Paano lutasin ang isang expression na may mga fraction. Wasto at hindi wastong mga praksiyon

Pagbabago ng ekspresyon. Detalyadong teorya (2019)

Pagbabago ng ekspresyon

Kadalasan naririnig natin ang hindi kasiya-siyang pariralang ito: "pasimplehin ang expression." Karaniwan, sa kasong ito, mayroon kaming ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Oo, mas madali," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain. Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa (lang!) ordinaryong numero(oo, sa impiyerno sa mga titik na iyon).

Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong mahawakan ang mga fraction at factor polynomial. Samakatuwid, una, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Basahin? Kung oo, handa ka na.

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon

Ngayon ay susuriin natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimple sa kanila ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Napagdaanan mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw ang mga titik sa matematika sa halip na mga numero. Magkatulad ang mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, sa kabuuan, tulad ng mga termino ay at.

Naalala?

Upang magdala ng mga katulad na termino ay nangangahulugang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa isa't isa at makakuha ng isang termino.

Ngunit paano natin pagsasama-samahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay. Halimbawa, ang liham ay isang upuan. Saka ano ang expression? Dalawang upuan at tatlong upuan, magkano ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito:

Upang hindi malito, hayaan ang iba't ibang mga titik na magpahiwatig ng iba't ibang mga bagay. Halimbawa, - ito ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ito ay isang mesa. Pagkatapos:

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients. Halimbawa, sa monomial ang coefficient ay pantay. At siya ay pantay-pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng katulad:

Mga halimbawa:

Magdala ng katulad:

Mga sagot:

2. (at magkatulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Ito ang kadalasang pinaka isang mahalagang bahagi sa pagpapasimple ng mga ekspresyon. Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ang nagreresultang expression ay dapat na salik, iyon ay, ipinakita bilang isang produkto. Ito ay lalong mahalaga sa mga fraction: pagkatapos ng lahat, upang mabawasan ang isang fraction, ang numerator at denominator ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga detalyadong pamamaraan ng pag-factor ng mga expression sa paksang "", kaya dito mo na lang tandaan kung ano ang iyong natutunan. Upang gawin ito, lutasin ang ilan mga halimbawa(isasaalang-alang):

Mga solusyon:

3. Pagbabawas ng fraction.

Buweno, ano ang maaaring mas maganda kaysa sa ekis ang bahagi ng numerator at denominator, at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Yan ang kagandahan ng abbreviation.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mo:

1) numerator at denominator i-factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan, maaari silang tanggalin.

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Gusto kong makatawag pansin sa isa tipikal na pagkakamali kapag binabawasan. Kahit na ang paksang ito ay simple, ngunit maraming mga tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi napagtatanto iyon putulin- ibig sabihin nito hatiin numerator at denominator sa parehong numero.

Walang pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay ang kabuuan.

Halimbawa: kailangan mong gawing simple.

Ginagawa ito ng ilan: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

"The smartest" will do this:.

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, kaya maaari mong bawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang salik ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi nabubulok sa mga salik.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay nabubulok sa mga kadahilanan, na nangangahulugan na maaari mong bawasan, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mong agad na hatiin sa pamamagitan ng:

Upang maiwasan ang mga ganitong pagkakamali, tandaan ang isang madaling paraan upang matukoy kung ang isang expression ay naka-factor:

Ang aritmetika na operasyon na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng expression ay ang "pangunahing". Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik, at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay nabulok sa mga kadahilanan). Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi naka-factor (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang ayusin ito, lutasin ito sa iyong sarili ng ilang mga halimbawa:

Mga sagot:

1. Sana hindi ka agad sumugod sa pagputol at? Hindi pa rin sapat na "bawasan" ang mga yunit tulad nito:

Ang unang hakbang ay dapat na i-factorize:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isang kilalang operasyon: naghahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator. Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominator at ay coprime, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominator ay:

3. Dito, una sa lahat, ginagawa namin ang mga halo-halong praksiyon sa mga hindi wasto, at pagkatapos - ayon sa karaniwang pamamaraan:

Ito ay medyo ibang bagay kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa simple:

a) Ang mga denominator ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: nakakahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator:

ngayon sa numerator maaari kang magdala ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

b) Ang mga denominator ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng common denominator na walang mga titik:

Una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang kadahilanan;

Pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, una naming i-decompose ang mga ito sa mga simpleng salik:

Binibigyang-diin namin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isinusulat namin ang mga karaniwang salik nang isang beses at idinaragdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang karaniwang denominador.

Bumalik tayo sa mga titik. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

Binubulok namin ang mga denominator sa mga salik;

tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na multiplier;

isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

Pinaparami namin ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) i-decompose ang mga denominator sa mga salik:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:

Kaya ang karaniwang denominador ay narito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominador, lahat lamang ng may iba't ibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

hanggang sa

sa degree.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan mo ang iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Ano ang natutunan?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag nagdala ka ng mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Dito at paramihin. At i-multiply sa:

Ang mga expression na hindi maaaring i-factor ay tatawaging "elementarya na mga kadahilanan". Halimbawa, ay isang elementary factor. - masyadong. Ngunit - hindi: ito ay nabubulok sa mga kadahilanan.

Paano naman ang expression? Elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang "").

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang expression na may mga titik ay isang analogue pangunahing mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At ganoon din ang gagawin natin sa kanila.

Nakikita natin na ang parehong denominador ay may salik. Mapupunta ito sa common denominator sa kapangyarihan (tandaan kung bakit?).

Ang multiplier ay elementarya, at hindi nila ito pagkakatulad, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Bago i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

ayos! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Gaya ng dati, pinapa-factor namin ang mga denominator. Sa unang denominator, inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang karaniwang mga kadahilanan. Ngunit kung titingnang mabuti, sila ay magkatulad na ... At ang totoo ay:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, naging ganito: sa loob ng bracket, ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras, ang tanda sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon dinadala namin sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Ngayon suriin natin.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

Narito dapat nating tandaan ang isa pang bagay - ang pagkakaiba ng mga cube:

Pakitandaan na ang denominator ng pangalawang fraction ay hindi naglalaman ng formula na "square of the sum"! Ang parisukat ng kabuuan ay magiging ganito:

Ang A ay ang tinatawag na hindi kumpletong parisukat ng kabuuan: ang pangalawang termino dito ay ang produkto ng una at huli, at hindi ang kanilang dobleng produkto. Ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ay isa sa mga salik sa pagpapalawak ng pagkakaiba ng mga cube:

Paano kung mayroon nang tatlong fraction?

Oo, pareho! Una sa lahat, titiyakin namin na ang maximum na bilang ng mga salik sa mga denominator ay pareho:

Bigyang-pansin: kung babaguhin mo ang mga palatandaan sa loob ng isang bracket, ang sign sa harap ng fraction ay magbabago sa kabaligtaran. Kapag binago natin ang mga senyales sa pangalawang bracket, ang tanda sa harap ng fraction ay mababaligtad muli. Bilang resulta, siya (ang tanda sa harap ng fraction) ay hindi nagbago.

Isinulat namin nang buo ang unang denominator sa karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay idinagdag namin dito ang lahat ng mga kadahilanan na hindi pa naisulat, mula sa pangalawa, at pagkatapos ay mula sa pangatlo (at iba pa, kung mayroong higit pang mga praksyon). Ibig sabihin, ito ay ganito:

Hmm ... Sa mga fraction, malinaw kung ano ang gagawin. Ngunit paano ang dalawa?

Ito ay simple: alam mo kung paano magdagdag ng mga fraction, tama? Kaya, kailangan mong tiyakin na ang deuce ay magiging isang fraction! Tandaan: ang fraction ay isang division operation (ang numerator ay hinati sa denominator, kung sakaling bigla mong nakalimutan). At walang mas madali kaysa sa paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng. Sa kasong ito, ang numero mismo ay hindi magbabago, ngunit magiging isang fraction:

Eksakto kung ano ang kailangan!

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na. At nasa unahan natin ang pinakasimpleng, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang numeric na expression? Tandaan, isinasaalang-alang ang halaga ng naturang expression:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, pinaalalahanan kita.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong maraming multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari mong gawin ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang nakakulong na expression ay sinusuri nang wala sa ayos!

Kung maraming bracket ang pinarami o hinati sa bawat isa, sinusuri muna namin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung may iba pang panaklong sa loob ng mga bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Ano ang unang dapat gawin kapag sinusuri ang isang expression? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit hindi iyon katulad ng isang ekspresyon na may mga titik, hindi ba?

Hindi, pareho lang! Sa halip na mga pagpapatakbo ng aritmetika ay kinakailangan na gawin ang mga pagpapatakbo ng algebraic, iyon ay, ang mga pagpapatakbo na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para sa factorization, kailangan mong gamitin ang i o alisin lang ang common factor sa mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa isang expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinasimple namin ang expression sa mga bracket. Doon mayroon tayong pagkakaiba ng mga fraction, at ang layunin natin ay i-represent ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idagdag:

Imposibleng pasimplehin ang expression na ito, lahat ng mga kadahilanan dito ay elementarya (naaalala mo pa ba kung ano ang ibig sabihin nito?).

2) Nakukuha namin ang:

Multiplikasyon ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas madali.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

Well yun lang. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Una sa lahat, tukuyin natin ang pamamaraan. Una, idagdag natin ang mga fraction sa mga bracket, sa halip na dalawang fraction, isa ang lalabas. Pagkatapos ay gagawin natin ang paghahati ng mga fraction. Well, idinagdag namin ang resulta sa huling fraction. Bibilangin ko nang eskematiko ang mga hakbang:

Ngayon ay ipapakita ko ang buong proseso, tinting ang kasalukuyang aksyon na may pula:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang sandali na mayroon tayong mga katulad, ipinapayong dalhin ang mga ito kaagad.

2. Ganoon din sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling magkaroon ng pagkakataon na bawasan, dapat itong gamitin. Ang pagbubukod ay ang mga fraction na iyong idinaragdag o ibinabawas: kung mayroon na silang parehong mga denominator, kung gayon ang pagbawas ay dapat na iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang mga gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At nangako sa simula pa lang:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong halimbawa, kung gayon ikaw, isaalang-alang, ay pinagkadalubhasaan ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

CONVERSION NG PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) tulad ng mga termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
Factorization: inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, pag-aaplay, atbp.
Pagbawas ng fraction: ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, kung saan ang halaga ng fraction ay hindi nagbabago.
1) numerator at denominator i-factorize
2) kung may mga karaniwang salik sa numerator at denominator, maaari silang i-cross out.
MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring bawasan!
Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
;
Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
;

Mga kahulugan ng fractional expression

Ngayon sa aralin ay magsisimula tayong pag-aralan ang mga fractional expression. Upang magsimula, magsimula tayo sa isang kahulugan, at alamin kung aling mga expression ang karaniwang tinatawag na fractional.

Ang mga fractional na expression ay isang quotient ng 2 mga numero o mga expression, ang dibisyon ng sign na kung saan ay ipinahiwatig ng isang bar.

Sa isang fractional expression, ang expression sa ibaba ng fractional bar na ito ay tinatawag na denominator.

Sa isang fractional expression, ang mga numerator at denominator nito ay anumang mga numero o literal na expression.

Narito ang ilang halimbawa ng fractional expression:

Pati na rin sa mga ordinaryong fraction, at may fractional na expression, lahat ng aksyon ay ginagawa ayon sa parehong mga patakaran.

Ano ang isang simpleng fraction

Bago matuto tungkol sa fractional expression at paggawa mga praktikal na gawain Tandaan natin kung ano ang mga fraction.

Ang isang simpleng fraction ay tinatawag na bahagi ng isang yunit o ilang bahagi nito.

Ang denominator ng isang simpleng fraction ay ang halaga pantay na bahagi, na naghahati sa yunit. At ang numerator ng isang simpleng fraction ay ang bilang ng mga bahaging kinuha.

Ang isang simpleng fraction ay nakasulat tulad nito:

Ito ay sumusunod mula dito na ang isang fraction ay isang numero na binubuo ng isang buong bilang ng mga fraction ng isa.

Makasaysayang background sa mathematical fractions

Ngayon tingnan natin ang kasaysayan at subukang alamin kung kailan nakilala ng mga tao ang konsepto ng isang fraction. Naturally, ang konsepto na ito ay hindi kaagad lumitaw, sa una ang isang tao ay bumuo ng isang ideya ng buong numero, at pagkatapos ay naunawaan ng mga tao ang "kalahati".

sa simula sinaunang tao Natuto akong magbilang ng mga bagay, ngunit kalaunan ay naunawaan ko kung paano sukatin ang haba, oras, lawak at gumawa ng mga kalkulasyon kapag bumibili at nagbebenta. At sa mga kasong ito ay hindi laging posible na gamitin lamang mga integer, ngunit kinakailangang isaalang-alang ang ilang bahagi o pagbabahagi. Ito ay kung paano unti-unting lumitaw ang mga fraction.

Ang makasaysayang bakas ng calculus ng mga fraction ay nakita sa paggamit ng maraming tao. Sa sinaunang Babylon, may sukat na isang talento, na 60 min, isang min ay katumbas ng 60 shekel. Iyon ay, maaari nating sabihin na ang sexagesimal fraction ay ginamit sa Babylonian system ng mga kalkulasyon.

Ang mga sinaunang Romano ay gumamit ng mga duodecimal fraction dahil mayroon sila sistema ng timbang ang isang "ase" ay hinati sa 12 onsa. Kaya, ang fraction na kilala natin bilang 1/12 ng mga Romano na tinatawag na "onsa", at "1/8" ay tinawag na "isa at kalahating onsa."

Alam din ng mga Indian ang mga ordinaryong fraction, ngunit bahagyang naiiba ang mga ito sa aming mga fraction, dahil walang fractional line ang mga Indian. Ang mga Greek ay may sariling talaan ng mga fraction. Isinulat nila ang denominator sa itaas at ang numerator sa ibaba. Madalas din nilang ginagamit ang naturang record bilang 3 5x - nangangahulugan ito ng three-fifths. Ngunit sa Russian, ang terminong "fraction" ay nagmula sa pandiwa na "crush", break, hatiin sa mga bahagi at malawakang ginagamit lamang noong VIII century. Sa mga unang aklat-aralin sa matematika, sa halip na mga praksyon, ginamit ang pangalang "mga sirang numero".

Takdang aralin

Magbigay ng mga sagot sa mga sumusunod na tanong:

1. Ano ang mga hakbang na kailangang gawin upang mahanap ang isang fraction ng isang numero?
2. Anong mga paraan ang alam mo sa paghahanap ng isang numero sa pamamagitan ng fractional value nito?
3. Bumuo ng panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction.
4. Bumuo ng panuntunan para sa paghahati ng mga ordinaryong fraction.
5. Anong mga expression ang tinatawag na fractional?
6. Paano naiiba ang fractional expression sa iba?

Ang gawain

Bibigyan ka ng iba't ibang uri ng mga expression, piliin mula sa kanila ang mga fractional na expression.

Lutasin ang mga problema:

1. Si Tanya ay nagbabasa ng isang kawili-wiling libro at nakabasa na ng 32 na pahina, na 2/3 ng buong libro. Ilang pahina ang nasa aklat na ito?

2. Labing-apat na taong gulang si Denis. Ang kanyang edad ay 2/7 ng edad ng kanyang ama. Lutasin ang problema at sagutin, ilang taon na ang ama ni Denis?

Pagbubuo ng Gawain: Hanapin ang halaga ng expression (mga aksyon na may mga fraction).

Ang gawain ay bahagi ng pagsusulit sa matematika pangunahing antas para sa grade 11 sa number 1 (Actions with fractions).

Tingnan natin kung paano malulutas ang gayong mga problema gamit ang mga halimbawa.

Halimbawa ng Gawain 1:

Hanapin ang halaga ng expression na 5/4 + 7/6: 2/3.

Sagot: 3

Halimbawa ng Gawain 2:

Hanapin ang halaga ng expression (3.9 - 2.4) ∙ 8.2

Sagot: 12.3

Halimbawa ng Gawain 3:

Hanapin ang halaga ng expression na 27 ∙ (1/3 - 4/9 - 5/27).

Kalkulahin natin ang halaga ng expression. Upang gawin ito, tinukoy namin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon: unang multiplikasyon at paghahati, pagkatapos ay pagdaragdag at pagbabawas. Sa kasong ito, ang mga aksyon sa mga bracket ay isinasagawa bago ang mga aksyon sa labas ng mga bracket. At gagawin namin ang mga kinakailangang aksyon sa tamang pagkakasunud-sunod:

Sagot: -8

Halimbawa ng Gawain 4:

Hanapin ang halaga ng expression na 2.7 / (1.4 + 0.1)

Sagot: 1.8

Halimbawa ng Gawain 5:

Hanapin ang halaga ng expression na 1 / (1/9 - 1/12).

Sagot: 36

Halimbawa ng Gawain 6:

Hanapin ang halaga ng expression (0.24 ∙ 10^6) / (0.6 ∙ 10^4).

Sagot: 40

Halimbawa ng Gawain 7:

Hanapin ang halaga ng expression (1.23 ∙ 45.7) / (12.3 ∙ 0.457).

Sagot: 10

Halimbawa ng Gawain 8:

Hanapin ang halaga ng expression (728^2 - 26^2): 754.

Nasa ika-5 baitang mataas na paaralan ipinakilala ang representasyon ng fraction. Ang fraction ay isang numero na binubuo ng isang buong bilang ng mga fraction ng mga yunit. Ang mga ordinaryong praksiyon ay isinusulat bilang ±m/n, ang bilang na m ay tinatawag na numerator ng fraction, ang bilang n ang denominator nito. Kung ang module ng denominator ay mas malaki kaysa sa module ng numerator, sabihin ang 3/4, kung gayon ang fraction ay tinatawag na tama, kung hindi man ito ay mali. Ang isang fraction ay maaaring maglaman ng isang integer na bahagi, say 5 * (2/3). Ang iba't ibang mga operasyon ng arithmetic ay pinapayagan para sa mga fraction.

Pagtuturo

1. Pagbawas sa isang common denominator. Hayaang ibigay ang mga fraction a / b at c / d. - Una sa lahat, ang bilang ng LCM (least common multiple) para sa mga denominator ng mga fraction ay matatagpuan. - Ang numerator at denominator ng una ang fraction ay pinarami ng LCM / b - Ang numerator at denominator ng 2nd fraction ay pinarami ng LCM / d Isang halimbawa ang ipinapakita sa figure. Upang ihambing ang mga fraction, dapat itong bawasan sa isang common denominator, pagkatapos ay ihambing ang mga numerator. Sabihin ang 3/4< 4/5, см. рисунок.

2. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Upang mahanap ang kabuuan ng 2 ordinaryong fraction, dapat na bawasan ang mga ito sa isang common denominator, pagkatapos ay idagdag ang mga numerator, na iiwan ang denominator na hindi nagbabago. Ang isang halimbawa ng pagdaragdag ng mga fraction 1/2 at 1/3 ay ipinapakita sa figure. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga fraction ay matatagpuan sa katulad na paraan, pagkatapos mahanap ang karaniwang denominator, ang mga numerator ng mga fraction ay ibabawas, tingnan ang halimbawa sa figure.

3. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction. Kapag nagpaparami ng mga ordinaryong fraction, ang mga numerator at denominator ay pinarami sa kanilang mga sarili. Upang hatiin ang dalawang fraction, kailangan mong makuha ang kapalit ng 2nd fraction, i.e. palitan ang numerator at denominator nito sa mga lugar, at pagkatapos ay i-multiply ang mga resultang fraction.

Module kumakatawan sa walang kondisyong halaga ng expression. Ang mga panaklong ay ginagamit upang magtalaga ng isang module. Ang mga bilanggo sa kanila ang mga halaga ay kinuha modulo. Ang solusyon ng module ay upang palawakin ang mga bracket ng module ayon sa ilang mga patakaran at hanapin ang hanay ng mga halaga ng expression. Sa karamihan ng mga kaso, ang isang module ay pinalawak sa paraang ang expression ng submodule ay tumatagal sa isang serye ng mga positibo at negatibong halaga, kabilang ang zero. Batay sa mga katangiang ito ng modyul, ang mga karagdagang equation at hindi pagkakapantay-pantay ng inisyal na expression ay pinagsama-sama at nalulutas.

Pagtuturo

1. Isulat ang inisyal na equation na may modulus. Upang malutas ito, palawakin ang module. Isaalang-alang ang anumang pagpapahayag ng submodule. Tukuyin kung anong halaga ng hindi pamilyar na mga halaga ang kasama dito, ang expression sa modular bracket ay naglalaho.

2. Upang gawin ito, i-equate ang submodule expression sa zero at hanapin ang solusyon ng resultang equation. Isulat ang mga nahanap na halaga. Sa parehong paraan, tukuyin ang mga halaga ng hindi pamilyar na variable para sa buong module sa ibinigay na equation.

3. Isaalang-alang ang mga kaso kung saan umiiral ang mga variable kapag sila ay mahusay mula sa zero. Upang gawin ito, isulat ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay para sa lahat ng mga module ng paunang equation. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay dapat sumaklaw sa lahat ng wastong halaga ng variable sa linya ng numero.

4. Gumuhit ng isang linya ng numero at i-plot ang mga nagresultang halaga dito. Ang mga halaga ng variable sa zero module ay magsisilbing mga hadlang sa paglutas ng modular equation.

5. Sa paunang equation, kinakailangan upang palawakin ang mga modular bracket, binabago ang tanda ng expression upang ang mga halaga ng variable ay tumutugma sa mga ipinapakita sa linya ng numero. Lutasin ang resultang equation. Suriin ang nahanap na halaga ng variable laban sa limitasyon na itinakda ng module. Kung ang solusyon ay nakakatugon sa kondisyon, kung gayon ito ay totoo. Ang mga ugat na hindi nakakatugon sa mga paghihigpit ay dapat itapon.

6. Katulad nito, palawakin ang mga module ng paunang pagpapahayag, isinasaalang-alang ang pag-sign, at kalkulahin ang mga ugat ng nagresultang equation. Isulat ang lahat ng nakuhang mga ugat na nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng hadlang.

Ang mga fractional na numero ay pinapayagang ipahayag sa iba't ibang anyo ang eksaktong halaga ng dami. Sa pamamagitan ng mga praksyon, pinapayagang magsagawa ng parehong mga operasyong matematikal tulad ng sa mga integer: pagbabawas, pagdaragdag, pagpaparami at paghahati. Upang matutunan kung paano magdesisyon mga fraction, kailangan mong tandaan ang ilan sa kanilang mga tampok. Depende sila sa uri mga fraction, ang pagkakaroon ng isang integer na bahagi, isang karaniwang denominator. Ang ilan mga operasyon sa aritmetika ang mga pagbitay sa ibang pagkakataon ay nangangailangan ng pagbawas ng bahaging bahagi ng kabuuan.

Kakailanganin mong

- calculator

Pagtuturo

1. Tingnang mabuti ang mga numerong ito. Kung may mga decimal at mali sa mga fraction, minsan ay mas komportable na magsagawa muna ng mga aksyon na may mga decimal, at pagkatapos ay isalin ang mga ito sa maling anyo. Maaari mong isalin ang mga fraction sa form na ito sa simula, pagsusulat ng halaga sa huli kaysa sa kuwit sa numerator at paglalagay ng 10 sa denominator. Kung kinakailangan, bawasan ang fraction sa pamamagitan ng paghahati ng mga numero sa itaas at ibaba ng bar sa isang divisor. Mga fraction kung saan inilabas buong bahagi, dalhin ito sa maling anyo sa pamamagitan ng pagpaparami nito sa denominator at pagdaragdag ng numerator sa kabuuan. Mga binigay na halaga ay magiging bagong numerator mga fraction. Upang i-highlight ang buong bahagi mula sa una ay hindi tama mga fraction, hatiin ang numerator sa denominator. Isulat ang kabuuan sa kaliwa ng mga fraction. At ang natitira sa dibisyon ay nagiging bagong numerator, ang denominator mga fraction habang hindi nagbabago. Para sa mga fraction na may bahaging integer, pinahihintulutang magsagawa ng mga aksyon nang hiwalay, una para sa integer, at pagkatapos ay para sa mga fractional na bahagi. Sabihin nating ang kabuuan ay 1 2/3 at 2 ? maaaring kalkulahin sa dalawang paraan: - Pag-convert ng mga fraction sa maling anyo: - 1 2/3 + 2 ? \u003d 5/3 + 11/4 \u003d 20/12 + 33/12 \u003d 53/12 \u003d 4 5/12;- Hiwalay na pagbubuo ng integer at fractional na bahagi ng mga termino: - 1 2/3 + 2 ? \u003d (1 + 2) + (2/3 + ?) \u003d 3 + (8/12 + 9/12) \u003d 3 + 17/12 \u003d 3 + 1 5/12 \u003d 4 5/12.

2. Para sa mga hindi wastong fraction na may magkakaibang mga halaga sa ilalim ng bar, hanapin ang karaniwang denominator. Sabihin nating para sa 5/9 at 7/12 ang common denominator ay 36. Para dito, ang numerator at denominator ng una mga fraction kailangan mong i-multiply ng 4 (ito ay magiging 28/36), at ang ika-2 - sa pamamagitan ng 3 (ito ay magiging 15/36). Ngayon ay maaari mong gawin ang mga kinakailangang kalkulasyon.

3. Kung kakalkulahin mo ang kabuuan o pagkakaiba ng mga fraction, isulat muna ang nahanap na common denominator sa ilalim ng linya. Isagawa ang mga kinakailangang aksyon sa pagitan ng mga numerator, at isulat ang resulta sa bagong linya mga fraction. Kaya, ang bagong numerator ay ang pagkakaiba o ang kabuuan ng mga numerator ng orihinal na mga fraction.

4. Upang kalkulahin ang produkto ng mga praksiyon, i-multiply ang mga numerator ng mga praksiyon at isulat ang kabuuan bilang kapalit ng numerator ng panghuling mga fraction. Gawin ang parehong para sa mga denominador. Kapag hinahati ang isa mga fraction isulat ang isang fraction sa isa pa, at pagkatapos ay i-multiply ang numerator nito sa denominator ng ika-2. Kasabay nito, ang denominator ng una mga fraction pinarami nang naaayon sa numerator 2. Sa kasong ito, ang orihinal na coup 2nd mga fraction(divider). Ang huling fraction ay bubuo ng mga resulta ng pagpaparami ng mga numerator at denominator ng parehong mga fraction. Madaling matutunan kung paano mag-solve mga fraction, nakasulat sa kondisyon sa anyo ng isang "apat na palapag" mga fraction. Kung ang isang linya ay naghihiwalay sa dalawa mga fraction, muling isulat ang mga ito gamit ang isang ":" delimiter, at magpatuloy sa ordinaryong paghahati.

5. Upang makuha ang huling resulta, bawasan ang resultang fraction sa pamamagitan ng paghahati sa numerator at denominator sa isang integer, ang pinakamalaking pinapayagan sa kasong ito. Kasabay nito, ang mga integer na numero ay dapat nasa itaas at ibaba ng linya.

Tandaan!
Huwag magsagawa ng mga operasyong aritmetika na may mga praksyon na ang mga denominador ay naiiba. Pumili ng isang numero na kapag ang numerator at denominator ng anumang fraction ay pinarami nito, bilang isang resulta, ang mga denominator ng parehong mga fraction ay pantay.

Kapaki-pakinabang na payo
Kapag nagsusulat ng mga fractional na numero, ang dibidendo ay nakasulat sa itaas ng linya. Ang dami na ito ay tinutukoy bilang numerator ng isang fraction. Sa ilalim ng linya, nakasulat ang divisor, o denominator, ng fraction. Sabihin nating isa at kalahating kilo ng bigas sa anyo ng isang fraction ay isusulat sa sumusunod na paraan: 1? kilo ng bigas. Kung ang denominator ng isang fraction ay 10, ito ay tinatawag na decimal fraction. Sa kasong ito, ang numerator (dividend) ay nakasulat sa kanan ng buong bahagi na pinaghihiwalay ng kuwit: 1.5 kg ng bigas. Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, ang naturang fraction ay palaging pinapayagan na isulat sa maling anyo: 1 2/10 kg ng patatas. Upang gawing mas madali, maaari mong bawasan ang mga halaga ng numerator at denominator sa pamamagitan ng paghahati sa kanila sa isang buong numero. Sa halimbawang ito, katanggap-tanggap ang paghahati sa 2. Ang resulta ay 1 1/5 kg ng patatas. Siguraduhin na ang mga numero kung saan ka magsasagawa ng mga operasyon sa aritmetika ay ipinakita sa parehong paraan.

Kung magsusulat ka coursework o nagko-compile ka ng ilang iba pang dokumento na naglalaman ng kinakalkula na bahagi, pagkatapos ay hindi ka makakawala sa mga fractional na expression, na kailangan ding i-print. Kung paano ito gagawin, isasaalang-alang pa natin.

Pagtuturo

1. Mag-click nang isang beses sa item ng menu na "Ipasok", pagkatapos ay piliin ang item na "Simbolo". Ito ay isa sa mga pinaka-primitive na paraan ng pagpasok. mga fraction magtext. Matatapos na ito mamaya. Ang set ng mga ready-made na character ay mayroon mga fraction. Ang kanilang numero, gaya ng dati, ay maliit, ngunit kung kailangan mong isulat ang ? sa teksto, at hindi 1/2, kung gayon ang isang katulad na opsyon ang magiging pinakamainam para sa iyo. Bilang karagdagan, ang bilang ng mga fraction na character ay maaari ding depende sa font. Halimbawa, para sa Times New Roman font, ang mga fraction ay bahagyang mas maliit kaysa sa parehong Arial. Pag-iba-iba ang mga font upang mahanap ang karamihan ang pinakamahusay na pagpipilian, pagdating sa mga primitive na expression.

2. Mag-click sa menu item na "Insert" at piliin ang sub-item na "Object". Makakakita ka ng isang window na may listahan ng mga wastong bagay para sa pagpasok. Pumili sa kanila ng Microsoft Equation 3.0. Tutulungan ka ng app na ito na mag-type mga fraction. At hindi lang mga fraction, ngunit mahirap din na mga expression sa matematika na naglalaman ng iba't ibang mga function ng trigonometriko at iba pang mga elemento. I-double click ang bagay na ito gamit ang kaliwang pindutan ng mouse. Makakakita ka ng isang window na naglalaman ng maraming mga simbolo.

3. Upang mag-print ng isang fraction, piliin ang simbolo na kumakatawan sa isang fraction na may walang laman na numerator at denominator. Mag-click dito nang isang beses gamit ang kaliwang pindutan ng mouse. May lalabas na karagdagang menu, na tumutukoy sa scheme ng mga fraction. Maaaring may ilang mga pagpipilian. Piliin ang pinakaangkop para sa iyo at i-click ito nang isang beses gamit ang kaliwang pindutan ng mouse.

4. I-type ang numerator at denominator mga fraction lahat ng kinakailangang datos. Ito ay dadaloy nang mas natural sa sheet ng dokumento. Ang fraction ay ilalagay bilang isang hiwalay na bagay, isa na, kung kinakailangan, ay maaaring ilipat sa anumang lugar sa dokumento. Maaari kang mag-print ng multi-storey mga fraction. Upang gawin ito, ilagay sa numerator o denominator (kung kailangan mo) ng isa pang bahagi na mas gusto mo sa window ng parehong aplikasyon.

Mga kaugnay na video

Ang isang algebraic fraction ay isang expression ng form na A / B, kung saan ang mga titik A at B ay tumutukoy sa anumang mga numerical o alphabetic na expression. Kadalasan ang numerator at denominator ay in algebraic fractions ay may napakalaking anyo, ngunit ang mga operasyong may ganitong mga praksyon ay dapat gawin ayon sa parehong mga patakaran tulad ng mga operasyong may mga ordinaryong, kung saan ang numerator at denominator ay mga buong regular na numero.

Pagtuturo

1. Kung bibigyan ng halo-halong mga fraction, i-convert ang mga ito sa irregular (isang fraction kung saan mas malaki ang numerator kaysa sa denominator): i-multiply ang denominator sa integer na bahagi at idagdag ang numerator. Kaya ang bilang na 2 1/3 ay magiging 7/3. Upang gawin ito, i-multiply ang 3 sa 2 at magdagdag ng isa.

2. Kung kailangan mong isalin desimal sa maling isa, pagkatapos ay isipin na ito ay paghahati ng isang numero na walang kuwit sa isa na may kasing daming mga zero gaya ng may mga numero pagkatapos ng kuwit. Sabihin nating ang numero 2.5 ay kinakatawan bilang 25/10 (kung babawasan mo ito, makakakuha ka ng 5/2), at ang numero 3.61 - bilang 361/100. Ang pagtatrabaho sa mga hindi wastong fraction ay kadalasang mas madali kaysa sa halo-halong mga fraction o decimal.

3. Kung ang mga fraction ay may magkaparehong denominador at kailangan mong idagdag ang mga ito, idagdag ang mga numerator nang primitive; ang mga denominador ay nananatiling hindi nagbabago.

4. Kung kailangan mong ibawas ang mga fraction na may magkaparehong denominator mula sa numerator ng unang fraction, ibawas ang numerator ng 2nd fraction. Ang mga denominador ay hindi rin nagbabago.

5. Kung kailangan mong magdagdag ng mga fraction o ibawas ang isang fraction mula sa isa pa, at mayroon silang iba't ibang denominator, dalhin ang mga fraction sa isang common denominator. Upang gawin ito, hanapin ang numero na magiging least common multiple (LCM) ng parehong denominator o ilan kung ang mga fraction ay mas malaki sa 2. Ang NOC ay ang bilang na hahatiin ng mga denominador ng lahat ng ibinigay na fraction. Halimbawa, para sa 2 at 5 ang numerong ito ay 10.

6. Pagkatapos ng equal sign, gumuhit ng pahalang na linya at isulat ang numerong ito (NOC) sa denominator. Magdagdag ng mga karagdagang salik sa bawat termino - ang bilang kung saan kailangan mong i-multiply ang numerator at ang denominator upang makuha ang LCM. Stepwise multiply ang mga numerator sa pamamagitan ng mga additive factor, pinapanatili ang tanda ng karagdagan o pagbabawas.

7. Kalkulahin ang kabuuan, bawasan ito kung kinakailangan, o i-highlight ang buong bahagi. Halimbawa - kailangang tiklop? At?. Ang LCM para sa parehong mga fraction ay 12. Pagkatapos ang karagdagang salik sa unang fraction ay 4, sa ika-2 - 3. Kabuuan: ?+?=(1 4+1 3)/12=7/12.

8. Kung ang isang halimbawa ng pagpaparami ay ibinigay, i-multiply ang mga numerator nang sama-sama (ito ang magiging numerator ng kabuuan) at ang mga denominador (ito ang magiging denominator ng kabuuan). Sa kasong ito, hindi nila kailangang bawasan sa isang karaniwang denominator.

9. Upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong baligtarin ang pangalawang fraction at i-multiply ang mga fraction. Ibig sabihin, a/b: c/d = a/b d/c.

10. I-factor ang numerator at denominator kung kinakailangan. Sabihin nating, ilipat ang unibersal na kadahilanan sa labas ng bracket o palawakin ito ayon sa mga formula ng pinaikling multiplikasyon, upang pagkatapos nito ay posible, kung kinakailangan, upang bawasan ang numerator at denominator ng GCD - ang pinakamababang karaniwang divisor.

Tandaan!
Magdagdag ng mga numero na may mga numero, mga titik ng parehong uri na may mga titik ng parehong uri. Sabihin nating imposibleng magdagdag ng 3a at 4b, na nangangahulugan na ang kanilang kabuuan o pagkakaiba ay mananatili sa numerator - 3a±4b.

Mga kaugnay na video

Kaya, kung ang isang numerical expression ay binubuo ng mga numero at mga palatandaan +, −, · at:, pagkatapos ay sa pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan, kailangan mo munang magsagawa ng multiplikasyon at paghahati, at pagkatapos ay pagdaragdag at pagbabawas, na magbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang ninanais. halaga ng pagpapahayag.

Tingnan natin ang ilang halimbawa para sa paglilinaw.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng expression na 14−2·15:6−3 .

Solusyon.

Upang mahanap ang halaga ng isang expression, kailangan mong isagawa ang lahat ng mga pagkilos na tinukoy dito alinsunod sa tinatanggap na pagkakasunud-sunod ng pagsasagawa ng mga pagkilos na ito. Una, sa pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan, nagsasagawa kami ng multiplikasyon at paghahati, nakukuha namin 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Ngayon, sa pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan, ginagawa namin ang natitirang mga aksyon: 14−5−3=9−3=6 . Kaya natagpuan namin ang halaga ng orihinal na expression, ito ay katumbas ng 6 .

Sagot:

14−2 15:6−3=6 .

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng expression.

Solusyon.

Sa halimbawang ito, kailangan muna nating gawin ang multiplication 2 (−7) at division na may multiplication sa expression. Pag-alala kung paano , makikita natin ang 2 (−7)=−14 . At upang magsagawa ng mga aksyon sa expression, una , pagkatapos , at isagawa ang: .

Pinapalitan namin ang mga nakuhang halaga sa orihinal na expression: .

Ngunit paano kapag mayroong isang numeric na expression sa ilalim ng root sign? Upang makuha ang halaga ng naturang ugat, kailangan mo munang hanapin ang halaga ng root expression, kasunod ng tinatanggap na pagkakasunud-sunod ng mga operasyon. Halimbawa, .

Sa mga numerical expression, ang mga ugat ay dapat na itinuturing bilang ilang mga numero, at ipinapayong agad na palitan ang mga ugat ng kanilang mga halaga, at pagkatapos ay hanapin ang halaga ng nagresultang expression na walang mga ugat, na gumaganap ng mga aksyon sa tinatanggap na pagkakasunud-sunod.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng expression na may mga ugat.

Solusyon.

Una, hanapin ang halaga ng ugat . Upang gawin ito, una, kinakalkula namin ang halaga ng radikal na expression, mayroon kami −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. At pangalawa, nakita natin ang halaga ng ugat.

Ngayon kalkulahin natin ang halaga ng pangalawang ugat mula sa orihinal na expression: .

Sa wakas, mahahanap natin ang halaga ng orihinal na expression sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ugat sa kanilang mga halaga: .

Sagot:

Kadalasan, upang gawing posible na mahanap ang halaga ng isang expression na may mga ugat, kailangan mo munang i-convert ito. Magpakita tayo ng isang halimbawang solusyon.

Halimbawa.

Ano ang kahulugan ng pagpapahayag .

Solusyon.

Hindi namin mapapalitan ang ugat ng tatlo ng eksaktong halaga nito, na hindi nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ang halaga ng expression na ito sa paraang inilarawan sa itaas. Gayunpaman, maaari nating kalkulahin ang halaga ng expression na ito sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga simpleng pagbabago. Naaangkop pagkakaiba ng formula ng mga parisukat: . Kung isasaalang-alang, nakukuha natin . Kaya ang halaga ng orihinal na expression ay 1 .

Sagot:

Na may mga degree

Kung ang base at exponent ay mga numero, kung gayon ang kanilang halaga ay kinakalkula sa pamamagitan ng kahulugan ng antas, halimbawa, 3 2 =3 3=9 o 8 −1 =1/8 . Mayroon ding mga entry kapag ang base at / o exponent ay ilang expression. Sa mga kasong ito, kailangan mong hanapin ang halaga ng expression sa base, ang halaga ng expression sa exponent, at pagkatapos ay kalkulahin ang halaga ng degree mismo.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng isang expression na may mga kapangyarihan ng form 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3.5−2 1/4.

Solusyon.

Ang orihinal na expression ay may dalawang kapangyarihan 2 3 4−10 at (1−1/2) 3.5−2 1/4 . Ang kanilang mga halaga ay dapat kalkulahin bago isagawa ang natitirang mga hakbang.

Magsimula tayo sa kapangyarihan 2 3·4−10 . Ang indicator nito ay naglalaman ng numeric na expression, kalkulahin natin ang halaga nito: 3·4−10=12−10=2 . Ngayon ay mahahanap mo na ang halaga ng degree mismo: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

Mayroong mga expression sa base at exponent (1−1/2) 3.5−2 1/4, kinakalkula namin ang kanilang mga halaga upang mahanap ang halaga ng degree sa ibang pagkakataon. Meron kami (1−1/2) 3.5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Ngayon ay bumalik kami sa orihinal na expression, palitan ang mga degree sa loob nito ng kanilang mga halaga, at hanapin ang halaga ng expression na kailangan namin: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3.5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

Sagot:

2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3.5−2 1/4 =6.

Ito ay nagkakahalaga ng noting na may mga mas karaniwang mga kaso kapag ito ay ipinapayong magsagawa ng isang paunang pagpapasimple ng pagpapahayag na may mga kapangyarihan sa base.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng isang expression .

Solusyon.

Sa paghusga sa mga exponents sa expression na ito, eksaktong mga halaga hindi makukuha ang mga degree. Subukan nating gawing simple ang orihinal na expression, marahil makakatulong ito upang mahanap ang halaga nito. Meron kami

Sagot:

Ang mga kapangyarihan sa mga expression ay madalas na sumasabay sa logarithms, ngunit pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng mga halaga ng mga expression na may logarithms sa isa sa.

Paghahanap ng halaga ng isang expression na may mga fraction

Ang mga numeric na expression sa kanilang talaan ay maaaring maglaman ng mga fraction. Kapag nais mong mahanap ang halaga ng naturang expression, ang mga fraction maliban sa mga ordinaryong fraction ay dapat mapalitan ng kanilang mga halaga bago magsagawa ng iba pang mga hakbang.

Ang numerator at denominator ng mga fraction (na iba sa mga ordinaryong fraction) ay maaaring maglaman ng ilang mga numero at expression. Upang kalkulahin ang halaga ng naturang fraction, kailangan mong kalkulahin ang halaga ng expression sa numerator, kalkulahin ang halaga ng expression sa denominator, at pagkatapos ay kalkulahin ang halaga ng fraction mismo. Ang pagkakasunud-sunod na ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang fraction a/b, kung saan ang a at b ay ilang mga expression, ay sa katunayan ay isang quotient ng form (a):(b) , dahil .

Isaalang-alang natin ang isang halimbawang solusyon.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng isang expression na may mga fraction .

Solusyon.

Sa orihinal na numerical expression, tatlong fraction At . Upang mahanap ang halaga ng orihinal na expression, kailangan muna natin ang mga fraction na ito at palitan ang mga ito ng kanilang mga halaga. Gawin natin.

Ang numerator at denominator ng isang fraction ay mga numero. Upang mahanap ang halaga ng naturang fraction, pinapalitan namin ang fractional bar ng isang division sign, at ginagawa ang pagkilos na ito: .

Ang numerator ng fraction ay naglalaman ng expression na 7−2 3 , ang halaga nito ay madaling mahanap: 7−2 3=7−6=1 . Sa ganitong paraan, . Maaari kang magpatuloy sa paghahanap ng halaga ng ikatlong bahagi.

Ang ikatlong bahagi sa numerator at denominator ay naglalaman ng mga numeric na expression, samakatuwid, kailangan mo munang kalkulahin ang kanilang mga halaga, at ito ay magbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang halaga ng fraction mismo. Meron kami .

Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga sa orihinal na expression, at isagawa ang mga natitirang hakbang: .

Sagot:

Kadalasan, kapag hinahanap ang mga halaga ng mga expression na may mga fraction, kailangan mong gumanap pagpapasimple ng fractional expression, batay sa pagganap ng mga aksyon na may mga fraction at sa pagbabawas ng mga fraction.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng isang expression .

Solusyon.

Ang ugat ng lima ay hindi ganap na nakuha, kaya upang mahanap ang halaga ng orihinal na expression, pasimplehin muna natin ito. Para dito alisin ang irrationality sa denominator unang bahagi: . Pagkatapos nito, ang orihinal na expression ay kukuha ng anyo . Matapos ibawas ang mga fraction, mawawala ang mga ugat, na magbibigay-daan sa amin na mahanap ang halaga ng unang ibinigay na expression:.

Sagot:

Sa logarithms

Kung ang numeric na expression ay naglalaman ng , at kung posible na maalis ang mga ito, pagkatapos ito ay ginagawa bago magsagawa ng iba pang mga aksyon. Halimbawa, kapag hinahanap ang halaga ng expression log 2 4+2 3 , ang logarithm ng log 2 4 ay pinapalitan ng halaga nito 2 , pagkatapos nito ang iba pang mga operasyon ay ginaganap sa karaniwang pagkakasunud-sunod, iyon ay, log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Kapag mayroong mga numerical expression sa ilalim ng sign ng logarithm at / o sa base nito, kung gayon ang kanilang mga halaga ay unang matatagpuan, pagkatapos kung saan ang halaga ng logarithm ay kinakalkula. Halimbawa, isaalang-alang ang isang expression na may logarithm ng form . Sa base ng logarithm at sa ilalim ng sign nito ay mga numerical na expression, makikita natin ang kanilang mga halaga: . Ngayon nahanap namin ang logarithm, pagkatapos ay kumpletuhin namin ang mga kalkulasyon: .

Kung ang logarithms ay hindi eksaktong kinakalkula, kung gayon ang paunang pagpapasimple nito gamit ang . Sa kasong ito, kailangan mong magkaroon ng isang mahusay na utos ng materyal ng artikulo. pagbabago ng logarithmic expression.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng isang expression na may logarithms .

Solusyon.

Magsimula tayo sa pagkalkula ng log 2 (log 2 256) . Dahil 256=2 8 , pagkatapos ay mag-log 2 256=8 , samakatuwid log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Maaaring pagsama-samahin ang logarithms log 6 2 at log 6 3. Ang kabuuan ng logarithms log 6 2+log 6 3 ay katumbas ng logarithm ng product log 6 (2 3) , kaya log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Ngayon ay haharapin natin ang mga fraction. Upang magsimula sa, muling isulat namin ang base ng logarithm sa denominator sa form karaniwang fraction bilang 1/5 , pagkatapos nito ay ginagamit namin ang mga katangian ng logarithms, na magpapahintulot sa amin na makuha ang halaga ng fraction:
.

Ito ay nananatiling lamang upang palitan ang mga resulta na nakuha sa orihinal na expression at tapusin ang paghahanap ng halaga nito:

Sagot:

Paano mahahanap ang halaga ng isang trigonometric expression?

Kapag ang isang numeric na expression ay naglalaman ng o atbp., ang kanilang mga halaga ay kinakalkula bago magsagawa ng iba pang mga aksyon. Kung nasa ilalim ng karatula trigonometriko function Kung mayroong mga numerical na expression, pagkatapos ay ang kanilang mga halaga ay unang kinakalkula, pagkatapos ay natagpuan ang mga halaga ng trigonometriko function.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng isang expression .

Solusyon.

Bumaling sa artikulo, nakukuha namin at cosπ=−1 . Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa orihinal na expression, ito ay tumatagal ng anyo . Upang mahanap ang halaga nito, kailangan mo munang magsagawa ng exponentiation, at pagkatapos ay tapusin ang mga kalkulasyon: .

Sagot:

Dapat pansinin na ang pagkalkula ng mga halaga ng mga expression na may mga sine, cosine, atbp. madalas ay nangangailangan ng nauna mga pagbabagong-anyo trigonometriko expression .

Halimbawa.

Ano ang halaga ng trigonometric expression .

Solusyon.

Ibahin natin ang orihinal na expression gamit ang , sa kasong ito kailangan natin ang double angle cosine formula at ang sum cosine formula:

Ang mga pagbabagong ginawa ay nakatulong sa amin na mahanap ang halaga ng expression.

Sagot:

Pangkalahatang kaso

Sa pangkalahatang kaso, ang isang numeric na expression ay maaaring maglaman ng mga ugat, degree, fraction, at anumang function, at bracket. Ang paghahanap ng mga halaga ng naturang mga expression ay binubuo sa pagsasagawa ng mga sumusunod na aksyon:

unang ugat, degree, fraction, atbp. ay pinalitan ng kanilang mga halaga,
karagdagang mga aksyon sa panaklong,
at sa pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan, ang natitirang mga operasyon ay isinasagawa - pagpaparami at paghahati, na sinusundan ng pagdaragdag at pagbabawas.

Ang mga aksyon sa itaas ay isinasagawa hanggang sa makuha ang pangwakas na resulta.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng isang expression .

Solusyon.

Ang anyo ng expression na ito ay medyo kumplikado. Sa expression na ito, nakikita natin ang isang fraction, roots, degrees, sine at logarithm. Paano mahahanap ang kahulugan nito?

Sa paglipat sa kahabaan ng talaan mula kaliwa pakanan, nakatagpo kami ng isang bahagi ng form . Alam natin iyan kapag nakikitungo sa mga fraction kumplikadong uri, kailangan nating hiwalay na kalkulahin ang halaga ng numerator, hiwalay - ang denominator, at, sa wakas, hanapin ang halaga ng fraction.

Sa numerator mayroon tayong ugat ng anyo . Upang matukoy ang halaga nito, kailangan mo munang kalkulahin ang halaga ng radical expression . May sine dito. Mahahanap lamang natin ang halaga nito pagkatapos kalkulahin ang halaga ng expression . Ito ang magagawa natin: . Pagkatapos mula saan at .

Sa denominator, ang lahat ay simple: .

Sa ganitong paraan, .

Pagkatapos palitan ang resultang ito sa orihinal na expression, kukuha ito ng form . Ang resultang expression ay naglalaman ng degree. Upang mahanap ang halaga nito, kailangan mo munang hanapin ang halaga ng tagapagpahiwatig, mayroon kami .

Kaya, .

Sagot:

Kung hindi posible na kalkulahin ang eksaktong mga halaga ng mga ugat, degree, atbp., pagkatapos ay maaari mong subukang alisin ang mga ito gamit ang anumang mga pagbabagong-anyo, at pagkatapos ay bumalik sa pagkalkula ng halaga ayon sa tinukoy na pamamaraan.

Mga Makatwirang Paraan para Kalkulahin ang Mga Halaga ng Mga Ekspresyon

Ang pagkalkula ng mga halaga ng mga numerical na expression ay nangangailangan ng pare-pareho at katumpakan. Oo, kinakailangang sumunod sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na naitala sa mga nakaraang talata, ngunit hindi ito dapat gawin nang walang taros at mekanikal. Ang ibig sabihin nito ay madalas na posible na i-rationalize ang proseso ng paghahanap ng halaga ng isang expression. Halimbawa, ang ilang mga katangian ng mga aksyon na may mga numero ay nagbibigay-daan sa iyo upang makabuluhang pabilisin at pasimplehin ang paghahanap ng halaga ng isang expression.

Halimbawa, alam natin itong katangian ng multiplikasyon: kung isa sa mga salik sa produkto sero, kung gayon ang halaga ng produkto ay zero. Gamit ang pag-aari na ito, maaari naming agad na sabihin na ang halaga ng expression 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2.2)(45 36−2 4+456:3 43) ay sero. Kung susundin natin ang karaniwang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon, kailangan muna nating kalkulahin ang mga halaga ng masalimuot na mga expression sa mga bracket, at ito ay aabutin ng maraming oras, at ang resulta ay magiging zero pa rin.

Maginhawa din na gamitin ang katangian ng pagbabawas pantay na mga numero: kung ibawas mo ang isang pantay na numero mula sa isang numero, ang resulta ay magiging zero. Ang property na ito ay maaaring isaalang-alang nang mas malawak: ang pagkakaiba ng dalawang magkaparehong numerical na expression ay katumbas ng zero. Halimbawa, nang hindi kinakalkula ang halaga ng mga expression sa mga bracket, mahahanap mo ang halaga ng expression (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), ito ay katumbas ng zero, dahil ang orihinal na expression ay ang pagkakaiba ng magkatulad na mga expression.

Ang magkatulad na mga pagbabago ay maaaring mag-ambag sa makatwirang pagkalkula ng mga halaga ng mga expression. Halimbawa, maaaring maging kapaki-pakinabang ang isang pagpapangkat ng mga termino at salik, ngunit madalas ay ang pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket. Kaya't ang halaga ng expression na 53 5+53 7−53 11+5 ay napakadaling mahanap pagkatapos alisin ang factor 53 sa mga bracket: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Ang direktang pagkalkula ay tatagal ng mas maraming oras.

Sa pagtatapos ng talatang ito, bigyang-pansin natin ang makatwirang diskarte sa pagkalkula ng mga halaga ng mga expression na may mga fraction - ang parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator ng fraction ay nabawasan. Halimbawa, ang pagbabawas ng parehong mga expression sa numerator at denominator ng isang fraction nagbibigay-daan sa iyo upang agad na mahanap ang halaga nito, na 1/2 .

Paghahanap ng halaga ng isang literal na expression at isang expression na may mga variable

Ang kahulugan ng isang literal na expression at isang expression na may mga variable ay matatagpuan para sa tiyak setpoints mga titik at baryabol. Iyon ay, pinag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng halaga ng isang literal na expression para sa mga ibinigay na halaga ng titik o paghahanap ng halaga ng isang expression na may mga variable para sa mga napiling variable na halaga.

tuntunin ang paghahanap ng halaga ng isang literal na expression o isang expression na may mga variable para sa mga ibinigay na halaga ng mga titik o napiling mga halaga ng mga variable ay ang mga sumusunod: sa orihinal na expression, kailangan mong palitan ang ibinigay na mga halaga ng mga titik o variable, at kalkulahin ang halaga ng resultang numeric expression, ito ang nais na halaga.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng expression na 0.5 x−y para sa x=2.4 at y=5 .

Solusyon.

Upang mahanap ang kinakailangang halaga ng expression, kailangan mo munang palitan ang mga variable na halaga na ito sa orihinal na expression, at pagkatapos ay gawin ang mga sumusunod na aksyon: 0.5 2.4−5=1.2−5=−3.8 .

Sagot:

−3,8 .

Sa konklusyon, tandaan namin na kung minsan ang pagbabago ng mga literal na expression at expression na may mga variable ay nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang kanilang mga halaga, anuman ang mga halaga ng mga titik at variable. Halimbawa, ang expression na x+3−x ay maaaring gawing simple upang maging 3 . Mula dito maaari nating tapusin na ang halaga ng expression na x + 3 - x ay katumbas ng 3 para sa anumang mga halaga ng variable x mula sa saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga (ODZ) . Isa pang halimbawa: ang halaga ng expression ay 1 para sa lahat ng positibong halaga ng x , kaya ang lugar pinahihintulutang halaga ang variable x sa orihinal na expression ay ang set mga positibong numero, at ang pagkakapantay-pantay ay nananatili sa domain na ito.

Bibliograpiya.

Math: pag-aaral. para sa 5 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21st ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: may sakit. ISBN 5-346-00699-0.
Math. Baitang 6: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [N. Oo. Vilenkin at iba pa]. - 22nd ed., Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: aklat-aralin para sa 7 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: Baitang 9: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2009. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.