Pagkalkula ng volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng isang axis. Integral sa pagkilos

Paggamit ng mga integral upang mahanap ang mga volume ng katawan ng rebolusyon

Ang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang ng matematika ay dahil sa ang katunayan na walang

Ang partikular na kaalaman sa matematika ay nagpapahirap na maunawaan ang mga prinsipyo ng aparato at ang paggamit ng modernong teknolohiya. Ang bawat tao sa kanyang buhay ay kailangang magsagawa ng medyo kumplikadong mga kalkulasyon, gumamit ng karaniwang ginagamit na kagamitan, maghanap sa mga sangguniang libro, gumamit ng mga kinakailangang formula, lumikha ng mga simpleng algorithm para sa paglutas ng mga problema. SA modernong lipunan parami nang parami ang mga specialty na nangangailangan mataas na lebel ang edukasyon ay nauugnay sa direktang aplikasyon ng matematika. Kaya, ang matematika ay nagiging isang propesyonal na makabuluhang paksa para sa isang mag-aaral. Ang nangungunang papel ay nabibilang sa matematika sa pagbuo ng algorithmic na pag-iisip; ito ay bubuo ng kakayahang kumilos ayon sa isang ibinigay na algorithm at upang bumuo ng mga bagong algorithm.

Habang pinag-aaralan ang paksa ng paggamit ng integral upang kalkulahin ang mga volume ng katawan ng rebolusyon, iminumungkahi ko na isaalang-alang ng mga mag-aaral sa mga elektibong klase ang paksang: "Mga volume ng katawan ng rebolusyon gamit ang mga integral." Nasa ibaba ang mga rekomendasyong pamamaraan para sa pagsasaalang-alang sa paksang ito:

1. Lugar ng isang patag na pigura.

Mula sa kursong algebra alam natin na ang konsepto tiyak na integral nagbigay ng mga praktikal na problema..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Upang mahanap ang dami ng isang katawan ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot hubog na trapezoid sa paligid ng Ox axis, na nakatali sa putol na linya y=f(x), ang Ox axis, ang mga tuwid na linya x=a at x=b, kinakalkula namin gamit ang formula

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Dami ng silindro.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Ang kono ay nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot kanang tatsulok ABC(C=90) sa paligid ng Ox axis kung saan nakahiga ang binti AC.

Ang Segment AB ay nasa tuwid na linya y=kx+c, kung saan https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Hayaan ang a=0, b=H (H ang taas ng cone), pagkatapos ay Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.Dami ng isang pinutol na kono.

Ang pinutol na kono ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parihabang trapezoid ABCD (CDOx) sa paligid ng axis ng Ox.

Ang segment AB ay nasa tuwid na linya y=kx+c, kung saan , c=r.

Dahil ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto A (0;r).

Kaya, ang tuwid na linya ay mukhang https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Hayaan ang a=0, b=H (H ay ang taas ng pinutol na kono), pagkatapos ay https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Dami ng bola.

Maaaring makuha ang bola sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog na may gitnang (0;0) sa paligid ng axis ng Ox. Ang kalahating bilog na matatagpuan sa itaas ng axis ng Ox ay ibinibigay ng equation

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

flat figure sa paligid ng isang axis

Halimbawa 3

Binigyan ng flat figure may hangganan ng mga linya , , .

1) Hanapin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linyang ito.

2) Hanapin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Pansin! Kahit na gusto mo lang basahin ang pangalawang punto, una Kailangan basahin mo yung una!

Solusyon: Ang gawain ay binubuo ng dalawang bahagi. Magsimula tayo sa parisukat.

1) Gumawa tayo ng drawing:

Madaling makita na ang function ay tumutukoy sa itaas na sangay ng parabola, at ang function ay tumutukoy sa mas mababang sangay ng parabola. Sa harap natin ay isang maliit na parabola na "nakahiga sa gilid nito."

Ang nais na pigura, ang lugar kung saan matatagpuan, ay may kulay na asul.

Paano mahahanap ang lugar ng isang figure? Ito ay matatagpuan sa "normal" na paraan. Bukod dito, ang lugar ng figure ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga lugar:

- sa segment ;

- sa segment.

kaya naman:

Mayroong mas makatwirang solusyon: binubuo ito sa paglipat sa kabaligtaran na mga pag-andar at pagsasama sa kahabaan ng axis.

Paano makarating sa mga inverse function? Sa halos pagsasalita, kailangan mong ipahayag ang "x" sa pamamagitan ng "y". Una, tingnan natin ang parabola:

Ito ay sapat na, ngunit tiyakin natin na ang parehong function ay maaaring makuha mula sa mas mababang sangay:

Ito ay mas madali sa isang tuwid na linya:

Ngayon tingnan ang axis: mangyaring pana-panahong ikiling ang iyong ulo sa kanan 90 degrees habang ipinapaliwanag mo (ito ay hindi isang biro!). Ang figure na kailangan namin ay namamalagi sa segment, na ipinahiwatig ng pulang tuldok na linya. Sa kasong ito, sa segment ang tuwid na linya ay matatagpuan sa itaas ng parabola, na nangangahulugan na ang lugar ng figure ay dapat matagpuan gamit ang formula na pamilyar sa iyo: . Ano ang nagbago sa formula? Isang sulat lang at wala nang iba pa.

! Tandaan : Mga limitasyon sa pagsasama ng axis dapat ilagaymahigpit mula sa ibaba hanggang sa itaas !

Paghahanap ng lugar:

Sa segment, samakatuwid:

Mangyaring tandaan kung paano ko isinagawa ang pagsasama, ito ang pinaka-makatuwirang paraan, at sa susunod na talata ng gawain ay magiging malinaw kung bakit.

Para sa mga mambabasa na nagdududa sa kawastuhan ng pagsasama, hahanap ako ng mga derivatives:

Ang orihinal na integrand function ay nakuha, na nangangahulugan na ang integration ay ginawa ng tama.

Sagot:

2) Kalkulahin natin ang dami ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na ito sa paligid ng axis.

Ire-redraw ko ang drawing sa isang bahagyang naiibang disenyo:

Kaya, ang figure na may kulay na asul ay umiikot sa paligid ng axis. Ang resulta ay isang "hovering butterfly" na umiikot sa paligid ng axis nito.

Upang mahanap ang dami ng isang katawan ng pag-ikot, isasama namin sa kahabaan ng axis. Una kailangan nating pumunta sa mga inverse function. Nagawa na ito at inilarawan nang detalyado sa nakaraang talata.

Ngayon ay ikiling namin ang aming ulo sa kanan muli at pag-aralan ang aming figure. Malinaw, ang dami ng isang katawan ng pag-ikot ay dapat makita bilang pagkakaiba sa mga volume.

Pinaikot namin ang figure na bilog sa pula sa paligid ng axis, na nagreresulta sa isang pinutol na kono. Ipahiwatig natin ang volume na ito sa pamamagitan ng .

I-rotate ang bilog na pigura berde, sa paligid ng axis at tinutukoy ng dami ng nagresultang katawan ng pag-ikot.

Ang dami ng ating butterfly ay katumbas ng pagkakaiba ng volume.

Ginagamit namin ang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng rebolusyon:

Ano ang pagkakaiba sa pormula sa nakaraang talata? Sa sulat lang.

Ngunit ang bentahe ng pagsasama, na kamakailan kong pinag-usapan, ay mas madaling mahanap , sa halip na itaas muna ang integrand sa ika-4 na kapangyarihan.

Sagot:

Pakitandaan na kung ang parehong flat figure ay iikot sa paligid ng axis, makakakuha ka ng ganap na naiibang katawan ng pag-ikot, na may ibang volume, natural.

Halimbawa 7

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng isang figure na nililimitahan ng mga kurba at .

Solusyon: Gumawa tayo ng drawing:

Sa daan, nakikilala natin ang mga graph ng ilang iba pang mga function. Narito ang isang kawili-wiling graph ng isang even function...

Para sa layunin ng paghahanap ng dami ng isang katawan ng rebolusyon, sapat na gamitin ang kanang kalahati ng pigura, na nilagyan ko ng kulay asul. Ang parehong mga pag-andar ay pantay, ang kanilang mga graph ay simetriko tungkol sa axis, at ang aming figure ay simetriko. Kaya naka-shade kanang bahagi, umiikot sa paligid ng axis, ay tiyak na mag-tutugma sa kaliwang bahagi na hindi pa napipisa.

Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Sa formula, ang numero ay dapat na naroroon bago ang integral. Kaya nangyari - lahat ng umiikot sa buhay ay konektado sa pare-parehong ito.

Sa palagay ko madaling hulaan kung paano itakda ang mga limitasyon ng pagsasama ng "a" at "maging" mula sa natapos na pagguhit.

Function... ano ang function na ito? Tingnan natin ang pagguhit. Ang flat figure ay nililimitahan ng parabola graph sa itaas. Ito ang function na ipinahiwatig sa formula.

SA mga praktikal na gawain ang isang flat figure ay maaaring minsan ay matatagpuan sa ibaba ng axis. Hindi nito binabago ang anuman - ang integrand sa formula ay squared: kaya ang integral ay palaging hindi negatibo , na napaka-lohikal.

Kalkulahin natin ang dami ng isang katawan ng pag-ikot gamit ang formula na ito:

Tulad ng nabanggit ko na, ang integral ay halos palaging nagiging simple, ang pangunahing bagay ay maging maingat.

Sagot:

Sa iyong sagot, dapat mong ipahiwatig ang dimensyon - cubic units. Iyon ay, sa aming katawan ng pag-ikot mayroong humigit-kumulang 3.35 "cubes". Bakit cubic mga yunit? Dahil ang pinaka-unibersal na pagbabalangkas. Maaaring may cubic centimeters, maaaring may cubic meters, maaaring may cubic kilometers, atbp., Ganyan karaming berdeng lalaki ang mailalagay ng iyong imahinasyon sa isang flying saucer.

Halimbawa 2

Hanapin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng isang figure na nalilimitahan ng mga linya,

Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon. Kumpletong solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Isaalang-alang natin ang dalawang mas kumplikadong mga problema, na madalas ding nakatagpo sa pagsasanay.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng figure na nakatali ng mga linya ,, at

Solusyon: Ilarawan natin sa pagguhit ang isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya ,,,, nang hindi nalilimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis:

Ang nais na pigura ay may kulay na asul. Kapag umikot ito sa axis nito, ito ay nagiging surreal donut na may apat na sulok.

Kalkulahin natin ang dami ng katawan ng pag-ikot bilang pagkakaiba sa dami ng mga katawan.

Una, tingnan natin ang pigurang nakabilog sa pula. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng isang axis, isang pinutol na kono ay nakuha. Tukuyin natin ang dami nitong pinutol na kono sa pamamagitan ng.

Isaalang-alang ang pigura na nakabilog sa berde. Kung paikutin mo ang pigurang ito sa paligid ng axis, makakakuha ka rin ng pinutol na kono, mas maliit lang ng kaunti. Tukuyin natin ang dami nito sa pamamagitan ng.

At, malinaw naman, ang pagkakaiba sa mga volume ay eksaktong dami ng aming "donut".

Ginagamit namin ang karaniwang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng rebolusyon:

1) Ang figure na bilog sa pula ay nakatali sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

2) Ang pigura na nakabilog sa berde ay nakatali sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

3) Dami ng gustong katawan ng rebolusyon:

Sagot:

Nakakapagtataka na sa kasong ito ang solusyon ay maaaring masuri gamit ang formula ng paaralan para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na kono.

Ang desisyon mismo ay madalas na isinulat nang mas maikli, tulad nito:

Ngayon, magpahinga tayo ng kaunti at sabihin sa iyo ang tungkol sa mga geometric na ilusyon.

Ang mga tao ay madalas na may mga ilusyon na nauugnay sa mga volume, na napansin ni Perelman (isa pa) sa aklat Nakakaaliw na geometry. Tingnan ang flat figure sa nalutas na problema - ito ay tila maliit sa lugar, at ang volume ng katawan ng rebolusyon ay higit lamang sa 50 cubic units, na tila masyadong malaki. Sa pamamagitan ng paraan, ang karaniwang tao ay umiinom ng katumbas ng isang silid na may lawak na 18 sa buong buhay niya. metro kuwadrado, na, sa kabaligtaran, ay tila napakaliit ng volume.

Sa pangkalahatan, ang sistema ng edukasyon sa USSR ay talagang ang pinakamahusay. Ang parehong libro ni Perelman, na inilathala noong 1950, ay napakahusay na umuunlad, tulad ng sinabi ng humorist, na nag-iisip at nagtuturo sa iyo na maghanap ng orihinal, hindi karaniwang mga solusyon sa mga problema. Binasa ko kamakailan ang ilan sa mga kabanata na may malaking interes, inirerekomenda ko ito, naa-access ito kahit para sa mga humanista. Hindi, hindi mo kailangang ngumiti na nag-alok ako ng libreng oras, ang kaalaman at malawak na abot-tanaw sa komunikasyon ay isang magandang bagay.

Pagkatapos lyrical digression Angkop lang na lutasin ang isang malikhaing gawain:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot tungkol sa axis ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya,, kung saan.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Pakitandaan na ang lahat ng mga kaso ay nangyayari sa banda, sa madaling salita, ang mga handa na limitasyon ng pagsasama ay talagang ibinibigay. Iguhit nang tama ang mga graph ng trigonometriko function, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang materyal ng aralin tungkol sa geometric na pagbabagong-anyo ng mga graph : kung ang argumento ay nahahati sa dalawa: , pagkatapos ay ang mga graph ay nakaunat sa kahabaan ng axis ng dalawang beses. Maipapayo na makahanap ng hindi bababa sa 3-4 na puntos ayon sa trigonometric tables upang makumpleto ang pagguhit nang mas tumpak. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ang gawain ay maaaring malutas nang makatwiran at hindi masyadong makatwiran.

Tulad ng problema sa paghahanap ng lugar, kailangan mo ng kumpiyansa na mga kasanayan sa pagguhit - ito ay halos ang pinakamahalagang bagay (dahil ang mga integral mismo ay madalas na madali). Maaari mong makabisado ang mga karampatang at mabilis na diskarte sa pag-chart gamit gamit pangturo at Geometric Transformations ng mga Graph. Ngunit, sa katunayan, napag-usapan ko na ang tungkol sa kahalagahan ng pagguhit ng ilang beses sa klase.

Sa pangkalahatan, mayroong maraming mga kagiliw-giliw na aplikasyon sa integral calculus; gamit ang isang tiyak na integral, maaari mong kalkulahin ang lugar ng isang figure, ang dami ng isang katawan ng pag-ikot, haba ng arko, ibabaw na lugar ng pag-ikot, at marami. higit pa. Kaya ito ay magiging masaya, mangyaring manatiling optimistiko!

Isipin ang ilang flat figure sa coordinate plane. Ipinakilala? ... I wonder kung sino ang nagpresenta ng ano... =))) Nakahanap na kami ng area nito. Ngunit, bilang karagdagan, ang figure na ito ay maaari ding paikutin, at paikutin sa dalawang paraan:

– sa paligid ng abscissa axis;
– sa paligid ng ordinate axis.

Susuriin ng artikulong ito ang parehong mga kaso. Ang pangalawang paraan ng pag-ikot ay lalong kawili-wili; ito ay nagdudulot ng pinakamaraming kahirapan, ngunit sa katunayan ang solusyon ay halos kapareho ng sa mas karaniwang pag-ikot sa paligid ng x-axis. Bilang bonus babalik ako sa problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura, at sasabihin ko sa iyo kung paano hanapin ang lugar sa pangalawang paraan - kasama ang axis. Ito ay hindi gaanong bonus dahil ang materyal ay angkop sa paksa.

Magsimula tayo sa pinakasikat na uri ng pag-ikot.

flat figure sa paligid ng isang axis

Halimbawa 1

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang figure na nililimitahan ng mga linya sa paligid ng isang axis.

Solusyon: Tulad ng problema sa paghahanap ng lugar, ang solusyon ay nagsisimula sa isang pagguhit ng isang patag na pigura. Iyon ay, sa eroplano ito ay kinakailangan upang bumuo ng isang figure bounded sa pamamagitan ng mga linya , at huwag kalimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis. Kung paano kumpletuhin ang isang pagguhit nang mas mahusay at mabilis ay makikita sa mga pahina Mga graph at katangian ng mga function ng Elementarya At Tiyak na integral. Paano makalkula ang lugar ng isang figure. Ito ay isang Chinese na paalala, at sa susunod sa sandaling ito Hindi na ako huminto.

Ang pagguhit dito ay medyo simple:

Ang ninanais na flat figure ay may kulay na kulay asul; ito ang umiikot sa paligid ng axis. Bilang resulta ng pag-ikot, ang resulta ay isang bahagyang ovoid flying saucer na simetriko tungkol sa axis. Sa katunayan, ang katawan ay mayroon pangalan ng matematika, ngunit tinatamad akong linawin ang anumang bagay gamit ang reference na libro, kaya magpatuloy kami.

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon?

Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Sa formula, ang numero ay dapat na naroroon bago ang integral. Kaya nangyari - lahat ng umiikot sa buhay ay konektado sa pare-parehong ito.

Sa palagay ko madaling hulaan kung paano itakda ang mga limitasyon ng pagsasama ng "a" at "maging" mula sa natapos na pagguhit.

Function... ano ang function na ito? Tingnan natin ang pagguhit. Ang figure ng eroplano ay nililimitahan ng graph ng parabola sa itaas. Ito ang function na ipinahiwatig sa formula.

Sa mga praktikal na gawain, ang isang flat figure ay minsan ay matatagpuan sa ibaba ng axis. Hindi ito nagbabago ng anuman - ang integrand sa formula ay naka-squad: , kaya ang integral ay palaging hindi negatibo, na napaka-lohikal.

Kalkulahin natin ang dami ng isang katawan ng pag-ikot gamit ang formula na ito:

Tulad ng nabanggit ko na, ang integral ay halos palaging nagiging simple, ang pangunahing bagay ay maging maingat.

Sagot:

Sa iyong sagot, dapat mong ipahiwatig ang dimensyon - cubic units. Iyon ay, sa aming katawan ng pag-ikot mayroong humigit-kumulang 3.35 "cubes". Bakit cubic mga yunit? Dahil ang pinaka-unibersal na pagbabalangkas. Maaaring may cubic centimeters, maaaring may cubic meters, maaaring may cubic kilometers, atbp., Ganyan karaming berdeng lalaki ang mailalagay ng iyong imahinasyon sa isang flying saucer.

Halimbawa 2

Hanapin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng isang figure na may hangganan ng mga linya , ,

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Isaalang-alang natin ang dalawang mas kumplikadong mga problema, na madalas ding nakatagpo sa pagsasanay.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng figure na nakatali ng mga linya , , at

Solusyon: Ilarawan natin sa pagguhit ang isang flat figure na nililimitahan ng mga linya , , , , nang hindi nalilimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis:

Ang nais na pigura ay may kulay na asul. Kapag umikot ito sa axis nito, ito ay nagiging surreal donut na may apat na sulok.

Kalkulahin natin ang dami ng katawan ng pag-ikot bilang pagkakaiba sa dami ng mga katawan.

Una, tingnan natin ang pigurang nakabilog sa pula. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng isang axis, isang pinutol na kono ay nakuha. Tukuyin natin ang dami nitong pinutol na kono sa pamamagitan ng .

Isaalang-alang ang pigura na nakabilog sa berde. Kung paikutin mo ang figure na ito sa paligid ng axis, makakakuha ka rin ng pinutol na kono, mas maliit lang ng kaunti. Tukuyin natin ang dami nito sa pamamagitan ng .

At, malinaw naman, ang pagkakaiba sa mga volume ay eksaktong dami ng aming "donut".

Ginagamit namin ang karaniwang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng rebolusyon:

1) Ang figure na bilog sa pula ay nakatali sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

2) Ang pigura na nakabilog sa berde ay nakatali sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

3) Dami ng nais na katawan ng pag-ikot:

Sagot:

Nakakapagtataka na sa kasong ito ang solusyon ay maaaring masuri gamit ang formula ng paaralan para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na kono.

Ang desisyon mismo ay madalas na isinulat nang mas maikli, tulad nito:

Ngayon, magpahinga tayo ng kaunti at sabihin sa iyo ang tungkol sa mga geometric na ilusyon.

Ang mga tao ay madalas na may mga ilusyon na nauugnay sa mga volume, na napansin ni Perelman (isa pa) sa aklat Nakakaaliw na geometry. Tingnan ang flat figure sa nalutas na problema - ito ay tila maliit sa lugar, at ang volume ng katawan ng rebolusyon ay higit lamang sa 50 cubic units, na tila masyadong malaki. Sa pamamagitan ng paraan, ang karaniwang tao ay umiinom ng katumbas ng isang silid na 18 metro kuwadrado ng likido sa kanyang buong buhay, na, sa kabaligtaran, ay tila napakaliit na dami.

Sa pangkalahatan, ang sistema ng edukasyon sa USSR ay talagang ang pinakamahusay. Ang parehong libro ni Perelman, na inilathala noong 1950, ay napakahusay na umuunlad, tulad ng sinabi ng humorist, na nag-iisip at nagtuturo sa iyo na maghanap ng orihinal, hindi karaniwang mga solusyon sa mga problema. Binasa ko kamakailan ang ilan sa mga kabanata na may malaking interes, inirerekomenda ko ito, naa-access ito kahit para sa mga humanista. Hindi, hindi mo kailangang ngumiti na nag-alok ako ng libreng oras, ang kaalaman at malawak na abot-tanaw sa komunikasyon ay isang magandang bagay.

Pagkatapos ng lyrical digression, nararapat lamang na lutasin ang isang malikhaing gawain:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot tungkol sa axis ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linya , , kung saan .

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Pakitandaan na ang lahat ng mga kaso ay nangyayari sa banda, sa madaling salita, ang mga handa na limitasyon ng pagsasama ay talagang ibinibigay. Gumuhit ng mga graph nang tama trigonometriko function, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang materyal ng aralin tungkol sa geometric na pagbabagong-anyo ng mga graph: kung ang argumento ay nahahati sa dalawa: , pagkatapos ay ang mga graph ay nakaunat nang dalawang beses sa kahabaan ng axis. Maipapayo na makahanap ng hindi bababa sa 3-4 na puntos ayon sa trigonometric tables upang makumpleto ang pagguhit nang mas tumpak. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ang gawain ay maaaring malutas nang makatwiran at hindi masyadong makatwiran.

Pagkalkula ng dami ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot
flat figure sa paligid ng isang axis

Ang pangalawang talata ay magiging mas kawili-wili kaysa sa una. Ang gawain ng pagkalkula ng dami ng isang katawan ng rebolusyon sa paligid ng ordinate axis ay medyo madalas ding panauhin sa mga pagsubok. Sa daan ito ay isasaalang-alang problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura ang pangalawang paraan ay ang pagsasama sa kahabaan ng axis, ito ay magbibigay-daan sa iyo hindi lamang upang mapabuti ang iyong mga kasanayan, ngunit din magturo sa iyo upang mahanap ang pinaka kumikitang landas ng solusyon. Mayroon ding praktikal na kahulugan ng buhay dito! Habang nakangiti ang aking guro sa mga pamamaraan sa pagtuturo ng matematika, maraming nagtapos ang nagpasalamat sa kanya sa mga salitang: "Nakatulong nang malaki sa amin ang iyong paksa, ngayon ay epektibo na kaming mga tagapamahala at mahusay na namamahala ng mga kawani." Sa pagkakataong ito, nagpapasalamat din ako sa kanya, lalo na't ginagamit ko ang nakuhang kaalaman para sa layunin nito =).

Inirerekomenda ko ito sa lahat, kahit na kumpletong dummies. Bukod dito, ang materyal na natutunan sa ikalawang talata ay magbibigay ng napakahalagang tulong sa pagkalkula ng dobleng integral.

Halimbawa 5

Given a flat figure bounded by the lines , , .

1) Hanapin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linyang ito.
2) Hanapin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Pansin! Kahit na gusto mo lang basahin ang pangalawang punto, una Kailangan basahin mo yung una!

Solusyon: Ang gawain ay binubuo ng dalawang bahagi. Magsimula tayo sa parisukat.

1) Gumawa tayo ng drawing:

Madaling makita na ang function ay tumutukoy sa itaas na sangay ng parabola, at ang function ay tumutukoy sa mas mababang sangay ng parabola. Sa harap natin ay isang maliit na parabola na "nakahiga sa gilid nito."

Ang nais na pigura, ang lugar kung saan matatagpuan, ay may kulay na asul.

Paano mahahanap ang lugar ng isang figure? Ito ay matatagpuan sa "karaniwan" na paraan, na tinalakay sa klase Tiyak na integral. Paano makalkula ang lugar ng isang figure. Bukod dito, ang lugar ng figure ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga lugar:
- sa segment ;
- sa segment.

kaya naman:

Bakit masama ang karaniwang solusyon sa kasong ito? Una, nakakuha kami ng dalawang integral. Pangalawa, ang mga integral ay mga ugat, at ang mga ugat sa mga integral ay hindi isang regalo, at bukod pa, maaari kang malito sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama. Sa katunayan, ang mga integral, siyempre, ay hindi mamamatay, ngunit sa pagsasanay ang lahat ay maaaring maging mas malungkot, pinili ko lang ang "mas mahusay" na mga pag-andar para sa problema.

Mayroong mas makatwirang solusyon: binubuo ito ng paglipat sa mga kabaligtaran na pag-andar at pagsasama sa kahabaan ng axis.

Paano makarating sa mga inverse function? Sa halos pagsasalita, kailangan mong ipahayag ang "x" sa pamamagitan ng "y". Una, tingnan natin ang parabola:

Ito ay sapat na, ngunit tiyakin natin na ang parehong function ay maaaring makuha mula sa mas mababang sangay:

Ito ay mas madali sa isang tuwid na linya:

Ngayon tingnan ang axis: mangyaring pana-panahong ikiling ang iyong ulo sa kanan 90 degrees habang ipinapaliwanag mo (ito ay hindi isang biro!). Ang figure na kailangan namin ay namamalagi sa segment, na ipinahiwatig ng pulang tuldok na linya. Sa kasong ito, sa segment ang tuwid na linya ay matatagpuan sa itaas ng parabola, na nangangahulugan na ang lugar ng figure ay dapat matagpuan gamit ang formula na pamilyar sa iyo: . Ano ang nagbago sa formula? Isang sulat lang at wala nang iba pa.

! Tandaan: Ang mga limitasyon ng pagsasama sa kahabaan ng axis ay dapat itakda mahigpit mula sa ibaba hanggang sa itaas!

Paghahanap ng lugar:

Sa segment, samakatuwid:

Mangyaring tandaan kung paano ko isinagawa ang pagsasama, ito ang pinaka-makatuwirang paraan, at sa susunod na talata ng gawain ay magiging malinaw kung bakit.

Para sa mga mambabasa na nagdududa sa kawastuhan ng pagsasama, hahanap ako ng mga derivatives:

Ang orihinal na integrand function ay nakuha, na nangangahulugan na ang integration ay ginawa ng tama.

Sagot:

2) Kalkulahin natin ang dami ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na ito sa paligid ng axis.

Ire-redraw ko ang drawing sa isang bahagyang naiibang disenyo:

Kaya, ang figure na may kulay na asul ay umiikot sa paligid ng axis. Ang resulta ay isang "hovering butterfly" na umiikot sa paligid ng axis nito.

Upang mahanap ang dami ng isang katawan ng pag-ikot, isasama namin sa kahabaan ng axis. Una kailangan nating pumunta sa mga inverse function. Nagawa na ito at inilarawan nang detalyado sa nakaraang talata.

Ngayon ay ikiling namin ang aming ulo sa kanan muli at pag-aralan ang aming figure. Malinaw, ang dami ng isang katawan ng pag-ikot ay dapat makita bilang pagkakaiba sa mga volume.

Pinaikot namin ang figure na bilog sa pula sa paligid ng axis, na nagreresulta sa isang pinutol na kono. Ipahiwatig natin ang volume na ito sa pamamagitan ng .

Pinaikot namin ang figure na bilog sa berde sa paligid ng axis at ipahiwatig ito sa pamamagitan ng dami ng nagresultang katawan ng pag-ikot.

Ang dami ng ating butterfly ay katumbas ng pagkakaiba ng volume.

Ginagamit namin ang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng rebolusyon:

Ano ang pagkakaiba sa pormula sa nakaraang talata? Sa sulat lang.

Ngunit ang bentahe ng pagsasama, na kamakailan kong pinag-usapan, ay mas madaling mahanap , sa halip na itaas muna ang integrand sa ika-4 na kapangyarihan.

Sagot:

Gayunpaman, hindi isang sickly butterfly.

Pakitandaan na kung ang parehong flat figure ay iikot sa paligid ng axis, makakakuha ka ng ganap na naiibang katawan ng pag-ikot, na may ibang volume, natural.

Halimbawa 6

Ibinigay ang isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya at isang axis.

1) Pumunta sa mga inverse function at hanapin ang lugar ng isang plane figure na nakatali sa mga linyang ito sa pamamagitan ng pagsasama sa variable.
2) Kalkulahin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang mga interesado ay maaari ring mahanap ang lugar ng isang figure sa "karaniwan" na paraan, sa gayon ay suriin ang punto 1). Ngunit kung, ulitin ko, paikutin mo ang isang flat figure sa paligid ng axis, makakakuha ka ng isang ganap na naiibang katawan ng pag-ikot na may ibang dami, sa pamamagitan ng paraan, ang tamang sagot (para rin sa mga gustong malutas ang mga problema).

Ang kumpletong solusyon sa dalawang iminungkahing punto ng gawain ay nasa katapusan ng aralin.

Oo, at huwag kalimutang ikiling ang iyong ulo sa kanan upang maunawaan ang mga katawan ng pag-ikot at ang mga limitasyon ng pagsasama!

Hayaang ang T ay isang katawan ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng x-axis ng isang curvilinear trapezoid na matatagpuan sa upper half-plane at nililimitahan ng x-axis, mga tuwid na linya x=a at x=b at ang graph tuluy-tuloy na pag-andar y=f(x) .

Patunayan natin na ito nga ang katawan ng rebolusyon ay nakakubo at ang dami nito ay ipinahayag ng pormula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Una, pinatutunayan natin na ang katawan ng rebolusyong ito ay regular kung pipiliin natin ang Oyz plane na patayo sa axis ng pag-ikot bilang \Pi. Tandaan na ang seksyong matatagpuan sa layong x mula sa eroplanong Oyz ay isang bilog na radius f(x) at ang lugar nito na S(x) ay katumbas ng \pi f^2(x) (Fig. 46). Samakatuwid, ang function na S(x) ay tuloy-tuloy dahil sa pagpapatuloy ng f(x). Susunod, kung S(x_1)\leqslant S(x_2), kung gayon ang ibig sabihin nito ay . Ngunit ang mga projection ng mga seksyon papunta sa Oyz plane ay mga bilog ng radii f(x_1) at f(x_2) na may center O, at mula sa f(x_1)\leqslant f(x_2) sumusunod na ang isang bilog na radius f(x_1) ay nakapaloob sa isang bilog na radius f(x_2) .

Kaya, ang katawan ng rebolusyon ay regular. Samakatuwid, ito ay nakakubo at ang dami nito ay kinakalkula ng formula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Kung ang isang curvilinear trapezoid ay nakatali sa ibaba at sa itaas ng mga kurba y_1=f_1(x), y_2=f_2(x), kung gayon

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Ang formula (3) ay maaari ding gamitin upang kalkulahin ang volume ng isang katawan ng rebolusyon sa kaso kapag ang hangganan ng isang umiikot na pigura ay tinukoy ng mga parametric equation. Sa kasong ito, kailangan mong gumamit ng pagbabago ng variable sa ilalim ng tiyak na integral sign.

Sa ilang mga kaso, ito ay nagiging maginhawa upang mabulok ang mga katawan ng pag-ikot hindi sa mga tuwid na pabilog na cylinder, ngunit sa mga figure ng ibang uri.

Halimbawa, hanapin natin dami ng isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang hubog na trapezoid sa paligid ng ordinate axis. Una, hanapin natin ang volume na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parihaba na may taas na y#, sa base kung saan matatagpuan ang segment . Ang volume na ito ay katumbas ng pagkakaiba sa mga volume ng dalawang tuwid na pabilog na silindro

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Ngunit ngayon ay malinaw na ang kinakailangang dami ay tinatantya mula sa itaas at ibaba tulad ng sumusunod:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Madali itong sumusunod dito formula para sa dami ng isang katawan ng rebolusyon sa paligid ng ordinate axis:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Halimbawa 4. Hanapin natin ang volume ng bola na may radius R.

Solusyon. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, isasaalang-alang namin ang isang bilog ng radius R na ang sentro nito sa pinanggalingan. Ang bilog na ito, na umiikot sa paligid ng Ox axis, ay bumubuo ng bola. Ang equation ng isang bilog ay x^2+y^2=R^2, kaya y^2=R^2-x^2. Isinasaalang-alang ang mahusay na proporsyon ng bilog na nauugnay sa ordinate axis, una naming nakita ang kalahati ng kinakailangang dami

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \kaliwa.(\pi\!\kaliwa(R^2x- \frac(x^3)(3)\kanan))\kanan|_(0)^(R)= \pi\ !\kaliwa(R^3- \frac(R^3)(3)\kanan)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Samakatuwid, ang dami ng buong bola ay katumbas ng \frac(4)(3)\pi R^3.

Halimbawa 5. Kalkulahin ang volume ng isang kono na ang taas h at base radius r.

Solusyon. Pumili tayo ng coordinate system upang ang Ox axis ay tumutugma sa taas h (Fig. 47), at kunin ang vertex ng cone bilang pinagmulan ng mga coordinate. Pagkatapos ang equation ng straight line OA ay isusulat sa form na y=\frac(r)(h)\,x.

Gamit ang formula (3), nakukuha natin ang:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \kaliwa.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\kanan|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Halimbawa 6. Hanapin natin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng x-axis ng astroid \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Larawan 48).

Solusyon. Bumuo tayo ng astroid. Isaalang-alang natin ang kalahati ng itaas na bahagi ng astroid, na matatagpuan sa simetriko na nauugnay sa ordinate axis. Gamit ang formula (3) at binabago ang variable sa ilalim ng definite integral sign, makikita natin ang mga limitasyon ng integration para sa bagong variable t.

Kung x=a\cos^3t=0 , kung gayon t=\frac(\pi)(2) , at kung x=a\cos^3t=a , kung gayon t=0 . Isinasaalang-alang na ang y^2=a^2\sin^6t at dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, nakukuha natin ang:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Ang dami ng buong katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng astroid ay magiging \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Halimbawa 7. Hanapin natin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng ordinate axis ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng x-axis at ang unang arc ng cycloid \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Solusyon. Gamitin natin ang formula (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, at palitan ang variable sa ilalim ng integral sign, na isinasaalang-alang na ang unang arc ng cycloid ay nabuo kapag ang variable t ay nagbabago mula 0 hanggang 2\pi. kaya,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\kanan|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\kaliwa(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\kanan)= 6\pi^3a^3. \end(aligned)