Numerical equalities at inequalities at ang kanilang mga katangian. Mga katangian ng pagkakapantay-pantay kung saan nakabatay ang solusyon ng mga equation

Ang "pagkakapantay-pantay" ay isang paksa na pinagdadaanan ng mga mag-aaral noon pa man mababang Paaralan. Kasama rin niya ang kanyang "Inequalities". Ang dalawang konseptong ito ay malapit na magkaugnay. Bilang karagdagan, ang mga termino tulad ng mga equation, pagkakakilanlan ay nauugnay sa kanila. Kaya ano ang pagkakapantay-pantay?

Ang konsepto ng pagkakapantay-pantay

Ang terminong ito ay nauunawaan bilang mga pahayag, sa talaan kung saan mayroong isang senyas na "=". Ang pagkakapantay-pantay ay nahahati sa totoo at mali. Kung sa entry sa halip na = nakatayo<, >, pagkatapos ay pinag-uusapan natin ang tungkol sa hindi pagkakapantay-pantay. Sa pamamagitan ng paraan, ang unang tanda ng pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig na ang parehong bahagi ng expression ay magkapareho sa kanilang resulta o tala.

Bilang karagdagan sa konsepto ng pagkakapantay-pantay, pinag-aaralan din ng paaralan ang paksang " Pagkakapantay-pantay ng numero". Ang pahayag na ito ay nauunawaan bilang dalawang numerical expression na nakatayo sa magkabilang panig ng = sign. Halimbawa, 2*5+7=17. Parehong bahagi ng talaan ay pantay sa isa't isa.

AT mga numerical expression maaaring gamitin ang mga bracket ng ganitong uri, na nakakaapekto sa pagkakasunud-sunod ng mga operasyon. Kaya, mayroong 4 na panuntunan na dapat isaalang-alang kapag kinakalkula ang mga resulta ng mga numerical expression.

Kung walang mga bracket sa entry, ang mga aksyon ay isinasagawa mula sa pinakamataas na antas: III→II→I. Kung mayroong maraming mga aksyon ng parehong kategorya, pagkatapos ay isinasagawa ang mga ito mula kaliwa hanggang kanan.
Kung may mga bracket sa entry, pagkatapos ay ang aksyon ay isinasagawa sa mga bracket, at pagkatapos ay isinasaalang-alang ang mga hakbang. Marahil ay magkakaroon ng ilang mga aksyon sa mga bracket.
Kung ang expression ay ipinahayag bilang isang fraction, kailangan mong kalkulahin muna ang numerator, pagkatapos ay ang denominator, pagkatapos ay ang numerator ay hinati sa denominator.
Kung naglalaman ang entry ng mga nested parentheses, susuriin muna ang expression sa panloob na parentheses.

Kaya, ngayon ay malinaw na kung ano ang pagkakapantay-pantay. Sa hinaharap, ang mga konsepto ng mga equation, pagkakakilanlan at mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga ito ay isasaalang-alang.

Mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero

Ano ang pagkakapantay-pantay? Ang pag-aaral ng konseptong ito ay nangangailangan ng kaalaman sa mga katangian ng numerical identity. Ang mga sumusunod na text formula ay nagbibigay-daan sa iyo na mas mapag-aralan ang paksang ito. Siyempre, ang mga katangiang ito ay mas angkop para sa pag-aaral ng matematika sa mataas na paaralan.

1. Hindi lalabagin ang pagkakapantay-pantay ng numero kung idadagdag ang parehong numero sa umiiral nang expression sa parehong bahagi nito.

A = B↔ A + 5 = B + 5

2. Ang equation ay hindi malalabag kung ang parehong bahagi nito ay i-multiply o hinati sa parehong numero o expression na naiiba sa zero.

P = O↔ R ∙ 5 = O ∙ 5

P = O↔ R: 5 = O: 5

3. Pagdaragdag sa parehong bahagi ng pagkakakilanlan ng parehong function, na makatuwiran para sa alinman pinahihintulutang halaga variable, nakakakuha tayo ng bagong pagkakapantay-pantay na katumbas ng orihinal.

F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) + R(X) =Ψ (X) + R(X)

4. Anumang termino o expression ay maaaring ilipat sa kabilang panig ng pantay na tanda, habang kailangan mong baguhin ang mga palatandaan sa kabaligtaran.

X + 5 = Y - 20 ↔ X \u003d Y - 20 - 5 ↔ X \u003d Y - 25

5. Sa pamamagitan ng pag-multiply o paghahati ng magkabilang panig ng equation sa parehong non-zero function na may katuturan para sa bawat halaga ng X mula sa ODZ, nakakakuha tayo ng bagong equation na katumbas ng orihinal.

F(X) = Ψ(x)↔ F(X) ∙R(X) = Ψ(X) ∙R(x)

F(X) = Ψ(X)↔ F(X) : G(X) = Ψ(X): G(X)

Ang mga tuntunin sa itaas ay tahasang tumuturo sa prinsipyo ng pagkakapantay-pantay, na umiiral sa ilalim ng ilang mga kundisyon.

Ang konsepto ng proporsyon

Sa matematika, mayroong isang bagay tulad ng pagkakapantay-pantay ng mga relasyon. Sa kasong ito, ang kahulugan ng proporsyon ay ipinahiwatig. Kung hahatiin mo ang A sa B, ang magiging resulta ay ang ratio ng numero A sa bilang B. Ang proporsyon ay ang pagkakapantay-pantay ng dalawang ratio:

Minsan ang proporsyon ay nakasulat tulad ng sumusunod: A:B=C:D. Mula dito sumusunod ang pangunahing pag-aari ng proporsyon: A*D=D*C, kung saan ang A at D ay ang mga matinding miyembro ng proporsyon, at ang B at C ay ang mga nasa gitna.

Mga pagkakakilanlan

Ang pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na magiging totoo para sa lahat ng wastong halaga ng mga variable na iyon na kasama sa gawain. Ang mga pagkakakilanlan ay maaaring katawanin bilang literal o numerical na pagkakapantay-pantay.

Ang pantay na pantay ay tinatawag na mga expression na naglalaman ng hindi kilalang variable sa parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay, na may kakayahang pagtumbas ng dalawang bahagi ng isang kabuuan.

Kung papalitan natin ang isang expression sa isa pa, na magiging katumbas nito, kung gayon ang pinag-uusapan natin ay isang magkaparehong pagbabago. Sa kasong ito, maaari mong gamitin ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon, ang mga batas ng arithmetic at iba pang pagkakakilanlan.

Upang bawasan ang fraction, kailangan mong magsagawa ng magkaparehong pagbabago. Halimbawa, binigyan ng fraction. Upang makuha ang resulta, dapat mong gamitin ang mga formula para sa pinaikling multiplication, factoring, simplifying expression at pagbabawas ng mga fraction.

Dapat tandaan na ang expression na ito ay magiging magkapareho kapag ang denominator ay hindi katumbas ng 3.

5 paraan upang patunayan ang pagkakakilanlan

Upang patunayan na ang pagkakapantay-pantay ay magkapareho, kinakailangan na baguhin ang mga expression.

paraan ko

Kinakailangan na magsagawa ng mga katumbas na pagbabago sa kaliwang bahagi. Ang resulta ay kanang bahagi, at masasabi nating napatunayan ang pagkakakilanlan.

II pamamaraan

Ang lahat ng mga aksyon upang baguhin ang expression ay nangyayari sa kanang bahagi. Ang resulta ng mga ginanap na manipulasyon ay ang kaliwang bahagi. Kung ang parehong bahagi ay magkapareho, kung gayon ang pagkakakilanlan ay napatunayan.

III paraan

Ang "mga pagbabagong-anyo" ay nangyayari sa parehong bahagi ng expression. Kung ang resulta ay dalawang magkatulad na bahagi, ang pagkakakilanlan ay napatunayan.

IV na pamamaraan

Ang kanang bahagi ay ibinabawas sa kaliwang bahagi. Bilang resulta ng mga katumbas na pagbabago, dapat makuha ang zero. Pagkatapos ay maaari nating pag-usapan ang pagkakakilanlan ng expression.

ika-5 paraan

Ang kaliwang bahagi ay ibinabawas mula sa kanang bahagi. Ang lahat ng katumbas na pagbabago ay nabawasan sa katotohanan na ang sagot ay zero. Sa kasong ito lamang natin masasabi ang pagkakakilanlan ng pagkakapantay-pantay.

Mga pangunahing katangian ng pagkakakilanlan

Sa matematika, ang mga katangian ng pagkakapantay-pantay ay kadalasang ginagamit upang mapabilis ang proseso ng pagkalkula. Dahil sa mga pangunahing pagkakakilanlan ng algebraic, ang proseso ng pagkalkula ng ilang expression ay tatagal ng ilang minuto sa halip na mahabang oras.

X + Y = Y + X
X + (Y + C) = (X + Y) + C
X + 0 = X
X + (-X) = 0
X ∙ (Y + C) = X ∙ Y + X ∙ C
X ∙ (Y - C) \u003d X ∙ Y - X ∙ C
(X + Y) ∙ (C + E) = X ∙ C + X ∙ E + Y ∙ C + Y ∙ E
X + (Y + C) = X + Y + C
X + (Y - C) \u003d X + Y - C
X - (Y + C) \u003d X - Y - C
X - (Y - C) \u003d X - Y + C
X ∙ Y = Y ∙ X
X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
X ∙ 1 = X
X ∙ 1/X = 1, kung saan X ≠ 0

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami

Sa kanilang kaibuturan, ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami ay mga pagkakapantay-pantay. Nakakatulong sila sa paglutas ng maraming problema sa matematika dahil sa kanilang pagiging simple at kadalian ng paggamit.

(A + B) 2 \u003d A 2 + 2 ∙ A ∙ B + B 2 - ang parisukat ng kabuuan ng isang pares ng mga numero;

(A - B) 2 \u003d A 2 - 2 ∙ A ∙ B + B 2 - ang parisukat ng pagkakaiba sa pagitan ng isang pares ng mga numero;

(C + B) ∙ (C - B) \u003d C 2 - B 2 - pagkakaiba ng mga parisukat;

(A + B) 3 \u003d A 3 + 3 ∙ A 2 ∙ B + 3 ∙ A ∙ B 2 + B 3 - ang kubo ng kabuuan;

(A - B) 3 \u003d A 3 - 3 ∙ A 2 ∙ B + 3 ∙ A ∙ B 2 - B 3 - difference cube;

(P + B) ∙ (P 2 - P ∙ B + B 2) \u003d P 3 + B 3 - ang kabuuan ng mga cube;

(P - B) ∙ (P 2 + P ∙ B + B 2) \u003d P 3 - B 3 - ang pagkakaiba ng mga cube.

Ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami ay kadalasang ginagamit kung kinakailangan upang dalhin ang polynomial sa karaniwan nitong anyo, na pinapasimple ito sa lahat. mga posibleng paraan. Ang ipinakita na mga formula ay pinatunayan nang simple: ito ay sapat na upang buksan ang mga bracket at magdala ng mga katulad na termino.

Mga equation

Pagkatapos pag-aralan ang tanong kung ano ang pagkakapantay-pantay, maaari kang magpatuloy sa susunod na punto: Ang isang equation ay nauunawaan bilang isang pagkakapantay-pantay kung saan mayroong mga hindi kilalang dami. Ang solusyon ng equation ay ang paghahanap ng lahat ng mga halaga ng variable, kung saan ang parehong bahagi ng buong expression ay magiging pantay. Mayroon ding mga gawain kung saan ang paghahanap ng mga solusyon sa equation ay imposible. Sa kasong ito, sinasabi namin na walang mga ugat.

Bilang isang patakaran, ang mga pagkakapantay-pantay na may mga hindi alam ay nagbibigay ng mga integer na numero bilang mga solusyon. Gayunpaman, may mga kaso kapag ang ugat ay isang vector, isang function, at iba pang mga bagay.

Ang equation ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa matematika. Karamihan sa siyentipiko at mga praktikal na gawain hindi ka pinapayagang sukatin o kalkulahin ang anumang halaga. Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang ratio na masisiyahan ang lahat ng mga kondisyon ng gawain. Sa proseso ng pag-compile ng naturang relasyon, lumilitaw ang isang equation o sistema ng mga equation.

Karaniwan, ang paglutas ng pagkakapantay-pantay na may hindi alam ay binabawasan sa pagbabago ng isang kumplikadong equation at pagbabawas nito sa mga simpleng anyo. Dapat tandaan na ang mga pagbabagong-anyo ay dapat isagawa na may paggalang sa parehong mga bahagi, kung hindi man ang output ay magiging isang hindi tamang resulta.

4 na paraan upang malutas ang isang equation

Sa pamamagitan ng paglutas ng isang equation, naiintindihan ng isa ang pagpapalit ng isang naibigay na pagkakapantay-pantay ng isa pa, na katumbas ng una. Ang naturang pagpapalit ay kilala bilang isang magkatulad na pagbabago. Upang malutas ang equation, dapat mong gamitin ang isa sa mga pamamaraan.

1. Ang isang expression ay pinapalitan ng isa pa, na tiyak na magiging kapareho ng una. Halimbawa: (3∙x+3) 2 =15∙x+10. Maaaring i-convert ang expression na ito sa 9∙x 2 +18∙x+9=15∙x+10.

2. Paglilipat ng mga tuntunin ng pagkakapantay-pantay sa hindi alam mula sa isang panig patungo sa isa pa. Sa kasong ito, kinakailangan na baguhin nang tama ang mga palatandaan. Ang kaunting pagkakamali ay masisira ang lahat ng gawaing ginawa. Kunin natin ang nakaraang "sample" bilang isang halimbawa.

9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10

9∙x 2 + 12∙x + 4 - 15∙x - 10 = 0

3. Pagpaparami ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pantay na bilang o isang expression na hindi katumbas ng 0. Gayunpaman, nararapat na alalahanin na kung ang bagong equation ay hindi katumbas ng pagkakapantay-pantay bago ang mga pagbabagong-anyo, kung gayon ang bilang ng mga ugat ay maaaring magbago nang malaki.

4. Pag-squaring sa magkabilang panig ng equation. Ang pamamaraang ito ay kahanga-hanga lamang, lalo na kapag may mga hindi makatwirang pagpapahayag sa pagkakapantay-pantay, iyon ay, ang pagpapahayag sa ilalim nito. May isang caveat: kung itataas mo ang equation sa pantay na kapangyarihan, maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat na magpapaikut-ikot sa esensya ng gawain. At kung mali ang pagkuha ng ugat, kung gayon ang kahulugan ng tanong sa problema ay hindi malinaw. Halimbawa: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 at 2) - 7∙х = 35 → ang equation ay malulutas nang tama.

Kaya, sa artikulong ito, binanggit ang mga termino tulad ng mga equation at pagkakakilanlan. Lahat sila ay nagmula sa konsepto ng "pagkakapantay-pantay". Salamat sa iba't ibang uri ng katumbas na mga expression, ang solusyon sa ilang mga problema ay lubos na pinadali.

Sa ang araling ito ikaw at ang palaka ay magkakakilala mga konsepto ng matematika: "pagkakapantay-pantay" at "hindi pagkakapantay-pantay", pati na rin sa mga palatandaan ng paghahambing. para masaya at kawili-wiling mga halimbawa alamin kung paano ihambing ang mga pangkat ng mga numero gamit ang pagpapares at paghambingin ang mga numero gamit ang isang linya ng numero.

Paksa:Panimula sa mga pangunahing konsepto sa matematika

Aralin: Pagkakapantay-pantay at Di-pagkakapantay-pantay

Sa araling ito, makikilala natin ang mga konsepto ng matematika: "pagkakapantay-pantay" at "hindi pagkakapantay-pantay".

Subukang sagutin ang tanong:

May mga batya sa dingding,

Ang bawat isa ay may eksaktong isang palaka.

Kung mayroong limang batya,

Ilan kaya ang mga palaka nila? (Larawan 1)

kanin. isa

Sinasabi ng tula na mayroong 5 batya, bawat batya ay may 1 palaka, walang naiwan na walang pares, ibig sabihin, ang bilang ng mga palaka ay katumbas ng bilang ng mga batya.

Tukuyin natin ang mga tub na may letrang K, at ang mga palaka na may letrang L.

Isulat natin ang pagkakapantay-pantay: K = L. (Larawan 2)

kanin. 2

Ihambing ang mga bilang ng dalawang pangkat ng mga pigura. Mayroong maraming mga numero, ang mga ito ay may iba't ibang laki, nakaayos nang walang pagkakasunud-sunod. (Larawan 3)

kanin. 3

Gumawa tayo ng mga pares ng mga figure na ito. Ikonekta ang bawat parisukat sa isang tatsulok. (Larawan 4)

kanin. 4

Dalawang parisukat ang naiwan na walang pares. Kaya ang bilang ng mga parisukat ay hindi katumbas ng bilang ng mga tatsulok. Tinutukoy namin ang mga parisukat na may titik K, at ang mga tatsulok na may titik T.

Isulat natin ang hindi pagkakapantay-pantay: K ≠ T. (Larawan 5)

kanin. 5

Konklusyon: Maaari mong ihambing ang bilang ng mga elemento sa dalawang pangkat sa pamamagitan ng paggawa ng mga pares. Kung mayroong sapat na mga pares para sa lahat ng mga elemento, pagkatapos ay ang mga kaukulang numero pantay, sa kasong ito inilalagay namin sa pagitan ng mga numero o titik =. Ang entry na ito ay tinatawag na pagkakapantay-pantay. (Larawan 6)

kanin. 6

Kung walang sapat na mga pares, ibig sabihin, nananatili sila mga karagdagang item, pagkatapos ang mga numerong ito hindi pantay. Ilagay sa pagitan ng mga numero o titik sign na hindi pantay. Ang entry na ito ay tinatawag na hindi pagkakapantay-pantay.(Larawan 7)

kanin. 7

Ang mga elementong naiwan nang walang pares ay nagpapakita kung alin sa dalawang numero ang mas malaki at kung magkano. (Larawan 8)

kanin. walo

Ang paraan ng paghahambing ng mga grupo ng mga figure gamit ang pagpapares ay hindi palaging maginhawa at tumatagal ng maraming oras. Maaari mong ihambing ang mga numero gamit ang isang number ray. (Larawan 9)

kanin. siyam

Ihambing ang mga numerong ito gamit ang isang number ray at maglagay ng comparison sign.

Kailangan nating ihambing ang mga numero 2 at 5. Tingnan natin ang linya ng numero. Ang numero 2 ay mas malapit sa 0 kaysa sa numero 5, o sinasabi nila na ang numero 2 sa linya ng numero ay nasa kaliwa ng numero 5. Kaya ang 2 ay hindi katumbas ng 5. Ito ay isang hindi pagkakapantay-pantay.

Ang sign na "≠" (hindi katumbas) ay nag-aayos lamang ng hindi pagkakapantay-pantay ng mga numero, ngunit hindi nagpapahiwatig kung alin sa mga ito ang mas malaki at kung alin ang mas mababa.

Sa dalawang numero sa linya ng numero, ang mas maliit ay matatagpuan sa kaliwa, at ang mas malaki ay nasa kanan. (Larawan 10)

kanin. sampu

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat sa ibang paraan, gamit mas kaunting tanda"< » o mas malaki sa sign ">" :

Sa linya ng numero, ang numero 7 ay nasa kanan kaysa sa numero 4, samakatuwid:

7 ≠ 4 at 7 > 4

Ang mga numero 9 at 9 ay pantay, kaya inilalagay namin ang = sign, ito ay pagkakapantay-pantay:

Ihambing ang bilang ng mga tuldok at ang numero at ilagay ang kaukulang tanda. (Larawan 11)

kanin. labing-isa

Sa unang figure, kailangan nating ilagay ang = o ≠ sign.

Inihambing namin ang dalawang puntos at ang numero 2, ilagay ang = sign sa pagitan nila. Ito ay pagkakapantay-pantay.

Inihambing namin ang isang punto at ang numero 3, sa numerical beam ang numero 1 ay nasa kaliwa kaysa sa numero 3, ilagay ang sign ≠.

Inihambing namin ang apat na puntos at 4. Sa pagitan ng mga ito ay inilalagay namin ang tanda =. Ito ay pagkakapantay-pantay.

Inihambing namin ang tatlong puntos at ang numero 4. Tatlong puntos ang numero 3. Sa linya ng numero ito ay nasa kaliwa, inilalagay namin ang karatulang ≠. Ito ay isang hindi pagkakapantay-pantay. (Larawan 12)

kanin. 12

Sa pangalawang figure, sa pagitan ng mga puntos at numero, kailangan mong maglagay ng mga palatandaan =,<, >.

Ihambing natin ang limang puntos at ang bilang na 5. Sa pagitan ng mga ito ay inilalagay natin ang tanda =. Ito ay pagkakapantay-pantay.

Paghambingin natin ang tatlong puntos at ang bilang 3. Dito, maaari mo ring ilagay ang = sign.

Ihambing natin ang limang puntos at ang numero 6. Sa linya ng numero, ang numero 5 ay higit sa kaliwa kaysa sa numero 6. Inilalagay namin ang karatula.<. Это неравенство.

Ihambing natin ang dalawang puntos at isa, ang numero 2 ay mas nasa kanan sa linya ng numero kaysa sa numero 1. Inilalagay namin ang > sign. Ito ay isang hindi pagkakapantay-pantay. (Larawan 13)

kanin. labintatlo

Magpasok ng numero sa kahon upang ang resultang pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay ay maging totoo.

Ito ay isang hindi pagkakapantay-pantay. Tingnan natin ang linya ng numero. Dahil naghahanap tayo ng numerong mas mababa sa numero 7, dapat na nasa kaliwa ito ng numero 7 sa linya ng numero. (Larawan 14)

kanin. labing-apat

Maramihang numero ang maaaring ilagay sa kahon. Ang mga numerong 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ay magkasya rito. Anuman sa mga ito ay maaaring palitan sa window at makakuha ng ilang tamang hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, 5< 7 или 2 < 7

Sa numerical beam makikita natin ang mga numero na mas mababa sa 5. (Fig. 15)

kanin. labinlima

Ito ang mga numero 4, 3, 2, 1, 0. Samakatuwid, ang alinman sa mga numerong ito ay maaaring palitan sa kahon, makakakuha tayo ng ilang tunay na hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, 5 >4, 5 >3

Isang numero 8 lamang ang maaaring palitan sa.

Sa araling ito, nakilala namin ang mga konsepto ng matematika: "pagkakapantay-pantay" at "hindi pagkakapantay-pantay", natutunan kung paano wastong maglagay ng mga palatandaan ng paghahambing, nagsanay ng paghahambing ng mga pangkat ng mga numero gamit ang pagpapares at paghahambing ng mga numero gamit ang isang number beam, na makakatulong sa karagdagang pag-aaral ng matematika .

Bibliograpiya

Aleksandrova L.A., Mordkovich A.G. Mathematics 1st grade. - M: Mnemosyne, 2012.
Bashmakov M.I., Nefedova M.G. Mathematics. 1 klase. - M: Astrel, 2012.
Bedenko M.V. Mathematics. 1 klase. - M7: salitang Ruso, 2012.

game.pro().
slideshare.net().
Iqsha.ru ().

Takdang aralin

1. Anong mga palatandaan ng paghahambing ang alam mo, sa anong mga kaso ginagamit ang mga ito? Isulat ang mga palatandaan ng paghahambing ng mga numero.

2. Ihambing ang bilang ng mga bagay sa larawan at ilagay ang karatulang "<», «>" o "=".

3. Ihambing ang mga numero sa pamamagitan ng paglalagay ng karatulang "<», «>" o "=".

Ang mga sumusunod ay nakasulat sa papel:

Ang tatlo at dalawa ay lima.

Ang tatlo at dalawa ay katumbas ng lima.

Ang pagdaragdag ng tatlo at dalawa ay magbibigay sa iyo ng lima.

Tatlong pinarami ng dalawa ay nagiging lima.

Ang kabuuan ng tatlo at dalawa ay lima.

Siyanga pala, ang "mga tungkulin" na ginagampanan ng mga numero sa entry na ito ay may mga sumusunod na pangalan:

unang termino + ikalawang termino = kabuuan

Sa parehong paraan,

hindi lamang ang "lima sa dalawa ay katumbas ng tatlo", kundi pati na rin:

Lima minus dalawa ay tatlo.

Ang dalawang bawas sa lima ay tatlo.

Ibawas ang dalawa sa lima at makakakuha ka ng tatlo.

Limang bawas dalawa ay katumbas ng tatlo.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng lima at dalawa ay tatlo.

Kung ang minuend ay 5 at ang subtrahend ay 2, kung gayon ang pagkakaiba ay 3.

Ang "mga tungkulin" ng mga numero sa mga halimbawa ng pagbabawas ay tinatawag na mga sumusunod:

minuend − subtrahend = pagkakaiba

pito - ito ay katulad ng apat at tatlo.

Isaalang-alang natin ang ganitong sitwasyon. Si Denis ay may 5 matamis. Ang kanyang nakababatang kapatid na si Matthew ay nagtanong:

Inilalagay ni Denis ang mga kendi sa dalawang tumpok. Pinapanatili niya ang isang tumpok para sa kanyang sarili, at ibinibigay ang isa kay Matvey. Ang tanong ay: paano mahahati ang 5 kendi sa dalawang tambak? Mga posibleng sagot:

5 \u003d 1 + 4 (Si Denis ay nagpapanatili ng isang kendi para sa kanyang sarili, at nagbibigay ng apat kay Matvey);
5 = 2 + 3;
5 = 3 + 2;
5 = 4 + 1.

Ngunit ito ay hindi lahat ng posibleng mga pagpipilian. Maaaring lumabas na hindi gusto ni Denis ang mga matamis na ito, at ibinigay niya ang lahat kay Matvey:

O baka ayaw ni Denis na magbahagi ng mga matamis, at pagkatapos ay dapat kang sumulat ng ganito:

Ang lahat ng mga sagot na ito ay maaaring pagsamahin sa isang linya:

Ipagpalagay na ang ilang tiyuhin na nasa hustong gulang - isang hindi inanyayahang tagasuri - ay nagtanong kay Denis:

Matapang na ngayong makakasagot si Denis:

Tatlo plus dalawa iyon.

At talagang tama si Denis. Talaga,

Ngunit paano kung hilingin nang tama na kalkulahin ang "dalawa kasama ang tatlo", upang ang sagot ay isa at tanging numero?

Ang isang magandang tanong ay ganito:

Ano ang halaga ng expression na 2 + 3?

pagpapahayag ng matematika lahat ay tinatawag, tungkol sa kung saan maaari mong itanong: "Magkano ito? Anong numero ang katumbas nito? Nakilala na namin ang mga expression tulad ng "2 + 3", "5 − 2". Ang mga numero mismo ay mga expression din. Kung tutuusin, hindi naman masamang sabihin iyon

Kaya ang "2" ay isang expression.

Ang sagot sa tanong na: “Magkano ito? Anong numero ang katumbas nito? ay tinatawag na halaga ng pagpapahayag. Halimbawa, ang halaga ng expression na "2 + 3" ay "5". Ito ay nakasulat sa paraang alam na natin:

Kung ang dalawang expression ay may parehong halaga, pagkatapos ay ang "=" sign ay inilalagay sa pagitan ng mga ito at ang resultang tala ay tinatawag pagkakapantay-pantay, Halimbawa:

1 + 4 = 2 + 3;
7 = 2 + 5.

Alam na natin na ang pagkakapantay-pantay ay maaaring bumuo ng mga kadena:

5 = 0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5 + 0.

Kung may dalawang expression iba't ibang kahulugan, kung gayon ay mali na ilagay ang “=” sign sa pagitan nila, ngunit maaari kang maglagay ng isa pang sign, ibig sabihin, “≠”. Halimbawa,

1 ≠ 2 (basahin: ang isa ay hindi katumbas ng dalawa);
3 + 2 ≠ 4 (tatlo at dalawa ay hindi katumbas ng apat);
10 ≠ 7 − 3 (sampu ay hindi katumbas ng pito minus tatlo).

Ang ganitong mga talaan ay tinatawag hindi pagkakapantay-pantay. Gayunpaman, ang mga ganitong uri ng hindi pagkakapantay-pantay ay kadalasang nag-iiwan ng ilang kawalang-kasiyahan. Hindi malamang na sasabihin ni Denis:

Ang edad ko ay hindi katulad ni Matthew.

Ito ay malamang na ipahayag tulad nito:

Mas matanda ako kay Matthew. Mas matanda ako sa kanya. Si Matthew ay mas bata sa akin. Mas bata siya sa akin.

Alam namin na si Denis ay 7 taong gulang, at si Matthew ay 5. Maaari naming isulat ito tulad nito:

7 > 5 (basahin: pito ay higit sa lima; o: pito ay higit sa lima)

5 < 7 (пять меньше семи; пять меньше, чем семь).

Sa tatlong taon, pareho silang magiging mas matanda, ngunit si Denis ay mananatiling mas matanda kaysa kay Matvey:

7 + 3 > 5 + 3 (pitong kasama ang tatlo ay higit sa lima at tatlo);
5 + 3 < 7 + 3 (пять плюс три меньше, чем семь плюс три).

Mga entry na naglalaman ng ">" (mas malaki kaysa) o "<» («меньше») тоже называются hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring bumuo ng mga kadena:

0 < 1 < 2 < 3;
3 > 2 > 1 > 0.

Pinapayagan din ang mga pinaghalong chain, kung saan mayroong parehong pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay. Hayaan, halimbawa, itanong: ano pa:

7 + 3 o 5 + 3?

Maginhawang ipakita ang sagot sa tanong na ito sa sumusunod na anyo:

7 + 3 = 10 > 8 = 5 + 3.

Marahil, kung minsan ay gustong sabihin ito ni Denis:

Mas matanda ako kay Matthew ng dalawang taon. Mas matanda ako sa kanya ng dalawang taon. Si Matthew ay mas bata sa akin ng dalawang taon. Mas bata siya sa akin ng dalawang taon.

Upang isulat ito gamit ang mga numero, kailangan nating muli ng mga pagkakapantay-pantay. Ang entry na ito ay maaaring gawin sa iba't ibang paraan:

7 = 5 + 2;
5 = 7 − 2;
2 = 7 − 5.

Ngayon pag-usapan natin ang mga salitang karaniwang ginagamit kapag pinag-uusapan natin ang multiplication at integer division. Hayaan ang pagkakapantay-pantay

3 beses 5 ay katumbas ng 15;
ang produkto ng mga numero 3 at 5 ay 15;
ang bilang 3 ay nadagdagan ng 5 beses at nakakuha ng 15;
ang bilang 5 ay nadagdagan ng 3 beses at nakakuha ng 15;
bilang 15 x 5 beses mas maraming numero 3;
ang numero 3 ay 5 beses na mas mababa kaysa sa numero 15;

Ang "mga tungkulin" ay ipinamamahagi tulad ng sumusunod:

unang salik ∙ pangalawang salik = produkto

Sa paaralan, ang mga produkto ng lahat ng bilang na mas mababa sa o katumbas ng sampu ay isinulat sa isang malaking boring table na tinatawag na multiplication table. Ang talahanayang ito ay pinilit na matuto sa pamamagitan ng puso. Upang mapadali ang cramming, sa Russian mayroong mga espesyal na pangalan para sa mga produkto mula sa multiplication table, halimbawa,

2 ∙ 2 - dalawang beses dalawa;
3 ∙ 6 - tatlong beses anim;
4 ∙ 5 - apat na beses lima;
5 ∙ 8 - limang walo
atbp.

Isaalang-alang ngayon ang pagkakapantay-pantay

Maaari mong basahin ang post na ito tulad nito:

15 na hinati sa 3 ay katumbas ng 5;
15 na hinati sa 3 ay katumbas ng 5;
ang quotient ng paghahati ng numero 15 sa bilang 3 ay 5;
ang ratio ng mga numero 15 at 3 ay 5;
ang bilang 15 ay 3 beses ang bilang 5;
ang numero 5 ay 3 beses na mas mababa kaysa sa numero 15.

Ang mga tungkulin ay ipinamamahagi tulad ng sumusunod:

dibidendo / divisor = quotient

Mga gawain

2.1.1. Anong dalawang numero ang dapat idagdag upang ang resulta ay katumbas ng apat? Isulat ang lahat ng posibleng sagot.

2.1.2. Aling numero ang dapat ibawas kung saan makakuha ng resulta ng dalawa? Sumulat ng isa sa mga posibleng sagot.

2.1.3. Ipahiwatig kung alin sa mga sumusunod na entry ang isang expression, ano ang pagkakapantay-pantay, kung ano ang hindi pagkakapantay-pantay, kung ano ang walang kapararakan. Alin sa mga pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay ang totoo at alin ang hindi?

1
10
10 +
10 + 8
10 + 8 =
10 + 8 = 1
10 + 8 = 18
2
25
25 −
25 − 5
25 − 5 >
25 − 5 > 1
25 − 5 > 10
25 − 5 > 10 +
25 − 5 > 10 + 2
25 − 5 > 10 + 20

2.1.4. Hanapin ang halaga ng mga expression

37 + 54
98 − 73
atbp.

2.1.5. Ihambing ang mga expression (ilagay sa pagitan ng mga ito ang sign na "=", ">" o "<»):

45 + 18 __ 71 − 16
78 − 14 __ 13 + 56
atbp.

Isang halimbawa ng pagsulat ng solusyon:

63 = 45 + 18 > 71 − 16 = 55.

2.1.6. Si Denis ay may 25 na kendi, at si Matvey ay may 3 mas kaunting kendi. Ilang sweets meron si Matthew?

2.1.7. Si Denis ay may 25 na kendi, at si Matvey ay may 3 pang kendi. Ilang sweets meron si Matthew?

2.1.8. Si Denis ay may 25 na kendi, at si Matvey ay may 23 na kendi. Sino ang mas maraming matamis at magkano?

2.1.9. Si Denis ay may 33 kendi, at si Matvey ay may 35 na kendi. Sino ang may mas kaunting matamis at kung magkano?

2.1.10. Si Denis ay may 25 na kendi, at si Matvey ay may 23 na kendi. Si Denis ay kumain ng 4 na matamis. Sino ang mas maraming matamis ngayon at kung magkano?

2.1.11. (Little provocation) Si Denis ay may 25 sweets, at si Matvey ay may 23 sweets. Kumain ng 2 kendi si Denis. Sino ang may mas kaunting matamis ngayon at kung magkano?

2.1.12. Si Denis ay may 25 matamis, at si Matvey ay may 23 matamis. Si Denis ay kumain ng 14 na kendi, at si Matvey ay kumain ng 10 na kendi. Sino ang mas maraming matamis at kung magkano?

2.1.14. Si Denis ay 7 taong gulang, at si Matvey ay 5 taong gulang. Ilang taon kaya si Matvey kapag si Denis ay 10 taong gulang? Ilang taon kaya si Denis kapag 10 taong gulang na si Matvey?

2.1.15. Si Denis ay may 20 matamis, at si Matvey ay may dalawang beses na mas kaunti. Ilang sweets meron si Matthew?

2.1.16. Si Denis ay may 5 matamis, at si Matvey ay may 3 beses pa. Ilang sweets meron si Matthew?

2.1.17. Simula sa yugtong ito, ang mga gawain ay maaaring kunin mula sa mga manwal at mga libro ng problema na opisyal na inirerekomenda para sa mga mag-aaral at ibenta sa mga tindahan ng libro. Gayunpaman, ang mga naturang gawain ay madalas na nabalangkas nang napaka abstrusely at nangangailangan ng karagdagang pag-edit. Halimbawa, mayroong sumusunod na problema (O. V. Uzorova. 3000 mga gawain at mga halimbawa sa matematika: 3-4 na mga cell. Moscow, 2001):

“Ang mga batong bumagsak sa atmospera ng Earth at ganap na nasusunog dito ay tinatawag na mga meteor. Nag-iilaw sila sa taas na 100 km, at, nasusunog, lumipad ng isa pang 30 km. Ilang kilometro sa Earth ang natitira upang lumipad ang alikabok at abo mula sa meteor na ito?

Kung nag-aalok ka sa isang bata ng isang gawain sa form na ito, kung gayon may panganib na mabalaho sa mga paliwanag kung saan nagmula ang mga meteor, kung paano sila naiiba sa mga meteorite, kung ano ang isang kapaligiran, kung bakit umiinit ang mga katawan kapag kumakaway sa hangin, at, sa pangkalahatan, kung paano gumagana ang Uniberso. Ang lahat ng ito ay mga kagiliw-giliw na bagay, siyempre, ngunit dahil nagpasya kaming gumawa ng matematika, mas mahusay na isalin ang parehong problema sa isang mas pamilyar na wika. Narito ang isang posibleng opsyon:

“Mula sa entrance ng bahay hanggang sa tindahan na nagbebenta ng ice cream, 100 steps. Pumunta si Dad sa tindahan para bumili ng ice cream para kay Denis. Naka 30 steps na siya. Ilang hakbang pa ba ang natitira niya?

PANTAY

PANTAY, -a, cf.

1. Ganap na pagkakatulad, pagkakatulad (sa laki, kalidad, dignidad). R. pwersa.

2. Ang posisyon ng mga tao sa lipunan, na nagsisiguro sa kanilang pantay na saloobin sa batas, ang parehong pampulitika at karapatang sibil, pagkakapantay-pantay. Panlipunan r.

3. Sa matematika, isang ugnayan sa pagitan ng mga dami na nagpapakita na ang isang dami ay katumbas ng isa pa. Equal sign (=). Maglagay ng pantay na tanda sa pagitan ng isang bagay.(trans.: upang makilala bilang katumbas, upang equalize).

| adj. pantay, -th, -th (sa 2 value; lipas na).

Ano PANTAY, PANTAY ito ang kahulugan ng salita PANTAY, pinagmulan (etimolohiya) PANTAY, kasingkahulugan ng PANTAY, paradigm (mga anyo ng salita) PANTAY sa ibang mga diksyunaryo

Paradigm, mga anyo ng salita PANTAY- Buong accentuated paradigm ayon kay A. A. Zaliznyak

Mga kasingkahulugan para sa PANTAY- Diksyunaryo ng mga kasingkahulugan ng Ruso 4

EQUALITY kasingkahulugan

pagkakapantay-pantay

Mga kasingkahulugan:

kahalili, pagkakaisa, mussavat, pagkakatulad, pagkakapareho, pagkakapantay-pantay, pagkakapareho, pagkakatulad, pagkakapantay-pantay, pagkakapantay-pantay, pagkakapantay-pantay, pagkakatulad, pagsusulatan, pagkakatulad, pagkakakilanlan, equation, pagkakapareho

1) isang husay na konsepto na ginagamit sa ekonomiya sa kahulugan ng "pagkakapantay-pantay ng kita", "pagkakapantay-pantay ng ari-arian", "pagkakapantay-pantay ng pagkakataon" upang bigyang-diin ang pagkakaroon ng pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay sa posisyon ng indibidwal mga pangkat panlipunan; 2) mathematical identity, equation.

Mahusay na Kahulugan

Hindi kumpletong kahulugan ↓

PANTAY

isa sa mga prinsipyo ng batas. Ang konsepto ng R. ay isang tiyak na abstraction, i.e. ang resulta ng conscious (mental) abstraction mula sa mga pagkakaiba na likas sa mga equalized na bagay. Legal R. ay hindi masyadong abstract. Ang batayan (at criterion) ng legal na equation iba't ibang tao ay ang kalayaan ng mga indibidwal sa mga ugnayang panlipunan, kinikilala at pinagtitibay sa anyo ng kanilang legal na kapasidad at legal na personalidad. Ito ang pagtitiyak ng legal na R. at batas sa pangkalahatan. R. ay may makatwirang kahulugan, lohikal at praktikal na posible sa panlipunang mundo tiyak at tanging legal (pormal-legal, pormal) R. Ang kasaysayan ng batas ay ang kasaysayan ng progresibong ebolusyon ng nilalaman, dami, sukat at sukat ng pormal (legal) R. habang pinapanatili ang mismong prinsipyong ito bilang prinsipyo ng alinmang sistema ng batas, batas sa pangkalahatan. Kaya, ang prinsipyo ng pormal na R. ay isang prinsipyong permanenteng likas sa batas na may nagbabagong nilalaman sa kasaysayan. Sa kabuuan, ang makasaysayang ebolusyon ng nilalaman, dami, at saklaw ng prinsipyo ng pormal na R. ay hindi nagpapabulaanan, ngunit, sa kabaligtaran, ay nagpapatibay sa kahalagahan ng prinsipyong ito bilang tampok na nakikilala mga karapatan kaugnay ng iba pang uri regulasyong panlipunan(moral, relihiyon, atbp.). Ang mga unang aktwal na pagkakaiba sa pagitan ng mga tao, na isinasaalang-alang at naayos mula sa punto ng view ng legal na prinsipyo ng R. (pantay na sukat), ay lumilitaw bilang isang resulta sa anyo ng hindi pagkakapantay-pantay sa mga nakuha na karapatan (sa kanilang istraktura, nilalaman at saklaw ng karapatan ng iba't ibang paksa ng batas). Ang batas bilang isang anyo ng mga relasyon ayon sa prinsipyo ng R. ay hindi sinisira (at hindi maaaring sirain) ang mga paunang pagkakaiba sa pagitan ng iba't ibang paksa ng batas, ginagawa lamang nitong pormal at inaayos ang mga pagkakaibang ito sa isang solong batayan, binabago ang hindi tiyak na aktwal na mga pagkakaiba sa pormal na tinukoy na mga karapatan. ng libre, independyente sa bawat isa, pantay na indibidwal. Ito, sa esensya, ay ang pagtitiyak, kahulugan at halaga ng legal na anyo ng pamamagitan, regulasyon at pag-aayos ng mga ugnayang panlipunan. Ang Legal R. at legal na hindi pagkakapantay-pantay ay mga single-order na legal na kahulugan. Ang prinsipyo ng legal na R. ng iba't ibang mga paksa ay ipinapalagay na ang tunay na subjective na mga karapatan na nakuha sa kanila ay magiging hindi pantay. Salamat sa batas, ang kaguluhan ng mga pagkakaiba ay nababago sa isang legal na pagkakasunud-sunod ng mga pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay, na napagkasunduan sa iisang batayan at isang karaniwang pamantayan. Ang pagkilala sa iba't ibang mga indibidwal bilang pormal na pantay ay nangangahulugan ng pagkilala sa kanilang pantay na ligal na kapasidad, ang posibilidad na makakuha ng ilang mga karapatan sa kaukulang mga kalakal, mga partikular na bagay, atbp. Ang pormal na batas ay isang kakayahan lamang, isang abstract na pagkakataon na makakuha, alinsunod sa pangkalahatang sukat at pantay na sukat ng legal na regulasyon, ng sariling, indibidwal na tinukoy na karapatan sa isang partikular na bagay. Ang pagkakaiba sa mga karapatang nakuha ng iba't ibang tao ay isang kinakailangang resulta ng tiyak na pagmamasid, at hindi paglabag, ang prinsipyo ng pormal (legal) R. ng mga taong ito ay hindi nilalabag o kinakansela ang prinsipyo ng pormal (legal) R. Para sa lahat na ang mga relasyon ay namamagitan legal na anyo, ang batas ay gumaganap bilang isang unibersal na anyo, bilang unibersal na wasto at pantay para sa lahat ng mga taong ito (naiiba sa kanilang aktwal, pisikal, mental, katayuan ng ari-arian, atbp.) sa parehong sukat at sukat. Ang R. mismo ay binubuo sa katotohanan na ang pag-uugali at posisyon ng mga paksa ng isang naibigay na pangkalahatang hanay ng mga relasyon at phenomena ay nahuhulog sa ilalim ng pagkilos ng isang solong batas para sa lahat, isang solong (pangkaraniwan, pantay) na sukat. Lit.: Nersesyants V.S. Batas at batas. Mula sa kasaysayan ng mga legal na doktrina. M, 1983; Sa kanyang sarili. Ang batas ay ang matematika ng kalayaan. M, 1996; Sa kanyang sarili. Ang halaga ng batas bilang isang trinidad ng kalayaan, pagkakapantay-pantay at katarungan // Mga problema ng diskarte sa halaga sa batas: mga tradisyon at pagpapanibago. M., 1996. V.S. Mga Nersesyant