Paano kung negatibo ang discriminant. online na calculator

Mahalaga! Sa mga ugat ng kahit multiplicity, ang function ay hindi nagbabago ng sign.

Tandaan! Anumang di-linear na hindi pagkakapantay-pantay ng kursong algebra ng paaralan ay dapat lutasin gamit ang paraan ng mga pagitan.

Nag-aalok ako sa iyo ng isang detalyadong algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan, kasunod nito ay maiiwasan mo ang mga error kapag paglutas ng mga di-linear na hindi pagkakapantay-pantay.

Paglutas ng mga quadratic equation sa mga negatibong diskriminasyon

Sa pagkakaalam natin,

i 2 = - 1.

gayunpaman,

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Kaya, mayroong hindi bababa sa dalawang mga halaga para sa square root ng - 1, ibig sabihin i at - i . Ngunit marahil mayroong ilang iba pang kumplikadong mga numero na ang mga parisukat ay - 1?

Upang linawin ang tanong na ito, ipagpalagay na ang parisukat ng isang kumplikadong numero isang + bi katumbas ng - 1. Pagkatapos

(isang + bi ) 2 = - 1,

a 2 + 2abi - b 2 = - 1

Ang dalawang kumplikadong numero ay pantay-pantay kung at kung ang kanilang mga tunay na bahagi at ang mga koepisyent ng mga haka-haka na bahagi ay pantay. Kaya

Ayon sa pangalawang equation ng system (1), kahit isa sa mga numero a at b dapat katumbas ng zero. Kung ang b = 0, pagkatapos ay magbubunga ang unang equation a 2 = - 1. Bilang a tunay, at samakatuwid a 2 > 0. Hindi-negatibong numero a 2 ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero - 1. Samakatuwid, pagkakapantay-pantay b = 0 ay imposible sa kasong ito. Ito ay nananatiling kilalanin na a = 0, ngunit mula sa unang equation ng system ay nakukuha natin: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Samakatuwid, ang tanging kumplikadong mga numero na ang mga parisukat ay -1 ay ang mga numero i at - i , Ito ay may kondisyong isinulat bilang:

√-1 = ± i .

Sa pamamagitan ng katulad na pangangatwiran, mapapatunayan ng mga mag-aaral na mayroong eksaktong dalawang numero na ang mga parisukat ay katumbas ng negatibong numero - a . Ang mga numerong ito ay √ ai at -√ ai . Conventionally, ito ay nakasulat tulad nito:

√- a = ± √ ai .

Sa ilalim ng √ a dito ang arithmetic, ibig sabihin, positive, root ang ibig sabihin. Halimbawa, √4 = 2, √9 =.3; kaya lang

√-4 = + 2i , √-9= ± 3 i

Kung kanina, kapag isinasaalang-alang ang mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon, sinabi namin na ang mga naturang equation ay walang mga ugat, ngayon ay hindi na posible na sabihin ito. Quadratic equation may mga negatibong diskriminasyon ay may mga kumplikadong ugat. Ang mga ugat na ito ay nakuha sa pamamagitan ng mga pormula na kilala natin. Hayaan, halimbawa, ibinigay ang equation x 2 + 2X + 5 = 0; pagkatapos

X 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Kaya ang equation na ito ay may dalawang ugat: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Ang mga ugat na ito ay magkakaugnay. Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang kanilang kabuuan ay katumbas ng - 2, at ang produkto ay 5, kaya ang Vieta's theorem ay natupad.

Ang konsepto ng isang kumplikadong numero

Ang kumplikadong numero ay isang pagpapahayag ng anyong a + ib, kung saan ang a at b ay anumang tunay na numero, ang i ay isang espesyal na numero, na tinatawag na imaginary unit. Para sa gayong mga ekspresyon, ang mga konsepto ng pagkakapantay-pantay at ang mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami ay ipinakilala tulad ng sumusunod:

1. Ang dalawang kumplikadong numero na a + ib at c + id ay sinasabing magkapareho kung at kung lamang
   a = b at c = d .
2. ang kabuuan ng dalawa kumplikadong mga numero Ang a + ib at c + id ay tinatawag na complex number
   a + c + i (b + d).
3. Ang produkto ng dalawang kumplikadong numero a + ib at c + id ay isang kumplikadong numero
   ac - bd + i (ad + bc).

Ang mga kumplikadong numero ay madalas na tinutukoy ng isang titik, tulad ng z = a + ib. Ang tunay na bilang a ay tinatawag na tunay na bahagi ng kumplikadong bilang na z, ang tunay na bahagi ay tinutukoy a = Re z . Ang tunay na bilang b ay tinatawag na haka-haka na bahagi ng kumplikadong numero z, ang haka-haka na bahagi ay tinutukoy b = Im z . Ang ganitong mga pangalan ay pinili kaugnay ng mga sumusunod na espesyal na katangian ng mga kumplikadong numero.

Tandaan na ang mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga kumplikadong numero ng anyong z = a + i · 0 ay isinasagawa sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa mga tunay na numero. Talaga,

Samakatuwid, ang mga kumplikadong numero ng anyong a + i · 0 ay natural na kinilala sa mga tunay na numero. Dahil dito, ang mga kumplikadong numero ng ganitong uri ay tinatawag na tunay. Kaya, ang hanay ng mga tunay na numero ay nakapaloob sa hanay ng mga kumplikadong numero. Ang hanay ng mga kumplikadong numero ay tinutukoy ng . Itinatag namin iyon, ibig sabihin

Hindi tulad ng mga tunay na numero, ang mga numero ng anyong 0 + ib ay tinatawag na puro haka-haka. Kadalasan ay isulat lamang ang bi , halimbawa, 0 + i 3 = 3 i . Ang isang purong haka-haka na numero i1 = 1 i = i ay may nakakagulat na katangian:
kaya,

№ 4 .1. Sa matematika, ang function ng numero ay isang function na ang mga domain at value ay mga subset ng mga set ng numero—karaniwan ay ang set ng mga totoong numero o ang set ng complex number.

Function Graph

Function Graph Fragment

Mga paraan upang magtakda ng isang function

[baguhin] Paraan ng analitikal

Karaniwan, ang isang function ay tinutukoy gamit ang isang formula na kinabibilangan ng mga variable, pagpapatakbo, at elementarya na pag-andar. Marahil isang piecewise assignment, iyon ay, naiiba para sa iba't ibang mga halaga ng argumento.

[baguhin] Tabular na paraan

Ang isang function ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng paglilista ng lahat ng posibleng mga argumento nito at ang kanilang mga halaga. Pagkatapos nito, kung kinakailangan, ang function ay maaaring palawigin para sa mga argumento na wala sa talahanayan, sa pamamagitan ng interpolation o extrapolation. Ang mga halimbawa ay isang gabay sa programa, isang iskedyul ng tren, o isang talahanayan ng mga halaga para sa isang Boolean function:

[baguhin] Grapikong paraan

Ang oscillogram ay nagtatakda ng halaga ng ilang function nang graphical.

Ang isang function ay maaaring tukuyin nang grapiko sa pamamagitan ng pagpapakita ng isang hanay ng mga punto ng graph nito sa isang eroplano. Ito ay maaaring isang magaspang na sketch ng kung ano ang dapat na hitsura ng function, o mga pagbabasa na kinuha mula sa isang instrumento tulad ng isang oscilloscope. Ang pagtutukoy na ito ay maaaring magdusa mula sa isang kakulangan ng katumpakan, ngunit sa ilang mga kaso iba pang mga paraan ng pagtutukoy ay hindi maaaring ilapat sa lahat. Bilang karagdagan, ang paraan ng pagtatakda na ito ay isa sa pinakakinatawan, madaling maunawaan at mataas na kalidad na pagsusuri ng heuristic ng function.

[baguhin] Recursive na paraan

Ang isang function ay maaaring recursively tukuyin, iyon ay, sa pamamagitan ng kanyang sarili. Sa kasong ito, ang ilang mga halaga ng function ay tinutukoy sa pamamagitan ng iba pang mga halaga nito.

• factorial;
• Mga numero ng Fibonacci;
• Pag-andar ng Ackerman.

[baguhin] pasalitang paraan

Ang isang function ay maaaring ilarawan sa natural na mga salita sa wika sa ilang hindi malabo na paraan, halimbawa, sa pamamagitan ng paglalarawan sa mga halaga ng input at output nito, o ang algorithm kung saan ang function ay nagtatalaga ng mga pagsusulatan sa pagitan ng mga halagang ito. Pati na rin ang graphically, minsan naman ang tanging paraan ilarawan ang isang function, kahit na ang mga natural na wika ay hindi kasing deterministiko ng mga pormal.

• isang function na nagbabalik ng isang digit sa notasyon ng pi sa pamamagitan ng numero nito;
• isang function na nagbabalik ng bilang ng mga atomo sa uniberso sa isang takdang oras;
• isang function na kumukuha ng isang tao bilang isang argumento at ibinabalik ang bilang ng mga tao na isisilang sa mundo pagkatapos ng kanyang kapanganakan

AT modernong lipunan ang kakayahang gumana sa mga equation na naglalaman ng squared variable ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa maraming lugar ng aktibidad at malawakang ginagamit sa pagsasanay sa siyentipiko at teknikal na mga pag-unlad. Ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng disenyo ng mga sasakyang dagat at ilog, sasakyang panghimpapawid at mga missile. Sa tulong ng naturang mga kalkulasyon, ang mga trajectory ng paggalaw ng iba't ibang mga katawan, kabilang ang mga bagay sa kalawakan, ay natutukoy. Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga parisukat na equation ay ginagamit hindi lamang sa pang-ekonomiyang pagtataya, sa disenyo at pagtatayo ng mga gusali, kundi pati na rin sa pinakakaraniwang pang-araw-araw na mga pangyayari. Maaaring kailanganin ang mga ito sa mga paglalakbay sa kamping, sa mga kaganapang pampalakasan, sa mga tindahan kapag namimili at sa iba pang mga karaniwang sitwasyon.

Hatiin natin ang expression sa mga component factor

Ang antas ng isang equation ay tinutukoy ng pinakamataas na halaga ng antas ng variable na nilalaman ng ibinigay na expression. Kung ito ay katumbas ng 2, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na quadratic equation.

Kung nagsasalita tayo sa wika ng mga pormula, kung gayon ang mga ekspresyong ito, gaano man ang hitsura nila, ay maaaring palaging dalhin sa anyo kapag ang kaliwang bahagi ng expression ay binubuo ng tatlong termino. Kabilang sa mga ito: ax 2 (iyon ay, ang variable squared kasama ang coefficient nito), bx (ang hindi alam na walang square na may coefficient nito) at c (ang libreng bahagi, iyon ay. karaniwang numero). Ang lahat ng ito sa kanang bahagi ay katumbas ng 0. Sa kaso kapag ang naturang polynomial ay walang isa sa mga terminong bumubuo nito, maliban sa ax 2, ito ay tinatawag na hindi kumpletong quadratic equation. Ang mga halimbawa na may solusyon sa mga naturang problema, kung saan ang halaga ng mga variable ay hindi mahirap hanapin, ay dapat isaalang-alang muna.

Kung ang expression ay mukhang may dalawang termino sa kanang bahagi ng expression, mas tiyak na ax 2 at bx, ito ay pinakamadaling mahanap ang x sa pamamagitan ng bracketing ng variable. Ngayon ang aming equation ay magiging ganito: x(ax+b). Dagdag pa, nagiging malinaw na ang alinman sa x=0, o ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng variable mula sa sumusunod na expression: ax+b=0. Ito ay idinidikta ng isa sa mga katangian ng multiplikasyon. Sinasabi ng panuntunan na ang produkto ng dalawang salik ay nagreresulta sa 0 lamang kung ang isa sa mga ito ay zero.

Halimbawa

x=0 o 8x - 3 = 0

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng dalawang ugat ng equation: 0 at 0.375.

Maaaring ilarawan ng mga equation ng ganitong uri ang paggalaw ng mga katawan sa ilalim ng pagkilos ng gravity, na nagsimulang lumipat mula sa isang tiyak na punto, na kinuha bilang pinagmulan. Dito mathematical notation tumatagal ang sumusunod na anyo: y = v 0 t + gt 2 /2. Ang pagpapalit ng mga kinakailangang halaga, pag-equate kanang bahagi 0 at paghahanap ng mga posibleng hindi alam, maaaring malaman ng isang tao ang oras na lumipas mula sa sandaling ang katawan ay tumaas hanggang sa sandaling ito ay bumagsak, pati na rin ang maraming iba pang dami. Ngunit pag-uusapan natin ito mamaya.

Pagsasaliksik ng isang Ekspresyon

Ginagawang posible ng panuntunang inilarawan sa itaas na malutas ang mga problemang ito at higit pa mahirap na mga kaso. Isaalang-alang ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation ng ganitong uri.

X2 - 33x + 200 = 0

Kumpleto na ang square trinomial na ito. Una, binabago namin ang expression at nabubulok ito sa mga kadahilanan. Mayroong dalawa sa kanila: (x-8) at (x-25) = 0. Bilang resulta, mayroon tayong dalawang ugat 8 at 25.

Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation sa grade 9 ay nagbibigay-daan sa paraang ito na makahanap ng variable sa mga expression hindi lamang ng pangalawa, kundi maging ng ikatlo at ikaapat na order.

Halimbawa: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kapag isinasali ang kanang bahagi sa mga salik na may variable, mayroong tatlo sa kanila, iyon ay, (x + 1), (x-3) at (x + 3).

Bilang resulta, nagiging malinaw na ang equation na ito ay may tatlong ugat: -3; -isa; 3.

I-extract ang square root

Ang isa pang kaso ng hindi kumpletong second-order equation ay isang expression na nakasulat sa wika ng mga titik sa paraang ang kanang bahagi ay binuo mula sa mga bahaging ax 2 at c. Dito, para makuha ang halaga ng variable, ililipat ang libreng termino sa kanang bahagi, at pagkatapos noon, mula sa parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay, Kuwadrado na ugat. Dapat pansinin na sa kasong ito ay karaniwang may dalawang ugat ng equation. Ang tanging mga pagbubukod ay ang mga pagkakapantay-pantay na hindi naglalaman ng terminong c, kung saan ang variable ay katumbas ng zero, pati na rin ang mga variant ng mga expression kapag ang kanang bahagi ay lumabas na negatibo. Sa huling kaso, walang mga solusyon sa lahat, dahil ang mga aksyon sa itaas ay hindi maaaring isagawa gamit ang mga ugat. Ang mga halimbawa ng mga solusyon sa quadratic equation ng ganitong uri ay dapat isaalang-alang.

Sa kasong ito, ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -4 at 4.

Pagkalkula ng lugar ng lupa

Ang pangangailangan para sa gayong mga kalkulasyon ay lumitaw sa sinaunang panahon, dahil ang pag-unlad ng matematika sa mga panahong iyon ay higit sa lahat dahil sa pangangailangang matukoy ang mga lugar at perimeter ng mga plot ng lupa na may pinakatumpak na katumpakan.

Dapat din nating isaalang-alang ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation na pinagsama-sama sa batayan ng mga problema ng ganitong uri.

Kaya, sabihin nating mayroong isang hugis-parihaba na piraso ng lupa, ang haba nito ay 16 metro na higit sa lapad. Dapat mong mahanap ang haba, lapad at perimeter ng site, kung alam na ang lugar nito ay 612 m 2.

Pagbaba sa negosyo, sa una ay gagawin natin ang kinakailangang equation. Tukuyin natin ang lapad ng seksyon bilang x, kung gayon ang haba nito ay magiging (x + 16). Ito ay sumusunod mula sa kung ano ang nakasulat na ang lugar ay tinutukoy ng expression x (x + 16), na, ayon sa kondisyon ng aming problema, ay 612. Nangangahulugan ito na x (x + 16) \u003d 612.

Ang solusyon ng kumpletong quadratic equation, at ang expression na ito ay ganoon lang, ay hindi maaaring gawin sa parehong paraan. Bakit? Bagama't ang kaliwang bahagi nito ay naglalaman pa rin ng dalawang salik, ang produkto ng mga ito ay hindi katumbas ng 0, kaya iba pang mga pamamaraan ang ginagamit dito.

diskriminasyon

Una sa lahat, ginagawa namin ang mga kinakailangang pagbabago, pagkatapos hitsura ganito ang magiging hitsura ng expression na ito: x 2 + 16x - 612 = 0. Nangangahulugan ito na nakatanggap kami ng expression sa form na tumutugma sa naunang tinukoy na pamantayan, kung saan a=1, b=16, c=-612.

Maaari itong maging isang halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant. Narito ang mga kinakailangang kalkulasyon ay ginawa ayon sa scheme: D = b 2 - 4ac. Ang auxiliary value na ito ay hindi lamang ginagawang posible upang mahanap ang mga nais na halaga sa second-order equation, tinutukoy nito ang bilang ng mga posibleng opsyon. Kung sakaling D>0, mayroong dalawa sa kanila; para sa D=0 mayroong isang ugat. Kung sakaling D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tungkol sa mga ugat at ang kanilang formula

Sa aming kaso, ang discriminant ay: 256 - 4(-612) = 2704. Ito ay nagpapahiwatig na ang aming problema ay may sagot. Kung alam mo, ang solusyon ng mga quadratic equation ay dapat ipagpatuloy gamit ang formula sa ibaba. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang mga ugat.

Nangangahulugan ito na sa ipinakita na kaso: x 1 =18, x 2 =-34. Ang pangalawang opsyon sa dilemma na ito ay hindi maaaring maging isang solusyon, dahil ang laki ng land plot ay hindi masusukat sa mga negatibong halaga, na nangangahulugang ang x (iyon ay, ang lapad ng plot) ay 18 m. Mula dito kinakalkula namin ang haba: 18+16=34, at ang perimeter 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Mga halimbawa at gawain

Ipinagpapatuloy namin ang pag-aaral ng mga quadratic equation. Ang mga halimbawa at isang detalyadong solusyon ng ilan sa mga ito ay ibibigay sa ibaba.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, gumawa ng isang pagbabagong-anyo, iyon ay, makuha natin ang anyo ng equation, na karaniwang tinatawag na pamantayan, at i-equate ito sa zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ang pagkakaroon ng pagdaragdag ng mga katulad, tinutukoy namin ang discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Kaya ang aming equation ay magkakaroon ng dalawang ugat. Kinakalkula namin ang mga ito ayon sa formula sa itaas, na nangangahulugang ang una sa kanila ay magiging katumbas ng 4/3, at ang pangalawang 1.

2) Ngayon ay magbubunyag tayo ng mga bugtong ng ibang uri.

Alamin natin kung may mga ugat x 2 - 4x + 5 = 1 dito sa lahat? Upang makakuha ng kumpletong sagot, dinadala namin ang polynomial sa kaukulang pamilyar na anyo at kalkulahin ang discriminant. Sa halimbawang ito, hindi kinakailangan upang malutas ang quadratic equation, dahil ang kakanyahan ng problema ay wala sa lahat dito. Sa kasong ito, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, na nangangahulugang wala talagang mga ugat.

Ang teorama ni Vieta

Ito ay maginhawa upang malutas ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng mga formula sa itaas at ang discriminant, kapag ang square root ay nakuha mula sa halaga ng huli. Ngunit hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, maraming mga paraan upang makuha ang mga halaga ng mga variable sa kasong ito. Halimbawa: paglutas ng mga quadratic equation gamit ang theorem ni Vieta. Ipinangalan ito sa isang lalaking nanirahan sa ika-16 na siglo ng France at nagkaroon ng napakatalino na karera salamat sa kanyang talento sa matematika at mga koneksyon sa korte. Ang kanyang larawan ay makikita sa artikulo.

Ang pattern na napansin ng sikat na Pranses ay ang mga sumusunod. Pinatunayan niya na ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay katumbas ng -p=b/a, at ang kanilang produkto ay tumutugma sa q=c/a.

Ngayon tingnan natin ang mga partikular na gawain.

3x2 + 21x - 54 = 0

Para sa pagiging simple, baguhin natin ang expression:

x 2 + 7x - 18 = 0

Gamit ang Vieta theorem, ito ay magbibigay sa atin ng sumusunod: ang kabuuan ng mga ugat ay -7, at ang kanilang produkto ay -18. Mula dito nakuha namin na ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -9 at 2. Sa paggawa ng tseke, titiyakin namin na ang mga halagang ito ng mga variable ay talagang magkasya sa expression.

Graph at Equation ng isang Parabola

Ang mga konsepto ng isang quadratic function at quadratic equation ay malapit na nauugnay. Ang mga halimbawa nito ay naibigay na dati. Ngayon tingnan natin ang ilang mathematical puzzle nang mas detalyado. Ang anumang equation ng inilarawan na uri ay maaaring maipakita nang biswal. Ang gayong pag-asa, na iginuhit sa anyo ng isang graph, ay tinatawag na isang parabola. Ang iba't ibang uri nito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Ang anumang parabola ay may vertex, iyon ay, isang punto kung saan lumalabas ang mga sanga nito. Kung a>0, mataas ang mga ito hanggang sa infinity, at kapag a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Ang mga visual na representasyon ng mga function ay nakakatulong upang malutas ang anumang mga equation, kabilang ang mga quadratic. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na graphic. At ang halaga ng x variable ay ang abscissa coordinate sa mga punto kung saan ang linya ng graph ay nagsalubong sa 0x. Ang mga coordinate ng vertex ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula na ibinigay lamang x 0 = -b / 2a. At, pinapalitan ang nagresultang halaga sa orihinal na equation ng function, maaari mong malaman ang y 0, iyon ay, ang pangalawang coordinate ng parabola vertex na kabilang sa y-axis.

Ang intersection ng mga sanga ng parabola na may abscissa axis

Mayroong maraming mga halimbawa sa solusyon ng mga quadratic equation, ngunit mayroon ding mga pangkalahatang pattern. Isaalang-alang natin sila. Malinaw na ang intersection ng graph na may 0x axis para sa a>0 ay posible lamang kung ang y 0 ay kumukuha ng mga negatibong halaga. At para sa isang<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Kung hindi man D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Mula sa graph ng isang parabola, maaari mo ring matukoy ang mga ugat. Totoo rin ang kabaligtaran. Iyon ay, kung hindi madaling makakuha ng visual na representasyon ng isang quadratic function, maaari mong itumbas ang kanang bahagi ng expression sa 0 at lutasin ang resultang equation. At alam ang mga punto ng intersection sa 0x axis, mas madaling mag-plot.

Mula sa kasaysayan

Sa tulong ng mga equation na naglalaman ng isang squared variable, sa mga lumang araw, hindi lamang ang mga kalkulasyon ng matematika at tinukoy ang lugar ng mga geometric na hugis. Ang mga sinaunang tao ay nangangailangan ng gayong mga kalkulasyon para sa magagandang pagtuklas sa larangan ng pisika at astronomiya, gayundin sa paggawa ng mga pagtataya sa astrolohiya.

Gaya ng iminumungkahi ng mga modernong siyentipiko, ang mga naninirahan sa Babylon ay kabilang sa mga unang nakalutas ng mga quadratic equation. Nangyari ito apat na siglo bago ang pagdating ng ating panahon. Siyempre, ang kanilang mga kalkulasyon ay sa panimula ay naiiba sa mga kasalukuyang tinatanggap at naging mas primitive. Halimbawa, walang ideya ang mga matematikong Mesopotamia tungkol sa pagkakaroon ng mga negatibong numero. Hindi rin sila pamilyar sa iba pang mga subtleties ng mga kilala ng sinumang mag-aaral sa ating panahon.

Marahil kahit na mas maaga kaysa sa mga siyentipiko ng Babylon, kinuha ng pantas mula sa India, Baudhayama, ang solusyon ng mga quadratic equation. Nangyari ito mga walong siglo bago ang pagdating ng panahon ni Kristo. Totoo, ang pangalawang-order na mga equation, ang mga pamamaraan para sa paglutas na ibinigay niya, ay ang pinakasimpleng. Bilang karagdagan sa kanya, ang mga Chinese mathematician ay interesado rin sa mga katulad na tanong noong unang panahon. Sa Europa, ang mga quadratic equation ay nagsimulang malutas lamang sa simula ng ika-13 siglo, ngunit kalaunan ay ginamit sila sa kanilang gawain ng mga dakilang siyentipiko tulad ng Newton, Descartes at marami pang iba.

Ang discriminant ay isang hindi tiyak na termino. Ang artikulong ito ay tumutuon sa discriminant ng isang polynomial, na nagbibigay-daan sa iyong matukoy kung ang isang partikular na polynomial ay may mga tunay na solusyon. Ang formula para sa isang square polynomial ay matatagpuan sa kurso ng paaralan sa algebra at pagsusuri. Paano mahahanap ang discriminant? Ano ang kailangan upang malutas ang equation?

Ang isang quadratic polynomial o isang equation ng pangalawang degree ay tinatawag i * w ^ 2 + j * w + k katumbas ng 0, kung saan ang "i" at "j" ay ang una at pangalawang coefficient, ayon sa pagkakabanggit, "k" ay isang pare-pareho, minsan tinatawag na "intercept", at "w" ay isang variable. Ang mga ugat nito ay ang lahat ng mga halaga ng variable kung saan ito ay nagiging isang pagkakakilanlan. Ang ganitong pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang produkto ng i, (w - w1) at (w - w2) na katumbas ng 0. Sa kasong ito, malinaw na kung ang koepisyent na "i" ay hindi maglalaho, kung gayon ang pag-andar sa Ang kaliwang bahagi ay magiging zero lamang kung ang x ay kukuha ng halaga na w1 o w2. Ang mga halagang ito ay resulta ng pagtatakda ng polynomial sa zero.

Upang mahanap ang halaga ng isang variable kung saan nawawala ang square polynomial, ginagamit ang isang auxiliary construction, na binuo sa mga coefficient nito at tinatawag na discriminant. Ang konstruksiyon na ito ay kinakalkula ayon sa formula D katumbas ng j * j - 4 * i * k. Bakit ito ginagamit?

1. Sabi niya kung may mga valid na resulta.
2. Tumutulong siya sa pagkalkula ng mga ito.

Paano ipinapakita ng halagang ito ang pagkakaroon ng mga tunay na ugat:

• Kung ito ay positibo, pagkatapos ay makakahanap ka ng dalawang ugat sa rehiyon ng mga tunay na numero.
• Kung ang discriminant ay zero, ang parehong mga solusyon ay pareho. Maaari nating sabihin na mayroon lamang isang solusyon, at ito ay mula sa kaharian ng mga tunay na numero.
• Kung ang discriminant ay mas mababa sa zero, kung gayon ang polynomial ay walang tunay na ugat.

Mga pagpipilian sa pagkalkula para sa pag-aayos ng materyal

Para sa kabuuan (7 * w^2; 3 * w; 1) na katumbas ng 0 kinakalkula namin ang D sa pamamagitan ng formula 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 nakukuha namin -19. Ang isang discriminant value sa ibaba ng zero ay nagpapahiwatig na walang mga resulta sa totoong linya.

Kung isasaalang-alang natin ang 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 na katumbas ng 0, pagkatapos ay kinakalkula ang D bilang (-3) squared minus ang produkto ng mga numero (4; 2; 1) at katumbas ng 9 - 8, iyon ay, 1. Ang isang positibong halaga ay nagpapahiwatig ng dalawang resulta sa totoong linya.

Kung kukunin natin ang kabuuan (w^2; 2 * w; 1) at katumbas ng 0, D ay kinakalkula bilang dalawang parisukat na binawasan ang produkto ng mga numero (4; 1; 1). Ang expression na ito ay magpapasimple sa 4 - 4 at magiging zero. Ito ay lumiliko na ang mga resulta ay pareho. Kung titingnan mong mabuti ang formula na ito, magiging malinaw na ito ay isang "buong parisukat". Nangangahulugan ito na ang pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat sa anyo (w + 1) ^ 2 = 0. Naging malinaw na ang resulta sa problemang ito ay "-1". Sa isang sitwasyon kung saan ang D ay katumbas ng 0, ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay maaaring palaging i-collapse ayon sa formula na "square of the sum".

Paggamit ng Discriminant para Kalkulahin ang Mga Roots

Ang pandiwang pantulong na konstruksyon na ito ay hindi lamang nagpapakita ng bilang ng mga tunay na solusyon, ngunit tumutulong din na mahanap ang mga ito. Ang pangkalahatang pormula para sa pagkalkula ng equation ng ikalawang antas ay ang mga sumusunod:

w = (-j +/- d) / (2 * i), kung saan ang d ay ang discriminant sa kapangyarihan ng 1/2.

Ipagpalagay na ang discriminant ay mas mababa sa zero, kung gayon ang d ay haka-haka at ang mga resulta ay haka-haka.

Ang D ay zero, pagkatapos ang d katumbas ng D sa kapangyarihan ng 1/2 ay zero din. Solusyon: -j / (2 * i). Isinasaalang-alang muli ang 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, nakita namin ang mga resulta na katumbas ng -2 / (2 * 1) = -1.

Ipagpalagay na ang D > 0, kaya ang d ay isang tunay na numero, at ang sagot dito ay nahahati sa dalawang bahagi: w1 = (-j + d) / (2 * i) at w2 = (-j - d) / (2 * i) . Magiging wasto ang parehong mga resulta. Tingnan natin ang 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Dito ang discriminant at d ay mga unit. Kaya ang w1 ay (3 + 1) na hinati ng (2 * 2) o 1, at ang w2 ay (3 - 1) na hinati ng 2 * 2 o 1/2.

Ang resulta ng equating ng square expression sa zero ay kinakalkula ayon sa algorithm:

1. Pagtukoy sa bilang ng mga wastong solusyon.
2. Pagkalkula d = D^(1/2).
3. Paghahanap ng resulta ayon sa formula (-j +/- d) / (2 * i).
4. Ang pagpapalit ng natanggap na resulta sa paunang pagkakapantay-pantay para sa tseke.

Ilang mga espesyal na kaso

Depende sa mga coefficient, ang solusyon ay maaaring medyo pinasimple. Malinaw, kung ang koepisyent sa harap ng variable hanggang sa pangalawang kapangyarihan ay zero, kung gayon ang isang linear na pagkakapantay-pantay ay nakuha. Kapag ang koepisyent sa harap ng variable ay zero sa unang kapangyarihan, dalawang opsyon ang posible:

1. ang polynomial ay lumalawak sa pagkakaiba ng mga parisukat na may negatibong libreng termino;
2. para sa isang positibong pare-pareho, ang mga tunay na solusyon ay hindi mahahanap.

Kung ang libreng termino ay zero, ang mga ugat ay magiging (0; -j)

Ngunit may iba pang mga espesyal na kaso na nagpapasimple sa paghahanap ng solusyon.

Pinababang Second Degree Equation

Ang ibinigay ay tinatawag tulad ng isang parisukat na trinomial, kung saan ang coefficient sa harap ng pinakamataas na termino ay isa. Para sa sitwasyong ito, ang Vieta theorem ay naaangkop, na nagsasabing ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng koepisyent ng variable sa unang kapangyarihan, pinarami ng -1, at ang produkto ay tumutugma sa pare-parehong "k".

Samakatuwid, ang w1 + w2 ay katumbas ng -j at ang w1 * w2 ay katumbas ng k kung ang unang koepisyent ay isa. Upang mapatunayan ang kawastuhan ng naturang representasyon, maaari nating ipahayag ang w2 = -j - w1 mula sa unang formula at palitan ito sa pangalawang pagkakapantay-pantay w1 * (-j - w1) = k. Ang resulta ay ang orihinal na pagkakapantay-pantay w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Mahalagang tandaan na ang i * w ^ 2 + j * w + k = 0 ay maaaring bawasan sa pamamagitan ng paghahati sa "i". Ang magiging resulta ay: w^2 + j1 * w + k1 = 0 kung saan ang j1 ay katumbas ng j/i at ang k1 ay katumbas ng k/i.

Tingnan natin ang nalutas na 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 na may mga resultang w1 = 1 at w2 = 1/2. Kinakailangang hatiin ito sa kalahati, bilang isang resulta, w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Suriin natin na ang mga kondisyon ng theorem ay totoo para sa mga resulta na natagpuan: 1 + 1/2 = 3/2 at 1 * 1/2 = 1/2.

Kahit na pangalawang kadahilanan

Kung ang factor ng variable sa unang kapangyarihan (j) ay nahahati ng 2, pagkatapos ay magiging posible na gawing simple ang formula at maghanap ng solusyon sa pamamagitan ng isang-kapat ng discriminant D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. ito ay lumiliko out w = (-j +/- d/2) / i, kung saan d/2 = D/4 sa kapangyarihan ng 1/2.

Kung ang i = 1 at coefficient j ay pantay, kung gayon ang solusyon ay ang produkto ng -1 at kalahati ng koepisyent sa variable w, plus/minus ang ugat ng parisukat ng kalahating ito, minus ang pare-parehong "k". Formula: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Mataas na pagkakasunud-sunod na diskriminasyon

Ang pangalawang-degree na diskriminasyon na isinasaalang-alang sa itaas ay ang pinakakaraniwang ginagamit na espesyal na kaso. Sa pangkalahatang kaso, ang discriminant ng isang polynomial ay ang multiply na mga parisukat ng mga pagkakaiba ng mga ugat ng polynomial na ito. Samakatuwid, ang discriminant sero ay nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng hindi bababa sa dalawang maramihang mga solusyon.

Isaalang-alang ang i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Sabihin nating mas malaki sa zero ang discriminant. Nangangahulugan ito na mayroong tatlong ugat sa rehiyon ng mga tunay na numero. Sa zero, maraming solusyon. Kung si D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают negatibong kahulugan kapag parisukat, at isa ring ugat - tunay.

Video

Sasabihin sa iyo ng aming video nang detalyado ang tungkol sa pagkalkula ng discriminant.

Hindi nakuha ang sagot sa iyong tanong? Magmungkahi ng paksa sa mga may-akda.

Quadratic equation. diskriminasyon. Solusyon, mga halimbawa.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobrang...")

Mga uri ng quadratic equation

Ano ang isang quadratic equation? Anong itsura? Sa termino quadratic equation ang keyword ay "parisukat". Ibig sabihin sa equation kinakailangan dapat mayroong x square. Bilang karagdagan dito, sa equation ay maaaring mayroong (o maaaring hindi!) x lang (sa unang antas) at isang numero lamang (libreng miyembro). At hindi dapat magkaroon ng x sa isang degree na higit sa dalawa.

Sa mga termino sa matematika, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form:

Dito a, b at c- ilang mga numero. b at c- ganap na anuman, ngunit a- kahit ano maliban sa zero. Halimbawa:

Dito a =1; b = 3; c = -4

Dito a =2; b = -0,5; c = 2,2

Dito a =-3; b = 6; c = -18

Well, nakuha mo ang ideya ...

Sa mga quadratic equation na ito, sa kaliwa, mayroon buong set mga miyembro. x squared na may coefficient a, x sa unang kapangyarihan na may koepisyent b at libreng miyembro ng

Ang ganitong mga quadratic equation ay tinatawag kumpleto.

At kung b= 0, ano ang makukuha natin? Meron kami Mawawala ang X sa unang antas. Nangyayari ito mula sa pagpaparami ng zero.) Lumalabas, halimbawa:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

atbp. At kung ang parehong coefficients b at c ay katumbas ng zero, kung gayon ito ay mas simple:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Ang ganitong mga equation, kung saan may nawawala, ay tinatawag hindi kumpletong quadratic equation. Na medyo lohikal.) Pakitandaan na ang x squared ay naroroon sa lahat ng equation.

By the way bakit a hindi pwedeng zero? At ikaw ang pumalit sa halip a zero.) Mawawala ang X sa parisukat! Ang equation ay magiging linear. At iba ang ginagawa...

Iyan lang ang mga pangunahing uri ng quadratic equation. Kumpleto at hindi kumpleto.

Solusyon ng mga quadratic equation.

Solusyon ng kumpletong quadratic equation.

Ang mga quadratic equation ay madaling lutasin. Ayon sa mga formula at malinaw na simpleng panuntunan. Ang unang hakbang ay dalhin ang ibinigay na equation sa karaniwang view, ibig sabihin. sa view:

Kung ang equation ay naibigay na sa iyo sa form na ito, hindi mo kailangang gawin ang unang yugto.) Ang pangunahing bagay ay upang matukoy nang tama ang lahat ng mga coefficient, a, b at c.

Ang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation ay ganito ang hitsura:

Ang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag may diskriminasyon. Ngunit higit pa tungkol sa kanya sa ibaba. Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang x, ginagamit namin lamang a, b at c. Yung. coefficients mula sa quadratic equation. Maingat lamang na palitan ang mga halaga a, b at c sa formula na ito at bilangin. Kapalit kasama ang iyong mga palatandaan! Halimbawa, sa equation:

a =1; b = 3; c= -4. Dito kami sumulat:

Halimbawa halos malutas:

Ito ang sagot.

Napakasimple ng lahat. At ano sa palagay mo, hindi ka maaaring magkamali? Well, oo, paano...

Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga palatandaan ng mga halaga a, b at c. O sa halip, hindi sa kanilang mga palatandaan (saan dapat malito?), Ngunit sa pagpapalit ng mga negatibong halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Dito, nakakatipid ang isang detalyadong tala ng formula na may mga partikular na numero. Kung may mga problema sa mga kalkulasyon, kaya gawin mo!

Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na halimbawa:

Dito a = -6; b = -5; c = -1

Sabihin nating alam mo na bihira kang makakuha ng mga sagot sa unang pagkakataon.

Well, huwag maging tamad. Aabutin ng 30 segundo upang magsulat ng dagdag na linya. At ang bilang ng mga error babagsak nang husto. Kaya't sumulat kami nang detalyado, kasama ang lahat ng mga bracket at palatandaan:

Tila hindi kapani-paniwalang mahirap magpinta nang maingat. Pero parang lang. Subukan mo. Well, o pumili. Alin ang mas mabuti, mabilis, o tama? Tsaka papasayahin kita. Pagkaraan ng ilang sandali, hindi na kailangang ipinta ang lahat nang maingat. Magiging tama lang. Lalo na kung ilalapat mo ang mga praktikal na pamamaraan, na inilarawan sa ibaba. Ang masamang halimbawang ito na may isang bungkos ng mga minus ay madaling malulutas at walang mga pagkakamali!

Ngunit, kadalasan, ang mga quadratic equation ay bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:

Alam mo ba?) Oo! Ito ay hindi kumpletong quadratic equation.

Solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation.

Maaari din silang malutas sa pamamagitan ng pangkalahatang formula. Kailangan mo lang malaman nang tama kung ano ang katumbas dito a, b at c.

Napagtanto? Sa unang halimbawa a = 1; b = -4; a c? Ito ay hindi umiiral sa lahat! Well, oo, tama iyan. Sa matematika, ito ay nangangahulugan na c = 0 ! Iyon lang. Palitan ang zero sa formula sa halip na c, at lahat ay gagana para sa atin. Katulad din sa pangalawang halimbawa. Zero lang ang wala dito kasama, a b !

Ngunit ang hindi kumpletong quadratic equation ay mas madaling malutas. Nang walang anumang mga formula. Isaalang-alang ang unang hindi kumpletong equation. Ano ang maaaring gawin sa kaliwang bahagi? Maaari mong alisin ang X sa mga bracket! Ilabas na natin.

At ano mula dito? At ang katotohanan na ang produkto ay katumbas ng zero kung, at kung ang alinman sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero! ayaw maniwala? Buweno, pagkatapos ay makabuo ng dalawang di-zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero!
Hindi gumagana? isang bagay...
Samakatuwid, maaari tayong magsulat nang may kumpiyansa: x 1 = 0, x 2 = 4.

Lahat. Ito ang magiging ugat ng ating equation. Parehong magkasya. Kapag pinapalitan ang alinman sa mga ito sa orihinal na equation, nakukuha natin ang tamang pagkakakilanlan 0 = 0. Gaya ng nakikita mo, ang solusyon ay mas simple kaysa sa pangkalahatang formula. Tandaan ko, sa pamamagitan ng paraan, kung aling X ang magiging una, at kung alin ang pangalawa - ito ay ganap na walang malasakit. Madaling isulat sa pagkakasunud-sunod x 1- kung alin ang mas mura x 2- na kung saan ay higit pa.

Ang pangalawang equation ay maaari ding madaling malutas. Lumipat kami ng 9 sa kanang bahagi. Nakukuha namin:

Ito ay nananatiling kunin ang ugat mula sa 9, at iyon na. Kunin:

dalawang ugat din . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ito ay kung paano nalulutas ang lahat ng hindi kumpletong quadratic equation. Alinman sa pamamagitan ng pagkuha ng X mula sa mga bracket, o sa pamamagitan lamang ng paglilipat ng numero sa kanan, na sinusundan ng pagkuha ng ugat.
Napakahirap malito ang mga pamamaraang ito. Dahil lamang sa unang kaso kailangan mong kunin ang ugat mula sa X, na sa paanuman ay hindi maintindihan, at sa pangalawang kaso ay walang dapat alisin sa mga bracket ...

diskriminasyon. Discriminant formula.

Magic word may diskriminasyon ! Isang bihirang estudyante sa high school ang hindi nakarinig ng salitang ito! Ang pariralang "magpasya sa pamamagitan ng discriminant" ay nagbibigay-katiyakan at nagbibigay-katiyakan. Dahil hindi na kailangang maghintay para sa mga trick mula sa discriminant! Ito ay simple at walang problema sa paghawak.) Pinaaalalahanan ko kayo pangkalahatang pormula para sa mga solusyon anuman quadratic equation:

Ang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag na discriminant. Ang discriminant ay karaniwang tinutukoy ng liham D. Discriminant formula:

D = b 2 - 4ac

At ano ang espesyal sa ekspresyong ito? Bakit karapat-dapat ito ng isang espesyal na pangalan? Ano kahulugan ng discriminant? Kung tutuusin -b, o 2a sa formula na ito ay hindi nila partikular na pinangalanan ... Mga titik at titik.

Ang punto ay ito. Kapag nilulutas ang isang quadratic equation gamit ang formula na ito, posible tatlong kaso lang.

1. Positibo ang discriminant. Nangangahulugan ito na maaari mong kunin ang ugat mula dito. Kung ang ugat ay nakuha ng mabuti o masama ay isa pang katanungan. Mahalaga kung ano ang nakuha sa prinsipyo. Pagkatapos ang iyong quadratic equation ay may dalawang ugat. Dalawang magkaibang solusyon.

2. Ang discriminant ay zero. Pagkatapos ay mayroon kang isang solusyon. Dahil ang pagdaragdag o pagbabawas ng zero sa numerator ay hindi nagbabago ng anuman. Sa mahigpit na pagsasalita, ito ay hindi isang solong ugat, ngunit dalawang magkapareho. Ngunit, sa isang pinasimple na bersyon, kaugalian na pag-usapan isang solusyon.

3. Ang discriminant ay negatibo. Mula sa negatibong numero hindi kinuha ang square root. Well, okay. Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Upang maging matapat, sa simpleng solusyon quadratic equation, ang konsepto ng discriminant ay hindi partikular na kinakailangan. Pinapalitan namin ang mga halaga ng mga coefficient sa formula, at isinasaalang-alang namin. Doon ang lahat ay lumalabas nang mag-isa, at dalawang ugat, at isa, at hindi isa. Gayunpaman, kapag nilulutas ang mas kumplikadong mga gawain, nang walang kaalaman kahulugan at discriminant formula hindi sapat. Lalo na - sa mga equation na may mga parameter. Ang mga naturang equation ay aerobatics para sa GIA at sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri!)

Kaya, kung paano lutasin ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant na iyong naalala. O natutunan, na hindi rin masama.) Alam mo kung paano makilala nang tama a, b at c. Alam mo ba kung paano matulungin palitan ang mga ito sa root formula at matulungin bilangin ang resulta. Naintindihan mo ba yun keyword dito - matulungin?

Ngayon tandaan ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga pagkakamali. Ang mismong mga dahil sa kawalan ng pansin ... Kung saan ito ay masakit at nakakainsulto ...

Unang pagtanggap . Huwag maging tamad bago lutasin ang isang quadratic equation upang dalhin ito sa isang karaniwang anyo. Anong ibig sabihin nito?
Ipagpalagay, pagkatapos ng anumang mga pagbabagong-anyo, makukuha mo ang sumusunod na equation:

Huwag magmadali upang isulat ang pormula ng mga ugat! Halos tiyak na paghaluin mo ang mga posibilidad a, b at c. Buuin nang tama ang halimbawa. Una, x squared, pagkatapos ay walang square, pagkatapos ay isang libreng miyembro. Ganito:

At muli, huwag magmadali! Ang minus bago ang x squared ay maaaring magalit nang husto sa iyo. Madali itong kalimutan... Tanggalin ang minus. paano? Oo, gaya ng itinuro sa nakaraang paksa! Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:

At ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at kumpletuhin ang halimbawa. Magpasya sa iyong sarili. Dapat kang magtapos sa mga ugat 2 at -1.

Pangalawang pagtanggap. Suriin ang iyong mga ugat! Ayon sa teorama ni Vieta. Huwag kang mag-alala, ipapaliwanag ko ang lahat! Sinusuri huling bagay ang equation. Yung. ang isa kung saan isinulat namin ang pormula ng mga ugat. Kung (tulad ng sa halimbawang ito) ang coefficient a = 1, madaling suriin ang mga ugat. Ito ay sapat na upang i-multiply ang mga ito. Dapat kang makakuha ng libreng termino, ibig sabihin. sa aming kaso -2. Bigyang-pansin, hindi 2, ngunit -2! libreng miyembro kasama ang iyong tanda . Kung hindi ito natuloy, ibig sabihin nagkagulo na sila sa isang lugar. Maghanap ng isang error.

Kung ito ay nagtrabaho, kailangan mong tiklop ang mga ugat. Huling at huling pagsusuri. Dapat ay isang ratio b kasama kabaligtaran tanda. Sa aming kaso -1+2 = +1. Isang koepisyent b, na nasa harap ng x, ay katumbas ng -1. Kaya, lahat ay tama!
Ito ay isang awa na ito ay napakasimple lamang para sa mga halimbawa kung saan ang x squared ay dalisay, na may isang koepisyent a = 1. Ngunit hindi bababa sa suriin ang gayong mga equation! Magkakaroon ng mas kaunting mga pagkakamali.

Pangatlo ang reception . Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga fraction! I-multiply ang equation sa common denominator gaya ng inilarawan sa aralin na "Paano lulutasin ang mga equation? Mga pagbabago sa pagkakakilanlan". Kapag nagtatrabaho sa mga fraction, mga error, para sa ilang kadahilanan, umakyat ...

Sa pamamagitan ng paraan, nangako ako ng isang masamang halimbawa na may isang grupo ng mga minus upang pasimplehin. Walang anuman! Ayan siya.

Upang hindi malito sa mga minus, pinarami namin ang equation sa -1. Nakukuha namin:

Iyon lang! Ang pagpapasya ay masaya!

Kaya balikan natin ang paksa.

Mga Praktikal na Tip:

1. Bago malutas, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo, itayo ito tama.

2. Kung mayroong negatibong koepisyent sa harap ng x sa parisukat, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa -1.

3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa kaukulang factor.

4. Kung ang x squared ay dalisay, ang koepisyent para dito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling masuri ng Vieta's theorem. Gawin mo!

Ngayon ay maaari kang magpasya.)

Lutasin ang mga Equation:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Mga sagot (magulo):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0.5

x - anumang numero

x 1 = -3
x 2 = 3

walang solusyon

x 1 = 0.25
x 2 \u003d 0.5

Kasya ba ang lahat? ayos! Ang mga quadratic equation ay hindi ang iyong sakit ng ulo. Ang unang tatlo ay lumabas, ngunit ang iba ay hindi? Kung gayon ang problema ay wala sa quadratic equation. Ang problema ay nasa magkaparehong pagbabago ng mga equation. Tingnan ang link, ito ay kapaki-pakinabang.

Hindi masyadong gumagana? O hindi ito gumagana sa lahat? Pagkatapos ay tutulungan ka ng Seksyon 555. Doon, ang lahat ng mga halimbawang ito ay pinagsunod-sunod ayon sa mga buto. Nagpapakita pangunahing mga pagkakamali sa solusyon. Siyempre, ang aplikasyon ng magkatulad na pagbabago sa paglutas ng iba't ibang mga equation ay inilarawan din. Malaking tulong!

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Sa buong kurso kurikulum ng paaralan Algebra isa sa mga pinaka-voluminous na paksa ay ang paksa ng quadratic equation. Sa kasong ito, ang isang quadratic equation ay nauunawaan bilang isang equation ng form na ax 2 + bx + c \u003d 0, kung saan ang isang ≠ 0 (ito ay nagbabasa: isang multiply sa x squared plus be x plus ce ay katumbas ng zero, kung saan ang isang ay hindi katumbas ng zero). Sa kasong ito, ang pangunahing lugar ay inookupahan ng mga formula para sa paghahanap ng discriminant ng isang quadratic equation ng tinukoy na uri, na nauunawaan bilang isang expression na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang presensya o kawalan ng mga ugat sa isang quadratic equation, pati na rin ang kanilang numero (kung mayroon man).

Formula (equation) ng discriminant ng isang quadratic equation

Ang pangkalahatang tinatanggap na formula para sa discriminant ng isang quadratic equation ay ang mga sumusunod: D \u003d b 2 - 4ac. Sa pamamagitan ng pagkalkula ng discriminant gamit ang ipinahiwatig na pormula, hindi lamang matutukoy ng isa ang presensya at bilang ng mga ugat ng isang quadratic equation, ngunit pumili din ng isang paraan para sa paghahanap ng mga ugat na ito, kung saan mayroong ilan, depende sa uri ng quadratic equation.

Ano ang ibig sabihin kung ang discriminant ay zero \ Formula ng mga ugat ng isang quadratic equation kung ang discriminant ay zero

Ang discriminant, tulad ng sumusunod mula sa formula, ay tinutukoy ng Latin na titik D. Sa kaso kapag ang discriminant ay zero, dapat itong tapusin na ang quadratic equation ng form na ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang isang ≠ 0 , ay may isang ugat lamang, na kinakalkula mula sa pinasimpleng formula. Nalalapat lamang ang formula na ito kapag ang discriminant ay zero at ganito ang hitsura: x = –b/2a, kung saan ang x ay ang ugat ng quadratic equation, b at a ang mga katumbas na variable ng quadratic equation. Upang mahanap ang ugat ng isang quadratic equation, kinakailangan na hatiin ang negatibong halaga ng variable b sa dalawang beses ang halaga ng variable a. Ang resultang expression ay magiging solusyon ng isang quadratic equation.

Paglutas ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant

Kung, kapag kinakalkula ang discriminant gamit ang formula sa itaas, isang positibong halaga ang nakuha (D ay mas malaki kaysa sa zero), kung gayon ang quadratic equation ay may dalawang ugat, na kinakalkula gamit ang mga sumusunod na formula: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. Kadalasan, ang discriminant ay hindi kinakalkula nang hiwalay, ngunit ang root expression sa anyo ng isang discriminant formula ay pinapalitan lang sa D value, kung saan kinukuha ang ugat. Kung ang variable b ay may pantay na halaga, pagkatapos ay upang kalkulahin ang mga ugat ng isang quadratic equation ng form na ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang a ≠ 0, maaari mo ring gamitin ang mga sumusunod na formula: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, kung saan k = b/2.

Sa ilang mga kaso, para sa praktikal na solusyon ng mga quadratic equation, maaari mong gamitin ang Vieta Theorem, na nagsasabing para sa kabuuan ng mga ugat ng isang quadratic equation ng form x 2 + px + q \u003d 0, ang halaga x 1 + x 2 \u003d -p ay magiging totoo, at para sa produkto ng mga ugat ng tinukoy na equation - expression x 1 x x 2 = q.

Maaari bang mas mababa sa zero ang discriminant?

Kapag kinakalkula ang halaga ng discriminant, maaaring makatagpo ang isang tao ng isang sitwasyon na hindi nasa ilalim ng alinman sa mga inilarawang kaso - kapag ang discriminant ay may negatibong halaga (iyon ay, mas mababa sa zero). Sa kasong ito, karaniwang tinatanggap na ang isang quadratic equation ng form na ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang isang ≠ 0, ay walang tunay na ugat, samakatuwid, ang solusyon nito ay limitado sa pagkalkula ng discriminant, at ang mga formula sa itaas para sa mga ugat ng quadratic equation ay hindi mailalapat sa kasong ito ay. Kasabay nito, sa sagot sa quadratic equation, nakasulat na "ang equation ay walang tunay na ugat."

Video ng paliwanag: