Homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient. Inhomogeneous Second Order Differential Equation
Na-verify namin iyon, sa kaso kapag ito ay kilala karaniwang desisyon linear homogenous equation, posible na mahanap ang pangkalahatang solusyon sa pamamagitan ng paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants hindi magkakatulad na equation. Gayunpaman, ang tanong kung paano mahahanap ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay nanatiling bukas. Sa isang partikular na kaso, kapag nasa linear differential equation (3) ang lahat ng coefficients p i(X)= a i - constants, ito ay malulutas nang simple, kahit na walang pagsasama.
Isaalang-alang ang isang linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient, ibig sabihin, mga equation ng form
y (n) + a 1 y (n – 1) + ... a n – 1 y " + a n y = 0, (14)
saan a i- mga pare-pareho (i= 1, 2, ...,n).
Tulad ng nalalaman, para sa isang linear homogeneous equation ng 1st order, ang solusyon ay isang function ng form e kx . Maghahanap tayo ng solusyon sa Eq. (14) sa anyo j (X) = e kx.
Ipalit natin sa equation (14) ang function j (X) at ang order derivatives nito m (1 £ m£ n)j (m) (X) = k m e kx. Kunin
(k n + a 1 k n – 1 +… at n – 1 k + a n)e kx = 0,
ngunit e k x ¹ 0 para sa alinman X, kaya lang
k n + a 1 k n – 1 + ... a n – 1 k + a n = 0. (15)
Ang equation (15) ay tinatawag katangian equation, polynomial sa kaliwang bahagi,- katangiang polinomyal , ang mga ugat nito- katangiang ugat differential equation (14).
Konklusyon:
functionj (X) = e kx - solusyon ng linear homogenous equation (14) kung at kung ang numero lamang k - ugat ng katangian equation (15).
Kaya, ang proseso ng paglutas ng linear homogenous equation (14) ay nabawasan sa paglutas ng algebraic equation (15).
Mayroong iba't ibang mga kaso ng mga katangian ng ugat.
1.Ang lahat ng mga ugat ng katangian na equation ay totoo at naiiba.
Sa kasong ito n iba't ibang katangiang ugat k 1 ,k 2 ,..., k n tumutugma n iba't ibang solusyon ng homogenous equation (14)
Maipapakita na ang mga solusyong ito ay linearly independent at samakatuwid ay nabuo pangunahing sistema mga solusyon. Kaya, ang pangkalahatang solusyon sa equation ay ang function
saan MULA SA 1 , C 2 , ..., ~ n - di-makatwirang mga pare-pareho.
HALIMBAWA 7. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng linear homogenous equation:
a) sa¢ ¢ (X) - 6sa¢ (X) + 8sa(X) = 0, b) sa¢ ¢ ¢ (X) + 2sa¢ ¢ (X) - 3sa¢ (X) = 0.
Solusyon. Gumawa tayo ng isang katangian na equation. Para magawa ito, papalitan namin ang order derivative m mga function y(x) sa kaukulang antas
k(sa (m) (x) « k m),
habang ang function mismo sa(X) dahil ang zeroth order derivative ay pinalitan ng k 0 = 1.
Sa kaso (a), ang katangiang equation ay may anyo k 2 - 6k + 8 = 0. Ang mga ugat ng quadratic equation na ito k 1 = 2,k 2 = 4. Dahil ang mga ito ay totoo at naiiba, ang pangkalahatang solusyon ay may anyo j (X)= C 1 e 2X + Mula 2 e 4x.
Para sa case (b), ang characteristic equation ay ang third-degree equation k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Hanapin ang mga ugat ng equation na ito:
k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,
t . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.
Ang mga katangiang ugat na ito ay tumutugma sa pangunahing sistema ng mga solusyon ng differential equation:
j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= e - 3X .
Ang pangkalahatang solusyon, ayon sa formula (9), ay ang function
j (X)= C 1 + C 2 e x + C 3 e - 3X .
II . Ang lahat ng mga ugat ng katangian na equation ay iba, ngunit ang ilan sa mga ito ay kumplikado.
Lahat ng coefficient ng differential equation (14), at dahil dito, ng katangiang equation nito (15)- tunay na mga numero, kung gayon kung c sa mga katangiang ugat ay mayroong isang kumplikadong ugat k 1 = a + ib, ibig sabihin, ang conjugate root nito k 2 = ` k 1 = a- ib.Unang ugat k 1 tumutugma sa solusyon ng differential equation (14)
j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)
(ginamit namin ang Euler formula e i x = cosx + isinx). Gayundin, ang ugat k 2 = a- ib katumbas ng desisyon
j 2 (X)= e (isang - -ib)X = e a x e - ib x= e palakol(cosbx - isinbx).
Ang mga solusyon na ito ay kumplikado. Upang makakuha ng mga tunay na solusyon mula sa kanila, ginagamit namin ang mga katangian ng mga solusyon ng isang linear homogeneous equation (tingnan ang 13.2). Mga pag-andar
ay mga tunay na solusyon ng equation (14). Gayundin, ang mga solusyong ito ay linearly independent. Kaya, ang sumusunod na konklusyon ay maaaring iguguhit.
Panuntunan 1.Isang pares ng conjugate complex roots a± ib ng characteristic equation sa FSR ng linear homogenous equation (14) tumutugma sa dalawang tunay na partikular na solusyonat .
HALIMBAWA 8. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng equation:
a) sa¢ ¢ (X) - 2sa ¢ (X) + 5sa(X) = 0 ;b) sa¢ ¢ ¢ (X) - sa¢ ¢ (X) + 4sa ¢ (X) - 4sa(X) = 0.
Solusyon. Sa kaso ng equation (a), ang mga ugat ng katangian na equation k 2 - 2k + 5 Ang = 0 ay dalawang conjugate complex na numero
k 1, 2 = .
Samakatuwid, ayon sa panuntunan 1, tumutugma sila sa dalawang tunay na linearly independent na solusyon: at , at ang pangkalahatang solusyon ng equation ay ang function.
j (X)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x kasalanan 2x.
Sa kaso (b), upang mahanap ang mga ugat ng katangian na equation k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, isinasali namin ang kaliwang bahagi nito:
k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.
Samakatuwid, mayroon tayong tatlong katangiang ugat: k 1 = 1,k2 , 3 = ± 2i. Cornu k 1 katumbas ng desisyon , at isang pares ng conjugate complex roots k 2, 3 = ± 2ako = 0 ± 2i- dalawang tunay na solusyon: at . Binubuo namin ang pangkalahatang solusyon ng equation:
j (X)= C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 kasalanan 2x.
III . Kabilang sa mga ugat ng katangian na equation ay may mga multiple.
Hayaan k 1 - tunay na ugat ng multiplicity m katangian equation (15), ibig sabihin, sa mga ugat mayroong m pantay na ugat. Ang bawat isa sa kanila ay tumutugma sa parehong solusyon ng differential equation (14) Gayunpaman, isama m Ang mga pantay na solusyon sa FSR ay imposible, dahil bumubuo sila ng isang linearly dependent na sistema ng mga function.
Maaari itong ipakita na sa kaso ng maramihang ugat k 1 ang mga solusyon ng equation (14), bilang karagdagan sa function, ay ang mga function
Ang mga function ay linearly independent sa buong number axis, dahil , ibig sabihin, maaari silang isama sa FSR.
Panuntunan 2 tunay na katangiang ugat k 1 multiplicity m sa FSR tumutugon m mga solusyon:
Kung ang k 1 - kumplikadong ugat ng multiplicity m katangian equation (15), pagkatapos ay mayroong isang conjugate root k 1 multiplicity m. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, nakukuha natin ang sumusunod na panuntunan.
Panuntunan 3. Isang pares ng conjugate complex roots a± ib sa FSR ay tumutugma sa 2m real linearly independent solutions:
, , ..., ,
, , ..., .
HALIMBAWA 9. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng equation:
a) sa¢ ¢ ¢ (X) + 3sa¢ ¢ (X) + 3sa¢ (X)+ y ( X)= 0;b) IV(X) + 6sa¢ ¢ (X) + 9sa(X) = 0.
Solusyon. Sa kaso (a), ang katangiang equation ay may anyo
k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
i.e. k =- 1 - multiplicity root 3. Batay sa panuntunan 2, isinusulat namin ang pangkalahatang solusyon:
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 x 2 .
Ang katangiang equation sa kaso (b) ay ang equation
k 4 + 6k 2 + 9 = 0
o, kung hindi,
(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± ako.
Mayroon kaming isang pares ng conjugate complex roots, bawat isa ay multiplicity 2. Ayon sa Rule 3, ang pangkalahatang solusyon ay nakasulat bilang
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 + C 4 x .
Ito ay sumusunod mula sa itaas na para sa anumang linear homogenous equation na may pare-parehong coefficient, ang isa ay makakahanap ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon at makabuo ng isang pangkalahatang solusyon. Samakatuwid, ang solusyon ng kaukulang inhomogeneous equation para sa anuman tuluy-tuloy na pag-andar f(x) sa kanang bahagi ay matatagpuan gamit ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants (tingnan ang Seksyon 5.3).
Halimbawa r10. Gamit ang paraan ng variation, hanapin ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation sa¢ ¢ (X) - sa¢ (X) - 6sa(X) = x e 2x .
Solusyon. Una, nakita namin ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous equation sa¢ ¢ (X) - sa¢ (X) - 6sa(X) = 0. Ang mga ugat ng katangiang equation k 2 - k- 6 = 0 ay k 1 = 3,k 2 = - 2, a pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation - function ` sa ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
Maghahanap tayo ng solusyon sa inhomogeneous equation sa anyo
sa( X) = MULA SA 1 (X)e 3X + C 2 (X)e 2X . (*)
Hanapin natin ang determinant ng Vronsky
W[e 3X , e 2X ] = .
Buuin natin ang sistema ng mga equation (12) na may paggalang sa mga derivatives ng mga hindi kilalang function MULA SA ¢ 1 (X) at MULA SA¢ 2 (X):
Ang paglutas ng system gamit ang mga formula ng Cramer, nakukuha namin
Pagsasama, nahanap namin MULA SA 1 (X) at MULA SA 2 (X):
Pagpapalit ng mga function MULA SA 1 (X) at MULA SA 2 (X) sa pagkakapantay-pantay (*), nakukuha natin ang pangkalahatang solusyon ng equation sa¢ ¢ (X) - sa¢ (X) - 6sa(X) = x e 2x :
Kung kailan kanang bahagi Ang linear inhomogeneous equation na may pare-parehong mga coefficient ay may isang espesyal na anyo, ang isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation ay matatagpuan nang hindi gumagamit ng paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constants.
Isaalang-alang ang equation na may pare-parehong coefficient
y (n) + isang 1 y (n– 1) + ... a n – 1 taon " + a n y = f (x), (16)
f( x) = epalakol(P n(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)
saan P n(x) at R m(x) - degree polynomials n at m ayon sa pagkakabanggit.
Pribadong solusyon y*(X) ng equation (16) ay tinutukoy ng formula
sa* (X) = x se palakol(Ginoo(x)cosbx + Nr(x)sinbx), (18)
saan Ginoo(x) at N r(x) - degree polynomials r = max(n, m) na may mga hindi tiyak na coefficient , a s katumbas ng multiplicity ng ugat k 0 = a + ib katangian polynomial ng equation (16), habang ito ay ipinapalagay s= 0 kung k Ang 0 ay hindi isang katangiang ugat.
Upang bumalangkas ng isang partikular na solusyon gamit ang formula (18), kailangan nating maghanap ng apat na parameter - a, b, r at s. Ang unang tatlo ay tinutukoy mula sa kanang bahagi ng equation, na may r- ito talaga ang pinakamataas x matatagpuan sa kanang bahagi. Parameter s ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahambing ng numero k 0 = a + ib at ang set ng lahat (isinasaalang-alang ang multiplicity) katangian na mga ugat ng equation (16) na matatagpuan sa paglutas ng katumbas na homogenous equation.
Isaalang-alang natin ang mga partikular na kaso ng anyo ng function (17):
1) sa a ¹ 0, b= 0f(x)= e palakol P n(x);
2) kailan a= 0, b ¹ 0f(x)= P n(x) Saosbx + Rm(x)sinbx;
3) kailan a = 0, b = 0f(x)=Pn(x).
Puna 1. Kung P n (x) º 0 o R m (x)º 0, pagkatapos ay ang kanang bahagi ng equation f(x) = e ax P n (x)с osbx o f(x) = e ax R m (x)sinbx, ibig sabihin, naglalaman lamang ng isa sa mga function - cosine o sine. Ngunit sa notasyon ng isang partikular na solusyon, dapat silang parehong naroroon, dahil, ayon sa formula (18), ang bawat isa sa kanila ay pinarami ng isang polynomial na may hindi tiyak na mga coefficient ng parehong degree r = max(n, m).
Halimbawa 11. Tukuyin ang anyo ng isang partikular na solusyon ng isang linear homogeneous equation ng ika-4 na order na may pare-parehong coefficient, kung ang kanang bahagi ng equation ay kilala f(X) = e x(2xcos 3x +(x 2 + 1)kasalanan 3x) at ang mga ugat ng katangiang equation:
a ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;
b ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = ± 1;
sa ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = 1 ± 3i.
Solusyon. Sa kanang bahagi, nakita namin iyon sa partikular na solusyon sa*(X), na tinutukoy ng formula (18), mga parameter: a= 1, b= 3, r= 2. Nananatili silang pareho para sa lahat ng tatlong kaso, kaya ang bilang k 0 , na tumutukoy sa huling parameter s ang formula (18) ay katumbas ng k 0 = 1+ 3i. Kung sakaling (a) walang numero sa mga katangiang ugat k 0 = 1 + 3ako, ibig sabihin, s= 0, at ang partikular na solusyon ay may anyo
y*(X) = x 0 e x(M 2 (x)cos 3x + N 2 (x)kasalanan 3x) =
= ex( (Ax 2 + Bx + C)cos 3x +(A 1 x 2 +B 1 x + C 1)kasalanan 3x.
Kung sakaling (b) ang numero k 0 = 1 + 3i nangyayari nang isang beses lamang sa mga katangiang ugat, na nangangahulugang iyon s= 1 at
y*(X) = x e x((Ax 2 + Bx + C)cos 3x +(A 1 x 2 +B 1 x + C 1)kasalanan 3x.
Para sa kaso (c) mayroon kami s= 2 at
y*(X) = x 2 e x((Ax 2 + Bx + C)cos 3x +(A 1 x 2 +B 1 x + C 1)kasalanan 3x.
Sa halimbawa 11, mayroong dalawang polynomial ng 2nd degree na may mga hindi tiyak na coefficient sa talaan ng partikular na solusyon. Upang makahanap ng solusyon, kailangan mong matukoy ang mga numerical na halaga ng mga coefficient na ito. Bumuo tayo ng pangkalahatang tuntunin.
Upang matukoy ang hindi kilalang coefficient ng polynomials Ginoo(x) at N r(x) pagkakapantay-pantay (17) ay pinag-iba ang kinakailangang bilang ng beses, ang function ay pinapalitan y*(X) at mga derivatives nito sa equation (16). Kung ihahambing ang kaliwa at kanang bahagi nito, nakukuha natin ang system algebraic equation upang makahanap ng mga coefficient.
Halimbawa 12. Humanap ng solusyon sa equation sa¢ ¢ (X) - sa¢ (X) - 6sa(X) = xe 2x, na natukoy ang isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation sa pamamagitan ng anyo ng kanang bahagi.
Solusyon. Ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation ay may anyo
sa( X) = ` sa(X)+ y*(X),
saan ` sa ( X) - ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous equation, at y*(X) - isang partikular na solusyon ng isang inhomogeneous equation.
Una naming lutasin ang homogenous equation sa¢ ¢ (X) - sa¢ (X) - 6sa(X) = 0. Ang katangiang equation nito k 2 - k- 6 = 0 may dalawang ugat k 1 = 3,k 2 = - 2, Dahil dito, ` sa ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
Gumagamit kami ng formula (18) upang matukoy ang uri ng partikular na solusyon sa*(X). Function f(x) = xe 2x ay isang espesyal na kaso (a) ng formula (17), habang a = 2,b= 0 at r= 1, i.e. k 0 = 2 + 0ako = 2. Ang paghahambing sa mga katangian ng mga ugat, napagpasyahan namin iyon s= 0. Ang pagpapalit ng mga halaga ng lahat ng mga parameter sa formula (18), mayroon kami y*(X) = (Ah + B)e 2X .
Upang mahanap ang mga halaga PERO at AT, hanapin ang mga derivatives ng una at pangalawang order ng function y*(X) = (Ah + B)e 2X :
y*¢ (X)= Ae 2X + 2(Ah + B)e 2X = (2Ah + A + 2B)e 2x,
y*¢ ¢ (X) = 2Ae 2X + 2(2Ah + A + 2B)e 2X = (4Ah + 4A+ 4B)e 2X .
Pagkatapos palitan ang function y*(X) at ang mga derivatives nito sa equation na mayroon tayo
(4Ah + 4A+ 4B)e 2X - (2Ah + A + 2B)e 2X - 6(Ah + B)e 2X =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.
Kaya, ang isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation ay may anyo
y*(X) = (- 1/4X- 3/16)e 2X ,
at ang pangkalahatang solusyon - sa ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Puna 2.Sa kaso kapag ang problemang Cauchy para sa isang hindi magkakatulad na equation ay ipinakita, kailangan munang maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa equation.
sa( X) = ,
na natukoy ang lahat ng mga numerical na halaga ng mga coefficient sa sa*(X). Pagkatapos ay gamitin ang mga paunang kundisyon at, palitan ang mga ito sa pangkalahatang solusyon (at hindi sa y*(X)), hanapin ang mga halaga ng mga constant C i.
Halimbawa 13. Humanap ng solusyon sa problemang Cauchy:
sa¢ ¢ (X) - sa¢ (X) - 6sa(X) = xe 2x ,y(0) = 0, y ¢ (X) = 0.
Solusyon. Pangkalahatang solusyon ng equation na ito
sa(X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X
ay natagpuan sa Halimbawa 12. Upang makahanap ng isang partikular na solusyon na nakakatugon sa mga paunang kondisyon ng ibinigay na problemang Cauchy, nakuha namin ang sistema ng mga equation
Ang paglutas nito, mayroon kami C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Samakatuwid, ang solusyon sa problemang Cauchy ay ang pag-andar
sa(X) = 1/8e 3X + 1/16e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Puna 3(prinsipyo ng superposisyon). Kung sa isang linear equation L n[y(x)]= f(x), saan f(x) = f 1 (x)+ f 2 (x) at y* 1 (x) - solusyon ng equation L n[y(x)]= f 1 (x), a y* 2 (x) - solusyon ng equation L n[y(x)]= f 2 (x), pagkatapos ay ang function y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) ay solusyon ng equation L n[y(x)]= f(x).
HALIMBAWA 14. Tukuyin ang uri ng pangkalahatang solusyon linear equation
sa¢ ¢ (X) + 4sa(X) = x + sinx.
Solusyon. Pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous equation
` sa(x) = C 1 cos 2x + C 2 kasalanan 2x,
dahil ang katangian equation k 2 + 4 = 0 ay may mga ugat k 1, 2 = ± 2i.Ang kanang bahagi ng equation ay hindi tumutugma sa formula (17), ngunit kung ipinakilala natin ang notasyon f 1 (x) = x, f 2 (x) = sinx at gamitin ang prinsipyo ng superposisyon , pagkatapos ay ang isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation ay matatagpuan sa anyo y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x), saan y* 1 (x) - solusyon ng equation sa¢ ¢ (X) + 4sa(X) = x, a y* 2 (x) - solusyon ng equation sa¢ ¢ (X) + 4sa(X) = sinx. Sa pamamagitan ng formula (18)
y* 1 (x) = Ax + B,y* 2 (x) = Ccosx + Dsinx.
Pagkatapos ay isang partikular na solusyon
y*(X) \u003d Ax + B + Ccosx + Dsinx,
kaya ang pangkalahatang solusyon ay may anyo
sa(X) = C 1 cos 2x + C 2 e - 2X + A x + B + Ccosx + Dsinx.
HALIMBAWA 15. Ang de-koryenteng circuit ay binubuo ng isang nakakonektang serye ng kasalukuyang pinagmumulan na may emf e(t) = E kasalananw t, inductance L at mga lalagyan MULA SA, at
Mga pangunahing kaalaman sa paglutas ng mga linear inhomogeneous differential equation ng pangalawang order (LNDE-2) na may pare-parehong coefficient (PC)
Ang pangalawang-order na CLDE na may pare-parehong coefficient na $p$ at $q$ ay may anyong $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kung saan $f\left( x \right)$ ay isang tuluy-tuloy na function.
Ang sumusunod na dalawang pahayag ay totoo patungkol sa 2nd LNDE na may PC.
Ipagpalagay na ang ilang function na $U$ ay isang arbitrary na partikular na solusyon ng isang inhomogeneous differential equation. Ipagpalagay din natin na ang ilang function na $Y$ ay isang pangkalahatang solusyon (OR) ng katumbas na linear homogeneous differential equation (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Pagkatapos ay ang OR ng Ang LNDE-2 ay katumbas ng kabuuan ng ipinahiwatig na pribado at pangkalahatang solusyon, ibig sabihin, $y=U+Y$.
Kung ang kanang bahagi ng 2nd order LIDE ay ang kabuuan ng mga function, ibig sabihin, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, pagkatapos ay mahahanap mo muna ang PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ na tumutugma sa bawat ng mga function na $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, at pagkatapos ay isulat ang LNDE-2 PD bilang $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Solusyon ng 2nd order LNDE sa PC
Malinaw, ang anyo ng isa o isa pang PD $U$ ng isang ibinigay na LNDE-2 ay nakasalalay sa partikular na anyo ng kanang bahagi nito $f\left(x\right)$. Ang pinakasimpleng mga kaso ng paghahanap para sa PD ng LNDE-2 ay binuo bilang sumusunod na apat na panuntunan.
Rule number 1.
Ang kanang bahagi ng LNDE-2 ay may anyong $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kung saan $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ibig sabihin, ito ay tinatawag na a polynomial ng degree $n$. Pagkatapos ang PR $U$ nito ay hinanap sa form na $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kung saan ang $Q_(n) \left(x\right)$ ay isa pa polynomial ng parehong antas bilang $P_(n) \left(x\right)$, at $r$ ay ang bilang ng zero roots ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2. Ang mga coefficient ng polynomial $Q_(n) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamaraan hindi tiyak na mga coefficient(NC).
Rule number 2.
Ang kanang bahagi ng LNDE-2 ay may anyong $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kung saan $P_(n) Ang \left( x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $n$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinanap sa anyong $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kung saan ang $Q_(n ) \ left(x\right)$ ay isa pang polynomial na kapareho ng degree ng $P_(n) \left(x\right)$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2 katumbas ng $\alpha $. Ang mga coefficient ng polynomial $Q_(n) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng NK method.
Rule number 3.
Ang kanang bahagi ng LNDE-2 ay may anyong $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, kung saan ang $a$, $b$ at $\beta $ ay mga kilalang numero. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinanap sa anyong $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) )\kanan )\cdot x^(r) $, kung saan ang $A$ at $B$ ay mga hindi kilalang coefficient, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2 na katumbas ng $i\cdot \beta $. Ang mga coefficient na $A$ at $B$ ay matatagpuan sa paraan ng NDT.
Rule number 4.
Ang kanang bahagi ng LNDE-2 ay may anyong $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kung saan ang $P_(n) \left(x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $ n$, at ang $P_(m) \left(x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $m$. Pagkatapos ay hahanapin ang PD $U$ nito sa anyong $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kung saan ang $Q_(s) \left(x\right) Ang $ at $ R_(s) \left(x\right)$ ay mga polynomial ng degree na $s$, ang bilang na $s$ ay ang maximum ng dalawang numero na $n$ at $m$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangiang equation ng kaukulang LODE-2, katumbas ng $\alpha +i\cdot \beta $. Ang mga coefficient ng mga polynomial na $Q_(s) \left(x\right)$ at $R_(s) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng NK method.
Ang pamamaraan ng NK ay binubuo sa paglalapat ng sumusunod na tuntunin. Upang mahanap ang hindi kilalang mga coefficient ng polynomial, na bahagi ng partikular na solusyon ng inhomogeneous differential equation LNDE-2, ito ay kinakailangan:
- palitan ang PD $U$ na nakasulat pangkalahatang pananaw, sa kaliwang bahagi ng LNDU-2;
- sa kaliwang bahagi ng LNDE-2, magsagawa ng mga pagpapasimple at mga termino ng pangkat na may pantay na grado$x$;
- sa nagresultang pagkakakilanlan, ipantay ang mga koepisyent ng mga termino na may parehong kapangyarihan $x$ ng kaliwa at kanang bahagi;
- lutasin ang resultang sistema ng mga linear equation para sa hindi kilalang coefficient.
Halimbawa 1
Gawain: hanapin ang OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Hanapin din ang PR , na nagbibigay-kasiyahan sa mga paunang kundisyon $y=6$ para sa $x=0$ at $y"=1$ para sa $x=0$.
Isulat ang kaukulang LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Katangiang equation: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Ang mga ugat ng katangiang equation: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Ang mga ugat na ito ay totoo at naiiba. Kaya, ang OR ng kaukulang LODE-2 ay may anyo: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Ang kanang bahagi ng LNDE-2 na ito ay may anyong $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Kinakailangang isaalang-alang ang koepisyent ng exponent ng exponent na $\alpha =3$. Ang koepisyent na ito ay hindi tumutugma sa alinman sa mga ugat ng katangian na equation. Samakatuwid, ang PR nitong LNDE-2 ay may anyong $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Hahanapin natin ang mga coefficient na $A$, $B$ gamit ang NK method.
Nahanap namin ang unang derivative ng CR:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Natagpuan namin ang pangalawang derivative ng CR:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Pinapalitan namin ang mga function na $U""$, $U"$ at $U$ sa halip na $y""$, $y"$ at $y$ sa ibinigay na LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Kasabay nito, dahil kasama ang exponent na $e^(3\cdot x) $ bilang isang kadahilanan sa lahat ng mga sangkap, kung gayon maaari itong alisin.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Nagsasagawa kami ng mga aksyon sa kaliwang bahagi ng nagresultang pagkakapantay-pantay:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Ginagamit namin ang paraan ng NC. Kumuha kami ng isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Ang solusyon sa sistemang ito ay: $A=-2$, $B=-1$.
Ang CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ para sa aming problema ay ganito ang hitsura: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.
Ang OR $y=Y+U$ para sa aming problema ay ganito ang hitsura: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kaliwa(-2\cdot x-1\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $.
Upang maghanap ng PD na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kundisyon, nakita namin ang derivative na $y"$ O:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Pinapalitan namin sa $y$ at $y"$ ang mga paunang kundisyon $y=6$ para sa $x=0$ at $y"=1$ para sa $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Mayroon kaming isang sistema ng mga equation:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Solusyonan natin ito. Nakita namin ang $C_(1) $ gamit ang formula ng Cramer, at ang $C_(2) $ ay tinutukoy mula sa unang equation:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\kanan|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Kaya, ang PD ng differential equation na ito ay: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.
Institusyong Pang-edukasyon "Estado ng Belarus
akademya ng agrikultura"
Kagawaran ng Mas Mataas na Matematika
Mga Alituntunin
sa pag-aaral ng paksang "Linear differential equation ng pangalawang pagkakasunud-sunod" ng mga mag-aaral ng departamento ng accounting ng form ng pagsusulatan ng edukasyon (NISPO)
Gorki, 2013
Linear differential equation
pangalawang order na may pare-parehocoefficients
Linear homogenous differential equation
Linear differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient ay tinatawag na equation ng anyo
mga. isang equation na naglalaman ng nais na function at mga derivatives nito hanggang sa unang antas lamang at hindi naglalaman ng kanilang mga produkto. Sa equation na ito 
at 
ay ilang mga numero, at ang function 
ibinigay sa ilang pagitan 
.
Kung ang 
sa pagitan 
, pagkatapos ay ang equation (1) ay kumukuha ng anyo
,
(2)
at tinawag linear homogenous . Kung hindi, ang equation (1) ay tinatawag linear inhomogeneous .
Isaalang-alang ang kumplikadong pag-andar
,
(3)
saan 
at 
ay mga tunay na function. Kung ang function (3) ay isang kumplikadong solusyon ng equation (2), kung gayon ang tunay na bahagi 
, at ang haka-haka na bahagi 
mga solusyon 
kinuha nang hiwalay ay mga solusyon ng parehong homogenous equation. Kaya, bawat kumpletong solusyon Ang equation (2) ay bumubuo ng dalawang tunay na solusyon ng equation na ito.
Ang mga solusyon ng isang homogenous na linear equation ay may mga sumusunod na katangian:
Kung ang 
ay isang solusyon sa equation (2), pagkatapos ay ang function 
, saan MULA SA- isang arbitrary na pare-pareho, ay magiging isang solusyon din sa equation (2);
Kung ang 
at 
ay mga solusyon ng equation (2), pagkatapos ay ang function 
magiging solusyon din sa equation (2);
Kung ang 
at 
ay mga solusyon ng equation (2), pagkatapos ang kanilang linear na kumbinasyon 
magiging solusyon din sa equation (2), kung saan 
at 
ay di-makatwirang mga pare-pareho.
Mga pag-andar 
at 
tinawag nakadepende sa linear
sa pagitan 
kung may mga ganyang numero 
at 
, hindi sero sa parehong oras na sa pagitan na ito ang pagkakapantay-pantay
Kung ang pagkakapantay-pantay (4) ay hawak lamang kapag 
at 
, pagkatapos ay ang mga pag-andar 
at 
tinawag linearly independent
sa pagitan 
.
Halimbawa 1
. Mga pag-andar 
at 
ay linearly dependent, dahil 
kasama ang buong linya ng numero. Sa halimbawang ito 
.
Halimbawa 2
. Mga pag-andar 
at 
ay linearly na independyente sa anumang agwat, dahil ang pagkakapantay-pantay 
posible lamang kung at 
, at 
.
Konstruksyon ng isang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogenous
mga equation
Upang makahanap ng pangkalahatang solusyon sa equation (2), kailangan mong hanapin ang dalawa sa mga linearly independent na solusyon nito 
at 
. Linear na kumbinasyon ng mga solusyong ito 
, saan 
at 
ay mga arbitrary constants, at magbibigay ng pangkalahatang solusyon ng isang linear homogenous equation.
Ang mga linearly independent na solusyon ng Eq. (2) ay hahanapin sa form
,
(5)
saan 
- ilang numero. Pagkatapos 
,
. Ipalit natin ang mga expression na ito sa equation (2):
o 
.
kasi 
, pagkatapos 
. Kaya ang function 
magiging solusyon sa equation (2) kung 
ay masiyahan ang equation
.
(6)
Ang equation (6) ay tinatawag katangian equation para sa equation (2). Ang equation na ito ay isang algebraic quadratic equation.
Hayaan 
at 
ang mga ugat ng equation na ito. Maaari silang maging totoo at naiiba, o kumplikado, o totoo at pantay. Isaalang-alang natin ang mga kasong ito.
Hayaan ang mga ugat 
at 
Ang mga katangiang equation ay totoo at naiiba. Kung gayon ang mga solusyon ng equation (2) ay magiging mga function 
at 
. Ang mga solusyong ito ay linearly independent, dahil ang pagkakapantay-pantay 
maisasagawa lamang kapag 
, at 
. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng Eq. (2) ay may anyo
,
saan 
at 
ay di-makatwirang mga pare-pareho.
Halimbawa 3
.
Solusyon
. Ang katangian na equation para sa kaugalian na ito ay magiging 
. Paglutas nito quadratic equation, hanapin ang mga ugat nito 
at 
. Mga pag-andar 
at 
ay mga solusyon ng differential equation. Ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito ay may anyo 
.
kumplikadong numero 
ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo 
, saan 
at 
ay tunay na mga numero, at 
ay tinatawag na imaginary unit. Kung ang 
, pagkatapos ay ang numero 
ay tinatawag na puro haka-haka. Kung 
, pagkatapos ay ang numero 
ay kinilala sa isang tunay na numero 
.
Numero 
ay tinatawag na tunay na bahagi ng kumplikadong numero, at 
- ang haka-haka na bahagi. Kung ang dalawang kumplikadong numero ay naiiba sa bawat isa lamang sa tanda ng haka-haka na bahagi, kung gayon sila ay tinatawag na conjugate: 
,
.
Halimbawa 4
. Lutasin ang isang quadratic equation 
.
Solusyon
. Equation discriminant 
. Pagkatapos. Gayundin, 
. Kaya, ang quadratic equation na ito ay may conjugate complex roots.
Hayaang maging kumplikado ang mga ugat ng katangiang equation, i.e. 
,
, saan 
. Ang mga solusyon sa equation (2) ay maaaring isulat bilang 
,
o 
,
. Ayon sa mga formula ni Euler
,
.
Tapos ,. Tulad ng nalalaman, kung ang isang kumplikadong function ay isang solusyon ng isang linear homogenous na equation, kung gayon ang mga solusyon ng equation na ito ay parehong tunay at haka-haka na mga bahagi ng function na ito. Kaya, ang mga solusyon ng equation (2) ay magiging mga function 
at 
. Dahil pagkakapantay-pantay
maisasagawa lamang kung 
at 
, pagkatapos ang mga solusyong ito ay linearly independent. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng equation (2) ay may anyo
saan 
at 
ay di-makatwirang mga pare-pareho.
Halimbawa 5
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation 
.
Solusyon
. Ang equation 
ay katangian para sa ibinigay na kaugalian. Malutas namin ito at makakuha ng mga kumplikadong ugat 
,
. Mga pag-andar 
at 
ay mga linearly independent na solusyon ng differential equation. Ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito ay may anyo.
Hayaang maging totoo at pantay ang mga ugat ng katangiang equation, i.e. 
. Pagkatapos ang mga solusyon ng equation (2) ay ang mga function 
at 
. Ang mga solusyong ito ay linearly independent, dahil ang expression ay maaaring magkaparehong katumbas ng zero kapag 
at 
. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng equation (2) ay may anyo 
.
Halimbawa 6
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation 
.
Solusyon
. Katangiang equation 
may pantay na ugat 
. Sa kasong ito, ang mga linearly independent na solusyon ng differential equation ay ang mga function 
at 
. Ang pangkalahatang solusyon ay may anyo 
.
Inhomogeneous second-order linear differential equation na may pare-parehong coefficient
at espesyal na kanang bahagi
Ang pangkalahatang solusyon ng linear inhomogeneous equation (1) ay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon 
katumbas na homogenous equation at anumang partikular na solusyon 
hindi magkakatulad na equation: 
.
Sa ilang mga kaso, ang isang partikular na solusyon ng isang inhomogeneous na equation ay matatagpuan nang simple sa pamamagitan ng anyo ng kanang bahagi. 
mga equation (1). Isaalang-alang natin ang mga kaso kung posible.
mga. ang kanang bahagi ng inhomogeneous equation ay isang polynomial of degree m. Kung ang 
ay hindi isang ugat ng katangian na equation, kung gayon ang isang partikular na solusyon ng hindi magkakatulad na equation ay dapat hanapin sa anyo ng isang polynomial ng degree m, ibig sabihin.
Odds 
ay tinutukoy sa proseso ng paghahanap ng isang partikular na solusyon.
Kung 
ay ang ugat ng katangian na equation, kung gayon ang isang partikular na solusyon ng hindi magkakatulad na equation ay dapat hanapin sa anyo
Halimbawa 7
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation 
.
Solusyon
. Ang katumbas na homogenous equation para sa equation na ito ay 
. Ang katangiang equation nito 
may mga ugat 
at 
. Ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay may anyo 
.
kasi 
ay hindi ugat ng katangiang equation, pagkatapos ay hahanapin natin ang isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation sa anyo ng isang function. 
. Hanapin ang mga derivatives ng function na ito 
,
at palitan ang mga ito sa equation na ito:
o . I-equate ang mga coefficient sa 
at mga libreng miyembro: 
Ang paglutas ng sistemang ito, nakukuha namin 
,
. Pagkatapos ang isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation ay may anyo 
, at ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation na ito ay ang kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous na equation at ang partikular na solusyon ng inhomogeneous: 
.
Hayaang magkaroon ng anyo ang inhomogeneous equation
Kung ang 
ay hindi isang ugat ng katangian na equation, kung gayon ang isang partikular na solusyon ng hindi magkakatulad na equation ay dapat hanapin sa anyo. Kung 
ay ang ugat ng katangian ng multiplicity equation k
(k=1 o k=2), kung gayon sa kasong ito ang partikular na solusyon ng hindi magkakatulad na equation ay magkakaroon ng anyo .
Halimbawa 8
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation 
.
Solusyon
. Ang katangiang equation para sa katumbas na homogenous na equation ay may anyo 
. mga ugat nito 
,
. Sa kasong ito, ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous equation ay nakasulat bilang 
.
Dahil ang numero 3 ay hindi ang ugat ng katangian na equation, kung gayon ang isang partikular na solusyon ng hindi magkakatulad na equation ay dapat hanapin sa anyo 
. Maghanap tayo ng mga derivatives ng una at pangalawang order:,
Ipalit sa differential equation: 
+
+,
+,.
I-equate ang mga coefficient sa 
at mga libreng miyembro:
Mula rito 
,
. Pagkatapos ang isang partikular na solusyon ng equation na ito ay may anyo 
, at ang pangkalahatang solusyon
.
Lagrange na paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants
Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constants ay maaaring ilapat sa anumang hindi magkakatulad na linear equation na may pare-parehong coefficient, anuman ang anyo ng kanang bahagi. Ginagawang posible ng pamamaraang ito na laging makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang hindi magkakatulad na equation kung ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous na equation ay kilala.
Hayaan 
at 
ay mga linearly independent na solusyon ng Eq. (2). Kung gayon ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay 
, saan 
at 
ay di-makatwirang mga pare-pareho. Ang kakanyahan ng paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants ay ang pangkalahatang solusyon ng equation (1) ay hinahanap sa anyo
saan 
at 
- mga bagong hindi kilalang tampok na mahahanap. Dahil mayroong dalawang hindi kilalang function, dalawang equation na naglalaman ng mga function na ito ang kailangan upang mahanap ang mga ito. Ang dalawang equation na ito ang bumubuo sa system
na isang linear algebraic system ng mga equation na may kinalaman sa 
at 
. Ang paglutas ng sistemang ito, nahanap namin 
at 
. Ang pagsasama ng parehong bahagi ng nakuhang pagkakapantay-pantay, nakita namin
at 
.
Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa (9), nakuha namin ang pangkalahatang solusyon ng hindi magkakatulad na linear equation (1).
Halimbawa 9
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation 
.
Solusyon.
Ang katangiang equation para sa homogenous na equation na tumutugma sa ibinigay na differential equation ay 
. Ang mga ugat nito ay kumplikado 
,
. kasi 
at 
, pagkatapos 
,
, at ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay may anyo Pagkatapos ay hahanapin ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation na ito sa anyo kung saan 
at 
- hindi kilalang mga function.
Ang sistema ng mga equation para sa paghahanap ng mga hindi kilalang function na ito ay may anyo
Ang paglutas ng sistemang ito, nahanap namin 
,
. Pagkatapos
,
. Palitan natin ang mga nakuhang expression sa pangkalahatang formula ng solusyon:
Ito ang pangkalahatang solusyon ng differential equation na nakuha ng pamamaraang Lagrange.
Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili ng kaalaman
Aling differential equation ang tinatawag na second-order linear differential equation na may constant coefficients?
Aling linear differential equation ang tinatawag na homogenous, at alin ang tinatawag na non-homogeneous?
Ano ang mga katangian ng isang linear homogeneous equation?
Anong equation ang tinatawag na katangian para sa isang linear differential equation at paano ito nakuha?
Sa anong anyo ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient na nakasulat sa kaso ng iba't ibang mga ugat ng katangian na equation?
Sa anong anyo ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient na nakasulat sa kaso ng pantay na mga ugat ng katangian na equation?
Sa anong anyo ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient na nakasulat sa kaso ng mga kumplikadong ugat ng katangian na equation?
Paano isinusulat ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation?
Sa anong anyo ang isang partikular na solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay hinahangad kung ang mga ugat ng characteristic equation ay iba at hindi katumbas ng zero, at ang kanang bahagi ng equation ay isang polynomial of degree m?
Sa anong anyo hinahangad ang isang partikular na solusyon ng isang linear inhomogeneous equation kung mayroong isang zero sa mga ugat ng katangiang equation, at ang kanang bahagi ng equation ay isang polynomial of degree m?
Ano ang kakanyahan ng pamamaraang Lagrange?
