Pagbawas ng mga algebraic fraction. Ang online na calculator para sa pagbabawas ng mga algebraic fraction na may isang detalyadong solusyon ay nagbibigay-daan sa iyo upang bawasan ang isang fraction at i-convert ang isang hindi wastong fraction sa isang tamang fraction

Sa artikulong ito ay titingnan natin nang detalyado kung paano pagbabawas ng mga fraction. Una, talakayin natin kung ano ang tinatawag na pagbabawas ng isang fraction. Pagkatapos nito, pag-usapan natin ang pagbabawas ng isang nababawas na bahagi sa isang hindi mababawas na anyo. Susunod ay makukuha natin ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction at, sa wakas, isaalang-alang ang mga halimbawa ng aplikasyon ng panuntunang ito.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng pagbabawas ng isang fraction?

Alam natin na ang mga ordinaryong fraction ay nahahati sa reducible at irreducible fraction. Maaari mong hulaan mula sa mga pangalan na ang mga nababawas na fraction ay maaaring bawasan, ngunit ang hindi mababawasan na mga fraction ay hindi maaaring.

Ano ang ibig sabihin ng pagbabawas ng isang fraction? Bawasan ang fraction- nangangahulugan ito ng paghahati sa numerator at denominator nito sa positibo at naiiba sa pagkakaisa. Malinaw na bilang resulta ng pagbabawas ng isang fraction, ang isang bagong fraction ay nakuha gamit ang isang mas maliit na numerator at denominator, at, dahil sa pangunahing pag-aari ng fraction, ang resultang fraction ay katumbas ng orihinal.

Halimbawa, bawasan natin karaniwang fraction 8/24 sa pamamagitan ng paghahati ng numerator at denominator nito sa 2. Sa madaling salita, bawasan natin ng 2 ang fraction na 8/24. Dahil 8:2=4 at 24:2=12, ang pagbabawas na ito ay nagreresulta sa fraction na 4/12, na katumbas ng orihinal na fraction na 8/24 (tingnan ang pantay at hindi pantay na mga fraction). Bilang resulta, mayroon tayong .

Pagbabawas ng mga ordinaryong fraction sa hindi mababawasan na anyo

Karaniwan, ang pangwakas na layunin ng pagbawas ng isang fraction ay upang makakuha ng isang hindi mababawasan na fraction na katumbas ng orihinal na nababawas na fraction. Maaaring makamit ang layuning ito sa pamamagitan ng pagbabawas ng orihinal na nababawas na bahagi sa numerator at denominator nito. Bilang resulta ng naturang pagbabawas, palaging nakukuha ang isang hindi mababawasang bahagi. Sa katunayan, isang fraction ay hindi mababawasan, dahil ito ay kilala na At - . Dito natin sasabihin na ang pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator ng isang fraction ay ang pinakamalaking bilang kung saan ang fraction na ito ay maaaring mabawasan.

Kaya, binabawasan ang isang karaniwang fraction sa isang hindi mababawasan na anyo binubuo ng paghahati ng numerator at denominator ng orihinal na nababawas na fraction sa kanilang gcd.

Tingnan natin ang isang halimbawa, kung saan bumalik tayo sa fraction 8/24 at bawasan ito ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 8 at 24, na katumbas ng 8. Dahil 8:8=1 at 24:8=3, dumating tayo sa irreducible fraction na 1/3. Kaya, .

Tandaan na ang pariralang "bawasan ang isang fraction" ay kadalasang nangangahulugan ng pagbabawas ng orihinal na fraction sa hindi mababawasang anyo nito. Sa madaling salita, ang pagbabawas ng isang fraction ay madalas na tumutukoy sa paghahati ng numerator at denominator sa kanilang pinakamalaking karaniwang salik (sa halip na sa pamamagitan ng anumang karaniwang salik).

Paano bawasan ang isang fraction? Mga panuntunan at halimbawa ng pagbabawas ng mga fraction

Ang natitira na lang ay tingnan ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction, na nagpapaliwanag kung paano bawasan ang isang binigay na fraction.

Panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction ay binubuo ng dalawang hakbang:

• una, ang gcd ng numerator at denominator ng fraction ay matatagpuan;
• pangalawa, ang numerator at denominator ng fraction ay hinati sa kanilang gcd, na nagbibigay ng hindi mababawasan na fraction na katumbas ng orihinal.

Ayusin natin ito halimbawa ng pagbabawas ng isang fraction ayon sa nakasaad na tuntunin.

Halimbawa.

Bawasan ang fraction na 182/195.

Solusyon.

Isagawa natin ang parehong mga hakbang na inireseta ng panuntunan para sa pagbabawas ng isang fraction.

Una naming mahanap ang GCD(182, 195) . Pinakamaginhawang gamitin ang Euclid algorithm (tingnan ang): 195=182·1+13, 182=13·14, ibig sabihin, GCD(182, 195)=13.

Ngayon hinati namin ang numerator at denominator ng fraction 182/195 sa 13, at makuha namin ang hindi mababawasan na fraction 14/15, na katumbas ng orihinal na fraction. Kinukumpleto nito ang pagbawas ng fraction.

Sa madaling sabi, ang solusyon ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: .

Sagot:

Dito natin matatapos ang pagbabawas ng mga fraction. Ngunit upang makumpleto ang larawan, tingnan natin ang dalawa pang paraan upang bawasan ang mga fraction, na kadalasang ginagamit sa mga madaling kaso.

Minsan ang numerator at denominator ng fraction na binabawasan ay hindi mahirap. Ang pagbawas ng isang fraction sa kasong ito ay napaka-simple: kailangan mo lamang alisin ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan mula sa numerator at denominator.

Kapansin-pansin na ang pamamaraang ito ay sumusunod nang direkta mula sa panuntunan ng pagbabawas ng mga fraction, dahil ang produkto ng lahat ng mga karaniwang pangunahing kadahilanan ng numerator at denominator ay katumbas ng kanilang pinakamalaking karaniwang divisor.

Tingnan natin ang solusyon sa halimbawa.

Halimbawa.

Bawasan ang fraction 360/2 940.

Solusyon.

Palawakin natin ang numerator at denominator sa pangunahing mga kadahilanan: 360=2·2·2·3·3·5 at 2 940=2·2·3·5·7·7. kaya, .

Ngayon ay inaalis natin ang mga karaniwang salik sa numerator at denominator para sa kaginhawahan, i-cross out natin ang mga ito: .

Sa wakas, pinarami namin ang natitirang mga kadahilanan: , at ang pagbawas ng fraction ay nakumpleto.

Dito maikling tala mga solusyon: .

Sagot:

Isaalang-alang natin ang isa pang paraan upang bawasan ang isang fraction, na binubuo ng sequential reduction. Dito, sa bawat hakbang, ang fraction ay binabawasan ng ilang karaniwang divisor ng numerator at denominator, na malinaw o madaling matukoy gamit ang

Maginhawa at simpleng online fraction calculator na may detalyadong solusyon siguro:

• Magdagdag, magbawas, magparami at hatiin ang mga fraction online,
• Tumanggap ng isang handa na solusyon sa mga fraction na may isang larawan at maginhawang ilipat ito.

Narito ang resulta ng paglutas ng mga fraction...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Fraction sign "/" + - * :
_burahin Clear
Ang aming online na fraction calculator ay may mabilis na input. Upang malutas ang mga fraction, halimbawa, isulat lamang 1/2+2/7 sa calculator at pindutin ang " Lutasin ang mga fraction". Susulatan ka ng calculator detalyadong solusyon ng mga fraction at magpapalabas isang madaling kopyahin na imahe.

Mga palatandaan na ginagamit para sa pagsusulat sa isang calculator

Mga tampok ng online fraction calculator

Kung kailangan mong lutasin ang mga negatibong praksyon, gamitin lamang ang mga katangian ng minus. Kapag nagpaparami at naghahati mga negatibong fraction dalawang negatibo ang nagpapatunay. Ibig sabihin, ang produkto at paghahati ng mga negatibong praksiyon ay katumbas ng produkto at paghahati ng parehong positibo. Kung negatibo ang isang fraction kapag nagpaparami o naghahati, pagkatapos ay alisin lamang ang minus at pagkatapos ay idagdag ito sa sagot. Kapag nagdaragdag ng mga negatibong praksiyon, ang resulta ay magiging kapareho ng kung nagdaragdag ka ng parehong positibong mga praksiyon. Kung nagdagdag ka ng isang negatibong bahagi, ito ay kapareho ng pagbabawas ng parehong positibong bahagi.
Kapag binabawasan ang mga negatibong praksyon, ang resulta ay magiging kapareho ng kung sila ay ipinagpalit at ginawang positibo. Iyon ay, ang minus sa pamamagitan ng minus sa kasong ito ay nagbibigay ng isang plus, ngunit ang muling pagsasaayos ng mga tuntunin ay hindi nagbabago sa kabuuan. Gumagamit kami ng parehong mga patakaran kapag binabawasan ang mga fraction, isa sa mga ito ay negatibo.

Upang malutas ang mga pinaghalong fraction (mga fraction kung saan ang buong bahagi) itaboy lamang ang buong bahagi sa isang fraction. Upang gawin ito, i-multiply ang buong bahagi ng denominator at idagdag sa numerator.

Kung kailangan mong lutasin ang 3 o higit pang mga fraction online, dapat mong lutasin ang mga ito nang paisa-isa. Una, bilangin ang unang 2 fraction, pagkatapos ay lutasin ang susunod na fraction gamit ang sagot na nakuha mo, at iba pa. Isagawa ang mga operasyon nang paisa-isa, 2 fraction sa isang pagkakataon, at sa huli ay makukuha mo ang tamang sagot.

Upang maunawaan kung paano bawasan ang mga fraction, tingnan muna natin ang isang halimbawa.

Upang bawasan ang isang fraction ay nangangahulugan na hatiin ang numerator at denominator sa parehong bagay. Ang parehong 360 at 420 ay nagtatapos sa isang digit, kaya maaari nating bawasan ang fraction na ito ng 2. Sa bagong fraction, ang parehong 180 at 210 ay nahahati din ng 2, kaya binabawasan natin ang fraction na ito ng 2. Sa mga numero 90 at 105, ang kabuuan ng mga digit ay nahahati ng 3, kaya ang parehong mga numerong ito ay nahahati sa 3, binabawasan namin ang fraction ng 3. Sa bagong fraction, 30 at 35 ay nagtatapos sa 0 at 5, na nangangahulugan na ang parehong mga numero ay nahahati sa 5, kaya binabawasan namin ang fraction ng 5. Ang resultang fraction ng six-sevenths ay hindi mababawasan. Ito ang huling sagot.

Maaari tayong makarating sa parehong sagot sa ibang paraan.

Ang parehong 360 at 420 ay nagtatapos sa zero, na nangangahulugan na ang mga ito ay nahahati sa 10. Binabawasan namin ang fraction ng 10. Sa bagong fraction, ang numerator 36 at ang denominator 42 ay hinati sa 2. Binabawasan namin ang fraction ng 2. Sa Ang susunod na fraction, pareho ang numerator 18 at ang denominator 21 ay hinati sa 3, na nangangahulugang binabawasan namin ang fraction ng 3. Dumating kami sa resulta - anim na ikapito.

At isa pang solusyon.

Sa susunod na titingnan natin ang mga halimbawa ng pagbabawas ng mga fraction.

Kaya, alam na natin na ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply at hatiin sa parehong numero, ang fraction ay hindi magbabago. Isaalang-alang natin ang tatlong paraan:

Lumapit sa isa.

Upang bawasan, hatiin ang numerator at denominator sa isang karaniwang divisor. Tingnan natin ang mga halimbawa:

Paikliin natin:

Sa mga halimbawang ibinigay, makikita natin kaagad kung aling mga divisors ang kukunin para sa pagbabawas. Ang proseso ay simple - dumaan tayo sa 2,3,4,5 at iba pa. Sa karamihan ng mga halimbawa ng kurso sa paaralan, ito ay sapat na. Ngunit kung ito ay isang fraction:

Dito maaaring tumagal ang proseso ng pagpili ng mga divisors;). Siyempre, ang mga ganitong halimbawa ay nasa labas ng kurikulum ng paaralan, ngunit kailangan mong makayanan ang mga ito. Sa ibaba ay titingnan natin kung paano ito ginagawa. Sa ngayon, bumalik tayo sa proseso ng pag-downsize.

Tulad ng tinalakay sa itaas, upang mabawasan ang isang fraction, hinati namin sa (mga) karaniwang divisor na aming natukoy. Lahat ay tama! Kailangan lamang magdagdag ng mga palatandaan ng divisibility ng mga numero:

- kung ang numero ay pantay, kung gayon ito ay mahahati sa 2.

- kung ang isang numero mula sa huling dalawang digit ay nahahati sa 4, kung gayon ang numero mismo ay mahahati ng 4.

— kung ang kabuuan ng mga digit na bumubuo sa numero ay nahahati sa 3, kung gayon ang numero mismo ay mahahati sa 3. Halimbawa, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Ang labindalawa ay nahahati sa 3, kaya ang 123031 ay nahahati sa 3.

- kung ang dulo ng isang numero ay 5 o 0, kung gayon ang numero ay mahahati ng 5.

— kung ang kabuuan ng mga digit na bumubuo sa numero ay nahahati sa 9, kung gayon ang numero mismo ay mahahati sa 9. Halimbawa, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Ang labing-walo ay nahahati ng 9, ibig sabihin, ang 623032 ay nahahati ng 9.

Pangalawang diskarte.

Sa madaling sabi, sa katunayan, ang buong aksyon ay bumaba sa factoring ng numerator at denominator at pagkatapos ay binabawasan ang pantay na mga kadahilanan sa numerator at denominator ( diskarteng ito– ito ay bunga ng unang diskarte):

Sa paningin, upang maiwasan ang pagkalito at pagkakamali, ang pantay na mga kadahilanan ay tinatanggal lamang. Tanong - paano i-factor ang isang numero? Ito ay kinakailangan upang matukoy ang lahat ng mga divisors sa pamamagitan ng paghahanap. Ito ay isang hiwalay na paksa, hindi ito kumplikado, hanapin ang impormasyon sa isang aklat-aralin o sa Internet. Hindi ka makakatagpo ng anumang malalaking problema sa mga factoring number na naroroon sa mga fraction ng paaralan.

Sa pormal, ang prinsipyo ng pagbabawas ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Lumapit sa tatlo.

Narito ang pinaka-kagiliw-giliw na bagay para sa mga advanced at sa mga gustong maging isa. Bawasan natin ang fraction na 143/273. Subukan ito sa iyong sarili! Well, paano ito nangyari nang mabilis? Tingnan mo ngayon!

Binabalik-balikan natin ito (pinapalitan natin ang mga lugar ng numerator at denominator). Hatiin ang resultang fraction sa isang sulok at i-convert ito sa halo-halong numero, ibig sabihin, pipiliin namin ang buong bahagi:

Mas madali na. Nakikita natin na ang numerator at denominator ay maaaring bawasan ng 13:

Ngayon huwag kalimutang ibalik muli ang fraction, isulat natin ang buong kadena:

Naka-check - mas kaunting oras ang kailangan kaysa sa paghahanap at pagsuri sa mga divisors. Bumalik tayo sa aming dalawang halimbawa:

Una. Hatiin gamit ang isang sulok (hindi sa isang calculator), nakukuha namin:

Ang fraction na ito ay mas simple, siyempre, ngunit ang pagbawas ay muling problema. Ngayon ay hiwalay naming sinusuri ang fraction 1273/1463 at ibalik ito:

Mas madali dito. Maaari naming isaalang-alang ang isang divisor tulad ng 19. Ang iba ay hindi angkop, ito ay malinaw: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hurray! Sumulat tayo:

Susunod na halimbawa. Paikliin natin ito sa 88179/2717.

Hatiin, makuha namin:

Hiwalay, sinusuri namin ang fraction 1235/2717 at ibinabalik ito:

Maaari naming isaalang-alang ang isang divisor tulad ng 13 (hanggang 13 ay hindi angkop):

Numerator 247:13=19 Denominator 1235:13=95

*Sa panahon ng proseso nakakita kami ng isa pang divisor na katumbas ng 19. Lumalabas na:

Ngayon isulat namin ang orihinal na numero:

At hindi mahalaga kung ano ang mas malaki sa fraction - ang numerator o ang denominator, kung ito ang denominator, pagkatapos ay ibabalik natin ito at kumilos tulad ng inilarawan. Sa ganitong paraan maaari nating bawasan ang anumang bahagi;

Siyempre, ang dalawang halimbawang tinalakay sa itaas ay hindi simpleng mga halimbawa. Subukan natin ang teknolohiyang ito sa mga “simpleng” fraction na napag-isipan na natin:

Dalawang quarters.

Pitumpu't dalawang ikaanimnapung taon. Ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator;

Siyempre, ang ikatlong diskarte ay inilapat sa ganoon mga simpleng halimbawa bilang alternatibo lang. Ang pamamaraan, tulad ng nasabi na, ay pangkalahatan, ngunit hindi maginhawa at tama para sa lahat ng mga praksiyon, lalo na para sa mga simple.

Ang pagkakaiba-iba ng mga fraction ay mahusay. Mahalagang maunawaan mo ang mga prinsipyo. Walang mahigpit na panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga fraction. Tiningnan namin, inisip kung paano magiging mas maginhawang kumilos, at sumulong. Sa pagsasanay, darating ang kasanayan at puputulin mo sila tulad ng mga buto.

Konklusyon:

Kung makakita ka ng (mga) karaniwang divisor para sa numerator at denominator, gamitin ang mga ito upang bawasan.

Kung alam mo kung paano mabilis na i-factor ang isang numero, pagkatapos ay i-factor ang numerator at denominator, pagkatapos ay bawasan.

Kung hindi mo matukoy ang karaniwang divisor, pagkatapos ay gamitin ang ikatlong diskarte.

*Upang mabawasan ang mga fraction, mahalagang makabisado ang mga prinsipyo ng pagbabawas, maunawaan ang pangunahing katangian ng isang fraction, alamin ang mga diskarte sa paglutas, at maging lubhang maingat kapag gumagawa ng mga kalkulasyon.

At tandaan! Nakaugalian na bawasan ang isang fraction hanggang sa huminto, ibig sabihin, bawasan ito hangga't mayroong isang karaniwang divisor.

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.

Ito ay batay sa kanilang pangunahing pag-aari: kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay hinati sa parehong non-zero polynomial, kung gayon ang isang pantay na fraction ay makukuha.

Maaari mo lamang bawasan ang mga multiplier!

Ang mga miyembro ng polynomials ay hindi maaaring paikliin!

Upang bawasan ang isang algebraic fraction, ang mga polynomial sa numerator at denominator ay dapat munang i-factorize.

Tingnan natin ang mga halimbawa ng pagbabawas ng mga fraction.

Ang numerator at denominator ng fraction ay naglalaman ng mga monomial. Sila ay kumakatawan trabaho(mga numero, variable at kanilang kapangyarihan), mga multiplier pwede nating bawasan.

Binabawasan namin ang mga numero sa pamamagitan ng kanilang pinakamalaking karaniwang divisor, iyon ay, sa pamamagitan ng pinakamalaking bilang, kung saan hinahati ang bawat isa sa mga numerong ito. Para sa 24 at 36 ito ay 12. Pagkatapos ng pagbabawas, 2 ang nananatili mula sa 24, at 3 mula sa 36.

Binabawasan namin ang mga degree sa pamamagitan ng degree na may pinakamababang index. Upang bawasan ang isang fraction ay nangangahulugan na hatiin ang numerator at denominator sa parehong divisor, at ibawas ang mga exponent.

Ang a² at a⁷ ay binabawasan sa a². Sa kasong ito, ang isa ay nananatili sa numerator ng a² (nagsusulat kami ng 1 lamang sa kaso kung kailan, pagkatapos ng pagbawas, wala nang iba pang mga kadahilanan na natitira. Mula sa 24, 2 ang natitira, kaya hindi kami nagsusulat ng 1 natitira mula sa a²). Mula sa a⁷, pagkatapos ng pagbabawas, nananatili ang a⁵.

ang b at b ay binabawasan ng b;

Ang c³º at c⁵ ay pinaikli sa c⁵. Ang natitira sa c³º ay c²⁵, mula sa c⁵ ay isa (hindi namin ito isinusulat). kaya,

Ang numerator at denominator ng algebraic fraction na ito ay mga polynomial. Hindi mo maaaring kanselahin ang mga tuntunin ng polynomials! (hindi mo maaaring bawasan, halimbawa, 8x² at 2x!). Upang bawasan ang fraction na ito, kailangan mo . Ang numerator ay may karaniwang salik na 4x. Alisin natin ito sa mga bracket:

Parehong may parehong salik ang numerator at denominator (2x-3). Binabawasan namin ang fraction sa pamamagitan ng salik na ito. Sa numerator nakakuha kami ng 4x, sa denominator - 1. Para sa 1 ari-arian algebraic fractions, ang fraction ay 4x.

Maaari mo lamang bawasan ang mga kadahilanan (hindi mo maaaring bawasan ang fraction na ito ng 25x²!). Samakatuwid, ang mga polynomial sa numerator at denominator ng fraction ay dapat na factorized.

Sa numerator - perpektong parisukat sums, ang denominator ay ang pagkakaiba ng mga parisukat. Pagkatapos ng agnas gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon, nakukuha namin ang:

Binabawasan namin ang fraction ng (5x+1) (upang gawin ito, i-cross out ang dalawa sa numerator bilang exponent, na iniiwan ang (5x+1)² (5x+1)):

Ang numerator ay may karaniwang kadahilanan na 2, alisin natin ito sa mga bracket. Ang denominator ay ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube:

Bilang resulta ng pagpapalawak, ang numerator at denominator ay nakatanggap ng parehong salik (9+3a+a²). Binabawasan namin ang bahagi nito:

Ang polynomial sa numerator ay binubuo ng 4 na termino. ang unang termino na may pangalawa, ang pangatlo ay ang ikaapat, at alisin ang karaniwang salik na x² mula sa mga unang bracket. Binubulok namin ang denominator gamit ang sum of cubes formula:

Sa numerator, kunin natin ang karaniwang salik (x+2) sa mga bracket:

Bawasan ang fraction ng (x+2):