Pagmomodelo ng mga dynamic na system (Lagrange method at Bond graph approach). Paraan ng Lagrange multiplier
Isaalang-alang muna natin ang kaso ng isang function ng dalawang variable. Ang conditional extremum ng function na $z=f(x,y)$ sa puntong $M_0(x_0;y_0)$ ay ang extremum ng function na ito, na naabot sa ilalim ng kondisyon na ang mga variable na $x$ at $y$ sa sa paligid ng puntong ito ay nakakatugon sa constraint equation $\ varphi(x,y)=0$.
Ang pangalang "conditional" extremum ay dahil sa katotohanan na ang karagdagang kundisyon na $\varphi(x,y)=0$ ay ipinapataw sa mga variable. Kung posible na ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa mula sa equation ng pagpilit, kung gayon ang problema ng pagtukoy conditional extremum binabawasan sa isang problema para sa karaniwang extremum ng isang function ng isang variable. Halimbawa, kung ang $y=\psi(x)$ ay sumusunod mula sa constraint equation, pagkatapos ay papalitan ang $y=\psi(x)$ sa $z=f(x,y)$, makakakuha tayo ng function ng isang variable $ z=f\kaliwa (x,\psi(x)\kanan)$. Sa pangkalahatang kaso, gayunpaman, ang pamamaraang ito ay hindi gaanong ginagamit, kaya kinakailangan ang isang bagong algorithm.
Paraan ng Lagrange multiplier para sa mga function ng dalawang variable.
Ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange ay upang mahanap ang conditional extremum, ang Lagrange function ay binubuo: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (ang parameter na $\lambda $ ay tinatawag na Lagrange multiplier ). Ang mga kinakailangang extremum na kondisyon ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan ang mga nakatigil na puntos ay tinutukoy:
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$
Ang sign na $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Kung sa isang nakatigil na punto $d^2F > 0$, ang function na $z=f(x,y)$ ay may conditional na minimum sa puntong ito, ngunit kung $d^2F< 0$, то условный максимум.
May isa pang paraan upang matukoy ang likas na katangian ng extremum. Mula sa constraint equation nakukuha natin: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, kaya sa anumang nakatigil na punto mayroon tayo:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "") dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\kanan)$$
Ang pangalawang kadahilanan (na matatagpuan sa mga bracket) ay maaaring katawanin sa form na ito:
Mga elemento ng $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$ na siyang Hessian ng Lagrange function. Kung $H > 0$ pagkatapos ay $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, ibig sabihin. mayroon kaming conditional na minimum ng function na $z=f(x,y)$.
Tandaan sa anyo ng $H$ determinant. Ipakita itago
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$
Sa sitwasyong ito, ang panuntunang binalangkas sa itaas ay nagbabago tulad ng sumusunod: kung $H > 0$, ang function ay may kondisyon na minimum, at para sa $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Algorithm para sa pag-aaral ng function ng dalawang variable para sa conditional extremum
- Buuin ang Lagrange function na $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Lutasin ang system $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
- Tukuyin ang likas na katangian ng extremum sa bawat isa sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa nakaraang talata. Upang gawin ito, gamitin ang alinman sa mga sumusunod na pamamaraan:
- Buuin ang determinant na $H$ at alamin ang sign nito
- Isinasaalang-alang ang constraint equation, kalkulahin ang sign ng $d^2F$
Lagrange multiplier method para sa mga function ng n variable
Ipagpalagay na mayroon tayong function ng $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ at $m$ constraint equation ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Tinutukoy ang mga multiplier ng Lagrange bilang $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, binubuo namin ang Lagrange function:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Ang mga kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang conditional extremum ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan matatagpuan ang mga coordinate ng mga nakatigil na puntos at ang mga halaga ng mga multiplier ng Lagrange:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
Posibleng malaman kung ang isang function ay may conditional minimum o conditional maximum sa nahanap na punto, tulad ng dati, gamit ang sign na $d^2F$. Kung sa nahanap na punto $d^2F > 0$, ang function ay may conditional na minimum, ngunit kung $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Matrix determinant $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ naka-highlight sa pula sa $L$ matrix ay ang Hessian ng Lagrange function. Ginagamit namin ang sumusunod na panuntunan:
- Kung ang mga palatandaan ng mga menor de edad sa sulok ay $H_(2m+1),\; Ang H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ ay tumutugma sa sign na $(-1)^m$, kung gayon ang stationary point na pinag-aaralan ay ang conditional na minimum point ng function na $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- Kung ang mga palatandaan ng mga menor de edad sa sulok ay $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alternate, at ang sign ng minor na $H_(2m+1)$ ay kasabay ng sign ng numerong $(-1)^(m+1 )$, pagkatapos ang pinag-aralan na nakatigil ang punto ay ang conditional na pinakamataas na punto ng function na $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Halimbawa #1
Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=x+3y$ sa ilalim ng condition na $x^2+y^2=10$.
Ang geometric na interpretasyon ng problemang ito ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng applicate ng eroplano $z=x+3y$ para sa mga punto ng intersection nito sa cylinder $x^2+y^2 =10$.
Medyo mahirap ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa mula sa constraint equation at i-substitute ito sa function na $z(x,y)=x+3y$, kaya gagamitin natin ang Lagrange method.
Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, binubuo namin ang Lagrange function:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Isulat natin ang sistema ng mga equation para sa pagtukoy ng mga nakatigil na punto ng Lagrange function:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (nakahanay)\kanan.$$
Kung ipagpalagay natin na $\lambda=0$, ang unang equation ay magiging: $1=0$. Ang resultang kontradiksyon ay nagsasabi na ang $\lambda\neq 0$. Sa ilalim ng kundisyong $\lambda\neq 0$, mula sa una at pangalawang equation na mayroon kami: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga sa ikatlong equation, nakukuha namin:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$
Kaya, ang system ay may dalawang solusyon: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ at $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto: $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang determinant na $H$ sa bawat isa sa mga puntos.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
Sa puntong $M_1(1;3)$ makukuha natin: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, kaya sa punto $M_1(1;3)$ ang function na $z(x,y)=x+3y$ ay may conditional maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Katulad nito, sa puntong $M_2(-1;-3)$ makikita natin: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Mula noong $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Pansinin ko na sa halip na kalkulahin ang halaga ng determinant na $H$ sa bawat punto, mas maginhawang palawakin ito sa pangkalahatang pananaw. Upang hindi kalat ang teksto sa mga detalye, itatago ko ang pamamaraang ito sa ilalim ng isang tala.
Determinant $H$ notation sa pangkalahatang anyo. Ipakita itago
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
Sa prinsipyo, malinaw na kung aling sign ang mayroon si $H$. Dahil wala sa mga puntos na $M_1$ o $M_2$ ang tumutugma sa pinanggalingan, kung gayon ang $y^2+x^2>0$. Samakatuwid, ang tanda ng $H$ ay kabaligtaran ng tanda ng $\lambda$. Maaari mo ring kumpletuhin ang mga kalkulasyon:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(nakahanay) $$
Ang tanong tungkol sa katangian ng extremum sa mga nakatigil na puntos na $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$ ay malulutas nang hindi ginagamit ang determinant na $H$. Hanapin ang tanda ng $d^2F$ sa bawat nakatigil na punto:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\kanan) $$
Pansinin ko na ang notasyong $dx^2$ ay nangangahulugang eksaktong $dx$ na itinaas sa pangalawang kapangyarihan, i.e. $\left(dx\right)^2$. Kaya mayroon kaming: $dx^2+dy^2>0$, kaya para sa $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ nakakakuha kami ng $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Sagot: sa puntong $(-1;-3)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=-10$. Sa puntong $(1;3)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=10$
Halimbawa #2
Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sa ilalim ng kundisyon na $x+y=0$.
Ang unang paraan (ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange)
Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x+y$ binubuo namin ang Lagrange function: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$
Ang paglutas ng system, makakakuha tayo ng: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ at $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Mayroon kaming dalawang nakatigil na punto: $M_1(0;0)$ at $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto gamit ang determinant na $H$.
$$ H=\kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
Sa puntong $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, kaya sa puntong ito ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Sinisiyasat namin ang likas na katangian ng extremum sa bawat isa sa mga punto sa pamamagitan ng ibang pamamaraan, batay sa tanda ng $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Mula sa constraint equation na $x+y=0$ mayroon kaming: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Dahil ang $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, kung gayon ang $M_1(0;0)$ ang conditional na minimum point ng function na $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Katulad nito, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Pangalawang paraan
Mula sa constraint equation na $x+y=0$ makuha namin ang: $y=-x$. Ang pagpapalit ng $y=-x$ sa function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, makakakuha tayo ng ilang function ng variable na $x$. Tukuyin natin ang function na ito bilang $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Kaya, binawasan namin ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable sa problema ng pagtukoy ng extremum ng isang function ng isang variable.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
Nakakuha ng mga puntos na $M_1(0;0)$ at $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Ang karagdagang pananaliksik ay kilala mula sa kurso ng differential calculus ng mga function ng isang variable. Ang pagsisiyasat sa tanda ng $u_(xx)^("")$ sa bawat nakatigil na punto o pagsuri sa pagbabago ng tanda ng $u_(x)^(")$ sa mga nahanap na punto, nakukuha namin ang parehong mga konklusyon tulad ng kapag nilulutas ang una paraan. Halimbawa, check sign $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Dahil $u_(xx)^("")(M_1)>0$, kung gayon ang $M_1$ ang pinakamababang punto ng function na $u(x)$, habang $u_(\min)=u(0)=0 $ . Mula noong $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Ang mga halaga ng function na $u(x)$ sa ilalim ng ibinigay na kundisyon ng koneksyon ay nag-tutugma sa mga halaga ng function na $z(x,y)$, i.e. ang nakitang extrema ng function na $u(x)$ ay ang gustong conditional extrema ng function na $z(x,y)$.
Sagot: sa puntong $(0;0)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=0$. Sa puntong $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa, kung saan malalaman natin ang kalikasan ng extremum sa pamamagitan ng pagtukoy sa tanda ng $d^2F$.
Halimbawa #3
Hanapin ang maximum at minimum na halaga ng function na $z=5xy-4$ kung ang mga variable na $x$ at $y$ ay positibo at matugunan ang constraint equation na $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
Buuin ang Lagrange function: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Hanapin ang mga nakatigil na punto ng Lagrange function:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kaliwa \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(aligned) \right.$$
Ang lahat ng karagdagang pagbabago ay isinasagawa na isinasaalang-alang ang $x > 0; \; y > 0$ (ito ay itinakda sa kondisyon ng problema). Mula sa pangalawang equation, ipinapahayag namin ang $\lambda=-\frac(5x)(y)$ at pinapalitan ang nahanap na halaga sa unang equation: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Ang pagpapalit ng $x=2y$ sa ikatlong equation, makukuha natin ang: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.
Dahil $y=1$, pagkatapos ay $x=2$, $\lambda=-10$. Ang katangian ng extremum sa puntong $(2;1)$ ay tinutukoy mula sa tanda ng $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Dahil $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, kung gayon:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
Sa prinsipyo, dito maaari mong agad na palitan ang mga coordinate ng nakatigil na punto $x=2$, $y=1$ at ang parameter na $\lambda=-10$, upang makuha ang:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Gayunpaman, sa iba pang mga problema para sa isang conditional extremum, maaaring mayroong ilang nakatigil na mga punto. Sa ganitong mga kaso, mas mainam na katawanin ang $d^2F$ sa isang pangkalahatang anyo, at pagkatapos ay palitan ang mga coordinate ng bawat isa sa mga nahanap na nakatigil na punto sa resultang expression:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Ang pagpapalit ng $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, makuha namin ang:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Dahil $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Sagot: sa puntong $(2;1)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=6$.
Sa susunod na bahagi, isinasaalang-alang namin ang aplikasyon ng pamamaraan ng Lagrange para sa mga function higit pa mga variable.
Ang pamamaraan para sa pagtukoy ng conditional extremum ay nagsisimula sa pagbuo ng isang auxiliary Lagrange function, na, sa rehiyon ng mga magagawang solusyon, ay umaabot sa maximum para sa parehong mga halaga ng mga variable. x 1 , x 2 , ..., x n , na siyang layunin na function z . Hayaan ang problema ng pagtukoy sa kondisyong extremum ng function z=f(X) sa ilalim ng mga paghihigpit φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n
Bumuo ng isang function
na tinatawag na Lagrange function. X , - pare-pareho ang mga kadahilanan ( Mga multiplier ng Lagrange). Tandaan na ang mga multiplier ng Lagrange ay maaaring bigyan ng pang-ekonomiyang kahulugan. Kung ang f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - kita ayon sa plano X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , at ang function φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) ay ang mga gastos ng i-th na mapagkukunan na naaayon sa planong ito, kung gayon X , - presyo (pagtatantya) ng i-th na mapagkukunan, na nagpapakilala sa pagbabago sa matinding halaga ng layunin na pag-andar depende sa pagbabago sa laki ng i-th na mapagkukunan (marginal na pagtatantya). L(X) - function n+m mga variable (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Ang pagtukoy sa mga nakatigil na punto ng pagpapaandar na ito ay humahantong sa solusyon ng sistema ng mga equation
|
|
Madaling makita iyon
. Kaya, ang problema ng paghahanap ng conditional extremum ng function z=f(X)
bumababa sa paghahanap ng lokal na extremum ng function L(X)
. Kung ang nakatigil na punto ay natagpuan, kung gayon ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum sa pinakasimpleng mga kaso ay malulutas sa batayan ng sapat na mga kondisyon para sa extremum - ang pag-aaral ng tanda ng pangalawang kaugalian d
2
L(X)
sa isang nakatigil na punto, sa kondisyon na ang variable ay dumami Δx
i
- nauugnay sa mga relasyon
|
|
nakuha sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba ng mga equation ng hadlang.
Paglutas ng isang sistema ng mga nonlinear na equation na may dalawang hindi alam gamit ang Solver tool
Setting Paghanap ng solusyon nagbibigay-daan sa iyo na makahanap ng solusyon sa system nonlinear equation na may dalawang hindi alam:
saan 
- non-linear function ng mga variable x
at
y
,
ay isang arbitrary na pare-pareho.
Ito ay kilala na ang pares x , y ) ay isang solusyon sa sistema ng mga equation (10) kung at kung ito ay isang solusyon sa sumusunod na equation sa dalawang hindi alam:
Sa sa kabilang banda, ang solusyon ng system (10) ay ang mga intersection point ng dalawang curves: f ] (x, y) = C at f 2 (x, y) = C 2 sa ibabaw XOY.
Mula dito ay sumusunod ang isang paraan para sa paghahanap ng mga ugat ng system. nonlinear equation:
Tukuyin (hindi bababa sa humigit-kumulang) ang pagitan ng pagkakaroon ng isang solusyon sa sistema ng mga equation (10) o equation (11). Dito kinakailangan na isaalang-alang ang uri ng mga equation na kasama sa system, ang domain ng kahulugan ng bawat isa sa kanilang mga equation, atbp. Minsan ang pagpili ng paunang pagtatantya ng solusyon ay ginagamit;
I-tabulate ang solusyon ng equation (11) para sa mga variable na x at y sa napiling interval, o bumuo ng mga graph ng mga function f 1 (x, y) = C, at f 2 (x, y) = C 2 (system(10)).
I-localize ang tinantyang mga ugat ng sistema ng mga equation - maghanap ng ilang pinakamababang halaga mula sa talahanayan ng tabulasyon ng mga ugat ng equation (11), o tukuyin ang mga intersection point ng mga curve na kasama sa system (10).
4. Hanapin ang mga ugat para sa sistema ng mga equation (10) gamit ang add-on Maghanap ng solusyon.
Sa Ang kakanyahan ng pamamaraang Lagrange ay upang bawasan ang conditional extremum na problema sa solusyon ng unconditional extremum na problema. Isaalang-alang ang isang non-linear na modelo ng programming:
(5.2)
saan 
ay mga kilalang function,
a 
ay binibigyan ng mga coefficient.
Tandaan na sa pormulasyon na ito ng problema, ang mga hadlang ay ibinibigay ng mga pagkakapantay-pantay, at walang kondisyon para sa mga variable na maging nonnegative. Bilang karagdagan, ipinapalagay namin na ang mga pag-andar 
ay tuloy-tuloy sa kanilang mga unang partial derivatives.
Ibahin natin ang mga kondisyon (5.2) sa paraang naglalaman ang kaliwa o kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay sero:
(5.3)
Buuin natin ang Lagrange function. Kabilang dito ang layunin na function (5.1) at ang kanang bahagi ng mga hadlang (5.3), na kinuha ayon sa pagkakabanggit kasama ang mga coefficient 
. Magkakaroon ng maraming coefficient ng Lagrange gaya ng mga hadlang sa problema.
Ang extremum point ng function (5.4) ay ang extremum point ng orihinal na problema at vice versa: ang pinakamainam na plano ng problema (5.1)-(5.2) ay ang global extremum point ng Lagrange function.
Sa katunayan, hayaan ang solusyon na mahanap 
problema (5.1)-(5.2), pagkatapos ay nasiyahan ang mga kondisyon (5.3). Palitan natin ang plano 
sa function (5.4) at i-verify ang bisa ng pagkakapantay-pantay (5.5).
Kaya, upang mahanap ang pinakamainam na plano ng orihinal na problema, ito ay kinakailangan upang siyasatin ang Lagrange function para sa isang extremum. Ang function ay may matinding mga halaga sa mga punto kung saan ang mga bahagyang derivatives nito ay pantay sero. Ang ganitong mga punto ay tinatawag nakatigil.
Tinukoy namin ang mga partial derivatives ng function (5.4)
,
.
Pagkatapos ng equalization sero derivatives nakukuha natin ang system m+n mga equation na may m+n hindi kilala
,
(5.6)
Sa pangkalahatang kaso, ang system (5.6)-(5.7) ay magkakaroon ng ilang solusyon, na kinabibilangan ng lahat ng maxima at minima ng Lagrange function. Upang i-highlight ang pandaigdigang maximum o minimum, ang mga halaga ng layunin ng function ay kinakalkula sa lahat ng nahanap na mga punto. Ang pinakamalaki sa mga halagang ito ay ang pandaigdigang maximum, at ang pinakamaliit ay ang pandaigdigang minimum. Sa ilang mga kaso posible itong gamitin sapat na mga kondisyon para sa isang mahigpit na extremum tuluy-tuloy na function (tingnan ang Problema 5.2 sa ibaba):
hayaan ang function 
ay tuloy-tuloy at dalawang beses na naiba-iba sa ilang kapitbahayan ng nakatigil na punto nito 
(mga. 
)). Pagkatapos:
a
) kung 
,
(5.8)
pagkatapos 
ay ang mahigpit na pinakamataas na punto ng function 
;
b)
kung 
,
(5.9)
pagkatapos 
ay ang mahigpit na pinakamababang punto ng function 
;
G
) kung 
,
pagkatapos ay ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum ay nananatiling bukas.
Bukod dito, maaaring negatibo ang ilang solusyon ng system (5.6)-(5.7). Na hindi pare-pareho sa pang-ekonomiyang kahulugan ng mga variable. Sa kasong ito, dapat suriin ang posibilidad na palitan ang mga negatibong halaga ng zero.
Pang-ekonomiyang kahulugan ng Lagrange multipliers. Pinakamainam na halaga ng multiplier 
nagpapakita kung gaano magbabago ang halaga ng criterion Z
kapag dinadagdagan o binabawasan ang mapagkukunan j kada yunit, kasi
Ang pamamaraang Lagrange ay maaari ding ilapat kapag ang mga hadlang ay hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, ang paghahanap ng extremum ng function 
sa ilalim ng mga kondisyon
,
ginanap sa ilang yugto:
1. Tukuyin ang mga nakatigil na punto ng layunin ng function, kung saan malulutas nila ang sistema ng mga equation
.
2. Mula sa mga nakatigil na punto, ang mga napili na ang mga coordinate ay nakakatugon sa mga kondisyon
3. Ang pamamaraang Lagrange ay ginagamit upang malutas ang problema sa mga hadlang sa pagkakapantay-pantay (5.1)-(5.2).
4. Ang mga puntos na matatagpuan sa pangalawa at pangatlong yugto ay sinusuri para sa isang pandaigdigang maximum: ang mga halaga ng layunin ng pag-andar sa mga puntong ito ay inihambing - ang pinakamalaking halaga ay tumutugma sa pinakamainam na plano.
Gawain 5.1 Ating lutasin ang Problema 1.3, na isinasaalang-alang sa unang seksyon, sa pamamagitan ng pamamaraang Lagrange. Ang pinakamainam na pamamahagi ng mga mapagkukunan ng tubig ay inilarawan ng isang modelo ng matematika
.
Bumuo ng Lagrange function
Hanapin ang unconditional maximum ng function na ito. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang mga partial derivatives at itinutumbas ang mga ito sa zero
,
Kaya, nakuha namin ang isang sistema ng mga linear na equation ng form
Ang solusyon ng sistema ng mga equation ay ang pinakamainam na plano para sa pamamahagi ng mga mapagkukunan ng tubig sa mga irigasyon na lugar
,
.
Dami 
sinusukat sa daan-daang libong metro kubiko. 
- ang halaga ng netong kita sa bawat isang daang libong metro kubiko ng tubig sa irigasyon. Samakatuwid, ang marginal na presyo ng 1 m 3 ng tubig sa irigasyon ay 
den. mga yunit
Ang pinakamataas na karagdagang netong kita mula sa irigasyon ay magiging
160 12.26 2 +7600 12.26-130 8.55 2 +5900 8.55-10 16.19 2 +4000 16.19=
172391.02 (den. units)
Gawain 5.2 Lutasin ang isang non-linear na problema sa programming
Kinakatawan namin ang hadlang bilang:
.
Buuin ang Lagrange function at tukuyin ang mga partial derivatives nito
.
Upang matukoy ang mga nakatigil na punto ng Lagrange function, dapat isa ay katumbas ng mga partial derivatives nito sa zero. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation
.
Mula sa unang equation ay sumusunod
. (5.10)
Pagpapahayag 
palitan sa pangalawang equation
,
kung saan mayroong dalawang solusyon para sa 
:
at 
. (5.11)
Ang pagpapalit ng mga solusyong ito sa ikatlong equation, makuha namin
, 
.
Ang mga halaga ng Lagrange multiplier at hindi alam 
kalkulahin sa pamamagitan ng mga expression (5.10)-(5.11):
, 
,
,
.
Kaya, nakakuha kami ng dalawang matinding puntos:
; 
.
Upang malaman kung ang mga puntong ito ay pinakamataas o pinakamababang puntos, ginagamit namin ang sapat na mga kondisyon para sa isang mahigpit na extremum (5.8)-(5.9). Pre expression para sa 
, nakuha mula sa paghihigpit ng modelo ng matematika, pinapalitan namin sa layunin function
,
. (5.12)
Upang suriin ang mga kundisyon para sa isang mahigpit na sukdulan, dapat nating tukuyin ang tanda ng pangalawang derivative ng function (5.11) sa mga matinding punto na nakita natin 
at 
.
, 
;
.
Kaya, (·) 
ay ang pinakamababang punto ng orihinal na problema ( 
), isang (·) 
- pinakamataas na punto.
Pinakamainam na Plano:
, 
,
,
.
Ngayon sa aralin ay matututunan natin kung paano maghanap may kondisyon o, gaya ng tawag sa kanila, relatibong sukdulan mga function ng ilang mga variable, at, una sa lahat, pag-uusapan natin, siyempre, ang tungkol sa conditional extrema function ng dalawa at tatlong variable, na matatagpuan sa karamihan ng mga problemang pampakay.
Ano ang kailangan mong malaman at magagawa sa sandaling ito? Sa kabila ng katotohanan na ang artikulong ito ay "nasa labas" ng paksa, hindi ito aabutin ng labis upang matagumpay na ma-assimilate ang materyal. Sa puntong ito, dapat kang magabayan ng pangunahing ibabaw ng espasyo, makakahanap mga partial derivatives (hindi bababa sa intermediate level) at, gaya ng iminumungkahi ng walang awa na lohika, upang maunawaan walang kundisyon na mga sukdulan. Ngunit kahit na mayroon ka mababang antas paghahanda, huwag magmadaling umalis - lahat ng nawawalang kaalaman / kasanayan ay maaari talagang "kunin sa daan", at nang walang anumang oras ng pagdurusa.
Una, sinusuri namin ang konsepto mismo at sa parehong oras ay nagsasagawa ng isang malinaw na pag-uulit ng pinakakaraniwan ibabaw. Kaya, ano ang isang conditional extremum? ... Ang lohika dito ay walang awa =) Ang conditional extremum ng isang function ay isang extremum sa karaniwang kahulugan ng salita, na nakakamit kapag ang isang tiyak na kundisyon (o kundisyon) ay natutugunan.
Isipin ang isang di-makatwirang "pahilig" eroplano sa Sistema ng Cartesian . wala sukdulan dito ay wala sa paningin. Ngunit ito ay pansamantala. Isipin mo elliptical cylinder, para sa pagiging simple - isang walang katapusang bilog na "pipe" na kahanay sa axis. Kitang-kita na ang "pipe" na ito ay "uukit" sa ating eroplano ellipse, na nagreresulta sa maximum sa itaas at minimum sa ibaba. Sa madaling salita, ang function na tumutukoy sa eroplano ay umabot sa extrema Kung ganoon na ito ay tinawid ng ibinigay na pabilog na silindro. "provided" yan! Ang isa pang elliptical cylinder na tumatawid sa eroplanong ito ay halos tiyak na magbubunga ng ibang minimum at maximum.
Kung ito ay hindi masyadong malinaw, kung gayon ang sitwasyon ay maaaring gayahin nang makatotohanan (kahit sa baligtarin ang pagkakasunod-sunod) : kumuha ng palakol, lumabas sa kalye at putulin ... hindi, hindi patatawarin ng Greenpeace kung gayon - mas mahusay na putulin ang drainpipe gamit ang isang "gilingan" =). Ang conditional minimum at conditional maximum ay depende sa kung anong taas at sa ilalim ng ano (hindi pahalang) gupitin sa isang anggulo.
Panahon na upang ilagay ang mga kalkulasyon sa mathematical attire. Isipin mo elliptical paraboloid, na mayroon ganap na minimum sa puntong . Ngayon hanapin natin ang extremum Kung ganoon. Ito eroplano parallel sa axis, na nangangahulugang "pumuputol" ito sa paraboloid parabola. Ang tuktok ng parabola na ito ang magiging conditional minimum. Bukod dito, ang eroplano ay hindi dumaan sa pinanggalingan, samakatuwid, ang punto ay mananatiling wala sa negosyo. Hindi nagsumite ng larawan? Pumunta tayo sa mga link! Aabutin ito ng marami, maraming beses pa.
Tanong: paano mahahanap ang conditional extremum na ito? Ang pinakasimpleng paraan ang solusyon ay mula sa equation (na tinatawag na - kundisyon o equation ng koneksyon) express, halimbawa: - at palitan ito sa function na: 
Bilang resulta, ang isang function ng isang variable ay nakuha, na tumutukoy sa isang parabola, ang tuktok nito ay "kinakalkula" gamit ang Pikit mata. Hanapin natin kritikal na mga punto
:
- kritikal na punto.
Susunod, ito ay pinakamadaling gamitin pangalawang sapat na matinding kondisyon:
Sa partikular: , kaya naabot ng function ang pinakamababa nito sa puntong . Maaari itong direktang kalkulahin: , ngunit pupunta tayo sa mas akademikong paraan. Hanapin natin ang "laro" coordinate:
,
let's write down the conditional minimum point, make sure that it really lies in the plane (natutugunan ang constraint equation):
at kalkulahin ang kondisyon na minimum ng function:
Kung ganoon (Kailangan ang "additive"!!!).
Ang itinuturing na pamamaraan na walang anino ng isang pagdududa ay maaaring gamitin sa pagsasanay, gayunpaman, ito ay may ilang mga disadvantages. Una, ang geometry ng problema ay malayo sa palaging malinaw, at pangalawa, madalas na hindi kapaki-pakinabang na ipahayag ang "x" o "y" mula sa equation ng komunikasyon (kung may pagkakataon man na ipahayag ang isang bagay). At ngayon ay isasaalang-alang natin generic na pamamaraan paghahanap ng conditional extrema, tinatawag Paraan ng Lagrange multiplier:
Halimbawa 1
Hanapin ang conditional extrema ng function para sa tinukoy na equation ng koneksyon para sa mga argumento.
Nakikilala mo ba ang mga ibabaw? ;-) …Natutuwa akong makita ang iyong mga masayang mukha =)
Sa pamamagitan ng paraan, mula sa pagbabalangkas ng problemang ito ay nagiging malinaw kung bakit tinawag ang kundisyon equation ng koneksyon- mga argumento ng function konektado karagdagang kundisyon, ibig sabihin, ang mga extremum point na natagpuan ay dapat na nabibilang sa isang circular cylinder.
Desisyon: sa unang hakbang, kailangan mong i-represent ang constraint equation sa form at mag-compose Lagrange function:
, nasaan ang tinatawag na Lagrange multiplier.
Sa aming kaso, at:
Ang algorithm para sa paghahanap ng conditional extrema ay halos kapareho sa scheme para sa paghahanap ng "ordinaryo" sukdulan. Hanapin natin mga partial derivatives Lagrange function, habang ang "lambda" ay dapat ituring bilang isang pare-pareho:
Gawin at lutasin natin ang sumusunod na sistema: 
Ang bola ay tinanggal sa karaniwang paraan:
mula sa unang equation na ipinapahayag namin 
;
mula sa pangalawang equation na ipinapahayag namin 
.
Palitan sa equation ng komunikasyon at isagawa ang mga pagpapasimple: 
Bilang resulta, nakakakuha kami ng dalawang nakatigil na puntos. Kung , kung gayon: 
kung , kung gayon: 
Madaling makita na ang mga coordinate ng parehong mga punto ay nakakatugon sa equation 
. Ang mga maingat na tao ay maaari ring magsagawa ng buong pagsusuri: para dito kailangan mong palitan 
sa una at pangalawang equation ng system, at pagkatapos ay gawin ang parehong sa set 
. Ang lahat ay kailangang magkasya.
Suriin natin ang pagpapatupad sapat na kondisyon extremum para sa mga natagpuang nakatigil na mga punto. Isasaalang-alang ko ang tatlong paraan sa paglutas ng isyung ito:
1) Ang unang paraan ay isang geometric na pagbibigay-katwiran.
Kalkulahin natin ang mga halaga ng pag-andar sa mga nakatigil na punto:
Susunod, isinulat namin ang isang parirala na may humigit-kumulang sumusunod na nilalaman: ang seksyon ng eroplano sa pamamagitan ng isang pabilog na silindro ay isang ellipse, sa tuktok kung saan naabot ang isang maximum, at sa ibaba - isang minimum. Kaya, ang mas malaking value ay conditional maximum, at ang mas maliit ay conditional minimum.
Kung maaari, mas mahusay na gamitin ang partikular na pamamaraan na ito - ito ay simple, at binibilang ng mga guro ang solusyon na ito. (isang malaking plus ay na nagpakita ka ng pag-unawa geometric na kahulugan mga gawain). Gayunpaman, tulad ng nabanggit na, ito ay malayo sa palaging malinaw kung ano ang intersects sa kung ano at saan, at pagkatapos ay isang analytical check ay dumating upang iligtas:
2) Ang pangalawang paraan ay batay sa paggamit ng mga senyales ng pagkakaiba-iba ng pangalawang order. Kung ito ay lumabas na sa isang nakatigil na punto , pagkatapos ay ang pag-andar ay umabot sa isang maximum doon, kung - pagkatapos ay isang minimum.
Hanapin natin pangalawang order na bahagyang derivatives:
at lumikha ng kaugalian na ito:
Para sa , nangangahulugan ito na ang function ay umabot sa pinakamataas nito sa punto ;
para sa , pagkatapos ang function ay umabot sa isang minimum sa punto 
.
Ang itinuturing na pamamaraan ay napakahusay, ngunit may kawalan na sa ilang mga kaso halos imposible upang matukoy ang tanda ng ika-2 kaugalian (karaniwan itong nangyayari kung at / o may iba't ibang palatandaan). At pagkatapos ay ang "mabigat na artilerya" ay sumagip:
3) Ibahin ang pagkakaiba nang may paggalang sa "x" at para sa "y" ang equation ng koneksyon: 
at gawin ang mga sumusunod simetriko matris:
Kung sa isang nakatigil na punto , kung gayon ang function ay umabot doon ( Pansin!) pinakamababa, kung – pagkatapos ay maximum.
Sumulat tayo ng isang matrix para sa halaga at ang kaukulang punto : 
kalkulahin natin ito determinant:
, kaya ang function ay may maximum sa punto .
Katulad nito para sa halaga at punto : 
Kaya, ang function ay may pinakamababa sa punto .
Sagot: Kung ganoon :
Pagkatapos ng isang detalyadong pagsusuri ng materyal, hindi ko magagawa kundi mag-alok sa iyo ng ilang karaniwang gawain para sa pagsusuri sa sarili:
Halimbawa 2
Hanapin ang conditional extremum ng function kung ang mga argumento nito ay nauugnay sa equation
Halimbawa 3
Hanapin ang extrema ng function sa ilalim ng kundisyon
At muli, lubos kong inirerekumenda ang pag-unawa sa geometric na kakanyahan ng mga gawain, lalo na pagdating sa huling halimbawa, kung saan ang analytical na pag-verify ng isang sapat na kundisyon ay hindi isang regalo. Tandaan kung alin Ika-2 linya ng order nagtatakda ng equation , at ano ibabaw nabuo ang linyang ito sa espasyo. Pag-aralan kung saang kurba ang silindro magsa-intersect sa eroplano at kung saan sa kurba na ito magkakaroon ng minimum, at kung saan magkakaroon ng maximum.
Mga solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.
Ang problemang isinasaalang-alang ay malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan, lalo na - hindi tayo lalayo, sa geometry. Lutasin natin ang paboritong problema ng lahat tungkol sa kalahating litro (tingnan ang Halimbawa 7 ng artikuloMga matinding gawain ) pangalawang paraan:
Halimbawa 4
Ano ang dapat na mga sukat lata cylindrical na hugis upang ang pinakamaliit na halaga ng materyal ay mapupunta sa paggawa ng lata, kung ang dami ng lata ay katumbas ng
Desisyon: isaalang-alang ang isang variable na base radius , isang variable na taas at bumuo ng isang function ng lugar ng buong ibabaw ng lata: 
(lugar ng dalawang takip + lugar sa ibabaw ng gilid)
Ang isang puntong M ay tinatawag na panloob para sa ilang hanay ng G kung ito ay kabilang sa hanay na ito kasama ng ilang kapitbahayan nito. Ang isang puntong N ay tinatawag na isang boundary point para sa isang set G kung sa anumang kumpletong kapitbahayan nito ay may mga puntos na parehong kabilang sa G at hindi kabilang dito.
Ang set ng lahat ng boundary point ng isang set G ay tinatawag na boundary ng G.
Ang isang set G ay tatawaging isang rehiyon kung ang lahat ng mga punto nito ay panloob (isang bukas na hanay). Ang isang set G na may kalakip na hangganan Γ ay tinatawag na saradong rehiyon. Ang isang rehiyon ay sinasabing may hangganan kung ito ay ganap na nakapaloob sa loob ng isang bilog na may sapat na malaking radius.
Hindi bababa sa at pinakamalaking halaga ang mga function sa isang partikular na rehiyon ay tinatawag na absolute extrema ng function sa rehiyong ito.
Weierstrass' theorem: isang function na tuloy-tuloy sa bounded at saradong lugar, umabot sa pinakamababa at pinakamataas na halaga nito sa rehiyong ito.
Bunga. Ang absolute extremum ng isang function sa isang partikular na rehiyon ay naabot alinman sa isang kritikal na punto ng isang function na kabilang sa rehiyong ito, o sa Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang closed region G, ito ay kinakailangan upang mahanap lahat ng mga kritikal na punto nito sa rehiyong ito, kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga puntong ito (kabilang ang sa pamamagitan ng paghahambing ng mga nakuhang numero, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit sa kanila.
Halimbawa 4.1. Hanapin ang absolute extremum ng isang function (ang pinakamalaki at pinakamaliit na value) 
sa isang tatsulok na rehiyon D na may mga vertex 
,
,
(Larawan 1).
;
,
ibig sabihin, ang puntong O(0, 0) ay isang kritikal na puntong kabilang sa rehiyon D. z(0,0)=0.
Paggalugad sa hangganan:
a) OA: y=0 
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,
b) RH: x=0 
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,
c) AB: ; 
,
Halimbawa 4.2. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang saradong lugar na nililimitahan ng mga coordinate axes at isang tuwid na linya 
.
1) Hanapin ang mga kritikal na punto sa rehiyon:
,
,
.
Tuklasin natin ang hangganan. kasi Dahil ang hangganan ay binubuo ng segment OA ng Ox axis, segment OB ng Oy axis at segment AB, pagkatapos ay tinutukoy namin ang maximum at minimum na halaga ng function z sa bawat isa sa mga segment na ito.
, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.
M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.
Sa lahat ng nahanap na halaga, pipiliin namin ang z max =z(4, 0)=13; z naim =z(1, 2)=–4.
5. Conditional extremum. Paraan ng Lagrange multiplier
Isaalang-alang ang isang problema na tiyak sa mga function ng ilang mga variable, kapag ang extremum nito ay hinahangad hindi sa buong domain ng kahulugan, ngunit sa isang set na nakakatugon sa isang tiyak na kundisyon.
Hayaan ang function 
, mga argumento 
at 
na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon 
, na tinatawag na constraint equation.
Dot 
ay tinatawag na conditional maximum (minimum) point kung mayroong kapitbahayan ng puntong ito na para sa lahat ng puntos 
mula sa lugar na ito na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon 
, ang hindi pagkakapantay-pantay 
o 
.
Ipinapakita ng Figure 2 ang conditional maximum point 
. Malinaw, hindi ito isang walang kundisyong extremum point ng function 
(sa Fig. 2 ito ang punto 
).
Ang pinakasimpleng paraan upang mahanap ang conditional extremum ng isang function ng dalawang variable ay upang bawasan ang problema sa paghahanap ng extremum ng isang function ng isang variable. Ipagpalagay ang constraint equation 
pinamamahalaang upang malutas na may paggalang sa isa sa mga variable, halimbawa, upang ipahayag 
sa pamamagitan ng 
:
. Ang pagpapalit ng resultang expression sa isang function ng dalawang variable, nakuha namin
mga. function ng isang variable. Ang extremum nito ang magiging conditional extremum ng function 
.
Halimbawa 5.1. Hanapin ang maximum at minimum na puntos ng isang function 
Kung ganoon 
.
Desisyon. Nagpapahayag kami mula sa equation 
variable 
sa pamamagitan ng variable 
at palitan ang resultang expression 
sa isang function 
. Kunin 
o 
. Ang function na ito ay may isang minimum na sa 
. Kaukulang halaga ng function 
. kaya, 
– punto ng conditional extremum (minimum).
Sa isinasaalang-alang na halimbawa, ang constraint equation 
naging linear, kaya madali itong nalutas na may paggalang sa isa sa mga variable. Gayunpaman, sa mas kumplikadong mga kaso, hindi ito magagawa.
Upang mahanap ang conditional extremum, sa pangkalahatang kaso, ang paraan ng Lagrange multiplier ay ginagamit. Isaalang - alang ang isang function ng tatlong variable . Ang function na ito ay tinatawag na Lagrange function, at 
ay ang Lagrange multiplier. Ang sumusunod na teorama ay totoo.
Teorama. Kung punto 
ay ang conditional extremum point ng function 
Kung ganoon 
, pagkatapos ay mayroong isang halaga 
tulad na ang punto 
ay ang extremum point ng function 
.
Kaya, upang mahanap ang conditional extremum ng function 
Kung ganoon 
Kailangang makahanap ng solusyon sa sistema
P 
Ang huli sa mga equation na ito ay tumutugma sa constraint equation. Ang unang dalawang equation ng system ay maaaring muling isulat sa anyo, i.e. sa punto ng conditional extremum, ang gradients ng mga function 
at 
collinear. Sa fig. Ipinapakita ng 3 ang geometric na kahulugan ng mga kondisyon ng Lagrange. Linya 
may tuldok, antas na linya 
mga function 
solid. Mula sa fig. sumusunod ito na sa punto ng conditional extremum ang level line ng function 
hinawakan ang linya 
.
Halimbawa 5.2.
Maghanap ng mga extremum point ng isang function 
Kung ganoon 
gamit ang Lagrange multiplier method.
Desisyon. Binubuo namin ang Lagrange function. Ang equating nito partial derivatives sa zero, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation:
Ang tanging solusyon niya. Kaya, tanging ang punto (3; 1) lamang ang maaaring maging isang conditional extremum point. Madaling i-verify na sa puntong ito ang function 
ay may kondisyon na minimum. Kung ang bilang ng mga variable ay higit sa dalawa, ang ilang mga equation ng koneksyon ay maaari ding isaalang-alang. Alinsunod dito, sa kasong ito ay magkakaroon ng ilang Lagrange multiplier.
Ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ay ginagamit sa paglutas ng mga problemang pang-ekonomiya tulad ng paghahanap ng pinakamainam na pamamahagi ng mga mapagkukunan, pagpili ng pinakamainam na portfolio ng mga securities, atbp.
