Lutasin ang isang sistema ng mga nonlinear na equation gamit ang pamamaraan ni Newton online. Course work: Paraan ni Newton para sa paglutas ng mga nonlinear equation

Halimbawa:

Itakda natin ang gawaing hahanapin wasto ugat ng equation na ito.

At tiyak na mayroon! - mula sa mga artikulo tungkol sa mga function graph At equation ng mas mataas na matematika alam na alam mo kung ano ang schedule polynomial function kakaibang degree intersects ang axis ng hindi bababa sa isang beses, samakatuwid ang aming equation ay kahit na isang tunay na ugat. Isa. O dalawa. O tatlo.

Una, ito ay nagmamakaawa na suriin ang pagkakaroon makatwiran mga ugat. Ayon kay kaukulang teorama, tanging ang mga numerong 1, –1, 3, –3 ang maaaring mag-claim ng “title” na ito, at sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ay madaling matiyak na wala sa mga ito ang “nababagay”. Kaya, nananatili ang mga hindi makatwirang halaga. Ang (mga) hindi makatwirang ugat ng isang polynomial na degree 3 ay matatagpuan eksakto (ipahayag sa pamamagitan ng mga radikal) gamit ang tinatawag na Mga formula ng Cardano , gayunpaman, ang pamamaraang ito ay medyo mahirap. At para sa polynomials ika-5 at mas mataas na antas pangkalahatan pamamaraang analitikal ay hindi umiiral sa lahat, at, bilang karagdagan, sa pagsasanay mayroong maraming iba pang mga equation kung saan eksaktong mga halaga imposibleng makakuha ng mga tunay na ugat (bagaman mayroon sila).

Gayunpaman, sa inilapat (halimbawa, engineering) mga problema, higit pa sa katanggap-tanggap na gumamit ng tinatayang mga halaga na kinakalkula na may tiyak na katumpakan.

Itakda natin ang katumpakan para sa ating halimbawa. Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na kailangan nating hanapin ang GANOONG tinatayang halaga ng ugat (ugat) kung saan kami Kami ay ginagarantiyahan na mali ng hindi hihigit sa 0.001 (isang libo) .

Ito ay ganap na malinaw na ang solusyon ay hindi maaaring magsimula "nang random" at samakatuwid sa unang hakbang ang mga ugat magkahiwalay. Ang paghiwalayin ang isang ugat ay nangangahulugan ng paghahanap ng sapat na maliit (karaniwang solong) segment kung saan kabilang ang ugat na ito at kung saan walang ibang mga ugat. Ang pinakasimple at naa-access graphical na paraan ng paghihiwalay ng ugat. Buuin natin punto sa punto graph ng isang function :

Mula sa pagguhit ay sumusunod na ang equation, tila, ay may isang tunay na ugat na kabilang sa segment. Sa dulo ng agwat na ito ang function tumatagal ng mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan: , at mula sa katotohanan pagpapatuloy ng function sa segment ang isang elementarya na paraan upang linawin ang ugat ay agad na nakikita: hatiin ang pagitan sa kalahati at piliin ang segment sa mga dulo kung saan tumatagal ang function. iba't ibang palatandaan. Sa kasong ito, ito ay malinaw na isang segment. Hinahati namin ang nagresultang agwat sa kalahati at muling piliin ang segment na "iba't ibang tanda". At iba pa. Ang ganitong mga sunud-sunod na aksyon ay tinatawag mga pag-ulit. Sa kasong ito, dapat itong isagawa hanggang sa ang haba ng segment ay maging mas mababa sa dalawang beses ang katumpakan ng pagkalkula, at ang gitna ng huling "different-sign" na segment ay dapat piliin bilang ang tinatayang halaga ng ugat.

Ang isinasaalang-alang na pamamaraan ay nakatanggap ng natural na pangalan - paraan kalahating dibisyon . At ang kawalan ng pamamaraang ito ay bilis. Dahan-dahan. Ang bagal. Magkakaroon ng masyadong maraming mga pag-ulit bago namin makamit ang kinakailangang katumpakan. Sa pag-unlad ng teknolohiya ng computer, ito, siyempre, ay hindi isang problema, ngunit ang matematika ay para sa matematika, upang maghanap ng mga pinaka-makatwirang solusyon.

At isa sa higit pa mabisang paraan ang paghahanap ng tinatayang halaga ng ugat ay tumpak padaplis na paraan. Ang maikling geometric na kakanyahan ng pamamaraan ay ang mga sumusunod: una, gamit ang isang espesyal na pamantayan (higit pa tungkol diyan mamaya) isa sa mga dulo ng segment ang napili. Ang pagtatapos na ito ay tinatawag na inisyal approximation ng ugat, sa ating halimbawa: . Ngayon gumuhit kami ng tangent sa graph ng function sa abscissa (asul na tuldok at lilang tangent):

Ang tangent na ito ay tumawid sa x-axis sa dilaw na punto, at tandaan na sa unang hakbang ay halos "tamaan natin ang ugat"! Ito ay magiging una diskarte sa ugat. Susunod, ibababa namin ang dilaw na patayo sa graph ng function at "kumuha" sa orange point. Muli kaming gumuhit ng isang tangent sa pamamagitan ng orange na punto, na mag-intersect sa axis kahit na mas malapit sa ugat! At iba pa. Hindi mahirap unawain na gamit ang padaplis na paraan, lumalapit tayo sa layunin sa pamamagitan ng mga paglundag, at literal na aabutin ang ilang mga pag-ulit upang makamit ang katumpakan.

Dahil ang padaplis ay tinukoy sa pamamagitan ng derivative ng function, pagkatapos ang araling ito ay napunta sa seksyong "Derivatives" bilang isa sa mga aplikasyon nito. At nang hindi nagdetalye teoretikal na pagbibigay-katwiran ng pamamaraan, isasaalang-alang ko ang teknikal na bahagi ng isyu. Sa pagsasagawa, ang problemang inilarawan sa itaas ay nangyayari nang humigit-kumulang sa sumusunod na pormulasyon:

Halimbawa 1

Sa pamamagitan ng paggamit graphic na pamamaraan hanapin ang pagitan kung saan matatagpuan ang tunay na ugat ng equation. Gamit ang pamamaraan ni Newton, kumuha ng tinatayang halaga ng ugat na may katumpakan na 0.001

Narito ang isang "matipid na bersyon" ng gawain, kung saan ang pagkakaroon ng isang wastong ugat ay agad na nakasaad.

Solusyon: sa unang hakbang ang ugat ay dapat na ihiwalay sa graphically. Magagawa ito sa pamamagitan ng pag-plot (tingnan ang mga guhit sa itaas), ngunit ang diskarteng ito ay may ilang mga disadvantages. Una, hindi katotohanan na simple ang graph (hindi namin alam in advance), at ang software ay hindi palaging nasa kamay. At pangalawa (corollary from 1st), na may malaking posibilidad na ang resulta ay hindi kahit isang eskematiko na pagguhit, ngunit isang magaspang na pagguhit, na, siyempre, ay hindi maganda.

Buweno, bakit kailangan natin ng mga hindi kinakailangang paghihirap? Isipin natin ang equation sa anyo, MAINGAT na bumuo ng mga graph at markahan ang ugat sa drawing (“X” coordinate ng punto ng intersection ng mga graph):

Malinaw na kalamangan ang pamamaraang ito ay ang mga graph ng mga function na ito ay binuo sa pamamagitan ng kamay nang mas tumpak at mas mabilis. Oo nga pala, tandaan mo yan tuwid tumawid kubiko parabola sa isang punto, na nangangahulugan na ang iminungkahing equation ay mayroon lamang isang tunay na ugat. Magtiwala, ngunit i-verify ;-)

Kaya, ang aming "kliyente" ay kabilang sa segment at "sa pamamagitan ng mata" ay humigit-kumulang katumbas ng 0.65-0.7.

Sa pangalawang hakbang kailangang pumili paunang pagtatantya ugat Kadalasan ito ay isa sa mga dulo ng segment. Ang paunang pagtatantya ay dapat matugunan ang sumusunod na kondisyon:

Hanapin natin una At pangalawa nagmula na mga function :

at suriin ang kaliwang dulo ng segment:

Kaya, ang zero ay "hindi magkasya."

Sinusuri ang kanang dulo ng segment:

- Maayos ang lahat! Pinipili namin bilang paunang pagtatantya.

Sa ikatlong hakbang Naghihintay sa atin ang daan patungo sa ugat. Ang bawat kasunod na root approximation ay kinakalkula mula sa nakaraang data gamit ang sumusunod paulit-ulit mga formula:

Nagtatapos ang proseso kapag natugunan ang kundisyon, kung saan mayroong paunang natukoy na katumpakan ng pagkalkula. Bilang resulta, ang "nth" approximation ay kinuha bilang tinatayang halaga ng ugat: .

Susunod ay ang mga karaniwang kalkulasyon:

(karaniwang ginagawa ang rounding sa 5-6 decimal place)

Dahil ang nakuha na halaga ay mas malaki kaysa sa , magpatuloy kami sa 1st approximation ng root:

Kinakalkula namin:

, kaya kailangang lumipat sa 2nd approximation:

Pumunta tayo sa susunod na round:

, sa gayon, ang mga pag-ulit ay nakumpleto, at ang 2nd approximation ay dapat kunin bilang ang tinatayang halaga ng ugat, na, alinsunod sa ibinigay na katumpakan, ay dapat bilugan sa isang libo:

Sa pagsasagawa, ito ay maginhawa upang ipasok ang mga resulta ng mga kalkulasyon sa isang talahanayan; upang medyo paikliin ang entry, ang isang bahagi ay madalas na tinutukoy ng:

Kung maaari, mas mahusay na isagawa ang mga kalkulasyon sa kanilang sarili sa Excel - ito ay mas maginhawa at mas mabilis:

Sagot: tumpak sa 0.001

Paalalahanan ko kayo na ang pariralang ito ay nagpapahiwatig ng katotohanang nagkamali kami sa aming pagtatasa tunay na kahulugan ugat ng hindi hihigit sa 0.001. Ang mga may pagdududa ay maaaring pumili ng microcalculator at muling palitan ang tinatayang halaga na 0.674 sa kaliwang bahagi ng equation.

Ngayon, "i-scan" natin ang kanang column ng talahanayan mula sa itaas hanggang sa ibaba at mapansin na ang mga halaga ay patuloy na bumababa sa ganap na halaga. Ang epektong ito ay tinatawag convergence isang paraan na nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ang ugat na may arbitraryong mataas na katumpakan. Ngunit hindi palaging nagaganap ang convergence - ito ay sinisiguro isang bilang ng mga kondisyon, tungkol sa kung saan ako nanatiling tahimik. Sa partikular, dapat na ang segment kung saan nakahiwalay ang ugat sapat na maliit– kung hindi, ang mga halaga ay random na magbabago at hindi namin makumpleto ang algorithm.

Ano ang gagawin sa mga ganitong kaso? Suriin na ang mga tinukoy na kundisyon ay natutugunan (tingnan ang link sa itaas), at, kung kinakailangan, bawasan ang segment. Kaya, medyo nagsasalita, kung sa nasuri na halimbawa ang agwat ay hindi angkop para sa amin, dapat nating isaalang-alang, halimbawa, ang segment. Sa pagsasagawa, nakatagpo ako ng mga ganitong kaso, at talagang nakakatulong ang diskarteng ito! Ang parehong ay dapat gawin kung ang parehong dulo ng "malawak" na bahagi ay hindi nakakatugon sa kondisyon (ibig sabihin, wala sa mga ito ang angkop bilang isang paunang pagtatantya).

Ngunit kadalasan ang lahat ay gumagana tulad ng isang orasan, bagaman hindi walang mga pitfalls:

Halimbawa 2

Tukuyin nang graphic ang bilang ng mga tunay na ugat ng equation, paghiwalayin ang mga ugat na ito at, gamit ang pamamaraan ni Newton, hanapin ang tinatayang halaga ng mga ugat na may katumpakan.

Ang kondisyon ng problema ay naging kapansin-pansing mas mahigpit: una, naglalaman ito ng isang malakas na pahiwatig na ang equation ay walang isang ugat, pangalawa, ang kinakailangan para sa katumpakan ay tumaas, at pangatlo, sa graph ng function. mas mahirap makayanan.

At samakatuwid solusyon Magsimula tayo sa isang nakakatipid na trick: isipin ang equation sa form at gumuhit ng mga graph:


Mula sa pagguhit ay sumusunod na ang aming equation ay may dalawang tunay na ugat:

Ang algorithm, tulad ng naiintindihan mo, ay kailangang "i-crank" nang dalawang beses. Ngunit ito ay kahit na sa pinakamalalang kaso; kung minsan kailangan mong suriin ang 3-4 na mga ugat.

1) Paggamit ng pamantayan Alamin natin kung aling dulo ng segment ang pipiliin bilang paunang pagtatantya ng unang ugat. Paghahanap ng mga derivatives ng mga function :

Pagsubok sa kaliwang dulo ng segment:

- dumating up!

Kaya, ay isang paunang pagtatantya.

Pipino natin ang ugat gamit ang pamamaraan ni Newton gamit ang paulit-ulit na formula:
- hanggang sa fraction modulo hindi bababa sa kinakailangang katumpakan:

At dito ang salitang "module" ay nakakakuha ng di-ilusyon na kahalagahan, dahil ang mga halaga ay negatibo:


Para sa parehong dahilan, ang espesyal na pansin ay dapat bayaran kapag lumilipat sa bawat susunod na pagtatantya:

Sa kabila ng medyo mataas na kinakailangan para sa katumpakan, natapos muli ang proseso sa ika-2 pagtatantya: , samakatuwid:

Tumpak sa 0.0001

2) Hanapin natin ang tinatayang halaga ng ugat.

Sinusuri namin ang kaliwang dulo ng segment para sa mga kuto:

, samakatuwid, hindi ito angkop bilang isang paunang pagtatantya.

Paglutas ng mga nonlinear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ni Newton

Upang malutas ang mga problema sa kuryente, mayroong ilang mga pagbabago sa pamamaraan. Ginagawa nilang posible upang mapataas ang bilis ng convergence ng umuulit na proseso at bawasan ang oras ng pagkalkula.

Mga pangunahing kaalaman dignidad paraan - ito ay may mabilis na convergence.

Ideya ng pamamaraan ay binubuo ng sunud-sunod na kapalit sa bawat pag-ulit ng pagkalkula ng orihinal na nonlinear system ng mga equation na may ilang auxiliary linear system ng mga equation, ang solusyon kung saan ay nagbibigay-daan sa amin upang makuha ang susunod na approximation ng mga hindi alam, mas malapit sa nais na solusyon ( linearization).

Isaalang-alang ang nonlinear equation sa pangkalahatang pananaw:

Ang kinakailangang solusyon sa equation ay ang punto kung saan ang kurba ay nag-intersect sa x-axis.

Itinakda namin ang paunang pagtatantya ng hindi alam x (0). Tukuyin ang halaga ng function sa puntong ito w(x(0)) at gumuhit ng tangent sa curve sa punto B. Ang punto ng intersection ng tangent na ito sa x-axis ay tumutukoy sa susunod na pagtatantya ng hindi alam x (1) atbp.

Palawakin natin ang equation (1) sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto x (0). Isaalang-alang natin ang mga termino ng pagpapalawak na naglalaman lamang ng 1st derivative:

(2)

x – x (0) = Δx- susog sa hindi alam. Kung tutukuyin natin ito, matutukoy natin ang susunod na pagtatantya.

Mula sa (2) tinutukoy namin ang pag-amyenda (3)

Pagkatapos ay ang sumusunod na pagtatantya: (5)

Katulad na nakukuha natin Upang-e mga pagtatantya:

Ito paulit-ulit na pormula ng pamamaraan ni Newton para sa paglutas ng mga nonlinear equation. Pinapayagan ka nitong matukoy ang mga susunod na pagtatantya ng mga hindi alam.

Ang formula (6) ay maaaring makuha sa ibang paraan mula sa figure:

Ang umuulit na proseso ay nagtatagpo kung ito ay bumababa at lumalapit 0 . Ang resulta ay makakamit kung .

Komentaryo sa geometric na interpretasyon

Ang umuulit na hakbang ng pamamaraan ay binabawasan upang palitan ang kurba ng isang tuwid na linya, na inilalarawan ng kaliwang bahagi ng equation (2). Ito ay padaplis sa kurba sa punto. Ang prosesong ito ay tinatawag na linearization. Intersection point ng tangent sa curve na may axis X nagbibigay ng isa pang approximation ng hindi alam. Samakatuwid ang pamamaraang ito ay tinatawag na padaplis na paraan.

Halimbawa:

Halimbawa:

Upang matukoy sa pamamaraang ito ang lahat ng mga ugat ng isang nonlinear equation, kinakailangan upang matukoy sa anumang paraan tinatayang lokasyon ng mga ugat na ito at magtakda ng mga paunang pagtatantya malapit sa kanila.

Isang simpleng paraan upang matukoy ang lugar kung saan matatagpuan ang mga ugat tabulasyon.

Proseso ng pag-ulit ni Newton hindi nagtatagpo, kung ang mga unang pagtatantya ay pinili upang:

Ang proseso ay alinman sa hindi nagtatagpo o nagtatagpo nang napakahina.

Paraan ng Newton-Raphson para sa paglutas ng SNAU

Ipinakita ni Raphson na iminungkahi ng paulit-ulit na pamamaraan ni Newton para sa paglutas isa nonlinear mga equation, maaaring magamit upang malutas mga sistema nonlinear equation.

Kasabay nito, upang malutas ang mga sistema ng mga nonlinear na equation, kinakailangan na isaalang-alang ang isang set (vector) sa halip na isang hindi kilalang hindi kilala:

sa halip na isang natitirang equation, isinasaalang-alang namin vector ng mga nalalabi equation ng system:

Isang derivative sa (6) ang pinapalitan matrix ng mga derivatives. Ang operasyon ng paghahati sa (6) ay pinapalitan ng multiplikasyon ng reverse matrix ng mga derivatives. Sa kasong ito, ang Newton-Raphson method ay naiiba sa Newton method sa paglipat mula sa one-dimensional na problema patungo sa multidimensional.

Isaalang-alang natin ang isang sistema ng tunay na nonlinear algebraic equation:

(7)

Maaari itong isulat sa matrix form:

saan X= x 2 – vector – column ng mga hindi alam;

w 1 (x 1, x 2, ... x n)

W = w 2 (x 1, x 2, ... x n) – function ng vector.

w n (x 1, x 2, ... x n)

Hayaan - paunang pagtatantya ng mga hindi alam. Palawakin natin ang bawat equation ng system (7) sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto X (0), ibig sabihin, magsasagawa kami ng tinatayang pagpapalit ng orihinal na nonlinear na mga equation na may mga linear na kung saan ang 1st derivative lamang ang napanatili (linearization). Bilang resulta, ang sistema ng mga equation (7) ay nasa anyo:

(9)

Bilang resulta nakuha namin sistema ng mga linear na equation(linearized system), kung saan ang mga hindi alam ay ang mga pagwawasto . Ang mga coefficient para sa mga hindi alam sa sistemang ito ay ang mga unang derivatives ng mga equation w j ng orihinal na nonlinear system para sa lahat ng hindi alam Xi.. Bumubuo sila ng isang matrix ng mga coefficient - Jacobi matrix:

=

Ang bawat row ng matrix ay binubuo ng mga unang derivatives ng susunod na equation ng nonlinear system na may paggalang sa lahat ng hindi alam.

Isulat natin ang linearized system (9) sa matrix form:

(10)

Narito ang vector ng mga nalalabi ng mga equation ng orihinal na sistema. Ang mga elemento nito ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng sunud-sunod na pagtatantya ng mga hindi alam sa mga equation ng nonlinear system;

- Jacobian matrix. Ang mga elemento nito ay ang unang partial derivatives ng lahat ng equation ng orihinal na sistema na may paggalang sa lahat ng hindi alam;

- vector ng pagwawasto sa ninanais na hindi alam. Sa bawat pag-ulit maaari itong isulat:

Ang System (10), na isinasaalang-alang ang tinanggap na notasyon, ay maaaring isulat:

(12)

Ang sistemang ito linear tungkol sa mga susog ΔХ (k).

Ang System (13) ay isang linearized na sistema ng mga equation na pumapalit sa orihinal na SNAU sa bawat hakbang ng umuulit na proseso.

Ang system (13) ay nalutas sa pamamagitan ng anumang kilalang pamamaraan, bilang isang resulta, nakita namin ang vector ng pagwawasto. Pagkatapos mula sa (11) mahahanap natin susunod na paglapit hindi alam:

yun. bawat umuulit na hakbang Ang proseso ay binubuo sa paglutas ng linear system (13) at pagtukoy sa susunod na approximation mula sa (14).

Mula sa (11) at (12) maaari nating makuha ang pangkalahatan formula ng pag-ulit(sa anyong matrix), na naaayon sa pamamaraang Newton–Raphson:

(15)

Ito ay may istraktura na naaayon sa formula (6).

Ang formula (15) ay ginagamit sa mga praktikal na kalkulasyon bihira, dahil dito kinakailangan na baligtarin ang Jacobian matrix (ng malaking sukat) sa bawat pag-ulit ng mga kalkulasyon. Sa totoong mga kalkulasyon, ang mga pagwawasto ay tinutukoy bilang isang resulta ng paglutas ng linear system (13).

Kontrol sa pagkumpleto Ginagawa namin ang umuulit na proseso gamit ang vector ng mga nalalabi:

Ang kundisyong ito ay dapat masiyahan para sa mga nalalabi lahat mga equation ng system.

Algorithm para sa paglutas ng SNAU gamit ang Newton-Raphson method

1. Tinutukoy ang vector ng mga paunang pagtatantya ng mga hindi alam.

Pagtatakda ng katumpakan ng pagkalkula є , iba pang mga parameter ng pagkalkula

2. Pagpapasiya ng mga nalalabi ng mga nonlinear na equation sa approximation point;

2.3. Pagpapasiya ng mga elemento ng Jacobian matrix sa punto ng susunod na pagtatantya ng mga hindi alam;

2.4. Solusyon ng linearized system (13) sa pamamagitan ng anumang kilalang pamamaraan. Pagpapasiya ng mga pagbabago sa mga hindi alam.

2.5. Pagpapasiya ng susunod na pagtatantya ng mga hindi alam alinsunod sa (14).

2.6. Pagsubaybay sa pagkumpleto ng proseso ng pag-ulit alinsunod sa (16). Kung hindi natugunan ang kundisyon, bumalik sa hakbang 2.

Halimbawa:

Lutasin ang SLAE gamit ang Newton-Raphson method:

(solusyon X 1 = X 2 =2)

Isulat natin ang mga equation sa anyo ng mga nalalabi:

Tinukoy namin ang mga elemento ng Jacobian matrix:

Jacobian matrix:

Ipatupad natin ang Newton-Raphson method algorithm:

1) Unang pag-ulit:

Mga paunang pagtatantya

Mga nalalabi

Jacobian matrix:

Linearized na sistema ng mga equation:

1st approximation ng mga hindi alam:

2) Pangalawang pag-ulit

3) Ikatlong pag-ulit:

… ……… …… …… …… ……..

Paglutas ng mga sistema ng steady-state equation gamit ang Newton-Raphson method

Ang nonlinear equation ng steady state sa anyo ng power balance para sa th node ay may anyo:

(17)

Ito ay isang equation na may mga kumplikadong hindi alam at coefficient. Para sa mga naturang equation ng form (17) ito ay posible na magpasya gamit ang pamamaraang Newton-Raphson, binago ang mga ito: pinaghihiwalay ang tunay at haka-haka na mga bahagi. Bilang resulta nito, bawat kumplikadong equation ang form (17) ay nahahati sa dalawang tunay na equation na tumutugma sa balanse ng aktibo at reaktibong kapangyarihan sa node:

Narito ang mga tinukoy na kapangyarihan sa node;

Hindi kilalang mga bahagi ng boltahe sa mga node. Kailangan sila

tinutukoy bilang isang resulta ng pagkalkula.

Sa kanang bahagi ng mga equation (18) ay ang kinakalkula na kabuuang kapangyarihan ng mga daloy sa mga sanga na papalapit sa th node.

Isulat natin ang mga equation na ito (18) sa anyo mga nalalabi:

Ang mga nalalabi ng mga equation (19) ay tumutugma sa kinakalkula kawalan ng timbang aktibo at reaktibong kapangyarihan sa ika-node.

Inilalarawan ng mga nalalabi ang knot mode і at mga nonlinear na function ng hindi kilalang mga boltahe sa mga node. Ito ay kinakailangan na -> 0.

Lutasin natin ang system sa pamamagitan ng Newton-Raphson method 2n mga equation ng form (19), iyon ay, upang malutas ang problema ng pagkalkula ng matatag na estado ng isang de-koryenteng network gamit ang pamamaraang Newton-Raphson, kailangan mo:

1) bumuo ng isang sistema 2n mga equation ng form (19) para sa lahat ng node network ng kuryente, maliban sa pagbabalanse;

2) ayusin ang umuulit na proseso ng pamamaraang Newton-Raphson

upang malutas ang sistemang ito ng mga equation. Bilang resulta ng desisyon

nakukuha namin ang mga kinakailangang bahagi ng stress sa mga node.

Isulat natin ang sistemang ito ng mga equation sa pangkalahatang anyo:

(20)

Nakakuha kami ng isang sistema ng 2 nonlinear mga natitirang equation na may 2 hindi alam, na. Ang hindi kilalang mga bahagi sa loob nito ay ang mga bahagi ng boltahe - mga module at anggulo.

Upang malutas ang system (20) gamit ang Newton-Raphson method, kailangan mong isulat pantulong linearized na sistema ng mga equation ng form (13), paglutas kung saan sa bawat pag-ulit, tinutukoy namin ang mga pagwawasto sa mga hindi alam:

(21)

Isinasaalang-alang ang tinanggap na notasyon, ang system (21) ay maaaring isulat:

(22)

nasaan ang Jacobi matrix, ang mga elemento nito ay mga partial derivatives ng mga equation ng system (20) na may paggalang sa lahat ng hindi alam - mga bahagi ng stress

Vector ng mga residual ng mga equation ng system (20). Ang kanilang mga halaga ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng sunud-sunod na pagtatantya ng mga hindi alam sa mga equation;

Vector ng mga pagwawasto sa mga hindi alam:

; ΔӨ i = Ө i (k+1) - Ө i (k), ΔU i = U i (k+1) - U i (k) .

Upang matukoy ang mga elemento ng Jacobian matrix na ginagamit namin analytic differentiation, ibig sabihin. Pinag-iiba namin ang bawat equation ng system (20) ayon sa mga kinakailangang dami - mga anggulo at stress module. Upang mabuo ang Jacobian matrix, kailangan mong kumuha ng analytical expression para sa mga derivatives ng mga sumusunod uri ng hayop:

1) Derivative ng natitirang equation para sa aktibong kapangyarihan ng th node na may paggalang sa anggulo ng boltahe ng parehong node: ;

2) Derivative ng natitirang equation para sa aktibong kapangyarihan ng th node na may paggalang sa anggulo ng boltahe ng katabing j- ika node: ;

3) Derivative ng natitirang bahagi ng aktibong kapangyarihan ng th node modulo ang boltahe ng parehong node: ;

4) Derivative ng natitirang bahagi ng aktibong kapangyarihan ng th node modulo ang boltahe ng katabing node: ;

Apat pang uri ng derivatives ang tinutukoy na katulad - derivatives mula sa mga equation ng natitirang reactive power ng th node para sa lahat ng hindi alam:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Isinasaalang-alang ang mga derivatives na ito, ang Jacobi matrix ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo:

(23)

Tukuyin natin analytical expression para sa mga derivatives, pinag-iiba ang mga equation ng system (20) na may paggalang sa hindi kilalang mga dami. Magkamukha sila:

(24)

Jacobian matrix sa pangkalahatang kaso - isang parisukat na matrix, simetriko, na may sukat , ang mga elemento nito ay mga partial derivatives ng mga residual ng mga equation (power imbalance) na may paggalang sa lahat ng hindi alam.

Kung ang mga node ay hindi magkakaugnay, kung gayon ang kaukulang mga derivative ng matrix, ang Jacobian matrix, na matatagpuan sa labas ng dayagonal, ay magiging katumbas ng zero (katulad ng conductivity matrix) - dahil sa kaukulang mga formula (24) mutual conductivity y ij ay isang salik ng at. y ij =0.

Ang bawat hilera ng matrix ay derivatives ng susunod na equation ng system (20).

Ang pagkakaroon ng mga espesyal na node sa na-modelong network diagram (suporta at pagbabalanse ng mga node, FM node) ay nakakaapekto istraktura sistema ng mga equation ng steady state at sa istraktura ng Jacobian matrix:

1. Para sa mga node na may pag-aayos ng modyul voltages (FM), kung saan ang ibinigay at hindi alam ay at , mula sa Jacobian matrix hindi kasama linya ng mga derivatives (mula noong Qi ay hindi tinukoy, kung gayon ang equation ng balanse ng reaktibong kapangyarihan (18), (19) ay hindi maaaring iguhit) at ang column ng mga derivatives (dahil ang module ng boltahe Ui ay kilala at ito ay hindi kasama sa listahan ng mga hindi alam).

2. Para sa suporta at pagbabalanse ng mga node, ang kaukulang mga row at column ng matrix ay hindi kasama;

3. Kung ang mga node ay hindi direktang konektado, ang mga kaukulang derivatives sa matrix ay katumbas ng zero.

Ang Jacobian matrix ay maaaring nahahati sa apat harangan:

1) - derivatives mula sa imbalance equation aktibo kapangyarihan (20) sa pamamagitan ng mga sulok stress;

2) - derivatives ng imbalance equation aktibo kapangyarihan sa pamamagitan ng mga module stress;

3) - derivatives ng imbalance equation reaktibo kapangyarihan (20) sa pamamagitan ng mga sulok stress;

4) - derivatives ng imbalance equation reaktibo kapangyarihan sa pamamagitan ng mga module stress.

Ito ay mga matrix-cell ng mga partial derivatives ng mga imbalances ng aktibo at reaktibong kapangyarihan sa hindi kilalang mga anggulo at mga module ng boltahe. Sa pangkalahatan, ito ay mga square matrice ng dimensyon n×n.

Isinasaalang-alang ito, ang Jacobian matrix ay maaaring katawanin bilang harangan matrice:

saan subvector ng hindi kilalang dami.

Isinasaalang-alang ito, Pagkatapos ang linearized na sistema ng mga equation (22) ay maaaring isulat sa anyo:

. (25)

Paglutas ng linear na sistema ng mga equation (sa pamamagitan ng anumang kilalang pamamaraan) sa

Para sa bawat pag-ulit ng pamamaraan, nakakahanap kami ng mga pagwawasto sa mga hindi alam, at pagkatapos

regular papalapit hindi alam:

(26)

Ang susunod na pagtatantya ng mga hindi alam ay maaari ding makuha gamit ang formula ng pag-ulit Paraang Newton-Raphson, katulad ng (15):

- · (27)

Nangangailangan ito ng pagbaligtad sa Jacobian matrix sa bawat pag-ulit - isang masalimuot na operasyon sa pagtutuos.

Algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng steady-state equation gamit ang Newton-Raphson method

1. Pagtatakda ng mga paunang halaga ng hindi kilalang mga boltahe. Bilang mga paunang pagtatantya tinatanggap namin ang: , i.e. na-rate na mga boltahe ng mga node;

2. Pagtatakda ng mga kundisyon sa pagkalkula: katumpakan ε , maximum na bilang ng mga pag-ulit, mga coefficient ng accelerating, atbp.

3. Pagpapasiya ng mga nalalabi ng mga equation alinsunod sa mga equation (20) na may sunud-sunod na pagtatantya ng mga hindi alam;

4. Pagpapasiya ng mga elemento ng Jacobi matrix alinsunod sa (24) na may sunud-sunod na pagtatantya ng mga hindi alam;

5. Paglutas ng linearized na sistema ng mga equation (25) at pagtukoy ng mga pagwawasto sa mga hindi alam;

6. Pagpapasiya ng mga susunod na pagtatantya ng mga hindi alam alinsunod sa (26);

7. Sinusuri ang pagkumpleto ng proseso ng pag-ulit:

Ang mga natitirang halaga ng mga equation para sa lahat ng mga node ay dapat na mas mababa kaysa sa tinukoy na katumpakan.

Kung ang kundisyon ay hindi natugunan, pagkatapos ay bumalik sa punto 3 at ulitin ang pagkalkula gamit ang mga bagong pagtatantya ng mga hindi alam.

May numero mga pagbabago sa pamamaraang Newton-Raphson. Kasama ang:

1. Binagong paraan ng Newton-Raphson.

Ang Jacobian matrix ay kinakalkula nang isang beses para sa mga paunang halaga ng mga hindi alam. Sa kasunod na mga pag-ulit ito ay tinatanggap pare-pareho. Ito ay makabuluhang binabawasan ang dami ng pag-compute sa bawat pag-ulit, ngunit pinapataas ang bilang ng mga pag-ulit.

2. Divided Newton-Raphson method.

Ang mga derivatives ng form ay napakaliit at ang kanilang mga halaga ay maaaring balewalain. Bilang resulta, dalawang bloke ang nananatili sa Jacobian matrix - ang ika-1 at ika-4, at ang sistema (25), na binubuo ng mga equation nagkakawatak-watak sa dalawang malayang sistema ng dimensyon. Ang bawat isa sa mga sistemang ito ay nalutas nang hiwalay mula sa isa pa. Ito ay humahantong sa isang pagbawas sa dami ng mga kalkulasyon at ang kinakailangang memorya ng computer.

INSTITUSYON NG EDUKASYONAL NG ESTADO

"Transnistrian Pambansang Unibersidad sila. T.G. Shevchenko"

sangay ng Rybnitsa

Kagawaran ng Physics, Mathematics at Informatics

gawaing kurso

sa disiplina: "Workshop sa paglutas ng mga problema sa isang computer"

"Paraan ni Newton para sa paglutas ng mga nonlinear equation"

Ginawa:

3rd year student;

Ika-330 na pangkat

mga espesyalidad: "Informatics"

na may karagdagang majoring sa English

Nistor A.G..

Sinuri:

guro Panchenko T. A.

Pagpapakilala ng mga kompyuter sa lahat ng lugar aktibidad ng tao nangangailangan ng mga espesyalista ng iba't ibang profile upang makabisado ang mga kasanayan sa paggamit ng teknolohiya ng computer. Ang antas ng pagsasanay ng mga mag-aaral sa unibersidad ay tumataas, na mula sa unang taon ay ipinakilala sa paggamit ng mga computer at ang pinakasimpleng mga pamamaraan ng numero, hindi sa banggitin ang katotohanan na ang pagpapatupad ng mga proyekto sa kurso at diploma, ang paggamit ng teknolohiya ng computer ay nagiging pamantayan. sa karamihan ng mga unibersidad.

Ang teknolohiya ng kompyuter ay ginagamit na ngayon hindi lamang sa mga kalkulasyon ng inhinyero at mga agham pang-ekonomiya, kundi pati na rin sa mga tradisyunal na di-matematikong mga espesyalidad gaya ng medisina, linggwistika, at sikolohiya. Kaugnay nito, masasabing naging laganap na ang paggamit ng kompyuter. Ang isang malaking kategorya ng mga espesyalista ay lumitaw - mga gumagamit ng computer na nangangailangan ng kaalaman sa paggamit ng mga computer sa kanilang industriya - mga kasanayan sa pagtatrabaho sa umiiral na software, pati na rin ang paglikha ng kanilang sariling software, inangkop upang malutas ang isang partikular na problema. At ito ay kung saan ang mga paglalarawan ng programming language ay dumarating sa tulong ng gumagamit. mataas na lebel at numerical na pamamaraan.

Pamamaraan ng numero ay binuo at sinaliksik, bilang panuntunan, ng mga mataas na kwalipikadong mathematician. Para sa karamihan ng mga gumagamit, ang pangunahing gawain ay upang maunawaan ang mga pangunahing ideya at pamamaraan, tampok at aplikasyon. Gayunpaman, nais ng mga gumagamit na magtrabaho kasama ang isang computer hindi lamang bilang isang napakatalino na calculator, ngunit bilang isang katulong din sa pang araw-araw na gawain, isang imbakan ng impormasyon na may mabilis at maayos na pag-access, pati na rin ang pinagmulan at processor ng graphic na impormasyon. Nilalayon kong ipakita ang lahat ng mga pag-andar na ito ng isang modernong computer sa gawaing ito ng kurso.

Mga layunin at layunin.

Ang layunin ng gawaing kursong ito ay pag-aralan at ipatupad sa isang produkto ng software ang solusyon ng mga nonlinear equation gamit ang pamamaraan ni Newton. Ang gawaing ito ay binubuo ng tatlong seksyon, konklusyon at apendise. Ang unang seksyon ay teoretikal at naglalaman Pangkalahatang Impormasyon tungkol sa pamamaraan ni Newton. Ang pangalawa ay ang praktikal na bahagi. Dito namin inilalarawan ang pamamaraan ni Newton na pinaghiwa-hiwalay tiyak na mga halimbawa. Ang pangatlo ay nakatuon sa pagsubok sa programa at pag-aaral ng mga resulta. Sa wakas, ang isang konklusyon tungkol sa gawaing ginawa ay ipinakita.

Ang layunin ng gawaing kursong ito ay ang pagpapatupad ng software ng pamamaraan ni Newton para sa paglutas ng mga nonlinear na equation.

Upang gawin ito, dapat mong kumpletuhin ang mga sumusunod na gawain:

1. Pag-aralan ang kinakailangang literatura.

2. Suriin ang mga umiiral na pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi linear na equation.

3. Pag-aralan ang pamamaraan ni Newton para sa paglutas ng mga nonlinear equation.

4. Isaalang-alang ang solusyon ng mga nonlinear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ni Newton gamit ang mga tiyak na halimbawa.

5. Bumuo ng isang programa para sa paglutas ng mga nonlinear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ni Newton.

6. Pag-aralan ang mga resulta.

Isaalang-alang ang problema sa paghahanap ng mga ugat ng isang nonlinear equation

Ang mga ugat ng equation (1) ay ang mga halaga ng x na, kapag pinalitan, gagawin itong isang pagkakakilanlan. Para lamang sa pinakasimpleng mga equation posible na makahanap ng solusyon sa anyo ng mga formula, i.e. analitikal na anyo. Mas madalas na kinakailangan upang malutas ang mga equation gamit ang tinatayang mga pamamaraan, ang pinaka-kalat na kalat sa kung saan, dahil sa pagdating ng mga computer, ay mga numerical na pamamaraan.

Ang algorithm para sa paghahanap ng mga ugat gamit ang tinatayang pamamaraan ay maaaring nahahati sa dalawang yugto. Sa unang yugto, ang lokasyon ng mga ugat ay pinag-aralan at ang kanilang paghihiwalay ay isinasagawa. Ang rehiyon ay matatagpuan kung saan ang ugat ng equation o ang inisyal na pagtatantya sa ugat x 0 ay umiiral. Ang pinakasimpleng paraan Ang solusyon sa problemang ito ay pag-aralan ang graph ng function na f(x). Sa pangkalahatang kaso, upang malutas ito kinakailangan na gamitin ang lahat ng paraan ng pagsusuri sa matematika.

Ang pagkakaroon ng hindi bababa sa isang ugat ng equation (1) sa nakitang segment ay sumusunod sa kondisyon ni Bolzano:

f(a)*f(b)<0 (2)

Ito ay nagpapahiwatig na ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan na ito. Gayunpaman, hindi sinasagot ng kundisyong ito ang tanong tungkol sa bilang ng mga ugat ng equation sa isang naibigay na agwat. Kung ang pangangailangan ng pagpapatuloy ng isang function ay dinagdagan ng pangangailangan ng monotonicity nito, at ito ay sumusunod mula sa constancy ng sign ng unang derivative, kung gayon maaari nating igiit ang pagkakaroon ng isang ugat sa isang partikular na segment.

Kapag naglo-localize ng mga ugat, mahalagang malaman din ang mga pangunahing katangian ng ganitong uri ng equation. Halimbawa, tandaan na ang ilang mga katangian algebraic equation:

nasaan ang tunay na coefficients.

a) Ang isang equation ng degree n ay may n mga ugat, kung saan maaaring mayroong parehong tunay at kumplikado. Ang mga kumplikadong ugat ay bumubuo ng mga kumplikadong pares ng conjugate at, samakatuwid, ang equation ay may pantay na bilang ng mga naturang ugat. Kung ang n ay kakaiba, mayroong kahit isang tunay na ugat.

b) Ang bilang ng mga positibong tunay na ugat ay mas mababa sa o katumbas ng bilang ng mga variable na palatandaan sa pagkakasunud-sunod ng mga coefficient. Ang pagpapalit ng x ng –x sa equation (3) ay nagpapahintulot sa amin na matantya ang bilang ng mga negatibong ugat sa parehong paraan.

Sa ikalawang yugto ng paglutas ng equation (1), gamit ang nakuha na paunang pagtatantya, ang isang umuulit na proseso ay binuo na ginagawang posible upang pinuhin ang halaga ng ugat na may tiyak na paunang natukoy na katumpakan. Ang umuulit na proseso ay binubuo ng sequential refinement ng paunang approximation. Ang bawat naturang hakbang ay tinatawag na isang pag-ulit. Bilang resulta ng proseso ng pag-ulit, isang pagkakasunud-sunod ng tinatayang mga halaga ng mga ugat ng equation ay natagpuan. Kung ang sequence na ito ay lumalapit sa tunay na halaga ng root x habang lumalaki ang n, kung gayon ang umuulit na proseso ay nagtatagpo. Ang isang umuulit na proseso ay sinasabing nagtatagpo sa hindi bababa sa order m kung ang sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

, (4)

kung saan ang C>0 ay medyo pare-pareho. Kung m=1, pagkatapos ay nagsasalita tayo ng first-order convergence; m=2 - tungkol sa quadratic, m=3 - tungkol sa cubic convergence.

Nagtatapos ang mga umuulit na cycle kung, para sa isang pinahihintulutang error, ang pamantayan para sa ganap o kamag-anak na mga paglihis ay natugunan:

o isang maliit na pagkakaiba:

Ang gawaing ito ay nakatuon sa pag-aaral ng isang algorithm para sa paglutas ng mga nonlinear na equation gamit ang Newton's method.

1.1 Pagsusuri ng mga umiiral na pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi linear na equation

marami naman iba't ibang pamamaraan mga solusyon sa mga nonlinear na equation, ang ilan sa mga ito ay ipinakita sa ibaba:

1)Paraan ng pag-ulit. Kapag nag-solve ng nonlinear equation gamit ang iteration method, gagamitin natin ang equation na nakasulat sa form na x=f(x). Ang paunang halaga ng argumento x 0 at ang katumpakan ε ay tinukoy. Ang unang approximation ng solusyon x 1 ay matatagpuan mula sa expression na x 1 =f(x 0), ang pangalawa - x 2 =f(x 1), atbp. Sa pangkalahatang kaso, makikita natin ang i+1 approximation gamit ang formula xi+1 =f(xi). Uulitin namin ang pamamaraang ito hanggang |f(xi)|>ε. Kundisyon para sa convergence ng paraan ng pag-ulit |f"(x)|<1.

2)Pamamaraan ni Newton. Kapag nilulutas ang isang nonlinear equation sa pamamagitan ng Newton method, ang inisyal na halaga ng argumento x 0 at ang katumpakan ε ay tinukoy. Pagkatapos sa punto (x 0 ,F(x 0)) gumuhit tayo ng tangent sa graph F(x) at tinutukoy ang punto ng intersection ng tangent na may x 1 axis. Sa punto (x 1 ,F(x 1)) muli tayong bumuo ng isang tangent, hanapin ang susunod na pagtatantya ng nais na solusyon x 2, atbp. Ulitin namin ang pamamaraang ito hanggang |F(xi)| > ε. Upang matukoy ang punto ng intersection (i+1) ng tangent na may abscissa axis, ginagamit namin ang sumusunod na formula x i+1 =x i -F(x i)\ F’(x i). Kundisyon para sa convergence ng tangent method F(x 0)∙F""(x)>0, atbp.

3). Paraan ng dichotomy. Ang pamamaraan ng solusyon ay bumababa sa unti-unting paghahati ng paunang agwat ng kawalan ng katiyakan sa kalahati ayon sa formula na C k = a k + b k /2.

Upang mapili ang kinakailangang isa mula sa dalawang nagresultang mga segment, kinakailangan upang mahanap ang halaga ng function sa mga dulo ng mga nagresultang mga segment at isaalang-alang ang isa kung saan babaguhin ng function ang sign nito, iyon ay, ang kondisyon f ( a k) * f (in k) ay dapat masiyahan<0.

Ang proseso ng paghahati ng segment ay isinasagawa hanggang sa ang haba ng kasalukuyang agwat ng kawalan ng katiyakan ay mas mababa kaysa sa tinukoy na katumpakan, iyon ay

sa sa - isang sa< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). Paraan ng chord. Ang ideya ng pamamaraan ay ang isang chord ay itinayo sa segment, subtending ang mga dulo ng arc ng graph ng function na y=f(x), at ang point c, ang intersection ng chord na may x- axis, ay itinuturing na isang tinatayang halaga ng ugat

c = a - (f(a)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c = b - (f(b)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)).

Ang susunod na pagtatantya ay hinahangad sa pagitan o depende sa mga palatandaan ng mga halaga ng function sa mga punto a, b, c

x* O, kung f(c)H f(a) > 0;

x* O kung f(c)Х f(b)< 0 .

Kung ang f"(x) ay hindi nagbabago ng sign sa , pagkatapos ay tinutukoy ang c=x 1 at isinasaalang-alang ang a o b bilang paunang pagtatantya, makakakuha tayo ng mga umuulit na formula ng paraan ng chord na may nakapirming kanan o kaliwang punto.

x 0 =a, x i+1 = x i - f(x i)(b-x i) / (f(b)-f(x i), na may f "(x)Х f "(x) > 0;

x 0 =b, x i+1 = x i - f(x i)(x i -a) / (f(x i)-f(a), na may f "(x)Х f "(x)< 0 .

Ang convergence ng chord method ay linear.

1.2 Ang algorithm ng pamamaraan ni Newton

Bumuo tayo ng isang epektibong algorithm para sa pagkalkula ng mga ugat ng equation. Hayaang ibigay ang paunang pagtatantya. Kalkulahin natin ang halaga ng function at ang derivative nito sa puntong ito. Tingnan natin ang isang graphical na paglalarawan ng pamamaraan:

.

(8)

Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, nakuha namin ang sikat na formula ng Newton:

(9)

Narito ang pinakasimpleng recursive subroutine function:

function X_Newt(x,eps:real):real;

y:=x-f(x)/f1(x);

kung abs(f(x)) > eps

pagkatapos X_Newt:=X_Newt(y,eps)

Ang pamamaraan ng Newton (tangents) ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang quadratic rate ng convergence, i.e. Sa bawat pag-ulit, dumodoble ang bilang ng mga tamang palatandaan. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay hindi palaging humahantong sa nais na resulta. Isaalang-alang natin ang isyung ito nang mas detalyado.

Ibahin natin ang equation (1) sa isang katumbas na equation ng form:

Sa kaso ng tangent method . Kung ang paunang pagtatantya sa ugat na x=x 0 ay kilala, pagkatapos ay makikita natin ang susunod na pagtatantya mula sa equation x 1 =g(x 0), pagkatapos x 2 =g(x 1),... Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, nakukuha namin ang paulit-ulit na formula ng simpleng paraan ng pag-ulit

x k+1 =g(x k) (11)

Nagpapatuloy ang umuulit na proseso hanggang sa matugunan ang mga kundisyon (5-7).

Ang inilarawan bang proseso ng computational ay palaging humahantong sa nais na solusyon? Sa ilalim ng anong mga kondisyon ito magtatagpo? Upang masagot ang mga tanong na ito, bumalik tayo sa geometric na paglalarawan ng pamamaraan.

Ang ugat ng equation ay kinakatawan ng intersection point ng mga function na y=x at y=g(x). Tulad ng makikita mula sa Fig. 3(a), kung ang kondisyon ay nasiyahan, pagkatapos ay ang proseso ay nagtatagpo, kung hindi man ito ay magkakaiba (Larawan 3(b)).

Kaya, upang ang umuulit na proseso ay maging convergent at humantong sa nais na resulta, ang sumusunod na kondisyon ay dapat matugunan:

Ang paglipat mula sa equation f(x)=0 sa equation x=g(x) ay maaaring isagawa iba't ibang paraan. Sa kasong ito, mahalaga na ang napiling function na g(x) ay nakakatugon sa kundisyon (12). Halimbawa, kung ang function na f(x) ay pinarami ng arbitrary constant q at ang variable na x ay idinagdag sa magkabilang panig ng equation (1), kung gayon ang g(x)=q*f(x)+x. Pumili tayo ng pare-parehong q na ang convergence rate ng algorithm ay ang pinakamataas. Kung 1

Ang pamamaraan ni Newton ay may mataas na rate ng convergence, ngunit hindi ito palaging nagtatagpo. Ang kondisyon ng convergence, kung saan ang g(x) = x – f(x)/ f’(x), ay nabawasan sa kinakailangan.

Sa mga praktikal na kalkulasyon, mahalagang piliin ang paunang halaga nang mas malapit hangga't maaari sa nais na halaga, at mag-install ng "looping guard" sa programa.

Ang kawalan ng pamamaraan ay na sa bawat hakbang ay kinakailangan upang kalkulahin hindi lamang ang pag-andar, kundi pati na rin ang hinango nito. Ito ay hindi palaging maginhawa. Ang isa sa mga pagbabago ng pamamaraan ni Newton ay ang pagkalkula ng derivative lamang sa unang pag-ulit:

(13)

Ang isa pang paraan ng pagbabago ay ang palitan ang derivative ng may hangganang pagkakaiba

(14)

Pagkatapos (15)

Ang geometric na kahulugan ng pagbabagong ito sa algorithm ng Newton ay na mula sa padaplis napunta tayo sa secant. Ang secant na paraan ay mas mababa sa pamamaraan ni Newton sa mga tuntunin ng bilis ng convergence, ngunit hindi nangangailangan ng pagkalkula ng derivative. Tandaan na ang mga unang pagtatantya sa paraan ng secant ay maaaring matatagpuan sa magkaibang panig ng ugat o sa parehong panig.

Isulat natin ang algorithm ng pamamaraan ni Newton sa pangkalahatang anyo.

1. Itakda ang inisyal na pagtatantya x (0) upang ang kundisyon ay masiyahan

f(x (0))*f’’(x (0))>0. (16)

Itakda ang maliit positibong numeroε bilang katumpakan ng mga kalkulasyon. Itakda ang k = 0.

2. Kalkulahin ang x (k+1) gamit ang formula (9):

.

3. Kung | x (k+1) - x (k) |< ε, то процесс вычисления прекратить и положить х* = x (k+1) . Kung hindi, dagdagan ang k ng 1 (k = k + 1) at pumunta sa hakbang 2.

Manu-mano nating lutasin ang ilang mga nonlinear equation gamit ang pamamaraan ni Newton, at pagkatapos ay ihambing ang mga resulta sa mga nakuha kapag ipinatupad ang produkto ng software.

Halimbawa 1

sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

F’(x)=2x cosx 2 - 2x sinx 2 - 10.

F’’(x)=2cosx 2 - 4x 2 sinx 2 - 2sinx 2 - 4x 2 cosx 2 = cosx 2 (2-4x 2) - sinx 2 (2+4x 2).

Ngayon, batay sa graph, kunin natin ang unang tinatayang ugat at suriin ang kondisyon (16): f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

Hayaan ang x (0) = 0. 565, pagkatapos f(0. 565)*f’’(0. 565) = -4. 387 * (-0.342) = 1.5 > 0,

Natugunan ang kundisyon, kaya kinukuha namin ang x (0) = 0.565.

Ito ay sumusunod na ang ugat ng equation ay x = 0.101.

Halimbawa 2

Lutasin ang equation gamit ang Newton's method.

cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0

Ang mga pagkalkula ay dapat isagawa nang may katumpakan ng ε = 0.001.

Kalkulahin natin ang unang derivative ng function.

F’(x) = 1 – sin x + x*e -x2/2 .

Ngayon kalkulahin natin ang pangalawang derivative ng function.

F’’(x) = e -x2/2 *(1-x 2) – cos x.

Bumuo tayo ng tinatayang graph ng function na ito.

Ngayon, batay sa graph, kunin natin ang unang tinatayang ugat at suriin ang kondisyon (16): f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

Hayaan ang x (0) = 2, pagkatapos f(2)*f’’(2) = 0.449 * 0.010 = 0.05 > 0,

Ang kundisyon ay natutugunan, kaya kinuha namin ang x (0) = 2.

Ngayon, lumikha tayo ng isang talahanayan ng mga halaga upang malutas ang equation na ito.

Ito ay sumusunod na ang ugat ng equation ay x = 1.089.

Halimbawa 3

Lutasin ang equation gamit ang Newton's method.

Ang mga pagkalkula ay dapat isagawa nang may katumpakan ng ε = 0.001.

Kalkulahin natin ang unang derivative ng function.

F’(x) = 2*x + e -x .

Ngayon kalkulahin natin ang pangalawang derivative ng function.

F’’(x) = 2 - e -x .

Bumuo tayo ng tinatayang graph ng function na ito.

Ngayon, batay sa graph, kunin natin ang unang tinatayang ugat at suriin ang kondisyon (16): f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

Hayaan ang x (0) = 1, pagkatapos f(2)*f’’(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,

Ngayon, lumikha tayo ng isang talahanayan ng mga halaga upang malutas ang equation na ito.

Ito ay sumusunod na ang ugat ng equation ay x = 0.703.

Lutasin ang equation gamit ang Newton's method.

cos x –e -x/2 +x-1=0.

Kalkulahin natin ang unang derivative ng function.

F’(x) = -sin x + e -x/2 /2+1.

Ngayon kalkulahin natin ang pangalawang derivative ng function.

F’’(x) = -cos x - e -x/2/4.

Bumuo tayo ng tinatayang graph ng function na ito.

Ngayon, batay sa graph, kunin natin ang unang tinatayang ugat at suriin ang kondisyon (16): f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

Hayaan ang x (0) = 1, pagkatapos f(2)*f’’(2) = -0. 066 * (-0.692) = 0.046 > 0,

Ang kundisyon ay natugunan, kaya kinuha namin ang x (0) = 1.

Ngayon, lumikha tayo ng isang talahanayan ng mga halaga upang malutas ang equation na ito.

Ito ay sumusunod na ang ugat ng equation ay x = 1.162.

Halimbawa 5

Lutasin ang equation gamit ang Newton's method.

2+e x - e -x =0.

Kalkulahin natin ang unang derivative ng function.

F’(x) = e x +e -x .

Ngayon kalkulahin natin ang pangalawang derivative ng function.

F’’(x) = e x -e -x .

Bumuo tayo ng tinatayang graph ng function na ito.

Ngayon, batay sa graph, kunin natin ang unang tinatayang ugat at suriin ang kondisyon (16): f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

Hayaan ang x (0) = 1, pagkatapos f(2)*f’’(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0,

Ang kundisyon ay natugunan, kaya kinuha namin ang x (0) = 1.

Ngayon, lumikha tayo ng isang talahanayan ng mga halaga upang malutas ang equation na ito.

Ito ay sumusunod na ang ugat ng equation ay x = 0.881.

3.1 Paglalarawan ng programa

Ang program na ito ay idinisenyo upang gumana sa text at graphic mode. Binubuo ito ng module ng Graph, Crt, tatlong function at tatlong procedure.

1. Ang Crt module ay idinisenyo upang magbigay ng kontrol sa mga screen text mode, extended na keyboard code, kulay, bintana at tunog;

2. Ang Graph module ay idinisenyo upang magbigay ng kontrol sa mga graphic na bagay;

3. procedure GrafInit - sinisimulan ang graphics mode;

4. function VF – kinakalkula ang halaga ng function;

5. function f1 – kinakalkula ang halaga ng unang derivative ng function;

6. function X_Newt – nagpapatupad ng algorithm para sa paglutas ng equation gamit ang pamamaraan ni Newton.

7. procedure FGraf – nagpapatupad ng plotting ibinigay na function f(x);

Ots=35 - pare-pareho na tumutukoy sa bilang ng mga puntos para sa indentation mula sa mga hangganan ng monitor;

fmin, fmax - maximum at minimum na mga halaga ng function;

SetColor(4) – isang pamamaraan na nagtatakda ng kasalukuyang kulay ng isang graphic na bagay gamit ang isang palette, sa kasong ito ito ay pula;

Ang SetBkColor(9) ay isang pamamaraan na nagtatakda ng kasalukuyang kulay ng background gamit ang isang palette, sa kasong ito ay isang mapusyaw na asul na kulay.

8. Procedure MaxMinF – kakalkulahin ang maximum at minimum values ​​ng function f(x).

Linya – isang pamamaraan na gumuhit ng linya mula sa isang punto na may mga coordinate (x1, y1) hanggang sa isang punto na may mga coordinate (x2, y2);

MoveTo – isang pamamaraan na gumagalaw sa pointer (CP) sa isang punto na may mga coordinate (x, y);

TextColor(5) – isang pamamaraan na nagtatakda ng kasalukuyang kulay ng mga character, sa kasong ito ito ay pink;

Outtexty(x, y, 'string') – isang pamamaraan na naglalabas ng string na nagsisimula sa posisyon (x, y)

Ang CloseGraph ay isang pamamaraan na nagsasara ng graphics system.

3.2 Pagsubok sa programa

Upang subukan ang programa, kukunin namin ang mga halimbawa na nalutas sa praktikal na bahagi ng trabaho upang maihambing ang mga resulta at suriin ang tamang operasyon ng programa.

1) sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

Maglagay ng = -1

Ilagay ang b=1

= [-1, 1]

(output ng function graph)

Nakukuha namin ang: x=0.0000002

2) cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0.

Kinakalkula ng program na ito ang mga ugat ng isang nonlinear equation gamit ang pamamaraan ni Newton na may katumpakan ng eps at gumuhit ng tinatayang graph ng function sa segment.

Maglagay ng = -3

Ilagay ang b=3

= [-3, 3]

(output ng function graph)

Ang ugat ng equation na natagpuan ng pamamaraan ni Newton:

Suriin natin sa pamamagitan ng pagpapalit ng resultang sagot sa equation.

Nakukuha namin ang: x=-0.0000000

3) x 2 - e -x = 0.

Kinakalkula ng program na ito ang mga ugat ng isang nonlinear equation gamit ang pamamaraan ni Newton na may katumpakan ng eps at gumuhit ng tinatayang graph ng function sa segment.

Maglagay ng = -1

Ilagay ang b=1

= [-1, 1]

Ilagay ang katumpakan ng pagkalkula eps=0. 01

(output ng function graph)

Ang ugat ng equation na natagpuan ng pamamaraan ni Newton:

Suriin natin sa pamamagitan ng pagpapalit ng resultang sagot sa equation.

Nakukuha namin ang: x=0.0000000

4) cos x –e -x/2 +x-1=0.

Kinakalkula ng program na ito ang mga ugat ng isang nonlinear equation gamit ang pamamaraan ni Newton na may katumpakan ng eps at gumuhit ng tinatayang graph ng function sa segment.

Maglagay ng = -1.5

Ilagay ang b=1.5

= [-1,5, 1,5 ]

Ilagay ang katumpakan ng pagkalkula eps=0. 001

(output ng function graph)

Ang ugat ng equation na natagpuan ng pamamaraan ni Newton:

Suriin natin sa pamamagitan ng pagpapalit ng resultang sagot sa equation.

Nakukuha namin ang: x=0.0008180

5) -2+e x - e -x =0.

Kinakalkula ng program na ito ang mga ugat ng isang nonlinear equation gamit ang pamamaraan ni Newton na may katumpakan ng eps at gumuhit ng tinatayang graph ng function sa segment.

Maglagay ng = -0.9

Ilagay ang b=0.9

= [-0,9, 0,9]

Ilagay ang katumpakan ng pagkalkula eps=0. 001

(output ng function graph)

Ang ugat ng equation na natagpuan ng pamamaraan ni Newton:

Suriin natin sa pamamagitan ng pagpapalit ng resultang sagot sa equation.

Ang layunin ng gawain ay lumikha ng isang programa na kinakalkula ang ugat ng isang nonlinear equation gamit ang pamamaraan ni Newton. Batay dito, maaari nating tapusin na ang layunin ay nakamit, dahil ang mga sumusunod na gawain ay nalutas upang makamit ito:

1. Napag-aralan ang kinakailangang literatura.

2. Sinusuri ang mga kasalukuyang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi linear na equation.

3. Ang pamamaraan ni Newton para sa paglutas ng mga nonlinear na equation ay pinag-aralan.

4. Ang solusyon ng nonlinear equation sa pamamagitan ng Newton's method ay isinasaalang-alang gamit ang isang halimbawa.

5. Ang programa ay sinubukan at na-debug.

Bibliograpiya

1. B.P. Demidovich, I.A. Maron. Mga Batayan ng computational mathematics. – Moscow, ed. "Ang agham"; 1970.

2. V.M. Verzhbitsky. Numerical na pamamaraan (linear algebra at nonlinear equation). - Moscow," graduate School"; 2000.

3. N.S.Bakhvalov, A.V.Lapin, E.V.Chizhonkov. Numerical na pamamaraan sa mga problema at pagsasanay. - Moscow, "Mataas na Paaralan"; 2000.

4. Matthews, John, G., Fink, Curtis, D. Numerical na pamamaraan MATLAB, 3rd edition - Moscow, "Villas"; 2001.

Pederal na Ahensya para sa Edukasyon

Sochi State University of Tourism at Resort Business

Faculty ng Information Technologies at Mathematics

Kagawaran ng General Mathematics

Coursework sa disiplina

"Mga Pamamaraan sa Numero"

"Ang pamamaraan ni Newton at ang mga pagbabago nito para sa paglutas ng mga sistema ng mga nonlinear na equation"

Ginawa:

3rd year student

pangkat 06-INF

Lavrenko M.V.

Sinuri:

associate professor, kandidato

pedagogical sciences

Kaugnay ng pag-unlad ng bagong teknolohiya ng kompyuter, ang modernong kasanayan sa inhinyero ay lalong dumaranas ng mga problema sa matematika, ang eksaktong solusyon na napakahirap o imposibleng makuha. Sa mga kasong ito, karaniwang ginagamit ng isa ang isa o isa pang tinatayang pagkalkula. Ito ang dahilan kung bakit natanggap ang tinatayang at numerical na pamamaraan ng pagsusuri sa matematika mga nakaraang taon malawakang pag-unlad at naging lubhang mahalaga.

Sinusuri ng gawaing kursong ito ang sikat na pamamaraan ng Newton at ang pagbabago nito para sa paglutas ng mga sistema ng mga nonlinear na equation. Ang paglutas ng mga sistema ng nonlinear equation ay isa sa mga mahihirap na problema ng computational mathematics. Ang kahirapan ay upang matukoy kung ang sistema ay may solusyon, at, kung gayon, ilan. Pinag-aaralan ang convergence ng basic at pinasimpleng pamamaraan ng Newton at ang pamamaraang nakuha mula sa pamamaraan ni Newton gamit ang umuulit na proseso para sa tinatayang pagbabaligtad ng Jacobi matrice.

Inilalarawan din nila nang maikli: ang mga pamamaraan ng maling posisyon, ang paraan ng secant, ang pamamaraan ng Steffensen, na kadalasang lumalabas na pinakamahusay na pagpipilian para sa paglutas ng mga sistema ng nonlinear equation sa halip na ang secant method o ang false position method.

Ang sikat na pamamaraan ni Newton ay isa sa pinaka mabisang pamamaraan paglutas ng iba't ibang problemang hindi linear. Ang formula ng pagkalkula ng pamamaraan ay maaaring makuha gamit ang iba't ibang mga diskarte. Tingnan natin ang dalawa sa kanila.

1) Paraan ng padaplis.

Kunin natin ang formula ng pagkalkula ng pamamaraan para sa paglutas ng nonlinear equation

Equation ng isang tangent na iginuhit sa graph ng isang function

Ipagpalagay sa pagkakapantay-pantay (1.1)

Pagpapahayag mula dito

Dahil sa geometric na interpretasyong ito, madalas na tinatawag ang paraang ito padaplis na paraan .

Hayaang kailanganin upang malutas ang isang sistema ng mga equation

real-valued function P tunay na mga variable

ang sistemang ito (2.1) ay maaaring isulat sa pamamagitan ng isang equation

nauugnay sa function ng vector F argumentong vector x. Kaya, ang orihinal na problema ay maaaring ituring na isang problema tungkol sa mga zero ng nonlinear na mapa

2) Paraan ng linearization.

2. Pamamaraan ni Newton para sa paglutas ng mga sistema ng mga nonlinear na equation.

Ang pamamaraang ito ay may mas mabilis na convergence kaysa sa simpleng paraan ng pag-ulit. Ang pamamaraan ni Newton para sa sistema ng mga equation (1.1) ay batay sa paggamit ng pagpapalawak ng function

, Saan
(2.1)

sa serye ng Taylor, na may mga terminong naglalaman ng pangalawa at mas mataas na mga order ng mga derivative na itinatapon. Ang diskarte na ito ay nagpapahintulot sa solusyon ng isang nonlinear system (1.1) na mapalitan ng solusyon ng isang bilang ng mga linear system.

Kaya, malulutas natin ang system (1.1) sa pamamagitan ng pamamaraan ni Newton. Sa rehiyon D, pumili ng anumang punto
at tawagin itong zero approximation sa eksaktong solusyon ng orihinal na sistema. Ngayon palawakin natin ang mga function (2.1) sa isang serye ng Taylor sa isang lugar ng point . Magkakaroon

kasi ang kaliwang bahagi ng (2.2) ay dapat maglaho ayon sa (1.1), pagkatapos ay ang kanang bahagi ng (2.2) ay dapat ding maglaho. Samakatuwid, mula sa (2.2) mayroon kami

Dapat kalkulahin ang lahat ng bahagyang derivatives sa (2.3) sa puntong .

Ang (2.3) ay isang sistema ng linear algebraic equation para sa mga hindi alam. Ang sistemang ito ay malulutas sa pamamagitan ng Cramer's method kung ang pangunahing determinant nito ay nonzero at ang mga dami ay makikita

Ngayon ay maaari nating pinuhin ang zero approximation sa pamamagitan ng pagbuo ng unang approximation gamit ang mga coordinate

mga.
. (2.6)

Alamin natin kung ang approximation (2.6) ay nakuha nang may sapat na antas ng katumpakan. Upang gawin ito, suriin natin ang kundisyon

,
(2.7)

saan isang paunang natukoy na maliit na positibong numero (ang katumpakan kung saan dapat lutasin ang system (1.1). Kung nasiyahan ang kundisyon (2.7), pipiliin namin ang (2.6) bilang tinatayang solusyon sa system (1.1) at kumpletuhin ang mga kalkulasyon. Kung hindi nasiyahan ang kundisyon (2.7), gagawin namin ang sumusunod na pagkilos. Sa system (2.3), sa halip na
kunin natin ang updated values

, (2.8)

mga. gawin natin ang sumusunod

. (2.9)

Pagkatapos nito, ang system (2.3) ay magiging isang sistema ng mga linear algebraic equation para sa mga dami Matapos matukoy ang mga dami na ito, ang susunod na pangalawang pagtataya
sa solusyon ng system (1.1) nakita namin gamit ang mga formula

Ngayon tingnan natin ang kondisyon (2.7)

Kung matugunan ang kundisyong ito, kumpletuhin namin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagkuha sa pangalawang pagtatantya bilang isang tinatayang solusyon sa system (1.1)
. Kung ang kundisyong ito ay hindi natutugunan, pagkatapos ay magpapatuloy kami sa pagbuo ng susunod na pagtatantya, pagkuha sa (2.3)
Kinakailangang bumuo ng mga pagtatantya hanggang sa hindi nasiyahan ang kundisyon.

Ang mga gumaganang pormula ng pamamaraan ni Newton para sa paglutas ng sistema (1.1) ay maaaring isulat sa anyo.

Compute sequence

Dito
ay ang solusyon sa sistema

Bumuo tayo ng algorithm ng pagkalkula gamit ang mga formula (2.11)-(2.13).

1. Pumili tayo ng zero approximation na kabilang sa rehiyon D.

2. Sa sistema ng linear algebraic equation (2.13) itinakda namin
,A .

3. Lutasin natin ang sistema (2.13) at hanapin ang mga dami
.

4. Sa mga formula (2.12) inilalagay namin
at kalkulahin ang mga bahagi ng susunod na pagtatantya.

5. Suriin natin ang kundisyon (2.7) para sa: (Tingnan ang algorithm para sa pagkalkula ng maximum ng ilang dami.)

6. Kung matugunan ang kundisyong ito, kumpletuhin namin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagpili ng approximation bilang tinatayang solusyon sa system (1.1). Kung hindi matugunan ang kundisyong ito, magpatuloy sa hakbang 7.

7. Ilagay natin
para sa lahat .

8. Isagawa natin ang hakbang 3, paglalagay
.

Sa geometriko, ang algorithm na ito ay maaaring isulat bilang:

Algorithm. Pagkalkula ng maximum ng ilang dami.

Halimbawa. Isaalang-alang natin ang paggamit ng pamamaraan ni Newton upang malutas ang isang sistema ng dalawang equation.

Gamit ang pamamaraan ni Newton, lutasin ang sumusunod na sistema ng mga nonlinear na equation hanggang sa isang katumpakan

, (2.14)

Dito
. Piliin natin ang zero approximation
, na kabilang sa domain D. Bumuo tayo ng isang sistema ng mga linear algebraic equation (2.3). Magiging kamukha niya

(2.15)

Tukuyin natin

Ating lutasin ang system (2.15) na may paggalang sa mga hindi alam
, halimbawa ang paraan ng Cramer. Sinusulat namin ang mga formula ng Cramer sa form

(2.17)

kung saan ang pangunahing determinant ng system (2.15)

(2.18)

at ang auxiliary determinants ng system (2.15) ay may anyo

.

Pinapalitan namin ang mga nahanap na halaga sa (2.16) at hanapin ang mga bahagi ng unang pagtatantya
sa solusyon ng system (2.15).

Suriin natin ang kondisyon

, (2.19)

kung matugunan ang kundisyong ito, pagkatapos ay kumpletuhin namin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagkuha sa unang pagtatantya bilang isang tinatayang solusyon sa system (2.15), i.e.
. Kung hindi nasiyahan ang kundisyon (2.19), pagkatapos ay itinakda namin
,
at tayo ay magtatayo bagong sistema linear algebraic equation (2.15). Nang malutas ito, nakita namin ang pangalawang pagtatantya
. Suriin natin ito sa . Kung nasiyahan ang kundisyong ito, pipiliin namin bilang tinatayang solusyon sa system (2.15)
. Kung hindi nasiyahan ang kundisyon sa, itinakda namin
,
at buuin ang sumusunod na sistema (2.15) upang mahanap
atbp.

Mga gawain

Ang lahat ng mga gawain ay nangangailangan ng:

Gumuhit ng isang programa para sa numerical na pagpapatupad ng pamamaraan ayon sa iminungkahing algorithm.

Kumuha ng mga resulta ng pagkalkula.

Suriin ang iyong mga resulta.

Ang isang sistema ng dalawang nonlinear equation ay ibinigay.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Kabanata 3. Numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation (SLAEs).

Layunin ng trabaho. Panimula sa ilang tinatayang pamamaraan para sa paglutas ng mga SLAE at ang kanilang numerical na pagpapatupad sa isang PC.

Mga panimulang pahayag. Ang lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga SLAE ay karaniwang nahahati sa dalawa malalaking grupo. Kasama sa unang pangkat ang mga pamamaraan na karaniwang tinatawag na tumpak. Ginagawang posible ng mga pamamaraang ito para sa anumang sistema na mahanap ang eksaktong mga halaga ng mga hindi alam pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, na ang bawat isa ay eksaktong gumanap.

Kasama sa pangalawang grupo ang lahat ng mga pamamaraan na hindi tumpak. Ang mga ito ay tinatawag na iterative, o numerical, o approximate. Ang eksaktong solusyon, kapag gumagamit ng mga naturang pamamaraan, ay nakuha bilang isang resulta ng isang walang katapusang proseso ng mga pagtatantya. Ang isang kaakit-akit na tampok ng naturang mga pamamaraan ay ang kanilang pagwawasto sa sarili at kadalian ng pagpapatupad sa isang PC.

Isaalang-alang natin ang ilang tinatayang pamamaraan para sa paglutas ng mga SLAE at bumuo ng mga algorithm para sa kanilang numerical na pagpapatupad. Makakakuha kami ng tinatayang solusyon ng SLAE na may katumpakan na , kung saan mayroong napakaliit na positibong numero.

1. Paraan ng pag-ulit.

Hayaang ibigay ang SLAE sa form

(1.1)

Ang sistemang ito ay maaaring isulat sa matrix form

, (1.2)

saan
- matrix ng mga coefficient para sa mga hindi alam sa system (1.1),
- hanay ng mga libreng miyembro,
- hanay hindi kilalang mga sistema (1.1).

. (1.3)

Lutasin natin ang system (1.1) gamit ang paraan ng pag-ulit. Upang gawin ito, gagawin namin ang mga sumusunod na hakbang.

Una. Piliin natin ang zero approximation

(1.4)

sa eksaktong solusyon (1.3) ng system (1.1). Ang mga bahagi ng zero approximation ay maaaring maging anumang numero. Ngunit mas maginhawang kumuha ng alinman sa mga zero para sa mga bahagi ng zero approximation
, o mga libreng tuntunin ng system (1.1)

Pangalawa. Pinapalitan namin ang mga bahagi ng zero approximation sa kanang bahagi system (1.1) at kalkulahin

(1.5)

Ang mga dami sa kaliwa sa (1.5) ay mga bahagi ng unang pagtatantya
Ang mga aksyon na nagresulta sa unang pagtatantya ay tinatawag na pag-ulit.

Pangatlo. Suriin natin ang zero at unang pagtatantya para sa

(1.6)

Kung ang lahat ng kundisyon (1.6) ay natutugunan, kung gayon para sa tinatayang solusyon ng system (1.1) pipiliin namin ang alinman , o hindi mahalaga, dahil sila ay naiiba sa bawat isa nang hindi hihigit sa at tapusin natin ang mga kalkulasyon. Kung hindi matugunan ang kahit isa sa mga kundisyon (1.6), pagkatapos ay magpapatuloy tayo sa susunod na aksyon.

Pang-apat. Gawin natin ang susunod na pag-ulit, i.e. sa kanang bahagi ng system (1.1) pinapalitan namin ang mga bahagi ng unang pagtatantya at kinakalkula ang mga bahagi ng pangalawang pagtatantya
, Saan

Panglima. Suriin natin
at sa , i.e. Suriin natin ang kundisyon (1.6) para sa mga pagtatantya na ito. Kung natutugunan ang lahat ng kundisyon (1.6), para sa tinatayang solusyon ng system (1.1) pipiliin natin ang alinman , o hindi mahalaga, dahil nagkakaiba sila sa isa't isa nang hindi hihigit sa . Kung hindi, bubuo kami ng susunod na pag-ulit sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga bahagi ng pangalawang pagtataya sa kanang bahagi ng system (1.1).

Kailangang buuin ang mga pag-ulit hanggang sa dalawang magkatabing pagtatantya
at mag-iiba sa isa't isa nang hindi hihigit sa .

Ang gumaganang pormula ng pamamaraan ng pag-ulit para sa paglutas ng sistema (1.1) ay maaaring isulat bilang

Ang algorithm para sa numerical na pagpapatupad ng formula (1.7) ay maaaring ang mga sumusunod.

Ang sapat na mga kondisyon para sa convergence ng paraan ng pag-ulit para sa system (1.1) ay may anyo

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Simpleng paraan ng pag-ulit.

Hayaang ibigay ang sistema ng linear algebraic equation (SLAE) sa anyo

(2.1)

Upang malutas ang system (2.1) gamit ang simpleng paraan ng pag-ulit, kailangan muna itong bawasan sa anyo

(2.2)

Sa system (2.2) Ang -th equation ay ang -th equation ng system (2.1), na naresolba na may kinalaman sa -th na hindi alam (
).

Ang pamamaraan para sa paglutas ng system (2.1), na binubuo ng pagbabawas nito sa system (2.2) na sinusundan ng paglutas ng system (2.2) gamit ang paraan ng pag-ulit, ay tinatawag na simpleng paraan ng pag-ulit para sa system (2.1).

Kaya, ang mga gumaganang formula ng simpleng paraan ng pag-ulit para sa paglutas ng system (2.1) ay magkakaroon ng form

(2.3)

Ang mga formula (2.3) ay maaaring isulat sa anyo

Ang algorithm para sa numerical na pagpapatupad ng simpleng paraan ng pag-ulit para sa system (2.1) ayon sa mga formula (2.4) ay maaaring ang mga sumusunod.

Ang algorithm na ito ay maaaring isulat sa geometriko.

Ang mga sapat na kondisyon para sa convergence ng simpleng paraan ng pag-ulit para sa system (2.1) ay may anyo

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Nakatigil na paraan ng Seidel.

Ang paraan ng Seidel para sa paglutas ng mga SLAE ay naiiba sa paraan ng pag-ulit sa pagkakaroon ng nahanap na ilang approximation para sa -th na bahagi, agad naming ginagamit ito upang mahanap ang susunod
,
, …, -ika bahagi. Ang diskarte na ito ay nagbibigay-daan para sa mas mataas na convergence rate ng Seidel method kumpara sa iteration method.

Hayaang ibigay ang SLAE sa form

(3.1)

Hayaan
- zero approximation sa eksaktong solusyon
mga sistema (3.1). At hayaan itong matagpuan ika-approximation
. Tukuyin natin ang mga bahagi
ika-approximation gamit ang mga formula

(3.2)

Ang mga formula (3.2) ay maaaring isulat sa compact form

,
,
(3.3)

Ang algorithm para sa numerical na pagpapatupad ng Seidel method para sa paglutas ng system (3.1) gamit ang mga formula (3.3) ay maaaring ang mga sumusunod.

1. Pumili tayo, halimbawa,
,

2. Ilagay natin ang .

3. Magkalkula tayo para sa lahat.

4. Susuriin namin ang mga kondisyon para sa lahat
.

5. Kung natutugunan ang lahat ng kundisyon sa talata 4, pipiliin namin ang alinman o bilang isang tinatayang solusyon sa system (3.1) at kumpletuhin ang mga kalkulasyon. Kung hindi matugunan ang kahit isang kundisyon sa hakbang 4, magpatuloy sa hakbang 6.

6. Ibaba natin ito at magpatuloy sa hakbang 3.

Ang algorithm na ito ay maaaring isulat sa geometriko.

Ang sapat na kondisyon para sa convergence ng Seidel method para sa system (3.1) ay may anyo
, .

4. Non-stationary na paraan ng Seidel.

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng SLAE (3.1) ay nagbibigay ng mas mataas na bilis ng convergence ng Seidel method.

Hayaan natin kahit papaano hanapin ang mga bahagi ng ika-approximation at ang ika-approximation para sa system (3.1).

Kalkulahin natin ang vector ng pagwawasto

Kalkulahin natin ang mga halaga

, (4.2)

Ayusin natin ang dami
, sa pababang pagkakasunud-sunod.

Sa parehong pagkakasunud-sunod, muling isinulat namin ang mga equation sa system (3.1) at ang mga hindi alam sa system na ito: Linearalgebra At nonlinear ... PamamahalaPara sa laboratoryo gumaganaSa pamamagitan ng ... metodolohikal mga tagubilin Para sapraktikalgumaganaSa pamamagitan ng Para samga mag-aaral ...