Ano ang pangalan ng kuwit sa isang decimal. Pagbabasa ng mga decimal

Upang makatwirang numero Ang m / n ay nakasulat bilang isang decimal fraction, kailangan mong hatiin ang numerator sa denominator. Sa kasong ito, ang quotient ay isinulat bilang isang finite o infinite decimal fraction.

Isulat ang ibinigay na numero bilang isang decimal.

Desisyon. Hatiin ang numerator ng bawat fraction sa denominator nito: a) hatiin ang 6 sa 25; b) hatiin ang 2 sa 3; sa) hinahati namin ang 1 sa 2, at pagkatapos ay idinagdag namin ang nagresultang fraction sa isa - ang integer na bahagi ng pinaghalong numerong ito.

Hindi mababawasan ang mga ordinaryong fraction na ang mga denominator ay naglalaman ng walang prime divisors maliban sa 2 at 5 , ay isinulat bilang isang panghuling bahagi ng decimal.

AT halimbawa 1 kailan a) denominator 25=5 5; kailan sa) ang denominator ay 2, kaya nakuha namin ang mga huling decimal na 0.24 at 1.5. Kailan b) ang denominator ay 3, kaya ang resulta ay hindi maaaring isulat bilang isang pangwakas na decimal.

Posible bang i-convert ang naturang decimal fraction nang hindi nahahati sa isang column karaniwang fraction, kaninong denominator ang hindi naglalaman ng iba pang mga divisors, maliban sa 2 at 5? Alamin natin ito! Anong fraction ang tinatawag na decimal at isinusulat nang walang fractional line? Sagot: isang fraction na may denominator na 10; 100; 1000 atbp. At bawat isa sa mga numerong ito ay isang produkto pantay bilang ng dalawa at lima. Sa totoo lang: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5 ; 1000=2 5 2 5 2 5 atbp.

Samakatuwid, ang denominator ng isang hindi mababawasan na ordinaryong fraction ay kailangang katawanin bilang isang produkto ng "dalawa" at "lima", at pagkatapos ay i-multiply sa 2 at (o) sa 5 upang ang "dalawa" at "lima" ay maging pantay. Kung gayon ang denominator ng fraction ay magiging katumbas ng 10 o 100 o 1000, atbp. Upang ang halaga ng fraction ay hindi magbago, i-multiply natin ang numerator ng fraction sa parehong numero kung saan pinarami ang denominator.

Ipahayag ang mga sumusunod na fraction bilang isang decimal:

Desisyon. Ang bawat isa sa mga fraction na ito ay hindi mababawasan. I-decompose natin ang denominator ng bawat fraction sa pangunahing mga kadahilanan.

20=2 2 5. Konklusyon: isang "lima" ang nawawala.

8=2 2 2. Konklusyon: hindi sapat ang tatlong "lima".

25=5 5. Konklusyon: dalawang "dalawa" ang nawawala.

Magkomento. Sa pagsasagawa, madalas na hindi nila ginagamit ang factorization ng denominator, ngunit itanong lamang ang tanong: kung magkano ang dapat na i-multiply ang denominator upang ang resulta ay isang yunit na may mga zero (10 o 100 o 1000, atbp.). At pagkatapos ay ang numerator ay pinarami ng parehong numero.

Kaya, kung sakali a)(halimbawa 2) mula sa numero 20 maaari kang makakuha ng 100 sa pamamagitan ng pagpaparami ng 5, samakatuwid, kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator sa 5.

Kailan b)(halimbawa 2) mula sa numerong 8, ang bilang na 100 ay hindi gagana, ngunit ang bilang na 1000 ay makukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng 125. Parehong ang numerator (3) at ang denominator (8) ng fraction ay i-multiply sa 125.

Kailan sa)(halimbawa 2) sa 25 makakakuha ka ng 100 kapag pinarami ng 4. Nangangahulugan ito na ang numerator 8 ay dapat ding i-multiply sa 4.

Isang infinite decimal fraction kung saan ang isa o higit pang mga digit ay palaging umuulit sa parehong sequence ay tinatawag periodical decimal fraction. Ang hanay ng mga umuulit na digit ay tinatawag na panahon ng fraction na ito. Para sa kaiklian, ang panahon ng isang fraction ay isinusulat nang isang beses, na inilalagay ito sa mga panaklong.

Kailan b)(halimbawa 1 ) ang inuulit na digit ay isa at katumbas ng 6. Samakatuwid, ang aming resulta 0.66... ay isusulat nang ganito: 0,(6) . Nabasa nila: zero integers, anim sa period.

Kung mayroong isa o higit pang hindi umuulit na digit sa pagitan ng kuwit at unang tuldok, kung gayon ang naturang periodic fraction ay tinatawag na mixed periodic fraction.

Isang irreducible common fraction na ang denominator kasama ng iba multiplier ay naglalaman ng multiplier 2 o 5 , nagiging magkakahalo periodic fraction.

Sa maraming mga fraction na matatagpuan sa aritmetika, ang mga may 10, 100, 1000 sa denominator ay nararapat na espesyal na pansin - sa pangkalahatan, anumang kapangyarihan ng sampu. Ang mga fraction na ito ay may espesyal na pangalan at notasyon.

Ang decimal ay anumang numero na ang denominator ay kapangyarihan ng sampu.

Mga halimbawa ng desimal:

Bakit kinailangang ihiwalay ang gayong mga praksiyon? Bakit kailangan nila ng sarili nilang entry form? Mayroong hindi bababa sa tatlong dahilan para dito:

Mga desimal mas madaling ihambing. Tandaan: para sa paghahambing ordinaryong fraction kailangan nilang ibawas sa isa't isa at, sa partikular, upang dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator. Sa mga decimal fraction, wala sa mga ito ang kinakailangan;
Pagbawas ng mga kalkulasyon. Ang mga desimal ay idinaragdag at pinarami ng sariling tuntunin, at pagkatapos ng kaunting pagsasanay ay makikipagtulungan ka sa kanila nang mas mabilis kaysa sa mga ordinaryong;
Dali ng pag-record. Hindi tulad ng mga ordinaryong fraction, ang mga decimal ay isinusulat sa isang linya nang walang pagkawala ng kalinawan.

Karamihan sa mga calculator ay nagbibigay din ng mga sagot sa mga decimal. Sa ilang mga kaso, maaaring magdulot ng mga problema ang ibang format ng pag-record. Halimbawa, paano kung humingi ka ng pagbabago sa halagang 2/3 rubles sa isang tindahan :)

Mga panuntunan para sa pagsulat ng mga decimal fraction

Ang pangunahing bentahe ng mga decimal fraction ay isang maginhawa at visual na notasyon. Namely:

Decimal notation ay isang anyo ng decimal notation kung saan buong bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fractional na may regular na tuldok o kuwit. Sa kasong ito, ang separator mismo (tuldok o kuwit) ay tinatawag na decimal point.

Halimbawa, 0.3 (basahin ang: "zero integer, 3 tenths"); 7.25 (7 integer, 25 hundredths); 3.049 (3 integer, 49 thousandths). Ang lahat ng mga halimbawa ay kinuha mula sa nakaraang kahulugan.

Sa pagsulat, karaniwang ginagamit ang kuwit bilang isang decimal point. Dito at sa ibaba, gagamitin din ang kuwit sa buong site.

Upang magsulat ng isang arbitrary na bahagi ng decimal sa tinukoy na anyo, kailangan mong sundin ang tatlong simpleng hakbang:

Isulat nang hiwalay ang numerator;
Ilipat ang decimal point sa kaliwa ng kasing dami ng mga lugar na mayroong mga zero sa denominator. Ipagpalagay na sa una ang decimal point ay nasa kanan ng lahat ng digit;
Kung ang decimal point ay lumipat, at pagkatapos nito ay may mga zero sa dulo ng record, dapat silang i-cross out.

Nangyayari na sa pangalawang hakbang ang numerator ay walang sapat na mga numero upang makumpleto ang shift. Sa kasong ito, ang mga nawawalang posisyon ay puno ng mga zero. At sa pangkalahatan, ang anumang bilang ng mga zero ay maaaring italaga sa kaliwa ng anumang numero nang walang pinsala sa kalusugan. Ito ay pangit, ngunit kung minsan ay kapaki-pakinabang.

Sa unang sulyap, ang algorithm na ito ay maaaring mukhang medyo kumplikado. Sa katunayan, ang lahat ay napaka-simple - kailangan mo lamang magsanay ng kaunti. Tingnan ang mga halimbawa:

Gawain. Para sa bawat fraction, ipahiwatig ang decimal notation nito:

Ang numerator ng unang fraction: 73. Inilipat namin ang decimal point sa pamamagitan ng isang sign (dahil ang denominator ay 10) - nakakakuha kami ng 7.3.

Ang numerator ng pangalawang fraction: 9. Inilipat namin ang decimal point sa pamamagitan ng dalawang digit (dahil ang denominator ay 100) - nakakakuha kami ng 0.09. Kinailangan kong magdagdag ng isang zero pagkatapos ng decimal point at isa pa bago ito, upang hindi mag-iwan ng kakaibang notasyon tulad ng ".09".

Ang numerator ng ikatlong bahagi: 10029. Inilipat namin ang decimal point sa pamamagitan ng tatlong digit (dahil ang denominator ay 1000) - nakakakuha kami ng 10.029.

Ang numerator ng huling bahagi: 10500. Muli naming inilipat ang punto sa pamamagitan ng tatlong numero - nakakakuha kami ng 10.500. May mga dagdag na zero sa dulo ng numero. Tinawid namin sila - nakakakuha kami ng 10.5.

Bigyang-pansin ang huling dalawang halimbawa: ang mga numero 10.029 at 10.5. Ayon sa mga patakaran, ang mga zero sa kanan ay dapat na i-cross out, tulad ng ginagawa sa huling halimbawa. Gayunpaman, sa anumang kaso ay hindi mo dapat gawin ito sa mga zero na nasa loob ng numero (na napapalibutan ng iba pang mga digit). Iyon ang dahilan kung bakit nakakuha kami ng 10.029 at 10.5, at hindi 1.29 at 1.5.

Kaya, nalaman namin ang kahulugan at anyo ng pagtatala ng mga decimal fraction. Ngayon, alamin natin kung paano i-convert ang mga ordinaryong fraction sa mga decimal - at vice versa.

Baguhin mula sa mga fraction patungo sa mga decimal

Isaalang - alang ang isang simpleng numerical fraction ng form a / b . Maaari mong gamitin ang pangunahing katangian ng isang fraction at i-multiply ang numerator at denominator sa isang numero na makakakuha ka ng kapangyarihan ng sampu sa ibaba. Ngunit bago gawin ito, mangyaring basahin ang sumusunod:

May mga denominator na hindi nababawasan sa kapangyarihan ng sampu. Matutong kilalanin ang mga naturang fraction, dahil hindi sila maaaring gamitin ayon sa algorithm na inilarawan sa ibaba.

Ayan yun. Buweno, paano maunawaan kung ang denominator ay nabawasan sa kapangyarihan ng sampu o hindi?

Ang sagot ay simple: i-factor ang denominator sa pangunahing mga kadahilanan. Kung ang mga kadahilanan 2 at 5 lamang ang naroroon sa pagpapalawak, ang bilang na ito ay maaaring bawasan sa kapangyarihan ng sampu. Kung mayroong iba pang mga numero (3, 7, 11 - anuman), maaari mong kalimutan ang tungkol sa antas ng sampu.

Gawain. Suriin kung ang mga tinukoy na fraction ay maaaring katawanin bilang mga decimal:

Isinulat namin at i-factor ang mga denominator ng mga fraction na ito:

20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - tanging ang mga numero 2 at 5 ang naroroon. Samakatuwid, ang fraction ay maaaring katawanin bilang isang decimal.

12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - mayroong "ipinagbabawal" na kadahilanan 3. Ang fraction ay hindi maaaring katawanin bilang isang decimal.

640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. Ang lahat ay maayos: walang anuman maliban sa mga numero 2 at 5. Ang isang fraction ay kinakatawan bilang isang decimal.

48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. Ang factor 3 ay "lumitaw" muli. Hindi ito maaaring katawanin bilang isang decimal fraction.

Kaya, nalaman namin ang denominator - ngayon ay isasaalang-alang namin ang buong algorithm para sa paglipat sa mga decimal fraction:

I-factor ang denominator ng orihinal na fraction at tiyaking ito ay karaniwang kinakatawan bilang isang decimal. Yung. suriin na ang mga kadahilanan 2 at 5 lamang ang naroroon sa pagpapalawak. Kung hindi, ang algorithm ay hindi gagana;
Bilangin kung ilang dalawa at lima ang naroroon sa agnas (walang iba pang mga numero doon, tandaan?). Pumili ng ganoong karagdagang multiplier upang ang bilang ng dalawa at lima ay pantay.
Sa totoo lang, i-multiply ang numerator at denominator ng orihinal na fraction sa kadahilanang ito - nakukuha natin ang nais na representasyon, i.e. ang denominator ay magiging kapangyarihan ng sampu.

Siyempre, ang karagdagang kadahilanan ay mabubulok lamang sa dalawa at lima. Kasabay nito, upang hindi kumplikado ang iyong buhay, dapat mong piliin ang pinakamaliit na kadahilanan mula sa lahat ng posibleng.

At isa pang bagay: kung mayroong isang integer na bahagi sa orihinal na fraction, siguraduhing i-convert ang fraction na ito sa isang hindi wastong isa - at pagkatapos lamang ilapat ang inilarawan na algorithm.

Gawain. I-convert ang mga numerong ito sa mga decimal:

I-factorize natin ang denominator ng unang fraction: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Samakatuwid, ang isang fraction ay maaaring katawanin bilang isang decimal. Mayroong dalawang dalawa at walang lima sa pagpapalawak, kaya ang karagdagang salik ay 5 2 = 25. Ang bilang ng dalawa at lima ay magiging katumbas nito. Meron kami:

Ngayon ay haharapin natin ang pangalawang bahagi. Upang gawin ito, tandaan na 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - mayroong isang triple sa pagpapalawak, kaya ang fraction ay hindi maaaring kinakatawan bilang isang decimal.

Ang huling dalawang fraction ay may mga denominator 5 (isang prime number) at 20 = 4 5 = 2 2 5 ayon sa pagkakabanggit - dalawa at lima lamang ang naroroon sa lahat ng dako. Gayunpaman, sa unang kaso, para sa ganap na kaligayahan” ay walang factor na 2, at sa pangalawa - 5. Nakukuha namin ang:

Paglipat mula sa mga desimal patungo sa karaniwan

Ang reverse conversion - mula sa decimal notation hanggang sa normal - ay mas madali. Walang mga paghihigpit at mga espesyal na pagsusuri dito, kaya maaari mong palaging i-convert ang isang decimal fraction sa isang klasikong "dalawang palapag" na isa.

Ang algorithm ng pagsasalin ay ang mga sumusunod:

I-cross out ang lahat ng mga zero sa kaliwang bahagi ng decimal, pati na rin ang decimal point. Ito ang magiging numerator ng gustong fraction. Ang pangunahing bagay - huwag lumampas ang luto at huwag i-cross out ang panloob na mga zero na napapalibutan ng iba pang mga numero;
Kalkulahin kung gaano karaming mga digit ang nasa orihinal na decimal fraction pagkatapos ng decimal point. Kunin ang numero 1 at magdagdag ng maraming mga zero sa kanan habang binibilang mo ang mga character. Ito ang magiging denominator;
Sa totoo lang, isulat ang fraction na ang numerator at denominator ay kakahanap lang natin. Bawasan kung maaari. Kung mayroong integer na bahagi sa orihinal na fraction, ngayon ay nakukuha natin hindi wastong bahagi, na napaka-maginhawa para sa karagdagang mga kalkulasyon.

Gawain. I-convert ang mga decimal sa karaniwan: 0.008; 3.107; 2.25; 7,2008.

Tinawid namin ang mga zero sa kaliwa at ang mga kuwit - nakukuha namin ang mga sumusunod na numero (ito ang magiging mga numerator): 8; 3107; 225; 72008.

Sa una at pangalawang fraction pagkatapos ng decimal point ay mayroong 3 decimal na lugar, sa pangalawa - 2, at sa pangatlo - kasing dami ng 4 na decimal na lugar. Nakukuha natin ang mga denominador: 1000; 1000; 100; 10000.

Sa wakas, pagsamahin natin ang mga numerator at denominator sa mga ordinaryong fraction:

Tulad ng makikita mula sa mga halimbawa, ang resultang fraction ay madalas na mababawasan. Muli, tandaan ko na ang anumang bahagi ng decimal ay maaaring katawanin bilang isang ordinaryong. Ang reverse transformation ay hindi laging posible.

Bilang:

± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …

kung saan ang ± ay ang fraction sign: alinman sa + o -,

, - decimal point, na nagsisilbing separator sa pagitan ng integer at fractional na bahagi ng numero,

d k- mga decimal na digit.

Kasabay nito, ang pagkakasunud-sunod ng mga digit bago ang kuwit (sa kaliwa nito) ay may dulo (tulad ng min 1-bawat digit), at pagkatapos ng kuwit (sa kanan) maaari itong maging may hangganan (bilang isang opsyon, maaaring walang mga digit pagkatapos ng kuwit sa lahat), at walang katapusan.

halaga ng desimal ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … ay isang tunay na numero:

na katumbas ng kabuuan ng isang may hangganan o walang katapusang bilang ng mga termino.

Ang representasyon ng mga tunay na numero gamit ang mga decimal fraction ay isang generalization ng notation ng mga integer sa decimal number system. Ang decimal na representasyon ng isang integer ay walang mga digit pagkatapos ng decimal point, at sa gayon, ang representasyong ito ay ganito ang hitsura:

± d m … d 1 d 0 ,

At ito ay kasabay ng talaan ng ating numero sa sistema ng decimal na numero.

Decimal- ito ang resulta ng paghahati ng 1 sa 10, 100, 1000 at iba pa. Ang mga fraction na ito ay medyo maginhawa para sa mga kalkulasyon, dahil sila ay batay sa parehong positional system kung saan ang pagbibilang at notasyon ng mga integer ay binuo. Dahil dito, ang notasyon at mga panuntunan para sa mga decimal fraction ay halos kapareho ng para sa mga integer.

Kapag nagsusulat ng mga decimal fraction, hindi mo kailangang markahan ang denominator, ito ay tinutukoy ng lugar na inookupahan ng kaukulang figure. Una, isulat ang integer na bahagi ng numero, pagkatapos ay maglagay ng decimal point sa kanan. Ang unang digit pagkatapos ng decimal point ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga tenth, ang pangalawa - ang bilang ng hundredths, ang pangatlo - ang bilang ng thousandths, at iba pa. Ang mga numero pagkatapos ng decimal point ay mga decimal na lugar.

Halimbawa:

Ang isa sa mga pakinabang ng mga decimal fraction ay ang mga ito ay napakadaling ma-convert sa mga ordinaryong fraction: ang numero pagkatapos ng decimal point (sa amin ay 5047) ay tagabilang; denominador katumbas n ika degree 10, kung saan n- ang bilang ng mga decimal na lugar (namin ito n=4):

Kapag walang integer na bahagi sa decimal fraction, ilagay namin ang zero sa harap ng decimal point:

Mga katangian ng mga decimal fraction.

1. Ang Decimal ay hindi nagbabago kapag ang mga zero ay idinagdag sa kanan:

13.6 =13.6000.

2. Ang decimal ay hindi nagbabago kapag ang mga zero na nasa dulo ng decimal ay inalis:

0.00123000 = 0.00123.

Pansin! Ang mga zero na HINDI sa dulo ng isang decimal ay hindi dapat alisin!

3. Ang decimal fraction ay tumataas ng 10, 100, 1000, at iba pa kapag inililipat natin ang decimal point sa 1-well, 2, 2, at iba pa na mga posisyon sa kanan, ayon sa pagkakabanggit:

3.675 → 367.5 (ang fraction ay tumaas ng isang daang beses).

4. Ang decimal fraction ay nagiging mas mababa sa sampu, isang daan, isang libo, at iba pa kapag inililipat natin ang decimal point sa 1-well, 2, 3, at iba pa na mga posisyon sa kaliwa, ayon sa pagkakabanggit:

1536.78 → 1.53678 (ang fraction ay naging isang libong beses na mas maliit).

Mga uri ng decimal.

Ang mga desimal ay hinati ng pangwakas, walang katapusan at panaka-nakang mga decimal.

Tapusin ang decimal - ito ay isang fraction na naglalaman ng isang may hangganan na bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point (o wala sila doon), i.e. parang ganyan:

Ang isang tunay na numero ay maaaring katawanin bilang isang finite decimal fraction lamang kung ang numerong ito ay rational at kapag isinulat bilang isang irreducible fraction p/q denominador q ay walang pangunahing divisors maliban sa 2 at 5.

Walang katapusang decimal.

Naglalaman ng walang katapusan na paulit-ulit na pangkat ng mga digit na tinatawag panahon. Ang panahon ay nakasulat sa mga bracket. Halimbawa, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

Panaka-nakang decimal- ito ay tulad ng isang walang katapusang decimal fraction kung saan ang pagkakasunod-sunod ng mga digit pagkatapos ng decimal point, simula sa isang partikular na lugar, ay isang pana-panahong umuulit na pangkat ng mga digit. Sa ibang salita, periodic fraction ay isang decimal na ganito ang hitsura:

Ang nasabing fraction ay karaniwang maikli na isinusulat tulad nito:

Pangkat ng numero b 1 … b l, na inuulit, ay panahon ng fraction, ang bilang ng mga digit sa pangkat na ito ay haba ng panahon.

Kapag nasa periodic fraction ang period ay dumarating kaagad pagkatapos ng decimal point, kung gayon ang fraction ay puro periodic. Kapag may mga numero sa pagitan ng kuwit at 1st period, ang fraction ay halo-halong pana-panahon, at isang pangkat ng mga digit pagkatapos ng decimal point hanggang sa 1st period sign - fraction preperiod.

Halimbawa, ang fraction 1,(23) = 1.2323… ay purong periodic, at ang fraction 0.1(23)=0.12323… ay mixed periodic.

Ang pangunahing pag-aari ng mga periodic fraction, dahil sa kung saan sila ay nakikilala mula sa buong hanay ng mga decimal fraction, ay nakasalalay sa katotohanan na ang mga periodic fraction at ang mga ito lamang ang kumakatawan sa mga rational na numero. Mas tiyak, ang mga sumusunod ay nagaganap:

Ang anumang walang katapusang umuulit na decimal ay kumakatawan sa isang rational na numero. Sa kabaligtaran, kapag ang isang rational na numero ay nabulok sa isang walang katapusang decimal fraction, ang fraction na ito ay magiging pana-panahon.

praksyonal na numero.

Decimal notation ng isang fractional number ay isang set ng dalawa o higit pang mga digit mula $0$ hanggang $9$, kung saan ay ang tinatawag na \textit (decimal point).

Halimbawa 1

Halimbawa, $35.02; $100.7; $123 \ $456.5; $54.89.

Ang pinakakaliwang digit sa decimal notation hindi maaaring zero ang numero, maliban kung ang decimal point ay kaagad pagkatapos ng unang digit na $0$.

Halimbawa 2

Halimbawa, $0.357; $0.064.

Kadalasan ang decimal point ay pinapalitan ng decimal point. Halimbawa, $35.02$; $100.7$; $123 \ 456.5$; $54.89.

Desimal na kahulugan

Kahulugan 1

Mga desimal ay mga fractional na numero na kinakatawan sa decimal notation.

Halimbawa, $121.05; $67.9; $345.6700.

Ginagamit ang mga desimal para sa isang mas compact na representasyon ng mga regular na fraction na ang mga denominator ay ang mga numerong $10$, $100$, $1\000$, atbp. at magkahalong numero na ang mga denominator ay $10$, $100$, $1\000$, atbp.

Halimbawa, ang karaniwang fraction na $\frac(8)(10)$ ay maaaring isulat bilang decimal na $0.8$, at ang mixed number na $405\frac(8)(100)$ bilang decimal na $405.08$.

Pagbabasa ng mga decimal

Ang mga desimal na tumutugma sa mga regular na praksyon ay binabasa nang kapareho ng mga ordinaryong praksyon, tanging ang pariralang "zero integer" ay idinaragdag sa harap. Halimbawa, ang karaniwang fraction na $\frac(25)(100)$ (basahin ang "dalawampu't limang hundredths") ay tumutugma sa decimal fraction na $0.25$ (basahin ang "zero point twenty-five hundredths").

Ang mga desimal na tumutugma sa mga pinaghalong numero ay binabasa sa parehong paraan tulad ng mga pinaghalong numero. Halimbawa, halo-halong numero$43\frac(15)(1000)$ ay tumutugma sa decimal na $43,015$ (basahin ang "apatnapu't tatlong punto labinlimang libo").

Mga lugar sa mga decimal

Sa decimal notation, ang halaga ng bawat digit ay depende sa posisyon nito. Yung. sa mga decimal fraction, nagaganap din ang konsepto discharge.

Ang mga digit sa mga decimal fraction hanggang sa decimal point ay tinatawag na kapareho ng mga digit sa natural na mga numero. Ang mga digit sa decimal fraction pagkatapos ng decimal point ay nakalista sa talahanayan:

Larawan 1.

Halimbawa 3

Halimbawa, sa decimal fraction $56,328$, $5$ ay nasa sampu na lugar, $6$ ay nasa units place, $3$ ay nasa ikasampung lugar, $2$ ay nasa ika-daang lugar, $8$ ay nasa ika-libong lugar.

Ang mga digit sa mga decimal fraction ay nakikilala sa pamamagitan ng seniority. Kapag nagbabasa ng decimal fraction, lumilipat sila mula kaliwa pakanan - mula nakatatanda discharge sa junior.

Halimbawa 4

Halimbawa, sa decimal na $56.328$, ang pinaka makabuluhang (pinakamataas) na digit ay ang sampung digit, at ang hindi bababa sa makabuluhang (pinakamababa) na digit ay ang thousandths digit.

Ang isang decimal fraction ay maaaring palawakin sa mga digit sa parehong paraan tulad ng pagpapalawak sa mga digit ng isang natural na numero.

Halimbawa 5

Halimbawa, palawakin natin ang decimal fraction na $37,851$ sa mga digit:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Tapusin ang mga decimal

Kahulugan 2

Tapusin ang mga decimal ay tinatawag na mga decimal fraction, ang mga talaan na naglalaman ng isang may hangganang bilang ng mga character (digit).

Halimbawa, $0.138; $5.34; $56.123456; $350,972.54.

Anumang huling decimal fraction ay maaaring ma-convert sa isang karaniwang fraction o isang mixed na numero.

Halimbawa 6

Halimbawa, ang huling decimal fraction na $7.39$ ay tumutugma sa fractional number na $7\frac(39)(100)$, at ang huling decimal fraction na $0.5$ ay tumutugma sa tamang fraction na $\frac(5)(10)$ (o anumang fraction, na katumbas nito, halimbawa, $\frac(1)(2)$ o $\frac(10)(20)$.

Pag-convert ng ordinaryong fraction sa decimal fraction

I-convert ang mga karaniwang fraction na may mga denominator na $10, 100, \dots$ sa mga decimal

Bago i-convert ang ilang wastong ordinaryong praksyon sa mga desimal, kailangan munang "ihanda" ang mga ito. Ang resulta ng naturang paghahanda ay dapat na parehong bilang ng mga digit sa numerator at ang bilang ng mga zero sa denominator.

Ang kakanyahan ng "paunang paghahanda" ng mga regular na ordinaryong fraction para sa conversion sa decimal fraction ay upang magdagdag sa kaliwa sa numerator ng isang bilang ng mga zero na kabuuan ang mga digit ay naging katumbas ng bilang ng mga zero sa denominator.

Halimbawa 7

Halimbawa, ihanda natin ang karaniwang fraction na $\frac(43)(1000)$ para sa conversion sa decimal at makakuha ng $\frac(043)(1000)$. At ang ordinaryong fraction na $\frac(83)(100)$ ay hindi kailangang ihanda.

Bumalangkas tayo panuntunan para sa pag-convert ng wastong common fraction na may denominator na $10$, o $100$, o $1\000$, $\dots$ sa isang decimal fraction:

sumulat ng $0$;

maglagay ng decimal point pagkatapos nito;

isulat ang numero mula sa numerator (kasama ang mga idinagdag na mga zero pagkatapos ng paghahanda, kung kinakailangan).

Halimbawa 8

I-convert ang tamang fraction na $\frac(23)(100)$ sa decimal.

Desisyon.

Ang denominator ay ang numerong $100$, na naglalaman ng $2$ dalawang zero. Ang numerator ay naglalaman ng numerong $23$, na naglalaman ng $2$.digit. nangangahulugan ito na ang paghahanda para sa fraction na ito para sa conversion sa decimal ay hindi kinakailangan.

Isulat natin ang $0$, maglagay ng decimal point at isulat ang numerong $23$ mula sa numerator. Nakukuha namin ang decimal fraction na $0.23$.

Sagot: $0,23$.

Halimbawa 9

Isulat ang wastong fraction na $\frac(351)(100000)$ bilang isang decimal.

Desisyon.

Ang numerator ng fraction na ito ay may $3$ digit, at ang bilang ng mga zero sa denominator ay $5$, kaya ang ordinaryong fraction na ito ay kailangang ihanda para sa conversion sa decimal. Upang gawin ito, magdagdag ng $5-3=2$ na mga zero sa kaliwa sa numerator: $\frac(00351)(100000)$.

Ngayon ay maaari na nating mabuo ang nais na decimal fraction. Upang gawin ito, isulat ang $0$, pagkatapos ay maglagay ng kuwit at isulat ang numero mula sa numerator. Nakukuha namin ang decimal fraction na $0.00351$.

Sagot: $0,00351$.

Bumalangkas tayo panuntunan para sa pag-convert ng mga hindi wastong karaniwang fraction na may mga denominador na $10$, $100$, $\dots$ sa mga decimal:

sumulat ng isang numero mula sa numerator;

hiwalay na may decimal point na kasing dami ng digit sa kanan dahil may mga zero sa denominator ng orihinal na fraction.

Halimbawa 10

I-convert ang improper common fraction $\frac(12756)(100)$ sa decimal.

Desisyon.

Isulat natin ang numero mula sa numerator $12756$, pagkatapos ay paghiwalayin ang mga digit sa kanan gamit ang decimal point na $2$, dahil ang denominator ng orihinal na fraction $2$ ay zero. Nakukuha namin ang decimal fraction na $127.56$.

Mga fraction na nakasulat sa anyong 0.8; 0.13; 2.856; 5.2; 0.04 ay tinatawag na decimal. Sa katunayan, ang mga decimal fraction ay isang pinasimpleng representasyon ng mga ordinaryong fraction. Maginhawang gamitin ang notasyong ito para sa lahat ng mga fraction na ang mga denominator ay 10, 100, 1000, at iba pa.

Isaalang-alang ang mga halimbawa (0.5 ay binabasa bilang, zero point five);

(0.15 ay binabasa bilang, zero point fifteenths);

(Ang 5.3 ay binabasa bilang, limang puntong tatlo).

Tandaan na sa decimal notation, pinaghihiwalay ng kuwit ang integer na bahagi ng numero mula sa fractional na bahagi, ang integer na bahagi wastong fraction sugat 0. Ang talaan ng fractional na bahagi ng isang decimal fraction ay naglalaman ng kasing dami ng mga digit na may mga zero sa talaan ng denominator ng kaukulang ordinaryong fraction.

Isaalang-alang ang isang halimbawa, , , .

Sa ilang mga kaso, maaaring kailanganin itong isaalang-alang natural na numero bilang isang decimal na ang fractional na bahagi ay zero. Nakaugalian na isulat iyon, 5 = 5.0; 245 = 245.0 at iba pa. Tandaan na sa decimal notation ng isang natural na numero, ang unit ng hindi bababa sa makabuluhang digit ay 10 beses na mas mababa kaysa sa unit ng kalapit na pinakamahalagang digit. Ang mga desimal na fraction ay may parehong katangian. Samakatuwid, kaagad pagkatapos ng decimal point ay dumating ang ikasampung lugar, pagkatapos ay ang ika-daang lugar, pagkatapos ay ang ika-libong lugar, at iba pa. Nasa ibaba ang mga pangalan ng mga digit ng numerong 31.85431, ang unang dalawang column ay ang integer na bahagi, ang natitirang mga column ay ang fractional na bahagi.

Ang fraction na ito ay binabasa bilang tatlumpu't isang punto walumpu't limang libo apat na raan at tatlumpu't isang daan-libo.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga decimal

Ang unang paraan ay ang pag-convert ng mga decimal sa commons at idagdag ang mga ito.

Tulad ng makikita mo mula sa halimbawa, ang pamamaraang ito ay napaka-inconvenient at mas mainam na gamitin ang pangalawang paraan, na mas tama, nang hindi na-convert ang mga decimal fraction sa mga ordinaryong. Upang magdagdag ng dalawang decimal:

ipantay ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa mga termino;
isulat ang mga termino sa ilalim ng bawat isa upang ang bawat digit ng ikalawang termino ay nasa ilalim ng kaukulang digit ng unang termino;
idagdag ang mga resultang numero sa parehong paraan tulad ng pagdaragdag ng mga natural na numero;
maglagay ng kuwit sa ilalim ng mga kuwit sa mga termino sa resultang halaga.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

equalize sa binawasan at bawas ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point;
isulat ang subtrahend sa ilalim ng minuend upang ang bawat bit ng subtrahend ay nasa ilalim ng katumbas na bit ng minuend;
ibawas sa parehong paraan tulad ng natural na mga numero ay ibawas;
maglagay ng kuwit sa ilalim ng mga kuwit sa minuend at subtrahend sa resultang pagkakaiba.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

Sa mga halimbawang tinalakay sa itaas, makikita na ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga decimal fraction ay ginanap nang paunti-unti, iyon ay, sa parehong paraan tulad ng ginawa namin ng mga katulad na operasyon na may natural na mga numero. Ito ang pangunahing bentahe ng decimal notation para sa mga fraction.

Decimal multiplication

Upang i-multiply ang isang decimal na fraction sa 10, 100, 1000, at iba pa, kinakailangang ilipat ang kuwit sa kanan sa fraction na ito, ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng 1, 2, 3, at iba pa, ang mga numero. Samakatuwid, kung ang kuwit ay inilipat sa kanan ng 1, 2, 3 at iba pa na mga numero, ang fraction ay tataas ng 10, 100, 1000 at iba pa, ayon sa pagkakabanggit. Upang magparami ng dalawang decimal:

i-multiply ang mga ito bilang natural na mga numero, hindi pinapansin ang mga kuwit;
sa resultang produkto, paghiwalayin ang kasing dami ng mga digit na may kuwit sa kanan gaya ng pagkatapos ng mga kuwit sa parehong mga salik na magkasama.

May mga kaso kapag ang produkto ay naglalaman ng mas kaunting mga digit kaysa sa kinakailangan upang paghiwalayin gamit ang isang kuwit, ang kinakailangang bilang ng mga zero ay idinaragdag sa kaliwa bago ang produktong ito, at pagkatapos ay ang kuwit ay inilipat sa kaliwa ng kinakailangang bilang ng mga digit.

Isaalang-alang ang mga halimbawa: 2 * 4 = 8, pagkatapos ay 0.2 * 0.4 = 0.08; 23 * 35 = 805, pagkatapos ay 0.023 * 0.35 = 0.00805.

May mga kaso kapag ang isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng 0.1; 0.01; 0.001 at iba pa, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na panuntunan.

Upang i-multiply ang isang decimal sa 0.1; 0.01; 0.001 at iba pa, kinakailangang ilipat ang kuwit sa kaliwa sa decimal fraction na ito, ayon sa pagkakabanggit, ng 1, 2, 3 at iba pa na mga numero.

Isaalang-alang ang mga halimbawa: 2.65 * 0.1 = 0.265; 457.6 * 0.01 = 4.576.

Ang mga katangian ng multiplikasyon ng mga natural na numero ay mayroon din para sa mga decimal fraction.

ab=ba- commutative property ng multiplikasyon;
(ab)c = a(bc)- nag-uugnay na pag-aari ng pagpaparami;
a (b + c) = ab + ac ay ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan.

Desimal na dibisyon

Ito ay kilala na kung hahatiin natin ang isang natural na numero a sa isang natural na numero b ay nangangahulugan ng paghahanap ng ganoong natural na numero c, na, kapag pinarami ng b nagbibigay ng numero a. Nananatiling totoo ang panuntunang ito kung isa man lang sa mga numero a, b, c ay isang decimal.

Isaalang-alang ang isang halimbawa, gusto mong hatiin ang 43.52 sa 17 sulok, na hindi pinapansin ang kuwit. Sa kasong ito, ang kuwit sa pribado ay dapat ilagay kaagad bago ang unang digit pagkatapos gamitin ang decimal point sa dibidendo.

May mga kaso kapag ang dibidendo ay mas mababa sa divisor, kung gayon ang integer na bahagi ng quotient ay katumbas ng zero. Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Tingnan natin ang isa pang kawili-wiling halimbawa.

Ang proseso ng paghahati ay huminto dahil ang mga numero ng dibidendo ay tapos na, at ang natitira ay hindi nakatanggap ng zero. Ito ay kilala na ang isang decimal fraction ay hindi magbabago kung anumang bilang ng mga zero ay nakatalaga dito sa kanan. Pagkatapos ay nagiging malinaw na ang mga bilang ng dibidendo ay hindi maaaring magtapos.

Upang hatiin ang isang decimal na fraction sa pamamagitan ng 10, 100, 1000 at iba pa, kinakailangang ilipat ang decimal point sa kaliwa sa fraction na ito ng 1, 2, 3 at iba pa na mga numero. Isaalang-alang ang isang halimbawa: 5.14: 10 = 0.514; 2: 100 = 0.02; 37.51: 1000 = 0.03751.

Kung ang dibidendo at ang divisor ay sabay na tumaas ng 10, 100, 1000 at iba pa, hindi magbabago ang quotient.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa: 39.44: 1.6 = 24.65 taasan natin ang dibidendo at ang divisor ng 10 beses 394.4: 16 = 24.65 Makatarungang tandaan na mas madaling hatiin ang isang decimal fraction sa natural na numero sa pangalawang halimbawa.

Upang hatiin ang isang decimal sa isang decimal, kailangan mong:

ilipat ang mga kuwit sa dibidendo at sa divisor sa kanan ng kasing dami ng mga digit na nilalaman ng mga ito pagkatapos ng decimal point sa divisor;
hatiin sa natural na numero.

Isaalang-alang ang isang halimbawa: 23.6: 0.02 tandaan na mayroong dalawang decimal na lugar sa divisor, samakatuwid pinarami namin ang parehong mga numero sa 100, nakakakuha kami ng 2360: 2 = 1180 hinati namin ang resulta sa 100 at nakuha namin ang sagot na 11.80 o 23.6: 0, 02 = 11.8.

Paghahambing ng Decimal

Mayroong dalawang paraan upang ihambing ang mga decimal. Paraan ng isa, kailangan mong ihambing ang dalawang decimal fraction 4.321 at 4.32, i-equalize ang bilang ng mga decimal na lugar at simulan ang paghahambing ng unti-unti, tenths na may tenths, hundredths na may hundredths, at iba pa, bilang isang resulta, nakakakuha kami ng 4.321\u003e 4.320.

Ang pangalawang paraan upang ihambing ang mga fraction ng decimal ay ginagawa gamit ang multiplikasyon, i-multiply ang halimbawa sa itaas ng 1000 at ihambing ang 4321\u003e 4320. Aling paraan ang mas maginhawa, pinipili ng lahat para sa kanyang sarili.