Ang pinakasimpleng trigonometriko equation at ang kanilang mga solusyon. Paglutas ng mga equation ng trigonometriko

Solusyon sa pinakasimpleng trigonometriko equation.

Ang solusyon ng trigonometriko equation ng anumang antas ng pagiging kumplikado sa huli ay bumababa sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometric equation. At dito, ang trigonometriko na bilog muli ay naging pinakamahusay na katulong.

Alalahanin ang mga kahulugan ng cosine at sine.

Ang cosine ng isang anggulo ay ang abscissa (iyon ay, ang coordinate sa kahabaan ng axis) ng isang punto sa unit circle na tumutugma sa pag-ikot ng isang naibigay na anggulo.

Ang sine ng isang anggulo ay ang ordinate (iyon ay, ang coordinate sa kahabaan ng axis) ng isang punto sa unit circle na tumutugma sa pag-ikot ng isang naibigay na anggulo.

Ang positibong direksyon ng paggalaw trigonometriko bilog isinaalang-alang ang paggalaw ng counterclockwise. Ang pag-ikot ng 0 degrees (o 0 radians) ay tumutugma sa isang puntong may mga coordinate (1; 0)

Ginagamit namin ang mga kahulugang ito upang malutas ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.

1. Lutasin ang equation

Ang equation na ito ay nasiyahan sa lahat ng naturang mga halaga ng anggulo ng pag-ikot , na tumutugma sa mga punto ng bilog, ang ordinate nito ay katumbas ng .

Markahan natin ang isang punto ng ordinate sa y-axis:

Gastos tayo pahalang na linya parallel sa x-axis hanggang sa mag-intersect ito sa bilog. Makakakuha tayo ng dalawang puntos na nakahiga sa isang bilog at may ordinate. Ang mga puntong ito ay tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot ng at mga radian:

Kung tayo, na iniwan ang punto na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot sa bawat radian, ay lumibot sa isang buong bilog, pagkatapos ay darating tayo sa isang punto na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot bawat radian at pagkakaroon ng parehong ordinate. Ibig sabihin, ang anggulo ng pag-ikot na ito ay nakakatugon din sa ating equation. Maaari kaming gumawa ng maraming "idle" na mga pagliko hangga't gusto namin, na bumalik sa parehong punto, at lahat ng mga anggulong halaga na ito ay masisiyahan ang aming equation. Ang bilang ng mga "idle" na rebolusyon ay tinutukoy ng titik (o). Dahil maaari nating gawin ang mga rebolusyong ito sa parehong positibo at negatibong direksyon, (o ) maaaring tumagal sa anumang mga halaga ng integer.

Iyon ay, ang unang serye ng mga solusyon sa orihinal na equation ay may anyo:

, , - set ng mga integer (1)

Katulad nito, ang pangalawang serye ng mga solusyon ay may anyo:

, saan , . (2)

Tulad ng iyong nahulaan, ang seryeng ito ng mga solusyon ay batay sa punto ng bilog na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot ng .

Ang dalawang serye ng mga solusyon na ito ay maaaring pagsamahin sa isang entry:

Kung kukunin natin ang entry na ito (iyon ay, kahit), pagkatapos ay makukuha natin ang unang serye ng mga solusyon.

Kung kukunin natin ang entry na ito (iyon ay, kakaiba), pagkatapos ay makukuha natin ang pangalawang serye ng mga solusyon.

2. Ngayon, lutasin natin ang equation

Dahil ang abscissa ng punto ng bilog na yunit ay nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa anggulo, minarkahan namin sa axis ang isang punto na may abscissa :

Gastos tayo patayong linya parallel sa axis hanggang sa mag-intersect ito sa bilog. Makakakuha tayo ng dalawang puntos na nakahiga sa isang bilog at pagkakaroon ng abscissa. Ang mga puntong ito ay tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot ng at mga radian. Alalahanin na kapag gumagalaw nang pakanan, nakakakuha tayo ng negatibong anggulo ng pag-ikot:

Isinulat namin ang dalawang serye ng mga solusyon:

,

,

(Nakarating tayo sa tamang punto sa pamamagitan ng pagpasa mula sa pangunahing buong bilog, iyon ay.

Pagsamahin natin ang dalawang seryeng ito sa isang post:

3. Lutasin ang equation

Ang linya ng mga tangent ay dumadaan sa punto na may mga coordinate (1,0) ng unit circle na kahanay sa OY axis

Markahan ang isang punto dito na may ordinate na katumbas ng 1 (hinahanap namin ang tangent kung saan ang mga anggulo ay 1):

Ikonekta ang puntong ito sa pinanggalingan gamit ang isang tuwid na linya at markahan ang mga punto ng intersection ng linya sa bilog ng yunit. Ang mga punto ng intersection ng linya at ng bilog ay tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot sa at :

Dahil ang mga puntos na tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot na nagbibigay-kasiyahan sa aming equation ay nasa pagitan ng mga radian, maaari naming isulat ang solusyon tulad ng sumusunod:

4. Lutasin ang equation

Ang linya ng mga cotangent ay dumadaan sa punto na may mga coordinate ng unit circle na kahanay sa axis.

Minarkahan namin ang isang punto na may abscissa -1 sa linya ng mga cotangent:

Ikonekta ang puntong ito sa pinanggalingan ng tuwid na linya at ipagpatuloy ito hanggang sa mag-intersect ito sa bilog. Ang linyang ito ay mag-intersect sa bilog sa mga puntong tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot ng at radians:

Dahil ang mga puntong ito ay pinaghihiwalay mula sa isa't isa ng isang distansya na katumbas ng , kung gayon karaniwang desisyon Maaari nating isulat ang equation na ito tulad ng sumusunod:

Sa ibinigay na mga halimbawa, na naglalarawan ng solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko, ginamit ang mga tabular na halaga ng mga function ng trigonometriko.

Gayunpaman, kung mayroong isang hindi talahanayan na halaga sa kanang bahagi ng equation, pagkatapos ay papalitan namin ang halaga sa pangkalahatang solusyon ng equation:

MGA ESPESYAL NA SOLUSYON:

Markahan ang mga punto sa bilog na ang ordinate ay 0:

Markahan ang isang punto sa bilog, ang ordinate nito ay katumbas ng 1:

Markahan ang isang punto sa bilog, ang ordinate nito ay katumbas ng -1:

Dahil kaugalian na ipahiwatig ang mga halaga na pinakamalapit sa zero, isinusulat namin ang solusyon tulad ng sumusunod:

Markahan ang mga punto sa bilog, na ang abscissa ay 0:

5.
Markahan natin ang isang punto sa bilog, na ang abscissa ay katumbas ng 1:

Markahan ang isang punto sa bilog, na ang abscissa ay katumbas ng -1:

At ilang mas kumplikadong mga halimbawa:

1.

Ang sine ay isa kung ang argumento ay

Ang argumento ng ating sine ay , kaya nakuha natin:

Hatiin ang magkabilang panig ng equation ng 3:

Sagot:

2.

Cosine sero kung ang cosine argument ay

Ang argumento ng aming cosine ay , kaya nakuha namin:

Ipinapahayag namin , para dito lumipat muna kami sa kanan na may kabaligtaran na palatandaan:

Pasimplehin ang kanang bahagi:

Hatiin ang parehong bahagi ng -2:

Tandaan na ang tanda bago ang termino ay hindi nagbabago, dahil ang k ay maaaring kumuha ng anumang mga halaga ng integer.

Sagot:

At sa konklusyon, panoorin ang video tutorial na "Pagpili ng mga ugat sa isang trigonometric equation gamit ang trigonometriko bilog"

Ito ay nagtatapos sa pag-uusap tungkol sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometriko equation. Sa susunod ay pag-usapan natin kung paano i-solve.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko

Panimula 2

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation 5

Algebraic 5

Paglutas ng mga equation gamit ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga trigonometriko function na may parehong pangalan 7

Factoring 8

Pagbawas sa isang homogenous na equation 10

Panimula ng auxiliary angle 11

I-convert ang produkto sa kabuuan 14

Pangkalahatang pagpapalit 14

Konklusyon 17

Panimula

Hanggang sa ikasampung baitang, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon ng maraming mga pagsasanay na humahantong sa layunin, bilang isang panuntunan, ay hindi malabo na tinukoy. Halimbawa, ang mga linear at quadratic na equation at inequalities, mga fractional na equation at equation na mababawasan sa mga quadratic, atbp. Nang walang pagsusuri nang detalyado ang prinsipyo ng paglutas ng bawat isa sa mga nabanggit na halimbawa, tandaan namin ang pangkalahatang bagay na kinakailangan para sa kanilang matagumpay na solusyon.

Sa karamihan ng mga kaso, kailangan mong matukoy kung anong uri ng gawain, tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na humahantong sa layunin, at isagawa ang mga pagkilos na ito. Malinaw na ang tagumpay o kabiguan ng mag-aaral sa pag-master ng mga pamamaraan ng paglutas ng mga equation ay nakasalalay sa kung gaano niya magagawang matukoy nang tama ang uri ng equation at matandaan ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito. Siyempre, ipinapalagay nito na ang mag-aaral ay may mga kasanayan upang magsagawa ng magkaparehong pagbabago at pagkalkula.

Ang isang ganap na naiibang sitwasyon ay nangyayari kapag ang isang mag-aaral ay nakatagpo ng mga trigonometric equation. Kasabay nito, hindi mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometriko. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag naghahanap ng isang kurso ng aksyon na hahantong sa isang positibong resulta. At dito nahaharap ang estudyante sa dalawang problema. Sa pamamagitan ng hitsura ang mga equation ay mahirap matukoy ang uri. At nang hindi alam ang uri, halos imposible na pumili gustong pormula sa ilang dosenang magagamit.

Upang matulungan ang mga mag-aaral na mahanap ang kanilang paraan sa pamamagitan ng kumplikadong labirint ng mga trigonometric na equation, unang ipinakilala ang mga ito sa mga equation, na, pagkatapos na ipakilala ang isang bagong variable, ay nabawasan sa mga parisukat. Pagkatapos ay lutasin ang mga homogenous na equation at bawasan sa kanila. Ang lahat ay nagtatapos, bilang isang panuntunan, na may mga equation, para sa solusyon kung saan kinakailangan na i-factor ang kaliwang bahagi, pagkatapos ay i-equating ang bawat isa sa mga kadahilanan sa zero.

Ang pag-unawa na ang isa at kalahating dosenang mga equation na nasuri sa mga aralin ay malinaw na hindi sapat upang hayaan ang mag-aaral na maglayag nang nakapag-iisa sa trigonometric na "dagat", ang guro ay nagdagdag ng ilang higit pang mga rekomendasyon mula sa kanyang sarili.

Upang malutas ang trigonometric equation, dapat nating subukan:

Dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong mga anggulo";

Dalhin ang equation sa "parehong mga function";

I-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Ngunit, sa kabila ng kaalaman sa mga pangunahing uri ng trigonometric equation at ilang mga prinsipyo para sa paghahanap ng kanilang solusyon, maraming mga mag-aaral pa rin ang nahahanap ang kanilang mga sarili sa isang hindi pagkakasundo sa harap ng bawat equation na bahagyang naiiba sa mga nalutas na dati. Ito ay nananatiling hindi malinaw kung ano ang dapat pagsikapan ng isa, pagkakaroon ng isa o isa pang equation, kung bakit sa isang kaso kinakailangan na ilapat ang mga formula ng dobleng anggulo, sa isa pa - ang kalahating anggulo, at sa pangatlo - ang mga formula ng karagdagan, atbp.

Kahulugan 1. Ang isang trigonometric equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay nakapaloob sa ilalim ng sign ng trigonometric functions.

Kahulugan 2. Ang isang trigonometric equation ay sinasabing may parehong mga anggulo kung ang lahat ng trigonometric function na kasama dito ay may pantay na argumento. Ang isang trigonometric equation ay sinasabing may parehong mga function kung ito ay naglalaman lamang ng isa sa mga trigonometric function.

Kahulugan 3. Ang antas ng isang monomial na naglalaman ng trigonometric function ay ang kabuuan ng mga exponent ng mga kapangyarihan ng trigonometriko function na kasama dito.

Kahulugan 4. Ang isang equation ay tinatawag na homogenous kung ang lahat ng mga monomial dito ay may parehong antas. Ang antas na ito ay tinatawag na pagkakasunud-sunod ng equation.

Kahulugan 5. Trigonometric equation na naglalaman lamang ng mga function kasalanan at cos, ay tinatawag na homogenous kung ang lahat ng monomial na may paggalang sa trigonometriko function ay mayroon ang parehong antas, at ang mga trigonometric function mismo ay mayroon pantay na anggulo at ang bilang ng mga monomial ay 1 na mas malaki kaysa sa pagkakasunud-sunod ng equation.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

Ang solusyon ng trigonometric equation ay binubuo ng dalawang yugto: ang pagbabago ng equation upang makuha ang pinakasimpleng anyo nito at ang solusyon ng resultang pinakasimpleng trigonometric equation. Mayroong pitong pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

ako. algebraic na pamamaraan. Ang pamamaraang ito ay kilala mula sa algebra. (Paraan ng pagpapalit ng mga variable at pagpapalit).

Lutasin ang mga equation.

1)

Ipakilala natin ang notasyon x=2 kasalanan3 t, nakukuha namin

Ang paglutas ng equation na ito, nakukuha natin:
o

mga. maaaring isulat

Kapag isinusulat ang solusyon na nakuha dahil sa pagkakaroon ng mga palatandaan degree
walang kwenta ang pagsusulat.

Sagot:

Magpakilala

Kumuha kami ng isang quadratic equation
. Ang mga ugat nito ay mga numero
at
. Samakatuwid, ang equation na ito ay bumababa sa pinakasimpleng trigonometric equation
at
. Ang paglutas ng mga ito, nakita namin iyon
o
.

Sagot:
;
.

Magpakilala

hindi nakakatugon sa kondisyon

ibig sabihin

Sagot:

Ibahin natin ang kaliwang bahagi ng equation:

Kaya, ang paunang equation na ito ay maaaring isulat bilang:

, ibig sabihin.

Nagpapahiwatig
, nakukuha namin
Ang paglutas ng quadratic equation na ito, mayroon tayong:

hindi nakakatugon sa kondisyon

Isinulat namin ang solusyon ng orihinal na equation:

Sagot:

Pagpapalit
binabawasan ang equation na ito sa isang quadratic equation
. Ang mga ugat nito ay mga numero
at
. Bilang
, kung gayon ang ibinigay na equation ay walang mga ugat.

Sagot: walang ugat.

II. Solusyon ng mga equation gamit ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga trigonometric function ng parehong pangalan.

a)
, kung

b)
, kung

sa)
, kung

Gamit ang mga kundisyong ito, isaalang-alang ang solusyon ng mga sumusunod na equation:

6)

Gamit ang sinabi sa aytem a), makikita natin na ang equation ay may solusyon kung at kung lamang
.

Ang paglutas ng equation na ito, nakita namin
.

Mayroon kaming dalawang grupo ng mga solusyon:

.

7) Lutasin ang equation:
.

Gamit ang kondisyon ng bahagi b) hinuhusgahan natin iyon
.

Ang paglutas ng mga quadratic equation na ito, nakukuha natin:

.

8) Lutasin ang equation
.

Mula sa equation na ito ay hinuhusgahan natin na . Ang paglutas ng quadratic equation na ito, nakita natin iyon

.

III. Factorization.

Isinasaalang-alang namin ang pamamaraang ito na may mga halimbawa.

9) Lutasin ang equation
.

Desisyon. Ilipat natin ang lahat ng termino ng equation sa kaliwa: .

Binabago at ginagawa namin ang expression sa kaliwang bahagi ng equation:
.

.

.

1)
2)

kasi
at
huwag kunin ang halaga na null

sabay-sabay, tapos pinaghihiwalay namin ang magkabilang bahagi

mga equation para sa
,

Sagot:

10) Lutasin ang equation:

Desisyon.

o

Sagot:

11) Lutasin ang equation

Desisyon:

1)
2)
3)

,

Sagot:

IV. Pagbawas sa isang homogenous na equation.

Lutasin homogenous equation kailangan:

Ilipat ang lahat ng miyembro nito sa kaliwang bahagi;

Alisin ang lahat ng karaniwang salik sa mga bracket;

I-equate ang lahat ng salik at bracket sa zero;

Ang mga panaklong equated sa zero ay nagbibigay ng isang homogenous na equation ng mas mababang antas, na dapat na hatiin sa
(o
) sa senior degree;

Natanggap ang solusyon algebraic equation medyo
.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

12) Lutasin ang equation:

Desisyon.

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng
,

Ipinapakilala ang notasyon
, pangalan

ang mga ugat ng equation na ito ay:

mula dito 1)
2)

Sagot:

13) Lutasin ang equation:

Desisyon. Gamit ang mga formula ng double angle at ang pangunahing trigonometric identity, binabawasan namin ang equation na ito sa kalahating argumento:

Pagkatapos bawasan ang mga katulad na termino, mayroon kaming:

Hinahati ang homogenous na huling equation sa pamamagitan ng
, nakukuha namin

itatalaga ko
, nakukuha namin ang quadratic equation
, na ang mga ugat ay mga numero

Sa gayon

Pagpapahayag
naglalaho sa
, ibig sabihin. sa
,
.

Ang aming solusyon sa equation ay hindi kasama ang mga numerong ito.

Sagot:
, .

V. Panimula ng isang pantulong na anggulo.

Isaalang-alang ang isang equation ng form

saan a, b, c- mga coefficient, x- hindi kilala.

Hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito sa pamamagitan ng

Ngayon ang mga coefficient ng equation ay may mga katangian ng sine at cosine, ibig sabihin: ang modulus ng bawat isa sa kanila ay hindi lalampas sa pagkakaisa, at ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng 1.

Pagkatapos ay maaari nating lagyan ng label ang mga ito nang naaayon
(dito - auxiliary angle) at ang aming equation ay nasa anyo: .

Pagkatapos

At ang kanyang desisyon

Tandaan na ang ipinakilalang notasyon ay maaaring palitan.

14) Lutasin ang equation:

Desisyon. Dito
, kaya hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

Sagot:

15) Lutasin ang equation

Desisyon. Bilang
, kung gayon ang equation na ito ay katumbas ng equation

Bilang
, tapos may anggulo na ganyan
,
(mga.
).

Meron kami

Bilang
, pagkatapos ay nakuha namin sa wakas:

.

Tandaan na ang isang equation ng form ay may solusyon kung at kung lamang

16) Lutasin ang equation:

Upang malutas ang equation na ito, pinapangkat namin ang mga function ng trigonometriko na may parehong mga argumento

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa dalawa

Binabago namin ang kabuuan ng mga trigonometric function sa isang produkto:

Sagot:

VI. I-convert ang produkto sa kabuuan.

Ang kaukulang mga formula ay ginagamit dito.

17) Lutasin ang equation:

Desisyon. I-convert natin ang kaliwang bahagi sa kabuuan:

VII.Pangkalahatang pagpapalit.

,

ang mga formula na ito ay totoo para sa lahat

Pagpapalit
tinatawag na unibersal.

18) Lutasin ang equation:

Solusyon: Palitan at
sa kanilang pagpapahayag sa pamamagitan ng
at magpakilala
.

Nakakakuha tayo ng rational equation
, na na-convert sa square
.

Ang mga ugat ng equation na ito ay ang mga numero
.

Samakatuwid, ang problema ay nabawasan sa paglutas ng dalawang equation
.

Nahanap namin iyon
.

Tingnan ang halaga
ay hindi nakakatugon sa orihinal na equation, na na-verify sa pamamagitan ng pagsuri - pagpapalit binigay na halaga t sa orihinal na equation.

Sagot:
.

Magkomento. Ang equation 18 ay maaaring malutas sa ibang paraan.

Hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 5 (i.e. sa pamamagitan ng
):
.

Bilang
, tapos may number
, Ano
at
. Kaya ang equation ay nagiging:
o
. Mula dito makikita natin iyon
saan
.

19) Lutasin ang equation
.

Desisyon. Dahil ang mga pag-andar
at
mayroon pinakamataas na halaga katumbas ng 1, kung gayon ang kanilang kabuuan ay katumbas ng 2 kung
at
, sa parehong oras, iyon ay
.

Sagot:
.

Kapag nilulutas ang equation na ito, ang boundedness ng mga function at ginamit.

Konklusyon.

Paggawa sa paksang "Mga solusyon ng trigonometric equation", kapaki-pakinabang para sa bawat guro na sundin ang mga sumusunod na rekomendasyon:

I-systematize ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometriko equation.

Piliin para sa iyong sarili ang mga hakbang upang maisagawa ang pagsusuri ng equation at ang mga palatandaan ng pagiging angkop ng paggamit ng isa o ibang paraan ng solusyon.

Pag-isipan ang mga paraan ng pagpipigil sa sarili ng aktibidad sa pagpapatupad ng pamamaraan.

Matutong gumawa ng "iyong" mga equation para sa bawat isa sa mga pinag-aralan na pamamaraan.

Application No. 1

Lutasin ang homogenous o reducible equation.

Ang konsepto ng paglutas ng mga trigonometric equation.

• Upang malutas ang isang trigonometric equation, i-convert ito sa isa o higit pang mga pangunahing trigonometric equation. Ang paglutas ng trigonometric equation sa huli ay bumababa sa paglutas ng apat na pangunahing trigonometric equation.

Kasama sa video course na "Kumuha ng A" ang lahat ng paksang kailangan mo matagumpay na paghahatid GAMITIN sa matematika para sa 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng gawain 1-13 pagsusulit sa profile matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic USE sa matematika. Kung gusto mong pumasa sa pagsusulit na may 90-100 puntos, kailangan mong lutasin ang bahagi 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Paghahanda ng kurso para sa pagsusulit para sa mga baitang 10-11, pati na rin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo upang malutas ang bahagi 1 ng pagsusulit sa matematika (ang unang 12 problema) at problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Examination, at hindi magagawa ng isang daang puntos na mag-aaral o isang humanist kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na Paraan mga solusyon, bitag at sikreto ng pagsusulit. Ang lahat ng nauugnay na gawain ng bahagi 1 mula sa mga gawain ng Bank of FIPI ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng USE-2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain sa pagsusulit. Mga problema sa teksto at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm sa paglutas ng problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa PAGGAMIT. Stereometry. Mga tusong trick para sa paglutas, kapaki-pakinabang na mga cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula - hanggang sa gawain 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Base para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng ika-2 bahagi ng pagsusulit.

Aralin at pagtatanghal sa paksa: "Solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga manual at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 10 mula 1C
Niresolba namin ang mga problema sa geometry. Mga interactive na gawain para sa pagbuo sa espasyo
Kapaligiran ng software "1C: Mathematical constructor 6.1"

Ano ang ating pag-aaralan:
1. Ano ang mga trigonometric equation?

3. Dalawang pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation.
4. Mga homogenous na trigonometric equation.
5. Mga halimbawa.

Ano ang mga trigonometric equation?

Guys, napag-aralan na natin ang arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent. Ngayon tingnan natin ang mga trigonometric equation sa pangkalahatan.

Trigonometric equation - mga equation kung saan ang variable ay nakapaloob sa ilalim ng sign ng trigonometric function.

Inuulit namin ang anyo ng paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko:

1) Kung |а|≤ 1, ang equation na cos(x) = a ay may solusyon:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kung |а|≤ 1, kung gayon ang equation na sin(x) = a ay may solusyon:

3) Kung |a| > 1, kung gayon ang equation na sin(x) = a at cos(x) = a ay walang mga solusyon 4) Ang equation na tg(x)=a ay may solusyon: x=arctg(a)+ πk

5) Ang equation na ctg(x)=a ay may solusyon: x=arcctg(a)+ πk

Para sa lahat ng mga formula, ang k ay isang integer

Ang pinakasimpleng trigonometriko equation ay may anyo: Т(kx+m)=a, T- anumang trigonometriko function.

Lutasin ang mga equation: a) sin(3x)= √3/2

Desisyon:

A) Tukuyin natin ang 3x=t, pagkatapos ay muling isusulat natin ang ating equation sa anyo:

Ang solusyon sa equation na ito ay magiging: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Mula sa talahanayan ng mga halaga ay nakukuha natin: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Bumalik tayo sa ating variable: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Pagkatapos x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Sagot: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kung saan ang n ay isang integer. (-1)^n - minus one sa kapangyarihan ng n.

Higit pang mga halimbawa ng trigonometric equation.

Desisyon:

A) Sa pagkakataong ito, diretso tayo sa pagkalkula ng mga ugat ng equation kaagad:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Pagkatapos x/5= πk => x=5πk

Sagot: x=5πk, kung saan ang k ay isang integer.

B) Sumulat tayo sa anyong: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Alam namin na: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Sagot: x=2π/9 + πk/3, kung saan ang k ay isang integer.

Lutasin ang mga equation: cos(4x)= √2/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment.

Desisyon:

Magpapasya tayo pangkalahatang pananaw ang aming equation: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Ngayon tingnan natin kung anong mga ugat ang nahuhulog sa ating segment. Para sa k Para sa k=0, x= π/16, tayo ay nasa ibinigay na segment .
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, muli silang tumama.
Para sa k=2, x= π/16+ π=17π/16, ngunit dito hindi kami tumama, ibig sabihin, hindi rin kami tatama para sa malaking k.

Sagot: x= π/16, x= 9π/16

Dalawang pangunahing paraan ng solusyon.

Lutasin natin ang equation:

Desisyon:
Upang malutas ang aming equation, ginagamit namin ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, na tinutukoy: t=tg(x).

Bilang resulta ng pagpapalit, nakukuha natin ang: t 2 + 2t -1 = 0

Hanapin natin ang mga ugat quadratic equation: t=-1 at t=1/3

Pagkatapos tg(x)=-1 at tg(x)=1/3, nakuha namin ang pinakasimpleng trigonometric equation, hanapin natin ang mga ugat nito.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Sagot: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang equation

Lutasin ang mga equation: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Desisyon:

Gamitin natin ang pagkakakilanlan: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ang aming equation ay nagiging: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ipakilala natin ang kapalit na t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Ang solusyon sa ating quadratic equation ay ang mga ugat: t=2 at t=-1/2

Pagkatapos cos(x)=2 at cos(x)=-1/2.

kasi Ang cosine ay hindi maaaring kumuha ng mga halaga na higit sa isa, pagkatapos ay ang cos(x)=2 ay walang mga ugat.

Para sa cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Sagot: x= ±2π/3 + 2πk

Mga homogenous na trigonometric equation.

Mga equation ng form

homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree.

Upang malutas ang isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree, hinati namin ito sa cos(x): Imposibleng hatiin sa cosine kung ito ay katumbas ng zero, tiyakin natin na hindi ganito:
Hayaan ang cos(x)=0, pagkatapos asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ngunit ang sine at cosine ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras, nakakuha tayo ng kontradiksyon, upang ligtas nating hatiin sa pamamagitan ng zero.

Lutasin ang equation:
Halimbawa: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Desisyon:

Alisin ang karaniwang salik: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pagkatapos ay kailangan nating lutasin ang dalawang equation:

cos(x)=0 at cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 para sa x= π/2 + πk;

Isaalang-alang ang equation cos(x)+sin(x)=0 Hatiin ang aming equation sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Sagot: x= π/2 + πk at x= -π/4+πk

Paano malutas ang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree?
Guys, manatili sa mga patakarang ito palagi!

1. Tingnan kung ano ang katumbas ng coefficient a, kung a \u003d 0 kung gayon ang aming equation ay kukuha ng anyo na cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), isang halimbawa ng solusyon kung saan ay nasa naunang slide

2. Kung a≠0, kailangan mong hatiin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng squared cosine, nakukuha natin ang:

Ginagawa namin ang pagbabago ng variable t=tg(x) nakukuha namin ang equation:

Lutasin ang Halimbawa #:3

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cosine square:

Gumagawa kami ng pagbabago ng variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Hanapin ang mga ugat ng quadratic equation: t=-3 at t=1

Pagkatapos: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Sagot: x=-arctg(3) + πk at x= π/4+ πk

Lutasin ang Halimbawa #:4

Desisyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Maaari nating lutasin ang mga naturang equation: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Sagot: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Lutasin ang Halimbawa #:5

Desisyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Ipinakilala namin ang kapalit na tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Ang solusyon sa ating quadratic equation ay ang mga ugat: t=-2 at t=1/2

Pagkatapos ay makukuha natin ang: tg(2x)=-2 at tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Sagot: x=-arctg(2)/2 + πk/2 at x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Mga gawain para sa malayang solusyon.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Lutasin ang mga equation: sin(3x)= √3/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment [π/2; π].

3) Lutasin ang equation: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Lutasin ang equation: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lutasin ang equation: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lutasin ang equation: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)