Divisibility ng mga natural na numero. Dibisyon ng mga natural na numero at mga katangian nito, mga panuntunan at mga halimbawa
Dibisyon sa pamamagitan ng desimal bumaba sa paghahati sa pamamagitan ng natural na numero.
Panuntunan para sa paghahati ng isang numero sa isang decimal fraction
Upang hatiin ang isang numero sa pamamagitan ng isang decimal fraction, ito ay kinakailangan sa parehong dibidendo at sa divisor upang ilipat ang kuwit ng maraming mga digit sa kanan tulad ng mayroon sa divisor pagkatapos ng decimal point. Pagkatapos nito, hatiin sa isang natural na numero.
Mga halimbawa.
Magsagawa ng dibisyon ayon sa decimal:
Upang hatiin sa isang decimal fraction, kailangan mong ilipat ang kuwit sa bilang ng maraming mga digit sa kanan sa parehong dibidendo at ang divisor tulad ng pagkatapos ng decimal point sa divisor, iyon ay, sa pamamagitan ng isang sign. Nakukuha namin ang: 35.1: 1.8 \u003d 351: 18. Ngayon ay nagsasagawa kami ng dibisyon sa pamamagitan ng isang sulok. Bilang resulta, makakakuha tayo ng: 35.1: 1.8 = 19.5.
2) 14,76: 3,6
Upang maisagawa ang paghahati ng mga decimal fraction, kapwa sa dibidendo at sa divisor, inililipat namin ang kuwit sa kanan sa pamamagitan ng isang tanda: 14.76: 3.6 \u003d 147.6: 36. Ngayon ay gumaganap kami sa isang natural na numero. Resulta: 14.76: 3.6 = 4.1.
Upang maisagawa ang paghahati sa pamamagitan ng isang decimal na bahagi ng isang natural na numero, kinakailangan pareho sa dibidendo at sa divisor na ilipat ang kasing dami ng mga character sa kanan tulad ng mayroon sa divisor pagkatapos ng decimal point. Dahil ang kuwit ay hindi nakasulat sa divisor sa kasong ito, pinupunan namin ang nawawalang bilang ng mga character na may mga zero: 70: 1.75 \u003d 7000: 175. Hinahati namin ang mga resultang natural na numero na may isang sulok: 70: 1.75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.
4) 0,1218: 0,058
Upang hatiin ang isang decimal fraction sa isa pa, inililipat namin ang kuwit sa kanan pareho sa dibidendo at sa divisor ng kasing dami ng mga digit na mayroon sa divisor pagkatapos ng decimal point, iyon ay, sa pamamagitan ng tatlong digit. Kaya, 0.1218: 0.058 \u003d 121.8: 58. Ang dibisyon sa pamamagitan ng isang decimal na bahagi ay pinalitan ng dibisyon ng isang natural na numero. Share tayo sa isang sulok. Mayroon kaming: 0.1218: 0.058 = 121.8: 58 = 2.1.
5) 0,0456: 3,8
Sa artikulong ito, pag-aaralan natin ang mga pangkalahatang representasyong nauugnay sa dibisyon ng mga natural na numero. Tinatawag silang mga katangian ng proseso ng fission. Susuriin namin ang mga pangunahing, ipaliwanag ang kanilang kahulugan at susuportahan ang aming pangangatwiran sa mga halimbawa.
Dibisyon ng dalawang pantay na natural na numero
Upang maunawaan kung paano hatiin ang isang natural na numero sa isa pang katumbas nito, kailangan mong bumalik sa pag-unawa sa kahulugan ng proseso ng paghahati mismo. Ang huling resulta ay depende sa kung anong kahulugan ang ibibigay natin sa divisor. Tingnan natin ang dalawang posibleng opsyon.
Kaya mayroon kaming mga item (a ay isang arbitrary na natural na numero). Ipamahagi natin ang mga bagay sa mga pangkat nang pantay, habang ang bilang ng mga pangkat ay dapat na katumbas ng a. Malinaw, sa kasong ito magkakaroon lamang ng isang paksa sa bawat pangkat.
Mag-reformulate tayo nang medyo naiiba: paano ipamahagi ang isang item sa mga grupo ng isang item sa bawat isa? Ilang grupo ang magkakaroon sa huli? Syempre, isa lang.
Ibuod natin at makuha ang unang katangian ng paghahati ng mga natural na numero na may parehong laki:
Kahulugan 1
Ang paghahati ng natural na numero sa katumbas nito ay nagbibigay ng isa bilang resulta. Sa madaling salita, a: a = 1 (a ay anumang natural na numero).
Tingnan natin ang dalawang halimbawa upang ilarawan:
Halimbawa 1
Kung ang 450 ay hinati sa 450 , ito ay magiging 1 . Kung ang 67 ay hinati sa 67 , makakakuha ka ng 1 .
Tulad ng nakikita mo, walang nakasalalay sa mga tiyak na numero dito, ang resulta ay pareho, sa kondisyon na ang dibidendo at ang divisor ay pantay.
Dibisyon ng isang natural na numero sa pamamagitan ng isa
Tulad ng sa nakaraang talata, magsimula tayo sa mga gawain. Sabihin nating mayroon tayong anumang mga item sa halagang katumbas ng isang . Ito ay kinakailangan upang hatiin ang mga ito sa isang bilang ng mga bahagi, isang paksa bawat isa. Malinaw na magkakaroon tayo ng mga bahagi.
At kung itatanong natin: gaano karaming mga bagay ang nasa pangkat kung ang isang bagay ay inilagay dito? Ang sagot ay halata - a.
Kaya, lumapit kami sa pagbabalangkas ng pag-aari ng paghahati ng mga natural na numero sa pamamagitan ng 1:
Kahulugan 2
Kapag hinahati ang anumang natural na numero sa isa, makukuha mo ang parehong numero, iyon ay, a: 1 = a.
Tingnan natin ang 2 halimbawa:
Halimbawa 2
Kung hahatiin mo ang 25 sa 1, makakakuha ka ng 25.
Halimbawa 3
Kung hahatiin mo ang 11,345 sa 1, ang resulta ay 11,345.
Kakulangan ng commutative property para sa paghahati ng mga natural na numero
Sa kaso ng multiplikasyon, maaari nating malayang palitan ang mga salik at makuha ang parehong resulta, ngunit ang panuntunang ito ay hindi nalalapat sa paghahati. Ang pagpapalit ng dibidendo at ang divisor ay posible lamang kung ang mga ito ay pantay na natural na mga numero (napag-isipan na namin ang pag-aari na ito sa unang talata). Iyon ay, maaari nating sabihin na ang commutative property ay nalalapat lamang sa kaso kapag ang pantay na natural na mga numero ay lumahok sa dibisyon.
Sa ibang mga kaso, imposibleng palitan ang dibidendo sa divisor, dahil hahantong ito sa pagbaluktot ng resulta. Ipaliwanag natin nang mas detalyado kung bakit.
Hindi namin palaging maaaring hatiin ang anumang natural na mga numero sa iba, arbitraryo ring kinuha. Halimbawa, kung ang dibidendo ay mas mababa kaysa sa divisor, hindi namin malulutas ang gayong halimbawa (susuriin namin kung paano hatiin ang mga natural na numero sa isang natitira sa isang hiwalay na materyal). Sa madaling salita, kung ang ilang natural na numero ay katumbas ng a , maaari ba nating hatiin sa b ? At ang kanilang mga halaga ay hindi pantay, kung gayon ang a ay magiging mas malaki kaysa sa b , at ang entry na b: a ay hindi magkakaroon ng kahulugan. Kunin natin ang panuntunan:
Kahulugan 3
Dibisyon ng kabuuan ng 2 natural na numero ng isa pang natural na numero
Upang mas maipaliwanag ang panuntunang ito, kumuha tayo ng ilang mga halimbawa ng paglalarawan.
Mayroon kaming isang grupo ng mga bata kung saan kailangan naming pantay na hatiin ang mga tangerines. Ang mga prutas ay nakasalansan sa dalawang bag. Kunin natin ang kondisyon na ang bilang ng mga tangerines ay tulad na maaari mong hatiin ang mga ito sa lahat ng mga bata nang walang bakas. Maaari mong ibuhos ang mga tangerines sa isang karaniwang pakete, at pagkatapos ay hatiin at ipamahagi. At maaari mo munang hatiin ang prutas mula sa isang pakete, at pagkatapos ay mula sa isa pa. Malinaw, sa parehong mga kaso, walang sinuman ang masasaktan at lahat ay mahahati nang pantay. Samakatuwid, maaari nating sabihin:
Kahulugan 4
Ang resulta ng paghahati ng kabuuan ng 2 natural na numero sa isa pang natural na numero ay katumbas ng resulta ng pagdaragdag ng mga quotient mula sa paghahati sa bawat termino sa parehong natural na numero, i.e. (a + b): c = a: c + b: c . Sa kasong ito, ang mga halaga ng lahat ng mga variable ay natural na mga numero, ang halaga ng a ay maaaring hatiin ng c, at ang b ay maaari ding hatiin ng c nang walang natitira.
Mayroon kaming pagkakapantay-pantay, sa kanang bahagi kung saan ang paghahati ay unang ginanap, at ang pagdaragdag ay ginagawang pangalawa (alalahanin kung paano wastong gumanap mga operasyon sa aritmetika sa pagkakasunud-sunod).
Patunayan natin ang bisa ng resultang pagkakapantay-pantay sa isang halimbawa.
Halimbawa 4
Kumuha tayo ng angkop na mga natural na numero para dito: (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6 .
Ngayon kalkulahin namin at alamin kung ito ay totoo. Kalkulahin natin ang halaga ng kaliwang bahagi: 18 + 36 = 54 , at (18 + 36) : 6 = 54: 6 .
Naaalala namin ang resulta mula sa talahanayan ng pagpaparami (kung nakalimutan mo, hanapin ang nais na halaga dito): 54: 6 = 9.
Naaalala namin kung magkano ang magiging 18: 6 \u003d 3 at 36: 6 \u003d 6. Kaya 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9.
Lumalabas ang tamang pagkakapantay-pantay: (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6 .
Ang kabuuan ng mga natural na numero, na nasa halimbawa bilang isang dibidendo, ay maaaring hindi lamang 2, kundi maging 3 o higit pa. Ang pag-aari na ito, na sinamahan ng nauugnay na pag-aari ng pagdaragdag ng mga natural na numero, ay ginagawang posible para sa amin na magsagawa rin ng mga naturang kalkulasyon.
Halimbawa 5
Kaya, (14 + 8 + 4 + 2): 2 ay magiging katumbas ng 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2 .
Dibisyon ng pagkakaiba ng 2 natural na numero sa isa pang natural na numero
Sa katulad na paraan, maaari tayong kumuha ng panuntunan para sa pagkakaiba ng mga natural na numero, na hahatiin natin sa isa pang natural na numero:
Kahulugan 5
Ang resulta ng paghahati ng pagkakaiba ng dalawang natural na numero sa pangatlo katumbas niyan, na nakukuha natin sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa quotient ng minuend at sa ikatlong numero sa quotient ng subtrahend at sa ikatlong numero.
Yung. (a - b): c = a: c - b: c . Ang mga halaga ng mga variable ay natural na mga numero, habang ang a ay mas malaki sa o katumbas ng b, ang a at b ay maaaring hatiin ng c .
Pinapatunayan namin ang bisa ng panuntunang ito sa isang halimbawa.
Halimbawa 6
Palitan ang mga naaangkop na halaga sa equation at kalkulahin: (45 - 25): 5 = 45: 5 - 25: 5 . 45 - 25 = 20 (isinulat na namin ang tungkol sa kung paano hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga natural na numero). (45 - 25): 5 = 20: 5 .
Ayon sa multiplication table, naaalala namin na ang resulta ay magiging katumbas ng 4.
Naniniwala kami kanang bahagi:45:5 - 25:5. 45: 5 = 9, at 25: 5 = 5, na nagreresulta sa 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. 4 \u003d 4, lumalabas na (45 - 25) : 5 \u003d 45: 5 - 25: 5 ang tamang pagkakapantay-pantay.
Dibisyon ng produkto ng dalawang natural na numero sa isa pang natural na numero
Alalahanin natin kung anong koneksyon ang umiiral sa pagitan ng paghahati at pagpaparami, kung gayon ang pag-aari ng paghahati ng isang produkto sa isang natural na numero na katumbas ng isa sa mga kadahilanan ay magiging halata sa atin. Kunin natin ang panuntunan:
Kahulugan 6
Kung hahatiin natin ang produkto ng dalawang natural na numero sa isang pangatlo na katumbas ng isa sa mga salik, magtatapos tayo sa isang numero na katumbas ng isa pang kadahilanan.
Sa literal na anyo, maaari itong isulat bilang (a b): a = b o (a b): b = a (ang mga halaga a at b ay natural na mga numero).
Halimbawa 7
Kaya, ang resulta ng paghahati ng produkto ng 2 at 8 sa 2 ay magiging katumbas ng 8, at (3 7): 7 = 3.
Ngunit paano kung ang divisor ay hindi katumbas ng alinman sa mga salik na bumubuo sa dibidendo? Pagkatapos ay isa pang panuntunan ang nalalapat dito:
Kahulugan 7
Ang resulta ng paghahati ng produkto ng dalawang natural na numero sa ikatlong natural na numero ay katumbas ng kung ano ang mangyayari kung ang isa sa mga salik ay hinati sa numerong ito at ang resulta ay i-multiply sa isa pang salik.
Nakatanggap kami ng isang napaka-hindi-halatang pahayag sa unang tingin. Gayunpaman, kung isasaalang-alang natin na ang multiplikasyon ng mga natural na numero, sa katunayan, ay nabawasan sa pagdaragdag ng mga termino na katumbas ng halaga (tingnan ang materyal sa pagpaparami ng mga natural na numero), kung gayon ang pag-aari na ito ay maaaring makuha mula sa isa pa, na kung saan namin napag-usapan na medyo mas mataas.
Isulat natin ang panuntunang ito sa literal na anyo (ang mga halaga ng lahat ng mga variable ay natural na mga numero).
Kung maaari nating hatiin ang a sa c , kung gayon ito ay magiging totoo (a b) : c = (a: c) b .
Kung ang b ay nahahati sa c, kung gayon ang (a b) ay totoo: c = a (b: c) .
Kung ang parehong a at b ay nahahati sa c, maaari nating itumbas ang isang pagkakapantay-pantay sa isa pa: (a b): c = (a: c) b = a (b: c) .
Isinasaalang-alang ang katangian sa itaas ng paghahati ng produkto sa isa pang natural na numero, ang mga pagkakapantay-pantay (8 6) : 2 = (8: 2) 6 at (8 6) : 2 = 8 (6: 2) ay magiging totoo.
Maaari nating isulat ang mga ito bilang dobleng pagkakapantay-pantay: (8 6): 2 = (8: 2) 6 = 8 (6: 2) .
Dibisyon ng isang natural na numero sa pamamagitan ng produkto ng 2 iba pang natural na numero
Muli, magsisimula tayo sa isang halimbawa. Mayroon tayong ilang bilang ng mga premyo, tawagin natin itong isang . Dapat silang pantay na ipamahagi sa mga miyembro ng pangkat. Tukuyin natin ang bilang ng mga kalahok na may titik c, at ang bilang ng mga pangkat na may titik b. Sa kasong ito, kinukuha namin ang mga naturang halaga ng mga variable kung saan magkakaroon ng kahulugan ang rekord ng dibisyon. Ang problema ay maaaring malutas sa dalawa iba't ibang paraan. Isaalang-alang natin pareho.
1. Maaaring kalkulahin kabuuang halaga mga kalahok sa pamamagitan ng pagpaparami ng b sa c , at pagkatapos ay hatiin ang lahat ng mga premyo sa resultang numero. Sa literal na anyo, ang solusyong ito ay maaaring isulat bilang a: (b c) .
2. Maaari mo munang hatiin ang mga premyo sa bilang ng mga koponan, at pagkatapos ay ipamahagi ang mga ito sa loob ng bawat koponan. Isulat natin ito bilang (a: b): c .
Malinaw, ang parehong mga pamamaraan ay magbibigay sa amin ng magkaparehong mga sagot. Samakatuwid, maaari nating ipantay ang parehong pagkakapantay-pantay sa isa't isa: a: (b c) = (a: b) : c . Ito ang magiging literal na talaan ng dibisyong ari-arian na aming isinasaalang-alang sa talatang ito. Bumuo tayo ng panuntunan:
Kahulugan 8
Ang resulta ng paghahati ng natural na numero sa produkto ay katumbas ng bilang, na nakukuha natin sa pamamagitan ng paghahati sa numerong ito sa isa sa mga salik at sa paghahati ng resultang quotient sa isa pang salik.
Halimbawa 8
Magbigay tayo ng halimbawa ng isang gawain. Patunayan natin na ang pagkakapantay-pantay 18 ay totoo: (2 3) = (18: 2) : 3 .
Kalkulahin natin ang kaliwang bahagi: 2 3 = 6, at 18: (2 3) ay 18: 6 = 3.
Isinasaalang-alang namin ang kanang bahagi: (18: 2): 3 . 18: 2 = 9, at 9: 3 = 3, pagkatapos (18: 2): 3 = 3.
Nauwi kami sa 18: (2 3) = (18: 2) : 3 . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay naglalarawan sa atin ng pag-aari ng dibisyon, na ibinigay natin sa talatang ito.
Dibisyon ng zero sa pamamagitan ng natural na numero
Ano ang null? Kanina napagkasunduan namin na nangangahulugan ito ng kawalan ng isang bagay. Ang zero ay hindi natural na numero. Lumalabas na kung hahatiin natin ang zero sa isang natural na numero, ito ay katumbas ng pagsisikap na hatiin ang walang bisa sa mga bahagi. Malinaw na sa huli ay "wala" pa rin ang makukuha natin, kahit gaano pa karaming bahagi ang hatiin natin. Kinukuha namin ang panuntunan mula dito:
Kahulugan 9
Kapag hinati natin ang zero sa anumang natural na numero, makakakuha tayo ng zero. Sa literal na anyo, ito ay isinulat bilang 0: a = 0 , habang ang halaga ng variable ay maaaring anuman.
Halimbawa 9
Kaya, halimbawa, 0:19 = 0 , at 0:46869 ay magiging zero din.
Dibisyon ng isang natural na numero sa pamamagitan ng zero
Ang pagkilos na ito ay hindi maisagawa. Alamin natin nang eksakto kung bakit.
Kumuha ng di-makatwirang numero a at ipagpalagay na maaari itong hatiin ng 0 upang makakuha ng ilang bilang b bilang resulta. Isulat natin ito bilang a: 0 = b . Ngayon tandaan natin kung paano nauugnay ang multiplikasyon at paghahati, at nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay b · 0 = a, na dapat ding wasto.
Ngunit mas maaga ay ipinaliwanag na natin ang pag-aari ng pagpaparami ng mga natural na numero sa zero. Ayon sa kanya b · 0 = 0 . Kung ihahambing natin ang mga nagresultang pagkakapantay-pantay, makukuha natin na isang \u003d 0, at ito ay sumasalungat sa orihinal na kondisyon (pagkatapos ng lahat, ang zero ay hindi isang natural na numero). Lumalabas na mayroon tayong kontradiksyon, na nagpapatunay sa imposibilidad ng naturang aksyon.
Kahulugan 10
Hindi mo maaaring hatiin ang natural na numero sa zero.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Isaalang-alang ang konsepto ng paghahati sa problema:
Mayroong 12 mansanas sa basket. Anim na bata ang nagbukod-bukod ng mansanas. Ang bawat bata ay nakakuha ng parehong bilang ng mga mansanas. Ilang mansanas mayroon ang bawat bata?
Solusyon:
Kailangan natin ng 12 mansanas para hatiin sa anim na bata. Isulat natin ang problema sa matematika 12:6.
O sa ibang paraan na masasabi mo. Sa anong numero kailangan mong i-multiply ang numero 6 upang makuha ang numerong 12? Isulat natin ang problema sa anyo ng isang equation. Hindi namin alam ang bilang ng mga mansanas, kaya tukuyin namin ang mga ito sa pamamagitan ng variable na x.
Upang mahanap ang hindi kilalang x kailangan natin ng 12:6=2
Sagot: 2 mansanas para sa bawat bata.
Isaalang-alang nang detalyado ang halimbawa ng 12:6=2:
Ang numero 12 ay tinatawag mahahati. Ito ang numerong hahatiin.
Ang numero 6 ay tinatawag divider. Ito ang numerong hahatiin.
At ang resulta ng paghahati ng numero 2 ay tinatawag pribado. Ang quotient ay nagpapakita kung gaano karaming beses ang dibidendo ay mas malaki kaysa sa divisor.
Sa literal na anyo, ang dibisyon ay ganito:
a:b=c
a- mahahati
b- divider,
c- pribado.
Kaya ano ang dibisyon?
Dibisyon ay ang kabaligtaran ng isang kadahilanan, maaari tayong makahanap ng isa pang kadahilanan.
Ang dibisyon ay sinusuri sa pamamagitan ng pagpaparami, iyon ay:
a:
b=
c, sinusuri gamit ang⋅b=
a
18:9=2, lagyan ng tsek ang 2⋅9=18
hindi kilalang multiplier.
Isaalang-alang ang problema:
Ang bawat pakete ay naglalaman ng 3 piraso ng Christmas balls. Upang palamutihan ang Christmas tree kailangan namin ng 30 bola. Ilang pakete ng mga Christmas ball ang kailangan nating kunin?
Solusyon:
x ay isang hindi kilalang bilang ng mga balloon packing.
3 - piraso sa isang pakete ng mga lobo.
30 - kabuuang bola.
x⋅3=30 kailangan nating kumuha ng 3 nang maraming beses upang makakuha ng kabuuang 30. Ang x ay isang hindi kilalang salik. I.e, Upang mahanap ang hindi alam, kailangan mong hatiin ang produkto sa kilalang kadahilanan.
x=30:3
x=10.
Sagot: 10 pakete ng mga lobo.
hindi kilalang dibidendo.
Isaalang-alang ang problema:
Ang bawat pakete ay naglalaman ng 6 na kulay na lapis. May 3 pack sa kabuuan. Ilang lapis ang naroon bago sila ilagay sa mga pakete?
Solusyon:
x - kabuuang lapis,
6 - mga lapis sa bawat pakete,
3 - mga pakete ng mga lapis.
Isinulat namin ang equation ng problema sa anyo ng paghahati.
x:6=3
x ay ang hindi kilalang dibidendo. Upang mahanap ang hindi kilalang dibidendo, i-multiply ang quotient sa divisor.
x=3⋅6
x=18
Sagot: 18 lapis.
hindi kilalang divisor.
Suriin natin ang problema:
Mayroong 15 na bola sa tindahan. Sa maghapon, 5 customer ang dumating sa tindahan. Ang mga mamimili ay bumili ng pantay na bilang ng mga bola. Ilang lobo ang binili ng bawat customer?
Solusyon:
x - ang bilang ng mga bola na binili ng isang mamimili,
5 - ang bilang ng mga mamimili,
15 ang bilang ng mga bola.
Isinulat namin ang equation ng problema sa anyo ng paghahati:
15:x=5
x - sa equation na ito ay isang hindi kilalang divisor. Upang mahanap ang hindi kilalang divisor, hinahati namin ang dibidendo sa quotient.
x=15:5
x=3
Sagot: 3 bola para sa bawat customer.
Mga katangian ng paghahati ng natural na numero sa isa.
Panuntunan ng dibisyon:
Anumang numero na hinati sa 1 ay magreresulta sa parehong numero.
7:1=7
a:1=
a
Mga katangian ng paghahati ng isang natural na numero sa pamamagitan ng zero.
Isaalang-alang ang isang halimbawa: 6:2=3, maaari mong tingnan kung tama ang paghahati namin sa pamamagitan ng pagpaparami ng 2⋅3=6.
Kung tayo ay 3:0, hindi natin masusuri, dahil ang anumang numero na i-multiply sa zero ay magiging zero. Samakatuwid, ang 3:0 na entry ay walang saysay.
Panuntunan ng dibisyon:
Hindi mo maaaring hatiin sa zero.
Mga katangian ng paghahati ng zero sa isang natural na numero.
0:3=0 ang entry na ito ay may katuturan. Kung hahatiin natin ang anuman sa tatlong bahagi, wala tayong makukuha.
0:
a=0
Panuntunan ng dibisyon:
Ang paghahati ng 0 sa anumang hindi zero na numero ay palaging magreresulta sa 0.
Ang pag-aari ng paghahati ng magkaparehong mga numero.
3:3=1
a:
a=1
Panuntunan ng dibisyon:
Kapag hinahati ang anumang numero sa sarili nito na hindi zero, ang resulta ay 1.
Mga tanong sa paksang "Dibisyon":
Sa a:b=c, ano ang pribado dito?
Sagot: a:b at c.
Ano ang pribado?
Sagot: Ang quotient ay nagpapakita kung gaano karaming beses ang dibidendo ay mas malaki kaysa sa divisor.
Sa anong halaga ng m ang entry na 0⋅m=5?
Sagot: kapag pinarami ng zero, ang sagot ay palaging 0. Walang saysay ang entry.
Mayroon bang n tulad na 0⋅n=0?
Sagot: oo, may katuturan ang entry. Ang anumang numero na i-multiply sa 0 ay magiging 0, kaya n ay anumang numero.
Halimbawa #1:
Hanapin ang halaga ng expression: a) 0:41 b) 41:41 c) 41:1
Sagot: a) 0:41=0 b) 41:41=1 c) 41:1=41
Halimbawa #2:
Para sa anong mga halaga ng mga variable ang pagkakapantay-pantay ay totoo: a) x: 6 \u003d 8 b) 54: x \u003d 9
a) x - sa halimbawang ito ay mahahati. Upang mahanap ang dibidendo, i-multiply ang quotient sa divisor.
x ay ang hindi kilalang dibidendo,
6 - divider,
8 - pribado.
x=8⋅6
x=48
b) 54 - mahahati,
x - divisor,
9 - pribado.
Upang makahanap ng hindi kilalang divisor, kailangan mong hatiin ang dibidendo sa quotient.
x=54:9
x=6
Gawain 1:
Si Sasha ay may 15 na selyo at si Misha ay may 45 na mga selyo. Ilang beses na mas maraming selyo ang mayroon si Misha kaysa kay Sasha?
Solusyon:
Ang problema ay maaaring malutas sa dalawang paraan. Unang paraan:
15+15+15=45
Kailangan mo ng 3 numero 15 upang makakuha ng 45, samakatuwid, si Misha ay may 3 beses na mas maraming selyo kaysa kay Sasha.
Pangalawang paraan:
45:15=3
Sagot: Si Misha ay may 3 beses na mas maraming selyo kaysa kay Sasha.
Sa artikulong ito, haharapin natin ang mga patakaran kung saan dibisyon ng mga natural na numero. Dito lamang natin isasaalang-alang dibisyon ng mga natural na numero nang walang natitira, o, gaya ng tawag dito, integer division(ibig sabihin, ang mga kaso lamang kung saan nakaimbak). Dibisyon ng mga natural na numero na may natitira> nararapat sa isang hiwalay na artikulo.
Ang mga patakaran para sa paghahati ng mga natural na numero ay hindi maaaring buuin maliban kung matunton natin ang koneksyon sa pagitan ng paghahati at pagpaparami, na ginawa sa pinakasimula ng artikulong ito. Susunod, ang pinaka simpleng tuntunin Ang mga dibisyon na direktang sumusunod mula sa mga katangian ng pagkilos na ito ay ang paghahati ng pantay na natural na mga numero at ang paghahati ng isang natural na numero sa pamamagitan ng isa. Pagkatapos nito, ang paghahati gamit ang talahanayan ng multiplikasyon ay isinasaalang-alang nang detalyado kasama ang mga halimbawa. Ipinapakita ng sumusunod kung paano ginaganap ang paghahati sa sampu, isang daan, isang libo, atbp., ang paghahati ng mga natural na numero, ang mga entry na nagtatapos sa mga digit na 0, at lahat ng iba pang kaso. Ang lahat ng materyal ay binibigyan ng mga halimbawa na may detalyadong paglalarawan ng mga solusyon. Sa dulo ng artikulo, ipinapakita kung paano sinusuri ang resulta ng paghahati gamit ang multiplikasyon. Bilang resulta, magkakaroon ka ng lahat ng mga kasanayang kinakailangan upang hatiin ang mga arbitrary na natural na numero.
Pag-navigate sa pahina.
Relasyon sa pagitan ng paghahati at pagpaparami
Tuklasin natin ang kaugnayan sa pagitan ng paghahati at pagpaparami. Upang gawin ito, tandaan na ang paghahati ay nauugnay sa representasyon ng set na hinahati natin bilang isang unyon ng ilang magkakaparehong set kung saan hinahati natin ang orihinal na set (napag-usapan natin ito sa seksyon pangkalahatang ideya ng dibisyon). Kaugnay nito, ang pagpaparami ay nauugnay sa pagsasama ng isang tiyak na bilang ng mga magkakahawig na hanay sa isa (kung kinakailangan, sumangguni sa seksyon ng teorya pangkalahatang ideya ng pagpaparami). Sa ganitong paraan, Ang paghahati ay ang kabaligtaran ng multiplikasyon.
Ipaliwanag natin kung ano ang ibig sabihin ng huling pangungusap.
Upang gawin ito, isaalang-alang ang sumusunod na sitwasyon. Sabihin nating mayroon kaming b set ng c item bawat isa, at pinagsama namin ang mga ito sa isang set na nagbubunga ng isang item. Batay kahulugan ng multiplikasyon ng mga natural na numero maaaring pagtalunan na ang inilarawang aksyon ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay c·b=a . Ngayon ang resultang set ay muling nahahati sa b magkaparehong set. Malinaw na sa kasong ito ay magkakaroon ng mga c object sa bawat resultang set. Pagkatapos, pag-alala kahulugan ng dibisyon ng mga natural na numero, maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay a:b=c .
Dumating tayo sa sumusunod na pahayag: kung ang produkto ng mga natural na numero c at b ay katumbas ng a, kung gayon ang quotient ng paghahati ng a sa b ay katumbas ng c.
Kaya, kung c b=a , pagkatapos ay a:b=c . Gayunpaman, dahil sa commutative property ng multiplikasyon ng mga natural na numero maaari nating muling isulat ang c·b=a bilang b·c=a , na nagpapahiwatig na a:c=b . Sa ganitong paraan, kung alam natin na ang produkto ng dalawang natural na numero c at b ay katumbas ng a , iyon ay, c b=a , pagkatapos ay masasabi natin na ang mga quotient na a:b at a:c ay katumbas ng c at b ayon sa pagkakabanggit..
Batay sa lahat ng impormasyong ibinigay, posibleng tukuyin ang dibisyon ng mga natural na numero batay sa multiplikasyon.
Kahulugan.
Dibisyon- ito ay isang operasyon kung saan matatagpuan ang isang salik, kapag ang produkto at ang isa pang salik ay kilala.
Batay sa kahulugang ito, bubuo tayo ng mga patakaran para sa paghahati ng mga natural na numero.
Dibisyon ng mga natural na numero bilang sunud-sunod na pagbabawas
Sa prinsipyo, ang pag-alam na ang paghahati ay ang kabaligtaran ng multiplikasyon ay sapat na upang malaman kung paano gawin ang operasyong ito. Gayunpaman, nais kong pag-usapan ang tungkol sa isa pang diskarte sa paghahati ng mga natural na numero, kung saan ang paghahati ay itinuturing bilang isang sunud-sunod na pagbabawas. Ito ay dahil sa pagiging simple at halata nito.
Upang gawing malinaw ang lahat hangga't maaari, tingnan natin ang isang halimbawa.
Halimbawa.
Ano ang resulta ng paghahati ng 12 sa 4?
Solusyon.
Batay sa kahulugan ng paghahati ng mga natural na numero, ang gawain ay maaaring imodelo tulad ng sumusunod: mayroong 12 aytem, kailangan nilang hatiin sa pantay na mga tumpok ng 4 na item bawat isa, ang bilang ng mga tambak na nakuha ay magbibigay sa atin ng sagot sa tanong, ano ay ang quotient 12:4.
Sunud-sunod, hakbang-hakbang, kumuha ng 4 na item mula sa mga source item at bumuo ng mga kinakailangang tambak mula sa kanila hanggang sa maubos ang source item. Ang bilang ng mga hakbang na kailangan naming gawin ay magsasabi sa amin ng bilang ng mga nagreresultang mga tambak, at samakatuwid ang sagot sa tanong na ibinibigay.
Kaya, mula sa orihinal na 12 item, inilagay namin ang 4 sa isang tabi, sila ang bumubuo sa unang pile. Pagkatapos ng pagkilos na ito, 12−4=8 item ang nananatili sa orihinal na heap (kung kinakailangan, tandaan kahulugan ng pagbabawas ng mga natural na numero). Sa 8 item na ito, kumukuha kami ng 4 pang item, at bumubuo ng pangalawang pile mula sa kanila. Pagkatapos ng pagkilos na ito, 8−4=4 na item ang nananatili sa orihinal na pile ng mga item. Malinaw, mula sa natitirang mga item posible na bumuo ng isa pa, pangatlo sa isang hilera, heap, pagkatapos nito ay hindi na tayo magkakaroon ng isang item sa orihinal na heap (iyon ay, magkakaroon tayo ng 4−4=0 item sa orihinal bunton). Kaya, nakakuha kami ng 3 tambak, at masasabi naming ginawa namin ang paghahati ng natural na numero 12 sa natural na numero 4 , habang nakakakuha ng 3 .
Sagot:
12:4=3 .
Ngayon lumayo tayo sa mga bagay at tingnan kung ano ang ginawa natin sa mga natural na numero 12 at 4? Isinagawa namin ang sunud-sunod na pagbabawas ng divisor 4 hanggang sa makuha namin ang zero, habang binibilang ang bilang ng mga kinakailangang aksyon, na nagbigay sa amin ng resulta ng dibisyon.
Output: ang paghahati ng isang natural na numero sa isa pa ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagsasagawa ng sunud-sunod na pagbabawas.
Upang pagsama-samahin ang materyal ng talatang ito ng artikulo, isaalang-alang ang solusyon ng isa pang halimbawa.
Halimbawa.
Kalkulahin ang quotient 108:27 sa pamamagitan ng pagbabawas ng sunud-sunod.
Solusyon.
Pangalawang aksyon: 81−27=54 .
Pangatlong aksyon: 54−27=27 .
Ikaapat na aksyon 27−27=0 (ito ay pag-aari ng pagbabawas ng pantay na natural na mga numero).
Kaya, nakuha namin ang zero sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagbabawas ng 4 na beses, samakatuwid, 108:27=4 .
Sagot:
108:27=4 .
Kapansin-pansin na ang paghahati ng mga natural na numero sa ganitong paraan ay maginhawang gamitin lamang kapag ang isang maliit na bilang ng magkakasunod na pagbabawas ay kinakailangan upang makuha ang resulta. Sa ibang mga kaso, ginagamit ang mga patakaran para sa paghahati ng mga natural na numero, na susuriin namin nang detalyado sa ibaba.
Dibisyon ng pantay na natural na mga numero
Ang quotient ng paghahati ng natural na numero sa katumbas nitong natural na numero ay katumbas ng isa. Ang pahayag na ito ay pag-aari ng paghahati ng pantay na natural na mga numero.
Halimbawa, 1:1=1 , 143:143=1 , ang resulta ng paghahati sa mga natural na numero 10555 at 10555 ay isa rin.
Dibisyon ng isang natural na numero sa pamamagitan ng isa
Gamit ang multiplication table, mahahanap mo rin ang isa sa dalawang single-valued factor kung kilala ang produkto at ang isa pang factor. At nalaman namin sa unang talata ng artikulong ito na ang paghahati ay ang paghahanap ng isa sa mga kadahilanan sa pamamagitan ng produkto at isa pang kadahilanan. Kaya, gamit ang multiplication table, maaari mong hatiin ang alinman sa mga natural na numero na matatagpuan sa multiplication table sa isang pink na background sa pamamagitan ng isang solong-digit na natural na numero.
Halimbawa, hatiin natin ang 48 sa 6 . Gamit ang multiplication table, ito ay maaaring gawin sa isa sa dalawang paraan. Magbibigay muna kami ng isang graphic na paglalarawan, pagkatapos ay magbibigay kami ng isang paglalarawan.
Ang unang paraan (tumutugma sa figure sa itaas sa kaliwa). Nahanap namin ang dibidendo (sa aming halimbawa, ito ay isang natural na numero 48) sa hanay kung saan ang divisor ay matatagpuan sa itaas na cell (para sa aming halimbawa, ang numero 6). Ang resulta ng paghahati ay nasa pinakakaliwang cell ng row kung saan matatagpuan ang nahanap na dibidendo. Para sa aming halimbawa, ito ang numero 8 , na binilog sa asul.
Ang pangalawang paraan (tumutugma sa figure sa itaas sa kanan). Natagpuan namin ang dibidendo 48 sa linya, sa kaliwang cell kung saan ang divisor ay 6. Ang nais na quotient sa kasong ito ay nasa tuktok na cell ng column kung saan matatagpuan ang nahanap na dibidendo 48 . Ang resulta ay bilugan ng asul.
Kaya, gamit ang multiplication table, hinati namin ang 48 sa 6 at nakakuha kami ng 8.
Upang pagsama-samahin ang materyal, nagpapakita kami ng isang pagguhit na nagpapakita ng proseso ng paghahati ng natural na numero 7 sa pamamagitan ng 1.
Dibisyon ng 10 , 100 , 1000 atbp.
Ibibigay namin kaagad ang pagbabalangkas ng panuntunan para sa paghahati ng mga natural na numero sa pamamagitan ng 10, 100, 1000, ... (ipagpalagay namin na posible ang gayong dibisyon) at magbigay ng isang halimbawa, at pagkatapos ay magbibigay kami ng mga kinakailangang paliwanag.
Ang resulta ng paghahati ng natural na numero sa pamamagitan ng 10, 100, 1000, atbp. ay isang natural na numero, ang rekord kung saan ay nakuha mula sa talaan ng dibidendo, kung isa, dalawa, tatlo, at iba pa ang mga zero ay itatapon sa kanan(ibig sabihin, kasing dami ng 0 digit ang itinatapon gaya ng nasa talaan ng dibidendo).
Halimbawa, ang quotient ng paghahati sa numerong 30 sa 10 ay 3 (isang digit 0 ang ibinaba mula sa dibidendo 30 sa kanan), at ang quotient na 120,000:1,000 ay katumbas ng 120 (tatlong digit 0 ang tinanggal mula sa kanan ng 120,000 ).
Ang nakasaad na tuntunin ay medyo simple upang bigyang-katwiran. Upang gawin ito, ito ay sapat na upang matandaan mga panuntunan para sa pagpaparami ng natural na numero sa sampu, isang daan, isang libo, atbp. Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ipagpalagay na kailangan nating kalkulahin ang quotient 10 200:100 . Dahil ang 102 100 = 10 200 , kung gayon, dahil sa koneksyon sa pagitan ng pagdaragdag at pagpaparami, ang resulta ng paghahati ng natural na bilang na 10 200 sa 100 ay ang natural na bilang na 102 .
Representasyon ng dibidendo bilang isang produkto
Minsan ang paghahati ng mga natural na numero ay nagbibigay-daan sa representasyon ng dibidendo bilang isang produkto ng dalawang numero, kahit isa sa mga ito ay nahahati ng isang divisor. Ang dibisyong ito ay batay sa pag-aari ng paghahati ng produkto ng dalawang numero sa isang natural na numero.
Isaalang-alang ang isa sa pinakasimpleng mga halimbawa ng katangian.
Halimbawa.
Hatiin natin 30 ng 3 .
Solusyon.
Malinaw, ang dibidendo 30 ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng natural na mga numero 3 at 10. Mayroon kaming 30:3=(3 10):3 . Gamitin ang katangian ng paghahati ng produkto ng dalawang numero sa natural na numero. Mayroon kaming (3 10):3=(3:3) 10=1 10=10 . Kaya, ang quotient ng paghahati ng 30 sa 3 ay 10.
Sagot:
30:3=10 .
Bigyan natin ng mga solusyon ang ilang katulad na halimbawa.
Halimbawa.
Hatiin ang 7200 sa 72.
Solusyon.
Sa kasong ito, ang dibidendo 7200 ay maaaring tingnan bilang produkto ng mga numerong 72 at 100. Sa kasong ito, makukuha natin ang sumusunod na resulta: 7 200:72=(72 100):72= (72:72) 100=1 100=100 .
Sagot:
7 200:72=100 .
Halimbawa.
Hatiin ang 1,600,000 sa 160.
Solusyon.
Malinaw, 1,600,000 ang produkto ng 160 at 10,000, kaya 1600000:160=(160 10000):160= (160:160) 10,000=1 10,000=10,000.
Sagot:
1 600 000:160=10 000 .
Sa mas maraming mahirap na mga halimbawa kapag ipinakita ang dibidendo bilang isang produkto, kailangang tumuon sa talahanayan ng pagpaparami. Mula sa mga sumusunod na halimbawa ay magiging malinaw kung ano ang ibig sabihin.
Halimbawa.
Hatiin ang natural na bilang na 5400 sa 9.
Solusyon.
Ayon sa multiplication table, maaari nating hatiin ang 54 sa 9, kaya lohikal na katawanin ang nahahati na 5400 bilang produkto ng 54 100 at tapusin ang paghahati: 5 400:9=(54 100):9= (54:9) 100=6 100 =600 .
Sagot:
5 400:9=600 .
Upang pagsamahin ang materyal, isaalang-alang ang solusyon ng isa pang halimbawa.
Halimbawa.
Kalkulahin natin ang quotient 120:4.
Solusyon.
Upang gawin ito, kinakatawan namin ang dibidendo 120 bilang isang produkto ng 12 at 10, pagkatapos nito ay ginagamit namin ang pag-aari ng paghahati ng produkto ng dalawang numero sa isang natural na numero. Meron kami 120:4=(12 10):4=(12:4) 10=3 10=30.
Sagot:
120:4=30 .
Dibisyon ng mga natural na numero na ang mga entry ay nagtatapos sa digit na 0
Dito kailangan nating tandaan pag-aari ng paghahati ng natural na numero sa produkto ng dalawang numero. Ipaliwanag natin kung bakit. Upang maisagawa ang paghahati ng mga natural na numero na ang mga entry ay nagtatapos sa mga digit 0 , ang divisor ay kinakatawan bilang isang produkto ng dalawang natural na mga numero, pagkatapos nito ay inilapat ang nabanggit na katangian ng dibisyon.
Harapin natin ito ng mga halimbawa. Kumuha tayo ng dalawang natural na numero, ang mga entry na nagtatapos sa mga digit na zero, at hatiin ang mga ito.
Halimbawa.
Hatiin natin 490 ng 70 .
Solusyon.
Dahil 70=10 7 , pagkatapos ay 490:70=490:(10 7) . Ang huling expression, dahil sa pag-aari ng paghahati ng natural na numero sa isang produkto, ay katumbas ng (490:10):7. Natutunan nating hatiin ng 10 sa isa sa mga nakaraang talata, nakukuha natin ang (490:10):7=49:7. Nahanap namin ang nagresultang quotient mula sa multiplication table, bilang isang resulta makakakuha kami ng 490:70=7.
Sagot:
490:70=7 .
Upang pagsamahin ang materyal, isaalang-alang ang solusyon ng isa pang mas kumplikadong halimbawa.
Halimbawa.
Kalkulahin natin ang quotient 54 000:5 400 .
Solusyon.
Kinakatawan namin ang 5400 bilang isang produkto ng 100 54 at hinahati ang natural na numero sa produkto: 54000:5400=54000:(100 54)=(54000:100):54=540:54 . Dito nananatiling kumakatawan sa 540 bilang 54 10 (kung kinakailangan, bumalik sa nakaraang talata) at kumpletuhin ang mga kalkulasyon: 540:6=(54 10):54= (54:54) 10=1 10=10 . Kaya 54000:5400=10 .
Sagot:
54 000:5 400=10 .
Ang impormasyon sa talatang ito ay maaaring buod tulad ng sumusunod: kung sa talaan at ang dibidendo at ang divisor sa kanan ay ang mga numero 0, pagkatapos ay sa mga talaan kailangan mong alisin ang parehong bilang ng mga zero sa kanan, at pagkatapos ay hatiin ang mga resultang numero. Halimbawa, ang dibisyon ng mga natural na numero 818 070 000 at 201 000 ay nabawasan sa paghahati ng mga numero 818 070 at 201 pagkatapos naming alisin ang tatlong digit 0 sa mga entry ng dibidendo at ang divisor sa kanan.
Pagpili ng pribado
Hayaan ang mga natural na numerong a at b na ang a ay mahahati sa b, at kung ang b ay i-multiply sa 10, pagkatapos ay makakakuha ka ng isang numero na mas malaki sa a. Sa kasong ito, ang quotient a:b ay isang solong digit na natural na numero, iyon ay, isang numero mula 1 hanggang 9 , at ito ang pinakamadaling kunin. Upang gawin ito, ang divisor ay sunud-sunod na pinarami ng 1, 2, 3, at iba pa hanggang ang produkto ay katumbas ng nahahati. Sa sandaling makuha ang naturang pagkakapantay-pantay, ang quotient a:b ay makikita.
Isaalang-alang ang isang halimbawa.
Halimbawa.
Hanapin natin ang quotient 108:27 .
Solusyon.
Malinaw, ang divisor 108 ay mas mababa sa 27 10=270 (kung kinakailangan, sumangguni sa artikulo paghahambing ng mga natural na numero). Pumili tayo ng pribado. Upang gawin ito, sunud-sunod nating i-multiply ang divisor 27 sa 1, 2, 3, ... hanggang makuha natin ang dibidendo 108. Tara na: 27 1=27 , 27 2=54 , 27 3=81 , 27 4=108 (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo pagpaparami ng mga natural na numero). Samakatuwid, 108:27=4.
Sagot:
108:27=4 .
Sa pagtatapos ng talatang ito, tandaan namin na sa mga ganitong kaso ang quotient ay hindi mapipili, ngunit matatagpuan sa tulong ng .
Kinakatawan ang dibidendo bilang isang kabuuan ng mga natural na numero
Kung ang lahat ng mga pamamaraan na tinalakay sa itaas ay hindi pinapayagan ang paghahati ng mga natural na numero, kung gayon ang dibidendo ay dapat na kinakatawan bilang kabuuan ng ilang mga termino, na ang bawat isa ay madaling mahahati ng isang divisor. Susunod na kailangan mong gamitin pag-aari ng paghahati ng kabuuan ng mga natural na numero sa isang naibigay na numero, at tapusin ang pagkalkula. Labi pangunahing tanong: "Sa anyo ng kung anong mga termino ang kumakatawan sa dibidendo"?
Ilarawan natin ang isang algorithm para sa pagkuha ng mga termino na nagdaragdag sa dibidendo. Para sa higit na accessibility, sabay-sabay nating isasaalang-alang ang isang halimbawa kung saan ang dibidendo ay 8551 , at ang divisor ay 17 .
Una, kinakalkula namin kung gaano kalaki ang bilang ng mga character sa entry ng dibidendo kaysa sa bilang ng mga character sa entry ng divisor, at tandaan ang numerong ito.
Halimbawa, kung ang dibidendo ay isang natural na numero 8 551, at ang divisor ay ang numero 17, kung gayon ang talaan ng dibidendo ay naglalaman ng 2 higit pang mga character (8 551 ay isang apat na digit na numero, 17 ay isang dalawang-digit na isa, kaya ang pagkakaiba sa bilang ng mga character ay tinutukoy ng pagkakaiba 4−2=2) . Ibig sabihin, tandaan ang numero 2.
Ngayon, sa entry ng divisor sa kanan, idinagdag namin ang mga numero 0 sa halagang tinutukoy ng bilang na nakuha sa nakaraang talata. Bukod dito, kung ang nakasulat na numero ay mas malaki kaysa sa dibidendo, pagkatapos ay ibawas ang 1 mula sa numerong naisaulo sa nakaraang talata.
Bumalik tayo sa ating halimbawa. Sa talaan ng divisor 17, nagdaragdag kami ng dalawang digit 0 sa kanan, at nakuha namin ang numero 1 700. Ang numerong ito ay mas mababa sa dibidendo 8 551 , kaya HINDI kailangang bawasan ng 1 ang bilang na kabisado sa nakaraang talata. Kaya, mayroon tayong numero 2 sa memorya.
Pagkatapos nito, sa numero 1 sa kanan, itinatangi namin ang mga numerong 0 sa halagang tinutukoy ng bilang na naisaulo sa nakaraang talata. Sa kasong ito, nakakakuha kami ng isang yunit ng discharge, kung saan kami ay magtatrabaho pa.
Sa aming halimbawa, nagtatalaga kami ng 2 zero sa numero 1, mayroon kaming numero na 100, iyon ay, gagana kami sa daan-daang lugar.
Ngayon ay sunud-sunod nating i-multiply ang divisor sa 1, 2, 3, ... units ng working digit hanggang makakuha tayo ng numerong mas malaki kaysa sa divisible.
Sa aming halimbawa, ang gumaganang digit ay ang daan-daang digit. Samakatuwid, una nating i-multiply ang divisor sa isang yunit ng daan-daang lugar, iyon ay, i-multiply natin ang 17 sa 100, makakakuha tayo ng 17 100=1 700 . Ang resultang numero 1 700 ay mas mababa kaysa sa dibidendo 8 551, kaya't nagpapatuloy kami upang i-multiply ang divisor sa dalawang yunit ng daan-daang lugar, iyon ay, i-multiply namin ang 17 sa 200. Mayroon kaming 17 200=3 400<8 551 , поэтому продолжаем процесс. Умножаем 17 на 300 , имеем 17·300=5 100<8 551 ; двигаемся дальше 17·400=6 800<8 551 ; дальше 17·500=8 500<8 551 ; наконец 17·600=10 200>8 551 .
Ang numerong nakuha sa penultimate step sa panahon ng multiplikasyon ay ang una sa mga kinakailangang termino.
Sa halimbawang sinusuri, ang gustong termino ay ang numero 8 500 (ang numerong ito ay katumbas ng produkto 17 500 , kung saan makikita na 8 500:17=500 , gagamitin pa natin ang pagkakapantay-pantay na ito).
Pagkatapos nito, nakita namin ang pagkakaiba sa pagitan ng dibidendo at ang unang termino na natagpuan. Kung ang resultang numero ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay magpatuloy sa paghahanap ng pangalawang termino. Upang gawin ito, inuulit namin ang lahat ng inilarawan na mga hakbang ng algorithm, ngunit kinukuha na namin ang numero na nakuha dito bilang isang dibidendo. Kung sa puntong ito muli tayong makakakuha ng isang numero maliban sa zero, pagkatapos ay magpapatuloy tayo sa paghahanap ng ikatlong termino, ulitin muli ang mga hakbang ng algorithm, at ang resultang numero ay dibidendo. At kaya magpatuloy pa kami, sa paghahanap ng ikaapat, ikalima at kasunod na mga termino, hanggang sa ang bilang na nakuha sa talatang ito ay katumbas ng zero. Sa sandaling makuha natin ang 0 dito, kung gayon ang lahat ng mga termino ay matatagpuan, at maaari tayong magpatuloy sa huling bahagi ng pagkalkula ng orihinal na quotient.
Bumalik tayo sa ating halimbawa. Sa hakbang na ito, mayroon tayong 8 551−8 500=51 . Dahil ang 51 ay hindi katumbas ng 0, kinukuha namin ang numerong ito bilang isang dibidendo at inuulit ang lahat ng mga hakbang ng algorithm kasama nito.
Ang bilang ng mga character sa mga talaan ng mga numero 51 at ang divisor 17 ay pareho, kaya tandaan ang numero 0.
Sa divisor record, hindi mo kailangang magdagdag ng isang digit na 0 sa kanan, dahil kabisado namin ang numerong 0. Ibig sabihin, ang bilang na 17 ay nananatiling tulad nito. Ang numerong ito ay mas mababa sa 51 , kaya hindi na kailangang ibawas ang isa sa kabisadong numero 0. Kaya, mayroon tayong numerong 0 sa memorya.
Sa numero 1, hindi kami magtatalaga ng isang digit na 0 sa kanan, dahil mayroon kaming numerong 0 sa memorya. Iyon ay, makikipagtulungan kami sa paglabas ng mga yunit.
Ngayon ay sunud-sunod nating i-multiply ang divisor 17 sa 1, 2, 3, at iba pa, hanggang sa makakuha tayo ng numerong mas malaki sa 51. Mayroon kaming 17 1=17<51 , 17·2=34<51 , 17·3=51 , 17·4=68>51 . Sa penultimate na hakbang, nakuha namin ang numero 51 (ang numerong ito ay katumbas ng produkto ng 17 3 , at gagamitin pa namin ito). Samakatuwid, ang pangalawang termino ay ang numero 51.
Hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng bilang na 51 at ang bilang na 51 na nakuha sa nakaraang talata. Mayroon kaming 51−51=0 . Samakatuwid, itinigil namin ang paghahanap ng mga termino.
Ngayon alam natin na ang dibidendo 8551 ay dapat na kinakatawan bilang kabuuan ng dalawang termino 8500 at 51.
Tapusin na natin ang paghahanap ng pribado. Mayroon kaming 8551:17=(8500+51):17 . Ngayon naaalala natin ang pag-aari ng paghahati ng kabuuan ng dalawang numero sa isang natural na numero, na humahantong sa atin sa pagkakapantay-pantay (8 500 + 51): 17 = 8 500: 17 + 51: 17 . Nalaman namin sa itaas na 8500:17=500 at 51:17=3 . Kaya 8500:17+51:17=500+3=503 . Kaya, 8551:17=503 .
Upang pagsama-samahin ang mga kasanayan sa pagkatawan ng dibidendo bilang isang kabuuan ng mga termino, isaalang-alang ang solusyon ng isa pang halimbawa.
Halimbawa.
Hatiin natin 64 ng 2 .
Solusyon.
1) Sa talaan ng dibidendo, may isa pang tanda kaysa sa talaan ng divisor, kaya tandaan ang numero 1.
2) Kung magdagdag tayo ng isang digit 0 sa divisor record sa kanan, makukuha natin ang numerong 20, na mas mababa sa dibidendo 64. Samakatuwid, ang kabisadong numero 1 ay hindi kailangang bawasan ng isa.
3) Ngayon sa 1 nagtatalaga kami ng isa (dahil mayroon kaming numero 1 sa memorya) digit 0 sa kanan, nakukuha namin ang numero 10, iyon ay, gagana kami sa sampu.
4) Sinisimulan natin ang divisor 2 sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagpaparami ng 10, 20, 30, atbp. Mayroon kaming: 2 10=20<64 ; 2·20=40<64 ; 2·30=60<64 ; 2·40=80>64 . Kaya, ang unang termino ay ang numero 60 (mula noong 2 30 \u003d 60, pagkatapos ay 60: 2 \u003d 30, ang pagkakapantay-pantay na ito ay magiging kapaki-pakinabang sa amin sa ibang pagkakataon).
5) Kalkulahin ang pagkakaiba 64−60 , na katumbas ng 4 . Madali nating mahahati ang numerong ito sa divisor 2, kaya kukunin natin ang numerong ito bilang pangalawa (at huling) termino. (Walang alinlangan, posibleng kunin ang numerong ito bilang isang dibidendo, at dumaan muli sa lahat ng mga hakbang ng algorithm, dadalhin nila tayo sa katotohanan na ang pangalawang termino ay ang numero 4.)
Kaya, ipinakita namin ang dibidendo 64 bilang kabuuan ng dalawang termino 60 at 4. Ito ay nananatiling upang makumpleto ang mga kalkulasyon: 64:2=(60+4):2=60:2+4:2=30+2=32 .
Sagot:
64:2=32 .
Lutasin natin ang isa pang halimbawa.
Halimbawa.
Kalkulahin natin ang quotient 1 178:31 .
Solusyon.
1) Mayroong 2 higit pang mga character sa talaan ng dibidendo kaysa sa talaan ng divisor. Samakatuwid, tandaan ang numero 2.
2) Kung magdagdag tayo ng dalawang digit 0 sa entry ng divisor sa kanan, makukuha natin ang numerong 3 100, na mas malaki kaysa sa dibidendo. Samakatuwid, ang bilang na 2 na kabisado sa nakaraang talata ay dapat bawasan ng isa: 2−1=1, tandaan ang numerong ito.
3) Ngayon sa numero 1 nagdaragdag kami ng isang numero 0 sa kanan, nakuha namin ang numero 10 at pagkatapos ay nagtatrabaho kami sa sampu.
4) Sunud-sunod nating i-multiply ang divisor sa 10, 20, 30, atbp. Nakukuha natin ang 31 10=310<1 178 ; 31·20=620<1 178 ; 31·30=930<1 178 ; 31·40=1 240>1178 . Kaya nahanap namin ang unang termino. Katumbas ito ng 930 (kailangan pa natin ang pagkakapantay-pantay 930:31=30 , na sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay 31 30=930 ).
5) Kalkulahin ang pagkakaiba: 1 178−930=248 . Dahil nakakuha kami ng isang numero na hindi katumbas ng zero, tinatanggap namin ito bilang isang dibidendo, at nagsimulang maghanap para sa pangalawang termino gamit ang parehong algorithm.
1) Sa entry ng numero 248, mayroong 1 sign na higit pa kaysa sa entry ng divisor 31. Samakatuwid, tandaan ang numero 1.
2) Nagdagdag kami ng isang digit na 0 sa divisor record sa kanan, nakuha namin ang numerong 310, na mas malaki kaysa sa numerong 248. Samakatuwid, mula sa kabisadong numero 1, kailangan mong ibawas ang 1, habang nakukuha namin ang numero 0 at tandaan ito.
3) Dahil mayroon tayong numerong 0 sa memorya, hindi na kailangang magdagdag ng mga zero sa numero 1 sa kanan. Kaya, nagtatrabaho kami sa mga yunit.
4) Sunud-sunod nating i-multiply ang divisor 31 sa 1, 2, 3 at iba pa. Mayroon kaming 31 1=31<248 , 31·2=62<248 , 31·3=93<248 , 31·4=124<248 , 31·5=155<248 , 31·6=186<248 , 31·7=217<248 , 31·8=248 , 31·9=279>248 . Ang pangalawang termino ay katumbas ng 248 (mula sa pagkakapantay-pantay na 248=31 8 sumusunod na 248:31=8 , kakailanganin natin ito mamaya).
5) Kalkulahin ang pagkakaiba sa pagitan ng numero 248 at ang resultang numero 248 , mayroon tayong 248−248=0 . Samakatuwid, ang paghahanap para sa mga termino ay nagtatapos dito.
Kaya, ang 1 178 ay kinakatawan bilang kabuuan 930 + 248 . Ito ay nananatili lamang upang makumpleto ang mga kalkulasyon: 1 178:31=(930+248):31= 930:31+248:31=30+8=38 (binigyan namin ng pansin ang mga resulta ng 930:31=30 at 248: 31=8 sa itaas).
Sagot:
1 178:31=38 .
Halimbawa.
Hatiin ang natural na bilang na 13984 sa 32, na kumakatawan sa dibidendo bilang kabuuan ng ilang termino.
Solusyon.
Sa halimbawang ito, ang dibidendo ay kakatawanin bilang tatlong termino, dahil ang algorithm ay kailangang ilapat nang tatlong beses. Sa kasong ito, lumalabas na ang unang termino ay magiging katumbas ng 12 800 (habang 12 800=32 400, samakatuwid, 12 800:32=400), ang pangalawa - 960 (habang 960=32 30, samakatuwid, 960: 32=30 ), at ang pangatlo - 224 (sa kasong ito, 224=32 7, samakatuwid, 224:32=7).
Pagkatapos 13 984:32=(12 800+960+224):32= 12 800:32+960:32+224:32= 400+30+7=437 .
Sagot:
13 984:32=437 .
Dito, ang mga pangunahing patakaran para sa paghahati ng mga natural na numero ay maaaring ituring na pinag-aralan, at ang mga patakarang ito ay sapat na upang isakatuparan ang paghahati ng mga di-makatwirang natural na numero (kung ang aksyon na ito ay posible pa ring maisagawa). Ngunit dapat mong bigyang-pansin ang isa pang panuntunan, na sa ilang mga kaso ay nagbibigay-daan sa iyo upang maisagawa ang paghahati ng mga natural na numero nang mas makatwiran, mas mabilis at mas madali.
Madaling nahahati sa
483:7=69 .
Sinusuri ang resulta ng paghahati ng mga natural na numero sa pamamagitan ng pagpaparami
Matapos makumpleto ang paghahati ng mga natural na numero, hindi na kailangang suriin ang resulta. Ang pagpapatunay ng resulta ng paghahati ay isinasagawa gamit ang multiplikasyon: upang suriin ang kawastuhan ng resulta ng paghahati, kailangan mong i-multiply ang quotient ng divisor, at dapat mong makuha ang dibidendo. Kung sa panahon ng pagpaparami ng isang numero ay nakuha na naiiba mula sa dibidendo, pagkatapos ay sa proseso ng paghahati ng isang error ay ginawa sa isang lugar.
Ipaliwanag natin nang kaunti kung saan nanggaling ang panuntunang ito para sa pagsuri sa resulta ng paghahati ng mga natural na numero. Hatiin natin ang isang item sa b heap, na may c item sa bawat heap. Ayon sa kahulugan ng paghahati ng mga natural na numero, maaari tayong sumulat ng pagkakapantay-pantay ng anyo a:b=c , na tumutugma sa aksyon na ginawa natin. Ngayon, kung muli nating pagsasamahin ang lahat ng b tambak, na ang bawat isa ay naglalaman ng mga c item, kung gayon malinaw na makukuha natin ang orihinal na hanay ng mga item, kung saan magkakaroon ng mga piraso. Iyon ay, ayon sa kahulugan ng pagpaparami ng mga natural na numero, mayroon tayong b c=a . Kaya, kung a:b=c , kung gayon ang pagkakapantay-pantay b·c=a ay dapat ding totoo. Ito ang batayan ng panuntunan para sa pagsuri sa resulta ng paghahati ng mga natural na numero gamit ang multiplikasyon.
Isaalang-alang ang mga solusyon ng mga halimbawa kung saan ang resulta ng paghahati ay sinusuri gamit ang multiplikasyon.
Halimbawa.
Ang natural na bilang na 475 ay hinati sa natural na bilang na 19 upang makuha ang quotient 25. Tama ba ang paghahati?
960+64 (ginawa namin ito ayon sa algorithm na inilarawan sa isa sa mga nakaraang talata ng artikulong ito). Pagkatapos ay 1024:32=(960+64):32= 960:32+64:32=30+2=32 .
Ito ay nananatiling suriin ang resulta. Upang gawin ito, i-multiply ang resultang quotient 32 sa divisor 32 , mayroon tayong 32 32=1 024 . Ang resultang numero ay kapareho ng dibidendo, kaya ang quotient ay kinakalkula nang tama.
Sagot:
1 024:32=32 .
Sinusuri ang resulta ng paghahati ng mga natural na numero ayon sa dibisyon
Maaari mong suriin ang resulta ng paghahati ng mga natural na numero hindi lamang sa tulong ng pagpaparami, kundi pati na rin sa tulong ng paghahati. Bumuo tayo ng isang tuntunin na nagbibigay-daan sa pagsuri sa resulta ng paghahati ayon sa paghahati.
Upang suriin kung ang quotient ng paghahati ng dalawang natural na numero ay natagpuan nang tama, kailangan mong hatiin ang dibidendo sa resultang quotient. Sa kasong ito, kung ang isang numero na katumbas ng divisor ay nakuha, kung gayon ang dibisyon ay ginanap nang tama, kung hindi, sa isang lugar sa mga kalkulasyon ay isang error ang ginawa.
Ang panuntunang ito ay batay sa isang medyo halatang koneksyon sa pagitan ng dibidendo, divisor at quotient. Ang sumusunod na pangangatwiran ay makakatulong sa amin na masubaybayan ang koneksyon na ito. Hatiin natin ang isang item sa b heap, pagkatapos nito ang bawat heap ay may c item sa bawat isa. Malinaw na kung ang mga bagay na ito ay pinagbukud-bukod sa mga tambak ng c mga bagay bawat isa, magkakaroon ng mga b ganoong tambak. Kaya, kung a:b=c , pagkatapos ay a:c=b , katulad din, kung a:c=b , pagkatapos ay a:b=c . Nabanggit namin ito sa talata sa itaas.
Ito ay nananatiling isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng pagsuri sa resulta ng paghahati ng mga natural na numero gamit ang dibisyon.
Halimbawa.
Kapag hinahati ang natural na numero 104 sa 13
