Ano ang mga pangunahing kadahilanan. Pagbulok ng mga numero sa mga pangunahing kadahilanan, pamamaraan at mga halimbawa ng pagkabulok

Ano ang ibig sabihin ng hatiin sa pangunahing mga kadahilanan? Paano ito gagawin? Ano ang matututuhan sa pag-decompose ng isang numero sa prime factors? Ang mga sagot sa mga tanong na ito ay inilalarawan ng mga tiyak na halimbawa.

Mga Kahulugan:

Ang prime number ay isang numero na may eksaktong dalawang magkaibang divisors.

Ang pinagsama-samang numero ay isang numero na mayroong higit sa dalawang divisors.

mabulok natural na numero sa mga kadahilanan ay nangangahulugang kumakatawan dito bilang isang produkto ng mga natural na numero.

Ang pagsasaalang-alang ng isang natural na numero sa mga pangunahing kadahilanan ay nangangahulugan na kinakatawan ito bilang isang produkto ng mga pangunahing numero.

Mga Tala:

• Sa pagpapalawak ng isang prime number, ang isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng isa, at ang isa ay katumbas ng numerong ito mismo.
• Walang saysay na pag-usapan ang pagkabulok ng pagkakaisa sa mga salik.
• Ang isang pinagsama-samang numero ay maaaring mabulok sa mga salik, na ang bawat isa ay iba sa 1.

Kapag naagnas malalaking numero para sa mga pangunahing kadahilanan gumamit ng notasyon ng hanay:

	Ang pinakamaliit na prime number na 216 ay nahahati sa ay 2. Hatiin ang 216 sa 2. Nakukuha natin ang 108.
	Ang resultang numero 108 ay mahahati sa 2. Gawin natin ang paghahati. Nakakuha tayo ng 54 bilang resulta.
	Ayon sa pagsubok ng divisibility ng 2, ang bilang na 54 ay nahahati ng 2. Pagkatapos hatiin, makakakuha tayo ng 27.
	Ang numero 27 ay nagtatapos sa isang kakaibang numero 7. Ito Hindi nahahati ng 2. Ang susunod na prime number ay 3. Hatiin ang 27 sa 3. Nakuha natin ang 9. Ang pinakamaliit na prime Ang bilang na ang 9 ay nahahati sa ay 3. Tatlo ang mismong isang prime number, na nahahati sa sarili nito at ng isa. Hatiin natin ang 3 sa ating sarili. Bilang resulta, nakakuha kami ng 1.

• Ang isang numero ay nahahati lamang ng mga prime number na bahagi ng pagpapalawak nito.
• Ang bilang ay nahahati lamang ng mga iyon pinagsama-samang mga numero, na ang agnas sa mga pangunahing kadahilanan ay ganap na nakapaloob dito.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

Hanapin ang quotient ng paghahati ng numero a sa bilang b, kung ang mga numerong ito ay nabubulok sa prime factor gaya ng sumusunod a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Bibliograpiya

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematics 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathematics ika-6 na baitang. - Gymnasium. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Sa likod ng mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika. - M.: Enlightenment, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Mga gawain para sa kurso ng matematika baitang 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Isang manwal para sa mga mag-aaral ng ika-6 na baitang ng MEPhI correspondence school. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Interlocutor textbook para sa mga baitang 5-6 mataas na paaralan. - M .: Edukasyon, Aklatan ng Guro sa Matematika, 1989.

1. Internet portal Matematika-na.ru ().
2. Internet portal Math-portal.ru ().

Takdang aralin

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematics 6. - M.: Mnemozina, 2012. No. 127, No. 129, No. 141.
2. Iba pang mga gawain: No. 133, No. 144.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Sa artikulong ito makikita mo ang lahat ng kinakailangang impormasyon na sumasagot sa tanong, kung paano i-factorize ang isang numero. Unang binigay Pangkalahatang ideya sa pagkabulok ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan, ang mga halimbawa ng pagpapalawak ay ibinigay. Ipinakita pa kanonikal na anyo pagkabulok ng isang numero sa prime factor. Pagkatapos nito, ibibigay ang isang algorithm para sa pag-decompose ng mga arbitrary na numero sa prime factor, at ibibigay ang mga halimbawa ng mga nabubulok na numero gamit ang algorithm na ito. Isinasaalang-alang din mga alternatibong paraan, na nagbibigay-daan sa iyong mabilis na mabulok ang maliliit na integer sa mga pangunahing salik gamit ang mga divisibility sign at isang multiplication table.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng pag-factor ng isang numero sa prime factor?

Una, tingnan natin kung ano ang mga pangunahing kadahilanan.

Malinaw na dahil ang salitang "mga kadahilanan" ay naroroon sa pariralang ito, kung gayon ang produkto ng ilang mga numero ay nagaganap, at ang paglilinaw ng salitang "kalakasan" ay nangangahulugan na ang bawat kadahilanan ay isang pangunahing numero. Halimbawa, sa isang produkto ng anyong 2 7 7 23 mayroong apat na pangunahing salik: 2 , 7 , 7 at 23 .

Ano ang ibig sabihin ng pag-factor ng isang numero sa prime factor?

Nangangahulugan ito na ang ibinigay na numero ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto ng mga pangunahing kadahilanan, at ang halaga ng produktong ito ay dapat na katumbas ng orihinal na numero. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang produkto ng tatlong prime number 2 , 3 at 5 , ito ay katumbas ng 30 , kaya ang factorization ng numero 30 sa prime factor ay 2 3 5 . Karaniwan, ang agnas ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan ay nakasulat bilang isang pagkakapantay-pantay, sa aming halimbawa ay magiging ganito: 30=2 3 5 . Hiwalay, binibigyang-diin namin na ang mga pangunahing salik sa pagpapalawak ay maaaring maulit. Ito ay malinaw na inilalarawan ng sumusunod na halimbawa: 144=2 2 2 2 3 3 . Ngunit ang representasyon ng form na 45=3 15 ay hindi isang decomposition sa prime factors, dahil ang number 15 ay composite.

Ang sumusunod na tanong ay lumitaw: "At anong mga numero ang maaaring mabulok sa pangunahing mga kadahilanan"?

Sa paghahanap ng sagot dito, ipinakita namin ang sumusunod na pangangatwiran. Ang mga pangunahing numero, ayon sa kahulugan, ay kabilang sa mga higit sa isa. Dahil sa katotohanang ito at , maaari itong mapagtatalunan na ang produkto ng ilang pangunahing mga kadahilanan ay isang integer positibong numero lampas sa pagkakaisa. Samakatuwid, ang factorization ay nagaganap lamang para sa mga positive integer na mas malaki sa 1.

Ngunit lahat ba ng mga integer ay mas malaki sa isang salik sa mga pangunahing salik?

Malinaw na walang paraan upang mabulok ang mga simpleng integer sa pangunahing mga kadahilanan. Ito ay dahil ang mga prime number ay mayroon lamang dalawang positibong divisors, isa at ang sarili nito, kaya hindi sila maaaring katawanin bilang isang produkto ng dalawa o higit pa mga pangunahing numero. Kung ang isang integer z ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga prime number a at b, kung gayon ang konsepto ng divisibility ay magbibigay-daan sa amin upang tapusin na ang z ay nahahati ng parehong a at b, na imposible dahil sa pagiging simple ng numerong z. Gayunpaman, pinaniniwalaan na ang anumang pangunahing numero ay ang mismong pagkabulok nito.

Paano naman ang mga composite number? Nabubulok ba ang mga composite number sa prime factors, at lahat ba ng composite numbers ay napapailalim sa naturang decomposition? Ang isang apirmatibong sagot sa isang bilang ng mga tanong na ito ay ibinibigay ng pangunahing teorama ng arithmetic. Ang pangunahing theorem ng arithmetic ay nagsasaad na ang anumang integer a na mas malaki sa 1 ay maaaring mabulok sa produkto ng prime factor p 1 , p 2 , ..., pn , habang ang decomposition ay may anyo a=p 1 p 2 .. .pn , at ito ang agnas ay natatangi, kung hindi natin isasaalang-alang ang pagkakasunud-sunod ng mga salik

Canonical decomposition ng isang numero sa prime factor

Sa pagpapalawak ng isang numero, ang mga pangunahing kadahilanan ay maaaring ulitin. Ang pag-uulit ng mga pangunahing kadahilanan ay maaaring isulat nang mas compact gamit ang . Hayaang mangyari ang prime factor p 1 s 1 beses sa decomposition ng numero a, ang prime factor p 2 - s 2 beses, at iba pa, p n - s n beses. Kung gayon ang prime factorization ng numero a ay maaaring isulat bilang a=p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. Ang anyo ng pagsulat na ito ay ang tinatawag na canonical factorization ng isang numero sa prime factor.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng canonical decomposition ng isang numero sa prime factor. Ipaalam sa amin ang agnas 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, ang canonical form nito ay 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Ang canonical decomposition ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang lahat ng mga divisors ng numero at ang bilang ng mga divisors ng numero.

Algorithm para sa pag-decompose ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan

Upang matagumpay na makayanan ang gawain ng pag-decomposing ng isang numero sa pangunahing mga kadahilanan, kailangan mong maging napakahusay sa impormasyon sa artikulong simple at pinagsama-samang mga numero.

Ang kakanyahan ng proseso ng pagpapalawak ng isang positibong integer at higit sa isang numero a ay malinaw mula sa patunay ng pangunahing teorama ng arithmetic. Ang kahulugan ay ang sunud-sunod na paghahanap ng pinakamaliit na prime divisors p 1 , p 2 , …,pn ng mga numero a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , na nagbibigay-daan sa iyong makakuha ng serye ng equalities a=p 1 · a 1 , kung saan a 1 = a:p 1 , a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2 , kung saan a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 p 2 … pn an , kung saan an =a n-1:pn . Kapag ang isang n =1 ay nakuha, ang pagkakapantay-pantay na a=p 1 ·p 2 ·…·p n ay magbibigay sa atin ng kinakailangang agnas ng numerong a sa prime factor. Dito ay dapat ding tandaan na p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Nananatili itong humarap sa paghahanap ng pinakamaliit na prime divisors sa bawat hakbang, at magkakaroon tayo ng algorithm para sa pag-decompose ng isang numero sa prime factor. Tutulungan tayo ng talahanayan ng prime number na makahanap ng mga prime divisors. Ipakita natin kung paano ito gamitin upang makuha ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong z .

Sunud-sunod kaming kumukuha ng mga prime number mula sa talahanayan ng mga prime number (2 , 3 , 5 , 7 , 11 at iba pa) at hinahati ang ibinigay na numero z sa kanila. Ang unang prime number kung saan ang z ay pantay na nahahati ay ang pinakamaliit nitong prime divisor. Kung ang numerong z ay prime, ang pinakamaliit na prime divisor nito ay ang numerong z mismo. Dapat ding alalahanin dito na kung ang z ay hindi isang prime number, ang pinakamaliit na prime divisor nito ay hindi lalampas sa numero , kung saan - mula sa z . Kaya, kung kabilang sa mga prime number na hindi hihigit sa , walang isang solong divisor ng numerong z, pagkatapos ay maaari nating tapusin na ang z ay isang prime number (higit pa tungkol dito ay nakasulat sa seksyon ng teorya sa ilalim ng heading ang numerong ito ay prime o composite ).

Halimbawa, ipakita natin kung paano hanapin ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong 87. Kinukuha namin ang numero 2. Hatiin ang 87 sa 2, makakakuha tayo ng 87:2=43 (pahinga. 1) (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo). Iyon ay, kapag hinahati ang 87 sa 2, ang natitira ay 1, kaya ang 2 ay hindi isang divisor ng numerong 87. Kinukuha namin ang susunod na prime number mula sa talahanayan ng mga prime number, ito ang numero 3 . Hinahati natin ang 87 sa 3, makakakuha tayo ng 87:3=29. Kaya ang 87 ay pantay na nahahati ng 3, kaya ang 3 ay ang pinakamaliit na prime divisor ng 87.

Tandaan na sa pangkalahatang kaso, upang ma-factorize ang numerong a, kailangan namin ng talahanayan ng mga prime number hanggang sa isang numero na hindi bababa sa . Kakailanganin nating sumangguni sa talahanayang ito sa bawat hakbang, kaya kailangan natin itong nasa kamay. Halimbawa, para ma-factor ang numerong 95, kakailanganin namin ng talahanayan ng mga prime number hanggang 10 (dahil ang 10 ay mas malaki kaysa sa ). At para mabulok ang numerong 846 653, kakailanganin mo na ng talahanayan ng mga prime number hanggang 1,000 (dahil ang 1,000 ay mas malaki kaysa).

Mayroon na tayong sapat na impormasyong maisusulat algorithm para sa pag-factor ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan. Ang algorithm para sa pagpapalawak ng numero a ay ang mga sumusunod:

• Ang sunud-sunod na pag-uuri sa mga numero mula sa talahanayan ng mga prime number, makikita natin ang pinakamaliit na prime divisor p 1 ng numero a, pagkatapos ay kalkulahin natin ang isang 1 =a:p 1 . Kung ang a 1 =1 , kung gayon ang numero a ay prime, at ito mismo ang pagkabulok nito sa prime factor. Kung ang isang 1 ay katumbas ng 1, mayroon tayong a=p 1 ·a 1 at pumunta sa susunod na hakbang.
• Nahanap namin ang pinakamaliit na prime divisor p 2 ng numerong a 1 , para dito ay sunud-sunod naming inuri-uriin ang mga numero mula sa talahanayan ng mga prime number, simula sa p 1 , pagkatapos ay kinakalkula namin ang a 2 =a 1:p 2 . Kung ang a 2 =1, kung gayon ang nais na pagkabulok ng numero a sa prime factor ay may anyo na a=p 1 ·p 2 . Kung ang isang 2 ay katumbas ng 1, mayroon tayong a=p 1 ·p 2 ·a 2 at pumunta sa susunod na hakbang.
• Sa pamamagitan ng mga numero mula sa talahanayan ng mga primes, simula sa p 2 , makikita natin ang pinakamaliit na prime divisor p 3 ng numerong a 2 , pagkatapos ay kalkulahin natin ang isang 3 =a 2:p 3 . Kung a 3 =1, kung gayon ang nais na agnas ng numero a sa prime factor ay may anyo na a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Kung ang isang 3 ay katumbas ng 1, mayroon tayong a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 at pumunta sa susunod na hakbang.
• Hanapin ang pinakamaliit na prime divisor p n ng numerong a n-1 sa pamamagitan ng pag-uuri sa mga primes, na nagsisimula sa p n-1 , pati na rin ang a n =a n-1:p n , at ang a n ay katumbas ng 1 . Ang hakbang na ito ay ang huling hakbang ng algorithm, dito natin nakukuha ang kinakailangang decomposition ng numero a sa prime factor: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Ang lahat ng mga resulta na nakuha sa bawat hakbang ng algorithm para sa decomposing isang numero sa mga pangunahing kadahilanan ay ipinakita para sa kalinawan sa anyo ng sumusunod na talahanayan, kung saan, sa kaliwa ng vertical bar, ang mga numero a, a 1, a 2, ..., an ay nakasulat nang sunud-sunod sa column, at sa kanan ng bar - ang katumbas na pinakamaliit na prime divisors p 1 , p 2 , …, pn .

Ito ay nananatiling lamang upang isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng paglalapat ng nakuha na algorithm sa decomposing mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Mga halimbawa ng pangunahing factorization

Ngayon ay susuriin namin nang detalyado mga halimbawa ng prime factorization. Kapag nabubulok, ilalapat namin ang algorithm mula sa nakaraang talata. Magsimula tayo sa mga simpleng kaso, at unti-unting gawing kumplikado ang mga ito upang harapin ang lahat ng posibleng mga nuances na lumitaw kapag nabubulok ang mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Halimbawa.

I-factor ang bilang na 78 sa prime factor.

Solusyon.

Nagsisimula kaming maghanap para sa unang pinakamaliit na prime divisor p 1 ng numero a=78 . Upang gawin ito, sisimulan namin ang sunud-sunod na pag-uri-uriin sa mga prime number mula sa talahanayan ng mga prime number. Kinukuha namin ang numero 2 at hinati namin ito ng 78, nakukuha namin ang 78:2=39. Ang numerong 78 ay hinati ng 2 nang walang natitira, kaya p 1 \u003d 2 ang unang natagpuang prime divisor ng numerong 78. Sa kasong ito a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Kaya napunta tayo sa pagkakapantay-pantay a=p 1 ·a 1 na may anyong 78=2·39 . Malinaw, ang isang 1 =39 ay iba sa 1 , kaya pumunta tayo sa pangalawang hakbang ng algorithm.

Ngayon hinahanap namin ang pinakamaliit na prime divisor p 2 ng numero a 1 =39 . Sinisimulan natin ang pagbilang ng mga numero mula sa talahanayan ng mga primes, simula sa p 1 =2 . Hatiin ang 39 sa 2, makakakuha tayo ng 39:2=19 (natitirang 1). Dahil ang 39 ay hindi pantay na nahahati ng 2, ang 2 ay hindi ang divisor nito. Pagkatapos ay kukunin natin ang susunod na numero mula sa talahanayan ng mga prime number (ang numero 3) at hatiin ito ng 39, makakakuha tayo ng 39:3=13. Samakatuwid, ang p 2 \u003d 3 ay ang pinakamaliit na prime divisor ng numero 39, habang ang isang 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. Mayroon tayong pagkakapantay-pantay a=p 1 p 2 a 2 sa anyong 78=2 3 13 . Dahil ang 2 =13 ay iba sa 1 , pupunta tayo sa susunod na hakbang ng algorithm.

Dito kailangan nating hanapin ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong a 2 =13. Sa paghahanap ng pinakamaliit na prime divisor p 3 ng numero 13, sunod-sunod nating pag-uuri-uriin ang mga numero mula sa talahanayan ng mga prime number, simula sa p 2 =3 . Ang bilang na 13 ay hindi nahahati ng 3, dahil ang 13:3=4 (pahinga. 1), gayundin ang 13 ay hindi nahahati ng 5, 7 at 11, dahil ang 13:5=2 (pahinga. 3), 13:7=1 (res. 6) at 13:11=1 (res. 2) . Ang susunod na prime number ay 13, at 13 ay nahahati nito nang walang nalalabi, samakatuwid, ang pinakamaliit na prime divisor p 3 ng numero 13 ay ang numerong 13 mismo, at a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Dahil ang isang 3 =1 , ang hakbang na ito ng algorithm ay ang huli, at ang nais na pagkabulok ng numero 78 sa prime factor ay may anyo na 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) .

Sagot:

78=2 3 13 .

Halimbawa.

Ipahayag ang bilang na 83,006 bilang produkto ng mga pangunahing salik.

Solusyon.

Sa unang hakbang ng algorithm para sa pag-factor ng isang numero sa prime factor, makikita natin ang p 1 =2 at a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , kung saan 83 006=2 41 503 .

Sa pangalawang hakbang, nalaman natin na ang 2 , 3 at 5 ay hindi mga pangunahing divisors ng numerong a 1 =41 503 , at ang numerong 7 ay, dahil 41 503: 7=5 929 . Mayroon tayong p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Kaya, 83 006=2 7 5 929 .

Ang pinakamaliit na prime divisor ng isang 2 =5 929 ay 7 , dahil 5 929:7=847 . Kaya, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , kung saan 83 006=2 7 7 847 .

Sa karagdagang makikita natin na ang pinakamaliit na prime divisor p 4 ng numerong a 3 =847 ay katumbas ng 7 . Pagkatapos ay a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , kaya 83 006=2 7 7 7 121 .

Ngayon nakita natin ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong a 4 =121, ito ay ang numerong p 5 =11 (dahil ang 121 ay nahahati ng 11 at hindi nahahati ng 7). Pagkatapos ay a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , at 83 006=2 7 7 7 11 11 .

Sa wakas, ang pinakamaliit na prime divisor ng isang 5 =11 ay p 6 =11 . Pagkatapos ay isang 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Dahil ang isang 6 =1 , ang hakbang na ito ng algorithm para sa pag-decompose ng isang numero sa prime factor ay ang huli, at ang nais na decomposition ay may anyo na 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Ang resultang nakuha ay maaaring isulat bilang isang canonical decomposition ng numero sa prime factor 83 006=2·7 3 ·11 2 .

Sagot:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 Ang 991 ay isang pangunahing numero. Sa katunayan, wala itong pangunahing divisor na hindi lalampas sa ( maaaring tinatayang bilang , dahil malinaw na 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Sagot:

897 924 289=937 967 991 .

Paggamit ng Divisibility Tests para sa Prime Factorization

Sa mga simpleng kaso, maaari mong i-decompose ang isang numero sa mga pangunahing kadahilanan nang hindi ginagamit ang algorithm ng decomposition mula sa unang talata ng artikulong ito. Kung ang mga numero ay hindi malaki, pagkatapos ay mabulok ang mga ito sa mga pangunahing kadahilanan, kadalasan ay sapat na upang malaman ang mga palatandaan ng divisibility. Nagbibigay kami ng mga halimbawa para sa paglilinaw.

Halimbawa, kailangan nating i-decompose ang numero 10 sa prime factor. Alam natin mula sa multiplication table na 2 5=10 , at ang mga numero 2 at 5 ay malinaw na prime, kaya ang prime factorization ng 10 ay 10=2 5 .

Isa pang halimbawa. Gamit ang multiplication table, nabubulok namin ang numero 48 sa prime factor. Alam natin na ang anim na walo ay apatnapu't walo, ibig sabihin, 48=6 8. Gayunpaman, hindi 6 o 8 ang mga pangunahing numero. Ngunit alam natin na dalawang beses tatlo ay anim, at dalawang beses apat ay walo, iyon ay, 6=2 3 at 8=2 4 . Pagkatapos ay 48=6 8=2 3 2 4 . Nananatiling tandaan na ang dalawang beses dalawa ay apat, pagkatapos ay makuha natin ang nais na agnas sa prime factor 48=2 3 2 2 2 . Isulat natin ang agnas na ito sa canonical form: 48=2 4 ·3 .

Ngunit kapag nabubulok ang numero 3400 sa pangunahing mga kadahilanan, maaari mong gamitin ang mga palatandaan ng divisibility. Ang mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 10, 100 ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang 3400 ay nahahati ng 100, habang ang 3400=34 100, at 100 ay nahahati ng 10, habang ang 100=10 10, samakatuwid, 3400=34 10 10. At sa batayan ng tanda ng divisibility sa pamamagitan ng 2, maaari itong mapagtatalunan na ang bawat isa sa mga kadahilanan 34, 10 at 10 ay nahahati ng 2, nakukuha natin 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Ang lahat ng mga kadahilanan sa nagresultang pagpapalawak ay simple, kaya ang pagpapalawak na ito ang ninanais. Ito ay nananatili lamang upang muling ayusin ang mga kadahilanan upang ang mga ito ay pumunta sa pataas na pagkakasunud-sunod: 3 400=2 2 2 5 5 17 . Isinulat din namin ang canonical decomposition ng numerong ito sa prime factor: 3 400=2 3 5 2 17 .

Kapag nabubulok ang isang naibigay na numero sa mga pangunahing kadahilanan, maaari mong gamitin ang parehong mga palatandaan ng divisibility at ang multiplication table. Katawanin natin ang bilang na 75 bilang produkto ng mga pangunahing kadahilanan. Ang tanda ng divisibility ng 5 ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang 75 ay nahahati ng 5, habang nakuha namin na 75=5 15. At mula sa multiplication table alam natin na 15=3 5 , samakatuwid, 75=5 3 5 . Ito ang nais na pagkabulok ng numero 75 sa pangunahing mga kadahilanan.

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya. atbp. Matematika. Baitang 6: aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon.
• Vinogradov I.M. Mga Batayan ng teorya ng numero.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teorya ng numero.
• Kulikov L.Ya. at iba pa.Koleksyon ng mga suliranin sa algebra at teorya ng numero: Teksbuk para sa mga mag-aaral ng fiz.-mat. mga espesyalidad ng mga institusyong pedagogical.

Ano ang ibig sabihin ng factorize? Nangangahulugan ito ng paghahanap ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng orihinal na numero.

Upang maunawaan kung ano ang ibig sabihin ng factorize, isaalang-alang ang isang halimbawa.

Isang halimbawa ng factoring ng isang numero

I-factor ang numero 8.

Ang numero 8 ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng 2 sa pamamagitan ng 4:

Kinakatawan ang 8 bilang isang produkto ng 2 * 4 at samakatuwid ay ang factorization.

Tandaan na hindi lamang ito ang factorization ng 8.

Pagkatapos ng lahat, ang 4 ay isinasama bilang mga sumusunod:

Mula dito 8 ay maaaring katawanin:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Suriin natin ang ating sagot. Hanapin natin kung ano ang katumbas ng factorization:

Ibig sabihin, natanggap namin ang orihinal na numero, tama ang sagot.

I-factor ang numerong 24

Paano i-factor ang numero 24?

Ang isang numero ay tinatawag na prime kung ito ay nahahati lamang ng 1 at mismo.

Ang numero 8 ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng 3 sa pamamagitan ng 8:

Dito isinasali ang numerong 24. Ngunit ang gawain ay nagsasabing "upang i-factor ang numero 24", i.e. kailangan natin ng mga pangunahing kadahilanan. At sa aming pagpapalawak, ang 3 ay isang pangunahing kadahilanan, at ang 8 ay hindi isang pangunahing kadahilanan.

Anong nangyari factorization? Ito ay isang paraan ng paggawa ng isang mahirap at kumplikadong halimbawa sa isang simple at maganda.) Napakalakas na trick! Ito ay nangyayari sa bawat hakbang kapwa sa elementarya na matematika at sa mas mataas na matematika.

Ang ganitong mga pagbabago sa matematikal na wika ay tinatawag na magkaparehong pagbabago ng mga ekspresyon. Sino ang wala sa paksa - maglakad sa link. Napakakaunti, simple at kapaki-pakinabang.) Ang kahulugan ng anumang magkatulad na pagbabago ay ang pagsulat ng ekspresyon sa ibang anyo habang pinapanatili ang kakanyahan nito.

Ibig sabihin mga factorization sobrang simple at naiintindihan. Mula mismo sa pamagat. Maaari mong kalimutan (o hindi alam) kung ano ang multiplier, ngunit maaari mong malaman na ang salitang ito ay nagmula sa salitang "multiply"?) Ang ibig sabihin ng Factoring ay: kumakatawan sa isang pagpapahayag bilang pagpaparami ng isang bagay sa isang bagay. Patawarin mo ako sa matematika at sa wikang Ruso ...) At iyon na.

Halimbawa, kailangan mong i-decompose ang numero 12. Maaari mong ligtas na isulat ang:

Kaya ipinakita namin ang numero 12 bilang isang multiplikasyon ng 3 sa 4. Pakitandaan na ang mga numero sa kanan (3 at 4) ay ganap na naiiba kaysa sa kaliwa (1 at 2). Ngunit alam natin na ang 12 at 3 4 pareho. Ang kakanyahan ng numero 12 mula sa pagbabagong-anyo hindi nagbago.

Posible bang mabulok ang 12 sa ibang paraan? Madali lang!

12=3 4=2 6=3 2 2=0.5 24=........

Ang mga pagpipilian sa agnas ay walang katapusan.

Ang pag-decompose ng mga numero sa mga kadahilanan ay isang kapaki-pakinabang na bagay. Malaki ang naitutulong nito, halimbawa, kapag nakikitungo sa mga ugat. Ngunit ang factorization ng algebraic expression ay hindi isang bagay na kapaki-pakinabang, ito ay - kailangan! Halimbawa lang:

Pasimplehin:

Yung hindi marunong magfactorize ng expression, magpahinga sa sideline. Sino ang nakakaalam kung paano - pinapasimple at nakakakuha ng:

Ang epekto ay kamangha-manghang, tama?) Sa pamamagitan ng paraan, ang solusyon ay medyo simple. Makikita mo para sa iyong sarili sa ibaba. O, halimbawa, tulad ng isang gawain:

Lutasin ang equation:

x 5 - x 4 = 0

Nagpasya sa isip, sa pamamagitan ng paraan. Sa tulong ng factorization. Sa ibaba ay malulutas natin ang halimbawang ito. Sagot: x 1 = 0; x2 = 1.

O, ang parehong bagay, ngunit para sa mga nakatatanda):

Lutasin ang equation:

Sa mga halimbawang ito, ipinakita ko pangunahing layunin factorizations: pagpapasimple ng fractional expression at solusyon ng ilang uri ng equation. Inirerekomenda kong tandaan ang panuntunan ng hinlalaki:

Kung mayroon tayong kahila-hilakbot na fractional expression, maaari nating subukang i-factor ang numerator at denominator. Kadalasan, ang fraction ay nababawasan at pinasimple.

Kung mayroon kaming isang equation sa harap namin, kung saan sa kanan ay zero, at sa kaliwa - hindi maintindihan kung ano, maaari mong subukang i-factor ang kaliwang bahagi. Minsan nakakatulong ito.)

Mga pangunahing pamamaraan ng factorization.

Narito ang mga pinakasikat na paraan:

4. Pagkabulok ng isang parisukat na trinomial.

Ang mga pamamaraang ito ay dapat tandaan. Nasa ganoong ayos. Ang mga kumplikadong halimbawa ay sinusuri para sa lahat ng posibleng paraan ng pagkabulok. At mas mahusay na mag-check in order, upang hindi malito ... Magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod.)

1. Pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket.

Simple at maaasahang paraan. Hindi ito nagiging masama sa kanya! It happens either well or not at all.) Samakatuwid, siya ang una. Nakakaintindi kami.

Alam ng lahat (naniniwala ako!) ang panuntunan:

a(b+c) = ab+ac

O, mas pangkalahatan:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Gumagana ang lahat ng pagkakapantay-pantay mula kaliwa hanggang kanan, at kabaliktaran, mula kanan hanggang kaliwa. Maaari kang sumulat:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Iyan ang buong punto ng paglalagay ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket.

Sa kaliwang bahagi ngunit - karaniwang salik para sa lahat ng termino. Pinarami ng lahat.) Tama ang pinaka ngunit ay na sa labas ng mga bracket.

Isasaalang-alang namin ang praktikal na aplikasyon ng pamamaraan na may mga halimbawa. Sa una, ang variant ay simple, kahit primitive.) Ngunit sa variant na ito ay markahan ko (sa berde) ang mga napakahalagang punto para sa anumang factorization.

Multiply:

ah+9x

Alin pangkalahatan ang multiplier ba sa parehong termino? X, siyempre! Aalisin namin ito sa mga bracket. Ginagawa namin ito. Agad naming isinusulat ang x sa labas ng mga bracket:

ax+9x=x(

At sa mga bracket ay isinusulat namin ang resulta ng paghahati bawat termino sa mismong x na ito. sa pagkakasunud-sunod:

Iyon lang. Siyempre, hindi kinakailangang magpinta sa gayong detalye, Ginagawa ito sa isip. Ngunit upang maunawaan kung ano ang, ito ay kanais-nais). Inaayos namin sa memorya:

Isinulat namin ang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket. Sa panaklong, isinusulat namin ang mga resulta ng paghahati ng lahat ng mga termino ayon sa napakakaraniwang kadahilanang ito. Sa pagkakasunud-sunod.

Dito namin pinalawak ang expression ah+9x para sa mga multiplier. Ginawa itong pagpaparami ng x sa (a + 9). Pansinin ko na sa orihinal na expression mayroon ding multiplikasyon, kahit dalawa: a x at 9 x. Ngunit ito hindi na factorized! Dahil bilang karagdagan sa multiplikasyon, ang expression na ito ay naglalaman din ng karagdagan, ang "+" sign! At sa ekspresyon x(a+9) walang iba kundi multiplikasyon!

Paano kaya!? - Naririnig ko ang galit na boses ng mga tao - At sa mga bracket!?)

Oo, mayroong karagdagan sa loob ng mga bracket. Ngunit ang trick ay na habang ang mga bracket ay hindi binuksan, isinasaalang-alang namin ang mga ito parang isang letra. At ginagawa namin ang lahat ng mga aksyon na may mga bracket sa kabuuan nito, parang isang letra. Sa ganitong diwa, sa pagpapahayag x(a+9) walang iba kundi pagpaparami. Ito ang buong punto ng factorization.

Oo nga pala, may paraan ba para masuri kung tama ang ginawa namin? Madali! Ito ay sapat na upang i-multiply pabalik kung ano ang kinuha out (x) sa pamamagitan ng mga bracket at makita kung ito ay nagtrabaho out orihinal pagpapahayag? Kung ito ay gumana, lahat ay tip-top!)

x(a+9)=ax+9x

Nangyari.)

Walang problema sa primitive na halimbawang ito. Ngunit kung mayroong ilang mga termino, at kahit na may iba't ibang mga palatandaan ... Sa madaling salita, ang bawat ikatlong mag-aaral ay nagkakagulo). Samakatuwid:

Kung kinakailangan, suriin ang factorization sa pamamagitan ng inverse multiplication.

Multiply:

3ax+9x

Naghahanap kami ng isang karaniwang kadahilanan. Well, lahat ay malinaw sa X, ito ay maaaring matiis. meron pa ba pangkalahatan salik? Oo! Ito ay isang trio. Maaari mo ring isulat ang expression na tulad nito:

3x+3 3x

Dito ay agad na malinaw na ang karaniwang kadahilanan ay magiging 3x. Dito natin ilalabas:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Maghiwa-hiwalay.

At ano ang mangyayari kung kukuha ka x lang? Normal lang, walang espesyal:

3ax+9x=x(3a+9)

Magiging factorization din ito. Ngunit sa kamangha-manghang prosesong ito, kaugalian na ilatag ang lahat hanggang sa huminto ito, habang may pagkakataon. Dito sa mga bracket ay may pagkakataon na kumuha ng triple. Kunin:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Ang parehong bagay, lamang sa isang karagdagang aksyon.) Tandaan:

Kapag inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, sinusubukan naming alisin maximum karaniwang multiplier.

Ipagpatuloy natin ang saya?

Factoring ang expression:

3ax+9x-8a-24

Ano ang ilalabas natin? Tatlo, X? No-ee... Hindi pwede. I remind you na pwede lang kunin pangkalahatan multiplier yan sa lahat mga tuntunin ng pagpapahayag. Kaya pala siya pangkalahatan. Walang ganoong multiplier dito ... Ano, hindi ka maaaring mag-lay out!? Well, oo, kami ay natuwa, kung paano ... Kilalanin:

2. Pagpapangkat.

Sa totoo lang, halos hindi matatawag na independiyenteng paraan ng factorization ang pagpapangkat. Sa halip, ito ay isang paraan upang makawala sa isang kumplikadong halimbawa.) Kailangan mong pangkatin ang mga termino upang maging maayos ang lahat. Maaari lamang itong ipakita sa isang halimbawa. Kaya mayroon kaming isang expression:

3ax+9x-8a-24

Makikita na mayroong ilang karaniwang mga titik at numero. Pero... Heneral walang multiplier sa lahat ng termino. Huwag mawalan ng loob at pinuputol namin ang expression sa mga piraso. Grupo namin. Upang sa bawat piraso ay may isang karaniwang kadahilanan, mayroong isang bagay na ilalabas. Paano tayo magbebreak? Oo, panaklong lang.

Ipaalala ko sa iyo na ang mga bracket ay maaaring ilagay kahit saan at anumang paraan. Kung ang esensya lang ng halimbawa hindi nagbago. Halimbawa, magagawa mo ito:

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

Mangyaring bigyang-pansin ang pangalawang bracket! Ang mga ito ay pinangungunahan ng isang minus sign, at 8a At 24 maging positibo! Kung, para sa pag-verify, bubuksan namin ang mga bracket pabalik, magbabago ang mga palatandaan, at makukuha namin orihinal pagpapahayag. Yung. ang kakanyahan ng expression mula sa mga bracket ay hindi nagbago.

Ngunit kung maglalagay ka lamang ng mga panaklong, hindi isinasaalang-alang ang pagbabago ng tanda, halimbawa, tulad nito:

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) -(8a-24 )

ito ay magiging isang pagkakamali. Tama - na iba pa pagpapahayag. Palawakin ang mga bracket at magiging malinaw ang lahat. Hindi ka na makakapagpasya pa, oo ...)

Ngunit bumalik sa factorization. Tingnan ang mga unang bracket (3ax + 9x) at isipin, posible bang magtiis ng isang bagay? Well, nalutas namin ang halimbawang ito sa itaas, maaari naming alisin ito 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Pinag-aaralan namin ang pangalawang bracket, doon mo makukuha ang walo:

(8a+24)=8(a+3)

Ang aming buong ekspresyon ay magiging:

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

dumami? Hindi. Ang agnas ay dapat magresulta sa pagpaparami lamang, at mayroon tayong minus sign na sumisira sa lahat. Ngunit... Ang parehong mga termino ay may isang karaniwang kadahilanan! Ito (a+3). Ito ay hindi walang kabuluhan na sinabi ko na ang mga bracket sa kabuuan ay, kumbaga, isang titik. Kaya ang mga bracket na ito ay maaaring alisin sa mga bracket. Oo, ganyan talaga ang tunog.)

Ginagawa namin tulad ng inilarawan sa itaas. Isulat ang karaniwang salik (a+3), sa pangalawang bracket ay isinusulat namin ang mga resulta ng paghahati ng mga termino sa pamamagitan ng (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Lahat! Sa kanan, walang iba kundi multiplikasyon! Kaya matagumpay na nakumpleto ang factorization!) Narito ito:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Balikan natin ang esensya ng grupo.

Kung ang expression ay hindi pangkalahatan multiplier para sa lahat mga tuntunin, hinati namin ang expression na may mga bracket upang sa loob ng mga bracket ang karaniwang kadahilanan ay. Ilabas natin ito at tingnan kung ano ang mangyayari. Kung kami ay mapalad, at ang eksaktong parehong mga expression ay nananatili sa mga bracket, inaalis namin ang mga bracket na ito mula sa mga bracket.

Idagdag ko na ang pagpapangkat ay isang malikhaing proseso). Hindi ito palaging gumagana sa unang pagkakataon. ayos lang. Minsan kailangan mong magpalit ng mga termino, isaalang-alang ang iba't ibang opsyon sa pagpapangkat hanggang sa makakita ka ng magandang isa. Ang pangunahing bagay dito ay hindi mawalan ng puso!)

Mga halimbawa.

Ngayon, sa pagpapayaman sa kaalaman, maaari mo ring lutasin ang mga nakakalito na halimbawa.) Sa simula ng aralin, mayroong tatlo sa mga ito ...

Pasimplehin:

Sa katunayan, nalutas na natin ang halimbawang ito. Hindi mahahalata sa aking sarili.) Ipinaaalala ko sa iyo: kung bibigyan tayo ng isang kahila-hilakbot na bahagi, sinusubukan nating i-decompose ang numerator at denominator sa mga salik. Iba pang mga pagpipilian sa pagpapasimple hindi lang.

Well, ang denominator ay hindi nabubulok dito, ngunit ang numerator... Nabulok na natin ang numerator sa kurso ng aralin! Ganito:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Isinulat namin ang resulta ng pagpapalawak sa numerator ng fraction:

Ayon sa tuntunin ng pagbabawas ng mga fraction (ang pangunahing katangian ng isang fraction), maaari nating hatiin (sabay-sabay!) Ang numerator at denominator sa parehong numero, o expression. Fraction mula dito hindi nagbabago. Kaya hinahati namin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng expression (3x-8). At dito at doon kami nakakakuha ng mga unit. Panghuling resulta ng pagpapasimple:

Binibigyang-diin ko sa partikular: ang pagbabawas ng isang fraction ay posible kung at kung sa numerator at denominator, bilang karagdagan sa pagpaparami ng mga expression walang kahit ano. Kaya naman ang pagbabago ng kabuuan (difference) sa pagpaparami napakahalaga na gawing simple. Siyempre, kung ang mga expression iba, tapos walang mababawasan. Byvet. Ngunit ang factorization nagbibigay ng pagkakataon. Ang pagkakataong ito na walang agnas - ay hindi umiiral.

Halimbawa ng equation:

Lutasin ang equation:

x 5 - x 4 = 0

Tinatanggal ang karaniwang kadahilanan x 4 para sa mga bracket. Nakukuha namin ang:

x 4 (x-1)=0

Ipinapalagay namin na ang produkto ng mga kadahilanan ay katumbas ng zero pagkatapos at pagkatapos lamang kapag ang alinman sa mga ito ay katumbas ng zero. Kung may pag-aalinlangan, hanapin ako ng ilang di-zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero.) Kaya't isinusulat namin, una ang unang kadahilanan:

Sa pagkakapantay-pantay na ito, ang pangalawang kadahilanan ay hindi nakakaabala sa amin. Kahit sino ay maaaring maging, gayon pa man, sa huli, magiging zero. Ano ang numero sa ikaapat na kapangyarihan ng zero? Zero lang! At wala nang iba pa ... Samakatuwid:

Nalaman namin ang unang kadahilanan, natagpuan namin ang isang ugat. Harapin natin ang pangalawang kadahilanan. Ngayon, wala kaming pakialam sa unang multiplier.):

Dito nakahanap kami ng solusyon: x 1 = 0; x2 = 1. Ang alinman sa mga ugat na ito ay umaangkop sa aming equation.

Isang napakahalagang tala. Tandaan na nalutas namin ang equation unti-unti! Ang bawat kadahilanan ay itinakda sa zero. hindi alintana ang iba pang mga kadahilanan. Sa pamamagitan ng paraan, kung sa naturang equation ay walang dalawang mga kadahilanan, tulad ng mayroon kami, ngunit tatlo, lima, hangga't gusto mo, kami ay magpapasya. katulad. Piraso-piraso. Halimbawa:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Ang nagbubukas ng mga bracket, nagpaparami ng lahat, ay magpakailanman na mabibitin sa equation na ito.) Ang tamang mag-aaral ay agad na makikita na walang anuman sa kaliwa maliban sa multiplikasyon, sa kanan - zero. At siya ay magsisimula (sa kanyang isip!) Upang equate sa zero ang lahat ng mga bracket sa pagkakasunud-sunod. At makukuha niya (sa 10 segundo!) ang tamang solusyon: x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.

Mahusay, tama?) Ang ganitong eleganteng solusyon ay posible kung ang kaliwang bahagi ng equation hatiin sa maramihan. Malinaw ba ang pahiwatig?)

Well, ang huling halimbawa, para sa mga nakatatanda):

Lutasin ang equation:

Ito ay medyo katulad sa nauna, hindi ba?) Siyempre. Oras na para tandaan na sa ikapitong baitang algebra, sines, logarithms, at anumang bagay ay maaaring itago sa ilalim ng mga titik! Ang pag-factor ay gumagana sa lahat ng matematika.

Tinatanggal ang karaniwang kadahilanan lg4x para sa mga bracket. Nakukuha namin ang:

lg 4x=0

Ito ay isang ugat. Harapin natin ang pangalawang kadahilanan.

Narito ang huling sagot: x 1 = 1; x2 = 10.

Sana ay napagtanto mo ang kapangyarihan ng factoring sa pagpapasimple ng mga fraction at paglutas ng mga equation.)

Sa araling ito, nakilala natin ang pag-alis ng karaniwang salik at pagpapangkat. Nananatili itong harapin ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon at ang square trinomial.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.