Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng x-axis online. Dami ng katawan ng rebolusyon

Kahulugan 3. Ang katawan ng rebolusyon ay isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura sa paligid ng isang axis na hindi sumasalubong sa pigura at nakahiga sa parehong eroplano kasama nito.

Ang axis ng pag-ikot ay maaari ding mag-intersect sa figure kung ito ang axis ng symmetry ng figure.

Teorama 2.
, aksis
at mga segment ng tuwid na linya
at

umiikot sa paligid ng isang axis
. Pagkatapos ang dami ng resultang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin ng formula

(2)

Patunay. Para sa naturang katawan, ang seksyon na may abscissa ay isang bilog ng radius
, ibig sabihin
at ang formula (1) ay nagbibigay ng nais na resulta.

Kung ang figure ay nalilimitahan ng mga graph ng dalawang tuluy-tuloy na function
at
, at mga segment ng linya
at
, saka
at
, pagkatapos kapag umiikot sa paligid ng abscissa axis, nakakakuha kami ng isang katawan na ang dami

Halimbawa 3 Kalkulahin ang volume ng isang torus na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang bilog na may hangganan ng isang bilog

sa paligid ng x-axis.

R solusyon. Ang tinukoy na bilog ay nililimitahan mula sa ibaba ng graph ng function
, at sa itaas -
. Ang pagkakaiba ng mga parisukat ng mga function na ito:

Ninanais na dami

(ang graph ng integrand ay ang itaas na kalahating bilog, kaya ang integral na nakasulat sa itaas ay ang lugar ng kalahating bilog).

Halimbawa 4 Parabolic segment na may base
, at taas , umiikot sa base. Kalkulahin ang dami ng nagresultang katawan ("lemon" ni Cavalieri).

R solusyon. Ilagay ang parabola tulad ng ipinapakita sa figure. Pagkatapos ang equation nito
, at
. Hanapin natin ang halaga ng parameter :
. Kaya, ang nais na dami:

Teorama 3. Hayaan ang isang curvilinear trapezoid na nakatali ng graph ng tuluy-tuloy na hindi negatibong function
, aksis
at mga segment ng tuwid na linya
at
, saka
, umiikot sa paligid ng isang axis
. Pagkatapos ang dami ng resultang katawan ng rebolusyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula

(3)

patunay na ideya. Paghahati sa segment
mga tuldok

, sa mga bahagi at gumuhit ng mga tuwid na linya
. Ang buong trapezoid ay mabubulok sa mga piraso, na maaaring ituring na humigit-kumulang na mga parihaba na may base
at taas
.

Ang silindro na nagreresulta mula sa pag-ikot ng naturang parihaba ay pinutol sa kahabaan ng generatrix at nabuksan. Nakakakuha kami ng "halos" parallelepiped na may mga sukat:
,
at
. Ang dami nito
. Kaya, para sa dami ng isang katawan ng rebolusyon magkakaroon tayo ng tinatayang pagkakapantay-pantay

Upang makakuha ng eksaktong pagkakapantay-pantay, kailangan nating pumasa sa limitasyon sa
. Ang kabuuan na nakasulat sa itaas ay ang integral sum para sa function
, samakatuwid, sa limitasyon ay nakukuha natin ang integral mula sa formula (3). Napatunayan na ang theorem.

Puna 1. Sa Theorems 2 at 3, ang kondisyon
maaaring tanggalin: ang formula (2) ay karaniwang hindi sensitibo sa tanda
, at sa formula (3) ito ay sapat na
pinalitan ng
.

Halimbawa 5 Parabolic segment (base
, taas ) umiikot sa taas. Hanapin ang dami ng nagresultang katawan.

Desisyon. Ayusin ang parabola tulad ng ipinapakita sa figure. At kahit na ang axis ng pag-ikot ay tumatawid sa figure, ito - ang axis - ay ang axis ng simetrya. Samakatuwid, ang kanang kalahati lamang ng segment ang dapat isaalang-alang. Parabola equation
, at
, ibig sabihin
. Mayroon kaming para sa dami:

Puna 2. Kung ang curvilinear na hangganan ng isang curvilinear trapezoid ay ibinibigay ng mga parametric equation
,
,
at
,
pagkatapos ay magagamit ang mga formula (2) at (3) kasama ang kapalit sa
at
sa
kapag nagbago ito t mula sa
dati .

Halimbawa 6 Ang pigura ay nakatali sa unang arko ng cycloid
,
,
, at ang abscissa axis. Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na ito sa paligid: 1) ang axis
; 2) mga ehe
.

Desisyon. 1) Pangkalahatang formula
Sa kaso natin:

2) Pangkalahatang formula
Para sa aming figure:

Hinihikayat namin ang mga mag-aaral na gawin ang lahat ng mga kalkulasyon sa kanilang sarili.

Puna 3. Hayaan ang isang curvilinear na sektor na bounded ng tuloy-tuloy na linya
at sinag
,

, umiikot sa paligid ng polar axis. Ang dami ng nagresultang katawan ay maaaring kalkulahin ng formula.

Halimbawa 7 Bahagi ng isang pigura na may hangganan ng isang cardioid
, nakahiga sa labas ng bilog
, umiikot sa paligid ng polar axis. Hanapin ang dami ng nagresultang katawan.

Desisyon. Parehong linya, at samakatuwid ang figure na nililimitahan nila, ay simetriko tungkol sa polar axis. Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang lamang ang bahagi kung saan
. Ang mga kurba ay nagsalubong sa
at

sa
. Dagdag pa, ang figure ay maaaring ituring bilang ang pagkakaiba ng dalawang sektor, at samakatuwid ang volume ay maaaring kalkulahin bilang ang pagkakaiba ng dalawang integral. Meron kami:

Mga gawain para sa malayang solusyon.

1. Isang pabilog na bahagi na ang base
, taas , umiikot sa base. Hanapin ang dami ng katawan ng rebolusyon.

2. Hanapin ang volume ng isang paraboloid ng rebolusyon na ang base , at ang taas ay .

3. Figure bounded sa pamamagitan ng isang astroid
,
umiikot sa paligid ng x-axis. Hanapin ang dami ng katawan, na nakuha sa kasong ito.

4. Figure na may hangganan ng mga linya
at
umiikot sa paligid ng x-axis. Hanapin ang dami ng katawan ng rebolusyon.

Maliban sa hanapin ang lugar ng isang figure ng eroplano gamit tiyak na integral(Tingnan ang 7.2.3.) ang pinakamahalagang aplikasyon ng tema ay pagkalkula ng dami ng isang katawan ng rebolusyon. Ang materyal ay simple, ngunit ang mambabasa ay dapat maging handa: ito ay kinakailangan upang malutas mga integral na hindi tiyak katamtamang kumplikado at ilapat ang Newton-Leibniz formula sa tiyak na integral, n Kinakailangan din ang malakas na kasanayan sa pagbalangkas. Sa pangkalahatan, maraming mga kagiliw-giliw na aplikasyon sa integral calculus; gamit ang isang tiyak na integral, maaari mong kalkulahin ang lugar ng isang figure, ang dami ng isang katawan ng rebolusyon, ang haba ng isang arko, ang ibabaw na lugar ng katawan, at marami pang iba. Isipin ang ilang flat figure sa coordinate plane. Kinakatawan? ... Ngayon itong pigura Maaari mo ring i-rotate, at i-rotate sa dalawang paraan:

- sa paligid ng x-axis ;

- sa paligid ng y-axis .

Tingnan natin ang parehong mga kaso. Ang pangalawang paraan ng pag-ikot ay lalong kawili-wili, nagiging sanhi ito ng pinakamalaking paghihirap, ngunit sa katunayan ang solusyon ay halos kapareho ng sa mas karaniwang pag-ikot sa paligid ng x-axis. Magsimula tayo sa pinakasikat na uri ng pag-ikot.

Pagkalkula ng dami ng katawan, nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot flat figure sa paligid ng isang axis OX

Halimbawa 1

Kalkulahin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na nalilimitahan ng mga linya sa paligid ng axis.

Desisyon: Tulad ng problema sa paghahanap ng lugar, ang solusyon ay nagsisimula sa isang pagguhit ng isang patag na pigura. Ibig sabihin, sa eroplano XOY ito ay kinakailangan upang bumuo ng isang figure bounded sa pamamagitan ng mga linya, habang hindi forgetting na ang equation ay tumutukoy sa axis. Ang pagguhit dito ay medyo simple:

Ang nais na flat figure ay may kulay sa asul, ito ay siya na umiikot sa paligid ng axis. Bilang resulta ng pag-ikot, ang tulad ng isang bahagyang hugis-itlog na flying saucer na may dalawang matalim na taluktok sa axis ay nakuha. OX, simetriko tungkol sa axis OX. Sa katunayan, mayroon ang katawan pangalan ng matematika, tingnan mo sa manual.

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon? Kung ang katawan ay nabuo bilang isang resulta ng pag-ikot sa paligid ng isang axisOX, ito ay nahahati sa kaisipan sa magkatulad na mga layer ng maliit na kapal dx na patayo sa axis OX. Ang dami ng buong katawan ay malinaw na katumbas ng kabuuan ng mga volume ng naturang elementary layers. Ang bawat layer, tulad ng isang bilog na hiwa ng lemon, ay isang mababang silindro na mataas dx at may base radius f(x). Pagkatapos ang dami ng isang layer ay ang produkto ng base area π f 2 hanggang sa taas ng silindro ( dx), o π∙ f 2 (x)∙dx. At ang lugar ng buong katawan ng rebolusyon ay ang kabuuan ng elementarya na volume, o ang kaukulang tiyak na integral. Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pormula:

Paano itakda ang mga limitasyon sa pagsasama na "a" at "be" ay madaling hulaan mula sa nakumpletong pagguhit. Function... ano ang function na ito? Tingnan natin ang pagguhit. Ang flat figure ay nililimitahan ng parabola graph mula sa itaas. Ito ang function na ipinahiwatig sa formula. AT mga praktikal na gawain ang isang patag na pigura ay minsan ay matatagpuan sa ibaba ng axis OX. Hindi ito nagbabago ng anuman - ang function sa formula ay squared: f 2 (x), kaya, ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay palaging hindi negatibo, na medyo lohikal. Kalkulahin ang dami ng katawan ng rebolusyon gamit ang formula na ito:

Tulad ng nabanggit na natin, ang integral ay halos palaging nagiging simple, ang pangunahing bagay ay maging maingat.

Sagot:

Sa sagot, kinakailangan upang ipahiwatig ang sukat - mga yunit ng kubiko. Iyon ay, sa aming katawan ng pag-ikot mayroong humigit-kumulang 3.35 "cubes". Bakit eksaktong kubiko mga yunit? Dahil ito ang pinaka-unibersal na pagbabalangkas. Maaaring may mga cubic centimeters, maaaring may cubic meters, maaaring may cubic kilometers, atbp., Ganyan karaming maliliit na berdeng lalaki ang kasya sa iyong imahinasyon sa isang flying saucer.

Halimbawa 2

Hanapin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng isang axis OX figure bounded sa pamamagitan ng mga linya , , .

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Kumpletong Solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng figure na nakatali ng mga linya , , at .

Desisyon: Ilarawan natin sa pagguhit ang isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya , , , , habang hindi nakakalimutan na ang equation x= 0 ay tumutukoy sa axis OY:

Ang nais na pigura ay may kulay na asul. Kapag umiikot ito sa paligid ng axis OX ito ay lumiliko ang isang flat angular bagel (isang washer na may dalawang conical surface).

Ang dami ng katawan ng rebolusyon ay kinakalkula bilang pagkakaiba sa dami ng katawan. Una, tingnan natin ang pigura na nakabilog sa pula. Kapag umiikot ito sa paligid ng axis OX na nagreresulta sa isang pinutol na kono. Tukuyin natin ang dami nitong pinutol na kono bilang V 1 .

Isaalang-alang ang pigura na binilog sa berde. Kung paikutin natin ang figure na ito sa paligid ng axis OX, pagkatapos ay makakakuha ka rin ng pinutol na kono, mas maliit lang ng kaunti. Tukuyin natin ang dami nito sa pamamagitan ng V 2 .

Malinaw, ang pagkakaiba sa dami V = V 1 - V 2 ang volume ng aming "donut".

Ginagamit namin ang karaniwang formula para sa paghahanap ng dami ng isang katawan ng rebolusyon:

1) Ang pigura na nakabilog sa pula ay nililimitahan mula sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

2) Ang pigurang nakabilog sa berde ay nakatali mula sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

3) Ang dami ng gustong katawan ng rebolusyon:

Sagot:

Nakakapagtataka na sa kasong ito ang solusyon ay maaaring masuri gamit ang formula ng paaralan para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na kono.

Ang desisyon mismo ay kadalasang ginagawang mas maikli, tulad nito:

Hayaang ang T ay isang katawan ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng x-axis curvilinear trapezoid, na matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano at nalilimitahan ng x-axis, mga tuwid na linya x=a at x=b at graph tuluy-tuloy na pag-andar y=f(x) .

Patunayan natin na ito ang katawan ng rebolusyon ay cubable at ang dami nito ay ipinahayag ng pormula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Una, patunayan natin na regular ang katawan ng rebolusyong ito kung kukunin natin bilang \Pi ang eroplanong Oyz na patayo sa axis ng rebolusyon. Tandaan na ang seksyon na matatagpuan sa layong x mula sa eroplanong Oyz ay isang bilog na radius f(x) at ang lugar nito na S(x) ay \pi f^2(x) (Fig. 46). Samakatuwid, ang function na S(x) ay tuloy-tuloy dahil sa pagpapatuloy ng f(x) . Susunod, kung S(x_1)\leqslant S(x_2), kung gayon ang ibig sabihin nito ay . Ngunit ang mga projection ng mga seksyon papunta sa eroplanong Oyz ay mga bilog ng radii f(x_1) at f(x_2) na may center O , at mula sa f(x_1)\leqslant f(x_2) sumusunod na ang bilog ng radius f(x_1) ay nakapaloob sa bilog ng radius f(x_2) .

Kaya, ang katawan ng pag-ikot ay regular. Samakatuwid, ito ay cubeable at ang dami nito ay kinakalkula ng formula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Kung ang isang curvilinear trapezoid ay nakatali mula sa ibaba at mula sa itaas ng mga kurba y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , kung gayon

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Ang formula (3) ay maaari ding gamitin upang kalkulahin ang volume ng isang katawan ng rebolusyon sa kaso kapag ang hangganan ng umiikot na pigura ay ibinibigay ng mga parametric equation. Sa kasong ito, kailangang gamitin ang pagbabago ng variable sa ilalim ng tiyak na integral sign.

Sa ilang mga kaso, ito ay nagiging maginhawa upang mabulok ang mga katawan ng rebolusyon hindi sa mga tuwid na pabilog na silindro, ngunit sa mga pigura ng ibang uri.

Halimbawa, hanapin natin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curvilinear trapezoid sa paligid ng y-axis. Una, hanapin natin ang volume na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parihaba na may taas na y#, sa base kung saan matatagpuan ang segment . Ang volume na ito ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga volume ng dalawang tuwid na pabilog na silindro

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Ngunit ngayon ay malinaw na ang nais na dami ay tinatantya mula sa itaas at ibaba tulad ng sumusunod:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Mula dito madali itong sumunod formula para sa dami ng katawan ng rebolusyon sa paligid ng y-axis:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Halimbawa 4 Hanapin ang volume ng bola na may radius R.

Desisyon. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, isasaalang-alang namin ang isang bilog ng radius R na nakasentro sa pinanggalingan. Ang bilog na ito, na umiikot sa axis na Ox, ay bumubuo ng bola. Ang equation ng bilog ay x^2+y^2=R^2 , kaya y^2=R^2-x^2 . Dahil sa mahusay na proporsyon ng bilog tungkol sa y-axis, una nating mahanap ang kalahati ng nais na dami

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\kaliwa(R^3- \frac(R^3)(3)\kanan)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Samakatuwid, ang dami ng buong globo ay \frac(4)(3)\pi R^3.

Halimbawa 5 Kalkulahin ang volume ng isang kono na ang taas ay h at ang radius ng base ay r.

Desisyon. Pinipili namin ang isang sistema ng coordinate upang ang axis ng Ox ay tumutugma sa taas h (Larawan 47), at kinukuha namin ang tuktok ng kono bilang pinagmulan. Pagkatapos ang equation ng linyang OA ay maaaring isulat bilang y=\frac(r)(h)\,x .

Gamit ang formula (3), nakukuha natin ang:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \kaliwa.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\kanan|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Halimbawa 6 Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng astroid \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Larawan 48).

Desisyon. Bumuo tayo ng astroid. Isaalang-alang ang kalahati ng itaas na bahagi ng astroid, na matatagpuan sa simetriko tungkol sa y-axis. Gamit ang formula (3) at pagpapalit ng variable sa ilalim ng definite integral sign, makikita natin ang mga limitasyon ng integration para sa bagong variable t.

Kung x=a\cos^3t=0 , kung gayon t=\frac(\pi)(2) , at kung x=a\cos^3t=a , kung gayon t=0 . Given na y^2=a^2\sin^6t at dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, nakukuha natin:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Ang dami ng buong katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng astroid ay magiging \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Halimbawa 7 Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng y-axis ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng abscissa axis at ang unang arko ng cycloid \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Desisyon. Gumagamit kami ng formula (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, at palitan ang variable sa ilalim ng integral sign, na isinasaalang-alang na ang unang arc ng cycloid ay nabuo kapag ang variable t ay nagbabago mula 0 hanggang 2\pi . kaya,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\kanan|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\kaliwa(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\kanan)= 6\pi^3a^3. \end(nakahanay)

Ang Javascript ay hindi pinagana sa iyong browser.
Dapat na pinagana ang mga kontrol ng ActiveX upang makagawa ng mga kalkulasyon!

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon gamit ang isang tiyak na integral?

Bukod sa paghahanap ng lugar ng isang patag na pigura gamit ang isang tiyak na integral ang pinakamahalagang aplikasyon ng tema ay pagkalkula ng dami ng isang katawan ng rebolusyon. Ang materyal ay simple, ngunit ang mambabasa ay dapat maging handa: ito ay kinakailangan upang malutas mga integral na hindi tiyak katamtamang kumplikado at ilapat ang Newton-Leibniz formula sa tiyak na integral . Tulad ng problema sa paghahanap ng lugar, kailangan mo ng kumpiyansa na mga kasanayan sa pagguhit - ito ay halos ang pinakamahalagang bagay (dahil ang mga integral mismo ay madalas na madali). Maaari mong makabisado ang karampatang at mabilis na pamamaraan ng pag-plot ng mga graph sa tulong ng metodolohikal na materyal . Ngunit, sa katunayan, paulit-ulit kong binanggit ang kahalagahan ng mga guhit sa aralin. .

Sa pangkalahatan, mayroong maraming mga kagiliw-giliw na aplikasyon sa integral calculus; gamit ang isang tiyak na integral, maaari mong kalkulahin ang lugar ng isang figure, ang dami ng isang katawan ng rebolusyon, ang haba ng isang arko, ang ibabaw na lugar ng katawan, at marami pang iba. Kaya ito ay magiging masaya, mangyaring maging maasahin sa mabuti!

Isipin ang ilang flat figure sa coordinate plane. Kinakatawan? ... I wonder kung sino ang nagpresenta ng ano ... =))) Nakahanap na kami ng area nito. Ngunit, bilang karagdagan, ang figure na ito ay maaari ding paikutin, at paikutin sa dalawang paraan:

– sa paligid ng x-axis; - sa paligid ng y-axis.

Sa artikulong ito, tatalakayin ang parehong mga kaso. Ang pangalawang paraan ng pag-ikot ay lalong kawili-wili, nagiging sanhi ito ng pinakamalaking paghihirap, ngunit sa katunayan ang solusyon ay halos kapareho ng sa mas karaniwang pag-ikot sa paligid ng x-axis. Bilang bonus, babalik ako sa ang problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura , at sasabihin sa iyo kung paano hanapin ang lugar sa pangalawang paraan - kasama ang axis. Hindi kahit gaanong bonus dahil ang materyal ay akma nang maayos sa tema.

Magsimula tayo sa pinakasikat na uri ng pag-ikot.

Halimbawa 1

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang pigura na nililimitahan ng mga linya sa paligid ng isang axis.

Desisyon: Tulad ng problema sa paghahanap ng lugar, ang solusyon ay nagsisimula sa isang pagguhit ng isang patag na pigura. Iyon ay, sa isang eroplano kinakailangan na bumuo ng isang figure na nakatali sa mga linya, habang hindi nakakalimutan na ang equation ay nagtatakda ng axis. Kung paano gumawa ng isang drawing na mas makatwiran at mas mabilis ay makikita sa mga pahina Mga Graph at Properties ng Elementary Function at Tiyak na integral. Paano makalkula ang lugar ng isang figure . Isa itong paalala ng Tsino at hindi ako titigil sa puntong ito.

Ang pagguhit dito ay medyo simple:

Ang nais na flat figure ay may kulay sa asul, ito ay siya na umiikot sa paligid ng axis. Bilang resulta ng pag-ikot, ang bahagyang hugis-itlog na flying saucer ay nakuha, na simetriko sa axis. Sa katunayan, ang katawan ay may isang mathematical na pangalan, ngunit ito ay masyadong tamad na tumingin sa isang bagay sa reference na libro, kaya kami ay nagpapatuloy.

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon?

Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pormula:

Sa formula, dapat mayroong isang numero bago ang integral. Nagkataon lang - lahat ng umiikot sa buhay ay konektado sa pare-parehong ito.

Paano itakda ang mga limitasyon ng pagsasama "a" at "maging", sa palagay ko, ay madaling hulaan mula sa nakumpletong pagguhit.

Function... ano ang function na ito? Tingnan natin ang pagguhit. Ang flat figure ay nililimitahan ng parabolic graph sa itaas. Ito ang function na ipinahiwatig sa formula.

Sa mga praktikal na gawain, ang isang flat figure ay minsan ay matatagpuan sa ibaba ng axis. Hindi ito nagbabago ng anuman - ang function sa formula ay squared:, kaya ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay palaging hindi negatibo, na medyo lohikal.

Kalkulahin ang dami ng katawan ng rebolusyon gamit ang formula na ito:

Tulad ng nabanggit ko na, ang integral ay halos palaging nagiging simple, ang pangunahing bagay ay maging maingat.

Sagot:

Sa sagot, kinakailangan upang ipahiwatig ang sukat - mga yunit ng kubiko. Iyon ay, sa aming katawan ng pag-ikot mayroong humigit-kumulang 3.35 "cubes". Bakit eksaktong kubiko mga yunit? Dahil ang pinaka-unibersal na pagbabalangkas. Maaaring may mga cubic centimeters, maaaring may cubic meters, maaaring may cubic kilometers, atbp., Ganyan karaming maliliit na berdeng lalaki ang kasya sa iyong imahinasyon sa isang flying saucer.

Halimbawa 2

Hanapin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng figure na nalilimitahan ng mga linya,,

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Isaalang-alang natin ang dalawang mas kumplikadong mga problema, na madalas ding nakatagpo sa pagsasanay.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng figure na nakatali ng mga linya ,, at

Desisyon: Ilarawan natin ang isang patag na pigura sa pagguhit, na may hangganan ng mga linya ,,,, habang hindi nakakalimutan na ang equation ay nagtatakda ng axis:

Ang nais na pigura ay may kulay na asul. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng axis, ang naturang surreal donut na may apat na sulok ay nakuha.

Ang dami ng katawan ng rebolusyon ay kinakalkula bilang pagkakaiba sa dami ng katawan.

Una, tingnan natin ang pigura na nakabilog sa pula. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng axis, ang isang pinutol na kono ay nakuha. Tukuyin ang dami nitong pinutol na kono sa pamamagitan ng.

Isaalang-alang ang pigura na nakabilog sa berde. Kung paikutin mo ang figure na ito sa paligid ng axis, makakakuha ka rin ng pinutol na kono, mas maliit lang ng kaunti. Tukuyin natin ang dami nito sa pamamagitan ng .

At, malinaw naman, ang pagkakaiba sa mga volume ay eksaktong dami ng aming "donut".

Ginagamit namin ang karaniwang formula para sa paghahanap ng dami ng isang katawan ng rebolusyon:

1) Ang pigura na nakabilog sa pula ay nililimitahan mula sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

2) Ang pigurang nakabilog sa berde ay nakatali mula sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

3) Ang dami ng gustong katawan ng rebolusyon:

Sagot:

Nakakapagtataka na sa kasong ito ang solusyon ay maaaring masuri gamit ang formula ng paaralan para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na kono.

Ang desisyon mismo ay kadalasang ginagawang mas maikli, tulad nito:

Ngayon, magpahinga tayo at pag-usapan ang tungkol sa mga geometric na ilusyon.

Ang mga tao ay madalas na may mga ilusyon na nauugnay sa mga volume, na napansin ni Perelman (hindi pareho) sa aklat Kawili-wiling geometry. Tingnan ang flat figure sa nalutas na problema - ito ay tila maliit sa lugar, at ang volume ng katawan ng rebolusyon ay higit lamang sa 50 cubic units, na tila masyadong malaki. Sa pamamagitan ng paraan, ang karaniwang tao sa kanyang buong buhay ay umiinom ng isang likido na may dami ng isang silid na may sukat na 18 metro kuwadrado, na, sa kabaligtaran, ay tila napakaliit.

Sa pangkalahatan, ang sistema ng edukasyon sa USSR ay talagang ang pinakamahusay. Ang parehong libro ni Perelman, na isinulat niya noong 1950, ay nabuo nang napakahusay, gaya ng sinabi ng humorist, na nangangatuwiran at nagtuturo sa iyo na maghanap ng mga orihinal na hindi karaniwang solusyon sa mga problema. Kamakailan ay binasa kong muli ang ilang mga kabanata na may malaking interes, inirerekumenda ko ito, naa-access ito kahit para sa mga humanitarian. Hindi, hindi mo kailangang ngumiti na nagmungkahi ako ng isang mahusay na libangan, karunungan at malawak na pananaw sa komunikasyon ay isang magandang bagay.

Pagkatapos digression angkop lamang upang malutas ang isang malikhaing gawain:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot tungkol sa axis ng isang plane figure na nakatali ng mga linya,, kung saan.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Pakitandaan na lahat ng bagay ay nangyayari sa banda, sa madaling salita, halos handa na ang mga limitasyon sa pagsasama ay ibinibigay. Subukan din na iguhit nang tama ang mga graph. trigonometriko function, kung ang argumento ay nahahati sa dalawa:, ang mga graph ay nakaunat sa kahabaan ng axis nang dalawang beses. Subukang maghanap ng hindi bababa sa 3-4 na puntos ayon sa trigonometric tables at gawing mas tumpak ang pagguhit. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ang gawain ay maaaring malutas nang makatwiran at hindi masyadong makatwiran.

Pagkalkula ng volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang flat figure sa paligid ng isang axis

Ang pangalawang talata ay magiging mas kawili-wili kaysa sa una. Ang gawain ng pagkalkula ng dami ng isang katawan ng rebolusyon sa paligid ng y-axis ay medyo madalas na panauhin sa mga test paper. Sa pagpasa ay isasaalang-alang problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura ang pangalawang paraan - pagsasama sa kahabaan ng axis, ito ay magbibigay-daan sa iyo hindi lamang upang mapabuti ang iyong mga kasanayan, ngunit din magturo sa iyo kung paano hanapin ang pinaka kumikitang solusyon. Mayroon din itong praktikal na kahulugan! Habang nakangiti ang aking guro sa mga pamamaraan sa pagtuturo ng matematika, maraming nagtapos ang nagpasalamat sa kanya sa mga salitang: "Nakatulong nang malaki sa amin ang iyong paksa, ngayon ay epektibo na kaming mga tagapamahala at pinamamahalaan namin ang aming mga kawani nang mahusay." Sa pagkakataong ito, nagpapasalamat din ako sa kanya, lalo na't ginagamit ko ang nakuhang kaalaman para sa layunin nito =).

Halimbawa 5

Given a flat figure bounded by lines ,,.

1) Hanapin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linyang ito. 2) Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nililimitahan ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Pansin! Kahit na gusto mo lang basahin ang pangalawang talata, una kinakailangan basahin mo yung una!

Desisyon: Ang gawain ay binubuo ng dalawang bahagi. Magsimula tayo sa parisukat.

1) Isagawa natin ang pagguhit:

Madaling makita na ang function ay tumutukoy sa itaas na sangay ng parabola, at ang function ay tumutukoy sa mas mababang sangay ng parabola. Sa harap natin ay isang maliit na parabola, na "namamalagi sa gilid nito."

Ang nais na pigura, ang lugar kung saan matatagpuan, ay may kulay na asul.

Paano mahahanap ang lugar ng isang figure? Ito ay matatagpuan sa "karaniwan" na paraan, na isinasaalang-alang sa aralin. Tiyak na integral. Paano makalkula ang lugar ng isang figure . Bukod dito, ang lugar ng figure ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga lugar: - sa segment ; - sa segment.

Kaya:

Ano ang mali sa karaniwang solusyon sa kasong ito? Una, mayroong dalawang integral. Pangalawa, ang mga ugat sa ilalim ng mga integral, at ang mga ugat sa mga integral ay hindi isang regalo, bukod dito, ang isa ay maaaring malito sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama. Sa katunayan, ang mga integral, siyempre, ay hindi nakamamatay, ngunit sa pagsasanay ang lahat ay mas malungkot, kinuha ko lang ang "mas mahusay" na mga function para sa gawain.

Mayroong mas makatwirang solusyon: ito ay binubuo sa paglipat sa kabaligtaran na mga pag-andar at pagsasama sa kahabaan ng axis.

Paano pumasa sa mga inverse function? Sa halos pagsasalita, kailangan mong ipahayag ang "x" sa pamamagitan ng "y". Una, harapin natin ang parabola:

Ito ay sapat na, ngunit tiyakin natin na ang parehong function ay maaaring makuha mula sa ilalim na sangay:

Sa isang tuwid na linya, ang lahat ay mas madali:

Ngayon tingnan ang axis : mangyaring pana-panahong ikiling ang iyong ulo sa kanan 90 degrees habang nagpapaliwanag (ito ay hindi isang biro!). Ang figure na kailangan namin ay namamalagi sa segment, na ipinahiwatig ng pulang tuldok na linya. Kasabay nito, sa segment, ang tuwid na linya ay matatagpuan sa itaas ng parabola, na nangangahulugan na ang lugar ng figure ay dapat matagpuan gamit ang formula na pamilyar sa iyo: . Ano ang nagbago sa formula? Isang sulat lang, at wala nang iba pa.

! Tandaan: Ang mga limitasyon ng pagsasama sa kahabaan ng axis ay dapat itakdamahigpit mula sa ibaba hanggang sa itaas !

Paghahanap ng lugar:

Sa segment , samakatuwid:

Bigyang-pansin kung paano ko isinagawa ang pagsasama, ito ang pinaka-makatuwirang paraan, at sa susunod na talata ng takdang-aralin ay magiging malinaw kung bakit.

Para sa mga mambabasa na nagdududa sa kawastuhan ng pagsasama, hahanap ako ng mga derivatives:

Ang orihinal na integrand ay nakuha, na nangangahulugan na ang pagsasama ay ginanap nang tama.

Sagot:

2) Kalkulahin ang dami ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na ito sa paligid ng axis.

Ire-redraw ko ang drawing sa isang bahagyang naiibang disenyo:

Kaya, ang figure na may kulay na asul ay umiikot sa paligid ng axis. Ang resulta ay isang "hovering butterfly" na umiikot sa paligid ng axis nito.

Upang mahanap ang dami ng katawan ng rebolusyon, isasama natin ang axis. Una kailangan nating lumipat sa mga inverse function. Ito ay nagawa na at inilarawan nang detalyado sa nakaraang talata.

Ngayon ay ikiling namin ang aming ulo sa kanan muli at pag-aralan ang aming figure. Malinaw, ang dami ng katawan ng rebolusyon ay dapat makita bilang pagkakaiba sa pagitan ng mga volume.

Pinaikot namin ang figure na bilog sa pula sa paligid ng axis, na nagreresulta sa isang pinutol na kono. Tukuyin natin ang volume na ito sa pamamagitan ng .

Pinaikot namin ang figure na bilog sa berde sa paligid ng axis at itinalaga sa pamamagitan ng dami ng nagresultang katawan ng pag-ikot.

Ang dami ng ating butterfly ay katumbas ng pagkakaiba ng volume.

Ginagamit namin ang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng rebolusyon:

Paano ito naiiba sa pormula ng nakaraang talata? Sa mga titik lamang.

At narito ang bentahe ng pagsasama na aking pinag-uusapan kanina, ito ay mas madaling mahanap kaysa sa paunang itaas ang integrand sa ika-4 na kapangyarihan.

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon
gamit ang isang tiyak na integral?

Sa pangkalahatan, mayroong maraming mga kagiliw-giliw na aplikasyon sa integral calculus, sa tulong ng isang tiyak na integral, maaari mong kalkulahin ang lugar ng isang figure, ang dami ng isang katawan ng rebolusyon, ang haba ng isang arko, ang surface area ng brotation at marami pa. Kaya ito ay magiging masaya, mangyaring maging maasahin sa mabuti!

- sa paligid ng x-axis;
- sa paligid ng y-axis.

Sa artikulong ito, tatalakayin ang parehong mga kaso. Ang pangalawang paraan ng pag-ikot ay lalong kawili-wili, nagiging sanhi ito ng pinakamalaking paghihirap, ngunit sa katunayan ang solusyon ay halos kapareho ng sa mas karaniwang pag-ikot sa paligid ng x-axis. Bilang bonus, babalik ako sa ang problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura, at sasabihin sa iyo kung paano hanapin ang lugar sa pangalawang paraan - kasama ang axis. Hindi kahit gaanong bonus dahil ang materyal ay akma nang maayos sa tema.

Magsimula tayo sa pinakasikat na uri ng pag-ikot.

flat figure sa paligid ng isang axis

Kalkulahin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na nalilimitahan ng mga linya sa paligid ng axis.

Desisyon: Tulad ng problema sa lugar, ang solusyon ay nagsisimula sa isang pagguhit ng isang patag na pigura. Iyon ay, sa eroplano ito ay kinakailangan upang bumuo ng isang figure bounded sa pamamagitan ng mga linya , , habang hindi nalilimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis . Kung paano gumawa ng isang drawing na mas makatwiran at mas mabilis ay makikita sa mga pahina Mga Graph at Properties ng Elementary Function at . Ito ay isang Chinese na paalala, at sa susunod sa sandaling ito Hindi na ako huminto.

Ang pagguhit dito ay medyo simple:

Ang nais na flat figure ay may kulay na asul, at ito ang umiikot sa paligid ng axis. Bilang resulta ng pag-ikot, ang tulad ng isang bahagyang hugis-itlog na flying saucer ay nakuha, na simetriko tungkol sa axis. Sa katunayan, ang katawan ay may isang mathematical na pangalan, ngunit ito ay masyadong tamad upang tukuyin ang isang bagay sa reference na libro, kaya kami ay nagpapatuloy.

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon?

Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin ng formula:

Sa formula, dapat mayroong isang numero bago ang integral. Nangyari ito - lahat ng umiikot sa buhay ay konektado sa pare-parehong ito.

Paano itakda ang mga limitasyon ng pagsasama "a" at "maging", sa palagay ko, ay madaling hulaan mula sa nakumpletong pagguhit.

Function... ano ang function na ito? Tingnan natin ang pagguhit. Ang flat figure ay nililimitahan ng parabola graph mula sa itaas. Ito ang function na ipinahiwatig sa formula.

Sa mga praktikal na gawain, ang isang flat figure ay minsan ay matatagpuan sa ibaba ng axis. Hindi ito nagbabago ng anuman - ang integrand sa formula ay squared: , kaya ang integral ay palaging hindi negatibo, na medyo lohikal.

Kalkulahin ang dami ng katawan ng rebolusyon gamit ang formula na ito:

Tulad ng nabanggit ko na, ang integral ay halos palaging nagiging simple, ang pangunahing bagay ay maging maingat.

Sagot:

Sa sagot, kinakailangan upang ipahiwatig ang sukat - mga yunit ng kubiko. Iyon ay, sa aming katawan ng pag-ikot mayroong humigit-kumulang 3.35 "cubes". Bakit eksaktong kubiko mga yunit? Dahil ang pinaka-unibersal na pagbabalangkas. Maaaring may mga cubic centimeters, maaaring may cubic meters, maaaring may cubic kilometers, atbp., Ganyan karaming maliliit na berdeng lalaki ang kasya sa iyong imahinasyon sa isang flying saucer.

Hanapin ang volume ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng figure na nakatali ng mga linya , ,

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Isaalang-alang natin ang dalawang mas kumplikadong mga problema, na madalas ding nakatagpo sa pagsasanay.

Kalkulahin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng figure na nakatali ng mga linya , , at

Desisyon: Gumuhit ng flat figure sa drawing, bounded by lines , , , , habang hindi nakakalimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis:

Ang nais na pigura ay may kulay na asul. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng axis, ang naturang surreal donut na may apat na sulok ay nakuha.

Ang dami ng katawan ng rebolusyon ay kinakalkula bilang pagkakaiba sa dami ng katawan.

Una, tingnan natin ang pigura na nakabilog sa pula. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng axis, ang isang pinutol na kono ay nakuha. Tukuyin natin ang dami nitong pinutol na kono bilang .

At, malinaw naman, ang pagkakaiba sa mga volume ay eksaktong dami ng aming "donut".

Ginagamit namin ang karaniwang formula para sa paghahanap ng dami ng isang katawan ng rebolusyon:

1) Ang pigura na nakabilog sa pula ay nililimitahan mula sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

2) Ang pigurang nakabilog sa berde ay nakatali mula sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

3) Ang dami ng gustong katawan ng rebolusyon:

Sagot:

Nakakapagtataka na sa kasong ito ang solusyon ay maaaring masuri gamit ang formula ng paaralan para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na kono.

Ang desisyon mismo ay kadalasang ginagawang mas maikli, tulad nito:

Ngayon, magpahinga tayo at pag-usapan ang tungkol sa mga geometric na ilusyon.

Ang mga tao ay madalas na may mga ilusyon na nauugnay sa mga volume, na napansin ni Perelman (isa pa) sa aklat Kawili-wiling geometry. Tingnan ang flat figure sa nalutas na problema - ito ay tila maliit sa lugar, at ang volume ng katawan ng rebolusyon ay higit lamang sa 50 cubic units, na tila masyadong malaki. Sa pamamagitan ng paraan, ang karaniwang tao sa kanyang buong buhay ay umiinom ng isang likido na may dami ng isang silid na 18 metro kuwadrado, na, sa kabaligtaran, ay tila napakaliit na dami.

Pagkatapos ng lyrical digression, nararapat lamang na lutasin ang isang malikhaing gawain:

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot tungkol sa axis ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linya , , kung saan .

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Pakitandaan na lahat ng bagay ay nangyayari sa banda , sa madaling salita, ang mga nakahanda na limitasyon sa pagsasama ay talagang ibinibigay. Tamang gumuhit ng mga graph ng trigonometriko function, ipapaalala ko sa iyo ang materyal ng aralin tungkol sa geometric na pagbabagong-anyo ng mga graph: kung ang argumento ay nahahati sa dalawa: , pagkatapos ay ang mga graph ay nakaunat sa kahabaan ng axis ng dalawang beses. Ito ay kanais-nais na makahanap ng hindi bababa sa 3-4 na puntos ayon sa trigonometric tables upang mas tumpak na makumpleto ang pagguhit. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ang gawain ay maaaring malutas nang makatwiran at hindi masyadong makatwiran.

Pagkalkula ng dami ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot
flat figure sa paligid ng isang axis

Ang pangalawang talata ay magiging mas kawili-wili kaysa sa una. Ang gawain ng pagkalkula ng volume ng isang katawan ng rebolusyon sa paligid ng y-axis ay medyo madalas ding panauhin sa kontrol sa trabaho. Sa pagpasa ay isasaalang-alang problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura ang pangalawang paraan - sa pamamagitan ng pagsasama sa kahabaan ng axis, ito ay magbibigay-daan sa iyo hindi lamang upang mapabuti ang iyong mga kasanayan, ngunit din magturo sa iyo kung paano hanapin ang pinaka kumikitang solusyon. Mayroon din itong praktikal na kahulugan! Habang nakangiti ang aking guro sa mga pamamaraan sa pagtuturo ng matematika, maraming nagtapos ang nagpasalamat sa kanya sa mga salitang: "Nakatulong nang malaki sa amin ang iyong paksa, ngayon ay epektibo na kaming mga tagapamahala at pinamamahalaan namin ang aming mga kawani nang mahusay." Sa pagkakataong ito, nagpapasalamat din ako sa kanya, lalo na't ginagamit ko ang nakuhang kaalaman para sa layunin nito =).

Inirerekomenda ko ito para sa lahat na basahin, kahit na kumpletong mga dummies. Bukod dito, ang assimilated na materyal ng ikalawang talata ay magiging napakahalagang tulong sa pagkalkula ng dobleng integral..

Binigyan ng flat figure nililimitahan ng mga linya , , .

1) Hanapin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linyang ito.
2) Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nililimitahan ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Pansin! Kahit na gusto mo lang basahin ang pangalawang talata, siguraduhing basahin muna ang una!

Desisyon: Ang gawain ay binubuo ng dalawang bahagi. Magsimula tayo sa parisukat.

1) Isagawa natin ang pagguhit:

Ang nais na pigura, ang lugar kung saan matatagpuan, ay may kulay na asul.

Paano mahahanap ang lugar ng isang figure? Ito ay matatagpuan sa "karaniwan" na paraan, na isinasaalang-alang sa aralin. Tiyak na integral. Paano makalkula ang lugar ng isang figure. Bukod dito, ang lugar ng figure ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga lugar:
- sa segment ;
- sa segment.

Kaya:

Mayroong mas makatwirang solusyon: binubuo ito sa paglipat sa mga kabaligtaran na pag-andar at pagsasama sa kahabaan ng axis.

Paano pumasa sa mga inverse function? Sa halos pagsasalita, kailangan mong ipahayag ang "x" sa pamamagitan ng "y". Una, harapin natin ang parabola:

Ito ay sapat na, ngunit tiyakin natin na ang parehong function ay maaaring makuha mula sa ilalim na sangay:

Sa isang tuwid na linya, ang lahat ay mas madali:

! Tandaan: Dapat itakda ang mga limitasyon sa pagsasama sa kahabaan ng axis mahigpit mula sa ibaba hanggang sa itaas!

Paghahanap ng lugar:

Sa segment , samakatuwid:

Bigyang-pansin kung paano ko isinagawa ang pagsasama, ito ang pinaka-makatuwirang paraan, at sa susunod na talata ng takdang-aralin ay magiging malinaw kung bakit.

Para sa mga mambabasa na nagdududa sa kawastuhan ng pagsasama, hahanap ako ng mga derivatives:

Ang orihinal na integrand ay nakuha, na nangangahulugan na ang pagsasama ay ginanap nang tama.

Sagot:

2) Kalkulahin ang dami ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na ito sa paligid ng axis.

Ire-redraw ko ang drawing sa isang bahagyang naiibang disenyo:

Kaya, ang figure na may kulay na asul ay umiikot sa paligid ng axis. Ang resulta ay isang "hovering butterfly" na umiikot sa paligid ng axis nito.

Upang mahanap ang dami ng katawan ng rebolusyon, isasama natin ang axis. Una kailangan nating lumipat sa mga inverse function. Ito ay nagawa na at inilarawan nang detalyado sa nakaraang talata.

Ngayon ay ikiling namin ang aming ulo sa kanan muli at pag-aralan ang aming figure. Malinaw, ang dami ng katawan ng rebolusyon ay dapat makita bilang pagkakaiba sa pagitan ng mga volume.

Pinaikot namin ang figure na bilog sa pula sa paligid ng axis, na nagreresulta sa isang pinutol na kono. Tukuyin natin ang volume na ito sa pamamagitan ng .

Pinaikot namin ang pigura, na bilog sa berde, sa paligid ng axis at ipahiwatig ito sa pamamagitan ng dami ng nagresultang katawan ng rebolusyon.

Ang dami ng ating butterfly ay katumbas ng pagkakaiba ng volume.

Ginagamit namin ang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng rebolusyon:

Paano ito naiiba sa pormula ng nakaraang talata? Sa mga titik lamang.

At narito ang bentahe ng pagsasama na aking pinag-uusapan kanina, ito ay mas madaling mahanap kaysa sa paunang itaas ang integrand sa ika-4 na kapangyarihan.

Sagot:

Tandaan na kung ang parehong flat figure ay pinaikot sa paligid ng axis, pagkatapos ay isang ganap na naiibang katawan ng rebolusyon ay lalabas, ng isang naiiba, natural, dami.

Ibinigay ang isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya, at isang axis.

1) Pumunta sa mga inverse function at hanapin ang lugar ng isang flat figure na bounded ng mga linyang ito sa pamamagitan ng pagsasama sa variable .
2) Kalkulahin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ang mga nagnanais ay maaari ring mahanap ang lugar ng figure sa "karaniwan" na paraan, sa gayon ay nakumpleto ang pagsubok ng talata 1). Ngunit kung, ulitin ko, paikutin mo ang isang flat figure sa paligid ng axis, pagkatapos ay makakakuha ka ng isang ganap na naiibang katawan ng pag-ikot na may ibang dami, sa pamamagitan ng paraan, ang tamang sagot (para rin sa mga gustong malutas).

Ang kumpletong solusyon ng dalawang iminungkahing aytem ng gawain sa pagtatapos ng aralin.

Oh, at huwag kalimutang ikiling ang iyong ulo sa kanan upang maunawaan ang mga katawan ng pag-ikot at sa loob ng pagsasama!

Gusto ko, noon pa, na tapusin ang artikulo, ngunit ngayon dinala nila kawili-wiling halimbawa para lamang mahanap ang volume ng isang katawan ng rebolusyon sa paligid ng y-axis. sariwa:

Kalkulahin ang volume ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng figure na nakatali ng mga kurba at .

Desisyon: Gumawa tayo ng drawing:

Sa daan, nakikilala natin ang mga graph ng ilang iba pang mga function. Ang ganitong kawili-wiling graph ng isang pantay na function ....

Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng x-axis online. Dami ng katawan ng rebolusyon

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon gamit ang isang tiyak na integral?

flat figure sa paligid ng isang axis

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon?

Pagkalkula ng dami ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikotflat figure sa paligid ng isang axis

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon
gamit ang isang tiyak na integral?

Pagkalkula ng dami ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot
flat figure sa paligid ng isang axis