Hanapin ang discriminant ng quadratic equation. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang discriminant

Umaasa ako na pagkatapos pag-aralan ang artikulong ito, matututunan mo kung paano hanapin ang mga ugat ng isang kumpletong quadratic equation.

Sa tulong ng discriminant, ang kumpletong quadratic equation lamang ang malulutas; upang malutas ang hindi kumpleto quadratic equation gumamit ng iba pang mga pamamaraan na makikita mo sa artikulong "Paglutas ng hindi kumpletong quadratic equation".

Anong mga quadratic equation ang tinatawag na complete? Ito ay mga equation ng anyong ax 2 + b x + c = 0, kung saan ang mga coefficient a, b at c ay hindi katumbas ng zero. Kaya, upang malutas ang kumpletong quadratic equation, kailangan mong kalkulahin ang discriminant D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Depende sa kung anong halaga mayroon ang discriminant, isusulat namin ang sagot.

Kung ang discriminant ay isang negatibong numero (D< 0),то корней нет.

Kung ang discriminant ay zero, kung gayon x \u003d (-b) / 2a. Kapag ang discriminant positibong numero(D > 0),

pagkatapos x 1 = (-b - √D)/2a, at x 2 = (-b + √D)/2a.

Halimbawa. lutasin ang equation x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Sagot: 2.

Lutasin ang Equation 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Sagot: walang ugat.

Lutasin ang Equation 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Sagot: - 3.5; isa.

Kaya't isipin natin ang solusyon ng kumpletong quadratic equation sa pamamagitan ng scheme sa Figure 1.

Ang mga formula na ito ay maaaring gamitin upang malutas ang anumang kumpletong quadratic equation. Kailangan mo lang mag-ingat ang equation ay isinulat bilang polynomial ng karaniwang anyo

a x 2 + bx + c, kung hindi, maaari kang magkamali. Halimbawa, sa pagsulat ng equation na x + 3 + 2x 2 = 0, maaari kang magkamali na magpasya na

a = 1, b = 3 at c = 2. Pagkatapos

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 at pagkatapos ang equation ay may dalawang ugat. At hindi ito totoo. (Tingnan ang halimbawa 2 solusyon sa itaas).

Samakatuwid, kung ang equation ay hindi isinulat bilang isang polynomial ng standard form, una ang kumpletong quadratic equation ay dapat na nakasulat bilang isang polynomial ng standard form (ang monomial na may pinakamalaking exponent ay dapat na nasa unang lugar, iyon ay. a x 2 , pagkatapos ay may mas kaunti – bx, at pagkatapos ay ang libreng termino kasama.

Kapag nilulutas ang nasa itaas na quadratic equation at ang quadratic equation na may pantay na koepisyent para sa pangalawang termino, maaari ding gumamit ng ibang mga formula. Kilalanin natin ang mga formula na ito. Kung sa buong quadratic equation na may pangalawang termino ang coefficient ay kahit na (b = 2k), kung gayon ang equation ay maaaring malutas gamit ang mga formula na ipinapakita sa diagram ng Figure 2.

Ang isang kumpletong quadratic equation ay tinatawag na reduced kung ang coefficient sa x 2 katumbas ng pagkakaisa at ang equation ay nasa anyo x 2 + px + q = 0. Ang nasabing equation ay maaaring ibigay upang malutas, o makuha sa pamamagitan ng paghahati sa lahat ng coefficient ng equation sa coefficient a nakatayo sa x 2 .

Ipinapakita ng Figure 3 ang isang diagram ng solusyon ng pinababang parisukat
mga equation. Isaalang-alang ang halimbawa ng aplikasyon ng mga formula na tinalakay sa artikulong ito.

Halimbawa. lutasin ang equation

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Lutasin natin ang equation na ito gamit ang mga formula na ipinapakita sa Figure 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Sagot: -1 - √3; –1 + √3

Makikita mo na ang coefficient sa x sa equation na ito ay isang even number, iyon ay, b \u003d 6 o b \u003d 2k, kung saan k \u003d 3. Pagkatapos ay subukan nating lutasin ang equation gamit ang mga formula na ipinapakita sa figure diagram D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Sagot: -1 - √3; –1 + √3. Napansin na ang lahat ng mga coefficient sa quadratic equation na ito ay nahahati sa 3 at naghahati, nakukuha natin ang pinababang quadratic equation x 2 + 2x - 2 = 0 Nalutas namin ang equation na ito gamit ang mga formula para sa pinababang quadratic.
equation figure 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Sagot: -1 - √3; –1 + √3.

Tulad ng nakikita mo, kapag nilulutas ang equation na ito gamit ang iba't ibang mga formula, nakuha namin ang parehong sagot. Samakatuwid, ang pagkakaroon ng mahusay na mastered ang mga formula na ipinapakita sa diagram ng Figure 1, maaari mong palaging malutas ang anumang kumpletong quadratic equation.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Mahalaga! Sa mga ugat ng kahit multiplicity, ang function ay hindi nagbabago ng sign.

Tandaan! Anumang di-linear na hindi pagkakapantay-pantay ng kursong algebra ng paaralan ay dapat lutasin gamit ang paraan ng mga pagitan.

Nag-aalok ako sa iyo ng isang detalyadong algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan, kasunod nito ay maiiwasan mo ang mga error kapag paglutas ng mga di-linear na hindi pagkakapantay-pantay.

Paglutas ng mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon

Sa pagkakaalam natin,

i 2 = - 1.

gayunpaman,

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Kaya, mayroong hindi bababa sa dalawang mga halaga para sa square root ng - 1, ibig sabihin i at - i . Ngunit marahil mayroong ilang iba pang kumplikadong mga numero na ang mga parisukat ay - 1?

Upang linawin ang tanong na ito, ipagpalagay na ang parisukat ng isang kumplikadong numero isang + bi katumbas ng - 1. Pagkatapos

(isang + bi ) 2 = - 1,

a 2 + 2abi - b 2 = - 1

Ang dalawang kumplikadong numero ay pantay-pantay kung at kung ang kanilang mga tunay na bahagi at ang mga koepisyent ng mga haka-haka na bahagi ay pantay. Kaya

Ayon sa pangalawang equation ng system (1), kahit isa sa mga numero a at b dapat katumbas ng zero. Kung ang b = 0, pagkatapos ay magbubunga ang unang equation a 2 = - 1. Bilang a tunay, at samakatuwid a 2 > 0. Hindi-negatibong numero a 2 ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero - 1. Samakatuwid, pagkakapantay-pantay b = 0 ay imposible sa kasong ito. Ito ay nananatiling kilalanin na a = 0, ngunit mula sa unang equation ng system ay nakukuha natin: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Samakatuwid, ang tanging kumplikadong mga numero na ang mga parisukat ay -1 ay ang mga numero i at - i , Ito ay may kondisyong isinulat bilang:

√-1 = ± i .

Sa pamamagitan ng katulad na pangangatwiran, mapapatunayan ng mga mag-aaral na mayroong eksaktong dalawang numero na ang mga parisukat ay katumbas ng negatibong numero - a . Ang mga numerong ito ay √ ai at -√ ai . Conventionally, ito ay nakasulat tulad nito:

√- a = ± √ ai .

Sa ilalim ng √ a dito ang arithmetic, ibig sabihin, positive, root ang ibig sabihin. Halimbawa, √4 = 2, √9 =.3; kaya lang

√-4 = + 2i , √-9= ± 3 i

Kung kanina, kapag isinasaalang-alang ang mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon, sinabi namin na ang mga naturang equation ay walang mga ugat, ngayon ay hindi na posible na sabihin ito. Ang mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon ay may mga kumplikadong ugat. Ang mga ugat na ito ay nakuha sa pamamagitan ng mga formula na kilala sa amin. Hayaan, halimbawa, ibinigay ang equation x 2 + 2X + 5 = 0; pagkatapos

X 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Kaya ang equation na ito ay may dalawang ugat: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Ang mga ugat na ito ay magkakaugnay. Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang kanilang kabuuan ay katumbas ng - 2, at ang produkto ay 5, kaya ang Vieta's theorem ay natupad.

Ang konsepto ng isang kumplikadong numero

Ang kumplikadong numero ay isang pagpapahayag ng anyong a + ib, kung saan ang a at b ay anumang tunay na numero, ang i ay isang espesyal na numero, na tinatawag na imaginary unit. Para sa gayong mga ekspresyon, ang mga konsepto ng pagkakapantay-pantay at ang mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami ay ipinakilala tulad ng sumusunod:

1. Ang dalawang kumplikadong numero na a + ib at c + id ay sinasabing magkapareho kung at kung lamang
   a = b at c = d .
2. Ang kabuuan ng dalawang kumplikadong numero a + ib at c + id ay isang kumplikadong numero
   a + c + i (b + d).
3. Ang produkto ng dalawang kumplikadong numero a + ib at c + id ay isang kumplikadong numero
   ac - bd + i (ad + bc).

Ang mga kumplikadong numero ay madalas na tinutukoy ng isang titik, tulad ng z = a + ib. Ang tunay na numero a ay tinatawag na tunay na bahagi ng kumplikadong bilang na z, ang tunay na bahagi ay tinutukoy a = Re z . Ang tunay na bilang b ay tinatawag na haka-haka na bahagi ng kumplikadong numero z, ang haka-haka na bahagi ay tinutukoy b = Im z . Ang ganitong mga pangalan ay pinili kaugnay ng mga sumusunod na espesyal na katangian ng mga kumplikadong numero.

Tandaan na ang mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga kumplikadong numero ng anyong z = a + i · 0 ay isinasagawa sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa mga tunay na numero. Talaga,

Samakatuwid, ang mga kumplikadong numero ng anyong a + i · 0 ay natural na kinilala sa mga tunay na numero. Dahil dito, ang mga kumplikadong numero ng ganitong uri ay tinatawag na tunay. Kaya, ang hanay ng mga tunay na numero ay nakapaloob sa hanay ng mga kumplikadong numero. Ang hanay ng mga kumplikadong numero ay tinutukoy ng . Itinatag namin iyon, ibig sabihin

Hindi tulad ng mga tunay na numero, ang mga numero ng anyong 0 + ib ay tinatawag na puro haka-haka. Kadalasan ay isulat lamang ang bi , halimbawa, 0 + i 3 = 3 i . Ang isang purong haka-haka na numero i1 = 1 i = i ay may nakakagulat na katangian:
kaya,

№ 4 .1. Sa matematika, ang function ng numero ay isang function na ang mga domain at value ay mga subset ng mga set ng numero—karaniwan ay ang set ng mga totoong numero o ang set ng complex number.

Function Graph

Function Graph Fragment

Mga paraan upang magtakda ng isang function

[baguhin] Paraan ng analitikal

Karaniwan, ang isang function ay tinutukoy gamit ang isang formula na kinabibilangan ng mga variable, pagpapatakbo, at elementarya na pag-andar. Marahil isang pira-pirasong pagtatalaga, iyon ay, naiiba para sa iba't ibang mga halaga ng argumento.

[baguhin] Tabular na paraan

Ang isang function ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng paglilista ng lahat ng posibleng mga argumento nito at ang kanilang mga halaga. Pagkatapos nito, kung kinakailangan, ang function ay maaaring palawigin para sa mga argumento na wala sa talahanayan, sa pamamagitan ng interpolation o extrapolation. Ang mga halimbawa ay isang gabay sa programa, isang iskedyul ng tren, o isang talahanayan ng mga halaga para sa isang Boolean function:

[baguhin] Graphical na paraan

Ang oscillogram ay nagtatakda ng halaga ng ilang function nang graphical.

Ang isang function ay maaaring tukuyin nang grapiko sa pamamagitan ng pagpapakita ng isang hanay ng mga punto ng graph nito sa isang eroplano. Ito ay maaaring isang magaspang na sketch ng kung ano ang dapat na hitsura ng function, o mga pagbabasa na kinuha mula sa isang instrumento tulad ng isang oscilloscope. Ang pagtutukoy na ito ay maaaring magdusa mula sa isang kakulangan ng katumpakan, ngunit sa ilang mga kaso iba pang mga paraan ng pagtutukoy ay hindi maaaring ilapat sa lahat. Bilang karagdagan, ang paraan ng pagtatakda na ito ay isa sa pinakakinatawan, madaling maunawaan at mataas na kalidad na pagsusuri ng heuristic ng function.

[baguhin] Recursive na paraan

Ang isang function ay maaaring recursively tukuyin, iyon ay, sa pamamagitan ng kanyang sarili. Sa kasong ito, ang ilang mga halaga ng function ay tinutukoy sa pamamagitan ng iba pang mga halaga nito.

• factorial;
• Mga numero ng Fibonacci;
• Pag-andar ng Ackerman.

[baguhin] pasalitang paraan

Ang isang function ay maaaring ilarawan sa natural na mga salita sa wika sa ilang hindi malabo na paraan, halimbawa, sa pamamagitan ng paglalarawan sa mga halaga ng input at output nito, o ang algorithm kung saan ang function ay nagtatalaga ng mga pagsusulatan sa pagitan ng mga halagang ito. Pati na rin ang graphically, minsan naman ang tanging paraan ilarawan ang isang function, kahit na ang mga natural na wika ay hindi kasing deterministiko ng mga pormal.

• isang function na nagbabalik ng isang digit sa notasyon ng pi sa pamamagitan ng numero nito;
• isang function na nagbabalik ng bilang ng mga atomo sa uniberso sa isang takdang oras;
• isang function na kumukuha ng isang tao bilang isang argumento at ibinabalik ang bilang ng mga tao na isisilang sa mundo pagkatapos ng kanyang kapanganakan

Quadratic equation - madaling lutasin! *Dagdag sa tekstong "KU". Mga kaibigan, tila sa matematika ay mas madali ito kaysa sa paglutas ng gayong equation. Pero may nagsabi sa akin na maraming tao ang may problema sa kanya. Nagpasya akong makita kung gaano karaming mga impression ang ibinibigay ng Yandex bawat kahilingan bawat buwan. Narito ang nangyari, tingnan mo:

Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na humigit-kumulang 70,000 tao bawat buwan ang naghahanap ng impormasyong ito, ano ang kinalaman nitong tag-init dito, at kung ano ang mangyayari sa taon ng paaralan- doble ang laki ng mga kahilingan. Hindi ito nakakagulat, dahil ang mga lalaki at babae na matagal nang nagtapos sa paaralan at naghahanda para sa pagsusulit ay naghahanap ng impormasyong ito, at sinusubukan din ng mga mag-aaral na i-refresh ang kanilang memorya.

Sa kabila ng katotohanan na maraming mga site na nagsasabi kung paano lutasin ang equation na ito, nagpasya akong mag-ambag din at mag-publish ng materyal. Una, gusto kong pumunta ang mga bisita sa aking site sa kahilingang ito; pangalawa, sa ibang mga artikulo, kapag lumabas ang talumpating "KU", magbibigay ako ng link sa artikulong ito; pangatlo, sasabihin ko sa iyo ang kaunti pa tungkol sa kanyang solusyon kaysa sa karaniwang nakasaad sa ibang mga site. Magsimula na tayo! Ang nilalaman ng artikulo:

Ang isang quadratic equation ay isang equation ng anyo:

kung saan ang mga coefficient a,bat may mga arbitrary na numero, na may a≠0.

Sa kurso ng paaralan, ang materyal ay ibinibigay sa sumusunod na anyo - ang paghahati ng mga equation sa tatlong klase ay may kondisyong ginagawa:

1. Magkaroon ng dalawang ugat.

2. * Magkaroon lamang ng isang ugat.

3. Walang mga ugat. Ito ay nagkakahalaga na tandaan dito na wala silang tunay na mga ugat

Paano kinakalkula ang mga ugat? Basta!

Kinakalkula namin ang discriminant. Sa ilalim ng "kakila-kilabot" na salitang ito ay may napakasimpleng formula:

Ang root formula ay ang mga sumusunod:

*Ang mga formula na ito ay dapat na kilala sa puso.

Maaari mong isulat kaagad at magpasya:

Halimbawa:

1. Kung D > 0, ang equation ay may dalawang ugat.

2. Kung D = 0, ang equation ay may isang ugat.

3. Kung D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Tingnan natin ang equation:

Sa pagkakataong ito, kapag ang discriminant ay zero, ang kurso sa paaralan ay nagsasabi na ang isang ugat ay nakuha, dito ito ay katumbas ng siyam. Tama iyon, ngunit...

Ang representasyong ito ay medyo hindi tama. Sa katunayan, mayroong dalawang ugat. Oo, oo, huwag magulat, lumalabas ang dalawang pantay na ugat, at upang maging tumpak sa matematika, kung gayon ang dalawang ugat ay dapat na nakasulat sa sagot:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ngunit ito ay kaya - isang maliit na digression. Sa paaralan, maaari mong isulat at sabihin na mayroon lamang isang ugat.

Ngayon ang sumusunod na halimbawa:

Tulad ng alam natin, ang ugat ng negatibong numero ay hindi nakuha, kaya walang solusyon sa kasong ito.

Iyan ang buong proseso ng desisyon.

Quadratic function.

Narito ang hitsura ng solusyon sa geometriko. Napakahalagang maunawaan ito (sa hinaharap, sa isa sa mga artikulo, susuriin namin nang detalyado ang solusyon ng isang quadratic inequality).

Ito ay isang function ng form:

kung saan ang x at y ay mga variable

Ang a, b, c ay binibigyan ng mga numero, kung saan ang a ≠ 0

Ang graph ay isang parabola:

Iyon ay, lumalabas na sa pamamagitan ng paglutas ng isang quadratic equation na may "y" na katumbas ng zero, nahanap natin ang mga punto ng intersection ng parabola na may x-axis. Maaaring may dalawa sa mga puntong ito (positibo ang discriminant), isa (zero ang discriminant) o wala (negatibo ang discriminant). Mga detalye tungkol sa quadratic function Maaari mong tingnan artikulo ni Inna Feldman.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

Halimbawa 1: Magpasya 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Sagot: x 1 = 8 x 2 = -12

* Maaari kang umalis kaagad at kanang bahagi hatiin ang equation sa pamamagitan ng 2, iyon ay, pasimplehin ito. Ang mga kalkulasyon ay magiging mas madali.

Halimbawa 2: Magpasya x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Nakuha namin iyon x 1 \u003d 11 at x 2 \u003d 11

Sa sagot, pinahihintulutang isulat ang x = 11.

Sagot: x = 11

Halimbawa 3: Magpasya x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Ang discriminant ay negatibo, walang solusyon sa totoong mga numero.

Sagot: walang solusyon

Ang discriminant ay negatibo. May solusyon!

Dito ay pag-uusapan natin ang paglutas ng equation sa kaso kapag ito ay lumabas negatibong diskriminasyon. May alam ka ba tungkol sa kumplikadong mga numero? Hindi ko na idedetalye dito kung bakit at saan sila bumangon at kung ano ang kanilang tiyak na papel at pangangailangan sa matematika, ito ay isang paksa para sa isang malaking hiwalay na artikulo.

Ang konsepto ng isang kumplikadong numero.

Medyo teorya.

Ang complex number z ay isang numero ng form

z = a + bi

kung saan ang a at b ay tunay na mga numero, ang i ay ang tinatawag na imaginary unit.

a+bi ay isang SINGLE NUMBER, hindi isang karagdagan.

Ang haka-haka na yunit ay katumbas ng ugat ng minus one:

Ngayon isaalang-alang ang equation:

Kumuha ng dalawang conjugate roots.

Hindi kumpletong quadratic equation.

Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso, ito ay kapag ang coefficient na "b" o "c" ay katumbas ng zero (o pareho ay katumbas ng zero). Madali silang malulutas nang walang anumang diskriminasyon.

Case 1. Coefficient b = 0.

Ang equation ay tumatagal sa anyo:

Ibahin natin:

Halimbawa:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Case 2. Coefficient c = 0.

Ang equation ay tumatagal sa anyo:

Ibahin ang anyo, i-factorize:

*Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero.

Halimbawa:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Case 3. Coefficients b = 0 at c = 0.

Dito ay malinaw na ang solusyon sa equation ay palaging magiging x = 0.

Mga kapaki-pakinabang na katangian at pattern ng mga coefficient.

May mga katangian na nagpapahintulot sa paglutas ng mga equation na may malalaking coefficient.

ax 2 + bx+ c=0 pagkakapantay-pantay

a + b+ c = 0, pagkatapos

- kung para sa mga coefficient ng equation ax 2 + bx+ c=0 pagkakapantay-pantay

a+ kasama ang =b, pagkatapos

Nakakatulong ang mga katangiang ito sa isang tiyak na uri mga equation.

Halimbawa 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Ang kabuuan ng mga coefficient ay 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, kaya

Halimbawa 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Pagkakapantay-pantay a+ kasama ang =b, ibig sabihin

Regularidad ng mga coefficient.

1. Kung sa equation ax 2 + bx + c \u003d 0 ang koepisyent na "b" ay (a 2 +1), at ang koepisyent na "c" ay katumbas ng bilang ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Kung sa equation ax 2 - bx + c \u003d 0, ang koepisyent na "b" ay (a 2 +1), at ang koepisyent na "c" ay numerong katumbas ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Kung sa equation ax 2 + bx - c = 0 coefficient "b" katumbas ng (a 2 – 1), at ang koepisyent na “c” numerong katumbas ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay pantay

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Kung sa equation ax 2 - bx - c \u003d 0, ang coefficient "b" ay katumbas ng (a 2 - 1), at ang coefficient c ay numerically katumbas ng coefficient "a", kung gayon ang mga ugat nito ay

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 10x 2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Ang teorama ni Vieta.

Ang theorem ni Vieta ay pinangalanan sa sikat na French mathematician na si Francois Vieta. Gamit ang Vieta theorem, maaaring ipahayag ng isa ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng isang arbitrary na KU sa mga tuntunin ng mga coefficient nito.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sa kabuuan, ang bilang na 14 ay nagbibigay lamang ng 5 at 9. Ito ang mga ugat. Sa isang tiyak na kasanayan, gamit ang ipinakita na teorama, maaari mong malutas kaagad ang maraming mga parisukat na equation nang pasalita.

Ang teorama ni Vieta, bukod dito. maginhawa dahil pagkatapos malutas ang quadratic equation sa karaniwang paraan (sa pamamagitan ng discriminant), maaaring suriin ang mga resultang ugat. Inirerekomenda kong gawin ito sa lahat ng oras.

PARAAN NG PAGLIPAT

Sa pamamaraang ito, ang koepisyent na "a" ay pinarami ng libreng termino, na parang "inilipat" dito, kaya naman tinawag itong paraan ng paglipat. Ang paraang ito ay ginagamit kapag madaling mahanap ang mga ugat ng isang equation gamit ang Vieta's theorem at, higit sa lahat, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.

Kung ang a± b+c≠ 0, pagkatapos ay ginagamit ang pamamaraan ng paglipat, halimbawa:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Ayon sa Vieta theorem sa equation (2), madaling matukoy na x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Ang nakuha na mga ugat ng equation ay dapat nahahati sa 2 (dahil ang dalawa ay "itinapon" mula sa x 2), nakukuha natin

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

Ano ang katwiran? Tingnan kung ano ang nangyayari.

Ang mga diskriminasyon ng mga equation (1) at (2) ay:

Kung titingnan mo ang mga ugat ng mga equation, magkakaibang denominator lamang ang nakuha, at ang resulta ay tiyak na nakasalalay sa koepisyent sa x 2:

Ang pangalawang (binagong) ugat ay 2 beses na mas malaki.

Samakatuwid, hinati namin ang resulta sa 2.

*Kung i-roll namin ang tatlo sa isang uri, pagkatapos ay hatiin namin ang resulta sa 3, at iba pa.

Sagot: x 1 = 5 x 2 = 0.5

sq. ur-ie at ang pagsusulit.

Sasabihin ko nang maikli ang tungkol sa kahalagahan nito - DAPAT KAYONG MAGPASIYA nang mabilis at nang hindi nag-iisip, kailangan mong malaman ang mga pormula ng mga ugat at ang discriminant sa pamamagitan ng puso. Marami sa mga gawain na bahagi ng mga gawain sa USE ay bumaba sa paglutas ng isang quadratic equation (kabilang ang mga geometric).

Ano ang dapat tandaan!

1. Ang anyo ng equation ay maaaring "implicit". Halimbawa, posible ang sumusunod na entry:

15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.

Kailangan mo siyang dalhin karaniwang anyo(para hindi malito sa pagdedesisyon).

2. Tandaan na ang x ay isang hindi kilalang halaga at maaari itong tukuyin ng anumang iba pang titik - t, q, p, h at iba pa.

Sa math program na ito magagawa mo lutasin ang quadratic equation.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon sa dalawang paraan:
- gamit ang discriminant
- gamit ang Vieta theorem (kung maaari).

Bukod dito, ang sagot ay ipinapakita nang eksakto, hindi tinatayang.
Halimbawa, para sa equation na \(81x^2-16x-1=0\), ang sagot ay ipinapakita sa form na ito:

Ang programang ito Maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school pangkalahatang edukasyon na mga paaralan bilang paghahanda sa kontrol sa trabaho at pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang upang kontrolin ang solusyon ng maraming mga problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin math o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng square polynomial, inirerekomenda namin na pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng square polynomial

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atbp.

Maaaring ilagay ang mga numero bilang mga integer o fraction.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi mula sa integer ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang pumasok mga decimal kaya: 2.5x - 3.5x^2

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
buong bahagi pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng mga bracket. Sa kasong ito, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, ang ipinakilalang expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi nag-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Quadratic equation at mga ugat nito. Hindi kumpletong quadratic equation

Ang bawat isa sa mga equation
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
may porma
\(ax^2+bx+c=0, \)
kung saan ang x ay isang variable, ang a, b at c ay mga numero.
Sa unang equation a = -1, b = 6 at c = 1.4, sa pangalawa a = 8, b = -7 at c = 0, sa pangatlo a = 1, b = 0 at c = 4/9. Ang ganitong mga equation ay tinatawag quadratic equation.

Kahulugan.
quadratic equation tinatawag ang isang equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang x ay variable, a, b at c ay ilang numero, at \(a \neq 0 \).

Ang mga numerong a, b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation. Ang numerong a ay tinatawag na unang koepisyent, ang bilang b ay ang pangalawang koepisyent at ang bilang c ay ang intercept.

Sa bawat isa sa mga equation ng form na ax 2 +bx+c=0, kung saan ang \(a \neq 0 \), ang pinakamalaking kapangyarihan ng variable x ay isang parisukat. Kaya ang pangalan: quadratic equation.

Tandaan na ang isang quadratic equation ay tinatawag ding equation ng pangalawang degree, dahil ang kaliwang bahagi nito ay polynomial ng pangalawang degree.

Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient sa x 2 ay 1 ay tinatawag pinababang quadratic equation. Halimbawa, ang ibinigay na quadratic equation ay ang mga equation
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Kung sa quadratic equation ax 2 +bx+c=0 hindi bababa sa isa sa mga coefficients b o c ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag hindi kumpletong quadratic equation. Kaya, ang mga equation -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation. Sa una sa kanila b=0, sa pangalawa c=0, sa pangatlo b=0 at c=0.

Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay may tatlong uri:
1) ax 2 +c=0, kung saan \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kung saan \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Isaalang-alang ang solusyon ng mga equation ng bawat isa sa mga uri na ito.

Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +c=0 para sa \(c \neq 0 \), ang libreng termino nito ay inililipat sa kanang bahagi at ang parehong bahagi ng equation ay hinati ng a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Dahil \(c \neq 0 \), pagkatapos \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Kung \(-\frac(c)(a)>0 \), kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.

Kung \(-\frac(c)(a) Upang lutasin ang isang hindi kumpletong parisukat na equation ng anyong ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) i-factor ang kaliwang bahagi nito at makuha ang equation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Samakatuwid, ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) ay palaging may dalawang ugat.

Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 \u003d 0 ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0 at samakatuwid ay may isang solong ugat 0.

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Isaalang-alang natin ngayon kung paano nalulutas ang mga quadratic equation kung saan ang parehong coefficient ng mga hindi alam at ang libreng termino ay nonzero.

Lutasin namin ang quadratic equation sa pangkalahatang pananaw at bilang isang resulta nakuha namin ang formula ng mga ugat. Pagkatapos ang formula na ito ay maaaring ilapat upang malutas ang anumang quadratic equation.

Lutasin ang quadratic equation ax 2 +bx+c=0

Ang paghahati sa parehong bahagi nito sa pamamagitan ng a, makuha natin ang katumbas na pinababang quadratic equation
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Binabago namin ang equation na ito sa pamamagitan ng pag-highlight sa parisukat ng binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

Ang salitang ugat ay tinatawag discriminant ng isang quadratic equation ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” sa Latin - distinguisher). Ito ay tinutukoy ng titik D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Ngayon, gamit ang notasyon ng discriminant, muling isusulat namin ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kung saan \(D= b^2-4ac \)

Ito ay malinaw na:
1) Kung D>0, kung gayon ang quadratic equation ay may dalawang ugat.
2) Kung D=0, ang quadratic equation ay may isang ugat \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Kung D Kaya, depende sa halaga ng discriminant, ang quadratic equation ay maaaring magkaroon ng dalawang ugat (para sa D > 0), isang ugat (para sa D = 0) o walang ugat (para sa D Kapag nag-solve ng quadratic equation gamit ang formula na ito. , ipinapayong gawin ang sumusunod na paraan:
1) kalkulahin ang discriminant at ihambing ito sa zero;
2) kung ang discriminant ay positibo o katumbas ng zero, pagkatapos ay gamitin ang root formula, kung ang discriminant ay negatibo, pagkatapos ay isulat na walang mga ugat.

Ang teorama ni Vieta

Ang ibinigay na quadratic equation ax 2 -7x+10=0 ay may mga ugat 2 at 5. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang produkto ay 10. Nakikita namin na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Ang anumang pinababang quadratic equation na may mga ugat ay may ganitong katangian.

Ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.

Yung. Ang theorem ng Vieta ay nagsasaad na ang mga ugat x 1 at x 2 ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay may katangian:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Ang discriminant ay isang hindi tiyak na termino. Ang artikulong ito ay tumutuon sa discriminant ng isang polynomial, na nagbibigay-daan sa iyong matukoy kung ang isang partikular na polynomial ay may mga tunay na solusyon. Ang formula para sa isang square polynomial ay matatagpuan sa kurso ng paaralan sa algebra at pagsusuri. Paano mahahanap ang discriminant? Ano ang kailangan upang malutas ang equation?

Ang isang quadratic polynomial o isang equation ng pangalawang degree ay tinatawag i * w ^ 2 + j * w + k katumbas ng 0, kung saan ang "i" at "j" ay ang una at pangalawang coefficient, ayon sa pagkakabanggit, "k" ay isang pare-pareho, minsan tinatawag na "intercept", at "w" ay isang variable. Ang mga ugat nito ay ang lahat ng mga halaga ng variable kung saan ito ay nagiging isang pagkakakilanlan. Ang ganitong pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang produkto ng i, (w - w1) at (w - w2) na katumbas ng 0. Sa kasong ito, malinaw na kung ang koepisyent na "i" ay hindi maglalaho, kung gayon ang function sa Ang kaliwang bahagi ay magiging zero lamang kung ang x ay kukuha ng halaga na w1 o w2. Ang mga halagang ito ay resulta ng pagtatakda ng polynomial sa zero.

Upang mahanap ang halaga ng isang variable kung saan nawawala ang square polynomial, ginagamit ang isang auxiliary construction, na binuo sa mga coefficient nito at tinatawag na discriminant. Ang konstruksiyon na ito ay kinakalkula ayon sa formula D katumbas ng j * j - 4 * i * k. Bakit ito ginagamit?

1. Sabi niya kung may mga valid na resulta.
2. Tumutulong siya sa pagkalkula ng mga ito.

Paano ipinapakita ng halagang ito ang pagkakaroon ng mga tunay na ugat:

• Kung ito ay positibo, pagkatapos ay makakahanap ka ng dalawang ugat sa rehiyon ng mga tunay na numero.
• Kung ang discriminant ay zero, ang parehong mga solusyon ay pareho. Maaari nating sabihin na mayroon lamang isang solusyon, at ito ay mula sa kaharian ng mga tunay na numero.
• Kung ang discriminant ay mas mababa sa zero, kung gayon ang polynomial ay walang tunay na ugat.

Mga pagpipilian sa pagkalkula para sa pag-aayos ng materyal

Para sa kabuuan (7 * w^2; 3 * w; 1) na katumbas ng 0 kinakalkula namin ang D sa pamamagitan ng formula 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 nakukuha namin -19. Ang isang discriminant value sa ibaba ng zero ay nagpapahiwatig na walang mga resulta sa totoong linya.

Kung isasaalang-alang natin ang 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 na katumbas ng 0, pagkatapos ay kinakalkula ang D bilang (-3) squared minus ang produkto ng mga numero (4; 2; 1) at katumbas ng 9 - 8, iyon ay, 1. Ang isang positibong halaga ay nagpapahiwatig ng dalawang resulta sa totoong linya.

Kung kukunin natin ang kabuuan (w^2; 2 * w; 1) at katumbas ng 0, D ay kinakalkula bilang dalawang parisukat na binawasan ang produkto ng mga numero (4; 1; 1). Ang expression na ito ay magpapasimple sa 4 - 4 at magiging zero. Ito ay lumiliko na ang mga resulta ay pareho. Kung titingnan mong mabuti ang formula na ito, magiging malinaw na ito ay " buong parisukat". Nangangahulugan ito na ang pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat sa anyo (w + 1) ^ 2 = 0. Naging malinaw na ang resulta sa problemang ito ay "-1". Sa isang sitwasyon kung saan ang D ay katumbas ng 0, ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay maaaring palaging i-collapse ayon sa formula na "square of the sum".

Paggamit ng Discriminant para Kalkulahin ang Mga Roots

Ang pandiwang pantulong na konstruksyon na ito ay hindi lamang nagpapakita ng bilang ng mga tunay na solusyon, ngunit tumutulong din na mahanap ang mga ito. Pangkalahatang pormula Ang pagkalkula para sa equation ng ikalawang antas ay ang mga sumusunod:

w = (-j +/- d) / (2 * i), kung saan ang d ay ang discriminant sa kapangyarihan ng 1/2.

Ipagpalagay na ang discriminant ay mas mababa sa zero, kung gayon ang d ay haka-haka at ang mga resulta ay haka-haka.

Ang D ay zero, pagkatapos ang d katumbas ng D sa kapangyarihan ng 1/2 ay zero din. Solusyon: -j / (2 * i). Isinasaalang-alang muli ang 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, nakita namin ang mga resulta na katumbas ng -2 / (2 * 1) = -1.

Ipagpalagay na ang D > 0, kaya ang d ay isang tunay na numero, at ang sagot dito ay nahahati sa dalawang bahagi: w1 = (-j + d) / (2 * i) at w2 = (-j - d) / (2 * i) . Magiging wasto ang parehong mga resulta. Tingnan natin ang 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Narito ang discriminant at d ay isa. Kaya ang w1 ay (3 + 1) na hinati ng (2 * 2) o 1, at ang w2 ay (3 - 1) na hinati ng 2 * 2 o 1/2.

Ang resulta ng equating ng square expression sa zero ay kinakalkula ayon sa algorithm:

1. Pagtukoy sa bilang ng mga wastong solusyon.
2. Pagkalkula d = D^(1/2).
3. Paghahanap ng resulta ayon sa formula (-j +/- d) / (2 * i).
4. Ang pagpapalit ng natanggap na resulta sa paunang pagkakapantay-pantay para sa tseke.

Ilang mga espesyal na kaso

Depende sa mga coefficient, ang solusyon ay maaaring medyo pinasimple. Malinaw, kung ang koepisyent sa harap ng variable sa pangalawang kapangyarihan ay zero, kung gayon ang isang linear na pagkakapantay-pantay ay nakuha. Kapag ang koepisyent sa harap ng variable ay zero sa unang kapangyarihan, dalawang opsyon ang posible:

1. ang polynomial ay lumalawak sa pagkakaiba ng mga parisukat na may negatibong libreng termino;
2. para sa isang positibong pare-pareho, ang mga tunay na solusyon ay hindi mahahanap.

Kung ang libreng termino ay zero, ang mga ugat ay magiging (0; -j)

Ngunit may iba pang mga espesyal na kaso na nagpapasimple sa paghahanap ng solusyon.

Pinababang Second Degree Equation

Ang ibinigay ay tinatawag tulad ng isang parisukat na trinomial, kung saan ang coefficient sa harap ng pinakamataas na termino ay isa. Para sa sitwasyong ito, ang Vieta theorem ay naaangkop, na nagsasabing ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng koepisyent ng variable sa unang kapangyarihan, pinarami ng -1, at ang produkto ay tumutugma sa pare-parehong "k".

Samakatuwid, ang w1 + w2 ay katumbas ng -j at ang w1 * w2 ay katumbas ng k kung ang unang koepisyent ay isa. Upang mapatunayan ang kawastuhan ng naturang representasyon, maaari nating ipahayag ang w2 = -j - w1 mula sa unang formula at palitan ito sa pangalawang pagkakapantay-pantay w1 * (-j - w1) = k. Ang resulta ay ang orihinal na pagkakapantay-pantay w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Mahalagang tandaan na ang i * w ^ 2 + j * w + k = 0 ay maaaring bawasan sa pamamagitan ng paghahati sa "i". Ang magiging resulta ay: w^2 + j1 * w + k1 = 0 kung saan ang j1 ay katumbas ng j/i at ang k1 ay katumbas ng k/i.

Tingnan natin ang nalutas na 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 na may mga resultang w1 = 1 at w2 = 1/2. Kinakailangang hatiin ito sa kalahati, bilang isang resulta, w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Suriin natin na ang mga kondisyon ng theorem ay totoo para sa mga resulta na natagpuan: 1 + 1/2 = 3/2 at 1 * 1/2 = 1/2.

Kahit na pangalawang kadahilanan

Kung ang factor ng variable sa unang kapangyarihan (j) ay nahahati ng 2, pagkatapos ay magiging posible na gawing simple ang formula at maghanap ng solusyon sa pamamagitan ng isang-kapat ng discriminant D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. ito ay lumiliko out w = (-j +/- d/2) / i, kung saan d/2 = D/4 sa kapangyarihan ng 1/2.

Kung ang i = 1 at coefficient j ay pantay, kung gayon ang solusyon ay ang produkto ng -1 at kalahati ng koepisyent sa variable w, plus/minus ang ugat ng parisukat ng kalahating ito, minus ang pare-parehong "k". Formula: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Mataas na pagkakasunud-sunod na diskriminasyon

Ang pangalawang-degree na diskriminasyon na isinasaalang-alang sa itaas ay ang pinakakaraniwang ginagamit na espesyal na kaso. Sa pangkalahatang kaso, ang discriminant ng isang polynomial ay ang multiply na mga parisukat ng mga pagkakaiba ng mga ugat ng polynomial na ito. Samakatuwid, ang discriminant sero ay nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng hindi bababa sa dalawang maramihang mga solusyon.

Isaalang-alang ang i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Sabihin nating mas malaki sa zero ang discriminant. Nangangahulugan ito na mayroong tatlong ugat sa rehiyon ng mga tunay na numero. Sa zero, maraming solusyon. Kung si D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают negatibong kahulugan kapag parisukat, at isa ring ugat - tunay.

Video

Sasabihin sa iyo ng aming video nang detalyado ang tungkol sa pagkalkula ng discriminant.

Hindi nakuha ang sagot sa iyong tanong? Magmungkahi ng paksa sa mga may-akda.