Isulat ang equation para sa isang tangent na dumadaan sa isang punto. online na calculator

Halimbawa 1 Nabigyan ng function f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Isulat natin ang equation ng tangent sa graph ng function f(x) sa punto ng graph na may abscissa x 0 = 1.

Solusyon. Function derivative f(x) ay umiiral para sa anumang x R . Hanapin natin ito:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Pagkatapos f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Ang tangent equation ay may anyo:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Sagot. y = 10x – 8.

Halimbawa 2 Nabigyan ng function f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Isulat natin ang equation ng tangent sa graph ng function f(x), parallel sa linya y = 2x – 11.

Solusyon. Function derivative f(x) ay umiiral para sa anumang x R . Hanapin natin ito:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Dahil ang padaplis sa graph ng function f(x) sa puntong may abscissa x 0 ay parallel sa linya y = 2x– 11, kung gayon ang slope nito ay 2, ibig sabihin. ( x 0) = 2. Hanapin ang abscissa na ito mula sa kondisyon na 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay may bisa lamang para sa x 0 = 0 at x 0 = 2. Dahil sa parehong mga kaso f(x 0) = 5, pagkatapos ay ang tuwid na linya y = 2x + b hinawakan ang graph ng function alinman sa punto (0; 5) o sa punto (2; 5).

Totoo sa unang kaso pagkakapantay-pantay ng numero 5 = 2×0 + b, saan b= 5, at sa pangalawang kaso, ang numerical equality ay totoo 5 = 2 × 2 + b, saan b = 1.

Kaya mayroong dalawang tangents y = 2x+ 5 at y = 2x+ 1 sa graph ng function f(x) parallel sa linya y = 2x – 11.

Sagot. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Halimbawa 3 Nabigyan ng function f(x) = x 2 – 6x+ 7. Isulat natin ang equation ng tangent sa graph ng function f(x) na dumadaan sa punto A (2; –5).

Solusyon. kasi f(2) –5, pagkatapos ay ang punto A ay hindi kabilang sa graph ng function f(x). Hayaan x 0 - abscissa ng touch point.

Function derivative f(x) ay umiiral para sa anumang x R . Hanapin natin ito:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

Pagkatapos f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Ang tangent equation ay may anyo:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Since the point A nabibilang sa tangent, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ng numero ay totoo

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

saan x 0 = 0 o x 0 = 4. Nangangahulugan ito na sa pamamagitan ng punto A posibleng gumuhit ng dalawang tangent sa graph ng function f(x).

Kung x 0 = 0, pagkatapos ay ang tangent equation ay may anyo y = –6x+ 7. Kung x 0 = 4, pagkatapos ay ang tangent equation ay may anyo y = 2x – 9.

Sagot. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Halimbawa 4 Mga binigay na function f(x) = x 2 – 2x+ 2 at g(x) = –x 2 - 3. Isulat natin ang equation ng common tangent sa mga graph ng mga function na ito.

Solusyon. Hayaan x 1 - abscissa ng punto ng contact ng nais na linya na may graph ng function f(x), ngunit x 2 - abscissa ng punto ng contact ng parehong linya na may graph ng function g(x).

Function derivative f(x) ay umiiral para sa anumang x R . Hanapin natin ito:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

Pagkatapos f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Ang tangent equation ay may anyo:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Hanapin natin ang derivative ng function g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Ang Tangent ay isang tuwid na linya , na humahawak sa graph ng function sa isang punto at lahat ng mga punto ay nasa pinakamaliit na distansya mula sa graph ng function. Samakatuwid, ang tangent ay pumasa sa tangent sa function graph sa isang tiyak na anggulo at ilang mga tangent ay hindi maaaring dumaan sa tangent point sa iba't ibang mga anggulo. Ang mga tangent equation at ang mga equation ng normal sa graph ng function ay pinagsama-sama gamit ang derivative.

Ang tangent equation ay nagmula sa straight line equation .

Nakukuha namin ang equation ng tangent, at pagkatapos ay ang equation ng normal sa graph ng function.

y = kx + b .

Sa kanya k- angular coefficient.

Mula dito nakukuha natin ang sumusunod na entry:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Derivative na halaga f "(x 0 ) mga function y = f(x) sa punto x0 katumbas ng slope k=tg φ padaplis sa graph ng isang function na iginuhit sa pamamagitan ng isang punto M0 (x 0 , y 0 ) , saan y0 = f(x 0 ) . Ito ang ano geometric na kahulugan ng derivative .

Kaya, maaari naming palitan k sa f "(x 0 ) at kunin ang mga sumusunod ang equation ng tangent sa graph ng function :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Sa mga gawain para sa pag-compile ng equation ng isang tangent sa graph ng isang function (at malapit na tayong lumipat sa kanila), kinakailangan na dalhin ang equation na nakuha mula sa formula sa itaas sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Upang gawin ito, kailangan mong ilipat ang lahat ng mga titik at numero sa kaliwang bahagi ng equation, at mag-iwan ng zero sa kanang bahagi.

Ngayon tungkol sa normal na equation. Normal ay isang tuwid na linya na dumadaan sa tangent point sa graph ng function na patayo sa tangent. Normal na Equation :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Upang mapainit ang unang halimbawa, hihilingin sa iyo na lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon. Mayroong lahat ng dahilan upang umasa na ang gawaing ito ay hindi magiging isang "cold shower" para sa aming mga mambabasa.

Halimbawa 0. Buuin ang equation ng tangent at ang equation ng normal sa graph ng function sa isang punto M (1, 1) .

Halimbawa 1 Buuin ang equation ng tangent at ang equation ng normal sa graph ng function kung ang abscissa ng touch point ay .

Hanapin natin ang derivative ng function:

Ngayon ay mayroon na tayong lahat ng bagay na kailangang i-substitute sa entry na ibinigay sa theoretical reference upang makuha ang tangent equation. Nakukuha namin

Sa halimbawang ito, kami ay mapalad: ang slope ay naging katumbas ng zero, kaya hiwalay na dalhin ang equation sa pangkalahatang pananaw hindi kailangan. Ngayon ay maaari nating isulat ang normal na equation:

Sa figure sa ibaba: graph ng burgundy color function, tangent kulay berde, ang normal ay orange.

Ang susunod na halimbawa ay hindi rin kumplikado: ang pag-andar, tulad ng sa nauna, ay isa ring polynomial, ngunit ang slope ay hindi magiging sero, kaya isa pang hakbang ang idadagdag - dinadala ang equation sa isang pangkalahatang anyo.

Halimbawa 2

Solusyon. Hanapin natin ang ordinate ng touch point:

Hanapin natin ang derivative ng function:

Hanapin natin ang halaga ng derivative sa punto ng contact, iyon ay, ang slope ng tangent:

Pinapalitan namin ang lahat ng data na nakuha sa "blangko na formula" at makuha ang tangent equation:

Dinadala namin ang equation sa isang pangkalahatang anyo (kinokolekta namin ang lahat ng mga titik at numero maliban sa zero sa kaliwang bahagi, at nag-iiwan ng zero sa kanang bahagi):

Binubuo namin ang equation ng normal:

Halimbawa 3 Buuin ang equation ng tangent at ang equation ng normal sa graph ng function kung ang abscissa ng point of contact ay .

Solusyon. Hanapin natin ang ordinate ng touch point:

Hanapin natin ang derivative ng function:

Hanapin natin ang halaga ng derivative sa punto ng contact, iyon ay, ang slope ng tangent:

Natagpuan namin ang equation ng tangent:

Bago dalhin ang equation sa isang pangkalahatang anyo, kailangan mong "pagsamahin" ito ng kaunti: i-multiply ang termino sa pamamagitan ng term sa 4. Ginagawa namin ito at dinadala ang equation sa isang pangkalahatang anyo:

Binubuo namin ang equation ng normal:

Halimbawa 4 Buuin ang equation ng tangent at ang equation ng normal sa graph ng function kung ang abscissa ng point of contact ay .

Solusyon. Hanapin natin ang ordinate ng touch point:

Hanapin natin ang derivative ng function:

Hanapin natin ang halaga ng derivative sa punto ng contact, iyon ay, ang slope ng tangent:

Nakukuha namin ang tangent equation:

Dinadala namin ang equation sa isang pangkalahatang anyo:

Binubuo namin ang equation ng normal:

Ang isang karaniwang pagkakamali kapag nagsusulat ng tangent at normal na mga equation ay hindi mapansin na ang function na ibinigay sa halimbawa ay kumplikado at kalkulahin ang derivative nito bilang derivative ng isang simpleng function. Ang mga sumusunod na halimbawa ay na kumplikadong mga pag-andar(magbubukas ang kaukulang aralin sa isang bagong window).

Halimbawa 5 Buuin ang equation ng tangent at ang equation ng normal sa graph ng function kung ang abscissa ng point of contact ay .

Solusyon. Hanapin natin ang ordinate ng touch point:

Pansin! Ang function na ito- kumplikado, dahil ang argumento ng tangent (2 x) ay mismong isang function. Samakatuwid, nakita namin ang derivative ng isang function bilang ang derivative ng isang kumplikadong function.

Padaplis ay isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto ng kurba at kasabay nito sa puntong ito hanggang sa unang pagkakasunud-sunod (Larawan 1).

Iba pang kahulugan: ito ang limitasyong posisyon ng secant sa Δ x→0.

Paliwanag: Kumuha ng linya na nagsasalubong sa kurba sa dalawang punto: PERO At b(tingnan ang larawan). Ito ay isang secant. Iikot namin ito nang pakanan hanggang sa magkaroon lamang ito ng isang karaniwang punto na may kurba. Kaya nakakakuha tayo ng tangent.

Mahigpit na kahulugan ng isang tangent:

Tangent sa function na graph f, naiba sa isang punto xtungkol sa, ay isang linyang dumadaan sa punto ( xtungkol sa; f(xtungkol sa)) at pagkakaroon ng slope f′( xtungkol sa).

Ang slope ay may isang tuwid na linya y=kx +b. Coefficient k at ay slope factor itong tuwid na linya.

Ang angular coefficient ay katumbas ng tangent ng acute angle na nabuo ng tuwid na linyang ito na may x-axis:

k = tgα

Dito ang anggulo α ay ang anggulo sa pagitan ng linya y=kx +b at ang positibong (i.e. counterclockwise) na direksyon ng x-axis. Ito ay tinatawag na tuwid na anggulo ng pagkahilig(Larawan 1 at 2).

Kung ang anggulo ng pagkahilig ay tuwid y=kx +b talamak, pagkatapos ay ang slope ay positibong numero. Tumataas ang graph (Larawan 1).

Kung ang anggulo ng pagkahilig ay tuwid y=kx +b mapurol, tapos ang slope ay negatibong numero. Bumababa ang graph (Fig. 2).

Kung ang linya ay parallel sa x-axis, kung gayon ang slope ng linya ay zero. Sa kasong ito, ang slope ng linya ay zero din (dahil ang tangent ng zero ay zero). Ang straight line equation ay magmumukhang y = b (Fig. 3).

Kung ang anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya ay 90º (π/2), iyon ay, ito ay patayo sa x-axis, kung gayon ang tuwid na linya ay ibinibigay ng pagkakapantay-pantay. x=c, saan c- ilang totoong numero (Larawan 4).

Ang equation ng tangent sa graph ng functiony = f(x) sa punto xtungkol sa:

Halimbawa: Hanapin natin ang equation padaplis sa graph ng function f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 sa puntong may abscissa 2.

Solusyon .

Sinusunod namin ang algorithm.

1) Touch point xtungkol sa katumbas ng 2. Kalkulahin f(xtungkol sa):

f(xtungkol sa) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Hanapin f′( x). Upang gawin ito, ginagamit namin ang mga formula ng pagkita ng kaibhan na nakabalangkas sa nakaraang seksyon. Ayon sa mga formula na ito, X 2 = 2X, ngunit X 3 = 3X 2. Ibig sabihin:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Ngayon, gamit ang resultang halaga f′( x), kalkulahin f′( xtungkol sa):

f′( xtungkol sa) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Kaya, mayroon kaming lahat ng kinakailangang data: xtungkol sa = 2, f(xtungkol sa) = 1, f ′( xtungkol sa) = 4. Pinapalitan namin ang mga numerong ito sa tangent equation at hanapin ang huling solusyon:

y= f(xtungkol sa) + f′( xtungkol sa) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

Sagot: y \u003d 4x - 7.

Isaalang-alang ang sumusunod na figure:

Nagpapakita ito ng ilang function na y = f(x) na naiba sa punto a. Minarkahan ang punto M na may mga coordinate (a; f(a)). Sa pamamagitan ng isang arbitrary na puntong P(a + ∆x; f(a + ∆x)) ng graph, ang isang secant na MP ay iguguhit.

Kung ngayon ang puntong P ay inilipat sa kahabaan ng graph patungo sa puntong M, ang tuwid na linyang MP ay iikot sa paligid ng puntong M. Sa kasong ito, ang ∆x ay magiging zero. Mula dito maaari nating bumalangkas ang kahulugan ng isang tangent sa graph ng isang function.

Tangent sa function na graph

Ang tangent sa graph ng function ay ang paglilimita sa posisyon ng secant kapag ang pagtaas ng argumento ay may posibilidad na zero. Dapat na maunawaan na ang pagkakaroon ng derivative ng function na f sa puntong x0 ay nangangahulugan na sa puntong ito ng graph mayroong padaplis sa kanya.

Sa kasong ito, ang slope ng tangent ay magiging katumbas ng derivative ng function na ito sa puntong ito f'(x0). Ito ang geometric na kahulugan ng derivative. Ang tangent sa graph ng function na f naiba-iba sa puntong x0 ay ilang tuwid na linya na dumadaan sa punto (x0;f(x0)) at may slope na f'(x0).

Tangent equation

Subukan nating makuha ang equation ng tangent sa graph ng ilang function f sa puntong A(x0; f(x0)). Ang equation ng isang tuwid na linya na may slope k ay may sumusunod na anyo:

Dahil ang aming slope ay katumbas ng derivative f'(x0), pagkatapos ang equation ay kukuha ng sumusunod na anyo: y = f'(x0)*x + b.

Ngayon kalkulahin natin ang halaga ng b. Upang gawin ito, ginagamit namin ang katotohanan na ang function ay dumadaan sa punto A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, mula dito ipinapahayag namin ang b at nakukuha namin ang b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Pinapalitan namin ang nagresultang halaga sa tangent equation:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa: hanapin ang equation ng tangent sa graph ng function f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 sa punto x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Palitan ang nakuha na mga halaga sa padaplis na formula, nakukuha natin: y = 1 + 4*(x - 2). Pagbukas ng mga bracket at pagdadala ng mga katulad na termino, makukuha natin ang: y = 4*x - 7.

Sagot: y = 4*x - 7.

Pangkalahatang scheme para sa pag-compile ng tangent equation sa graph ng function na y = f(x):

1. Tukuyin ang x0.

2. Kalkulahin ang f(x0).

3. Kalkulahin ang f'(x)

Ang artikulo ay nagbibigay detalyadong paliwanag mga kahulugan geometriko na kahulugan derivative na may mga graphic na simbolo. Ang equation ng tangent line ay isasaalang-alang kasama ng mga halimbawa, ang mga equation ng tangent hanggang curves ng 2nd order ay makikita.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1

Ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya y \u003d k x + b ay tinatawag na anggulo α, na sinusukat mula sa positibong direksyon ng x-axis hanggang sa tuwid na linya y \u003d k x + b sa positibong direksyon.

Sa figure, ang direksyon ng baka ay ipinahiwatig ng isang berdeng arrow at isang berdeng arko, at ang anggulo ng pagkahilig sa pamamagitan ng isang pulang arko. Ang asul na linya ay tumutukoy sa isang tuwid na linya.

Kahulugan 2

Ang slope ng tuwid na linya y \u003d k x + b ay tinatawag na numerical coefficient k.

Ang slope ay katumbas ng slope ng tuwid na linya, sa madaling salita k = t g α .

Ang slope ng tuwid na linya ay 0 lamang kapag ang o x ay parallel at ang slope ay katumbas ng zero, dahil ang tangent ng zero ay 0. Kaya, ang anyo ng equation ay y = b.
Kung ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya y = k x + b ay matalim, kung gayon ang mga kondisyon ay 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение dalisdis k ay itinuturing na isang positibong numero, dahil ang halaga ng tangent ay nakakatugon sa kundisyon t g α > 0, at mayroong pagtaas sa graph.
Kung α \u003d π 2, kung gayon ang lokasyon ng linya ay patayo sa x. Ang pagkakapantay-pantay ay tinukoy ng pagkakapantay-pantay na x = c na ang halaga c ay isang tunay na numero.
Kung ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya y = k x + b ay malabo, kung gayon ito ay tumutugma sa mga kundisyon π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает negatibong kahulugan, at ang graph ay bumababa.

Kahulugan 3

Ang secant ay isang tuwid na linya na dumadaan sa 2 puntos ng function na f (x). Sa madaling salita, ang secant ay isang tuwid na linya na dumadaan sa alinmang dalawang punto sa graph. ibinigay na function.

Ipinapakita ng figure na ang A B ay isang secant, at ang f (x) ay isang itim na curve, ang α ay isang pulang arko, na nagpapahiwatig ng anggulo ng pagkahilig ng secant.

Kapag ang slope ng isang tuwid na linya ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig, malinaw na ang padaplis mula sa isang kanang tatsulok A B C ay matatagpuan na may kaugnayan sa kabaligtaran na binti sa katabi.

Kahulugan 4

Nakukuha namin ang formula para sa paghahanap ng secant ng form:

k = tg α = BCAC = f (x B) - fx A x B - x A , kung saan ang abscissas ng mga puntos A at B ay ang mga halaga x A , x B , at f (x A) , f (x B) ay ang mga value function sa mga puntong ito.

Malinaw, ang slope ng secant ay tinukoy gamit ang pagkakapantay-pantay k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A o k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, at ang equation ay dapat na nakasulat bilang y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) o
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Ang secant ay biswal na hinahati ang graph sa 3 bahagi: sa kaliwa ng punto A, mula A hanggang B, sa kanan ng B. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita na mayroong tatlong secants na itinuturing na pareho, iyon ay, sila ay itakda gamit ang isang katulad na equation.

Sa pamamagitan ng kahulugan, malinaw na ang linya at ang secant nito ay nag-tutugma sa kasong ito.

Maaaring i-intersect ng isang secant ang graph ng isang partikular na function nang maraming beses. Kung mayroong isang equation ng form y \u003d 0 para sa secant, kung gayon ang bilang ng mga intersection point na may sinusoid ay walang hanggan.

Kahulugan 5

Tangent sa graph ng function na f (x) sa puntong x 0 ; f (x 0) ay tinatawag na isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto x 0; f (x 0) , na may presensya ng isang segment na may maraming x value na malapit sa x 0 .

Halimbawa 1

Tingnan natin ang halimbawa sa ibaba. Pagkatapos ay makikita na ang linya na ibinigay ng function na y = x + 1 ay itinuturing na tangent sa y = 2 x sa punto na may mga coordinate (1 ; 2) . Para sa kalinawan, kinakailangang isaalang-alang ang mga graph na may mga halaga na malapit sa (1; 2). Ang function na y = 2 x ay minarkahan ng itim, ang asul na linya ay ang padaplis, ang pulang tuldok ay ang punto ng intersection.

Malinaw, ang y \u003d 2 x ay sumasama sa linyang y \u003d x + 1.

Upang matukoy ang tangent, isaalang-alang ang pag-uugali ng tangent A B habang ang punto B ay lumalapit sa puntong A nang walang hanggan. Para sa kalinawan, nagpapakita kami ng figure.

Ang secant A B, na ipinahiwatig ng asul na linya, ay may gawi sa posisyon ng tangent mismo, at ang anggulo ng inclination ng secant α ay magsisimulang tumungo sa anggulo ng inclination ng tangent mismo α x.

Kahulugan 6

Ang tangent sa graph ng function na y \u003d f (x) sa punto A ay ang nililimitahan na posisyon ng secant na A B sa B na tumutugon sa A, iyon ay, B → A.

Ngayon ay bumaling tayo sa pagsasaalang-alang ng geometric na kahulugan ng derivative ng isang function sa isang punto.

Magpatuloy tayo sa pagsasaalang-alang sa secant AB para sa function na f (x), kung saan ang A at B na may mga coordinate x 0, f (x 0) at x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), at ∆ x ay denoted bilang isang increment ng argumento. Ngayon ang function ay kukuha ng form na ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Para sa kalinawan, kumuha tayo ng isang larawan bilang isang halimbawa.

Isaalang-alang ang resulta kanang tatsulok A B C. Ginagamit namin ang kahulugan ng tangent para sa solusyon, iyon ay, nakukuha namin ang ratio ∆ y ∆ x = t g α . Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang padaplis na lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Ayon sa derivative rule sa isang punto, mayroon tayong derivative f (x) sa puntong x 0 ay tinatawag na limit ng ratio ng increment ng function sa increment ng argument, kung saan ∆ x → 0, pagkatapos denoted bilang f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Kasunod nito na f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kung saan ang k x ay tinutukoy bilang ang slope ng padaplis.

Iyon ay, nakuha natin na ang f ' (x) ay maaaring umiral sa puntong x 0 at, tulad ng tangent sa ibinigay na graph ng function sa punto ng contact na katumbas ng x 0 , f 0 (x 0) , kung saan ang halaga ng slope ng tangent sa punto ay katumbas ng derivative sa punto x 0 . Pagkatapos makuha namin na k x = f "(x 0) .

Ang geometric na kahulugan ng derivative ng isang function sa isang punto ay ang konsepto ng pagkakaroon ng isang tangent sa graph sa parehong punto ay ibinigay.

Upang isulat ang equation ng anumang tuwid na linya sa eroplano, kinakailangan na magkaroon ng slope na may punto kung saan ito dumadaan. Ang pagtatalaga nito ay kinuha bilang x 0 sa intersection.

Ang equation ng tangent sa graph ng function na y \u003d f (x) sa puntong x 0, f 0 (x 0) ay kumukuha ng form na y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Nangangahulugan ito na ang pangwakas na halaga ng derivative f "(x 0) ay maaaring matukoy ang posisyon ng tangent, iyon ay, patayo sa ilalim ng kondisyong lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ at lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ o kawalan talaga sa ilalim ng kundisyong lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Ang lokasyon ng tangent ay nakasalalay sa halaga ng slope nito kx \u003d f "(x 0). Kapag kahanay sa x axis, nakukuha namin ang kk \u003d 0, kapag kahanay sa tungkol sa y - kx \u003d ∞, at ang anyo ng tangent equation x \u003d x 0 ay tumataas na may kx > 0 , bumababa bilang kx< 0 .

Halimbawa 2

I-compile ang equation ng tangent sa graph ng function na y \u003d ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 sa isang punto na may mga coordinate (1; 3) na may kahulugan ng anggulo ng hilig.

Solusyon

Sa pamamagitan ng pagpapalagay, mayroon kaming na ang function ay tinukoy para sa lahat ng mga tunay na numero. Nakuha namin na ang punto na may mga coordinate na tinukoy ng kundisyon (1 ; 3) ay ang punto ng contact, pagkatapos x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Kinakailangang hanapin ang derivative sa puntong may halaga - 1 . Nakukuha namin iyon

y "= ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" == ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = ex + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Ang halaga ng f ’ (x) sa punto ng kontak ay ang slope ng tangent, na katumbas ng tangent ng slope.

Pagkatapos k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Kasunod nito na α x = a r c t g 3 3 = π 6

Sagot: ang tangent equation ay tumatagal ng anyo

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng isang halimbawa sa isang graphic na paglalarawan.

Ang itim na kulay ay ginagamit para sa balangkas ng orihinal na function, kulay asul- ang imahe ng tangent, ang pulang tuldok - ang punto ng contact. Ang figure sa kanan ay nagpapakita ng pinalaki na view.

Halimbawa 3

Alamin ang pagkakaroon ng tangent sa graph ng isang ibinigay na function
y = 3 x - 1 5 + 1 sa puntong may mga coordinate (1 ; 1) . Sumulat ng isang equation at tukuyin ang anggulo ng pagkahilig.

Solusyon

Sa pamamagitan ng pagpapalagay, mayroon kaming na ang domain ng ibinigay na function ay ang set ng lahat ng tunay na numero.

Lumipat tayo sa paghahanap ng derivative

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Kung x 0 = 1 , kung gayon ang f ' (x) ay hindi tinukoy, ngunit ang mga limitasyon ay isinusulat bilang lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ at lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , na nangangahulugan ng pagkakaroon ng patayong padaplis sa punto (1 ; 1) .

Sagot: ang equation ay kukuha ng form x \u003d 1, kung saan ang anggulo ng pagkahilig ay magiging katumbas ng π 2.

I-graph natin ito para sa kalinawan.

Halimbawa 4

Hanapin ang mga punto ng function graph y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , kung saan

Ang padaplis ay hindi umiiral;
Ang padaplis ay parallel sa x;
Ang padaplis ay parallel sa linyang y = 8 5 x + 4 .

Solusyon

Ito ay kinakailangan upang bigyang-pansin ang domain ng kahulugan. Sa pamamagitan ng pagpapalagay, mayroon kaming na ang function ay tinukoy sa hanay ng lahat ng mga tunay na numero. Palawakin ang module at lutasin ang system na may mga pagitan x ∈ - ∞ ; 2 at [- 2 ; +∞) . Nakukuha namin iyon

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Ang pag-andar ay kailangang maiiba. Meron tayo niyan

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Kapag x = - 2, wala ang derivative dahil hindi pantay ang one-sided na limitasyon sa puntong iyon:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Kinakalkula namin ang halaga ng function sa puntong x \u003d - 2, kung saan nakuha namin iyon

y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, iyon ay, ang tangent sa point (- 2; - 2) ay hindi iiral.
Ang tangent ay parallel sa x kapag ang slope ay zero. Pagkatapos kx \u003d tg α x \u003d f "(x 0). Iyon ay, kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng naturang x kapag ang derivative ng function ay nagiging zero. Iyon ay, ang mga halaga \u200b\u200bof '(x) at magiging mga touch point, kung saan ang tangent ay parallel sa x .

Kapag x ∈ - ∞ ; - 2 , pagkatapos - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , at para sa x ∈ (- 2 ; + ∞) nakukuha natin ang 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Kinakalkula namin ang kaukulang mga halaga ng pag-andar

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Samakatuwid - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 85, 3; Ang 4 3 ay itinuturing na mga gustong punto ng graph ng function.

Isipin mo graphic na larawan mga solusyon.

Ang itim na linya ay ang graph ng function, ang mga pulang tuldok ay ang mga touch point.

Kapag ang mga linya ay parallel, ang mga slope ay pantay. Pagkatapos ito ay kinakailangan upang maghanap para sa mga punto ng graph ng function, kung saan ang slope ay magiging katumbas ng halaga 8 5 . Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang isang equation ng anyong y "(x) = 8 5. Pagkatapos, kung x ∈ - ∞; - 2, makuha natin iyon - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, at kung x ∈ ( - 2 ; + ∞) , kung gayon 1 5 (x 2-4 x + 3) = 8 5 .

Ang unang equation ay walang mga ugat dahil ang discriminant ay mas mababa sa zero. Isulat natin iyan

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Ang isa pang equation ay may dalawang tunay na ugat, kung gayon

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Magpatuloy tayo sa paghahanap ng mga halaga ng pag-andar. Nakukuha namin iyon

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Mga puntos na may mga halaga - 1; 4 15, 5; Ang 8 3 ay ang mga punto kung saan ang mga tangent ay parallel sa linyang y = 8 5 x + 4 .

Sagot: itim na linya - graph ng function, pulang linya - graph y \u003d 8 5 x + 4, asul na linya - tangents sa mga puntos - 1; 4 15, 5; 8 3 .

Ang pagkakaroon ng isang walang katapusang bilang ng mga tangent para sa mga ibinigay na function ay posible.

Halimbawa 5

Isulat ang mga equation ng lahat ng available na tangent ng function na y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , na patayo sa linyang y = - 2 x + 1 2 .

Solusyon

Upang ipunin ang tangent equation, kinakailangan upang mahanap ang coefficient at coordinate ng tangent point, batay sa kondisyon ng perpendicularity ng mga linya. Ang kahulugan ay ganito: ang produkto ng mga slope na patayo sa mga tuwid na linya ay katumbas ng - 1, iyon ay, ito ay nakasulat bilang k x · k ⊥ = - 1. Mula sa kondisyon na mayroon tayo na ang slope ay patayo sa tuwid na linya at katumbas ng k ⊥ = - 2, pagkatapos k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Ngayon ay kailangan nating hanapin ang mga coordinate ng mga touch point. Kailangan mong hanapin ang x, pagkatapos kung saan ang halaga nito para sa isang naibigay na function. Tandaan na mula sa geometric na kahulugan ng derivative sa punto
x 0 makuha namin iyon k x \u003d y "(x 0) . Mula sa pagkakapantay-pantay na ito, nakita namin ang mga x value \u200b\u200bpara sa mga touch point.

Nakukuha namin iyon

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 π x 0 - 4 = - 1 9

Ito trigonometriko equation ay gagamitin upang kalkulahin ang mga ordinate ng mga touch point.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk o x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Ang Z ay ang hanay ng mga integer.

Nakakita ng x point ng contact. Ngayon ay kailangan mong pumunta sa paghahanap para sa mga halaga ng y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 o y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 o y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 o y 0 = - 4 5 + 1 3

Mula dito nakuha natin na 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 ay mga touch point.

Sagot: ang mga kinakailangang equation ay isusulat bilang

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5-1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Para sa isang visual na representasyon, isaalang-alang ang function at ang tangent sa coordinate line.

Ipinapakita ng figure na ang lokasyon ng function ay nasa pagitan [-10; 10 ] , kung saan ang itim na linya ay ang graph ng function, ang mga asul na linya ay mga tangent na patayo sa ibinigay na linya ng anyong y = - 2 x + 1 2 . Ang mga pulang tuldok ay mga touch point.

Ang mga canonical equation ng mga curve ng ika-2 order ay hindi mga function na may iisang halaga. Ang mga tangent equation para sa kanila ay pinagsama-sama ayon sa mga kilalang scheme.

Tangent sa bilog

Upang magtakda ng isang bilog na nakasentro sa isang punto x c e n t e r ; y c e n t e r at radius R, ginagamit ang formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat bilang unyon ng dalawang function:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y

Ang unang function ay nasa itaas at ang pangalawa sa ibaba, tulad ng ipinapakita sa figure.

Upang gumuhit ng isang equation ng isang bilog sa isang punto x 0 ; y 0 , na matatagpuan sa itaas o mas mababang kalahating bilog, dapat mong mahanap ang equation ng function graph ng form y \u003d R 2 - x - xcenter 2 + ycenter o y \u003d - R 2 - x - xcenter 2 + ycenter sa tinukoy na punto.

Kapag sa mga punto x c e n t e r ; y c e n t e r + R at x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangents ay maaaring ibigay ng mga equation na y = y c e n t e r + R at y = y c e n t e r - R , at sa mga puntos na x c e n t e r + R ; y c e n t e r at
x c e n t e r - R ; y c e n t e r ay magiging parallel tungkol sa y, pagkatapos ay makakakuha tayo ng mga equation ng form na x = x c e n t e r + R at x = x c e n t e r - R .

Tangent sa Ellipse

Kapag ang ellipse ay nakasentro sa x c e n t e r ; y c e n t e r na may semiaxes a at b , pagkatapos ay maaari itong ibigay gamit ang equation na x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Ang isang ellipse at isang bilog ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng dalawang function, ibig sabihin, ang upper at lower semi-ellipse. Pagkatapos makuha namin iyon

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y

Kung ang mga tangent ay matatagpuan sa mga vertices ng ellipse, kung gayon sila ay parallel tungkol sa x o tungkol sa y. Para sa kalinawan, isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Halimbawa 6

Isulat ang equation ng tangent sa ellipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 sa mga puntos na may mga x value na katumbas ng x = 2 .

Solusyon

Kinakailangang maghanap ng mga touch point na tumutugma sa halagang x = 2. Gumagawa kami ng pagpapalit sa umiiral na equation ng ellipse at makuha iyon

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Pagkatapos 2; 5 3 2 + 5 at 2 ; - 5 3 2 + 5 ay ang mga padaplis na punto na kabilang sa upper at lower semi-ellipse.

Lumipat tayo sa paghahanap at paglutas ng equation ng isang ellipse na may paggalang sa y. Nakukuha namin iyon

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Malinaw na ang upper semi-ellipse ay tinukoy gamit ang isang function ng form na y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , at ang mas mababang y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Inilapat namin ang karaniwang algorithm upang mabuo ang equation ng tangent sa graph ng isang function sa isang punto. Isinulat namin na ang equation para sa unang tangent sa punto 2; 5 3 2 + 5 ang magiging hitsura

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Nakukuha namin na ang equation ng pangalawang tangent na may halaga sa punto
2; - 5 3 2 + 5 ang nagiging

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Sa graphically, ang mga tangent ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

Tangent sa hyperbole

Kapag ang hyperbola ay may sentro sa puntong x c e n t e r ; y c e n t e r at vertices x c e n t e r + α ; y c e n t e r at x c e n t e r - α ; y c e n t e r , ang inequality x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ay ibinibigay kung may vertices x c e n t e r ; y c e n t e r + b at x c e n t e r ; y c e n t e r - b ay ibinibigay pagkatapos ng hindi pagkakapantay-pantay x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Ang hyperbola ay maaaring katawanin bilang dalawang pinagsamang function ng form

y = ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycentery = - ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter o y = ba (x - xcenter) 2 + a 2 + ycentery = - ba (x - xcenter) ) 2 + isang 2 + ycenter

Sa unang kaso, mayroon kaming na ang mga tangent ay parallel sa y, at sa pangalawa, sila ay parallel sa x.

Ito ay sumusunod na upang mahanap ang equation ng isang tangent sa isang hyperbola, ito ay kinakailangan upang malaman kung saan ang function na ang tangent point nabibilang. Upang matukoy ito, kinakailangan na gumawa ng isang pagpapalit sa mga equation at suriin ang mga ito para sa pagkakakilanlan.

Halimbawa 7

Isulat ang equation ng tangent sa hyperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 sa punto 7; - 3 3 - 3 .

Solusyon

Kinakailangang ibahin ang anyo ng talaan ng solusyon ng paghahanap ng hyperbola gamit ang 2 function. Nakukuha namin iyon

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 o y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Ito ay kinakailangan upang malaman kung aling function ang ibinigay na punto na may mga coordinate 7 nabibilang; - 3 3 - 3 .

Malinaw, upang suriin ang unang function, ito ay kinakailangan y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , kung gayon ang punto ay hindi kabilang sa graph, dahil ang pagkakapantay-pantay ay hindi nasisiyahan.

Para sa pangalawang function, mayroon tayong y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , na nangangahulugan na ang punto ay kabilang sa ibinigay na graph. Mula dito dapat mong mahanap ang slope coefficient.

Nakukuha namin iyon

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Sagot: ang tangent equation ay maaaring katawanin bilang

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Ito ay nakikita tulad ng sumusunod:

Padaplis sa parabola

Upang mabuo ang equation ng tangent sa parabola y \u003d ax 2 + bx + c sa punto x 0, y (x 0) , dapat mong gamitin ang karaniwang algorithm, pagkatapos ang equation ay kukuha ng form y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Ang nasabing tangent sa vertex ay kahanay ng x.

Ang parabola x = a y 2 + b y + c ay dapat tukuyin bilang unyon ng dalawang function. Samakatuwid, kailangan nating lutasin ang equation para sa y. Nakukuha namin iyon

x = ay 2 + by + c ⇔ ay 2 + by + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

I-graph natin ito bilang:

Upang malaman kung ang isang punto x 0 , y (x 0) ay kabilang sa isang function, dahan-dahang sundin ang karaniwang algorithm. Ang nasabing tangent ay magiging parallel sa y na may paggalang sa parabola.

Halimbawa 8

Isulat ang equation ng tangent sa graph x - 2 y 2 - 5 y + 3 kapag mayroon tayong tangent slope na 150 °.

Solusyon

Sinisimulan namin ang solusyon sa pamamagitan ng pagre-represent sa parabola bilang dalawang function. Nakukuha namin iyon

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 xy = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Ang halaga ng slope ay katumbas ng halaga ng derivative sa punto x 0 ng function na ito at katumbas ng tangent ng slope.

Nakukuha namin:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Mula dito tinutukoy namin ang halaga ng x para sa mga touch point.

Ang unang function ay isusulat bilang

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Malinaw, walang tunay na mga ugat, dahil nakakuha kami ng negatibong halaga. Napagpasyahan namin na walang tangent na may anggulo na 150 ° para sa naturang function.

Ang pangalawang function ay isusulat bilang

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Mayroon kaming na ang mga touch point - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Sagot: ang tangent equation ay tumatagal ng anyo

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

I-graph natin ito ng ganito: