng mga mathematician ang lahat ng quadratic equation sa mga sumusunod na uri:
- Kumpletuhin ang mga quadratic equation- mga equation kung saan ang mga coefficient at, pati na rin ang libreng termino c, ay hindi katumbas ng zero (tulad ng sa halimbawa). Bilang karagdagan, kabilang sa mga kumpletong quadratic equation, mayroong binigay ay mga equation kung saan ang coefficient (ang equation mula sa halimbawa ng isa ay hindi lamang kumpleto, ngunit nabawasan din!)
- Hindi kumpletong quadratic equation- mga equation kung saan ang coefficient at o libreng term c ay katumbas ng zero:
Hindi kumpleto ang mga ito dahil may nawawalang elemento sa kanila. Ngunit ang equation ay dapat palaging naglalaman ng x squared !!! Kung hindi, hindi na ito magiging isang parisukat, ngunit ibang equation.
Bakit sila nagkaroon ng ganitong dibisyon? Mukhang mayroong X squared, at okay. Ang ganitong dibisyon ay dahil sa mga pamamaraan ng solusyon. Isaalang-alang natin ang bawat isa sa kanila nang mas detalyado.
Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation
Una, tumuon tayo sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito!
Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay may mga uri:
- , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.
- , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.
- , sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.
1. i. Dahil alam natin kung paano kunin ang square root, ipahayag natin mula sa equation na ito
Ang expression ay maaaring negatibo o positibo. Ang isang parisukat na numero ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging magiging positibong numero, kaya: kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon.
At kung, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang ugat. Ang mga formula na ito ay hindi kailangang isaulo. Ang pangunahing bagay ay dapat mong laging malaman at tandaan na hindi ito maaaring mas mababa.
Subukan nating lutasin ang ilang halimbawa.
Halimbawa 5:
Lutasin ang Equation
Ngayon ay nananatili itong kunin ang ugat mula sa kaliwa at kanang bahagi. Pagkatapos ng lahat, naaalala mo ba kung paano i-extract ang mga ugat?
Sagot:
Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong senyales!!!
Halimbawa 6:
Lutasin ang Equation
Sagot:
Halimbawa 7:
Lutasin ang Equation
Aray! Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation
walang ugat!
Para sa mga naturang equation kung saan walang mga ugat, ang mga mathematician ay may isang espesyal na icon - (walang laman na hanay). At ang sagot ay maaaring isulat tulad nito:
Sagot:
Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat. Walang mga paghihigpit dito, dahil hindi namin kinuha ang ugat.
Halimbawa 8:
Lutasin ang Equation
Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:
Sa ganitong paraan,
Ang equation na ito ay may dalawang ugat.
Sagot:
Ang pinakasimpleng uri ng hindi kumpletong quadratic equation (bagaman lahat sila ay simple, tama?). Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:
Dito gagawin natin nang walang mga halimbawa.
Paglutas ng kumpletong quadratic equation
Ipinapaalala namin sa iyo na ang kumpletong quadratic equation ay isang equation ng form equation kung saan
Ang paglutas ng buong quadratic equation ay medyo mas kumplikado (medyo lang) kaysa sa ibinigay.
Tandaan, anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang discriminant! Kahit hindi kumpleto.
Ang natitirang mga pamamaraan ay makakatulong sa iyo na gawin ito nang mas mabilis, ngunit kung mayroon kang mga problema sa mga quadratic equation, master muna ang solusyon gamit ang discriminant.
1. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang discriminant.
Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay napaka-simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula.
Kung, kung gayon ang equation ay may ugat. Espesyal na atensyon ang dapat bayaran sa hakbang. Sinasabi sa atin ng discriminant () ang bilang ng mga ugat ng equation.
- Kung, ang formula sa hakbang ay mababawasan sa. Kaya, ang equation ay magkakaroon lamang ng isang ugat.
- Kung, kung gayon, hindi namin ma-extract ang ugat ng discriminant sa hakbang. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.
Bumalik tayo sa ating mga equation at tumingin sa ilang mga halimbawa.
Halimbawa 9:
Lutasin ang Equation
Hakbang 1 laktawan.
Hakbang 2
Paghahanap ng discriminant:
Kaya ang equation ay may dalawang ugat.
Hakbang 3
Sagot:
Halimbawa 10:
Lutasin ang Equation
Ang equation ay nasa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan.
Hakbang 2
Paghahanap ng discriminant:
Kaya ang equation ay may isang ugat.
Sagot:
Halimbawa 11:
Lutasin ang Equation
Ang equation ay nasa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan.
Hakbang 2
Paghahanap ng discriminant:
Nangangahulugan ito na hindi namin makukuha ang ugat mula sa discriminant. Walang mga ugat ng equation.
Ngayon alam na natin kung paano isulat nang tama ang mga ganoong sagot.
Sagot: walang ugat
2. Solusyon ng mga quadratic equation gamit ang Vieta theorem.
Kung naaalala mo, mayroong isang uri ng mga equation na tinatawag na nabawasan (kapag ang coefficient a ay katumbas ng):
Ang ganitong mga equation ay napakadaling lutasin gamit ang teorem ng Vieta:
Ang kabuuan ng mga ugat binigay ang quadratic equation ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay.
Halimbawa 12:
Lutasin ang Equation
Ang equation na ito ay angkop para sa solusyon gamit ang Vieta's theorem, dahil .
Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay, i.e. makuha namin ang unang equation:
At ang produkto ay:
Gawin at lutasin natin ang system:
- At. Ang kabuuan ay;
- At. Ang kabuuan ay;
- At. Ang halaga ay katumbas.
at ang solusyon ng system:
Sagot: ; .
Halimbawa 13:
Lutasin ang Equation
Sagot:
Halimbawa 14:
Lutasin ang Equation
Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:
Sagot:
QUADRATIC EQUATIONS. AVERAGE LEVEL
Ano ang isang quadratic equation?
Sa madaling salita, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form, kung saan - hindi kilala, - ilang mga numero, bukod pa rito.
Ang bilang ay tinatawag na pinakamataas o unang koepisyent quadratic equation, - pangalawang koepisyent, pero- libreng miyembro.
Bakit? Dahil kung, ang equation ay magiging linear kaagad, dahil mawawala.
Sa kasong ito, at maaaring katumbas ng zero. Sa stool equation na ito ay tinatawag na hindi kumpleto. Kung ang lahat ng mga tuntunin ay nasa lugar, iyon ay, ang equation ay kumpleto na.
Mga solusyon sa iba't ibang uri ng quadratic equation
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation:
Upang magsimula, susuriin namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito.
Ang mga sumusunod na uri ng mga equation ay maaaring makilala:
I. , sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.
II. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.
III. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.
Ngayon isaalang-alang ang solusyon ng bawat isa sa mga subtype na ito.
Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:
Ang isang numerong squared ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging isang positibong numero. kaya naman:
kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon;
kung mayroon tayong dalawang ugat
Ang mga formula na ito ay hindi kailangang isaulo. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay hindi ito maaaring mas mababa.
Mga halimbawa:
Mga solusyon:
Sagot:
Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong palatandaan!
Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation
walang ugat.
Upang maikling isulat na ang problema ay walang solusyon, ginagamit namin ang walang laman na icon ng set.
Sagot:
Kaya, ang equation na ito ay may dalawang ugat: at.
Sagot:
Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:
Ang produkto ay zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan sero. Nangangahulugan ito na ang equation ay may solusyon kapag:
Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat: at.
Halimbawa:
Lutasin ang equation.
Solusyon:
Isinasaalang-alang namin ang kaliwang bahagi ng equation at hanapin ang mga ugat:
Sagot:
Mga pamamaraan para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation:
1. Diskriminasyon
Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay madali, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula. Tandaan, anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang discriminant! Kahit hindi kumpleto.
Napansin mo ba ang ugat ng discriminant sa root formula? Ngunit ang discriminant ay maaaring negatibo. Anong gagawin? Kailangan nating bigyan ng espesyal na pansin ang hakbang 2. Sinasabi sa atin ng discriminant ang bilang ng mga ugat ng equation.
- Kung, kung gayon ang equation ay may ugat:
- Kung, kung gayon ang equation ay may parehong ugat, ngunit sa katunayan, isang ugat:
Ang ganitong mga ugat ay tinatawag na dobleng ugat.
- Kung, kung gayon ang ugat ng discriminant ay hindi nakuha. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.
Bakit may iba't ibang bilang ng mga ugat? Lumiko tayo sa geometric na kahulugan quadratic equation. Ang graph ng function ay isang parabola:
Sa isang partikular na kaso, na isang quadratic equation, . At nangangahulugan ito na ang mga ugat ng quadratic equation ay ang mga punto ng intersection sa x-axis (axis). Maaaring hindi tumawid ang parabola sa axis, o maaari itong mag-intersect sa isa (kapag ang tuktok ng parabola ay nasa axis) o dalawang punto.
Bilang karagdagan, ang koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sanga ng parabola. Kung, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas, at kung - pagkatapos ay pababa.
Mga halimbawa:
Mga solusyon:
Sagot:
Sagot: .
Sagot:
Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.
Sagot: .
2. Vieta's theorem
Ang paggamit ng Vieta theorem ay napakadali: kailangan mo lamang pumili ng isang pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng libreng termino ng equation, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.
Mahalagang tandaan na ang teorama ni Vieta ay maaari lamang ilapat sa ibinigay na mga quadratic equation ().
Tingnan natin ang ilang halimbawa:
Halimbawa #1:
Lutasin ang equation.
Solusyon:
Ang equation na ito ay angkop para sa solusyon gamit ang Vieta's theorem, dahil . Iba pang mga coefficient: ; .
Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay:
At ang produkto ay:
Piliin natin ang mga pares ng mga numero, ang produkto kung saan ay pantay, at suriin kung ang kanilang kabuuan ay pantay:
- At. Ang kabuuan ay;
- At. Ang kabuuan ay;
- At. Ang halaga ay katumbas.
at ang solusyon ng system:
Kaya, at ang mga ugat ng aming equation.
Sagot: ; .
Halimbawa #2:
Solusyon:
Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at pagkatapos ay suriin kung pantay ang kanilang kabuuan:
at: ibigay sa kabuuan.
at: ibigay sa kabuuan. Upang makuha ito, kailangan mo lamang baguhin ang mga palatandaan ng mga pinaghihinalaang ugat: at, pagkatapos ng lahat, ang produkto.
Sagot:
Halimbawa #3:
Solusyon:
Ang libreng termino ng equation ay negatibo, at samakatuwid ay ang produkto ng mga ugat - isang negatibong numero. Ito ay posible lamang kung ang isa sa mga ugat ay negatibo at ang isa ay positibo. Kaya ang kabuuan ng mga ugat ay pagkakaiba ng kanilang mga module.
Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at ang pagkakaiba nito ay katumbas ng:
at: ang kanilang pagkakaiba ay - hindi angkop;
at: - hindi angkop;
at: - hindi angkop;
at: - angkop. Nananatili lamang na tandaan na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Dahil ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, kung gayon ang ugat, na mas maliit sa ganap na halaga, ay dapat na negatibo: . Sinusuri namin:
Sagot:
Halimbawa #4:
Lutasin ang equation.
Solusyon:
Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:
Ang libreng termino ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay negatibo. At ito ay posible lamang kapag ang isang ugat ng equation ay negatibo at ang isa ay positibo.
Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na ang produkto ay pantay, at pagkatapos ay tinutukoy kung aling mga ugat ang dapat magkaroon ng negatibong tanda:
Malinaw, ang mga ugat lamang at angkop para sa unang kondisyon:
Sagot:
Halimbawa #5:
Lutasin ang equation.
Solusyon:
Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:
Ang kabuuan ng mga ugat ay negatibo, na nangangahulugan na kahit isa sa mga ugat ay negatibo. Ngunit dahil positibo ang kanilang produkto, nangangahulugan ito na ang parehong mga ugat ay minus.
Pinipili namin ang mga pares ng mga numero, ang produkto kung saan ay katumbas ng:
Malinaw, ang mga ugat ay ang mga numero at.
Sagot:
Sumang-ayon, ito ay napaka-maginhawa - upang mag-imbento ng mga ugat nang pasalita, sa halip na bilangin ang pangit na diskriminasyong ito. Subukang gamitin ang theorem ng Vieta nang madalas hangga't maaari.
Ngunit ang Vieta theorem ay kailangan upang mapadali at mapabilis ang paghahanap ng mga ugat. Upang maging kapaki-pakinabang para sa iyo na gamitin ito, dapat mong dalhin ang mga aksyon sa automatism. At para dito, lutasin ang limang higit pang mga halimbawa. Ngunit huwag mandaya: hindi mo magagamit ang discriminant! Tanging ang teorama ni Vieta:
Mga solusyon para sa mga gawain para sa malayang gawain:
Gawain 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Ayon sa teorama ni Vieta:
Gaya ng dati, sinisimulan namin ang pagpili sa produkto:
Hindi angkop dahil ang dami;
: ang dami mo kailangan.
Sagot: ; .
Gawain 2.
At muli, ang aming paboritong Vieta theorem: ang kabuuan ay dapat gumana, ngunit ang produkto ay pantay.
Ngunit dahil hindi ito dapat, ngunit, binabago natin ang mga palatandaan ng mga ugat: at (sa kabuuan).
Sagot: ; .
Gawain 3.
Hmm... Nasaan na?
Kinakailangang ilipat ang lahat ng mga tuntunin sa isang bahagi:
Ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng produkto.
Oo, tumigil ka! Ang equation ay hindi ibinigay. Ngunit ang teorama ni Vieta ay naaangkop lamang sa mga ibinigay na equation. Kaya kailangan mo munang dalhin ang equation. Kung hindi mo ito masabi, i-drop ang ideyang ito at lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng discriminant). Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang pagdadala ng isang quadratic equation ay nangangahulugan na gawing katumbas ang nangungunang coefficient sa:
ayos lang. Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay pantay, at ang produkto.
Mas madaling kunin dito: pagkatapos ng lahat - isang pangunahing numero (paumanhin para sa tautolohiya).
Sagot: ; .
Gawain 4.
Ang libreng termino ay negatibo. Ano ang espesyal dito? At ang katotohanan na ang mga ugat ay magkakaroon ng iba't ibang mga palatandaan. At ngayon, sa panahon ng pagpili, hindi namin sinusuri ang kabuuan ng mga ugat, ngunit ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga module: ang pagkakaiba na ito ay pantay, ngunit ang produkto.
Kaya, ang mga ugat ay pantay at, ngunit ang isa sa mga ito ay may minus. Sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, iyon ay. Nangangahulugan ito na ang mas maliit na ugat ay magkakaroon ng minus: at, dahil.
Sagot: ; .
Gawain 5.
Ano ang kailangang gawin muna? Tama iyon, ibigay ang equation:
Muli: pinipili namin ang mga salik ng numero, at ang kanilang pagkakaiba ay dapat na katumbas ng:
Ang mga ugat ay pantay at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. alin? Ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, na nangangahulugan na sa isang minus magkakaroon ng isang mas malaking ugat.
Sagot: ; .
Hayaan akong buod:
- Ang teorem ni Vieta ay ginagamit lamang sa ibinigay na mga equation na parisukat.
- Gamit ang Vieta theorem, mahahanap mo ang mga ugat sa pamamagitan ng pagpili, pasalita.
- Kung hindi ibinigay ang equation o walang nakitang angkop na pares ng mga salik ng libreng termino, walang mga integer na ugat, at kailangan mo itong lutasin sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng discriminant).
3. Buong parisukat na paraan ng pagpili
Kung ang lahat ng mga terminong naglalaman ng hindi alam ay kinakatawan bilang mga termino mula sa mga formula ng pinaikling multiplikasyon - ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba - pagkatapos ay pagkatapos ng pagbabago ng mga variable, ang equation ay maaaring katawanin bilang isang hindi kumpletong quadratic equation ng uri.
Halimbawa:
Halimbawa 1:
Lutasin ang equation: .
Solusyon:
Sagot:
Halimbawa 2:
Lutasin ang equation: .
Solusyon:
Sagot:
Sa pangkalahatan, ang pagbabago ay magiging ganito:
Ito ay nagpapahiwatig: .
Hindi ba ito nagpapaalala sa iyo ng anuman? Ito ang discriminant! Ganyan talaga nakuha ang discriminant formula.
QUADRATIC EQUATIONS. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING
Quadratic equation ay isang equation ng anyo, kung saan ang hindi alam, ay ang mga coefficient ng quadratic equation, ay ang libreng termino.
Kumpletuhin ang quadratic equation- isang equation kung saan ang mga coefficient ay hindi katumbas ng zero.
Pinababang quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient, iyon ay: .
Hindi kumpletong quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient at o libreng term c ay katumbas ng zero:
- kung ang coefficient, ang equation ay may anyo: ,
- kung isang libreng termino, ang equation ay may anyo: ,
- kung at, ang equation ay may anyo: .
1. Algorithm para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation
1.1. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :
1) Ipahayag ang hindi alam: ,
2) Suriin ang tanda ng expression:
- kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon,
- kung, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.
1.2. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :
1) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket: ,
2) Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation ay may dalawang ugat:
1.3. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan:
Ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang: .
2. Algorithm para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation ng form kung saan
2.1. Solusyon gamit ang discriminant
1) Dinadala namin ang equation sa karaniwang view: ,
2) Kalkulahin ang discriminant gamit ang formula: , na nagsasaad ng bilang ng mga ugat ng equation:
3) Hanapin ang mga ugat ng equation:
- kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
- kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
- kung, kung gayon ang equation ay walang mga ugat.
2.2. Solusyon gamit ang teorama ni Vieta
Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation (isang equation ng form, kung saan) ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay, i.e. , ngunit.
2.3. Buong parisukat na solusyon
Kapag nag-aaral ng mga paraan upang malutas ang mga second-order na equation sa kursong algebra ng paaralan, isaalang-alang ang mga katangian ng mga ugat na nakuha. Ang mga ito ay kilala na ngayon bilang mga teorema ni Vieta. Ang mga halimbawa ng paggamit nito ay ibinigay sa artikulong ito.
Quadratic equation
Ang pangalawang pagkakasunud-sunod na equation ay isang pagkakapantay-pantay, na ipinapakita sa larawan sa ibaba.
Narito ang mga simbolo na a, b, c ay ilang mga numero na tinatawag na coefficients ng equation na isinasaalang-alang. Upang malutas ang isang pagkakapantay-pantay, kailangan mong hanapin ang mga x na halaga na nagpapatunay nito.
Tandaan na dahil ang maximum na halaga ng kapangyarihan kung saan ang x ay nakataas ay dalawa, kung gayon ang bilang ng mga ugat sa pangkalahatang kaso ay dalawa rin.
Mayroong ilang mga paraan upang malutas ang ganitong uri ng pagkakapantay-pantay. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang isa sa mga ito, na kinabibilangan ng paggamit ng tinatawag na Vieta theorem.
Pahayag ng teorama ni Vieta
Sa pagtatapos ng ika-16 na siglo, napansin ng sikat na matematiko na si Francois Viet (Frenchman), na sinusuri ang mga katangian ng mga ugat ng iba't ibang quadratic equation, na ang ilang kumbinasyon ng mga ito ay nakakatugon sa mga tiyak na relasyon. Sa partikular, ang mga kumbinasyong ito ay ang kanilang produkto at kabuuan.
Itinatag ng theorem ng Vieta ang mga sumusunod: ang mga ugat ng isang quadratic equation, kapag summed, ay nagbibigay ng ratio ng linear sa quadratic coefficients na kinuha gamit ang kabaligtaran na sign, at kapag sila ay pinarami, sila ay humantong sa ratio ng libreng term sa quadratic coefficient. .
Kung pangkalahatang anyo ang equation ay isinulat tulad ng ipinapakita sa larawan sa nakaraang seksyon ng artikulo, pagkatapos ay mathematically ang theorem na ito ay maaaring isulat sa anyo ng dalawang pagkakapantay-pantay:
- r 2 + r 1 \u003d -b / a;
- r 1 x r 2 \u003d c / a.
Kung saan ang r 1 , r 2 ay ang halaga ng mga ugat ng itinuturing na equation.
Ang dalawang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring gamitin upang malutas ang maraming magkakaibang mga problema sa matematika. Ang paggamit ng Vieta theorem sa mga halimbawang may solusyon ay ibinibigay sa mga sumusunod na seksyon ng artikulo.
Sa quadratic equation, meron buong linya mga ratios. Ang mga pangunahing ay ang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at mga coefficient. Gayundin, gumagana ang isang bilang ng mga relasyon sa mga quadratic equation, na ibinibigay ng Vieta theorem.
Sa paksang ito, ipinakita namin ang Vieta theorem mismo at ang patunay nito para sa isang quadratic equation, isang theorem converse sa Vieta's theorem, at sinusuri ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema. Magbibigay kami ng espesyal na pansin sa materyal sa pagsasaalang-alang ng mga formula ng Vieta, na tumutukoy sa kaugnayan sa pagitan ng mga tunay na ugat algebraic equation degree n at mga coefficient nito.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pahayag at patunay ng teorama ni Vieta
Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0 ng form x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, kung saan D = b 2 − 4 a c, nagtatatag ng ratio x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. Ito ay kinumpirma ng teorama ni Vieta.
Teorama 1
Sa isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, saan x 1 At x2- mga ugat, ang kabuuan ng mga ugat ay magiging katumbas ng ratio ng mga coefficient b At a, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay magiging katumbas ng ratio ng mga coefficient c At a, ibig sabihin. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.
Patunay 1
Inaalok namin sa iyo ang sumusunod na pamamaraan para sa pagsasagawa ng patunay: kinukuha namin ang pormula ng mga ugat, binubuo ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng quadratic equation at pagkatapos ay ibahin ang anyo ng mga resultang expression upang matiyak na sila ay pantay. -b a At c a ayon sa pagkakabanggit.
Buuin ang kabuuan ng mga ugat x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Dalhin natin ang mga fraction sa isang common denominator - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Buksan natin ang mga bracket sa numerator ng resultang fraction at magbigay ng magkatulad na termino: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Bawasan ang fraction sa pamamagitan ng: 2 - b a \u003d - b a.
Kaya't napatunayan natin ang unang kaugnayan ng teorama ni Vieta, na tumutukoy sa kabuuan ng mga ugat ng isang quadratic equation.
Ngayon ay lumipat tayo sa pangalawang relasyon.
Upang gawin ito, kailangan nating bumuo ng produkto ng mga ugat ng quadratic equation: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.
Alalahanin ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga praksiyon at isulat ang huling produkto tulad ng sumusunod: - b + D · - b - D 4 · a 2 .
Isasagawa namin ang pagpaparami ng bracket sa pamamagitan ng bracket sa numerator ng fraction, o gagamitin namin ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat upang mas mabilis na mabago ang produktong ito: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Gamitin natin ang kahulugan parisukat na ugat upang magawa ang sumusunod na paglipat: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c tumutugma sa discriminant ng quadratic equation, samakatuwid, sa isang fraction sa halip na D maaaring palitan b 2 − 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Buksan natin ang mga bracket, magbigay ng like terms at makakuha ng: 4 · a · c 4 · a 2 . Kung paikliin natin ito sa 4 a, pagkatapos ay nananatili ang c a. Kaya't napatunayan natin ang pangalawang kaugnayan ng Vieta theorem para sa produkto ng mga ugat.
Ang talaan ng patunay ng teorama ni Vieta ay maaaring magkaroon ng napakasimpleng anyo, kung aalisin natin ang mga paliwanag:
x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - ba, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 ac = b 2 - b 2 - 4 ac 4 a 2 = 4 ac 4 a 2 = ca.
Kapag ang discriminant ng isang quadratic equation ay zero, ang equation ay magkakaroon lamang ng isang ugat. Upang mailapat ang teorama ni Vieta sa naturang equation, maaari nating ipagpalagay na ang equation na may discriminant na katumbas ng zero ay may dalawang magkaparehong ugat. Sa katunayan, sa D=0 ang ugat ng quadratic equation ay: - b 2 a, pagkatapos x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - ba at x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, at dahil D \u003d 0, iyon ay, b 2 - 4 ac = 0, kung saan b 2 = 4 ac, pagkatapos b 2 4 a 2 = 4 ac 4 a 2 = ca.
Kadalasan sa pagsasanay, ang Vieta theorem ay inilalapat kaugnay sa pinababang quadratic equation ng form x 2 + p x + q = 0, kung saan ang nangungunang koepisyent a ay katumbas ng 1 . Sa pagsasaalang-alang na ito, ang teorama ni Vieta ay nabalangkas nang tumpak para sa mga equation ng ganitong uri. Hindi nito nililimitahan ang pangkalahatan dahil sa katotohanan na ang anumang quadratic equation ay maaaring palitan ng katumbas na equation. Upang gawin ito, kinakailangan upang hatiin ang parehong mga bahagi nito sa pamamagitan ng numero a, na naiiba sa zero.
Magbigay tayo ng isa pang pagbabalangkas ng teorama ni Vieta.
Teorama 2
Ang kabuuan ng mga ugat sa ibinigay na quadratic equation x 2 + p x + q = 0 ay magiging katumbas ng koepisyent sa x, na kinukuha gamit ang kabaligtaran na tanda, ang produkto ng mga ugat ay magiging katumbas ng libreng termino, i.e. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.
Theorem inverse to Vieta's theorem
Kung titingnan mong mabuti ang pangalawang pagbabalangkas ng teorama ni Vieta, makikita mo iyon para sa mga ugat x 1 At x2 pinababang quadratic equation x 2 + p x + q = 0 magiging wasto ang mga relasyong x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q. Mula sa mga ugnayang ito x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, ito ay sumusunod na x 1 At x2 ay ang mga ugat ng quadratic equation x 2 + p x + q = 0. Kaya dumating tayo sa isang pahayag na kabaligtaran ng teorama ni Vieta.
Iminumungkahi namin ngayon na gawing pormal ang pahayag na ito bilang isang teorama at isakatuparan ang patunay nito.
Teorama 3
Kung mga numero x 1 At x2 ay ganyan x 1 + x 2 = − p At x 1 x 2 = q, pagkatapos x 1 At x2 ay ang mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 + p x + q = 0.
Patunay 2
Pagbabago ng mga coefficient p At q sa kanilang pagpapahayag sa pamamagitan ng x 1 At x2 nagpapahintulot sa iyo na baguhin ang equation x 2 + p x + q = 0 sa isang katumbas .
Kung papalitan natin ang numero sa resultang equation x 1 sa halip na x, pagkatapos makuha namin ang pagkakapantay-pantay x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Ang pagkakapantay-pantay na ito para sa alinman x 1 At x2 nagiging totoo pagkakapantay-pantay ng numero 0 = 0 , dahil x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Ibig sabihin nito ay x 1- ugat ng equation x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, at ano x 1 ito rin ang ugat ng katumbas na equation x 2 + p x + q = 0.
Pagpapalit ng equation x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numero x2 sa halip na x ay nagpapahintulot sa iyo na makakuha ng pagkakapantay-pantay x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring ituring na totoo, dahil x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Lumalabas na x2 ay ang ugat ng equation x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, at samakatuwid ay ang mga equation x 2 + p x + q = 0.
Ang theorem converse sa Vieta's theorem ay napatunayan.
Mga halimbawa ng paggamit ng teorama ni Vieta
Magpatuloy tayo ngayon sa pagsusuri ng mga pinakakaraniwang halimbawa sa paksa. Magsimula tayo sa pagsusuri ng mga problema na nangangailangan ng aplikasyon ng teorama, ang kabaligtaran ng teorama ni Vieta. Maaari itong magamit upang suriin ang mga numero na nakuha sa kurso ng mga kalkulasyon, kung ang mga ito ay mga ugat ng isang ibinigay na quadratic equation. Upang gawin ito, kailangan mong kalkulahin ang kanilang kabuuan at pagkakaiba, at pagkatapos ay suriin ang bisa ng mga ratios x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c.
Ang katuparan ng parehong mga relasyon ay nagpapahiwatig na ang mga numero na nakuha sa kurso ng mga kalkulasyon ay ang mga ugat ng equation. Kung nakikita natin na hindi bababa sa isa sa mga kundisyon ang hindi natutugunan, kung gayon ang mga numerong ito ay hindi maaaring maging ugat ng quadratic equation na ibinigay sa kondisyon ng problema.
Halimbawa 1
Alin sa mga pares ng mga numero 1) x 1 = - 5, x 2 = 3, o 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, o 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = Ang 2 - 7 2 ay isang pares ng mga ugat ng quadratic equation 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?
Solusyon
Hanapin ang mga coefficient ng quadratic equation 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . Ito ay a = 4 , b = − 16 , c = 9 . Alinsunod sa Vieta theorem, ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation ay dapat na katumbas ng -b a, ibig sabihin, 16 4 = 4 , at ang produkto ng mga ugat ay dapat na katumbas ng c a, ibig sabihin, 9 4 .
Suriin natin ang mga nakuhang numero sa pamamagitan ng pagkalkula ng kabuuan at produkto ng mga numero mula sa tatlong ibinigay na mga pares at paghahambing ng mga ito sa mga nakuhang halaga.
Sa unang kaso x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Iba ang value na ito sa 4 , kaya hindi mo na kailangang ipagpatuloy ang pagsuri. Ayon sa theorem, ang kabaligtaran ng Vieta's theorem, maaari nating tapusin kaagad na ang unang pares ng mga numero ay hindi ang mga ugat ng quadratic equation na ito.
Sa pangalawang kaso x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Nakikita natin na ang unang kondisyon ay natugunan. Ngunit ang pangalawang kundisyon ay hindi: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Iba ang halaga na nakuha natin 9 4 . Nangangahulugan ito na ang pangalawang pares ng mga numero ay hindi mga ugat ng quadratic equation.
Lumipat tayo sa ikatlong pares. Dito x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 at x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Ang parehong mga kondisyon ay nasiyahan, na nangangahulugan na x 1 At x2 ay ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation.
Sagot: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2
Maaari rin nating gamitin ang kabaligtaran ng teorem ni Vieta upang mahanap ang mga ugat ng isang quadratic equation. Ang pinakamadaling paraan ay ang pumili ng mga integer na ugat ng ibinigay na quadratic equation na may mga integer coefficient. Ang iba pang mga opsyon ay maaari ding isaalang-alang. Ngunit ito ay maaaring makabuluhang kumplikado ang mga kalkulasyon.
Upang piliin ang mga ugat, ginagamit namin ang katotohanan na kung ang kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng pangalawang koepisyent ng quadratic equation, kinuha gamit ang isang minus sign, at ang produkto ng mga numerong ito ay katumbas ng libreng termino, kung gayon ang mga numerong ito ay ang mga ugat ng quadratic equation na ito.
Halimbawa 2
Bilang halimbawa, ginagamit namin ang quadratic equation x 2 − 5 x + 6 = 0. Numero x 1 At x2 maaaring maging ugat ng equation na ito kung ang dalawang pagkakapantay-pantay ay nasiyahan x1 + x2 = 5 At x 1 x 2 = 6. Piliin natin ang mga numerong iyon. Ito ang mga numero 2 at 3 dahil 2 + 3 = 5 At 2 3 = 6. Lumalabas na 2 at 3 ang mga ugat ng quadratic equation na ito.
Ang kabaligtaran ng teorama ni Vieta ay maaaring gamitin upang mahanap ang pangalawang ugat kapag ang una ay kilala o halata. Para dito maaari nating gamitin ang mga ratios x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .
Halimbawa 3
Isaalang-alang ang quadratic equation 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Kailangan nating hanapin ang mga ugat ng equation na ito.
Solusyon
Ang unang ugat ng equation ay 1 dahil ang kabuuan ng mga coefficient ng quadratic equation na ito ay zero. Lumalabas na x 1 = 1.
Ngayon hanapin natin ang pangalawang ugat. Upang gawin ito, maaari mong gamitin ang ratio x 1 x 2 = c a. Lumalabas na 1 x 2 = − 3 512, saan x 2 \u003d - 3 512.
Sagot: ang mga ugat ng quadratic equation na tinukoy sa kondisyon ng problema 1 At - 3 512 .
Posibleng pumili ng mga ugat gamit ang theorem converse sa Vieta's theorem lamang sa mga simpleng kaso. Sa ibang mga kaso, mas mainam na maghanap gamit ang formula ng mga ugat ng quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant.
Salamat sa converse theorem ng Vieta, maaari rin tayong bumuo ng mga quadratic equation na ibinigay sa mga ugat x 1 At x2. Upang gawin ito, kailangan nating kalkulahin ang kabuuan ng mga ugat, na nagbibigay ng koepisyent sa x na may kabaligtaran na tanda ng pinababang quadratic equation, at ang produkto ng mga ugat, na nagbibigay ng libreng termino.
Halimbawa 4
Sumulat ng isang quadratic equation na ang mga ugat ay mga numero − 11 At 23 .
Solusyon
Tanggapin na natin yan x 1 = − 11 At x2 = 23. Ang kabuuan at produkto ng mga numerong ito ay magiging katumbas ng: x1 + x2 = 12 At x 1 x 2 = − 253. Nangangahulugan ito na ang pangalawang koepisyent ay 12, ang libreng termino − 253.
Gumagawa kami ng isang equation: x 2 - 12 x - 253 = 0.
Sagot: x 2 − 12 x − 253 = 0 .
Magagamit natin ang Vieta theorem upang malutas ang mga problema na nauugnay sa mga palatandaan ng mga ugat ng quadratic equation. Ang koneksyon sa pagitan ng teorama ni Vieta ay nauugnay sa mga palatandaan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 + p x + q = 0 sa sumusunod na paraan:
- kung ang quadratic equation ay may tunay na ugat at kung ang free term q ay isang positibong numero, kung gayon ang mga ugat na ito ay magkakaroon ng parehong tanda na "+" o "-";
- kung ang quadratic equation ay may mga ugat at kung ang free term q ay isang negatibong numero, kung gayon ang isang ugat ay magiging "+" at ang pangalawang "-".
Ang parehong mga pahayag na ito ay bunga ng formula x 1 x 2 = q at mga panuntunan para sa pagpaparami ng positibo at negatibong mga numero, pati na rin ang mga numero na may iba't ibang palatandaan.
Halimbawa 5
Ang mga ugat ng isang quadratic equation x 2 - 64 x - 21 = 0 positibo?
Solusyon
Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta, ang mga ugat ng equation na ito ay hindi maaaring maging positibo, dahil dapat nilang matugunan ang pagkakapantay-pantay. x 1 x 2 = − 21. Ito ay hindi posible sa positibo x 1 At x2.
Sagot: Hindi
Halimbawa 6
Sa anong mga halaga ng parameter r quadratic equation x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 magkakaroon ng dalawang tunay na ugat na may magkakaibang mga palatandaan.
Solusyon
Magsimula tayo sa paghahanap ng mga halaga ng kung ano r, kung saan ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin natin ang discriminant at tingnan kung ano r kukuha ito ng mga positibong halaga. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Halaga ng pagpapahayag r2 + 8 positibo para sa anumang tunay r, samakatuwid, ang discriminant ay magiging mas malaki kaysa sa zero para sa anumang tunay r. Nangangahulugan ito na ang orihinal na quadratic equation ay magkakaroon ng dalawang ugat para sa anumang tunay na halaga ng parameter r.
Ngayon tingnan natin kung kailan magkakaroon ng iba't ibang palatandaan ang mga ugat. Posible ito kung negatibo ang kanilang produkto. Ayon sa Vieta theorem, ang produkto ng mga ugat ng pinababang quadratic equation ay katumbas ng libreng termino. Ibig sabihin, tamang desisyon magkakaroon ng mga halaga r, kung saan ang libreng termino r − 1 ay negatibo. Kami ang magpapasya linear inequality r − 1< 0 , получаем r < 1 .
Sagot: sa r< 1 .
Mga formula ng Vieta
Mayroong ilang mga formula na naaangkop para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga ugat at coefficient na hindi lamang parisukat, kundi pati na rin kubiko at iba pang mga uri ng mga equation. Tinatawag silang mga Vieta formula.
Para sa isang algebraic equation ng degree n ng anyong a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 ang equation ay itinuturing na mayroon n tunay na ugat x 1 , x 2 , … , x n, na maaaring kabilang ang sumusunod:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - isang 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + . . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0
Kahulugan 1
Kunin ang mga Vieta formula na makakatulong sa amin:
- theorem sa agnas ng isang polynomial sa linear na mga kadahilanan;
- kahulugan ng equal polynomials sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng lahat ng kaukulang coefficient nito.
Kaya, ang polynomial a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n at ang pagpapalawak nito sa mga linear na salik ng anyong a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) ay pantay.
Kung palawakin natin ang mga bracket pinakabagong gawa at equate ang kaukulang coefficients, pagkatapos ay makuha namin ang Vieta formula. Sa pagkuha ng n \u003d 2, makakakuha tayo ng Vieta formula para sa quadratic equation: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.
Kahulugan 2
Ang formula ng Vieta para sa isang cubic equation:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Ang kaliwang bahagi ng mga formula ng Vieta ay naglalaman ng tinatawag na elementarya na simetriko polynomial.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Ang theorem ng Vieta (mas tiyak, ang kabaligtaran ng theorem sa theorem ng Vieta) ay nagpapahintulot sa amin na bawasan ang oras para sa paglutas ng mga quadratic equation. Kailangan mo lang malaman kung paano ito gamitin. Paano matutunan ang paglutas ng mga quadratic equation gamit ang teorem ni Vieta? Madali lang kung mag-isip ka ng kaunti.
Ngayon ay pag-uusapan lamang natin ang solusyon ng pinababang quadratic equation gamit ang Vieta theorem. Ang pinababang quadratic equation ay isang equation kung saan ang a, iyon ay, ang coefficient sa harap ng x², ay katumbas ng isa. Ang hindi ibinigay na mga quadratic equation ay maaari ding lutasin gamit ang Vieta theorem, ngunit mayroon nang kahit isa sa mga ugat ay hindi isang integer. Mas mahirap silang hulaan.
Ang theorem converse sa Vieta's theorem ay nagsasabing: kung ang mga numerong x1 at x2 ay ganoon
pagkatapos ang x1 at x2 ay ang mga ugat ng quadratic equation
Kapag nag-solve ng quadratic equation gamit ang Vieta theorem, 4 na opsyon lang ang posible. Kung naaalala mo ang kurso ng pangangatwiran, matututunan mong mahanap ang buong ugat nang napakabilis.
I. Kung ang q ay isang positibong numero,
nangangahulugan ito na ang mga ugat na x1 at x2 ay mga numero ng parehong tanda (dahil kapag nagpaparami lamang ng mga numero na may parehong mga palatandaan, isang positibong numero ang nakuha).
I.a. Kung ang -p ay isang positibong numero, (ayon sa pagkakabanggit, p<0), то оба корня x1 и x2 — mga positibong numero(dahil nagdagdag sila ng mga numero ng parehong sign at nakakuha ng positibong numero).
I.b. Kung ang -p ay isang negatibong numero, (ayon sa pagkakabanggit, p>0), pagkatapos ang parehong mga ugat ay negatibong mga numero (nagdagdag sila ng mga numero ng parehong sign, nakakuha ng negatibong numero).
II. Kung ang q ay isang negatibong numero,
nangangahulugan ito na ang mga ugat na x1 at x2 ay may iba't ibang mga palatandaan (kapag nagpaparami ng mga numero, isang negatibong numero ang nakukuha lamang kapag ang mga palatandaan ng mga kadahilanan ay naiiba). Sa kasong ito, ang x1 + x2 ay hindi na isang kabuuan, ngunit isang pagkakaiba (pagkatapos ng lahat, kapag nagdaragdag ng mga numero na may iba't ibang mga palatandaan, binabawasan namin ang mas maliit mula sa mas malaking modulo). Samakatuwid, ang x1 + x2 ay nagpapakita kung gaano kalaki ang pagkakaiba ng mga ugat na x1 at x2, iyon ay, kung gaano kalaki ang isang ugat kaysa sa isa (modulo).
II.a. Kung ang -p ay isang positibong numero, (i.e. p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Kung ang -p ay isang negatibong numero, (p>0), kung gayon ang mas malaking (modulo) na ugat ay negatibong numero.
Isaalang-alang ang solusyon ng mga quadratic equation ayon sa theorem ni Vieta gamit ang mga halimbawa.
Lutasin ang ibinigay na quadratic equation gamit ang Vieta's theorem:
Dito q=12>0, kaya ang mga ugat na x1 at x2 ay mga numero ng parehong tanda. Ang kanilang kabuuan ay -p=7>0, kaya ang parehong mga ugat ay positibong numero. Pinipili namin ang mga integer na ang produkto ay 12. Ito ang 1 at 12, 2 at 6, 3 at 4. Ang kabuuan ay 7 para sa pares na 3 at 4. Samakatuwid, ang 3 at 4 ay ang mga ugat ng equation.
Sa halimbawang ito, q=16>0, na nangangahulugan na ang mga ugat na x1 at x2 ay mga numero ng parehong tanda. Ang kanilang kabuuan -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Dito q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, kung gayon ang mas malaking bilang ay positibo. Kaya ang mga ugat ay 5 at -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
I. Vieta's theorem para sa pinababang quadratic equation.
Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Hanapin ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation gamit ang Vieta's theorem.
Halimbawa 1) x 2 -x-30=0. Ito ang pinababang quadratic equation ( x 2 +px+q=0), ang pangalawang koepisyent p=-1, at ang libreng termino q=-30. Una, siguraduhin na ang ibinigay na equation ay may mga ugat, at ang mga ugat (kung mayroon man) ay ipapakita bilang mga integer. Para dito, sapat na na ang discriminant ay ang buong parisukat ng isang integer.
Paghahanap ng discriminant D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Ngayon, ayon sa Vieta theorem, ang kabuuan ng mga ugat ay dapat na katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha sa kabaligtaran na tanda, i.e. ( -p), at ang produkto ay katumbas ng libreng termino, i.e. ( q). Pagkatapos:
x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Kailangan nating pumili ng gayong dalawang numero upang ang kanilang produkto ay katumbas ng -30 , at ang kabuuan ay yunit. Ito ang mga numero -5 At 6 . Sagot: -5; 6.
Halimbawa 2) x 2 +6x+8=0. Mayroon kaming pinababang quadratic equation na may pangalawang coefficient p=6 at libreng miyembro q=8. Tiyaking mayroong mga integer na ugat. Hanapin natin ang discriminant D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Ang discriminant D 1 ay ang perpektong parisukat ng numero 1 , kaya ang mga ugat ng equation na ito ay mga integer. Pinipili namin ang mga ugat ayon sa Vieta theorem: ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng –p=-6, at ang produkto ng mga ugat ay q=8. Ito ang mga numero -4 At -2 .
Sa totoo lang: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Sagot: -4; -2.
Halimbawa 3) x 2 +2x-4=0. Sa pinababang quadratic equation na ito, ang pangalawang coefficient p=2, at ang libreng termino q=-4. Hanapin natin ang discriminant D1, dahil ang pangalawang coefficient ay isang even na numero. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Ang discriminant ay hindi perpektong parisukat ng isang numero, kaya ginagawa namin output: ang mga ugat ng equation na ito ay hindi integer at hindi mahahanap gamit ang teorem ni Vieta. Kaya, lutasin namin ang equation na ito, gaya ng dati, ayon sa mga formula (sa kasong ito, ayon sa mga formula). Nakukuha namin:
Halimbawa 4). Sumulat ng isang quadratic equation gamit ang mga ugat nito kung x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
Solusyon. Ang nais na equation ay isusulat sa form: x 2 +px+q=0, bukod dito, batay sa Vieta theorem –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo: x2 +3x-28=0.
Halimbawa 5). Sumulat ng isang quadratic equation gamit ang mga ugat nito kung:
II. Ang teorama ni Vieta para sa kumpletong quadratic equation ax2+bx+c=0.
Ang kabuuan ng mga ugat ay minus b hinati ng ngunit, ang produkto ng mga ugat ay mula sa hinati ng ngunit:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
