Hugis ng parabola. Canonical parabola equation

Kahulugan 1

Ang parabola ay isang kurba na nabuo ng isang geometric na hanay ng mga punto na nasa parehong distansya mula sa isang tiyak na punto $F$, na tinatawag na focus, at hindi nakahiga sa kurba na ito o sa linyang $d$.

Iyon ay, ang ratio ng mga distansya mula sa isang di-makatwirang punto sa parabola hanggang sa pokus at mula sa parehong punto hanggang sa directrix ay palaging katumbas ng isa, ang ratio na ito ay tinatawag na eccentricity.

Ginagamit din ang terminong "eccentricity" para sa mga hyperbola at ellipse.

Mga pangunahing termino mula sa canonical parabola equation

Ang puntong $F$ ay tinatawag na pokus ng parabola, at ang linyang $d$ ay tinatawag na directrix nito.

Ang axis ng symmetry ng isang parabola ay isang tuwid na linya na dumadaan sa parabola vertex $O$ at ang pokus nito ay $F$ upang makabuo ito ng tamang anggulo sa directrix na $d$.

Ang vertex ng parabola ay ang punto kung saan ang distansya sa directrix ay minimal. Hinahati ng puntong ito ang distansya mula sa focus hanggang sa directrix.

Ano ang canonical equation ng isang parabola

Kahulugan 2

Canonical Equation Ang parabola ay medyo simple, madali itong matandaan at mayroon itong sumusunod na anyo:

$y^2 = 2px$, kung saan ang $p$ ay dapat na mas malaki sa zero.

Ang bilang na $p$ mula sa equation ay tinatawag na "focal parameter".

Ang equation na ito ng isang parabola, o sa halip, ang formula na ito na kadalasang ginagamit sa mas mataas na matematika, ay naaangkop sa kaso kapag ang axis ng parabola ay tumutugma sa axis na $OX$, iyon ay, ang parabola ay matatagpuan na parang nasa gilid nito.

Ang isang parabola na inilarawan ng equation na $x^2 = 2py$ ay isang parabola na ang axis ay tumutugma sa $OY$ axis, sanay na tayo sa mga ganitong parabola sa paaralan.

At ang parabola, na may minus sa harap ng ikalawang bahagi ng equation ($y^2 = - 2px$), ay pinaikot 180° na may paggalang sa canonical parabola.

Ang parabola ay isang espesyal na kaso ng isang 2nd order curve, ayon sa pagkakabanggit, sa pangkalahatang pananaw ang equation para sa isang parabola ay mukhang eksaktong kapareho ng para sa lahat ng naturang mga kurba at wasto para sa lahat ng mga kaso, hindi lamang kapag ang parabola ay parallel sa $OX$.

Sa kasong ito, ang discriminant na kinakalkula ng formula na $B^2 – 4AC$ sero, at ang equation mismo ay ganito ang hitsura: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\cdot y + F = 0$

Pag-plot ng Canonical Equation para sa isang Parabola

Figure 1. Graph at derivation ng canonical parabola equation

Mula sa kahulugang ibinigay sa itaas sa artikulong ito, bubuo kami ng isang equation para sa isang parabola na may tuktok na matatagpuan sa intersection ng mga coordinate axes.

Gamit ang umiiral na graph, tinutukoy namin mula dito ang $x$ at $y$ puntos $F$ mula sa kahulugan ng isang parabolic curve na ibinigay sa itaas, $x = \frac(p)(2)$ at $y = 0$.

Una, gumawa tayo ng equation para sa linyang $d$ at isulat ito: $x = - \frac(p)(2)$.

Para sa isang di-makatwirang punto M na nakahiga sa aming kurba, ayon sa kahulugan, ang sumusunod na kaugnayan ay totoo:

$FM$ = $MM_d$ (1), kung saan ang $M_d$ ay ang intersection point ng perpendicular na bumaba mula sa puntong $M$ na may directrix na $d$.

Ang X at y para sa puntong ito ay katumbas ng $\frac(p)(2)$ $y$ ayon sa pagkakabanggit.

Sinusulat namin ang equation (1) sa coordinate form:

$\sqrt((x - \frac(p)(2))^2 + y^2 )= x + \frac(p)(2)$

Ngayon, upang maalis ang ugat, kailangan mong parisukat ang magkabilang panig ng equation:

$(x - \frac(p)(2))^2 + y^2 = x^2 +px^2 + \frac(p^2)(4)$

Pagkatapos ng pagpapasimple, makuha natin ang canonical equation ng parabola: $y^2 = px$.

Parabola na inilarawan sa pamamagitan ng isang quadratic function

Ang equation na naglalarawan sa isang parabola na may tugatog nito na matatagpuan saanman sa graph at hindi kinakailangang magkasabay sa intersection ng mga coordinate axes ay ganito ang hitsura:

$y = ax^2 + bx + c$.

Upang kalkulahin ang $x$ at $y$ para sa vertex ng naturang parabola, kailangan mong gamitin ang mga sumusunod na formula:

$x_A = - \frac(b)(2a)$

$y_A = - \frac(D)(4a)$, kung saan $D = b^2 – 4ac$.

Halimbawa 1

Isang halimbawa ng pag-compile ng classical equation ng isang parabola

Isang gawain. Alam ang lokasyon ng focal point, isulat ang canonical equation ng parabola. Focus point coordinate $F$ $(4; 0)$.

Dahil isinasaalang-alang namin ang isang parabola na ang graph ay ibinigay ng canonical equation, ang vertex na $O$ ay matatagpuan sa intersection ng x at y axes, kaya ang distansya mula sa focus hanggang sa vertex ay katumbas ng $\frac(1) (2)$ ng focal parameter $\frac(p )(2) = 4$. Sa pamamagitan ng mga simpleng kalkulasyon, nakuha namin na ang focal parameter mismo ay $p = 8$.

Pagkatapos palitan ang halaga ng $p$ sa canonical form ng equation, ang aming equation ay kukuha ng form na $y^2 = 16x$.

Paano magsulat ng isang parabola equation ayon sa isang umiiral na graph

Halimbawa 2

Figure 2. Canonical equation para sa isang parabola graph at halimbawa para sa paglutas

Una, kailangan mong piliin ang puntong $M$, na kabilang sa graph ng aming function, at, nang ibinaba ang mga perpendicular mula dito sa mga axes na $OX$ at $OY$, isulat ang x at y nito, sa aming kaso ang puntong $M$ ay $(2;2) $.

Ngayon kailangan nating palitan ang $x$ at $y$ na nakuha para sa puntong ito sa canonical equation ng parabola $y^2 = px$, nakukuha natin:

$2^2 = 2 \cdot 2p$

Sa pagbabawas, makuha natin ang sumusunod na parabola equation $y^2 = 2 \cdot x$.

Ang parabola ay ang locus ng mga puntos sa isang eroplano na katumbas ng layo mula sa isang ibinigay na punto F at isang ibinigay na linya na hindi dumadaan. ibinigay na punto. Itong geometriko na kahulugan ay nagpapahayag pag-aari ng direktoryo ng parabola.

Ang pag-aari ng direktoryo ng isang parabola

Ang punto F ay tinatawag na focus ng parabola, ang linya d ay tinatawag na directrix ng parabola, ang midpoint O ng patayo na bumaba mula sa focus patungo sa directrix ay ang vertex ng parabola, ang distansya p mula sa focus sa directrix ay ang parameter ng parabola, at ang distansya \frac(p)(2) mula sa vertex ng parabola hanggang sa focus nito - focal length (Fig. 3.45, a). Ang tuwid na linya na patayo sa directrix at dumadaan sa focus ay tinatawag na axis ng parabola (ang focal axis ng parabola). Ang segment na FM na nagkokonekta sa isang arbitrary na punto M ng parabola na may pokus nito ay tinatawag na focal radius ng puntong M . Ang segment ng linya na nagkokonekta sa dalawang punto ng parabola ay tinatawag na chord ng parabola.

Para sa isang arbitrary na punto ng parabola, ang ratio ng distansya sa focus sa distansya sa directrix ay katumbas ng isa. Ang paghahambing ng mga katangian ng direktoryo ng , at mga parabola, napagpasyahan namin iyon parabola eccentricity ay sa pamamagitan ng kahulugan ay katumbas ng isa (e=1) .

Geometric na kahulugan ng isang parabola, na nagpapahayag ng pag-aari ng direktoryo nito, ay katumbas ng analytical na kahulugan nito - ang linyang ibinigay ng canonical equation ng parabola:

Sa katunayan, ipakilala natin ang isang rectangular coordinate system (Larawan 3.45, b). Kunin natin ang vertex O ng parabola bilang pinagmulan ng coordinate system; ang tuwid na linya na dumadaan sa pokus na patayo sa directrix, kukunin namin bilang abscissa axis (positibong direksyon dito mula sa punto O hanggang sa punto F); isang tuwid na linya na patayo sa abscissa axis at dumadaan sa vertex ng parabola, kukunin natin bilang ordinate axis (ang direksyon sa ordinate axis ay pinili upang ang rectangular coordinate system na Oxy ay tama).

Buuin natin ang equation ng isang parabola gamit ang geometric na kahulugan nito, na nagpapahayag ng directorial property ng parabola. Sa napiling coordinate system, tinutukoy namin ang mga coordinate ng focus F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) at ang directrix equation x=-\frac(p)(2) . Para sa isang arbitrary na puntong M(x,y) na kabilang sa isang parabola, mayroon tayong:

FM=MM_d,

saan M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- orthogonal projection ng point M(x,y) papunta sa directrix. Isinulat namin ang equation na ito sa coordinate form:

\sqrt((\kaliwa(x-\frac(p)(2)\kanan)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Namin parisukat ang magkabilang panig ng equation: (\kaliwa(x-\frac(p)(2)\kanan)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Pagdadala tulad ng mga tuntunin, nakukuha namin canonical parabola equation

y^2=2\cdot p\cdot x, mga. ang napiling coordinate system ay kanonikal.

Sa pamamagitan ng pangangatwiran sa baligtarin ang pagkakasunod-sunod, maipapakita na ang lahat ng mga punto na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (3.51), at sila lamang, ay nabibilang sa locus ng mga puntos, na tinatawag na parabola. Kaya, ang analytic na kahulugan ng isang parabola ay katumbas ng geometric na kahulugan nito, na nagpapahayag ng pag-aari ng direktoryo ng isang parabola.

Parabola equation sa polar coordinates

Ang parabola equation sa polar coordinate system Fr \ varphi (Fig. 3.45, c) ay may anyo

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), kung saan ang p ay ang parameter ng parabola at ang e=1 ay ang eccentricity nito.

Sa katunayan, bilang pole ng polar coordinate system, pinipili namin ang focus F ng parabola, at bilang polar axis - isang ray na may pinagmulan sa puntong F, patayo sa directrix at hindi tumatawid dito (Fig. 3.45, c). Pagkatapos para sa isang di-makatwirang punto M(r,\varphi) na kabilang sa isang parabola, ayon sa geometric na kahulugan (directorial property) ng isang parabola, mayroon kaming MM_d=r . Dahil ang MM_d=p+r\cos\varphi, nakukuha namin ang parabola equation sa coordinate form:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Tandaan na sa mga polar coordinate, ang mga equation ng ellipse, hyperbola, at parabola ay nag-tutugma, ngunit naglalarawan ng iba't ibang mga linya, dahil naiiba ang mga ito sa mga eccentricity (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 para sa).

Ang geometric na kahulugan ng parameter sa parabola equation

Ipaliwanag natin geometric na kahulugan parameter p sa canonical parabola equation. Ang pagpapalit ng x=\frac(p)(2) sa equation (3.51), makuha natin ang y^2=p^2 , i.e. y=\pm p . Samakatuwid, ang parameter na p ay kalahati ng haba ng parabola chord na dumadaan sa pokus nito patayo sa axis ng parabola.

Ang focal parameter ng parabola, pati na rin para sa isang ellipse at para sa isang hyperbola, ay tinatawag na kalahati ng haba ng chord na dumadaan sa pokus nito patayo sa focal axis (tingnan ang Fig. 3.45, c). Mula sa parabola equation sa polar coordinates sa \varphi=\frac(\pi)(2) nakukuha natin r=p , i.e. Ang parameter ng parabola ay tumutugma sa focal parameter nito.

Pangungusap 3.11.

1. Ang parameter p ng isang parabola ay nagpapakilala sa hugis nito. Ang mas maraming p, mas malawak ang mga sanga ng parabola, mas malapit ang p sa zero, mas makitid ang mga sanga ng parabola (Larawan 3.46).

2. Ang equation na y^2=-2px (para sa p>0) ay tumutukoy sa isang parabola, na matatagpuan sa kaliwa ng y-axis (Larawan 3.47, a). Ang equation na ito ay binabawasan sa canonical sa pamamagitan ng pagbabago ng direksyon ng x-axis (3.37). Sa fig. Ipinapakita ng 3.47,a ang ibinigay na coordinate system na Oxy at ang canonical Ox"y" .

3. Equation (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 tumutukoy sa isang parabola na may vertex O "(x_0, y_0) na ang axis ay parallel sa abscissa axis (Fig. 3.47.6). Ang equation na ito ay binawasan sa canonical na gamit gamit ang parallel na pagsasalin (3.36).

Ang equation (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, ay tumutukoy din sa isang parabola na may vertex O "(x_0, y_0) , na ang axis ay parallel sa y-axis (Fig. 3.47, c). Ang equation na ito ay binawasan sa canonical one gamit ang parallel translation (3.36) at pinapalitan ang pangalan ng coordinate axes (3.38) Sa fig. 3.47, b, c ay nagpapakita ng ibinigay na coordinate system Oxy at ang canonical coordinate system Ox "y" .

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 ay isang parabola na may tuktok sa punto O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), na ang axis ay parallel sa y-axis, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas (para sa a>0) o pababa (para sa isang<0 ). Действительно, выделяя buong parisukat, nakukuha namin ang equation

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\kanan)^2=\frac(1)(a)\kaliwa(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\kanan)\!,

na binabawasan sa canonical form (y")^2=2px" , kung saan p=\kaliwa|\frac(1)(2a)\kanan|, sa pamamagitan ng pagpapalit y"=x+\frac(b)(2a) at x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

Ang sign ay pinili upang tumugma sa sign ng nangungunang coefficient a . Ang kapalit na ito ay tumutugma sa komposisyon: parallel na pagsasalin (3.36) sa x_0=-\frac(b)(2a) at y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), pagpapalit ng pangalan sa mga coordinate axes (3.38), at sa kaso ng a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 at a<0 соответственно.

5. Ang abscissa axis ng canonical coordinate system ay axis ng symmetry ng parabola, dahil ang pagpapalit ng variable na y sa -y ay hindi nagbabago ng equation (3.51). Sa madaling salita, ang mga coordinate ng point M (x, y) na kabilang sa parabola, at ang mga coordinate ng point M "(x, -y), simetriko sa point M tungkol sa abscissa axis, ay nakakatugon sa equation (3. S1) Tinatawag ang mga axes ng canonical coordinate system ang mga pangunahing palakol ng parabola.

Halimbawa 3.22. Gumuhit ng parabola y^2=2x sa canonical coordinate system Oxy . Hanapin ang focal parameter, focus coordinates at directrix equation.

Solusyon. Bumubuo kami ng isang parabola, na isinasaalang-alang ang simetrya nito tungkol sa abscissa axis (Larawan 3.49). Kung kinakailangan, tinutukoy namin ang mga coordinate ng ilang mga punto ng parabola. Halimbawa, ang pagpapalit ng x=2 sa parabola equation, nakukuha natin y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Samakatuwid, ang mga puntos na may mga coordinate (2;2),\,(2;-2) ay nabibilang sa parabola.

Ang paghahambing ng ibinigay na equation sa canonical one (3.S1), tinutukoy namin ang focal parameter: p=1 . Focus coordinate x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, ibig sabihin. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). Binubuo namin ang directrix equation x=-\frac(p)(2) , i.e. x=-\frac(1)(2) .

Pangkalahatang katangian ng isang ellipse, hyperbola, parabola

1. Ang directory property ay maaaring gamitin bilang isang solong kahulugan ng isang ellipse, hyperbola, parabola (tingnan ang Fig. 3.50): ang locus ng mga punto sa eroplano, para sa bawat isa kung saan ang ratio ng distansya sa isang naibigay na punto F (focus) sa distansya sa isang tuwid na linya d (directrix) na hindi dumadaan sa isang naibigay na punto ay pare-pareho at katumbas ng ang eccentricity e, ay tinatawag na:

a) kung 0\leqslant e<1 ;

b) kung e>1 ;

c) parabola kung e=1.

2. Ang ellipse, hyperbola, parabola ay nakukuha sa mga seksyon ng isang pabilog na kono sa pamamagitan ng mga eroplano at samakatuwid ay tinatawag na conic na mga seksyon. Ang property na ito ay maaari ding magsilbi bilang isang geometric na kahulugan ng isang ellipse, hyperbola, parabola.

3. Kasama sa mga karaniwang katangian ng isang ellipse, hyperbola at parabola ari-arian ng bisector kanilang mga tangent. Sa ilalim padaplis sa linya sa ilang puntong K nito ay nauunawaan bilang ang paglilimita sa posisyon ng secant KM, kapag ang punto M, na natitira sa linyang pinag-iisipan, ay patungo sa puntong K. Ang isang linya na patayo sa tangent na linya at dumadaan sa punto ng contact ay tinatawag normal sa linyang ito.

Ang bisectorial property ng tangents (at normals) sa isang ellipse, hyperbola, at parabola ay binubuo ng mga sumusunod: ang tangent (normal) sa isang ellipse o hyperbola ay bumubuo ng pantay na mga anggulo sa focal radii ng tangent point(Larawan 3.51, a, b); ang tangent (normal) sa parabola ay bumubuo ng pantay na mga anggulo na may focal radius ng tangent point at ang perpendicular ay bumaba mula dito patungo sa directrix(Larawan 3.51, c). Sa madaling salita, ang padaplis sa ellipse sa puntong K ay ang bisector ng panlabas na anggulo ng tatsulok na F_1KF_2 (at ang normal ay ang bisector ng panloob na anggulo ng tatsulok na F_1KF_2); ang padaplis sa hyperbola ay ang bisector ng panloob na anggulo ng tatsulok F_1KF_2 (at ang normal ay ang bisector ng panlabas na anggulo); ang padaplis sa parabola ay ang bisector ng panloob na anggulo ng tatsulok na FKK_d (at ang normal ay ang bisector ng panlabas na anggulo). Ang bisectorial property ng isang tangent sa isang parabola ay maaaring mabuo sa parehong paraan tulad ng para sa isang ellipse at isang hyperbola, kung ipagpalagay natin na ang parabola ay may pangalawang focus sa infinity.

4. Ang mga katangian ng bisectorial ay nagpapahiwatig optical properties ng ellipse, hyperbola at parabola, na nagpapaliwanag ng pisikal na kahulugan ng terminong "focus". Isipin natin ang mga ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang ellipse, hyperbola o parabola sa paligid ng focal axis. Kung ang isang reflective coating ay inilapat sa mga ibabaw na ito, pagkatapos ay ang elliptical, hyperbolic at parabolic na salamin ay nakuha. Ayon sa batas ng optika, ang anggulo ng saklaw ng isang light beam sa isang salamin ay katumbas ng anggulo ng pagmuni-muni, i.e. ang insidente at ang mga sinasalamin na sinag ay bumubuo ng pantay na mga anggulo sa normal sa ibabaw, at ang parehong mga sinag at ang axis ng pag-ikot ay nasa parehong eroplano. Mula dito nakukuha namin ang mga sumusunod na katangian:

- kung ang pinagmumulan ng liwanag ay nasa isa sa foci ng elliptical mirror, kung gayon ang mga sinag ng liwanag, na sinasalamin mula sa salamin, ay nakolekta sa isa pang pokus (Larawan 3.52, a);

- kung ang pinagmumulan ng liwanag ay nasa isa sa foci ng hyperbolic mirror, kung gayon ang mga sinag ng liwanag, na sinasalamin mula sa salamin, ay naghihiwalay na parang nagmula sila sa isa pang pokus (Larawan 3.52, b);

- kung ang pinagmumulan ng liwanag ay nasa pokus ng isang parabolic mirror, kung gayon ang mga sinag ng liwanag, na makikita mula sa salamin, ay kahanay sa focal axis (Larawan 3.52, c).

5. Diametral na ari-arian Ang ellipse, hyperbola at parabola ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod:

– ang mga midpoint ng parallel chords ng ellipse (hyperbola) ay nasa parehong tuwid na linya na dumadaan sa gitna ng ellipse (hyperbola);

– ang mga midpoint ng parallel chords ng parabola ay nasa isang tuwid na linya, collinear sa axis ng symmetry ng parabola.

Ang locus ng mga midpoint ng lahat ng parallel chords ng isang ellipse (hyperbola, parabola) ay tinatawag na ellipse diameter (hyperbolas, parabolas) conjugate sa mga chord na ito.

Ito ang kahulugan ng diameter sa makitid na kahulugan (tingnan ang halimbawa 2.8). Noong nakaraan, ang kahulugan ng diameter ay ibinigay sa isang malawak na kahulugan, kung saan ang diameter ng isang ellipse, hyperbola, parabola, at iba pang mga second-order na linya ay isang tuwid na linya na naglalaman ng mga midpoint ng lahat ng parallel chords. Sa isang makitid na kahulugan, ang diameter ng isang ellipse ay anumang chord na dumadaan sa gitna nito (Larawan 3.53, a); ang diameter ng hyperbola ay anumang tuwid na linya na dumadaan sa gitna ng hyperbola (maliban sa mga asymptotes), o bahagi ng naturang tuwid na linya (Larawan 3.53.6); ang diameter ng isang parabola ay anumang sinag na nagmumula sa ilang punto ng parabola at collinear na may axis ng symmetry (Larawan 3.53, c).

Dalawang diameter, na ang bawat isa ay naghahati sa lahat ng mga kuwerdas na kahanay sa iba pang diameter, ay tinatawag na conjugate. Sa Fig. 3.53, ang mga naka-bold na linya ay nagpapakita ng conjugate diameters ng isang ellipse, hyperbola, at parabola.

Ang tangent sa isang ellipse (hyperbola, parabola) sa puntong K ay maaaring tukuyin bilang ang paglilimita sa posisyon ng mga parallel secants na M_1M_2 kapag ang mga puntos na M_1 at M_2, na natitira sa linyang isinasaalang-alang, ay may posibilidad na tumuturo sa K. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ito na ang padaplis na parallel sa mga chord ay dumadaan sa dulo ng diameter conjugate sa mga chord na ito.

6. Ang Ellipse, hyperbola at parabola ay may, bilang karagdagan sa itaas, maraming geometric na katangian at pisikal na aplikasyon. Halimbawa, ang Fig. 3.50 ay maaaring magsilbi bilang isang paglalarawan ng mga trajectory ng paggalaw ng mga bagay sa kalawakan na matatagpuan sa paligid ng sentro F ng atraksyon.

Ang parabola ay ang locus ng mga puntos, para sa bawat isa kung saan ang distansya sa ilang nakapirming punto ng eroplano, na tinatawag na focus, ay katumbas ng distansya sa ilang nakapirming linya, na tinatawag na directrix (pinapalagay na ang linyang ito ay hindi dumaan ang pokus).

Ang pokus ng isang parabola ay karaniwang tinutukoy ng titik F, distansya mula sa focus hanggang directrix-letter R. ang halaga p tinawag parameter mga parabola. Ang imahe ng isang parabola ay ibinigay sa fig. 61 (ang mambabasa ay magkakaroon ng buong paliwanag sa guhit na ito pagkatapos basahin ang susunod na ilang talata).

Magkomento. Alinsunod sa P° 100 ay nagsasabi na ang parabola ay may eccentricity =1.

Hayaang magbigay ng ilang parabola (kasabay nito, isinasaalang-alang namin ang ibinigay na parameter R). Ipakilala natin ang isang Cartesian rectangular coordinate system sa eroplano, ang mga axes nito ay ipoposisyon sa isang espesyal na paraan na may kinalaman sa ibinigay na parabola. Ibig sabihin, iginuhit namin ang abscissa axis sa pamamagitan ng pokus na patayo sa directrix at isaalang-alang ito na nakadirekta mula sa directrix patungo sa pokus; Ang pinagmulan ng mga coordinate ay matatagpuan sa gitna sa pagitan focus at direktor (Larawan 61). Kunin natin ang equation ng ibinigay na parabola sa coordinate system na ito.

Kumuha ng di-makatwirang punto sa eroplano M at tukuyin ang mga coordinate nito sa pamamagitan ng X at y. Tukuyin pa ng r distansya mula sa punto M upang ituon (r=FM), sa pamamagitan ng r- distansya mula sa punto M sa direktor. Dot M ay nasa isang (ibinigay) na parabola kung at kung lamang

Upang makuha ang nais na equation, kinakailangan sa pagkakapantay-pantay (1) upang palitan ang mga variable r at a kanilang mga expression sa mga tuntunin ng kasalukuyang mga coordinate x, y. Tandaan na ang focus F may mga coordinate; isinasaalang-alang ito at naglalapat ng formula (2) P° 18. hanapin:

(2)

Tukuyin sa pamamagitan ng Q base ng isang patayo mula sa isang punto M sa direktor. Halatang point Q may mga coordinate; mula dito at mula sa formula (2) P° 18 nakukuha natin:

(3),

(kapag kinukuha ang ugat, kinuha namin ang aming tanda, dahil - ay isang positibong numero; ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang punto M(x; y) dapat ay matatagpuan sa gilid ng directrix kung saan ang focus ay, ibig sabihin, ito ay dapat x > , kung saan Pinapalitan sa pagkakapantay-pantay (1) r at d kanilang mga ekspresyon (2) at (3), makikita natin:

(4)

Ito ang equation ng itinuturing na parabola sa nakatalagang coordinate system, dahil ito ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng punto M(x; y) kung at kung ang punto lamang M namamalagi sa parabola na ito.

Sa pagnanais na makuha ang equation ng isang parabola sa isang mas simpleng anyo, parisukat namin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (4); makuha namin:

(5),

Ang equation (6) ay hinango namin bilang resulta ng equation (4). Madaling ipakita na ang equation (4) naman ay maaaring makuha bilang resulta ng equation (6). Sa katunayan, ang equation (5) ay hinalaw mula sa equation (6) sa isang malinaw na paraan (“paatras”); karagdagang, mula sa equation (5) mayroon kami.

hanapbuhay 10 . Mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod.

10.1. Ellipse. Canonical equation. Half shafts, eccentricity, graph.

10.2. Hyperbola. Canonical equation. Semiaxes, eccentricity, asymptotes, graph.

10.3. Parabola. Canonical equation. Parabola na parameter, graph.

Ang mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod sa eroplano ay tinatawag na mga linya, ang implicit na detalye kung saan ay may anyo:

saan
- binigyan ng totoong mga numero,
- mga coordinate ng mga curve point. Ang pinakamahalagang linya sa mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay ellipse, hyperbola, parabola.

10.1. Ellipse. Canonical equation. Half shafts, eccentricity, graph.

Kahulugan ng isang ellipse.Ang ellipse ay isang kurba ng eroplano na ang kabuuan ng mga distansya mula sa dalawang nakapirming punto
eroplano sa anumang punto

(mga.). puntos
tinatawag na foci ng ellipse.

Canonical equation ng isang ellipse:
. (2)

(o axis
) dumadaan sa foci
, at ang pinagmulan ay isang punto - matatagpuan sa gitna ng segment
(Larawan 1). Ang Ellipse (2) ay simetriko na may kinalaman sa mga coordinate axes at sa pinanggalingan (sa gitna ng ellipse). Permanente
,
tinawag semi-axes ng isang ellipse.

Kung ang ellipse ay ibinigay ng equation (2), kung gayon ang foci ng ellipse ay matatagpuan tulad ng sumusunod.

1) Una, tinutukoy namin kung saan nakahiga ang foci: ang foci ay nasa coordinate axis kung saan matatagpuan ang mga pangunahing semiax.

2) Pagkatapos ay kinakalkula ang haba ng focal (distansya mula sa foci hanggang sa pinanggalingan).

Sa
nakatutok kasinungalingan sa axis
;
;
.

Sa
nakatutok kasinungalingan sa axis
;
;
.

eccentricity ellipse ay tinatawag na halaga: (sa
);(sa
).

Laging meron ang Ellipse
. Ang eccentricity ay isang katangian ng compression ng ellipse.

Kung ang ellipse (2) ay inilipat upang ang gitna ng ellipse ay bumagsak sa punto

,
, pagkatapos ay ang equation ng nagresultang ellipse ay may anyo

.

10.2. Hyperbola. Canonical equation. Semiaxes, eccentricity, asymptotes, graph.

Kahulugan ng hyperbola.Ang hyperbola ay isang kurba ng eroplano, kung saan ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa mga distansya mula sa dalawang nakapirming punto
eroplano sa anumang punto
ang kurba na ito ay pare-parehong independiyente sa punto
(mga.). puntos
tinatawag na foci ng hyperbola.

Canonical equation ng hyperbola:
o
. (3)

Ang ganitong equation ay nakuha kung ang coordinate axis
(o axis
) dumadaan sa foci
, at ang pinagmulan ay isang punto - matatagpuan sa gitna ng segment
. Ang mga hyperbola (3) ay simetriko na may kinalaman sa mga coordinate axes at pinagmulan. Permanente
,
tinawag semiaxes ng hyperbola.

Ang foci ng hyperbola ay matatagpuan tulad ng sumusunod.

Sa hyperbole
nakatutok kasinungalingan sa axis
:
(Larawan 2.a).

Sa hyperbole
nakatutok kasinungalingan sa axis
:
(Larawan 2.b)

Dito - focal length (distansya mula sa foci hanggang sa pinanggalingan). Ito ay kinakalkula ng formula:
.

eccentricity Ang hyperbola ay tinatawag na halaga:

(para sa
);(para sa
).

Palaging meron ang hyperbole
.

Asymptotes ng hyperbolas(3) ay dalawang tuwid na linya:
. Ang parehong mga sangay ng hyperbola ay lumalapit sa mga asymptotes nang walang katiyakan bilang .

Ang pagbuo ng isang graph ng isang hyperbola ay dapat isagawa tulad ng sumusunod: una, kasama ang mga semiax
bumuo kami ng isang auxiliary rectangle na may mga gilid na kahanay sa mga coordinate axes; pagkatapos ay gumuhit kami ng mga tuwid na linya sa kabaligtaran ng mga vertices ng parihaba na ito, ito ang mga asymptotes ng hyperbola; sa wakas, inilalarawan namin ang mga sanga ng hyperbola, hinawakan nila ang mga midpoint ng kaukulang panig ng auxiliary rectangle at lumapit sa paglaki sa mga asymptotes (Larawan 2).

Kung ang hyperbolas (3) ay inilipat upang ang kanilang sentro ay bumagsak sa punto
, at ang mga semiax ay mananatiling parallel sa mga axes
,
, kung gayon ang equation ng mga nagresultang hyperbola ay maaaring isulat sa anyo

,
.

10.3. Parabola. Canonical equation. Parabola na parameter, graph.

Kahulugan ng isang parabola.Ang parabola ay isang kurba ng eroplano kung saan para sa anumang punto
ang curve na ito ay ang distansya mula sa
sa isang nakapirming punto ang eroplano (tinatawag na pokus ng parabola) ay katumbas ng distansya mula sa
sa isang nakapirming linya sa eroplano(tinatawag na directrix ng parabola) .

Canonical parabola equation:
, (4)

saan ay isang pare-parehong tinatawag parameter mga parabola.

Dot
Ang parabola (4) ay tinatawag na vertex ng parabola. Aksis
ay ang axis ng simetrya. Ang pokus ng parabola (4) ay nasa punto
, directrix equation
. Parabola plots (4) na may mga halaga
at
ipinapakita sa fig. 3.a at 3.b, ayon sa pagkakabanggit.

Ang equation
Tinutukoy din ang isang parabola sa eroplano
, na kung ihahambing sa parabola (4), ay may mga palakol
,
lumipat ng lugar.

Kung ang parabola (4) ay ginalaw upang ang tuktok nito ay tumama sa punto
, at ang axis ng symmetry ay mananatiling parallel sa axis
, pagkatapos ay ang equation ng nagresultang parabola ay may anyo

.

Lumipat tayo sa mga halimbawa.

Halimbawa 1. Ang second order curve ay ibinibigay ng equation
. Bigyan ng pangalan ang curve na ito. Hanapin ang foci at eccentricity nito. Gumuhit ng curve at ang foci nito sa isang eroplano
.

Solusyon. Ang curve na ito ay isang ellipse na nakasentro sa punto
at mga axle shaft
. Madali itong ma-verify sa pamamagitan ng pagpapalit
. Ang pagbabagong ito ay nangangahulugan ng paglipat mula sa isang ibinigay na Cartesian coordinate system
sa isang bago Sistema ng Cartesian mga coordinate
, na ang mga palakol
parallel sa mga palakol
,
. Ang pagbabagong ito ng coordinate ay tinatawag na system shift.
eksakto . AT bagong sistema mga coordinate
ang equation ng curve ay na-convert sa canonical equation ng ellipse
, ang graph nito ay ipinapakita sa Fig. apat.

Maghanap tayo ng mga trick.
, kaya ang mga trick
ellipse na matatagpuan sa axis
.. Sa coordinate system
:
. kasi
, sa lumang coordinate system
may mga coordinate ang mga focus.

Halimbawa 2. Ibigay ang pangalan ng curve ng pangalawang order at ibigay ang graph nito.

Solusyon. Pinipili namin ang mga buong parisukat ayon sa mga terminong naglalaman ng mga variable at .

Ngayon, ang curve equation ay maaaring muling isulat bilang:

Samakatuwid, ang ibinigay na curve ay isang ellipse na nakasentro sa punto
at mga axle shaft
. Ang impormasyong nakuha ay nagpapahintulot sa amin na gumuhit ng graph nito.

Halimbawa 3. Magbigay ng pangalan at gumuhit ng line graph
.

Solusyon. . Ito ang canonical equation ng isang ellipse na nakasentro sa isang punto
at mga axle shaft
.

Dahil ang,
, aming tapusin: ang ibinigay na equation ay tumutukoy sa eroplano
ang mas mababang kalahati ng ellipse (Larawan 5).

Halimbawa 4. Ibigay ang pangalan ng curve ng pangalawang order
. Hanapin ang kanyang mga trick, eccentricity. Magbigay ng graph ng curve na ito.

- canonical equation ng isang hyperbola na may mga semiax
.

Focal length.

Ang minus sign ay nasa harap ng term na may , kaya ang mga trick
ang mga hyperbola ay nakahiga sa axis
:. Ang mga sanga ng hyperbola ay matatagpuan sa itaas at ibaba ng axis
.

ay ang eccentricity ng hyperbola.

Asymptotes ng hyperbola: .

Ang pagtatayo ng isang graph ng hyperbola na ito ay isinasagawa alinsunod sa pamamaraan sa itaas: nagtatayo kami ng isang pantulong na parihaba, gumuhit ng mga asymptotes ng hyperbola, gumuhit ng mga sanga ng hyperbola (tingnan ang Fig. 2.b).

Halimbawa 5. Alamin ang anyo ng kurba na ibinigay ng equation
at i-plot ito.

- hyperbola na nakasentro sa isang punto
at kalahating baras.

kasi , nagtatapos kami: tinutukoy ng ibinigay na equation ang bahagi ng hyperbola na nasa kanan ng linya
. Mas mainam na gumuhit ng hyperbola sa isang auxiliary coordinate system
nakuha mula sa coordinate system
shift
, at pagkatapos ay sa isang makapal na linya piliin ang nais na bahagi ng hyperbola

Halimbawa 6. Alamin ang uri ng kurba at iguhit ang graph nito.

Solusyon. Piliin ang buong parisukat ayon sa mga terminong may variable :

Isulat muli natin ang equation ng curve.

Ito ang equation ng isang parabola na may vertex sa punto
. Sa pamamagitan ng pagbabagong-anyo, ang parabola equation ay nabawasan sa canonical form
, kung saan ito makikita isang bagay na parameter mga parabola. Focus parabola sa system
may mga coordinate
,, at sa system
(ayon sa pagbabago ng shift). Ang parabola graph ay ipinapakita sa fig. 7.

Takdang aralin.

1. Gumuhit ng mga ellipse na ibinigay ng mga equation:
Hanapin ang kanilang mga semiax, focal length, eccentricity at ipahiwatig sa mga ellipse graph ang mga lokasyon ng kanilang foci.

2. Gumuhit ng mga hyperbola na ibinigay ng mga equation:
Hanapin ang kanilang mga semi-axes, focal length, eccentricity at ipahiwatig sa mga graph ng hyperbolas ang lokasyon ng kanilang foci. Isulat ang mga equation para sa mga asymptotes ng ibinigay na hyperbolas.

3. Iguhit ang mga parabola na ibinigay ng mga equation:
. Hanapin ang kanilang parameter, haba ng focal at ipahiwatig ang lokasyon ng focus sa mga parabola graph.

4. Equation
ay tumutukoy sa isang bahagi ng kurba ng ika-2 order. Hanapin ang canonical equation ng curve na ito, isulat ang pangalan nito, buuin ang graph nito at i-highlight dito ang bahagi ng curve na tumutugma sa orihinal na equation.

Paano gumawa ng parabola? Mayroong ilang mga paraan upang mag-plot ng isang graph quadratic function. Ang bawat isa sa kanila ay may mga kalamangan at kahinaan. Isaalang-alang natin ang dalawang paraan.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-plot ng quadratic function tulad ng y=x²+bx+c at y= -x²+bx+c.

Halimbawa.

I-plot ang function na y=x²+2x-3.

Solusyon:

Ang y=x²+2x-3 ay isang quadratic function. Ang graph ay isang parabola na may mga sanga sa itaas. Mga coordinate ng parabola vertex

Mula sa vertex (-1;-4) bumuo tayo ng graph ng parabola y=x² (bilang mula sa pinanggalingan. Sa halip na (0;0) - ang vertex (-1;-4). Mula sa (-1;- 4) pumunta kami sa kanan ng 1 unit at pataas ng 1, pagkatapos ay kaliwa ng 1 at pataas ng 1, pagkatapos: 2 - kanan, 4 - pataas, 2 - kaliwa, 4 - pataas, 3 - kanan, 9 - pataas, 3 - kaliwa, 9 - pataas. ang 7 puntos na ito ay hindi sapat, pagkatapos - 4 sa kanan, 16 - pataas, atbp.).

Ang graph ng quadratic function na y= -x²+bx+c ay isang parabola na ang mga sanga ay nakadirekta pababa. Upang makabuo ng isang graph, hinahanap namin ang mga coordinate ng vertex at mula dito ay bumuo kami ng isang parabola y= -x².

Halimbawa.

I-plot ang function na y= -x²+2x+8.

Solusyon:

y= -x²+2x+8 ay isang quadratic function. Ang graph ay isang parabola na may mga sanga pababa. Mga coordinate ng parabola vertex

Mula sa itaas ay bumuo kami ng parabola y = -x² (1 - kanan, 1 - pababa; 1 - kaliwa, 1 - pababa; 2 - kanan, 4 - pababa; 2 - kaliwa, 4 - pababa, atbp.):

Ang pamamaraang ito ay nagpapahintulot sa iyo na bumuo ng isang parabola nang mabilis at hindi nagdudulot ng mga kahirapan kung alam mo kung paano i-plot ang mga function na y=x² at y= -x². Disadvantage: kung ang vertex coordinate ay mga fractional na numero, ang pag-plot ay hindi masyadong maginhawa. Kung kailangan mong malaman eksaktong mga halaga mga punto ng intersection ng graph sa Ox axis, kakailanganin mong dagdagan ang paglutas ng equation na x² + bx + c = 0 (o -x² + bx + c = 0), kahit na ang mga puntong ito ay maaaring direktang matukoy mula sa figure.

Ang isa pang paraan upang bumuo ng isang parabola ay sa pamamagitan ng mga puntos, iyon ay, maaari kang makahanap ng ilang mga punto sa graph at gumuhit ng isang parabola sa pamamagitan ng mga ito (isinasaalang-alang ang katotohanan na ang linyang x=xₒ ay ang axis ng symmetry nito). Kadalasan, para dito, kinukuha nila ang tuktok ng parabola, ang mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes, at 1-2 karagdagang puntos.

I-plot ang function na y=x²+5x+4.

Solusyon:

Ang y=x²+5x+4 ay isang quadratic function. Ang graph ay isang parabola na may mga sanga sa itaas. Mga coordinate ng parabola vertex

ibig sabihin, ang tuktok ng parabola ay ang punto (-2.5; -2.25).

Naghahanap ng . Sa punto ng intersection sa Ox axis y=0: x²+5x+4=0. Mga ugat quadratic equation x1=-1, x2=-4, ibig sabihin, nakakuha kami ng dalawang puntos sa graph (-1; 0) at (-4; 0).

Sa intersection point ng graph na may Oy axis x=0: y=0²+5∙0+4=4. Nakakuha ng puntos (0; 4).

Upang pinuhin ang graph, makakahanap ka ng karagdagang punto. Kunin natin ang x=1, pagkatapos ay y=1²+5∙1+4=10, iyon ay, isa pang punto ng graph - (1; 10). Minarkahan namin ang mga puntong ito sa coordinate plane. Isinasaalang-alang ang symmetry ng parabola na may paggalang sa tuwid na linya na dumadaan sa tuktok nito, minarkahan namin ang dalawa pang puntos: (-5; 6) at (-6; 10) at gumuhit ng parabola sa pamamagitan ng mga ito:

I-plot ang function na y= -x²-3x.

Solusyon:

Ang y= -x²-3x ay isang quadratic function. Ang graph ay isang parabola na may mga sanga pababa. Mga coordinate ng parabola vertex

Ang tuktok (-1.5; 2.25) ay ang unang punto ng parabola.

Sa mga punto ng intersection ng graph na may x-axis y=0, iyon ay, nalulutas namin ang equation -x²-3x=0. Ang mga ugat nito ay x=0 at x=-3, ibig sabihin, (0; 0) at (-3; 0) ay dalawa pang puntos sa graph. Ang punto (o; 0) ay ang punto rin ng intersection ng parabola sa y-axis.

Sa x=1 y=-1²-3∙1=-4, i.e. (1; -4) ay isang karagdagang punto para sa paglalagay.

Ang pagbuo ng isang parabola mula sa mga punto ay isang mas matagal na paraan kumpara sa una. Kung ang parabola ay hindi bumalandra sa Ox axis, higit pang mga karagdagang puntos ang kinakailangan.

Bago natin ipagpatuloy ang pag-plot ng mga quadratic function ng anyong y=ax²+bx+c, isaalang-alang natin ang pag-plot ng mga function gamit ang mga geometric na pagbabagong-anyo. Ang mga graph ng mga function ng anyong y=x²+c ay pinaka-maginhawang gawin gamit ang isa sa mga pagbabagong ito - parallel na pagsasalin.