Paglutas ng mga equation ng trigonometric na kasalanan. Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko

Aralin at presentasyon sa paksa: "Paglutas ng mga simpleng trigonometriko equation"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.

Mga manual at simulator sa Integral online na tindahan para sa grade 10 mula sa 1C
Paglutas ng mga problema sa geometry. Mga interactive na gawain para sa pagbuo sa espasyo
Kapaligiran ng software "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ang pag-aaralan natin:
1. Ano ang mga trigonometric equation?

3. Dalawang pangunahing paraan ng solusyon trigonometriko equation.
4. Homogeneous trigonometriko equation.
5. Mga halimbawa.

Ano ang trigonometric equation?

Guys, napag-aralan na natin ang arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent. Ngayon tingnan natin ang mga trigonometric equation sa pangkalahatan.

Ang mga equation ng trigonometric ay mga equation kung saan ang isang variable ay nakapaloob sa ilalim ng tanda ng isang function na trigonometric.

Ulitin natin ang anyo ng paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko:

1) Kung |a|≤ 1, ang equation na cos(x) = a ay may solusyon:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kung |a|≤ 1, kung gayon ang equation na sin(x) = a ay may solusyon:

3) Kung |a| > 1, kung gayon ang equation na sin(x) = a at cos(x) = a ay walang mga solusyon 4) Ang equation na tg(x)=a ay may solusyon: x=arctg(a)+ πk

5) Ang equation na ctg(x)=a ay may solusyon: x=arcctg(a)+ πk

Para sa lahat ng mga formula k ay isang integer

Ang pinakasimpleng trigonometriko equation ay may anyo: T(kx+m)=a, T ay ilang trigonometric function.

Lutasin ang mga equation: a) sin(3x)= √3/2

Solusyon:

A) Ipahiwatig natin ang 3x=t, pagkatapos ay muling isusulat natin ang ating equation sa anyo:

Ang solusyon sa equation na ito ay magiging: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Mula sa talahanayan ng mga halaga ay nakukuha natin: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Bumalik tayo sa ating variable: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Pagkatapos x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Sagot: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kung saan ang n ay isang integer. (-1)^n – minus one sa kapangyarihan ng n.

Higit pang mga halimbawa ng trigonometric equation.

Solusyon:

A) Sa pagkakataong ito, dumiretso tayo sa pagkalkula ng mga ugat ng equation kaagad:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Pagkatapos x/5= πk => x=5πk

Sagot: x=5πk, kung saan ang k ay isang integer.

B) Isinulat namin ito sa anyong: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Alam natin na: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Sagot: x=2π/9 + πk/3, kung saan ang k ay isang integer.

Lutasin ang mga equation: cos(4x)= √2/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment.

Solusyon:

Magpapasya na tayo pangkalahatang pananaw ang aming equation: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Ngayon tingnan natin kung anong mga ugat ang nahuhulog sa ating segment. Sa k Sa k=0, x= π/16, tayo ay nasa ibinigay na segment.
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, pumutok muli kami.
Para sa k=2, x= π/16+ π=17π/16, ngunit dito hindi kami tumama, ibig sabihin, para sa malaking k ay halatang hindi rin kami tatama.

Sagot: x= π/16, x= 9π/16

Dalawang pangunahing paraan ng solusyon.

Lutasin natin ang equation:

Solusyon:
Upang malutas ang aming equation, gagamitin namin ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, na nagsasaad ng: t=tg(x).

Bilang resulta ng kapalit na nakukuha natin: t 2 + 2t -1 = 0

Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic equation: t=-1 at t=1/3

Pagkatapos tg(x)=-1 at tg(x)=1/3, nakukuha natin ang pinakasimpleng trigonometric equation, hanapin natin ang mga ugat nito.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Sagot: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang equation

Lutasin ang mga equation: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Solusyon:

Gamitin natin ang pagkakakilanlan: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ang aming equation ay kukuha ng anyo: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ipakilala natin ang kapalit na t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Ang solusyon sa aming quadratic equation ay ang mga ugat: t=2 at t=-1/2

Pagkatapos cos(x)=2 at cos(x)=-1/2.

kasi Ang cosine ay hindi maaaring kumuha ng mga halaga na higit sa isa, kung gayon ang cos(x)=2 ay walang mga ugat.

Para sa cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Sagot: x= ±2π/3 + 2πk

Mga homogenous na trigonometric equation.

Mga equation ng form

homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree.

Upang malutas ang isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree, hatiin ito sa cos(x): Hindi mo mahahati sa cosine kung ito katumbas ng zero, siguraduhin nating hindi ganito ang sitwasyon:
Hayaan ang cos(x)=0, pagkatapos asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ngunit ang sine at cosine ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras, nakakakuha tayo ng kontradiksyon, upang ligtas nating hatiin sa pamamagitan ng zero.

Lutasin ang equation:
Halimbawa: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Solusyon:

Kunin natin ang karaniwang salik: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pagkatapos ay kailangan nating lutasin ang dalawang equation:

Cos(x)=0 at cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 sa x= π/2 + πk;

Isaalang-alang ang equation cos(x)+sin(x)=0 Hatiin ang aming equation sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Sagot: x= π/2 + πk at x= -π/4+πk

Paano malutas ang mga homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree?
Guys, laging sundin ang mga patakarang ito!

1. Tingnan kung ano ang katumbas ng coefficient a, kung a=0 ang ating equation ay kukuha ng anyo na cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), isang halimbawa ng solusyon na nasa nakaraang slide

2. Kung a≠0, pagkatapos ay kailangan mong hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cosine squared, makuha namin ang:

Binago namin ang variable t=tg(x) at makuha ang equation:

Lutasin ang halimbawa Blg.:3

Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa cosine square:

Binabago namin ang variable na t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic equation: t=-3 at t=1

Pagkatapos: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Sagot: x=-arctg(3) + πk at x= π/4+ πk

Lutasin ang halimbawa Blg.:4

Solusyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Maaari nating lutasin ang mga naturang equation: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Sagot: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Lutasin ang halimbawa blg.:5

Solusyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Ipakilala natin ang kapalit na tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Ang solusyon sa ating quadratic equation ay ang mga ugat: t=-2 at t=1/2

Pagkatapos ay makukuha natin ang: tg(2x)=-2 at tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Sagot: x=-arctg(2)/2 + πk/2 at x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Mga problema para sa malayang solusyon.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) Lutasin ang mga equation: sin(3x)= √3/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment [π/2; π].

3) Lutasin ang equation: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Lutasin ang equation: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lutasin ang equation: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lutasin ang equation: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Nangangailangan ng kaalaman sa mga pangunahing formula ng trigonometry - ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine, ang pagpapahayag ng tangent sa pamamagitan ng sine at cosine, at iba pa. Para sa mga nakalimutan na sila o hindi nakakakilala sa kanila, inirerekomenda naming basahin ang artikulong "".
Kaya, ang mga pangunahing mga formula ng trigonometriko alam nating oras na para isabuhay ang mga ito. Paglutas ng mga equation ng trigonometriko sa tamang diskarte, ito ay isang kapana-panabik na aktibidad, tulad ng, halimbawa, paglutas ng isang Rubik's cube.

Batay sa mismong pangalan, malinaw na ang isang trigonometric equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay nasa ilalim ng sign ng trigonometric function.
May mga tinatawag na pinakasimpleng trigonometric equation. Narito kung ano ang hitsura nila: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Isaalang-alang natin kung paano lutasin ang gayong mga trigonometric equation, para sa kalinawan gagamitin namin ang pamilyar na trigonometriko na bilog.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

higaan x = a

Anumang trigonometriko equation ay malulutas sa dalawang yugto: binabawasan natin ang equation sa pinakasimpleng anyo nito at pagkatapos ay lutasin ito bilang isang simpleng trigonometric equation.
Mayroong 7 pangunahing pamamaraan kung saan nalulutas ang mga trigonometric equation.

1. Variable substitution at substitution method

Lutasin ang equation na 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Gamit ang mga formula ng pagbabawas na nakukuha natin:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Palitan ang cos(x + /6) ng y upang gawing simple at makuha ang karaniwan quadratic equation:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Ang mga ugat nito ay y 1 = 1, y 2 = 1/2

Ngayon, pumunta tayo sa reverse order

Pinapalitan namin ang mga nahanap na halaga ng y at kumuha ng dalawang pagpipilian sa sagot:

2. Paglutas ng mga equation ng trigonometriko sa pamamagitan ng factorization

Paano malutas ang equation na sin x + cos x = 1?

Ilipat natin ang lahat sa kaliwa upang manatili ang 0 sa kanan:

sin x + cos x – 1 = 0

Gamitin natin ang mga pagkakakilanlan na tinalakay sa itaas upang gawing simple ang equation:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

I-factorize natin:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Kumuha kami ng dalawang equation

3. Pagbawas sa isang homogenous na equation

Ang isang equation ay homogenous na may paggalang sa sine at cosine kung ang lahat ng mga termino nito ay nauugnay sa sine at cosine ng parehong kapangyarihan ng parehong anggulo. Upang malutas ang isang homogenous na equation, magpatuloy tulad ng sumusunod:

a) ilipat ang lahat ng mga miyembro nito sa kaliwang bahagi;

b) alisin ang lahat ng karaniwang salik sa mga bracket;

c) ipantay ang lahat ng mga salik at mga bracket sa 0;

d) natanggap sa mga bracket homogenous equation sa isang mas mababang antas, ito naman ay nahahati sa sine o cosine sa pinakamataas na antas;

e) lutasin ang nagresultang equation para sa tg.

Lutasin ang equation na 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Gamitin natin ang formula na sin 2 x + cos 2 x = 1 at alisin ang bukas na dalawa sa kanan:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Hatiin sa cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Palitan ang tan x ng y at kumuha ng quadratic equation:

y 2 + 4y +3 = 0, na ang mga ugat ay y 1 =1, y 2 = 3

Mula dito nakita namin ang dalawang solusyon sa orihinal na equation:

x 2 = arctan 3 + k

4. Paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng paglipat sa kalahating anggulo

Lutasin ang equation na 3sin x – 5cos x = 7

Lumipat tayo sa x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Ilipat natin ang lahat sa kaliwa:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Hatiin sa cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Panimula ng auxiliary angle

Para sa pagsasaalang-alang, kunin natin ang isang equation ng form: a sin x + b cos x = c,

kung saan ang a, b, c ay ilang di-makatwirang coefficient, at ang x ay hindi kilala.

Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng:



Ngayon ang mga coefficient ng equation, ayon sa mga trigonometric formula, ay may mga katangian na sin at cos, ibig sabihin: ang kanilang modulus ay hindi hihigit sa 1 at ang kabuuan ng mga parisukat = 1. Ipaalam sa amin tukuyin ang mga ito ayon sa pagkakabanggit bilang cos at kasalanan, kung saan - ito ay ang tinatawag na auxiliary angle. Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form:

cos * sin x + sin * cos x = C

o sin(x + ) = C

Ang solusyon sa pinakasimpleng trigonometric equation na ito ay

x = (-1) k * arcsin C - + k, kung saan



Dapat pansinin na ang mga notasyong cos at sin ay mapagpapalit.

Lutasin ang equation sin 3x – cos 3x = 1

Ang mga coefficient sa equation na ito ay:

a = , b = -1, kaya hatiin ang magkabilang panig ng = 2

Isang aral sa pinagsamang aplikasyon ng kaalaman.

Mga layunin ng aralin.

1. Isipin mo iba't ibang pamamaraan paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
2. Pag-unlad pagkamalikhain mga mag-aaral sa pamamagitan ng paglutas ng mga equation.
3. Hikayatin ang mga mag-aaral na kontrolin ang sarili, kontrol sa isa't isa, at pagsusuri sa sarili ng kanilang mga aktibidad na pang-edukasyon.

Kagamitan: screen, projector, reference na materyal.

Sa panahon ng mga klase

Panimulang usapan.

Ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga trigonometric equation ay upang bawasan ang mga ito sa kanilang pinakasimpleng anyo. Sa kasong ito, ang mga karaniwang pamamaraan ay ginagamit, halimbawa, factorization, pati na rin ang mga pamamaraan na ginagamit lamang para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Mayroong napakaraming mga pamamaraan na ito, halimbawa, iba't ibang mga pamalit na trigonometriko, mga pagbabagong-anyo ng anggulo, mga pagbabagong-anyo ng mga pag-andar ng trigonometriko. Ang walang pinipiling aplikasyon ng anumang mga pagbabagong trigonometriko ay karaniwang hindi nagpapasimple sa equation, ngunit sakuna itong nagpapalubha. Upang mag-ehersisyo sa pangkalahatang balangkas plano para sa paglutas ng equation, balangkas ng isang paraan upang bawasan ang equation sa pinakasimpleng, kailangan mo munang pag-aralan ang mga anggulo - ang mga argumento ng trigonometriko function na kasama sa equation.

Ngayon ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Ang tamang piniling paraan ay kadalasang maaaring makabuluhang gawing simple ang solusyon, kaya ang lahat ng mga pamamaraan na ating pinag-aralan ay dapat palaging isaisip upang malutas ang mga trigonometrikong equation gamit ang pinakaangkop na pamamaraan.

II. (Gamit ang isang projector, inuulit namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation.)

1. Paraan ng pagbabawas ng trigonometric equation sa isang algebraic.

Ito ay kinakailangan upang ipahayag ang lahat ng trigonometriko function sa pamamagitan ng isa, na may parehong argumento. Magagawa ito gamit ang pangunahing trigonometric identity at ang mga kahihinatnan nito. Kumuha kami ng isang equation na may isang trigonometric function. Isinasaalang-alang ito bilang isang bagong hindi alam, nakakakuha kami ng isang algebraic equation. Nahanap namin ang mga ugat nito at bumalik sa dating hindi alam, nilulutas ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.

2. Pamamaraan ng Factorization.

Upang baguhin ang mga anggulo, ang mga formula para sa pagbabawas, kabuuan at pagkakaiba ng mga argumento ay kadalasang kapaki-pakinabang, pati na rin ang mga formula para sa pag-convert ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga trigonometriko function sa isang produkto at vice versa.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. Paraan ng pagpapakilala ng karagdagang anggulo.

4. Paraan ng paggamit ng universal substitution.

Ang mga equation ng form na F(sinx, cosx, tanx) = 0 ay binabawasan sa algebraic gamit ang isang unibersal na trigonometric substitution

Pagpapahayag ng sine, cosine at tangent sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo. Ang pamamaraan na ito ay maaaring humantong sa isang mas mataas na pagkakasunud-sunod na equation. Ang solusyon na mahirap.

Kapag nag-solve ng marami mga problema sa matematika, lalo na ang mga nangyari bago ang grade 10, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa na hahantong sa layunin ay malinaw na tinukoy. Kabilang sa mga naturang problema, halimbawa, ang mga linear at quadratic equation, linear at quadratic inequalities, fractional equation at equation na bumababa sa quadratic. Ang prinsipyo ng matagumpay na paglutas ng bawat isa sa mga nabanggit na problema ay ang mga sumusunod: kailangan mong itatag kung anong uri ng problema ang iyong nilulutas, tandaan ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa nais na resulta, i.e. sagutin at sundin ang mga hakbang na ito.

Malinaw na ang tagumpay o kabiguan sa paglutas ng isang partikular na problema ay pangunahing nakasalalay sa kung gaano katama ang uri ng equation na nalutas, kung gaano katama ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito ay muling ginawa. Siyempre, sa kasong ito ay kinakailangan na magkaroon ng mga kasanayan upang magsagawa ng magkatulad na mga pagbabago at kalkulasyon.

Iba ang sitwasyon sa trigonometriko equation. Hindi naman mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometric. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa tamang sagot.

Sa pamamagitan ng hitsura equation, minsan mahirap matukoy ang uri nito. At nang hindi nalalaman ang uri ng equation, halos imposibleng pumili ng tama mula sa ilang dosenang mga formula ng trigonometriko.

Upang malutas ang isang trigonometric equation, kailangan mong subukan:

1. dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong mga anggulo";
2. dalhin ang equation sa "magkaparehong pag-andar";
3. i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Isaalang-alang natin mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

I. Pagbawas sa pinakasimpleng trigonometric equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Express trigonometriko function sa pamamagitan ng mga kilalang sangkap.

Hakbang 2. Hanapin ang argumento ng function gamit ang mga formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

kasalanan x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Hakbang 3. Hanapin ang hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solusyon.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Sagot: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Pagpapalit ng variable

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Bawasan ang equation sa algebraic form na may paggalang sa isa sa mga trigonometric function.

Hakbang 2. Tukuyin ang resultang function ng variable na t (kung kinakailangan, ipakilala ang mga paghihigpit sa t).

Hakbang 3. Isulat at lutasin ang resultang algebraic equation.

Hakbang 4. Gumawa ng reverse replacement.

Hakbang 5. Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solusyon.

1) 2(1 – kasalanan 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x/2) = t, kung saan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2, ay hindi nakakatugon sa kondisyon |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Sagot: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Palitan ang equation na ito ng isang linear, gamit ang formula para sa pagbabawas ng degree:

kasalanan 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2. Lutasin ang resultang equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solusyon.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Sagot: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Mga homogenous na equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Bawasan ang equation na ito sa anyo

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeneous equation ng unang degree)

o sa view

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Hakbang 2. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

at kunin ang equation para sa tan x:

a) isang tan x + b = 0;

b) isang tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Hakbang 3. Lutasin ang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Solusyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

kasalanan 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Hayaan ang tg x = t, pagkatapos

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 o t = -4, ibig sabihin

tg x = 1 o tg x = -4.

Mula sa unang equation x = π/4 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Paraan ng pagbabago ng isang equation gamit ang mga trigonometric formula

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng posibleng trigonometriko formula, bawasan ang equation na ito sa isang equation na nalutas ng mga pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2. Lutasin ang resultang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Solusyon.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) kasalanan 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Mula sa unang equation 2x = π/2 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation cos x = -1/2.

Mayroon kaming x = π/4 + πn/2, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Bilang resulta, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga trigonometric equation ay napaka mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng makabuluhang pagsisikap, kapwa sa bahagi ng mag-aaral at sa bahagi ng guro.

Maraming problema ng stereometry, physics, atbp. ang nauugnay sa solusyon ng mga trigonometric equation. Ang proseso ng paglutas ng mga naturang problema ay naglalaman ng marami sa mga kaalaman at kasanayan na nakukuha sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga elemento ng trigonometry.

Ang mga equation ng trigonometric ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pag-aaral ng matematika at personal na pag-unlad sa pangkalahatan.

May mga tanong pa ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Ang konsepto ng paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

• Upang malutas ang isang trigonometric equation, i-convert ito sa isa o higit pang mga pangunahing trigonometric equation. Ang paglutas ng isang trigonometric equation sa huli ay bumababa sa paglutas ng apat na pangunahing trigonometric equation.