Detalyadong paliwanag ng teorama ni Vieta. Quadratic equation

Sa mathematics meron mga espesyal na trick, kung saan maraming mga quadratic equation ang nalutas nang napakabilis at walang anumang mga diskriminasyon. Bukod dito, sa wastong pagsasanay, marami ang nagsisimulang lutasin ang mga parisukat na equation sa salita, literal na "sa isang sulyap."

Sa kasamaang palad, sa modernong kurso ng matematika ng paaralan, ang mga naturang teknolohiya ay halos hindi pinag-aralan. At kailangan mong malaman! At ngayon ay isasaalang-alang natin ang isa sa mga pamamaraan na ito - ang teorama ng Vieta. Una, ipakilala natin ang isang bagong kahulugan.

Ang isang quadratic equation ng form na x 2 + bx + c = 0 ay tinatawag na reduced. Pakitandaan na ang coefficient sa x 2 ay katumbas ng 1. Walang ibang mga paghihigpit sa mga coefficient.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 ay ang pinababang quadratic equation;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - nabawasan din;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ngunit hindi ito nabawasan, dahil ang coefficient sa x 2 ay 2.

Siyempre, ang anumang quadratic equation ng form na ax 2 + bx + c = 0 ay maaaring gawing bawasan - sapat na upang hatiin ang lahat ng mga coefficient sa bilang na a. Magagawa natin ito palagi, dahil sumusunod ito sa kahulugan ng isang quadratic equation na ang isang ≠ 0.

Totoo, ang mga pagbabagong ito ay hindi palaging magiging kapaki-pakinabang para sa paghahanap ng mga ugat. Medyo mas mababa, sisiguraduhin namin na ito ay dapat gawin lamang kapag sa panghuling squared equation ang lahat ng mga coefficient ay integer. Sa ngayon, tingnan natin ang ilang simpleng halimbawa:

Gawain. I-convert ang quadratic equation sa pinababang:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Hatiin natin ang bawat equation sa coefficient ng variable x 2 . Nakukuha namin:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - hinati ang lahat sa 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - hinati sa −4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - hinati ng 1.5, ang lahat ng mga coefficient ay naging integer;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - hinati ng 2. Sa kasong ito, lumitaw ang mga fractional coefficient.

Gaya ng nakikita mo, ang ibinigay na mga quadratic equation ay maaaring magkaroon ng mga integer coefficient kahit na ang orihinal na equation ay naglalaman ng mga fraction.

Ngayon ay bumubuo kami ng pangunahing teorama, kung saan, sa katunayan, ang konsepto ng isang pinababang quadratic equation ay ipinakilala:

Ang teorama ni Vieta. Isaalang-alang ang pinababang quadratic equation ng form x 2 + bx + c \u003d 0. Ipagpalagay na ang equation na ito ay may tunay na mga ugat x 1 at x 2. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:

1. x1 + x2 = −b. Sa madaling salita, ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng koepisyent ng variable x, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda;
2. x 1 x 2 = c. Ang produkto ng mga ugat ng isang quadratic equation ay katumbas ng libreng coefficient.

Mga halimbawa. Para sa pagiging simple, isasaalang-alang lamang namin ang ibinigay na mga quadratic equation na hindi nangangailangan ng mga karagdagang pagbabago:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; mga ugat: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; mga ugat: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; mga ugat: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Ang teorem ni Vieta ay nagbibigay sa atin Karagdagang impormasyon tungkol sa mga ugat ng isang quadratic equation. Sa unang sulyap, ito ay maaaring mukhang kumplikado, ngunit kahit na may kaunting pagsasanay, matututunan mong "makita" ang mga ugat at literal na hulaan ang mga ito sa loob ng ilang segundo.

Gawain. Lutasin ang quadratic equation:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

Subukan nating isulat ang mga coefficient ayon sa Vieta theorem at "hulaan" ang mga ugat:

1. Ang x 2 − 9x + 14 = 0 ay ang pinababang quadratic equation.
   Sa pamamagitan ng Vieta theorem, mayroon tayong: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Madaling makita na ang mga ugat ay ang mga numero 2 at 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - nabawasan din.
   Sa pamamagitan ng Vieta theorem: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Kaya't ang mga ugat: 3 at 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - hindi binabawasan ang equation na ito. Ngunit aayusin natin ito ngayon sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng coefficient a \u003d 3. Nakukuha natin ang: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Lutasin natin ayon sa Vieta theorem: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ ugat: −10 at −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - muli ang coefficient sa x 2 ay hindi katumbas ng 1, i.e. hindi ibinigay ang equation. Hinahati namin ang lahat sa numerong a = −7. Nakukuha namin ang: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Sa pamamagitan ng Vieta theorem: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; mula sa mga equation na ito ay madaling hulaan ang mga ugat: 5 at 6.

Ito ay makikita mula sa itaas na pangangatwiran kung paano pinapasimple ng teorama ni Vieta ang solusyon quadratic equation. Walang kumplikadong mga kalkulasyon, walang arithmetic roots at fractions. At kahit na ang discriminant (tingnan ang aralin " Paglutas ng mga quadratic equation") Hindi namin kailangan.

Siyempre, sa lahat ng aming mga pagmumuni-muni, nagpatuloy kami mula sa dalawang mahahalagang pagpapalagay, na, sa pangkalahatan, ay hindi palaging natutupad sa mga tunay na problema:

1. Ang quadratic equation ay nabawasan, i.e. ang koepisyent sa x 2 ay 1;
2. Ang equation ay may dalawang magkaibang ugat. Mula sa punto ng view ng algebra, sa kasong ito ang discriminant D > 0 - sa katunayan, una naming ipinapalagay na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay totoo.

Gayunpaman, sa mga karaniwang problema sa matematika natutugunan ang mga kundisyong ito. Kung, bilang isang resulta ng mga kalkulasyon, ang isang "masamang" quadratic equation ay nakuha (ang koepisyent sa x 2 ay naiiba sa 1), ito ay madaling ayusin - tingnan ang mga halimbawa sa pinakadulo simula ng aralin. Sa pangkalahatan ay tahimik ako tungkol sa mga ugat: anong uri ng gawain ito kung saan walang sagot? Siyempre magkakaroon ng mga ugat.

Kaya, ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation ayon sa Vieta theorem ay ang mga sumusunod:

1. Bawasan ang quadratic equation sa ibinigay na isa, kung hindi pa ito nagawa sa kondisyon ng problema;
2. Kung ang mga coefficient sa itaas na quadratic equation ay naging fractional, malulutas namin sa pamamagitan ng discriminant. Maaari ka ring bumalik sa orihinal na equation upang gumana sa mas "maginhawa" na mga numero;
3. Sa kaso ng integer coefficients, nilulutas namin ang equation gamit ang Vieta theorem;
4. Kung sa loob ng ilang segundo hindi posible na hulaan ang mga ugat, puntos namin ang Vieta theorem at lutasin sa pamamagitan ng discriminant.

Gawain. Lutasin ang equation: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

So, meron tayong equation na hindi nababawasan, kasi coefficient a \u003d 5. Hatiin ang lahat sa 5, makuha namin: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Ang lahat ng mga coefficient ng quadratic equation ay integer - subukan nating lutasin gamit ang Vieta theorem. Mayroon kaming: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Sa kasong ito, ang mga ugat ay madaling hulaan - ito ay 2 at 5. Hindi mo kailangang magbilang sa pamamagitan ng discriminant.

Gawain. Lutasin ang equation: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0.

Tinitingnan namin: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - ang equation na ito ay hindi nabawasan, hinahati namin ang magkabilang panig ng coefficient a = -5. Nakukuha namin ang: x 2 - 1.6x + 0.48 = 0 - isang equation na may fractional coefficients.

Mas mainam na bumalik sa orihinal na equation at magbilang sa pamamagitan ng discriminant: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 \u003d 0.4.

Gawain. Lutasin ang equation: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Upang magsimula, hinahati namin ang lahat sa pamamagitan ng coefficient a \u003d 2. Nakukuha namin ang equation x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Ito ang pinababang equation, ayon sa Vieta theorem na mayroon tayo: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Mahirap hulaan ang mga ugat ng quadratic equation sa kasong ito - sa personal, seryoso akong "na-froze" nang malutas ko ang problemang ito.

Kailangan nating maghanap ng mga ugat sa pamamagitan ng discriminant: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Kung hindi mo maalala ang ugat ng discriminant, papansinin ko lang na 1225: 25 = 49. Samakatuwid, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Ngayong alam na ang ugat ng discriminant, hindi mahirap lutasin ang equation. Nakukuha namin ang: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Ang teorama ni Vieta ay kadalasang ginagamit upang subukan ang mga natagpuang ugat. Kung nahanap mo na ang mga ugat, maaari mong gamitin ang mga formula na \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) upang kalkulahin ang mga value \(p\ ) at \(q\ ). At kung sila ay magiging pareho sa orihinal na equation, kung gayon ang mga ugat ay matatagpuan nang tama.

Halimbawa, gamitin natin ang , lutasin ang equation \(x^2+x-56=0\) at kunin ang mga ugat: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Suriin natin kung nagkamali tayo sa proseso ng paglutas. Sa aming kaso, \(p=1\), at \(q=-56\). Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta mayroon tayong:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Ang parehong mga pahayag ay nagtagpo, na nangangahulugan na nalutas namin nang tama ang equation.

Ang pagsusulit na ito ay maaaring gawin nang pasalita. Aabutin ng 5 segundo at ililigtas ka sa mga hangal na pagkakamali.

Inverse Vieta theorem

Kung \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), kung gayon ang \(x_1\) at \(x_2\) ay ang mga ugat ng quadratic equation \ (x^ 2+px+q=0\).

O sa simpleng paraan: kung mayroon kang equation ng form na \(x^2+px+q=0\), pagkatapos ay sa pamamagitan ng paglutas ng system \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) makikita mo ang mga ugat nito.

Salamat sa theorem na ito, mabilis mong mahahanap ang mga ugat ng isang quadratic equation, lalo na kung ang mga ugat na ito ay . Ang kasanayang ito ay mahalaga dahil nakakatipid ito ng maraming oras.

Halimbawa . Lutasin ang equation \(x^2-5x+6=0\).

Desisyon : Gamit ang inverse Vieta theorem, nakuha namin na ang mga ugat ay nakakatugon sa mga kondisyon: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Tingnan ang pangalawang equation ng \(x_1 \cdot x_2=6\) system. Sa anong dalawa maaaring mabulok ang numerong \(6\)? Sa \(2\) at \(3\), \(6\) at \(1\) o \(-2\) at \(-3\), at \(-6\) at \(- isa\). At kung aling pares ang pipiliin, sasabihin ng unang equation ng system: \(x_1+x_2=5\). Ang \(2\) at \(3\) ay magkatulad, dahil \(2+3=5\).
Sagot : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Mga halimbawa . Gamit ang inverse ng Vieta's theorem, hanapin ang mga ugat ng quadratic equation:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Desisyon :
a) \(x^2-15x+14=0\) - sa anong mga salik nabubulok ang \(14\)? \(2\) at \(7\), \(-2\) at \(-7\), \(-1\) at \(-14\), \(1\) at \(14\ ). Anong mga pares ng mga numero ang nagdaragdag hanggang sa \(15\)? Sagot: \(1\) at \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - sa anong mga kadahilanan nabubulok ang \(-4\)? \(-2\) at \(2\), \(4\) at \(-1\), \(1\) at \(-4\). Anong mga pares ng mga numero ang nagdaragdag ng hanggang sa \(-3\)? Sagot: \(1\) at \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – sa anong mga salik nabubulok ang \(20\)? \(4\) at \(5\), \(-4\) at \(-5\), \(2\) at \(10\), \(-2\) at \(-10\ ), \(-20\) at \(-1\), \(20\) at \(1\). Anong mga pares ng mga numero ang nagdaragdag ng hanggang sa \(-9\)? Sagot: \(-4\) at \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - sa anong mga kadahilanan nabubulok ang \(780\)? \(390\) at \(2\). Nagdaragdag ba sila ng hanggang \(88\)? Hindi. Ano ang iba pang mga multiplier na mayroon ang \(780\)? \(78\) at \(10\). Nagdaragdag ba sila ng hanggang \(88\)? Oo. Sagot: \(78\) at \(10\).

Hindi kinakailangang palawakin ang huling termino sa lahat ng posibleng salik (tulad ng sa huling halimbawa). Maaari mong suriin kaagad kung ang kanilang kabuuan ay nagbibigay ng \(-p\).

Mahalaga! Gumagana lamang ang theorem ng Vieta at ang converse theorem sa , iyon ay, isa na ang coefficient sa harap ng \(x^2\) ay katumbas ng isa. Kung sa una ay mayroon tayong hindi pinababang equation, kung gayon maaari nating bawasan ito sa pamamagitan lamang ng paghahati sa koepisyent sa harap ng \ (x ^ 2 \).

Halimbawa, hayaan ang equation na \(2x^2-4x-6=0\) at gusto naming gamitin ang isa sa mga theorems ng Vieta. Ngunit hindi natin magagawa, dahil ang coefficient bago ang \(x^2\) ay katumbas ng \(2\). Alisin natin ito sa pamamagitan ng paghahati ng buong equation sa \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

handa na. Ngayon ay maaari nating gamitin ang parehong theorems.

Mga sagot sa mga madalas itanong

Tanong: Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta, maaari mong malutas ang anuman?
Sagot: Sa kasamaang palad hindi. Kung walang mga integer sa equation o ang equation ay walang mga ugat, kung gayon ang teorama ni Vieta ay hindi makakatulong. Sa kasong ito, kailangan mong gamitin may diskriminasyon . Sa kabutihang palad, 80% ng mga equation sa kurso sa matematika ng paaralan ay may mga integer na solusyon.

Anumang kumpletong quadratic equation ax2 + bx + c = 0 maaaring maalala x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, kung hahatiin muna natin ang bawat termino sa coefficient a before x2. At kung magpapakilala tayo ng bagong notasyon (b/a) = p at (c/a) = q, pagkatapos ay magkakaroon tayo ng equation x 2 + px + q = 0, na sa matematika ay tinatawag pinababang quadratic equation.

Ang mga ugat ng pinababang quadratic equation at ang mga coefficient p at q magkakaugnay. Ito ay nakumpirma Ang teorama ni Vieta, na ipinangalan sa Pranses na matematiko na si Francois Vieta, na nabuhay sa pagtatapos ng ika-16 na siglo.

Teorama. Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 + px + q = 0 katumbas ng pangalawang koepisyent p, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat - sa libreng termino q.

Isinulat namin ang mga ratios na ito sa sumusunod na anyo:

Hayaan x 1 at x2 iba't ibang mga ugat ng pinababang equation x 2 + px + q = 0. Ayon sa teorama ni Vieta x1 + x2 = -p at x 1 x 2 = q.

Upang patunayan ito, palitan natin ang bawat isa sa mga ugat na x 1 at x 2 sa equation. Nakakakuha tayo ng dalawang tunay na pagkakapantay-pantay:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Ibawas ang pangalawa sa unang pagkakapantay-pantay. Nakukuha namin:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Pinalawak namin ang unang dalawang termino ayon sa pagkakaiba ng formula ng mga parisukat:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

Sa kondisyon, ang mga ugat x 1 at x 2 ay magkaiba. Samakatuwid, maaari nating bawasan ang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng (x 1 - x 2) ≠ 0 at ipahayag ang p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Ang unang pagkakapantay-pantay ay napatunayan.

Upang patunayan ang pangalawang pagkakapantay-pantay, pinapalitan namin ang unang equation

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 sa halip na ang coefficient p, ang katumbas na numero nito ay (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Ang pagbabago sa kaliwang bahagi ng equation, nakukuha natin:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, na dapat patunayan.

Maganda ang theorem ni Vieta dahil, kahit na hindi alam ang mga ugat ng quadratic equation, maaari nating kalkulahin ang kanilang kabuuan at produkto .

Nakakatulong ang theorem ng Vieta na matukoy ang mga integer na ugat ng ibinigay na quadratic equation. Ngunit para sa maraming mga mag-aaral, nagdudulot ito ng mga paghihirap dahil sa katotohanan na hindi nila alam ang isang malinaw na algorithm ng pagkilos, lalo na kung ang mga ugat ng equation ay may iba't ibang mga palatandaan.

Kaya, ang ibinigay na quadratic equation ay may anyo na x 2 + px + q \u003d 0, kung saan ang x 1 at x 2 ang mga ugat nito. Ayon sa Vieta theorem x 1 + x 2 = -p at x 1 x 2 = q.

Magagawa natin ang sumusunod na konklusyon.

Kung sa equation ang huling termino ay pinangungunahan ng isang minus sign, kung gayon ang mga ugat na x 1 at x 2 ay may magkakaibang mga palatandaan. Bilang karagdagan, ang tanda ng mas maliit na ugat ay kapareho ng tanda ng pangalawang koepisyent sa equation.

Batay sa katotohanan na kapag nagdadagdag ng mga numero sa iba't ibang palatandaan ang kanilang mga module ay ibinabawas, at ang resulta na nakuha ay pinangungunahan ng isang tanda ng isang mas mataas na numero ng modulo, dapat kang magpatuloy tulad ng sumusunod:

1. tukuyin ang mga kadahilanan ng numerong q upang ang kanilang pagkakaiba ay katumbas ng bilang p;
2. ilagay ang tanda ng pangalawang koepisyent ng equation sa harap ng mas maliit sa mga nakuhang numero; ang pangalawang ugat ay magkakaroon ng kabaligtaran na tanda.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 1.

Lutasin ang equation x 2 - 2x - 15 = 0.

Desisyon.

Subukan nating lutasin ang equation na ito gamit ang mga panuntunang iminungkahi sa itaas. Pagkatapos ay masasabi nating sigurado na ang equation na ito ay magkakaroon ng dalawang magkaibang ugat, dahil D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Ngayon, mula sa lahat ng mga kadahilanan ng numero 15 (1 at 15, 3 at 5), pipiliin namin ang mga pagkakaiba na katumbas ng 2. Ito ang magiging mga numero 3 at 5. Naglalagay kami ng minus sign sa harap ng mas maliit na numero , ibig sabihin. ang tanda ng pangalawang koepisyent ng equation. Kaya, nakukuha namin ang mga ugat ng equation x 1 \u003d -3 at x 2 \u003d 5.

Sagot. x 1 = -3 at x 2 = 5.

Halimbawa 2.

Lutasin ang equation x 2 + 5x - 6 = 0.

Desisyon.

Suriin natin kung ang equation na ito ay may mga ugat. Upang gawin ito, nakita namin ang discriminant:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Ang equation ay may dalawang magkaibang ugat.

Ang mga posibleng salik ng numero 6 ay 2 at 3, 6 at 1. Ang pagkakaiba ay 5 para sa isang pares ng 6 at 1. Sa halimbawang ito, ang coefficient ng pangalawang termino ay may plus sign, kaya ang mas maliit na bilang ay magkakaroon ng parehong tanda. Ngunit bago ang pangalawang numero ay magkakaroon ng minus sign.

Sagot: x 1 = -6 at x 2 = 1.

Ang teorem ni Vieta ay maaari ding isulat para sa isang kumpletong quadratic equation. Kaya kung ang quadratic equation ax2 + bx + c = 0 ay may mga ugat x 1 at x 2 , pagkatapos ay natutugunan nila ang mga pagkakapantay-pantay

x 1 + x 2 = -(b/a) at x 1 x 2 = (c/a). Gayunpaman, ang aplikasyon ng theorem na ito sa buong quadratic equation ay medyo may problema, dahil kung may mga ugat, kahit isa sa mga ito ay isang fractional number. At ang pagtatrabaho sa pagpili ng mga fraction ay medyo mahirap. Ngunit mayroon pa ring paraan.

Isaalang-alang ang kumpletong quadratic equation ax 2 + bx + c = 0. I-multiply ang kaliwa at kanang bahagi nito sa coefficient a. Ang equation ay kukuha ng anyo (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Ngayon ay ipakilala natin ang isang bagong variable, halimbawa t = ax.

Sa kasong ito, ang resultang equation ay magiging isang pinababang quadratic equation ng form na t 2 + bt + ac = 0, ang mga ugat kung saan ang t 1 at t 2 (kung mayroon man) ay maaaring matukoy ng Vieta theorem.

Sa kasong ito, ang mga ugat ng orihinal na quadratic equation ay magiging

x 1 = (t 1 / a) at x 2 = (t 2 / a).

Halimbawa 3.

Lutasin ang equation na 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Desisyon.

Gumagawa kami ng auxiliary equation. I-multiply natin ang bawat term ng equation sa 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Ginagawa namin ang pagbabago t = 15x. Meron kami:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Ayon sa Vieta theorem, ang mga ugat ng equation na ito ay magiging t 1 = 5 at t 2 = 6.

Bumalik kami sa kapalit na t = 15x:

5 = 15x o 6 = 15x. Kaya x 1 = 5/15 at x 2 = 6/15. Binabawasan namin at nakuha ang huling sagot: x 1 = 1/3 at x 2 = 2/5.

Sagot. x 1 = 1/3 at x 2 = 2/5.

Upang makabisado ang solusyon ng mga quadratic equation gamit ang Vieta theorem, kailangan ng mga mag-aaral na magsanay hangga't maaari. Ito ang tiyak na sikreto ng tagumpay.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Unang antas

Quadratic equation. Komprehensibong gabay (2019)

Sa terminong "quadratic equation" ang pangunahing salita ay "quadratic". Nangangahulugan ito na ang equation ay kinakailangang naglalaman ng variable (parehong X) sa parisukat, at sa parehong oras ay hindi dapat magkaroon ng Xs sa pangatlo (o mas mataas) na antas.

Ang solusyon ng maraming mga equation ay nabawasan sa solusyon ng mga quadratic equation.

Matuto tayong tukuyin na mayroon tayong quadratic equation, at hindi iba.

Halimbawa 1

Alisin ang denominator at i-multiply ang bawat termino ng equation sa

Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi at ayusin ang mga termino sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan ng x

Ngayon ay maaari nating sabihin nang may kumpiyansa na ang equation na ito ay quadratic!

Halimbawa 2

I-multiply natin ang kaliwa at kanang bahagi sa:

Ang equation na ito, kahit na ito ay orihinal na nasa loob nito, ay hindi isang parisukat!

Halimbawa 3

I-multiply natin ang lahat sa pamamagitan ng:

Nakakatakot? Ang ika-apat at ikalawang degree ... Gayunpaman, kung gagawa tayo ng kapalit, makikita natin na mayroon tayong simpleng quadratic equation:

Halimbawa 4

Ito ay tila, ngunit tingnan natin nang maigi. Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi:

Kita mo, lumiit ito - at ngayon isa na itong simpleng linear equation!

Ngayon subukang tukuyin para sa iyong sarili kung alin sa mga sumusunod na equation ang quadratic at alin ang hindi:

Mga halimbawa:

Mga sagot:

1. parisukat;
2. parisukat;
3. hindi parisukat;
4. hindi parisukat;
5. hindi parisukat;
6. parisukat;
7. hindi parisukat;
8. parisukat.

May kondisyong hinahati ng mga mathematician ang lahat ng quadratic equation sa mga sumusunod na uri:

• Kumpletuhin ang mga quadratic equation- mga equation kung saan ang mga coefficient at, pati na rin ang libreng termino c, ay hindi katumbas ng zero (tulad ng sa halimbawa). Bilang karagdagan, kabilang sa mga kumpletong quadratic equation, mayroong binigay ay mga equation kung saan ang coefficient (ang equation mula sa halimbawa ng isa ay hindi lamang kumpleto, ngunit nabawasan din!)

• Hindi kumpletong quadratic equation- mga equation kung saan ang coefficient at o libreng term c ay katumbas ng zero:

  Hindi kumpleto ang mga ito dahil may nawawalang elemento sa kanila. Ngunit ang equation ay dapat palaging naglalaman ng x squared !!! Kung hindi, hindi na ito magiging isang parisukat, ngunit ibang equation.

Bakit sila nagkaroon ng ganitong dibisyon? Mukhang mayroong X squared, at okay. Ang ganitong dibisyon ay dahil sa mga pamamaraan ng solusyon. Isaalang-alang natin ang bawat isa sa kanila nang mas detalyado.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Una, tumuon tayo sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito!

Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay may mga uri:

1. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.
2. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.
3. , sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

1. i. Since marunong naman kaming mag-extract Kuwadrado na ugat, pagkatapos ay ipahayag natin mula sa equation na ito

Ang expression ay maaaring negatibo o positibo. Ang isang parisukat na numero ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging magiging positibong numero, kaya: kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon.

At kung, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang ugat. Ang mga formula na ito ay hindi kailangang isaulo. Ang pangunahing bagay ay dapat mong laging malaman at tandaan na hindi ito maaaring mas mababa.

Subukan nating lutasin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 5:

Lutasin ang Equation

Ngayon ay nananatili itong kunin ang ugat mula sa kaliwa at kanang bahagi. Pagkatapos ng lahat, naaalala mo ba kung paano i-extract ang mga ugat?

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong senyales!!!

Halimbawa 6:

Lutasin ang Equation

Sagot:

Halimbawa 7:

Lutasin ang Equation

Aray! Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat!

Para sa mga naturang equation kung saan walang mga ugat, ang mga mathematician ay may isang espesyal na icon - (walang laman na hanay). At ang sagot ay maaaring isulat tulad nito:

Sagot:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat. Walang mga paghihigpit dito, dahil hindi namin kinuha ang ugat.
Halimbawa 8:

Lutasin ang Equation

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

kaya,

Ang equation na ito ay may dalawang ugat.

Sagot:

Ang pinakasimpleng uri ng hindi kumpletong quadratic equation (bagaman lahat sila ay simple, tama?). Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Dito gagawin natin nang walang mga halimbawa.

Paglutas ng kumpletong quadratic equation

Ipinapaalala namin sa iyo na ang kumpletong quadratic equation ay isang equation ng form equation kung saan

Ang paglutas ng buong quadratic equation ay medyo mas kumplikado (medyo lang) kaysa sa ibinigay.

Tandaan, anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Ang natitirang mga pamamaraan ay makakatulong sa iyo na gawin ito nang mas mabilis, ngunit kung mayroon kang mga problema sa quadratic equation, master muna ang solusyon gamit ang discriminant.

1. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang discriminant.

Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay napaka-simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula.

Kung, kung gayon ang equation ay may ugat. Espesyal na atensyon ang dapat bayaran sa hakbang. Sinasabi sa atin ng discriminant () ang bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, ang formula sa hakbang ay mababawasan sa. Kaya, ang equation ay magkakaroon lamang ng isang ugat.
• Kung, kung gayon, hindi namin ma-extract ang ugat ng discriminant sa hakbang. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bumalik tayo sa ating mga equation at tumingin sa ilang mga halimbawa.

Halimbawa 9:

Lutasin ang Equation

Hakbang 1 laktawan.

Hakbang 2

Paghahanap ng discriminant:

Kaya ang equation ay may dalawang ugat.

Hakbang 3

Sagot:

Halimbawa 10:

Lutasin ang Equation

Ang equation ay nasa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan.

Hakbang 2

Paghahanap ng discriminant:

Kaya ang equation ay may isang ugat.

Sagot:

Halimbawa 11:

Lutasin ang Equation

Ang equation ay nasa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan.

Hakbang 2

Paghahanap ng discriminant:

Nangangahulugan ito na hindi namin makukuha ang ugat mula sa discriminant. Walang mga ugat ng equation.

Ngayon alam na natin kung paano isulat nang tama ang mga ganoong sagot.

Sagot: walang ugat

2. Solusyon ng mga quadratic equation gamit ang Vieta theorem.

Kung naaalala mo, mayroong isang uri ng mga equation na tinatawag na nabawasan (kapag ang coefficient a ay katumbas ng):

Ang ganitong mga equation ay napakadaling lutasin gamit ang teorem ng Vieta:

Ang kabuuan ng mga ugat binigay ang quadratic equation ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay.

Halimbawa 12:

Lutasin ang Equation

Ang equation na ito ay angkop para sa solusyon gamit ang Vieta's theorem, dahil .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay, i.e. makuha namin ang unang equation:

At ang produkto ay:

Gawin at lutasin natin ang system:

• at. Ang kabuuan ay;
• at. Ang kabuuan ay;
• at. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon ng system:

Sagot: ; .

Halimbawa 13:

Lutasin ang Equation

Sagot:

Halimbawa 14:

Lutasin ang Equation

Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:

Sagot:

QUADRATIC EQUATIONS. GITNANG ANTAS

Ano ang isang quadratic equation?

Sa madaling salita, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form, kung saan - hindi kilala, - ilang mga numero, bukod pa rito.

Ang bilang ay tinatawag na pinakamataas o unang koepisyent quadratic equation, - pangalawang koepisyent, isang - libreng miyembro.

Bakit? Dahil kung, ang equation ay magiging linear kaagad, dahil mawawala.

Sa kasong ito, at maaaring katumbas ng zero. Sa stool equation na ito ay tinatawag na hindi kumpleto. Kung ang lahat ng mga tuntunin ay nasa lugar, iyon ay, ang equation ay kumpleto na.

Mga solusyon sa iba't ibang uri ng quadratic equation

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation:

Upang magsimula, susuriin namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito.

Ang mga sumusunod na uri ng mga equation ay maaaring makilala:

I. , sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

II. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.

III. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.

Ngayon isaalang-alang ang solusyon ng bawat isa sa mga subtype na ito.

Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Ang isang numerong squared ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging isang positibong numero. Kaya:

kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon;

kung mayroon tayong dalawang ugat

Ang mga formula na ito ay hindi kailangang isaulo. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay hindi ito maaaring mas mababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong palatandaan!

Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat.

Upang maisulat sa madaling sabi na walang solusyon ang problema, ginagamit namin ang icon na walang laman na hanay.

Sagot:

Kaya, ang equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Sagot:

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

Ang produkto ay zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan sero. Nangangahulugan ito na ang equation ay may solusyon kapag:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Halimbawa:

Lutasin ang equation.

Desisyon:

Isinasaalang-alang namin ang kaliwang bahagi ng equation at hanapin ang mga ugat:

Sagot:

Mga pamamaraan para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation:

1. Diskriminasyon

Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay madali, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula. Tandaan, anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Napansin mo ba ang ugat ng discriminant sa root formula? Ngunit ang discriminant ay maaaring negatibo. Anong gagawin? Kailangan nating bigyan ng espesyal na pansin ang hakbang 2. Sinasabi sa atin ng discriminant ang bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, kung gayon ang equation ay may ugat:
• Kung, kung gayon ang equation ay may parehong ugat, ngunit sa katunayan, isang ugat:

  Ang ganitong mga ugat ay tinatawag na dobleng ugat.

• Kung, kung gayon ang ugat ng discriminant ay hindi nakuha. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bakit may iba't ibang bilang ng mga ugat? Lumiko tayo sa geometric na kahulugan quadratic equation. Ang graph ng function ay isang parabola:

Sa isang partikular na kaso, na isang quadratic equation, . At nangangahulugan ito na ang mga ugat ng quadratic equation ay ang mga punto ng intersection sa x-axis (axis). Ang parabola ay maaaring hindi tumawid sa axis, o maaari itong mag-intersect sa isa (kapag ang tuktok ng parabola ay nasa axis) o dalawang punto.

Bilang karagdagan, ang koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sanga ng parabola. Kung, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas, at kung - pagkatapos ay pababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Sagot: .

Sagot:

Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Sagot: .

2. Vieta's theorem

Ang paggamit ng Vieta theorem ay napakadali: kailangan mo lamang pumili ng isang pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng libreng termino ng equation, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.

Mahalagang tandaan na ang teorama ni Vieta ay maaari lamang ilapat sa ibinigay na mga quadratic equation ().

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Halimbawa #1:

Lutasin ang equation.

Desisyon:

Ang equation na ito ay angkop para sa solusyon gamit ang Vieta's theorem, dahil . Iba pang mga coefficient: ; .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay:

At ang produkto ay:

Piliin natin ang mga pares ng mga numero, ang produkto kung saan ay pantay, at suriin kung ang kanilang kabuuan ay pantay:

• at. Ang kabuuan ay;
• at. Ang kabuuan ay;
• at. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon ng system:

Kaya, at ang mga ugat ng aming equation.

Sagot: ; .

Halimbawa #2:

Desisyon:

Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at pagkatapos ay suriin kung pantay ang kanilang kabuuan:

at: ibigay sa kabuuan.

at: ibigay sa kabuuan. Upang makuha ito, kailangan mo lamang baguhin ang mga palatandaan ng pinaghihinalaang mga ugat: at, pagkatapos ng lahat, ang trabaho.

Sagot:

Halimbawa #3:

Desisyon:

Ang libreng termino ng equation ay negatibo, at samakatuwid ay ang produkto ng mga ugat - isang negatibong numero. Ito ay posible lamang kung ang isa sa mga ugat ay negatibo at ang isa ay positibo. Kaya ang kabuuan ng mga ugat ay pagkakaiba ng kanilang mga module.

Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at ang pagkakaiba nito ay katumbas ng:

at: ang kanilang pagkakaiba ay - hindi angkop;

at: - hindi angkop;

at: - hindi angkop;

at: - angkop. Nananatili lamang na tandaan na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Dahil ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, kung gayon ang ugat, na mas maliit sa ganap na halaga, ay dapat na negatibo: . Sinusuri namin:

Sagot:

Halimbawa #4:

Lutasin ang equation.

Desisyon:

Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:

Ang libreng termino ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay negatibo. At ito ay posible lamang kapag ang isang ugat ng equation ay negatibo at ang isa ay positibo.

Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na ang produkto ay pantay, at pagkatapos ay tinutukoy kung aling mga ugat ang dapat magkaroon ng negatibong tanda:

Malinaw, ang mga ugat lamang at angkop para sa unang kondisyon:

Sagot:

Halimbawa #5:

Lutasin ang equation.

Desisyon:

Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:

Ang kabuuan ng mga ugat ay negatibo, na nangangahulugan na kahit isa sa mga ugat ay negatibo. Ngunit dahil positibo ang kanilang produkto, nangangahulugan ito na ang parehong mga ugat ay minus.

Pinipili namin ang mga pares ng mga numero, ang produkto kung saan ay katumbas ng:

Malinaw, ang mga ugat ay ang mga numero at.

Sagot:

Sumang-ayon, ito ay napaka-maginhawa - upang mag-imbento ng mga ugat nang pasalita, sa halip na bilangin ang pangit na diskriminasyong ito. Subukang gamitin ang theorem ng Vieta nang madalas hangga't maaari.

Ngunit ang Vieta theorem ay kailangan upang mapadali at mapabilis ang paghahanap ng mga ugat. Upang maging kapaki-pakinabang para sa iyo na gamitin ito, dapat mong dalhin ang mga aksyon sa automatism. At para dito, lutasin ang limang higit pang mga halimbawa. Ngunit huwag mandaya: hindi mo magagamit ang discriminant! Tanging ang teorama ni Vieta:

Mga solusyon para sa mga gawain para sa malayang gawain:

Gawain 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Ayon sa teorama ni Vieta:

Gaya ng dati, sinisimulan namin ang pagpili sa produkto:

Hindi angkop dahil ang dami;

: ang dami mo kailangan.

Sagot: ; .

Gawain 2.

At muli, ang aming paboritong Vieta theorem: ang kabuuan ay dapat gumana, ngunit ang produkto ay pantay.

Ngunit dahil hindi ito dapat, ngunit, binabago natin ang mga palatandaan ng mga ugat: at (sa kabuuan).

Sagot: ; .

Gawain 3.

Hmm... Nasaan na?

Kinakailangang ilipat ang lahat ng mga tuntunin sa isang bahagi:

Ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng produkto.

Oo, tumigil ka! Ang equation ay hindi ibinigay. Ngunit ang teorama ni Vieta ay naaangkop lamang sa mga ibinigay na equation. Kaya kailangan mo munang dalhin ang equation. Kung hindi mo ito masabi, i-drop ang ideyang ito at lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng discriminant). Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang pagdadala ng isang quadratic equation ay nangangahulugan na gawing katumbas ang nangungunang coefficient sa:

ayos lang. Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay pantay, at ang produkto.

Mas madaling kunin dito: pagkatapos ng lahat - isang pangunahing numero (paumanhin para sa tautolohiya).

Sagot: ; .

Gawain 4.

Ang libreng termino ay negatibo. Ano ang espesyal dito? At ang katotohanan na ang mga ugat ay magkakaroon ng iba't ibang mga palatandaan. At ngayon, sa panahon ng pagpili, hindi namin sinusuri ang kabuuan ng mga ugat, ngunit ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga module: ang pagkakaiba na ito ay pantay, ngunit ang produkto.

Kaya, ang mga ugat ay pantay at, ngunit ang isa sa mga ito ay may minus. Sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, iyon ay. Nangangahulugan ito na ang mas maliit na ugat ay magkakaroon ng minus: at, dahil.

Sagot: ; .

Gawain 5.

Ano ang kailangang gawin muna? Tama iyon, ibigay ang equation:

Muli: pinipili namin ang mga salik ng numero, at ang kanilang pagkakaiba ay dapat na katumbas ng:

Ang mga ugat ay pantay at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. alin? Ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, na nangangahulugan na sa isang minus magkakaroon ng isang mas malaking ugat.

Sagot: ; .

Hayaan akong buod:

1. Ang teorem ni Vieta ay ginagamit lamang sa ibinigay na mga equation na parisukat.
2. Gamit ang Vieta theorem, mahahanap mo ang mga ugat sa pamamagitan ng pagpili, pasalita.
3. Kung hindi ibinigay ang equation o walang nakitang angkop na pares ng mga salik ng libreng termino, walang mga integer na ugat, at kailangan mo itong lutasin sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng discriminant).

3. Buong parisukat na paraan ng pagpili

Kung ang lahat ng mga terminong naglalaman ng hindi alam ay kinakatawan bilang mga termino mula sa mga formula ng pinaikling multiplikasyon - ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba - pagkatapos ay pagkatapos ng pagbabago ng mga variable, ang equation ay maaaring katawanin bilang isang hindi kumpletong quadratic equation ng uri.

Halimbawa:

Halimbawa 1:

Lutasin ang equation: .

Desisyon:

Sagot:

Halimbawa 2:

Lutasin ang equation: .

Desisyon:

Sagot:

Sa pangkalahatan, ang pagbabago ay magiging ganito:

Ito ay nagpapahiwatig: .

Hindi ba ito nagpapaalala sa iyo ng kahit ano? Ito ang discriminant! Ganyan talaga nakuha ang discriminant formula.

QUADRATIC EQUATIONS. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Quadratic equation ay isang equation ng anyo, kung saan ang hindi alam, ay ang mga coefficient ng quadratic equation, ay ang libreng termino.

Kumpletuhin ang quadratic equation- isang equation kung saan ang mga coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Pinababang quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient, iyon ay: .

Hindi kumpletong quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient at o libreng term c ay katumbas ng zero:

• kung ang coefficient, ang equation ay may anyo: ,
• kung isang libreng termino, ang equation ay may anyo: ,
• kung at, ang equation ay may anyo: .

1. Algorithm para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

1.1. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Ipahayag ang hindi alam: ,

2) Suriin ang tanda ng expression:

• kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon,
• kung, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.

1.2. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket: ,

2) Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation ay may dalawang ugat:

1.3. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan:

Ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang: .

2. Algorithm para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation ng form kung saan

2.1. Solusyon gamit ang discriminant

1) Dinadala namin ang equation sa karaniwang anyo: ,

2) Kalkulahin ang discriminant gamit ang formula: , na nagsasaad ng bilang ng mga ugat ng equation:

3) Hanapin ang mga ugat ng equation:

• kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
• kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
• kung, kung gayon ang equation ay walang mga ugat.

2.2. Solusyon gamit ang teorama ni Vieta

Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation (isang equation ng form, kung saan) ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay, i.e. , a.

2.3. Buong parisukat na solusyon

Bago magpatuloy sa teorama ni Vieta, ipinakilala namin ang isang kahulugan. Quadratic equation ng form x² + px + q= 0 ay tinatawag na nabawasan. Sa equation na ito, ang nangungunang coefficient ay katumbas ng isa. Halimbawa, ang equation x² - 3 x- 4 = 0 ay nabawasan. Anumang quadratic equation ng form palakol² + b x + c= 0 ay maaaring gawing bawasan, para dito hinahati natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng a≠ 0. Halimbawa, Equation 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 na hinati sa 4 ay binabawasan sa anyo: x² + x- 3/4 = 0. Nakukuha namin ang formula para sa mga ugat ng ibinigay na quadratic equation, para dito ginagamit namin ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation pangkalahatang pananaw: palakol² + bx + c = 0

Pinababang Equation x² + px + q= 0 coincides sa isang pangkalahatang equation kung saan a = 1, b = p, c = q. Samakatuwid, para sa ibinigay na quadratic equation, ang formula ay tumatagal ng anyo:

ang huling expression ay tinatawag na formula ng mga ugat ng pinababang quadratic equation, lalo na maginhawang gamitin ang formula na ito kapag R- kahit na numero. Halimbawa, lutasin natin ang equation x² - 14 x — 15 = 0

Bilang tugon, isinulat namin ang equation na may dalawang ugat.

Para sa isang pinababang quadratic equation na may positibo, ang sumusunod na theorem ay humahawak.

Ang teorama ni Vieta

Kung ang x 1 at x 2 - mga ugat ng equation x² + px + q= 0, kung gayon ang mga formula ay wasto:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q, ibig sabihin, ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.

Batay sa formula ng mga ugat ng nasa itaas na quadratic equation, mayroon tayong:

Pagdaragdag ng mga pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin ang: x 1 + x 2 = —R.

Ang pagpaparami ng mga pagkakapantay-pantay na ito, gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat, nakukuha natin:

Tandaan na ang Vieta theorem ay may bisa din kapag ang discriminant ay zero, kung ipagpalagay natin na sa kasong ito ang quadratic equation ay may dalawang magkaparehong ugat: x 1 = x 2 = — R/2.

Hindi paglutas ng mga equation x² - 13 x+ 30 = 0 hanapin ang kabuuan at produkto ng mga ugat nito x 1 at x 2. equation na ito D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, upang mailapat mo ang Vieta theorem: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Isaalang-alang ang ilang higit pang mga halimbawa. Isa sa mga ugat ng equation x² — px- 12 = 0 ay x 1 = 4. Maghanap ng coefficient R at pangalawang ugat x 2 ng equation na ito. Ayon sa teorama ni Vieta x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Bilang x 1 = 4 tapos 4 x 2 = - 12, kung saan x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Bilang tugon, isinulat namin ang pangalawang ugat x 2 = - 3, koepisyent p = - 1.

Hindi paglutas ng mga equation x² + 2 x- 4 = 0 hanapin ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat nito. Hayaan x 1 at x 2 ang mga ugat ng equation. Ayon sa teorama ni Vieta x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Bilang x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, pagkatapos x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

Hanapin ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng equation 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. Ang equation na ito ay may dalawang magkaibang ugat, dahil ang discriminant D= 16 + 4*3*5 > 0. Upang malutas ang equation, ginagamit namin ang Vieta theorem. Ang theorem na ito ay napatunayan para sa pinababang quadratic equation. Kaya't hatiin natin ang equation na ito sa 3.

Samakatuwid, ang kabuuan ng mga ugat ay -4/3, at ang kanilang produkto ay -5/3.

Sa pangkalahatan, ang mga ugat ng equation palakol² + b x + c Ang = 0 ay nauugnay sa mga sumusunod na pagkakapantay-pantay: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Upang makuha ang mga formula na ito, sapat na upang hatiin ang magkabilang panig ng quadratic equation na ito sa a ≠ 0 at ilapat ang theorem ni Vieta sa nagresultang pinababang quadratic equation. Isaalang-alang ang isang halimbawa, kailangan mong bumuo ng isang ibinigay na quadratic equation, ang mga ugat nito x 1 = 3, x 2 = 4. Bilang x 1 = 3, x 2 = 4 ay ang mga ugat ng quadratic equation x² + px + q= 0, pagkatapos ay sa pamamagitan ng Vieta theorem R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Bilang tugon, sumulat kami x² - 7 x+ 12 = 0. Ang sumusunod na theorem ay ginagamit sa paglutas ng ilang problema.

Theorem inverse to Vieta's theorem

Kung mga numero R, q, x 1 , x 2 ang ganyan x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, pagkatapos x 1 at x2 ay ang mga ugat ng equation x² + px + q= 0. Palitan sa kaliwang bahagi x² + px + q sa halip na R expression - ( x 1 + x 2), ngunit sa halip q- trabaho x 1 * x 2 . Nakukuha namin: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Kaya, kung ang mga numero R, q, x 1 at x 2 ay nauugnay sa mga relasyon na ito, pagkatapos ay para sa lahat X pagkakapantay-pantay x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), mula sa kung saan ito ay sumusunod na x 1 at x 2 - mga ugat ng equation x² + px + q= 0. Gamit ang theorem converse sa Vieta's theorem, minsan posible na mahanap ang mga ugat ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng pagpili. Isaalang-alang ang isang halimbawa, x² - 5 x+ 6 = 0. Dito R = — 5, q= 6. Pumili ng dalawang numero x 1 at x 2 kaya na x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Pansinin na ang 6 = 2 * 3, at 2 + 3 = 5, sa pamamagitan ng theorem ay sumasalungat sa Vieta's theorem, nakuha natin na x 1 = 2, x 2 = 3 - mga ugat ng equation x² - 5 x + 6 = 0.