Derivative ng isang function na tinukoy sa parametrically. Derivative ng isang function na tinukoy parametrically
Huwag nating i-stress, ang lahat sa talatang ito ay medyo simple din. Maaari mong isulat pangkalahatang pormula parametrically ibinigay na function, ngunit para maging malinaw, isusulat ko ito kaagad tiyak na halimbawa. Sa parametric form, ang function ay ibinibigay ng dalawang equation: . Kadalasan ang mga equation ay isinulat hindi sa ilalim ng mga kulot na bracket, ngunit sunud-sunod: , .
Ang variable ay tinatawag na isang parameter at maaaring kumuha ng mga halaga mula sa "minus infinity" hanggang sa "plus infinity". Isaalang-alang, halimbawa, ang halaga at palitan ito sa parehong mga equation: 
. O sa mga termino ng tao: "kung ang x ay katumbas ng apat, kung gayon ang y ay katumbas ng isa." Maaari mong markahan ang isang punto sa coordinate plane, at ang puntong ito ay tumutugma sa halaga ng parameter. Katulad nito, makakahanap ka ng isang punto para sa anumang halaga ng parameter na "te". Tulad ng sa "regular" na function, para sa Amerikanong Indyano ng isang parametrically tinukoy na function, ang lahat ng mga karapatan ay iginagalang din: maaari kang bumuo ng isang graph, maghanap ng mga derivatives, atbp. Sa pamamagitan ng paraan, kung kailangan mong mag-plot ng isang graph ng isang parametrically na tinukoy na function, i-download ang aking geometric na programa sa pahina Mga formula sa matematika at mga mesa.
Sa pinakasimpleng mga kaso, posibleng ilarawan nang tahasan ang function. Ipahayag natin ang parameter mula sa unang equation: 
– at palitan ito sa pangalawang equation: 
. Ang resulta ay isang ordinaryong cubic function.
Sa mas "malubhang" kaso, hindi gumagana ang trick na ito. Ngunit hindi mahalaga, dahil mayroong isang formula para sa paghahanap ng derivative ng isang parametric function:
Nahanap namin ang derivative ng "laro na may paggalang sa variable na te":
Ang lahat ng mga panuntunan sa pagkakaiba-iba at ang talahanayan ng mga derivative ay wasto, natural, para sa titik , kaya, walang bago sa proseso ng paghahanap ng mga derivatives. Itak lang palitan lahat ng "X's" sa table ng letter "Te".
Nahanap namin ang derivative ng "x na may paggalang sa variable na te": 
Ngayon ang lahat na natitira ay upang palitan ang mga nahanap na derivatives sa aming formula: 
handa na. Ang derivative, tulad ng mismong function, ay nakasalalay din sa parameter.
Tulad ng para sa notasyon, sa halip na isulat ito sa pormula, maaari lamang itong isulat nang walang subscript, dahil ito ay isang "regular" na derivative "na may paggalang sa X". Ngunit sa panitikan ay palaging may pagpipilian, kaya hindi ako lilihis sa pamantayan.
Halimbawa 6
Ginagamit namin ang formula
Sa kasong ito:
kaya: 
Ang isang espesyal na tampok ng paghahanap ng derivative ng isang parametric function ay ang katotohanan na sa bawat hakbang ay kapaki-pakinabang na gawing simple ang resulta hangga't maaari. Kaya, sa halimbawang isinasaalang-alang, nang makita ko ito, binuksan ko ang mga panaklong sa ilalim ng ugat (bagaman maaaring hindi ko ito nagawa). Malaki ang pagkakataon na kapag pinalitan ang formula, maraming bagay ang mababawasan ng maayos. Bagaman, siyempre, may mga halimbawa na may mga clumsy na sagot.
Halimbawa 7
Hanapin ang derivative ng isang function na tinukoy sa parametrically 
Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon.
Sa artikulo Ang pinakasimpleng karaniwang mga problema sa mga derivatives tumingin kami sa mga halimbawa kung saan kailangan naming hanapin ang pangalawang derivative ng isang function. Para sa isang parametrically tinukoy na function, maaari mo ring mahanap ang pangalawang derivative, at ito ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula: . Malinaw na para mahanap ang pangalawang derivative, kailangan mo munang hanapin ang unang derivative.
Halimbawa 8
Hanapin ang una at pangalawang derivatives ng isang function na ibinigay parametrically
Una, hanapin natin ang unang derivative.
Ginagamit namin ang formula
Sa kasong ito: 
Pinapalitan ang mga nahanap na derivatives sa formula. Para sa mga layunin ng pagpapasimple, ginagamit namin ang trigonometric formula: 
Napansin ko na sa problema ng paghahanap ng derivative ng isang parametric function, medyo madalas para sa layunin ng pagpapasimple kinakailangan na gamitin mga formula ng trigonometriko . Tandaan ang mga ito o panatilihing madaling gamitin, at huwag palampasin ang pagkakataong pasimplehin ang bawat intermediate na resulta at mga sagot. Para saan? Ngayon kailangan nating kunin ang derivative ng , at ito ay malinaw na mas mahusay kaysa sa paghahanap ng derivative ng .
Hanapin natin ang pangalawang derivative.
Ginagamit namin ang formula: .
Tingnan natin ang aming formula. Ang denominator ay natagpuan na sa nakaraang hakbang. Nananatili itong hanapin ang numerator - ang derivative ng unang derivative na may paggalang sa variable na "te":
Ito ay nananatiling gamitin ang formula: 
Upang mapalakas ang materyal, nag-aalok ako ng ilang higit pang mga halimbawa para malutas mo nang mag-isa.
Halimbawa 9
Halimbawa 10
Maghanap at para sa isang function na tinukoy sa parametrically 
Nais kong tagumpay ka!
Inaasahan kong naging kapaki-pakinabang ang araling ito, at madali mo na ngayong mahahanap ang mga derivatives ng mga function na tinukoy nang payak at mula sa mga parametric function.
Mga solusyon at sagot:
Halimbawa 3: Solusyon:
kaya:
Logarithmic differentiation
Derivatives mga pag-andar ng elementarya
Mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan
Pagkakaiba ng pag-andar
Pangunahing linear na bahagi ng pagtaas ng function A D x sa pagtukoy ng pagkakaiba-iba ng isang function
D f=f(x)-f(x 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0
tinatawag na differential ng function f(x) sa punto x 0 at ipinapahiwatig
df(x 0)=f¢(x 0)D x=A D x.
Ang pagkakaiba ay depende sa punto x 0 at mula sa pagtaas D x. Sa D x at the same time they look at it as an independent variable, so sa bawat punto ang differential ay isang linear function ng increment D x.
Kung isasaalang-alang natin bilang isang function f(x)=x, pagkatapos makuha namin dx= D x,dy=Adx. Ito ay naaayon sa notasyon ni Leibniz
Geometric na interpretasyon ng differential bilang isang pagtaas ng ordinate ng isang tangent.
kanin. 4.3
1) f= const , f¢= 0,df= 0D x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.
Bunga. (cf(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢= c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)
4) f=u/v, v(x 0)¹0 at umiiral ang derivative, kung gayon f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .
Para sa kaiklian ay ipahiwatig natin u=u(x), ikaw 0 =u(x 0), pagkatapos
Pagpasa sa limitasyon sa D x® 0 nakukuha natin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay.
5) Hinalaw kumplikadong pag-andar.
Teorama. Kung mayroong f¢(x 0), g¢(x 0)at x 0 =g(t 0), pagkatapos ay sa ilang kapitbahayan t 0 ang kumplikadong function f ay tinukoy(g(t)), ito ay naiba sa punto t 0 At
Patunay.
f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).
f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)- g(t 0))+ a( g(t))(g(t)- g(t 0)).
Hatiin natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng ( t - t 0) at pumunta tayo sa limitasyon sa t®t 0 .
6) Pagkalkula ng derivative ng inverse function.
Teorama. Hayaang tuluy-tuloy ang f at mahigpit na walang pagbabago[a,b]. Hayaan sa puntong x 0 Î( a,b)mayroong f¢(x 0)¹ 0 , pagkatapos ay ang inverse function na x=f -1 (y)ay nasa puntong y 0 derivative katumbas ng
Patunay. Nagbibilang kami f mahigpit na monotonically pagtaas, pagkatapos f -1 (y) ay tuloy-tuloy, tumataas nang monotoniko ng [ f(a),f(b)]. Ilagay natin y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0 =D x,
y - y 0 =D y. Dahil sa pagpapatuloy ng inverse function D y®0 Þ D x®0, mayroon kami
Ang pagpasa sa limitasyon, nakuha namin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay.
7) Ang derivative ng even function ay odd, ang derivative ng odd function ay even.
Sa katunayan, kung x® - x 0 , Yung- x® x 0 , kaya lang
Para sa even function para sa kakaibang function
1) f= const, f¢(x)=0.
2) f(x)=x, f¢(x)=1.
3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,
4) f(x)=a x ,(isang x)¢ = palakol ln a.
5) ln a.
6) f(x)=ln x,
Bunga. (ang derivative ng even function ay kakaiba)
7) (x m )¢= m x m -1 , x>0, x m =e m ln x .
8) (kasalanan x)¢= cos x,
9) (cos x)¢=- kasalanan x,(cos x)¢= (kasalanan( x+ p/2)) ¢= kasi( x+ p/2)=-kasalanan x.
10) (tg x)¢= 1/cos 2 x.
11) (ctg x)¢= -1/kasalanan 2 x.
16) sh x, ch x.
f(x),, kung saan sinusundan iyon f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .
Ang parehong formula ay maaaring makuha nang iba f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.
Halimbawa. Kalkulahin ang derivative ng isang function f=x x .
=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).
Geometric na lokasyon ng mga punto sa isang eroplano
tatawagin natin itong graph ng isang function, ibinigay parametrically. Pinag-uusapan din nila ang tungkol sa parametric na detalye ng isang function.
Tandaan 1. Kung x, y tuloy-tuloy para sa [a,b] At x(t) mahigpit na monotoniko sa segment (halimbawa, mahigpit na tumataas ang monotonically), pagkatapos ay sa [ a,b], a=x(a) , b=x(b) tinukoy ang function f(x)=y(t(x)), kung saan t(x) – function na baligtad sa x(t). Ang graph ng function na ito ay tumutugma sa graph ng function
Kung ang domain ng kahulugan ang isang parametrically na ibinigay na function ay maaaring hatiin sa isang tiyak na bilang ng mga segment ,k= 1,2,...,n, sa bawat isa ay mayroong isang function x(t) ay mahigpit na monotoniko, pagkatapos ang parametrically na tinukoy na function ay nabubulok sa isang limitadong bilang ng mga ordinaryong function fk(x)=y(t -1 (x)) may mga domain [ x(a k), x(b k)] para sa pagtaas ng mga seksyon x(t) at may mga domain [ x(b k), x(a k)] para sa mga lugar na nagpapababa ng pag-andar x(t). Ang mga function na nakuha sa ganitong paraan ay tinatawag na single-valued na mga sangay ng isang parametrically tinukoy na function.
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang parametrically tinukoy na function
Gamit ang napiling parameterization, ang lugar ng kahulugan ay nahahati sa limang seksyon ng mahigpit na monotonicity ng function na sin(2 t), eksakto: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , at, nang naaayon, hahatiin ang graph sa limang hindi malabo na sangay na tumutugma sa mga seksyong ito.
kanin. 4.4
kanin. 4.5
Maaari kang pumili ng ibang parameterization ng parehong geometric na lokasyon ng mga puntos
Sa kasong ito magkakaroon lamang ng apat na mga sangay. Sila ay tumutugma sa mga lugar ng mahigpit na monotony tÎ ,tÎ ,tÎ ,tÎ mga function kasalanan(2 t).
kanin. 4.6
Apat na seksyon ng monotonicity ng function na sin(2 t) sa isang mahabang segment.
kanin. 4.7
Ang paglalarawan ng parehong mga graph sa isang figure ay nagbibigay-daan sa iyo upang humigit-kumulang na ilarawan ang graph ng isang parametrically tinukoy na function, gamit ang monotonicity na mga lugar ng parehong mga function.
Bilang halimbawa, isaalang-alang ang unang sangay na tumutugma sa segment tÎ . Sa dulo ng seksyong ito ang function x= kasalanan(2 t) tumatagal ng mga halaga -1 at 1 , kaya ang sangay na ito ay tutukuyin sa [-1,1] . Pagkatapos nito, kailangan mong tingnan ang mga lugar ng monotony ng pangalawang function y= kasi( t), nakasuot siya dalawang seksyon ng monotony . Ito ay nagpapahintulot sa amin na sabihin na ang unang sangay ay may dalawang seksyon ng monotonicity. Kapag nahanap mo na ang mga end point ng graph, maaari mong ikonekta ang mga ito sa mga tuwid na linya upang maipahiwatig ang likas na katangian ng monotony ng graph. Matapos magawa ito sa bawat sangay, nakakakuha kami ng mga lugar ng monotonicity ng hindi malabo na mga sanga ng graph (naka-highlight ang mga ito sa pula sa figure)
kanin. 4.8
Unang sangay na may iisang halaga f 1 (x)=y(t(x)) , naaayon sa site ay matutukoy para sa xО[-1,1] . Unang sangay na may iisang halaga tÎ , xО[-1,1].
Ang lahat ng iba pang tatlong sangay ay magkakaroon din ng domain ng kahulugan [-1,1] .
kanin. 4.9
Pangalawang sangay tÎ xО[-1,1].
kanin. 4.10
Pangatlong sangay tÎ xО[-1,1]
kanin. 4.11
Pang-apat na sangay tÎ xО[-1,1]
kanin. 4.12
Magkomento 2. Ang parehong function ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga setting ng parametric. Ang mga pagkakaiba ay maaaring may kinalaman sa parehong mga pag-andar mismo x(t), y(t) , at ang domain ng kahulugan mga function na ito.
Halimbawa ng iba't ibang parametric na takdang-aralin para sa parehong function
At tО[-1, 1] .
Tandaan 3. Kung ang x,y ay tuloy-tuloy sa , x(t)- mahigpit na monotoniko sa segment at may mga derivatives y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, pagkatapos ay mayroon f¢(x 0)= .
Talaga, .
Nalalapat din ang huling pahayag sa mga sanga na may iisang halaga ng isang function na tinukoy nang parametric.
4.2 Derivatives at differentials ng mas mataas na mga order
Mas mataas na derivatives at differentials. Differentiation ng mga function na tinukoy sa parametrically. Ang formula ni Leibniz.
Hayaang maibigay ang function parametrically:
(1)
kung saan ang ilang variable ay tinatawag na isang parameter. At hayaan ang mga function na magkaroon ng derivatives sa isang tiyak na halaga ng variable. Bukod dito, ang function ay may baligtad na pag-andar sa ilang kapitbahayan ng punto. Pagkatapos ang function (1) ay mayroong derivative sa punto, na, sa parametric form, ay tinutukoy ng mga formula:
(2)
Narito at ang mga derivatives ng mga function at may paggalang sa variable (parameter). Ang mga ito ay madalas na isinulat tulad ng sumusunod:
;
.
Pagkatapos ang system (2) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
Patunay
Sa pamamagitan ng kundisyon, ang function ay may kabaligtaran na function. Tukuyin natin ito bilang
.
Kung gayon ang orihinal na function ay maaaring katawanin bilang isang kumplikadong function:
.
Hanapin natin ang derivative nito gamit ang mga patakaran para sa pagkakaiba ng kumplikado at kabaligtaran na mga function:
.
Napatunayan na ang tuntunin.
Patunay sa pangalawang paraan
Hanapin natin ang derivative sa pangalawang paraan, batay sa kahulugan ng derivative ng function sa punto:
.
Ipakilala natin ang notasyon:
.
Pagkatapos ang nakaraang formula ay tumatagal ng form:
.
Samantalahin natin ang katotohanan na ang function ay may kabaligtaran na pag-andar sa kapitbahayan ng punto.
Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon:
;
;
;
.
Hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan ng:
.
Sa , . Pagkatapos
.
Napatunayan na ang tuntunin.
Higher order derivatives
Upang makahanap ng mga derivatives ng mas mataas na mga order, kinakailangan na magsagawa ng pagkita ng kaibhan nang maraming beses. Sabihin nating kailangan nating hanapin ang second-order derivative ng isang function na tinukoy sa parametrically, ng sumusunod na form:
(1)
Gamit ang formula (2) nahanap natin ang unang derivative, na tinutukoy din sa parametrically:
(2)
Tukuyin natin ang unang derivative ng variable:
.
Pagkatapos, upang mahanap ang pangalawang derivative ng isang function na may paggalang sa variable, kailangan mong hanapin ang unang derivative ng function na may paggalang sa variable. Ang dependence ng isang variable sa isang variable ay tinukoy din sa parametric na paraan:
(3)
Ang paghahambing ng (3) sa mga formula (1) at (2), makikita natin:
Ngayon ipahayag natin ang resulta sa pamamagitan ng mga function at . Upang gawin ito, palitan natin at ilapat ang derivative fraction formula:
.
Pagkatapos
.
Mula dito nakuha namin ang pangalawang derivative ng function na may paggalang sa variable:
Ibinibigay din ito sa parametric form. Tandaan na ang unang linya ay maaari ding isulat tulad ng sumusunod:
.
Sa pagpapatuloy ng proseso, maaari kang makakuha ng mga derivatives ng mga function mula sa isang variable ng ikatlo at mas mataas na mga order.
Tandaan na hindi namin kailangang magpakilala ng notasyon para sa derivative. Maaari mong isulat ito tulad nito:
;
.
Halimbawa 1
Hanapin ang derivative ng isang function na tinukoy sa parametrically:
Solusyon
Nakahanap kami ng mga derivatives na may kinalaman sa .
Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
;
.
Nag-a-apply kami:
.
Dito .
.
Dito .
Ang kinakailangang derivative:
.
Sagot
Halimbawa 2
Hanapin ang derivative ng function na ipinahayag sa pamamagitan ng parameter:
Solusyon
Palawakin natin ang mga bracket gamit ang mga formula para sa mga function ng kapangyarihan at mga ugat:
.
Paghahanap ng derivative:
.
Paghahanap ng derivative. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang isang variable at inilapat ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function.
.
Nahanap namin ang nais na derivative:
.
Sagot
Halimbawa 3
Hanapin ang pangalawa at pangatlong order derivatives ng function na tinukoy sa parametrically sa Halimbawa 1:
Solusyon
Sa Halimbawa 1 nakita namin ang unang order derivative:
Ipakilala natin ang pagtatalaga. Pagkatapos ang function ay derivative na may paggalang sa . Ito ay tinukoy sa parametrically:
Upang mahanap ang pangalawang derivative na may kinalaman sa , kailangan nating hanapin ang unang derivative na may kinalaman sa .
Ibahin natin sa pamamagitan ng .
.
Natagpuan namin ang derivative ng sa Halimbawa 1:
.
Ang second-order derivative na may kinalaman sa ay katumbas ng first-order derivative na may kinalaman sa:
.
Kaya, nakita namin ang second-order derivative na may kinalaman sa parametric form:
Ngayon nakita namin ang pangatlong order derivative. Ipakilala natin ang pagtatalaga. Pagkatapos ay kailangan nating hanapin ang first-order derivative ng function, na tinukoy sa parametric na paraan:
Hanapin ang derivative na may kinalaman sa . Upang gawin ito, muling isulat namin ito sa katumbas na anyo:
.
Mula sa
.
Ang third order derivative na may kinalaman sa ay katumbas ng first order derivative na may kinalaman sa:
.
Magkomento
Hindi mo kailangang ilagay ang mga variable at , na mga derivatives ng at , ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos ay maaari mong isulat ito tulad nito:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Sagot
Sa parametric na representasyon, ang second-order derivative ay may sumusunod na anyo:
Derivative ng ikatlong order.
Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy.
Derivative ng isang parametrically tinukoy na function
Sa artikulong ito, titingnan natin ang dalawa pang karaniwang gawain na madalas na matatagpuan sa mga pagsubok sa mas mataas na matematika. Upang matagumpay na makabisado ang materyal, kailangan mong makahanap ng mga derivative kahit man lang sa isang intermediate na antas. Maaari kang matutong maghanap ng mga derivatives mula sa simula sa dalawa pangunahing mga aralin At Derivative ng isang kumplikadong function. Kung okay ang iyong differentiation skills, then let's go.
Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy
O, sa madaling salita, ang derivative ng isang implicit function. Ano ang isang implicit function? Alalahanin muna natin ang mismong kahulugan ng isang function ng isang variable:
Single variable function ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat halaga ng independiyenteng variable ay tumutugma sa isa at isang halaga lamang ng function.
Ang variable ay tinatawag malayang baryabol o argumento.
Ang variable ay tinatawag dependent variable o function
.
Sa ngayon ay tiningnan namin ang mga function na tinukoy sa tahasan anyo. Ano ang ibig sabihin nito? Magsagawa tayo ng isang debriefing gamit ang mga tiyak na halimbawa.
Isaalang-alang ang function 
Nakita namin na sa kaliwa mayroon kaming nag-iisang "manlalaro", at sa kanan - "X's" lang. Iyon ay, ang pag-andar tahasan ipinahayag sa pamamagitan ng malayang baryabol.
Tingnan natin ang isa pang function:
Ito ay kung saan ang mga variable ay halo-halong up. At saka imposible sa anumang paraan ipahayag ang "Y" lamang sa pamamagitan ng "X". Ano ang mga pamamaraang ito? Paglilipat ng mga termino mula sa bahagi patungo sa bahagi na may pagbabago ng tanda, pag-alis ng mga ito sa mga bracket, paghagis ng mga salik ayon sa tuntunin ng proporsyon, atbp. Isulat muli ang pagkakapantay-pantay at subukang ipahayag ang "y" nang tahasan: . Maaari mong i-twist at iikot ang equation nang maraming oras, ngunit hindi ka magtatagumpay.
Hayaan akong ipakilala sa iyo: – halimbawa implicit function.
Sa kurso ng mathematical analysis napatunayan na ang implicit function umiiral(gayunpaman, hindi palaging), mayroon itong graph (tulad ng isang "normal" na function). Ang implicit function ay eksaktong pareho umiiral first derivative, second derivative, atbp. Tulad ng sinasabi nila, ang lahat ng karapatan ng mga sekswal na minorya ay iginagalang.
At sa araling ito matututunan natin kung paano hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na tinukoy. Hindi naman ganoon kahirap! Ang lahat ng mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan at ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya ay nananatiling may bisa. Ang pagkakaiba ay nasa isang kakaibang sandali, na titingnan natin ngayon.
Oo, at sasabihin ko sa iyo ang mabuting balita - ang mga gawain na tinalakay sa ibaba ay isinasagawa ayon sa isang medyo mahigpit at malinaw na algorithm na walang bato sa harap ng tatlong mga track.
Halimbawa 1
1) Sa unang yugto, ikinakabit namin ang mga stroke sa parehong bahagi:
2) Ginagamit namin ang mga tuntunin ng linearity ng derivative (ang unang dalawang panuntunan ng aralin Paano mahahanap ang derivative? Mga halimbawa ng solusyon):
3) Direktang pagkita ng kaibhan.
Kung paano ang pagkakaiba ay ganap na malinaw. Ano ang gagawin kung saan may mga "laro" sa ilalim ng mga stroke?
- hanggang sa punto ng kahihiyan, ang derivative ng isang function ay katumbas ng derivative nito: .
Paano mag-iba
Nandito na tayo kumplikadong pag-andar. Bakit? Tila sa ilalim ng sine ay may isang letra lamang na "Y". Ngunit ang katotohanan ay mayroon lamang isang titik na "y" - AY MISMONG FUNCTION(tingnan ang kahulugan sa simula ng aralin). Kaya, ang sine ay isang panlabas na function at isang panloob na function. Ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function 
:
Pinag-iiba namin ang produkto ayon sa karaniwang tuntunin 
:
Pakitandaan na – isa ring kumplikadong function, anumang "laro na may mga kampana at sipol" ay isang kumplikadong function:
Ang solusyon mismo ay dapat magmukhang ganito:
Kung mayroong mga bracket, palawakin ang mga ito:
4) Sa kaliwang bahagi kinokolekta namin ang mga terminong naglalaman ng "Y" na may prime. SA kanang bahagi- ilipat ang lahat ng iba pa:
5) Sa kaliwang bahagi ay kinukuha namin ang derivative sa mga bracket:
6) At ayon sa tuntunin ng proporsyon, ibinabagsak namin ang mga bracket na ito sa denominator ng kanang bahagi:
Nahanap na ang derivative. handa na.
Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang pag-andar ay maaaring muling isulat nang hindi malinaw. Halimbawa, ang function 
maaaring isulat muli tulad nito: 
. At ibahin ito gamit ang algorithm na tinalakay lang. Sa katunayan, ang mga pariralang "implicit function" at "implicit function" ay naiiba sa isang semantic nuance. Ang pariralang "implicitly specified function" ay mas pangkalahatan at tama, 
– ang function na ito ay implicitly na tinukoy, ngunit dito maaari mong ipahayag ang "laro" at ipakita ang function na tahasan. Ang pariralang "implicit function" ay tumutukoy sa "classical" implicit function kapag ang "y" ay hindi maipahayag.
Pangalawang solusyon
Pansin! Maaari mong gawing pamilyar ang iyong sarili sa pangalawang paraan kung alam mo kung paano kumpiyansa na maghanap mga partial derivatives. Calculus beginners and dummies, please huwag basahin at laktawan ang puntong ito, kung hindi ay magiging ganap na gulo ang iyong ulo.
Hanapin natin ang derivative ng implicit function gamit ang pangalawang paraan.
Inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi:
At isaalang-alang ang isang function ng dalawang variable:
Pagkatapos ang aming derivative ay matatagpuan gamit ang formula
Hanapin natin ang mga partial derivatives:
kaya:
Ang pangalawang solusyon ay nagpapahintulot sa iyo na magsagawa ng tseke. Ngunit hindi ipinapayong isulat nila ang panghuling bersyon ng takdang-aralin, dahil ang mga partial derivatives ay pinagkadalubhasaan sa ibang pagkakataon, at ang isang mag-aaral na nag-aaral ng paksang "Derivative ng isang function ng isang variable" ay hindi pa dapat malaman ang mga partial derivatives.
Tingnan natin ang ilan pang halimbawa.
Halimbawa 2
Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay
Magdagdag ng mga stroke sa parehong bahagi:
Gumagamit kami ng mga panuntunan sa linearity:
Paghahanap ng mga derivatives:
Pagbubukas ng lahat ng mga bracket:
Inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi, ang natitira sa kanang bahagi:
Panghuling sagot: 
Halimbawa 3
Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay 
Kumpletong solusyon at isang halimbawang disenyo sa pagtatapos ng aralin.
Karaniwang lumilitaw ang mga fraction pagkatapos ng pagkita ng kaibhan. Sa ganitong mga kaso, kailangan mong alisin ang mga fraction. Tingnan natin ang dalawa pang halimbawa.
Halimbawa 4
Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay 
Isinama namin ang parehong bahagi sa ilalim ng mga stroke at ginagamit ang linearity rule: 
Magkaiba gamit ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function 
at ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga quotient 
:
Pagpapalawak ng mga bracket: 
Ngayon kailangan nating alisin ang fraction. Magagawa ito sa ibang pagkakataon, ngunit mas makatwiran na gawin ito kaagad. Ang denominator ng fraction ay naglalaman ng . Paramihin sa . Sa detalye, magiging ganito ang hitsura:
Minsan pagkatapos ng pagkita ng kaibhan 2-3 fraction ang lilitaw. Kung mayroon tayong isa pang fraction, halimbawa, kung gayon ang operasyon ay kailangang ulitin - multiply bawat termino ng bawat bahagi sa
Sa kaliwang bahagi ay inilabas namin ito sa mga bracket:
Panghuling sagot: 
Halimbawa 5
Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay
Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang tanging bagay ay bago mo maalis ang fraction, kakailanganin mo munang alisin ang tatlong palapag na istraktura ng fraction mismo. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.
Derivative ng isang parametrically tinukoy na function
Huwag nating i-stress, ang lahat sa talatang ito ay medyo simple din. Maaari mong isulat ang pangkalahatang formula para sa isang parametrically tinukoy na function, ngunit upang gawing malinaw, agad akong magsusulat ng isang partikular na halimbawa. Sa parametric form, ang function ay ibinibigay ng dalawang equation: . Kadalasan ang mga equation ay isinulat hindi sa ilalim ng mga kulot na bracket, ngunit sunud-sunod: , .
Ang variable ay tinatawag na isang parameter at maaaring kumuha ng mga halaga mula sa "minus infinity" hanggang sa "plus infinity". Isaalang-alang, halimbawa, ang halaga at palitan ito sa parehong mga equation: 
. O sa mga termino ng tao: "kung ang x ay katumbas ng apat, kung gayon ang y ay katumbas ng isa." Maaari mong markahan ang isang punto sa coordinate plane, at ang puntong ito ay tumutugma sa halaga ng parameter. Katulad nito, makakahanap ka ng isang punto para sa anumang halaga ng parameter na "te". Tulad ng para sa isang "regular" na function, para sa mga American Indian ng isang parametrically tinukoy na function, ang lahat ng mga karapatan ay iginagalang din: maaari kang bumuo ng isang graph, maghanap ng mga derivatives, atbp. Sa pamamagitan ng paraan, kung kailangan mong mag-plot ng isang graph ng isang parametrically tinukoy na function, maaari mong gamitin ang aking programa.
Sa pinakasimpleng mga kaso, posibleng ilarawan nang tahasan ang function. Ipahayag natin ang parameter mula sa unang equation: 
– at palitan ito sa pangalawang equation: 
. Ang resulta ay isang ordinaryong cubic function.
Sa mas "malubhang" kaso, hindi gumagana ang trick na ito. Ngunit hindi mahalaga, dahil mayroong isang formula para sa paghahanap ng derivative ng isang parametric function:
Nahanap namin ang derivative ng "laro na may paggalang sa variable na te":
Ang lahat ng mga panuntunan sa pagkakaiba-iba at ang talahanayan ng mga derivative ay wasto, natural, para sa titik , kaya, walang bago sa proseso ng paghahanap ng mga derivatives. Itak lang palitan lahat ng "X's" sa table ng letter "Te".
Nahanap namin ang derivative ng "x na may paggalang sa variable na te": 
Ngayon ang lahat na natitira ay upang palitan ang mga nahanap na derivatives sa aming formula: 
handa na. Ang derivative, tulad ng mismong function, ay nakasalalay din sa parameter.
Tulad ng para sa notasyon, sa halip na isulat ito sa pormula, maaari lamang itong isulat nang walang subscript, dahil ito ay isang "regular" na derivative "na may paggalang sa X". Ngunit sa panitikan ay palaging may pagpipilian, kaya hindi ako lilihis sa pamantayan.
Halimbawa 6
Ginagamit namin ang formula
Sa kasong ito:
kaya: 
Ang isang espesyal na tampok ng paghahanap ng derivative ng isang parametric function ay ang katotohanan na sa bawat hakbang ay kapaki-pakinabang na gawing simple ang resulta hangga't maaari. Kaya, sa halimbawang isinasaalang-alang, nang makita ko ito, binuksan ko ang mga panaklong sa ilalim ng ugat (bagaman maaaring hindi ko ito nagawa). Malaki ang pagkakataon na kapag pinalitan ang formula, maraming bagay ang mababawasan ng maayos. Bagaman, siyempre, may mga halimbawa na may mga clumsy na sagot.
Halimbawa 7
Hanapin ang derivative ng isang function na tinukoy sa parametrically 
Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.
Sa artikulo Ang pinakasimpleng karaniwang mga problema sa mga derivatives tumingin kami sa mga halimbawa kung saan kailangan naming hanapin ang pangalawang derivative ng isang function. Para sa isang parametrically tinukoy na function, maaari mo ring mahanap ang pangalawang derivative, at ito ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula: . Malinaw na para mahanap ang pangalawang derivative, kailangan mo munang hanapin ang unang derivative.
Halimbawa 8
Hanapin ang una at pangalawang derivatives ng isang function na ibinigay parametrically
Una, hanapin natin ang unang derivative.
Ginagamit namin ang formula
Sa kasong ito: 
Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivatives sa formula. Para sa mga layunin ng pagpapasimple, ginagamit namin ang trigonometric formula: 
Hanggang ngayon, isinasaalang-alang namin ang mga equation ng mga linya sa isang eroplano na direktang kumokonekta sa kasalukuyang mga coordinate ng mga punto ng mga linyang ito. Gayunpaman, ang isa pang paraan ng pagtukoy ng isang linya ay madalas na ginagamit, kung saan ang kasalukuyang mga coordinate ay itinuturing bilang mga function ng isang ikatlong variable.
Hayaang ibigay ang dalawang function ng isang variable
isinasaalang-alang para sa parehong mga halaga ng t. Pagkatapos ang alinman sa mga halagang ito ng t ay tumutugma sa isang tiyak na halaga at isang tiyak na halaga ng y, at samakatuwid sa isang tiyak na punto. Kapag ang variable t ay tumatakbo sa lahat ng mga halaga mula sa domain ng kahulugan ng mga function (73), ang punto ay naglalarawan ng isang tiyak na linya C sa eroplano. Ang mga equation (73) ay tinatawag na parametric equation ng linyang ito, at ang variable ay tinatawag na isang parameter.
Ipagpalagay natin na ang function ay may kabaligtaran na function. Ang pagpapalit ng function na ito sa pangalawa ng mga equation (73), makuha natin ang equation
pagpapahayag ng y bilang isang function
Sumang-ayon tayo na sabihin na ang function na ito ay ibinibigay sa parametrically ng mga equation (73). Ang paglipat mula sa mga equation na ito sa equation (74) ay tinatawag na parameter elimination. Kapag isinasaalang-alang ang mga function na tinukoy sa parametrically, ang pagbubukod ng parameter ay hindi lamang hindi kinakailangan, ngunit hindi rin palaging posible.
Sa maraming mga kaso, ito ay mas maginhawa, bibigyan ng iba't ibang mga halaga ng parameter, upang pagkatapos ay kalkulahin, gamit ang mga formula (73), ang kaukulang mga halaga ng argumento at function na y.
Tingnan natin ang mga halimbawa.
Halimbawa 1. Hayaan ay isang arbitrary na punto sa isang bilog na may sentro sa pinanggalingan at radius R. Mga coordinate ng Cartesian Ang x at y ng puntong ito ay ipinahayag sa pamamagitan ng polar radius at polar angle nito, na tinutukoy natin dito ng t, tulad ng sumusunod (tingnan ang Kabanata I, § 3, talata 3):
Ang mga equation (75) ay tinatawag na parametric equation ng isang bilog. Ang parameter sa kanila ay ang polar angle, na nag-iiba mula 0 hanggang .
Kung ang mga equation (75) ay squared term sa pamamagitan ng term at idinagdag, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagkakakilanlan ang parameter ay tinanggal at ang equation ng isang bilog sa Cartesian coordinate system ay nakuha, na tumutukoy sa dalawang elementarya na function:
Ang bawat isa sa mga function na ito ay tinukoy sa parametrically ng mga equation (75), ngunit ang mga hanay ng parameter para sa mga function na ito ay iba. Para sa una sa kanila; Ang graph ng function na ito ay ang itaas na kalahating bilog. Para sa pangalawang function, ang graph nito ay ang lower semicircle.
Halimbawa 2. Isaalang-alang ang sabay-sabay na isang ellipse
at isang bilog na may sentro sa pinanggalingan at radius a (Larawan 138).
Sa bawat punto M ng ellipse iniuugnay namin ang isang punto N ng bilog, na may parehong abscissa bilang ang punto M at matatagpuan kasama nito sa parehong bahagi ng axis ng Ox. Ang posisyon ng point N, at samakatuwid ay point M, ay ganap na tinutukoy ng polar angle t ng point. Sa kasong ito, para sa kanilang karaniwang abscissa makuha natin ang sumusunod na expression: x = a. Nahanap namin ang ordinate sa punto M mula sa equation ng ellipse:
Ang sign ay pinili dahil ang ordinate ng point M at ang ordinate ng point N ay dapat magkaroon ng parehong mga palatandaan.
Kaya, ang mga sumusunod na parametric equation ay nakuha para sa ellipse:
Dito ang parameter t ay nag-iiba mula 0 hanggang .
Halimbawa 3. Isaalang-alang ang isang bilog na may sentro sa punto a) at radius a, na malinaw na humahawak sa x-axis sa pinanggalingan (Larawan 139). Ipagpalagay natin na ang bilog na ito ay gumulong nang hindi nadudulas sa x-axis. Pagkatapos ang punto M ng bilog, na sa unang sandali ay nag-tutugma sa pinagmulan ng mga coordinate, ay naglalarawan ng isang linya na tinatawag na cycloid.
Kunin natin ang mga parametric equation ng cycloid, na kinuha bilang parameter t ang anggulo ng MSV ng pag-ikot ng bilog kapag inililipat ang nakapirming punto nito mula sa posisyon O patungo sa posisyon M. Pagkatapos ay para sa mga coordinate at y ng point M makuha natin ang mga sumusunod na expression:
Dahil sa ang katunayan na ang bilog ay gumulong sa kahabaan ng axis nang hindi dumudulas, ang haba ng segment na OB ay katumbas ng haba ng arc BM. Dahil ang haba ng arko BM ay katumbas ng produkto ng radius a at ang gitnang anggulo t, kung gayon . kaya lang . Ngunit samakatuwid,
Ang mga equation na ito ay ang mga parametric equation ng cycloid. Kapag nagbago ang parameter t mula 0 hanggang sa bilog ay gagawa ng isang buong rebolusyon. Ilalarawan ng Point M ang isang arko ng cycloid.
Ang pagbubukod ng parameter t dito ay humahantong sa mga masalimuot na expression at halos hindi praktikal.
Ang parametric na kahulugan ng mga linya ay kadalasang ginagamit sa mekanika, at ang papel ng parameter ay nilalaro ng oras.
Halimbawa 4. Alamin natin ang trajectory ng projectile na pinaputok mula sa isang baril na may paunang bilis sa isang anggulo a sa pahalang. Pinapabayaan namin ang paglaban ng hangin at ang mga sukat ng projectile, isinasaalang-alang ito na isang materyal na punto.
Pumili tayo ng coordinate system. Kunin natin ang punto ng pag-alis ng projectile mula sa muzzle bilang pinagmulan ng mga coordinate. Idirekta natin ang Ox axis nang pahalang, at ang Oy axis nang patayo, ilagay ang mga ito sa parehong eroplano na may nguso ng baril. Kung walang puwersa ng gravity, kung gayon ang projectile ay kikilos sa isang tuwid na linya, na gagawa ng isang anggulo a sa axis ng Ox, at sa oras na t ito ay lalakbayin ang distansya. sa: . Dahil sa gravity, ang projectile ay dapat sa sandaling ito ay patayo na bumaba ng isang halaga. Samakatuwid, sa katotohanan, sa oras t, ang mga coordinate ng projectile ay tinutukoy ng mga formula:
Ang mga equation na ito ay naglalaman ng pare-parehong dami. Kapag nagbago ang t, magbabago din ang mga coordinate sa projectile trajectory point. Ang mga equation ay parametric equation ng projectile trajectory, kung saan ang parameter ay oras
Pagpapahayag mula sa unang equation at pagpapalit nito sa
ang pangalawang equation, nakuha namin ang equation ng projectile trajectory sa anyo Ito ang equation ng isang parabola.
