Ang formula para sa pagkalkula ng kabuuang posibilidad ng isang kaganapan. Kabuuang Formula ng Probability

Hayaang malaman ang kanilang mga probabilities at ang kaukulang conditional probabilities. Kung gayon ang posibilidad na mangyari ang kaganapan ay:

Ang formula na ito ay tinatawag na kabuuang mga pormula ng posibilidad. Sa mga aklat-aralin, ito ay binuo ng isang teorama, ang patunay nito ay elementarya: ayon sa algebra ng kaganapan, (nangyari ang pangyayari at o isang pangyayari ang nangyari at pagkatapos nito dumating ang kaganapan o isang pangyayari ang nangyari at pagkatapos nito dumating ang kaganapan o …. o isang pangyayari ang nangyari at sumunod na pangyayari). Dahil ang mga hypotheses ay hindi magkatugma, at ang kaganapan ay nakasalalay, pagkatapos ay ayon sa karagdagan theorem para sa mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan (unang hakbang) at ang teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga umaasang kaganapan (Pangalawang hakbang):

Marahil, marami ang umaasa sa nilalaman ng unang halimbawa =)

Kahit saan ka dumura - kahit saan ang urn:

Gawain 1

May tatlong magkatulad na urn. Ang unang urn ay naglalaman ng 4 na puti at 7 itim na bola, ang pangalawang urn ay naglalaman lamang ng mga puting bola, at ang ikatlong urn ay naglalaman lamang ng mga itim na bola. Ang isang urn ay pinili nang random at ang isang bola ay kinuha mula dito nang random. Ano ang posibilidad na ang bolang ito ay itim?

Desisyon: isaalang-alang ang kaganapan - isang itim na bola ang kukunin mula sa isang random na napiling urn. Maaaring mangyari ang kaganapang ito bilang resulta ng pagpapatupad ng isa sa mga sumusunod na hypotheses:
– pipiliin ang 1st urn;
– pipiliin ang 2nd urn;
– pipiliin ang 3rd urn.

Dahil ang urn ay pinili nang random, ang pagpili ng alinman sa tatlong urn pare-parehong posible, kaya:

Tandaan na nabuo ang mga hypotheses sa itaas buong pangkat ng mga kaganapan, iyon ay, ayon sa kondisyon, ang isang itim na bola ay maaaring lumitaw lamang mula sa mga urn na ito, at, halimbawa, hindi lumipad mula sa isang billiard table. Gumawa tayo ng isang simpleng intermediate check:
OK, magpatuloy tayo:

Ang unang urn ay naglalaman ng 4 na puti + 7 itim = 11 bola, bawat isa klasikal na kahulugan:
ay ang posibilidad ng pagguhit ng isang itim na bola Kung ganoon na pipiliin ang 1st urn.

Ang pangalawang urn ay naglalaman lamang ng mga puting bola, kaya kung pinili ang hitsura ng isang itim na bola ay nagiging imposible: .

At, sa wakas, sa ikatlong urn mayroon lamang mga itim na bola, na nangangahulugan na ang katumbas kondisyon na maaaring mangyari ang pagkuha ng itim na bola ay magiging (tiyak ang kaganapan).

ay ang posibilidad na ang isang itim na bola ay makukuha mula sa isang random na piniling urn.

Sagot:

Ang nasuri na halimbawa ay muling nagmumungkahi kung gaano kahalaga ang UNAWAIN ANG KONDISYON. Kunin natin ang parehong mga problema sa mga urn at bola - sa kanilang panlabas na pagkakapareho, ang mga paraan ng paglutas ay maaaring maging ganap na naiiba: sa isang lugar na kinakailangan na mag-aplay lamang klasikal na kahulugan ng posibilidad, mga kaganapan sa isang lugar malaya, sa isang lugar umaasa, at kung saan pinag-uusapan natin ang mga hypotheses. Kasabay nito, walang malinaw na pormal na pamantayan para sa pagpili ng landas ng solusyon - halos palaging kailangan mong isipin ito. Paano pagbutihin ang iyong mga kasanayan? We solve, we solve and we solve again!

Gawain 2

Mayroong 5 iba't ibang mga riple sa hanay ng pagbaril. Ang mga posibilidad na matamaan ang target para sa isang naibigay na tagabaril ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng 0.5; 0.55; 0.7; 0.75 at 0.4. Ano ang posibilidad na matamaan ang target kung ang tagabaril ay nagpaputok ng isang putok mula sa isang random na napiling rifle?

Mabilis na Solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa karamihan ng mga pampakay na problema, ang mga hypotheses, siyempre, ay hindi pantay na posibilidad:

Gawain 3

Mayroong 5 riple sa pyramid, tatlo sa mga ito ay nilagyan ng optical sight. Ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target kapag pinaputok mula sa isang rifle na may teleskopiko na paningin ay 0.95; para sa isang rifle na walang teleskopiko na paningin, ang posibilidad na ito ay 0.7. Hanapin ang posibilidad na ang target ay matatamaan kung ang tagabaril ay nagpaputok ng isang putok mula sa isang riple na kinuha nang random.

Desisyon: sa problemang ito, ang bilang ng mga riple ay eksaktong kapareho ng sa nauna, ngunit mayroon lamang dalawang hypotheses:
- ang tagabaril ay pipili ng isang rifle na may optical na paningin;
- ang tagabaril ay pipili ng isang rifle na walang teleskopiko na paningin.
Sa pamamagitan ng klasikal na kahulugan ng posibilidad: .
Ang kontrol:

Isaalang-alang ang kaganapan: - ang tagabaril ay tumama sa target gamit ang isang random na napiling rifle.
Ayon sa kondisyon: .

Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad:

Sagot: 0,85

Sa pagsasagawa, ang isang pinaikling paraan ng pagdidisenyo ng isang gawain, na pamilyar ka rin, ay lubos na katanggap-tanggap:

Desisyon: ayon sa klasikal na kahulugan: ay ang mga probabilidad ng pagpili ng rifle na may at walang optical na paningin, ayon sa pagkakabanggit.

Sa kondisyon, – mga posibilidad na tamaan ang target gamit ang kani-kanilang uri ng mga riple.

Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad:
ay ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target gamit ang isang random na napiling rifle.

Sagot: 0,85

Susunod na gawain para sa malayang solusyon:

Gawain 4

Gumagana ang makina sa tatlong mga mode: normal, sapilitang at idling. Sa idle mode, ang posibilidad ng pagkabigo nito ay 0.05, sa normal na mode - 0.1, at sa sapilitang mode - 0.7. 70% ng oras na tumatakbo ang makina sa normal na mode, at 20% sa sapilitang mode. Ano ang posibilidad ng pagkabigo ng makina sa panahon ng operasyon?

Kung sakali, hayaan mong ipaalala ko sa iyo - upang makuha ang mga probabilities, ang mga porsyento ay dapat na hatiin sa 100. Maging maingat! Ayon sa aking mga obserbasyon, ang mga kondisyon ng mga problema para sa kabuuang pormula ng posibilidad ay madalas na sinusubukang malito; at partikular na pinili ko ang gayong halimbawa. Sasabihin ko sa iyo ang isang sikreto - halos malito ako sa sarili ko =)

Solusyon sa pagtatapos ng aralin (binubalangkas sa maikling paraan)

Mga problema para sa mga formula ng Bayes

Ang materyal ay malapit na nauugnay sa nilalaman ng nakaraang talata. Hayaang mangyari ang kaganapan bilang resulta ng pagpapatupad ng isa sa mga hypotheses . Paano matukoy ang posibilidad na ang isang partikular na hypothesis ay naganap?

Kung ganoon pangyayaring iyon nangyari na, mga probabilidad ng hypotheses overestimated ayon sa mga pormula na nakatanggap ng pangalan ng paring Ingles na si Thomas Bayes:

- ang posibilidad na ang hypothesis ay naganap;
- ang posibilidad na ang hypothesis ay naganap;
…
ay ang posibilidad na ang hypothesis ay totoo.

Sa unang sulyap, tila isang ganap na kahangalan - bakit muling kalkulahin ang mga probabilidad ng mga hypotheses, kung alam na ang mga ito? Ngunit sa katunayan mayroong isang pagkakaiba:

- Ito isang priori(tinatayang dati mga pagsubok) probabilidad.

- Ito isang posterior(tinatayang pagkatapos mga pagsubok) ang mga probabilidad ng parehong hypotheses, muling kinakalkula na may kaugnayan sa "mga bagong natuklasang pangyayari" - isinasaalang-alang ang katotohanan na ang kaganapan nangyari.

Tingnan natin ang pagkakaibang ito tiyak na halimbawa:

Gawain 5

Nakatanggap ang bodega ng 2 batch ng mga produkto: ang una - 4000 piraso, ang pangalawa - 6000 piraso. Ang average na porsyento ng mga di-karaniwang produkto sa unang batch ay 20%, at sa pangalawa - 10%. Random na kinuha mula sa bodega, ang produkto ay naging pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ito ay: a) mula sa unang batch, b) mula sa pangalawang batch.

Unang parte mga solusyon ay binubuo sa paggamit ng kabuuang pormula ng posibilidad. Sa madaling salita, ang mga kalkulasyon ay isinasagawa sa ilalim ng pagpapalagay na ang pagsubok hindi pa nagagawa at kaganapan "ang produkto ay naging pamantayan" hanggang sa dumating.

Isaalang-alang natin ang dalawang hypotheses:
- isang produkto na kinuha nang random ay mula sa 1st batch;
- isang produkto na kinuha nang random ay magmumula sa 2nd batch.

Kabuuan: 4000 + 6000 = 10000 item sa stock. Ayon sa klasikal na kahulugan:
.

Ang kontrol:

Isaalang-alang ang umaasa na kaganapan: – isang item na kinuha nang random mula sa bodega kalooban pamantayan.

Sa unang batch 100% - 20% = 80% karaniwang mga produkto, samakatuwid: Kung ganoon na ito ay kabilang sa 1st party.

Katulad nito, sa pangalawang batch 100% - 10% = 90% karaniwang mga produkto at ay ang posibilidad na ang isang random na napiling item sa bodega ay magiging isang karaniwang item Kung ganoon na ito ay kabilang sa 2nd party.

Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad:
ay ang posibilidad na ang isang produkto na pinili nang random mula sa bodega ay magiging isang karaniwang produkto.

Ikalawang bahagi. Ipagpalagay na ang isang produkto na kinuha nang random mula sa bodega ay naging karaniwan. Ang pariralang ito ay direktang nabaybay sa kondisyon, at ito ay nagsasaad ng katotohanan na ang kaganapan nangyari.

Ayon sa mga formula ni Bayes:

a) - ang posibilidad na ang napiling karaniwang produkto ay kabilang sa 1st batch;

b) - ang posibilidad na ang napiling karaniwang produkto ay nabibilang sa 2nd batch.

Pagkatapos muling pagsusuri hypotheses, siyempre, nabuo pa rin buong grupo:
(pagsusuri;-))

Sagot:

Si Ivan Vasilyevich, na muling nagbago ng kanyang propesyon at naging direktor ng halaman, ay tutulong sa amin na maunawaan ang kahulugan ng muling pagtatasa ng mga hypotheses. Alam niya na ngayon ang 1st shop ay nagpadala ng 4000 item sa warehouse, at ang 2nd shop - 6000 na mga produkto, at siya ay pumupunta upang tiyakin ito. Ipagpalagay na ang lahat ng mga produkto ay pareho ang uri at nasa parehong lalagyan. Naturally, dati nang nakalkula ni Ivan Vasilyevich na ang produkto na aalisin niya ngayon para sa pag-verify ay malamang na gagawin ng 1st workshop at may posibilidad ng pangalawa. Ngunit pagkatapos na maging pamantayan ang napiling item, napabulalas siya: “Ang astig na bolt! - sa halip ito ay inilabas ng 2nd workshop. Kaya, ang posibilidad ng pangalawang hypothesis ay overestimated sa mas magandang panig, at ang posibilidad ng unang hypothesis ay minamaliit: . At ang overestimation na ito ay hindi hindi makatwiran - pagkatapos ng lahat, ang 2nd workshop ay hindi lamang gumawa ng higit pang mga produkto, ngunit gumagana din ng 2 beses na mas mahusay!

Sabi mo, puro subjectivism? Bahagyang - oo, bukod dito, si Bayes mismo ang nag-interpret isang posterior probabilidad bilang antas ng tiwala. Gayunpaman, hindi lahat ay napakasimple - mayroong isang layunin na butil sa pamamaraang Bayesian. Pagkatapos ng lahat, ang posibilidad na ang produkto ay magiging pamantayan (0.8 at 0.9 para sa 1st at 2nd shop, ayon sa pagkakabanggit) Ito paunang(a priori) at daluyan mga pagtatantya. Ngunit, sa pagsasalita ng pilosopikal, lahat ay dumadaloy, lahat ay nagbabago, kasama ang mga probabilidad. Ito ay lubos na posible na sa oras ng pag-aaral ang mas matagumpay na 2nd shop ay tumaas ang porsyento ng mga karaniwang produkto (at/o binawasan ang 1st shop), at kung susuriin natin malaking dami o lahat ng 10 libong mga item sa stock, kung gayon ang labis na tinantya na mga halaga ay magiging mas malapit sa katotohanan.

Sa pamamagitan ng paraan, kung si Ivan Vasilyevich ay nag-extract ng isang hindi karaniwang bahagi, kung gayon ang kabaligtaran - siya ay "magsususpetsa" sa 1st shop nang higit pa at mas kaunti - ang pangalawa. Iminumungkahi kong suriin mo ito para sa iyong sarili:

Gawain 6

Nakatanggap ang bodega ng 2 batch ng mga produkto: ang una - 4000 piraso, ang pangalawa - 6000 piraso. Ang average na porsyento ng mga hindi karaniwang produkto sa unang batch ay 20%, sa pangalawa - 10%. Ang isang produkto na kinuha nang random mula sa bodega ay naging hindi pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ito ay: a) mula sa unang batch, b) mula sa pangalawang batch.

Ang kundisyon ay makikilala sa pamamagitan ng dalawang titik, na aking na-highlight sa bold. Ang problema ay maaaring malutas mula sa simula, o maaari mong gamitin ang mga resulta ng nakaraang mga kalkulasyon. Sa sample na meron ako kumpletong solusyon, ngunit upang walang pormal na magkakapatong sa Gawain Blg. 5, ang kaganapan "Ang isang produkto na kinuha nang random mula sa bodega ay magiging hindi pamantayan" minarkahan ng .

Ang Bayesian scheme ng muling pagsusuri ng mga probabilidad ay matatagpuan sa lahat ng dako, at ito ay aktibong pinagsamantalahan ng iba't ibang uri ng mga scammer. Isaalang-alang ang isang tatlong-titik na joint-stock na kumpanya na naging isang pangalan ng sambahayan, na umaakit ng mga deposito mula sa populasyon, diumano'y namumuhunan sa kanila sa isang lugar, regular na nagbabayad ng mga dibidendo, atbp. Anong nangyayari? Lumipas ang araw-araw, buwan-buwan, at parami nang parami ang mga katotohanan, na inihahatid sa pamamagitan ng advertising at salita ng bibig, nagpapataas lamang ng antas ng kumpiyansa sa financial pyramid. (posterior Bayesian re-evaluation dahil sa mga nakaraang kaganapan!). Ibig sabihin, sa mata ng mga depositor, may patuloy na pagtaas sa posibilidad na "Ito ay isang seryosong opisina"; habang ang posibilidad ng kabaligtaran na hypothesis (“ito ay mga regular na manloloko”), siyempre, bumababa at bumababa. Ang natitira, sa palagay ko, ay malinaw. Kapansin-pansin na ang nakuhang reputasyon ay nagbibigay ng oras sa mga tagapag-ayos upang matagumpay na itago mula kay Ivan Vasilyevich, na naiwan hindi lamang nang walang isang batch ng bolts, kundi pati na rin walang pantalon.

Babalik tayo sa hindi gaanong kagiliw-giliw na mga halimbawa sa ibang pagkakataon, ngunit sa ngayon, marahil ang pinakakaraniwang kaso na may tatlong hypotheses ay susunod sa linya:

Gawain 7

Ang mga electric lamp ay ginawa sa tatlong pabrika. Ang unang halaman ay gumagawa ng 30% kabuuan lamp, ang ika-2 - 55%, at ang ika-3 - ang natitira. Ang mga produkto ng 1st planta ay naglalaman ng 1% ng mga may sira na lamp, ang ika-2 - 1.5%, ang ika-3 - 2%. Ang tindahan ay tumatanggap ng mga produkto mula sa lahat ng tatlong pabrika. May sira ang binili kong lamp. Ano ang posibilidad na ito ay ginawa ng planta 2?

Tandaan na sa mga problema sa mga formula ng Bayes sa kondisyon kinakailangan ilang anong nangyari isang kaganapan, sa kasong ito, ang pagbili ng isang lampara.

Dumami ang mga kaganapan at desisyon ito ay mas maginhawa upang ayusin sa isang "mabilis" na estilo.

Ang algorithm ay eksakto ang parehong: sa unang hakbang, nakita namin ang posibilidad na ang binili lampara ay magiging may sira.

Gamit ang paunang data, isinasalin namin ang mga porsyento sa mga probabilidad:
ay ang mga posibilidad na ang lampara ay ginawa ng 1st, 2nd at 3rd factory, ayon sa pagkakabanggit.
Ang kontrol:

Katulad nito: - ang mga posibilidad ng paggawa ng isang may sira na lampara para sa kani-kanilang mga pabrika.

Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad:

- ang posibilidad na ang biniling lamp ay may depekto.

Ikalawang hakbang. Hayaang may sira ang binili na lampara (naganap ang kaganapan)

Ayon sa formula ng Bayes:
- ang posibilidad na ang binili na may sira na lampara ay ginawa ng pangalawang pabrika

Sagot:

Bakit tumaas ang paunang posibilidad ng 2nd hypothesis pagkatapos ng muling pagtatasa? Pagkatapos ng lahat, ang pangalawang halaman ay gumagawa ng mga lamp na may average na kalidad (ang una ay mas mahusay, ang pangatlo ay mas masahol pa). Kaya bakit ito nadagdagan isang posterior ang posibilidad na ang defective lamp ay mula sa 2nd factory? Hindi na ito dahil sa "reputasyon", kundi sa laki. Dahil ang planta numero 2 ay gumawa ng pinakamaraming malaking bilang ng lamp, pagkatapos ay sinisisi nila siya (hindi bababa sa subjectively): "malamang, ang sira na lampara na ito ay mula doon".

Kagiliw-giliw na tandaan na ang mga probabilidad ng 1st at 3rd hypotheses ay na-overestimated sa inaasahang direksyon at naging pantay:

Ang kontrol: , na dapat i-verify.

Sa pamamagitan ng paraan, tungkol sa underestimated at overestimated:

Gawain 8

Sa pangkat ng mag-aaral 3 tao ang mayroon mataas na lebel pagsasanay, 19 na tao - katamtaman at 3 - mababa. Mga probabilidad matagumpay na paghahatid ang pagsusulit para sa mga mag-aaral na ito ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng: 0.95; 0.7 at 0.4. Nabatid na ilang estudyante ang nakapasa sa pagsusulit. Ano ang posibilidad na:

a) siya ay napakahusay na naghanda;
b) ay katamtamang inihanda;
c) ay hindi maganda ang paghahanda.

Magsagawa ng mga kalkulasyon at pag-aralan ang mga resulta ng muling pagsusuri ng mga hypotheses.

Ang gawain ay malapit sa realidad at lalong kapani-paniwala para sa isang grupo ng mga part-time na mag-aaral, kung saan halos hindi alam ng guro ang mga kakayahan nito o ng mag-aaral na iyon. Sa kasong ito, ang resulta ay maaaring maging sanhi ng hindi inaasahang mga kahihinatnan. (lalo na sa mga pagsusulit sa 1st semester). Kung ang isang hindi handa na mag-aaral ay sapat na mapalad na makakuha ng isang tiket, kung gayon ang guro ay malamang na ituring siyang isang mahusay na mag-aaral o kahit na isang malakas na mag-aaral, na magdadala ng magagandang dibidendo sa hinaharap (siyempre, kailangan mong "itaas ang bar" at panatilihin ang iyong imahe). Kung ang isang mag-aaral ay nag-aral, nagsisiksikan, paulit-ulit sa loob ng 7 araw at 7 gabi, ngunit siya ay hindi pinalad, kung gayon ang mga karagdagang kaganapan ay maaaring umunlad sa pinakamasamang posibleng paraan - na may maraming mga muling pagkuha at pagbabalanse sa bingit ng pag-alis.

Hindi na kailangang sabihin, ang reputasyon ang pinakamahalagang kapital, hindi nagkataon na maraming mga korporasyon ang nagtataglay ng mga pangalan ng kanilang mga founding father, na namuno sa negosyo 100-200 taon na ang nakalilipas at naging tanyag sa kanilang hindi nagkakamali na reputasyon.

Oo, ang Bayesian na diskarte ay subjective sa isang tiyak na lawak, ngunit ... ganyan ang buhay!

Pagsamahin natin ang materyal na may pangwakas na pang-industriya na halimbawa, kung saan magsasalita ako tungkol sa mga teknikal na subtleties ng solusyon na hindi pa nakatagpo:

Gawain 9

Tatlong workshop ng halaman ang gumagawa ng mga bahagi ng parehong uri, na pinagsama sa isang karaniwang lalagyan para sa pagpupulong. Ito ay kilala na ang unang tindahan ay gumagawa ng 2 beses na mas maraming bahagi kaysa sa pangalawang tindahan, at 4 na beses na higit pa kaysa sa ikatlong tindahan. Sa unang workshop, ang depekto ay 12%, sa pangalawa - 8%, sa pangatlo - 4%. Para sa kontrol, isang bahagi ang kinuha mula sa lalagyan. Ano ang posibilidad na ito ay may depekto? Ano ang posibilidad na ang nakuhang bahagi na may sira ay ginawa ng ika-3 tindahan?

Nakasakay na naman si Taki Ivan Vasilyevich =) Dapat happy ending ang pelikula =)

Desisyon: sa kaibahan sa Mga Gawain Blg. 5-8, ang isang katanungan ay tahasang itinatanong dito, na niresolba gamit ang kabuuang pormula ng posibilidad. Ngunit sa kabilang banda, ang kundisyon ay medyo "naka-encrypt", at ang kakayahan ng paaralan na bumuo ng pinakasimpleng mga equation ay makakatulong sa amin na malutas ang rebus na ito. Para sa "X" ito ay maginhawang kunin pinakamaliit na halaga:

Hayaan ang bahagi ng mga bahagi na ginawa ng ikatlong workshop.

Ayon sa kondisyon, ang unang workshop ay gumagawa ng 4 na beses na higit pa kaysa sa ikatlong workshop, kaya ang bahagi ng 1st workshop ay .

Bilang karagdagan, ang unang pagawaan ay gumagawa ng 2 beses na mas maraming produkto kaysa sa pangalawang pagawaan, na nangangahulugang ang bahagi ng huli ay: .

Gawin at lutasin natin ang equation:

Kaya: - ang mga posibilidad na ang bahagi na inalis mula sa lalagyan ay inilabas ng 1st, 2nd at 3rd workshop, ayon sa pagkakabanggit.

Ang kontrol: . Bilang karagdagan, hindi magiging labis na tingnan muli ang parirala "Alam na ang unang pagawaan ay gumagawa ng mga produkto ng 2 beses na higit pa kaysa sa pangalawang pagawaan at 4 na beses na higit pa kaysa sa ikatlong pagawaan" at siguraduhin na ang mga nakuhang probabilidad ay talagang tumutugma sa kundisyong ito.

Para sa "X" sa una ay posible na kunin ang bahagi ng 1st o ang bahagi ng 2nd shop - ang mga probabilidad ay lalabas pareho. Ngunit, sa isang paraan o iba pa, ang pinakamahirap na seksyon ay naipasa, at ang solusyon ay nasa landas:

Mula sa kondisyon na nakita namin:
- ang posibilidad ng paggawa ng isang may sira na bahagi para sa kaukulang mga workshop.

Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad:
ay ang posibilidad na ang isang bahagi na random na nakuha mula sa lalagyan ay magiging hindi pamantayan.

Ikalawang tanong: ano ang posibilidad na ang nakuhang bahagi na may sira ay ginawa ng 3rd shop? Ipinapalagay ng tanong na ito na ang bahagi ay naalis na at napag-alamang may depekto. Muli naming sinusuri ang hypothesis gamit ang formula ng Bayes:
ay ang nais na posibilidad. Medyo inaasahan - pagkatapos ng lahat, ang ikatlong pagawaan ay gumagawa hindi lamang ang pinakamaliit na bahagi ng mga bahagi, ngunit nangunguna rin sa kalidad!

Sa kasong ito, kailangan ko pasimplehin ang apat na palapag na bahagi, na sa mga problema sa mga formula ng Bayes ay kailangang gawin nang madalas. Ngunit para sa ang araling ito Sa paanuman ay hindi sinasadyang nakakuha ako ng mga halimbawa kung saan maraming mga kalkulasyon ang maaaring gawin nang walang ordinaryong mga praksyon.

Dahil walang "a" at "be" na mga puntos sa kondisyon, mas mahusay na ibigay ang sagot sa mga komento sa text:

Sagot: - ang posibilidad na ang bahagi na inalis mula sa lalagyan ay magiging may depekto; - ang posibilidad na ang na-extract na may sira na bahagi ay inilabas ng 3rd workshop.

Tulad ng nakikita mo, ang mga problema sa kabuuang pormula ng posibilidad at mga pormula ng Bayes ay medyo simple, at, marahil, sa kadahilanang ito ay madalas nilang sinusubukan na gawing kumplikado ang kondisyon, na nabanggit ko na sa simula ng artikulo.

Ang mga karagdagang halimbawa ay nasa file na may mga handa na solusyon para sa F.P.V. at mga pormula ng Bayes, bilang karagdagan, malamang na may mga nagnanais na maging mas malalim na pamilyar sa paksang ito sa ibang mga mapagkukunan. At ang paksa ay talagang napaka-interesante - kung ano ang halaga ng nag-iisa bayes kabalintunaan, na nagpapatunay sa pang-araw-araw na payo na kung ang isang tao ay nasuri na may isang bihirang sakit, kung gayon makatuwiran para sa kanya na magsagawa ng isang segundo at kahit na dalawang paulit-ulit na independiyenteng pagsusuri. Mukhang ginagawa nila ito dahil lamang sa desperasyon ... - ngunit hindi! Ngunit huwag nating pag-usapan ang mga malungkot na bagay.

a) - ang posibilidad na ang mag-aaral na nakapasa sa pagsusulit ay pinaghandaan nang husto. Ang layunin ng paunang posibilidad ay labis na tinantya, dahil halos palaging ang ilang "karaniwan" ay masuwerte sa mga tanong at sinasagot nila nang napakalakas, na nagbibigay ng maling impresyon ng hindi nagkakamali na paghahanda.

b) ay ang posibilidad na ang mag-aaral na nakapasa sa pagsusulit ay katamtamang inihanda. Ang paunang posibilidad ay lumalabas na bahagyang overestimated, dahil Ang mga mag-aaral na may average na antas ng paghahanda ay kadalasang karamihan, bilang karagdagan, isasama ng guro ang hindi matagumpay na nasagot na "mahusay na mga mag-aaral" dito, at paminsan-minsan ay isang mag-aaral na mahina ang pagganap na napakasuwerteng may tiket.

sa) - ang posibilidad na ang mag-aaral na nakapasa sa pagsusulit ay hindi maganda ang paghahanda. Ang paunang posibilidad ay na-overestimated para sa mas masahol pa. Hindi nakakagulat.

Layunin: upang bumuo ng mga kasanayan para sa paglutas ng mga problema sa probability theory gamit ang kabuuang probability formula at ang Bayes formula.

Kabuuang Formula ng Probability

Probability ng Kaganapan PERO, na maaaring mangyari lamang kung mangyari ang isa sa mga hindi tugmang kaganapan B x, B 2 ,..., B n, ang pagbuo ng isang kumpletong grupo ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga probabilidad ng bawat isa sa mga kaganapang ito at ang kaukulang kondisyon na posibilidad ng kaganapan A:

Ang formula na ito ay tinatawag na kabuuang pormula ng posibilidad.

Probability ng hypotheses. Formula ng Bayes

Hayaan ang kaganapan PERO maaaring mangyari kung ang isa sa mga hindi tugmang kaganapan ay nangyari B b B 2 ,...,B p, pagbuo ng isang kumpletong grupo. Dahil hindi alam nang maaga kung alin sa mga kaganapang ito ang magaganap, ang mga ito ay tinatawag na hypotheses. Probability ng isang kaganapan na naganap PERO ay tinutukoy ng kabuuang pormula ng posibilidad:

Ipagpalagay na ang isang pagsubok ay isinagawa, bilang isang resulta kung saan ang isang kaganapan ay naganap PERO. Kinakailangang matukoy kung paano sila nagbago (dahil sa katotohanan na ang kaganapan PERO dumating na) probabilities ng hypotheses. Mga kondisyong probabilidad Ang mga hypotheses ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Sa formula na ito, ang index / = 1.2

Ang formula na ito ay tinatawag na Bayes formula (pagkatapos ng English mathematician na nagmula nito; inilathala noong 1764). Ang pormula ng Bayes ay nagbibigay-daan sa iyo na labis na tantiyahin ang mga probabilidad ng mga hypotheses pagkatapos malaman ang resulta ng pagsusulit, bilang isang resulta kung saan lumitaw ang kaganapan. PERO.

Gawain 1. Ang halaman ay gumagawa ng isang tiyak na uri ng bahagi, ang bawat bahagi ay may depekto na may posibilidad na 0.05. Ang bahagi ay siniyasat ng isang inspektor; nakakakita ito ng depekto na may posibilidad na 0.97, at kung walang nakitang depekto, ipinapasa nito ang bahagi sa tapos na produkto. Bilang karagdagan, ang inspektor ay maaaring magkamali na tanggihan ang isang bahagi na walang depekto; ang posibilidad nito ay 0.01. Hanapin ang mga posibilidad ng mga sumusunod na kaganapan: A - ang bahagi ay tatanggihan; B - ang bahagi ay tatanggihan, ngunit mali; C - ang bahagi ay lalaktawan sa tapos na produkto na may depekto.

Desisyon

Tukuyin natin ang mga hypotheses:

H= (isang karaniwang bahagi ay ipapadala para sa inspeksyon);

H= (isang hindi karaniwang bahagi ang ipapadala para sa inspeksyon).

Kaganapan A =(ang bahagi ay tatanggihan).

Mula sa kalagayan ng problema ay makikita natin ang mga probabilidad

P H (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad, nakukuha namin

Ang posibilidad na ang isang bahagi ay matanggihan nang hindi sinasadya ay

Hanapin natin ang posibilidad na ang bahagi ay laktawan sa tapos na produkto na may depekto:

Sagot:

Gawain 2. Ang produkto ay sinuri para sa pamantayan ng isa sa tatlong mga espesyalista sa kalakal. Ang posibilidad na mapunta ang produkto sa unang merchandiser ay 0.25, sa pangalawa - 0.26 at sa pangatlo - 0.49. Ang posibilidad na ang produkto ay makikilala bilang pamantayan ng unang merchandiser ay 0.95, sa pangalawa - 0.98, sa pangatlo - 0.97. Hanapin ang posibilidad na ang karaniwang produkto ay sinuri ng pangalawang inspektor.

Desisyon

Tukuyin natin ang mga pangyayari:

L. =(ang produkto para sa pagpapatunay ay mapupunta sa /-th commodity manager); / = 1, 2, 3;

B =(makikilala ang produkto bilang pamantayan).

Ayon sa kondisyon ng problema, ang mga probabilidad ay kilala:

Alam din natin ang conditional probabilities

Gamit ang formula ng Bayes, nakita namin ang posibilidad na ang karaniwang produkto ay nasuri ng pangalawang controller:

Sagot:“0.263.

Gawain 3. Dalawang makina ang gumagawa ng mga bahagi na papunta sa isang karaniwang conveyor. Ang posibilidad na makakuha ng isang hindi karaniwang bahagi sa unang makina ay 0.06, at sa pangalawa - 0.09. Ang pagganap ng pangalawang makina ay dalawang beses kaysa sa una. Ang isang hindi karaniwang bahagi ay kinuha mula sa conveyor. Hanapin ang posibilidad na ang bahaging ito ay ginawa ng pangalawang makina.

Desisyon

Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A. =(ang bahagi na kinuha mula sa linya ng pagpupulong ay ginawa ng i-th machine); / = 1.2;

AT= (hindi pamantayan ang bahaging kinuha).

Alam din natin ang conditional probabilities

Gamit ang kabuuang pormula ng posibilidad, nakita namin

Gamit ang formula ng Bayes, nakita namin ang posibilidad na ang hindi karaniwang bahagi na kinuha ay ginawa ng pangalawang automat:

Sagot: 0,75.

Gawain 4. Ang isang aparato ay nasubok, na binubuo ng dalawang node, ang pagiging maaasahan ng kung saan ay 0.8 at 0.9, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga node ay nabigo nang nakapag-iisa sa isa't isa. Nabigo ang device. Hanapin, isinasaalang-alang ito, ang mga probabilidad ng mga hypotheses:

• a) ang unang node lamang ang may sira;
• b) ang pangalawang node lamang ang may sira;
• c) ang parehong mga node ay may sira.

Desisyon

Tukuyin natin ang mga pangyayari:

D = (Ang ika-7 node ay hindi mabibigo); i = 1,2;

D - kaukulang kabaligtaran na mga kaganapan;

PERO= (sa panahon ng pagsubok, ang aparato ay mabibigo).

Mula sa kondisyon ng problema ay nakukuha natin: P(D) = 0.8; P(L 2) = 0,9.

Sa pamamagitan ng pag-aari ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan

Kaganapan PERO ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga malayang kaganapan

Gamit ang addition theorem para sa mga probabilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan at ang theorem para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan, nakukuha namin

Ngayon nakita namin ang mga probabilidad ng mga hypotheses:

Sagot:

Gawain 5. Sa pabrika, ang mga bolts ay ginawa sa tatlong makina, na gumagawa ng ayon sa pagkakabanggit 25%, 30% at 45% ng kabuuang bilang ng mga bolts. Sa paggawa ng mga tool sa makina, ang depekto ay ayon sa pagkakabanggit 4%, 3% at 2%. Ano ang posibilidad na ang isang bolt, na random na kinuha mula sa isang papasok na produkto, ay may depekto?

Desisyon

Tukuyin natin ang mga pangyayari:

4 = (isang random na kinuha na bolt ay ginawa sa i-th machine); i = 1, 2, 3;

AT= (Ang bolt na kinuha nang random ay magiging depekto).

Mula sa kondisyon ng problema, gamit ang klasikal na pormula ng posibilidad, makikita natin ang mga probabilidad ng mga hypotheses:

Gayundin, gamit ang klasikal na pormula ng posibilidad, makikita natin ang mga kondisyong probabilidad:

Gamit ang kabuuang pormula ng posibilidad, nakita namin

Sagot: 0,028.

Gawain 6. Ang electronic circuit ay kabilang sa isa sa tatlong batch na may posibilidad na 0.25; 0.5 at 0.25. Ang posibilidad na ang circuit ay gagana nang lampas sa panahon ng warranty para sa bawat isa sa mga partido, ayon sa pagkakabanggit, ay 0.1; 0.2 at 0.4. Hanapin ang posibilidad na ang isang random na napiling circuit ay gagana nang lampas sa panahon ng warranty.

Desisyon

Tukuyin natin ang mga pangyayari:

4 \u003d (random na kinuhang scheme mula sa r-th party); ako = 1, 2, 3;

AT= (Ang isang random na kinuha na circuit ay gagana nang lampas sa panahon ng warranty).

Ayon sa kondisyon ng problema, ang mga probabilidad ng mga hypotheses ay kilala:

Alam din namin ang mga kondisyon na probabilidad:

Gamit ang kabuuang pormula ng posibilidad, nakita namin

Sagot: 0,225.

Gawain 7. Ang aparato ay naglalaman ng dalawang bloke, ang kakayahang magamit ng bawat isa ay kinakailangan para sa pagpapatakbo ng aparato. Ang mga probabilidad ng walang kabiguan na operasyon para sa mga bloke na ito ay 0.99 at 0.97, ayon sa pagkakabanggit. Wala sa ayos ang device. Tukuyin ang posibilidad na nabigo ang parehong mga yunit.

Desisyon

Tukuyin natin ang mga pangyayari:

D = ( z block mabibigo); i = 1,2;

PERO= (mabibigo ang device).

Mula sa kondisyon ng problema, ayon sa pag-aari ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan, nakukuha natin ang: DD) = 1-0.99 = 0.01; DD) = 1-0.97 = 0.03.

Kaganapan PERO nangyayari lamang kapag kahit isa sa mga pangyayari D o A 2 . Samakatuwid, ang kaganapang ito ay katumbas ng kabuuan ng mga kaganapan PERO= D + PERO 2 .

Sa pamamagitan ng karagdagan theorem para sa mga probabilidad ng magkasanib na mga kaganapan, nakuha namin

Gamit ang formula ng Bayes, nakita namin ang posibilidad na nabigo ang aparato dahil sa pagkabigo ng parehong mga bloke.

Sagot:

Mga gawain para sa malayang solusyon Gawain 1. Sa bodega ng studio ng telebisyon mayroong 70% ng mga kinescope na ginawa ng halaman No. ang natitirang mga kinescope ay ginawa ng planta No. 2. Ang posibilidad na ang kinescope ay hindi mabibigo sa panahon ng warranty ay 0.8 para sa mga kinescope ng planta No. 1 at 0.7 para sa mga kinescope ng planta No. 2. Ang kinescope ay lumampas sa panahon ng warranty. Hanapin ang posibilidad na ito ay ginawa ng plant number 2.

Gawain 2. Ang mga bahagi mula sa tatlong awtomatikong makina ay dumarating sa pagpupulong. Ito ay kilala na ang 1st machine ay nagbibigay ng 0.3% ng mga depekto, ang ika-2 - 0.2%, ang ika-3 - 0.4%. Hanapin ang posibilidad ng pagtanggap ng isang may sira na bahagi para sa pagpupulong, kung 1000 bahagi ang natanggap mula sa unang makina, 2000 mula sa ika-2, at 2500 bahagi mula sa ika-3.

Gawain 3. Dalawang makina ang gumagawa ng magkaparehong bahagi. Ang posibilidad na ang isang bahagi na ginawa sa unang makina ay magiging pamantayan ay 0.8, at sa pangalawa - 0.9. Ang pagganap ng pangalawang makina ay tatlong beses kaysa sa una. Hanapin ang posibilidad na ang karaniwang bahagi ay kunin nang random mula sa conveyor, na tumatanggap ng mga bahagi mula sa parehong mga makina.

Gawain 4. Nagpasya ang pinuno ng kumpanya na gamitin ang mga serbisyo ng dalawa sa tatlong kumpanya ng transportasyon. Ang mga posibilidad ng hindi napapanahong paghahatid ng mga kalakal para sa una, pangalawa at pangatlong kumpanya ay 0.05, ayon sa pagkakabanggit; 0.1 at 0.07. Ang paghahambing ng mga data na ito sa data sa kaligtasan ng transportasyon ng kargamento, ang manager ay dumating sa konklusyon na ang pagpili ay pantay at nagpasya na gawin ito sa pamamagitan ng lot. Hanapin ang posibilidad na ang ipinadalang kargamento ay maihahatid sa oras.

Gawain 5. Ang aparato ay naglalaman ng dalawang bloke, ang kakayahang magamit ng bawat isa ay kinakailangan para sa pagpapatakbo ng aparato. Ang mga probabilidad ng walang kabiguan na operasyon para sa mga bloke na ito ay 0.99 at 0.97, ayon sa pagkakabanggit. Wala sa ayos ang device. Tukuyin ang posibilidad na nabigo ang pangalawang yunit.

Gawain 6. Ang assembly shop ay tumatanggap ng mga bahagi mula sa tatlong makina. Ang unang makina ay nagbibigay ng 3% ng kasal, ang pangalawa - 1% at ang pangatlo - 2%. Tukuyin ang posibilidad na makapasok ang isang hindi may sira na bahagi sa pagpupulong kung 500, 200, 300 na bahagi ang natanggap mula sa bawat makina, ayon sa pagkakabanggit.

Gawain 7. Ang bodega ay tumatanggap ng mga produkto ng tatlong kumpanya. Bukod dito, ang produksyon ng unang kumpanya ay 20%, ang pangalawa - 46% at ang pangatlo - 34%. Alam din na ang average na porsyento ng mga hindi pamantayang produkto para sa unang kumpanya ay 5%, para sa pangalawa - 2% at para sa pangatlo - 1%. Hanapin ang posibilidad na ang isang produkto na pinili nang random ay ginawa ng pangalawang kumpanya kung ito ay naging pamantayan.

Gawain 8. Pag-aasawa sa produksyon ng halaman dahil sa isang depekto a ay 5%, at kabilang sa mga tinanggihan batay sa a mga produkto sa 10% ng mga kaso ay may depekto R. At sa mga produktong walang depekto a, depekto R nangyayari sa 1% ng mga kaso. Hanapin ang posibilidad na makatagpo ng isang depekto R sa lahat ng produkto.

Gawain 9. Ang kumpanya ay may 10 bagong kotse at 5 luma na dati ay inaayos. Ang posibilidad ng tamang operasyon para sa isang bagong kotse ay 0.94, para sa isang luma - 0.91. Hanapin ang posibilidad na ang isang kotse na pinili nang random ay gagana nang maayos.

Gawain 10. Dalawang sensor ang nagpapadala ng mga signal sa isang karaniwang channel ng komunikasyon, at ang una sa mga ito ay nagpapadala ng dalawang beses na mas maraming signal kaysa sa pangalawa. Ang posibilidad na makatanggap ng isang pangit na signal mula sa unang sensor ay 0.01, mula sa pangalawa - 0.03. Ano ang posibilidad na makatanggap ng sira na signal sa isang karaniwang channel ng komunikasyon?

Gawain 11. Mayroong limang batch ng mga produkto: tatlong batch ng 8 piraso, kung saan 6 ay standard at 2 hindi standard, at dalawang batch ng 10 piraso, kung saan 7 ay standard at 3 ay non-standard. Ang isa sa mga batch ay pinili nang random, at isang detalye ang kinuha mula sa batch na ito. Tukuyin ang posibilidad na ang napiling bahagi ay magiging pamantayan.

Gawain 12. Ang assembler ay tumatanggap, sa karaniwan, 50% ng mga bahagi mula sa unang halaman, 30% mula sa pangalawang halaman, at 20% mula sa ikatlong halaman. Ang posibilidad na ang bahagi ng unang pabrika ay may mahusay na kalidad ay 0.7; para sa mga bahagi ng pangalawa at pangatlong halaman, ayon sa pagkakabanggit, 0.8 at 0.9. Ang random na kinuhang bahagi ay naging napakahusay ng kalidad. Hanapin ang posibilidad na ang bahagi ay ginawa ng unang pabrika.

Gawain 13. Ang inspeksyon ng customs ng mga sasakyan ay isinasagawa ng dalawang inspektor. Sa karaniwan, sa 100 sasakyan, 45 ang dumaan sa unang inspektor. Ang posibilidad na sa panahon ng inspeksyon ang isang kotse na sumusunod sa mga patakaran ng customs ay hindi makulong ay 0.95 para sa unang inspektor at 0.85 para sa pangalawa. Hanapin ang posibilidad na ang isang kotse na sumusunod sa mga patakaran ng customs ay hindi makukulong.

Gawain 14. Ang mga bahagi na kailangan upang i-assemble ang aparato ay nagmula sa dalawang awtomatikong makina, ang pagganap nito ay pareho. Kalkulahin ang posibilidad ng isang karaniwang bahagi na pumapasok sa pagpupulong kung ang isa sa mga automata ay nagbibigay ng average na 3% na paglabag sa pamantayan, at ang pangalawa - 2%.

Gawain 15. Kinakalkula ng weightlifting coach na para makatanggap ng mga kredito ng koponan sa kategoryang ito ng timbang, dapat itulak ng isang atleta ang isang 200 kg na barbell. Sina Ivanov, Petrov at Sidorov ay umaangkin ng isang lugar sa koponan. Sinubukan ni Ivanov sa panahon ng pagsasanay na iangat ang gayong timbang sa 7 kaso, at itinaas sa 3 sa kanila. Umangat si Petrov ng 6 na beses sa 13, at si Sidorov ay may 35% na pagkakataon na matagumpay na mahawakan ang barbell. Ang coach ay random na pumipili ng isang atleta para sa koponan.

• a) Hanapin ang posibilidad na ang napiling atleta ay magdadala ng mga puntos ng koponan.
• b) Ang pangkat ay hindi nakatanggap ng anumang puntos. Hanapin ang posibilidad na nagsalita si Sidorov.

Gawain 16. Ang puting kahon ay naglalaman ng 12 pula at 6 mga asul na lobo. Sa itim - 15 pula at 10 asul na bola. Maghagis ng dice. Kung ang bilang ng mga puntos ay isang maramihang ng 3, kung gayon ang isang bola ay random na kinuha mula sa puting kahon. Kung ang anumang iba pang bilang ng mga puntos ay nahuhulog, pagkatapos ay isang bola ang random na kinuha mula sa itim na kahon. Ano ang posibilidad ng isang pulang bola?

Gawain 17. Dalawang kahon ang naglalaman ng mga tubo ng radyo. Ang unang kahon ay naglalaman ng 12 lamp, kung saan ang 1 ay hindi pamantayan; sa pangalawa ay mayroong 10 lamp, 1 sa mga ito ay hindi pamantayan. Ang isang lampara ay kinuha nang random mula sa unang kahon at inilipat sa pangalawa. Hanapin ang posibilidad na ang isang lampara na iginuhit nang random mula sa pangalawang kahon ay hindi pamantayan.

Gawain 18. Ang isang puting bola ay ibinabagsak sa isang urn na naglalaman ng dalawang bola, pagkatapos ay ang isang bola ay iguguhit nang random. Hanapin ang posibilidad na ang iginuhit na bola ay magiging puti kung ang lahat ng posibleng pagpapalagay tungkol sa paunang komposisyon ng mga bola (ayon sa kulay) ay pantay na posible.

Gawain 19. Ang isang karaniwang bahagi ay itinapon sa isang kahon na naglalaman ng 3 magkatulad na bahagi, at pagkatapos ay isang bahagi ay iguguhit nang random. Hanapin ang posibilidad na ang isang karaniwang bahagi ay iguguhit kung ang lahat ng posibleng hula tungkol sa bilang ng mga karaniwang bahagi na orihinal na nasa kahon ay pantay na posibilidad.

Gawain 20. Upang mapabuti ang kalidad ng komunikasyon sa radyo, dalawang radio receiver ang ginagamit. Ang posibilidad na makatanggap ng signal ng bawat receiver ay 0.8, at ang mga kaganapang ito (signal reception ng receiver) ay independyente. Tukuyin ang posibilidad na makatanggap ng signal kung ang posibilidad ng walang pagkabigo na operasyon sa panahon ng sesyon ng komunikasyon sa radyo para sa bawat receiver ay 0.9.

Nabuo ang mga kaganapan buong grupo, kung hindi bababa sa isa sa mga ito ang mangyayari bilang resulta ng eksperimento at magkapares na hindi tugma.

Ipagpalagay natin na ang kaganapan A maaari lamang mangyari kasama ng isa sa ilang magkapares na hindi tugmang mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong pangkat. Tawagan natin ang mga pangyayari i= 1, 2,…, n) mga hypotheses karagdagang karanasan (a priori). Ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A ay tinutukoy ng formula buong posibilidad :

Halimbawa 16 May tatlong urn. Ang unang urn ay naglalaman ng 5 puti at 3 itim na bola, ang pangalawang urn ay naglalaman ng 4 na puti at 4 na itim na bola, at ang ikatlong urn ay naglalaman ng 8 puting bola. Ang isa sa mga urn ay pinili nang random (maaaring ibig sabihin nito, halimbawa, na ang pagpili ay ginawa mula sa isang auxiliary urn na naglalaman ng tatlong bola na may numerong 1, 2 at 3). Ang isang bola ay kinukuha nang random mula sa urn na ito. Ano ang posibilidad na ito ay magiging itim?

Desisyon. Kaganapan A– ibinunot ang itim na bola. Kung ito ay kilala kung saan urn ang bola ay iginuhit, kung gayon ang kinakailangang probabilidad ay maaaring kalkulahin ayon sa klasikal na kahulugan ng posibilidad. Ipakilala natin ang mga pagpapalagay (hypotheses) tungkol sa kung aling urn ang pipiliin para kunin ang bola.

Ang bola ay maaaring makuha mula sa unang urn (hypothesis ), o mula sa pangalawa (hypothesis ), o mula sa pangatlo (hypothesis ). Dahil may pantay na pagkakataong pumili ng alinman sa mga urn, kung gayon .

Kaya naman sinusunod iyon

Halimbawa 17. Ang mga electric lamp ay ginawa sa tatlong pabrika. Ang unang halaman ay gumagawa ng 30% ng kabuuang bilang ng mga electric lamp, ang pangalawa - 25%,
at ang pangatlo para sa iba. Ang mga produkto ng unang halaman ay naglalaman ng 1% ng mga may sira na electric lamp, ang pangalawa - 1.5%, ang pangatlo - 2%. Ang tindahan ay tumatanggap ng mga produkto mula sa lahat ng tatlong pabrika. Ano ang posibilidad na ang isang lampara na binili sa tindahan ay may depekto?

Desisyon. Dapat ilagay ang mga pagpapalagay kung saang pabrika ginawa ang bumbilya. Sa pag-alam nito, mahahanap natin ang posibilidad na ito ay may depekto. Ipakilala natin ang notasyon para sa mga kaganapan: A– ang biniling electric lamp ay may sira, – ang lampara ay ginawa ng unang pabrika, – ang lampara ay ginawa ng pangalawang pabrika,
– ang lampara ay ginawa ng ikatlong pabrika.

Ang nais na posibilidad ay matatagpuan sa pamamagitan ng kabuuang pormula ng posibilidad:

Formula ng Bayes. Hayaan - buong grupo magkapares na mga pangyayaring hindi magkatugma (hypothesis). PERO ay isang random na kaganapan. pagkatapos,

Ang huling pormula na nagbibigay-daan sa iyo na labis na timbangin ang mga probabilidad ng mga hypotheses pagkatapos malaman ang resulta ng pagsusulit, bilang isang resulta kung saan lumitaw ang kaganapan A, ay tinatawag na Formula ng Bayes .

Halimbawa 18. Isang average ng 50% ng mga pasyente na may sakit ay pinapapasok sa isang espesyal na ospital Upang, 30% na may sakit L, 20 % –
may sakit M. Ang posibilidad ng isang kumpletong lunas ng sakit K katumbas ng 0.7 para sa mga sakit L at M ang mga probabilidad na ito ay ayon sa pagkakabanggit 0.8 at 0.9. Ang pasyente na na-admit sa ospital ay nakalabas nang malusog. Hanapin ang posibilidad na ang pasyenteng ito ay nagkaroon ng sakit K.

Desisyon. Ipinakilala namin ang mga hypotheses: - ang pasyente ay nagdusa mula sa isang sakit Upang L, ang pasyente ay dumanas ng sakit M.

Pagkatapos, ayon sa kondisyon ng problema, mayroon tayong . Magpakilala tayo ng isang kaganapan PERO Ang pasyente na na-admit sa ospital ay nakalabas nang malusog. Sa kondisyon

Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad, nakukuha natin:

Formula ng Bayes.

Halimbawa 19. Hayaang mayroong limang bola sa urn at lahat ng mga pagpapalagay tungkol sa bilang ng mga puting bola ay pantay na posibleng mangyari. Ang isang bola ay kinuha nang random mula sa urn at ito ay naging puti. Ano ang pinaka-malamang na palagay tungkol sa paunang komposisyon ng urn?

Desisyon. Hayaan ang hypothesis na sa urn ng mga puting bola , ibig sabihin, posibleng gumawa ng anim na pagpapalagay. Pagkatapos, ayon sa kondisyon ng problema, mayroon tayong .

Magpakilala tayo ng isang kaganapan PERO Isang random na iginuhit na puting bola. kalkulahin natin. Since , pagkatapos ay ayon sa Bayes formula mayroon kaming:

Kaya, ang hypothesis ay ang pinaka-malamang, dahil .

Halimbawa 20. Nabigo ang dalawa sa tatlong independiyenteng operating elemento ng computing device. Hanapin ang posibilidad na ang una at ikalawang elemento ay nabigo kung ang mga probabilidad ng pagkabigo ng una, pangalawa at pangatlong elemento ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng 0.2; 0.4 at 0.3.

Desisyon. Tukuyin ng PERO kaganapan - dalawang elemento ang nabigo. Ang mga sumusunod na hypotheses ay maaaring gawin:

- ang una at pangalawang elemento ay nabigo, at ang ikatlong elemento ay magagamit. Dahil ang mga elemento ay gumagana nang nakapag-iisa, ang multiplication theorem ay nalalapat:

Pinagsama ng guro ng Departamento ng Mas Mataas na Matematika na si Ishchanov T.R. Aralin bilang 4. Kabuuang Formula ng Probability. Probability ng hypotheses. Mga formula ng Bayes.

Teoretikal na materyal
Kabuuang Formula ng Probability
Teorama. Ang posibilidad ng isang kaganapan A, na maaaring mangyari lamang kung ang isa sa mga hindi magkatugma na mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong pangkat, ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga probabilidad ng bawat isa sa mga kaganapang ito sa pamamagitan ng kaukulang kondisyon na posibilidad ng kaganapan A:

.
Ang formula na ito ay tinatawag na "total probability formula".

Patunay. Ayon sa kondisyon, ang kaganapan A ay maaaring mangyari kung ang isa sa mga hindi tugmang kaganapan ay nangyari. Sa madaling salita, ang paglitaw ng kaganapan A ay nangangahulugan ng pagpapatupad ng isa, kahit na alin pa man, ng mga hindi tugmang kaganapan. Gamit ang addition theorem upang kalkulahin ang posibilidad ng kaganapan A, nakuha namin
. (*)
Ito ay nananatiling kalkulahin ang bawat isa sa mga tuntunin. Sa pamamagitan ng multiplication theorem para sa mga probabilidad ng umaasa na mga kaganapan, mayroon tayo
.
Ang pagpapalit ng mga tamang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito sa kaugnayan (*), nakukuha natin ang formula para sa kabuuang posibilidad

Halimbawa 1 Mayroong dalawang hanay ng mga bahagi. Ang posibilidad na ang bahagi ng unang set ay pamantayan ay 0.8, at ang pangalawa ay 0.9. Hanapin ang posibilidad na ang isang random na napiling item (mula sa isang random na napiling set) ay pamantayan.
Desisyon. Tukuyin sa pamamagitan ng A ang kaganapan na "ang nakuhang bahagi ay pamantayan".
Maaaring makuha ang bahagi mula sa unang set (kaganapan ) o mula sa pangalawa (kaganapan ).
Ang posibilidad na ang isang bahagi ay kinuha mula sa unang set ay .
Ang posibilidad na ang bahagi ay kinuha mula sa ikalawang hanay, .
Ang kondisyon na posibilidad na ang isang karaniwang bahagi ay makukuha mula sa unang hanay, .
May kondisyong posibilidad na ang isang karaniwang bahagi ay makukuha mula sa ikalawang hanay .
Ang nais na posibilidad na ang bahagi na nakuha nang random ay pamantayan, ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad, ay katumbas ng

Halimbawa 2 Ang unang kahon ay naglalaman ng 20 tubes, kung saan 18 ay pamantayan; sa pangalawang kahon - 10 lamp, 9 sa kanila ay pamantayan. Ang isang lampara ay kinuha nang random mula sa pangalawang kahon at inilipat sa una. Hanapin ang posibilidad na ang lampara na random na iginuhit mula sa unang kahon ay pamantayan.
Desisyon. Ipahiwatig sa pamamagitan ng A ang kaganapan na "isang karaniwang lampara ay kinuha mula sa unang kahon".
Maaaring kunin ang karaniwang lamp (kaganapan ) o hindi karaniwan (kaganapan) mula sa pangalawang kahon.
Ang posibilidad na ang isang karaniwang lampara ay nakuha mula sa pangalawang kahon ay .
Ang posibilidad na ang isang hindi karaniwang lampara ay kinuha mula sa pangalawang kahon ay
Ang kondisyon na posibilidad na ang isang karaniwang lamp ay kinuha mula sa unang kahon, sa kondisyon na ang isang karaniwang lampara ay inilipat mula sa pangalawang kahon patungo sa una, ay katumbas ng .
Ang kondisyon na posibilidad na ang isang karaniwang lamp ay kinuha mula sa unang kahon, sa kondisyon na ang isang hindi karaniwang lampara ay inilipat mula sa pangalawang kahon patungo sa una, ay katumbas ng .
Ang nais na posibilidad na ang isang karaniwang lampara ay aalisin mula sa unang kahon, ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad, ay katumbas ng

Probability ng hypotheses. Mga formula ng Bayes

Hayaang maganap ang kaganapang A basta't lumitaw ang isa sa mga hindi tugmang kaganapan , na bumubuo ng isang kumpletong pangkat. Dahil hindi alam nang maaga kung alin sa mga kaganapang ito ang magaganap, ang mga ito ay tinatawag na hypotheses. Ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A ay tinutukoy ng kabuuang pormula ng posibilidad:

Ipagpalagay natin na ang isang pagsubok ay isinagawa, bilang isang resulta kung saan lumitaw ang kaganapan A. Itakda natin sa ating sarili ang gawain ng pagtukoy kung paano nagbago ang mga probabilidad ng mga hypotheses (dahil sa katotohanan na ang kaganapan A ay naganap na). Sa madaling salita, hahanapin natin ang mga conditional probabilities

Hanapin muna natin ang conditional probability. Sa pamamagitan ng multiplication theorem, mayroon tayo

.

Ang pagpapalit ng P(A) dito sa pamamagitan ng formula (*), makuha namin

Katulad nito, ang mga pormula ay hinango na tumutukoy sa mga probabilidad ng kondisyon ng mga natitirang hypotheses, ibig sabihin, ang probabilidad ng kondisyon ng anumang hypothesis ay maaaring kalkulahin ng formula

Ang mga resultang formula ay tinatawag Mga formula ng Bayes(pinangalanan pagkatapos ng English mathematician na nagmula sa kanila; inilathala noong 1764). Binibigyang-daan ka ng mga pormula ng Bayes na ma-overestimate ang mga probabilidad ng mga hypotheses pagkatapos malaman ang resulta ng pagsusulit, bilang isang resulta kung saan lumitaw ang kaganapan A.

Halimbawa. Ang mga bahagi na ginawa ng factory shop ay ipinapadala sa isa sa dalawang inspektor upang suriin ang mga ito para sa standardisasyon. Ang posibilidad na mapunta ang bahagi sa unang controller ay 0.6, at sa pangalawa - 0.4. Ang posibilidad na ang isang magandang bahagi ay makikilala bilang pamantayan ng unang inspektor ay 0.94, at sa pangalawa - 0.98. Ang isang magandang bahagi sa panahon ng pagsusulit ay kinilala bilang pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ang bahaging ito ay sinuri ng unang inspektor.
Desisyon. Ipahiwatig sa pamamagitan ng A ang kaganapan na ang isang magandang bahagi ay kinikilala bilang pamantayan. Dalawang pagpapalagay ang maaaring gawin:
1) ang item ay sinuri ng unang controller (hypothesis);
2) ang item ay sinuri ng pangalawang controller (hypothesis). Ang nais na posibilidad na ang bahagi ay nasuri ng unang controller ay matatagpuan gamit ang Bayes formula:

Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema, mayroon tayong:
(probability na ang bahagi ay nakarating sa unang controller);
(probability na ang bahagi ay makarating sa pangalawang controller);
(probability na ang isang magandang bahagi ay makikilala ng unang inspektor bilang pamantayan);
(probability na ang isang magandang bahagi ay makikilala ng pangalawang inspektor bilang pamantayan).
Ninanais na posibilidad

Tulad ng nakikita mo, bago ang pagsubok, ang posibilidad ng hypothesis ay 0.6, pagkatapos malaman ang resulta ng pagsubok, ang posibilidad ng hypothesis na ito (mas tiyak, ang conditional probability) ay nagbago at naging katumbas ng 0.59. Kaya, ang paggamit ng pormula ng Bayes ay naging posible upang ma-overestimate ang posibilidad ng itinuturing na hypothesis.

praktikal na materyal.
1. (4) Nakatanggap ang assembler ng 3 box ng factory #1 parts at 2 boxes ng factory #2 parts. kinuhang kahon. Hanapin ang posibilidad na ang isang karaniwang bahagi ay nakuha.
Sinabi ni Rep. 0.84.
2. (5) Ang unang kahon ay naglalaman ng 20 bahagi, 15 sa mga ito ay pamantayan; sa pangalawa - 30 bahagi, kung saan 24 ang pamantayan; sa pangatlo - 10 bahagi, kung saan 6 ay pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ang isang random na napiling item mula sa isang random na piniling kahon ay pamantayan.
Sinabi ni Rep. 43/60.
3. (6) Mayroong 4 na kinescope sa studio ng telebisyon. Ang mga posibilidad na ang kinescope ay makatiis sa panahon ng warranty ay 0.8, ayon sa pagkakabanggit; 0.85; 0.9; 0.95. Hanapin ang posibilidad na ang isang kinescope na kinuha nang random ay tatagal sa panahon ng warranty.
Sinabi ni Rep. 0.875.
4. (3) Mayroong 20 skier, 6 na siklista at 4 na runner sa isang grupo ng mga atleta. Ang posibilidad na matupad ang pamantayan sa kwalipikasyon ay ang mga sumusunod: para sa isang skier - 0.9, para sa isang siklista - 0.8. at para sa runner-0.75. Hanapin ang posibilidad na ang isang atleta, na pinili nang random, ay matupad ang pamantayan.
Sinabi ni Rep. 0.86.
5. (C) Mayroong 12 pula at 6 na asul na bola sa isang puting kahon. Sa itim - 15 pula at 10 asul na bola. Maghagis ng dice. Kung ang bilang ng mga puntos ay isang maramihang ng 3, kung gayon ang isang bola ay random na kinuha mula sa puting kahon. Kung ang anumang iba pang bilang ng mga puntos ay nahuhulog, pagkatapos ay isang bola ang random na kinuha mula sa itim na kahon. Ano ang posibilidad ng isang pulang bola?
Desisyon:
Dalawang hypotheses ang posible:
- kapag naghahagis ng die, maraming puntos ang mahuhulog, isang multiple ng 3, i.e. o 3 o 6;
- kapag naghagis ng die, ibang bilang ng mga puntos ang mahuhulog, i.e. o 1 o 2 o 4 o 5.
Ayon sa klasikal na kahulugan, ang mga probabilidad ng hypotheses ay:

Dahil ang mga hypotheses ay bumubuo ng isang kumpletong grupo ng mga kaganapan, ang pagkakapantay-pantay ay dapat manatili

Hayaang ang kaganapan A ay ang hitsura ng isang pulang bola. Ang mga kondisyon na probabilidad ng kaganapang ito ay nakasalalay sa kung aling hypothesis ang natanto at ayon sa pagkakabanggit:

Pagkatapos, ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad, ang posibilidad ng kaganapan A ay magiging katumbas ng:

6. (7) May mga radio tube sa dalawang kahon. Ang unang kahon ay naglalaman ng 12 lamp, kung saan ang 1 ay hindi pamantayan; sa pangalawa ay mayroong 10 lamp, 1 sa mga ito ay hindi pamantayan. Ang isang lampara ay kinuha nang random mula sa unang kahon at inilipat sa pangalawa. Hanapin ang posibilidad na ang isang lampara na iginuhit nang random mula sa pangalawang kahon ay hindi pamantayan.
Sinabi ni Rep. 13/132.

7. (89 D) Ang isang puting bola ay ibinagsak sa isang urn na naglalaman ng dalawang bola, pagkatapos ay ang isang bola ay kinuha nang random mula dito. Hanapin ang posibilidad na ang iginuhit na bola ay magiging puti kung ang lahat ng posibleng pagpapalagay tungkol sa paunang komposisyon ng mga bola (ayon sa kulay) ay pantay na posible.
Desisyon. Ipahiwatig sa pamamagitan ng A ang kaganapan - isang puting bola ang iginuhit. Ang mga sumusunod na pagpapalagay (hypotheses) tungkol sa paunang komposisyon ng mga bola ay posible: - walang puting bola, - isang puting bola, - dalawang puting bola.
Dahil mayroong tatlong hypotheses sa kabuuan, at sa pamamagitan ng kondisyon na sila ay pantay na maaaring mangyari, at ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga hypotheses ay katumbas ng isa (dahil sila ay bumubuo ng isang kumpletong grupo ng mga kaganapan), kung gayon ang posibilidad ng bawat isa sa mga hypotheses ay katumbas ng 1/3, i.e. .
Ang kondisyon na posibilidad na ang isang puting bola ay mabubunot, dahil walang mga puting bola sa urn sa simula, .
Ang kondisyon na posibilidad na ang isang puting bola ay mabubunot, dahil ang urn ay orihinal na naglalaman ng isang puting bola, .
Ang kondisyong posibilidad na mabubunot ang isang puting bola, dahil ang urn ay orihinal na naglalaman ng dalawang puting bola.
Ang nais na posibilidad na ang isang puting bola ay mabubunot ay matatagpuan sa pamamagitan ng kabuuang pormula ng posibilidad:

8. (10) Ang isang karaniwang bahagi ay itinapon sa isang kahon na naglalaman ng 3 magkaparehong bahagi, at pagkatapos ay iginuhit ang isang bahagi nang random. Hanapin ang posibilidad na ang isang karaniwang bahagi ay iguguhit kung ang lahat ng posibleng hula tungkol sa bilang ng mga karaniwang bahagi na orihinal na nasa kahon ay pantay na posibilidad.
Sinabi ni Rep. 0.625.

9. (6.5.2L) Dalawang radio receiver ang ginagamit upang mapabuti ang kalidad ng mga komunikasyon sa radyo. Ang posibilidad na makatanggap ng signal ng bawat receiver ay 0.8, at ang mga kaganapang ito (signal reception ng receiver) ay independyente. Tukuyin ang posibilidad na makatanggap ng signal kung ang posibilidad ng walang pagkabigo na operasyon sa panahon ng sesyon ng komunikasyon sa radyo para sa bawat receiver ay 0.9.
Desisyon.
Hayaan ang kaganapan A=(matatanggap ang signal). Isaalang-alang natin ang apat na hypotheses:

=(ang unang receiver ay gumagana, ang pangalawa ay hindi);

=(ang pangalawa ay gumagana, ang una ay hindi);

=(Ang parehong mga receiver ay gumagana);

=(hindi gumagana ang parehong receiver).

Ang Event A ay maaari lamang mangyari sa isa sa mga hypotheses na ito. Hanapin natin ang posibilidad ng mga hypotheses na ito sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa mga sumusunod na kaganapan:

=(Gumagana ang unang receiver),

=(gumagana ang pangalawang receiver).

Ang kontrol:

.

Ang mga kondisyong probabilidad ay ayon sa pagkakabanggit:

;

;

Ngayon, gamit ang kabuuang pormula ng posibilidad, nakita natin ang nais na posibilidad

10. (11) Sa kaso ng paglihis mula sa normal na mode ng pagpapatakbo ng makina, ang C-1 signaling device ay na-trigger na may posibilidad na 0.8, at ang C-11 signaling device ay na-trigger na may posibilidad na 1. Ang mga probabilidad na ang machine ay nilagyan ng C-1 o C-11 signaling device ay katumbas ng 0, ayon sa pagkakabanggit, 6 at 0.4. Isang senyales ang natanggap tungkol sa pagputol ng makina. Ano ang mas malamang: ang makina ay nilagyan ng C-1 o C-11 signaling device?
Sinabi ni Rep. Ang posibilidad na ang makina ay nilagyan ng C-1 signaling device ay 6/11, at C-11 ay 5/11

11. (12) 4 na mag-aaral mula sa unang pangkat ng kurso, 6 na mag-aaral mula sa pangalawang grupo, at 5 mag-aaral mula sa ikatlong pangkat ang napili para lumahok sa mga kumpetisyon sa palakasan ng mga estudyante na kwalipikado. Ang mga posibilidad na ang isang mag-aaral ng una, pangalawa at pangatlong grupo ay makapasok sa pangkat ng institute ay katumbas ng 0.9, ayon sa pagkakabanggit; 0.7 at 0.8. Isang random na napiling mag-aaral ang napunta sa pambansang koponan bilang resulta ng kompetisyon. Sa aling grupo ang estudyanteng ito ay malamang na kabilang?
Sinabi ni Rep. Ang mga probabilidad na napili ang isang mag-aaral ng una, pangalawa, pangatlong grupo ay ayon sa pagkakabanggit: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1.34K) Isang kumpanya ng kalakalan ang nakatanggap ng mga set ng telebisyon mula sa tatlong supplier sa ratio na 1:4:5. Ipinakita ng pagsasanay na ang mga TV na nagmumula sa 1st, 2nd at 3rd supplier ay hindi mangangailangan ng repair sa panahon ng warranty, ayon sa pagkakabanggit, sa 98, 88 at 92% ng mga kaso.
1) Hanapin ang posibilidad na ang TV set na natanggap ng kumpanya ng kalakalan ay hindi mangangailangan ng pagkumpuni sa panahon ng warranty.
2) Ang ibinebenta ng TV ay kailangang ayusin sa loob ng panahon ng warranty. Saang supplier nagmula ang TV na ito?
Desisyon.
Magtalaga tayo ng mga kaganapan: - dumating ang TV set sa trading firm mula sa i-th supplier (i=1,2,3);
A - ang TV ay hindi mangangailangan ng pagkumpuni sa panahon ng warranty.
Sa kondisyon

Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad

Mangangailangan ng pagkukumpuni ang Event TV sa panahon ng warranty; .
Sa kondisyon

Sa pamamagitan ng formula ng Bayes

;

Kaya, pagkatapos ng paglitaw ng kaganapan, ang posibilidad ng hypothesis ay tumaas mula sa sa maximum , at hypotheses - bumaba mula sa maximum hanggang ; kung mas maaga (bago ang kaganapan A) ang pinaka-malamang na hypothesis ay , pagkatapos ngayon, sa liwanag ng bagong impormasyon(ang simula ng kaganapan A), ang pinaka-malamang na hypothesis ay ang pagtanggap ng TV na ito mula sa pangalawang supplier.

13. (1.35K) Ito ay kilala na sa average na 95% ng mga manufactured na produkto ay nakakatugon sa pamantayan. Kinikilala ng pinasimpleng control scheme ang isang produkto bilang angkop na may posibilidad na 0.98 kung ito ay karaniwan, at may posibilidad na 0.06 kung ito ay hindi pamantayan. Tukuyin ang posibilidad na:
1) ang isang produkto na kinuha nang random ay papasa sa isang pinasimpleng kontrol;
2) ang produkto ay pamantayan kung ito ay: a) pumasa sa pinasimpleng kontrol; b) naipasa ang pinasimpleng kontrol nang dalawang beses.
Desisyon.
1). Tukuyin natin ang mga pangyayari:
- kinuha nang random, ang produkto ay ayon sa pagkakabanggit ay pamantayan o hindi pamantayan;
- pumasa ang produkto sa pinasimpleng kontrol.

Sa kondisyon

Ang posibilidad na ang isang produkto na kinuha nang random ay makapasa sa pinasimpleng kontrol, ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad:

2a). Ang posibilidad na ang isang produkto na nakapasa sa pinasimpleng inspeksyon ay karaniwan, ayon sa formula ng Bayes:

2b). Hayaan ang kaganapan - ang produkto ay pumasa sa pinasimpleng kontrol nang dalawang beses. Pagkatapos, sa pamamagitan ng probability multiplication theorem:

Sa pamamagitan ng formula ng Bayes

ay napakaliit, kung gayon ang hypothesis na ang isang produkto na pumasa sa pinasimpleng kontrol nang dalawang beses ay hindi pamantayan ay dapat na itapon bilang isang halos imposibleng kaganapan.

14. (1.36K) Dalawang shooter ang nakapag-iisang bumaril sa isang target, bawat isa ay nagpaputok ng isang putok. Ang posibilidad na matamaan ang target para sa unang tagabaril ay 0.8; para sa pangalawa - 0.4. Matapos ang pamamaril, isang butas ang natagpuan sa target. Ano ang posibilidad na kabilang ito sa:
a) unang tagabaril;
b) 2nd shooter?
Desisyon.
Tukuyin natin ang mga pangyayari:

Ang parehong mga arrow ay hindi nakuha ang target;

Parehong arrow ang tumama sa target;

Ang 1st shooter ay tumama sa target, ang 2nd ay hindi;

Nalampasan ng 1st shooter ang target, 2nd hit;

May isang butas sa target (isang tama).

Kabuuang Formula ng Probability.

Bilang resulta ng parehong pangunahing theorems - theorems pagdaragdag ng mga probabilidad at ang teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad - ay ang tinatawag na formula ng kabuuang posibilidad.

Hayaang kailanganin upang matukoy ang posibilidad ng ilang kaganapan A na maaaring mangyari sa isa sa mga kaganapan
, na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi magkatugmang kaganapan. Tatawagin natin ang mga pangyayaring ito na hypotheses.

Patunayan natin iyan sa kasong ito

Ang posibilidad ng kaganapan A ay kinakalkula bilang ang kabuuan ng mga produkto ng posibilidad ng bawat hypothesis at ang kondisyon na posibilidad ng kaganapan kapag ang hypothesis na ito ay natanto.

Ang formula na ito ay tinatawag na kabuuang probability formula.

Patunay

Dahil ang mga hypotheses H1, H2…, Hn, ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, ang kaganapan A ay maaaring lumitaw kasama ng alinman sa mga hypotheses na ito.

A=AH1+AH2+…+Ahn.

Ang paglalapat ng multiplication theorem sa kaganapang HiA, nakuha namin

Q.E.D.

Mayroong tatlong magkatulad na hitsura ng urn: ang unang urn ay naglalaman ng dalawang puti at isang itim na bola; sa pangalawa, tatlong puti at isang itim na bola; sa pangatlo, dalawang puti at dalawang itim na bola.

May pumili ng isa sa mga urn nang random at kumukuha ng bola mula rito. Hanapin ang posibilidad na puti ang bolang ito.

Isaalang-alang natin ang tatlong hypotheses:

H1-pagpili ng unang urn,

H2-pagpili ng pangalawang urn,

H3-pagpili ng ikatlong urn

At ang kaganapan A ay ang hitsura ng isang puting bola.

Dahil ang mga hypotheses ay pantay na posibilidad ng kondisyon ng problema, kung gayon

Gawain 3.5.

Ang halaman ay gumagawa ng mga produkto, na ang bawat isa ay may depekto na may posibilidad na p.

May tatlong controllers sa workshop; ay isinasaalang-alang lamang ng isang controller, na may parehong probabilidad ang una, pangalawa o pangatlo. Ang posibilidad ng pag-detect ng depekto (kung mayroon man) para sa i-th controller ay katumbas ng Pi (i=1,2,3). Kung ang produkto ay hindi tinanggihan sa pagawaan, pagkatapos ay pupunta ito sa QCD ng halaman, kung saan ang depekto, kung mayroon man, ay nakita na may posibilidad na P0.

Tukuyin ang posibilidad na ang produkto ay tatanggihan.

A - ang produkto ay tatanggihan

B - ang produkto ay tatanggihan sa workshop

C - ang produkto ay tatanggihan ng quality control department ng planta.

Dahil ang mga kaganapan B at C ay hindi magkatugma at

P(A)=P(B)+P(C)

Nahanap natin ang P (B). Upang ang produkto ay ma-reject sa pagawaan, kailangan, una, ito ay may depekto, at pangalawa, na ang depekto ay nakita.

Ang posibilidad na may makitang depekto sa tindahan ay

Talaga,

Bumubuo kami ng mga hypotheses

H1-defect na nakita ng 1st controller

H2 defect na nakita ng 2nd controller

H3 defect na nakita ng 3rd controller

Mula rito

Ganun din

Hypothesis theorem (Bayes formula)

Ang resulta ng multiplication theorem at ang kabuuang probability formula ay ang tinatawag na hypothesis theorem o ang Bayes formula.

Itakda natin ang sumusunod na gawain.

Mayroong kumpletong pangkat ng mga hindi magkatugmang hypotheses H1, H2, ... Hn. Ang posibilidad ng mga hypotheses na ito bago ang eksperimento ay kilala at katumbas, ayon sa pagkakabanggit, sa P (H1), P (H2), ..., P (Hn Ang isang eksperimento ay isinagawa, bilang isang resulta kung saan ang hitsura ng ilang kaganapan A ay naobserbahan. Ang tanong ay, paano dapat baguhin ang mga probabilidad ng mga hypotheses na may kaugnayan sa paglitaw ng kaganapang ito?

Dito, sa esensya, nag-uusap kami tungkol sa paghahanap ng conditional probability P(Hi/A) para sa bawat hypothesis.

Mula sa multiplication theorem mayroon tayo:

P(AHi)=P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*H(A/Hi),

O itapon ang kaliwang bahagi

P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi), i=1,2,…,n

O, ang pagpapahayag ng P(A) gamit ang kabuuang probability formula, mayroon tayo

Ang formula na ito ay tinatawag na Bayes formula o ang hypothesis theorem

Maaaring i-assemble ang device mula sa mga de-kalidad na bahagi at mula sa mga ordinaryong bahagi ng kalidad; sa pangkalahatan, humigit-kumulang 40% ng mga device ang na-assemble mula sa mga de-kalidad na bahagi. Kung ang aparato ay binuo mula sa mga de-kalidad na bahagi, ang pagiging maaasahan nito (probability ng failure-free operation) sa paglipas ng panahon t ay 0.05; kung mula sa mga bahagi ng ordinaryong kalidad, ang pagiging maaasahan nito ay 0.7. Ang aparato ay sinubukan para sa isang yugto ng oras t at gumana nang walang kamali-mali. Hanapin ang posibilidad na ito ay binuo mula sa mga de-kalidad na bahagi.

Dalawang hypotheses ang posible:

Ang H1-device ay binuo mula sa mataas na kalidad na mga bahagi,

Ang H2-device ay binuo mula sa mga bahagi ng ordinaryong kalidad.

Ang posibilidad ng mga hypotheses na ito bago ang karanasan

P(H1)=0.4; P(H2)=0.6.

Bilang resulta ng eksperimento, naobserbahan ang kaganapan A - nabigo ang device

Oras ng trabaho t. Ang mga kondisyong probabilidad ng kaganapang ito sa

Ang mga hypotheses H1 at H2 ay pantay:

P(A/H1) = 0.95; P(A/H2) = 0.7 .

Gamit ang Weiss formula, makikita natin ang posibilidad ng hypothesis H1 pagkatapos

Sa maraming istatistikal na pag-aaral may mga kombinatoryal na problema, ang orihinalidad nito ay kailangang ipakita sa pamamagitan ng mga halimbawa:

Sa ilang paraan maaaring ayusin ang 10 magkakaibang aklat sa isang istante?

8 koponan ang lalahok sa paligsahan. Ilang magkakaibang representasyon ng unang tatlong lugar (ayon sa mga resulta ng kompetisyon) ang maaaring gawin?

Ilang magkakaibang tatlong-titik na salita ang maaaring gawin mula sa 32 titik ng alpabeto, hindi alintana kung ang mga salitang binubuo ng mga titik ay may katuturan o hindi?

Sa ilang paraan maaaring piliin ang r elemento mula sa isang set ng k (natatanging) elemento?

Gaano kalaki ang bilang ng magkakaibang resulta ng paghagis ng dalawang dice.

Ang mga halimbawang ibinigay ay nagpapakita na sa mga problema ng combinatorics ito ay karaniwang interesado sa bilang ng iba't ibang mga sample ng ilang mga bagay, at, depende sa uri ng mga karagdagang kinakailangan, dapat itong makilala kung aling mga sample ang itinuturing na pareho at kung alin ang iba.

Sa teorya ng probabilidad at mga istatistika ng matematika Mayroong karaniwang tatlong mga konsepto ng combinatorics na ginagamit:

Mga tirahan

Mga permutasyon

Mga kumbinasyon

Ang mga pagkakalagay ng n elemento sa pamamagitan ng m ay ang kanilang mga koneksyon, na naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng mga elemento mismo o kanilang pagkakasunud-sunod. Halimbawa: mga placement ng 3 elemento a , b , c 2 bawat isa: ab, ac, bc, ba, ca, cb. Ang bilang ng lahat ng placement ng n magkakaibang elemento ayon sa m A

Halimbawa: mga pagkakalagay ng 3 elemento a , b , c 2 bawat isa: ab, ac , bc , ba , ca , cb. Ang bilang ng lahat ng placement ng n magkakaibang elemento ayon sa m A

Kabuuang m multiplier

Pn= 1*2*3* …*n=n!=An

Sa ilang paraan maaaring ayusin ang 10 aklat sa isang istante?

P10=10!=3628800.

Ang mga kumbinasyon ng n elemento sa pamamagitan ng m ay ang kanilang mga compound, na naiiba sa bawat isa lamang sa pamamagitan ng mga elemento mismo. Halimbawa: mga kumbinasyon ng tatlong elemento a, b at c dalawa ng dalawa: ab , ac , bc . Ang bilang ng lahat ng kumbinasyon ng n magkakaibang elemento sa pamamagitan ng m ay tinutukoy ng Cn

Maaari naming isulat

Pag-uulit ng mga eksperimento

Sa praktikal na aplikasyon Ang teorya ng posibilidad ay madalas na humarap sa mga problema kung saan ang parehong karanasan o katulad na mga karanasan ay paulit-ulit na paulit-ulit. Bilang resulta ng bawat eksperimento, ang ilang kaganapan A ay maaaring lumitaw o hindi bilang resulta ng isang serye ng mga eksperimento.

Ang ganitong mga problema ay napakasimpleng nalutas sa kaso kapag ang mga eksperimento ay independyente.

Ang ilang mga eksperimento ay tinatawag na independyente kung ang posibilidad ng isa o isa pang resulta ng bawat isa sa mga eksperimento ay hindi nakasalalay sa kung ano ang mga kinalabasan ng iba pang mga eksperimento. Ang ilang magkakasunod na guhit ng isang card mula sa deck ay mga independiyenteng eksperimento, sa kondisyon na ang card na iginuhit ay ibabalik sa deck sa bawat oras at ang mga card ay binabasa; kung hindi, umaasa na mga karanasan.

Ang mga independiyenteng eksperimento ay maaaring isagawa sa ilalim ng pareho o magkaibang kundisyon.

Pangkalahatang teorama sa pag-uulit ng mga eksperimento.

Ang isang partikular na teorama sa pag-uulit ng mga eksperimento ay may kinalaman sa kaso kapag ang posibilidad ng kaganapan A sa lahat ng mga eksperimento ay pareho. Sa pagsasagawa, ang isa ay madalas na nakatagpo ng higit pa mahirap kaso kapag ang mga eksperimento ay isinagawa sa ilalim ng iba't ibang mga kundisyon, at ang posibilidad ng isang kaganapan ay nagbabago mula sa karanasan patungo sa karanasan. Ang isang paraan para sa pagkalkula ng posibilidad ng isang naibigay na bilang ng mga paglitaw ng mga kaganapan sa ilalim ng naturang mga kondisyon ay ibinigay ng pangkalahatang teorama sa pag-uulit ng mga eksperimento.

Hayaang u=2 ang bilang ng mga eksperimento, pagkatapos ay ang kumpletong pangkat ng mga kaganapan:

P1P2+P1q2+q1P2+q1q2

Hayaan ang bilang ng mga eksperimento u=3, pagkatapos ay ang kumpletong pangkat ng mga kaganapan:

P1P2P3+P1P2q3+P1q2P3+q1P2P3+P1q2q3+q1P2q3+q1q2P+q1q2q3

Katulad nito, para sa bilang ng mga eksperimento n, ang kumpletong pangkat ng mga kaganapan:

P1P2*…*Pn+P1P2*…*qn+…+q1P2*…*Pn+…+q1*q2*…qn, bukod dito, nangyayari ang event A nang m beses sa bawat produkto, at nangyayari ang event A n-m beses. Ang bilang ng ganoon pa rin ang mga kumbinasyon

kung saan ang z ay isang arbitrary na parameter.

Ang function na jn(z), na ang pagpapalawak sa mga kapangyarihan ng parameter z ay nagbubunga ng probability coefficients pm,n, ay tinatawag na generating function ng mga probabilities pm,n o simpleng generating function.

Gamit ang konsepto ng pagbuo ng mga function, maaari tayong bumuo ng isang pangkalahatang teorama sa pag-uulit ng mga eksperimento sa sumusunod na anyo:

Ang posibilidad na ang kaganapan A ay lilitaw nang eksaktong m beses sa n independiyenteng mga eksperimento ay katumbas ng coefficient ng zm sa pagpapahayag ng pagbuo ng function.

jn(z)=(qi+piz) kung saan ang pi ay ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa i-th na eksperimento

Ang pagbabalangkas sa itaas ng pangkalahatang teorama sa pag-uulit ng mga eksperimento, sa kaibahan sa partikular na teorama, ay hindi nagbibigay ng tahasang pagpapahayag para sa posibilidad na pm,n.

Sa prinsipyo, ang gayong pagpapahayag ay maaaring isulat, ngunit ito ay masyadong kumplikado, at hindi namin ito ibibigay.

Gayunpaman, nang hindi gumagamit ng ganoong tahasang pagpapahayag, posible pa ring isulat ang pangkalahatang teorama sa pag-uulit ng mga eksperimento sa anyo ng isang solong pormula.

random na halaga.

Ang isa sa pinakamahalagang pangunahing konsepto ng probability theory ay ang konsepto ng random variable.

Ang isang random na variable ay isang dami na, bilang isang resulta ng isang eksperimento, ay maaaring tumagal sa isa o ibang halaga, at hindi alam nang maaga kung ano ang pangalan nito.

Mga halimbawa ng mga random na variable:

Ang bilang ng mga tawag na natanggap ng palitan ng telepono bawat araw;

Ang bilang ng mga batang lalaki na ipinanganak sa maternity hospital bawat buwan;

Ang bilang ng mga batang babae na ipinanganak sa maternity hospital bawat buwan;

Sa lahat ng tatlong halimbawa, ang mga random na variable ay maaaring kumuha ng magkakahiwalay na mga halaga, na maaaring mabilang nang maaga.

Sa halimbawa 1;

Ang ganitong mga random na variable na kumukuha lamang ng hiwalay na mga halaga na hiwalay sa isa't isa ay tinatawag na mga discrete variable.

Mayroong mga random na variable ng isa pang uri.

Halimbawa, temperatura ng hangin, halumigmig ng hangin, boltahe sa kasalukuyang network ng kuryente.

function ng pamamahagi.

Serye ng pamamahagi, hindi polygon ng pamamahagi

ay mga unibersal na katangian ng isang random na variable: ang mga ito ay umiiral lamang para sa mga discrete random variable. Madaling makita na ang naturang katangian ay hindi maaaring mabuo para sa isang tuluy-tuloy na random variable. Sa katunayan, mayroong isang tuluy-tuloy na random na variable hindi mabilang posibleng mga halaga, ???? sumasakop sa isang tiyak na pagitan (ang tinatawag na "hindi mabilang na hanay"). Imposibleng mag-compile ng isang talahanayan kung saan ang lahat ng posibleng mga halaga ng tulad ng isang random na variable ay nakalista. Samakatuwid, para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, walang serye ng pamamahagi sa kahulugan kung saan ito ay umiiral para sa isang hindi tuluy-tuloy na variable. Gayunpaman, ang iba't ibang mga saklaw ng posibleng mga halaga ng isang random na variable ay hindi pa rin pantay na posibilidad, at para sa tuloy-tuloy na halaga mayroong probability distribution, bagama't hindi sa parehong kahulugan tulad ng para sa di-tuloy (o discrete).

Upang mabilang ang distribusyon ng posibilidad na ito, madaling gamitin hindi ang probabilidad ng kaganapan x=x, ngunit ang posibilidad ng kaganapan x

Ang distribution function na F(x) ay tinatawag ding integral distribution function o integral distribution law.

Ang distribution function ay isang unibersal na katangian ng isang random variable. Umiiral ito para sa lahat ng random variable: parehong discrete at tuluy-tuloy. Distribution function

Ganap na nagpapakilala sa isang random na variable mula sa isang posibleng punto ng view, i.e. ay isang anyo ng pamamahagi.

Bumuo tayo ng ilang pangkalahatang katangian ng distribution function:

Ang distribution function na F(x) ay isang non-decreasing function ng argument nito i.e. para sa x2>x1 F(x2)>F(x1).

Sa minus infinity, ang distribution function ay zero

3. Sa plus infinity, ang distribution function ay 1.

Ang isang tipikal na function ng pamamahagi ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay may anyo

Ang posibilidad ng pagpapakita ng isang random na variable sa isang naibigay na lugar.

Kapag nagpapasya mga praktikal na gawain, na nauugnay sa mga random na variable, madalas lumalabas na kinakailangan upang kalkulahin ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga na nasa loob ng ilang partikular na limitasyon, halimbawa, mula a hanggang b.

Sumang-ayon tayo, para sa katiyakan, na isama ang kaliwang dulo ng a sa seksyon (a, b), at hindi isama ang kanang dulo. Kung gayon ang hit ng random variable x sa seksyon (a, b) ay katumbas ng sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

Ipahayag natin ang posibilidad ng kaganapang iyon sa mga tuntunin ng function ng pamamahagi ng x. Upang gawin ito, isaalang-alang ang tatlong kaganapan:

kaganapan A, na binubuo ng katotohanan na si C

kaganapan B, na binubuo ng katotohanan na ang C

kaganapan C, na binubuo sa katotohanan na a

Isinasaalang-alang na ang A=B+C, sa pamamagitan ng probability addition theorem na mayroon tayo

R(C

F(b)=F(a)+R(a £ C

P(isang £ C

Yung. ang posibilidad ng pagpapakita ng random variable sa isang ibinigay na limitasyon ay katumbas ng pagtaas ng distribution function sa lugar na ito.

Densidad ng pamamahagi.

Hayaang magkaroon ng tuluy-tuloy na random variable x na may distribution function na F(x), na aming imumungkahi na maging tuluy-tuloy at naiba.

Kalkulahin natin ang posibilidad na matamaan ang dami na ito sa segment mula x hanggang x+DC:

R(C£C

ibig sabihin, ang pagtaas ng function sa lugar na ito. Isaalang-alang ang ratio ng posibilidad na ito sa haba ng seksyon, i.e. ang average na posibilidad sa bawat haba ng yunit sa seksyong ito, at tinatantya namin ang DC sa 0. Sa pasilyo, makukuha namin ang derivative ng distribution function.

Ipakilala natin ang notasyon:

Ang function na f (x) - ang derivative ng distribution function - ay nagpapakilala, tulad nito, ang density kung saan ang mga halaga ng isang random na variable ay ipinamamahagi sa isang naibigay na punto. Ang function na ito ay tinatawag na distribution density

(kung hindi man ay ang "probability density") ng isang tuluy-tuloy na random na variable X. Minsan ang function na f (x) ay tinatawag na "differential distribution function" o "differential distribution law" ng value X.

Ang curve na naglalarawan sa density ng pamamahagi ng isang random na variable ay tinatawag na distribution curve.

Ang density ng pamamahagi, tulad ng function ng pamamahagi, ay isa sa mga anyo ng batas ng pamamahagi. Sa kaibahan sa function ng pamamahagi, ang form na ito ay pangkalahatan: umiiral lamang ito para sa tuluy-tuloy na mga random na variable.

Isaalang-alang ang isang tuluy-tuloy na dami X na may density ng pamamahagi f (x) at isang elementarya na seksyon DX,

katabi ng point X.

Ang posibilidad na makahanap ng random na variable X sa elementarya na segment na ito (hanggang sa mga infinitesimal na mas mataas ang pagkakasunud-sunod) ay katumbas ng f (x)dx. Ang value na f(x)dx ay tinatawag na probability element. Sa geometriko, ito ang lugar ng isang elementarya na parihaba batay sa segment na dx.

Ipahayag natin ang posibilidad na matamaan ang halaga ng X sa segment mula a hanggang b sa pamamagitan ng density ng pamamahagi:

Malinaw, ito ay katumbas ng kabuuan ng mga elemento ng posibilidad sa buong seksyong ito, iyon ay, ang integral:

Sa geometrically, ang posibilidad na matamaan ang halaga ng X sa site (a, b) ay katumbas ng lugar ng distribution curve batay sa site na ito.

nagpapahayag ng density ng pamamahagi sa mga tuntunin ng function ng pamamahagi. Itakda natin ang ating sarili ng isang baligtad na problema: upang ipahayag ang function ng pamamahagi sa mga tuntunin ng density

F(x)=P(X

Mula sa kung saan, ayon sa formula (3), mayroon tayong:

Sa geometrically, ang F(x) ay walang iba kundi ang lugar ng distribution curve sa kaliwa ng punto: X

Ipinapahiwatig namin ang mga pangunahing katangian ng density ng pamamahagi:

1. Ang density ng pamamahagi ay isang hindi negatibong function

Ang property na ito ay direktang sumusunod sa katotohanan na ang distribution function na F(x) ay isang non-decreasing function.

2. Ang integral sa walang katapusang limitasyon ng density ng pamamahagi ay 1

Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na F(+¥)=1

Sa geometriko, ang mga pangunahing katangian ng density ng pamamahagi ay nangangahulugang:

1. Ang buong curve ng pamamahagi ay hindi nasa ibaba ng x-axis.

2. Ang kabuuang lugar na nililimitahan ng distribution curve at ang x-axis ay 1.

NUMERICAL NA KATANGIAN NG RANDOM NA MGA HALAGA. ANG KANILANG TUNGKOL AT LAYUNIN.

Nakilala namin ang ilang kumpletong katangian ng mga random na variable - ang tinatawag na mga batas sa pamamahagi. Ang mga katangiang ito ay:

Para sa isang discrete random variable

a) pagpapaandar ng pamamahagi;

b) serye ng pamamahagi (graphically - distribution curve).

Ang bawat batas sa pamamahagi ay isang tiyak na function, at ang indikasyon ng function na ito ay ganap

Inilalarawan ang isang random na variable mula sa isang probabilistikong punto ng view.

Gayunpaman, sa maraming mga katanungan ng pagsasanay ay hindi kinakailangan upang makilala ang isang random na variable sa pamamagitan ng density sa isang kumpletong paraan.

Kadalasan ay sapat na upang ipahiwatig lamang ang mga indibidwal na numerical na parameter na sa ilang lawak ay nagpapakilala sa mga mahahalagang katangian ng pamamahagi.

halaga ng tsaa: halimbawa, ilang average na halaga, posibleng mga halaga ng isang random na variable ay pinagsama-sama sa paligid; ilang numero na nagpapakilala sa antas ng pagpapakalat ng mga halagang ito na may kaugnayan sa average, atbp.

Gamit ang gayong mga katangian, maipapahayag namin ang lahat ng mahahalagang impormasyon tungkol sa isang random na variable na mayroon kami, na pinaka-compact gamit ang mga numerical na parameter. Ang mga parameter na ito, na nagpapahayag ng pinakamahalagang katangian ng pamamahagi sa isang compressed numerical form, ay tinatawag na mga numerical na katangian ng isang random variable.

Sa teorya ng probabilidad at mga istatistika ng matematika, isang malaking bilang ng iba't ibang mga numerical na katangian ang ginagamit, na may iba't ibang layunin at iba't ibang larangan ng aplikasyon, ngunit lahat sila ay nahahati sa dalawang klase:

1.Katangian ng posisyon.

2. Mga katangian ng scattering.

Mga katangian ng posisyon.

Inaasahang halaga. Median. Fashion. Panimulang sandali.

Kabilang sa mga numerical na katangian ng mga random na variable, dapat una sa lahat ay tandaan ang mga na nagpapakilala sa mga posisyon ng isang random na variable sa number axis, i.e. e. Nagsasaad ang mga ito ng ilang average, tinatayang halaga, kung saan pinagsama-sama ang lahat ng posibleng value ng isang random na variable.

Sa mga katangian ng posisyon sa teorya ng posibilidad, ang pinakamahalagang papel ay ginagampanan ng matematikal na inaasahan ng isang random na variable, na kung minsan ay tinatawag na average na halaga ng isang random na variable.

Isaalang-alang natin ang isang random na discrete variable X na may mga posibleng value X1,X2 ,…Xn na may probabilities P1, P2 ,… Pn.

Kailangan nating kilalanin sa pamamagitan ng ilang numero ang posisyon ng mga halaga ng random na variable sa x-axis. Para sa layuning ito, natural na gamitin ang tinatawag na "weighted average" ng mga halaga ng Xi, na ang bawat halaga ng Xi ay nasa ???????????? dapat isaalang-alang na may "timbang" na proporsyonal sa posibilidad ng halagang ito. yun. Kakalkulahin namin ang average na halaga ng random variable x , na aming ipahiwatig ng M[x]

Ang weighted average na ito ay tinatawag na mathematical expectation ng random variable.

Ang inaasahan sa matematika ng isang random na variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng halaga ng c. sa. sa posibilidad ng mga halagang ito.

Tandaan na sa pormulasyon sa itaas, ang kahulugan ng mathematical expectation ay valid lamang para sa mga discrete random variable.

Kung saan ang f(x) ay ang distribution density ng random variable X.

F(x)dx-probability element.

Bilang karagdagan sa pinakamahalaga sa mga katangian ng posisyon - ang inaasahan sa matematika - sa pagsasanay, ang iba pang mga katangian ng posisyon ay minsan ginagamit, sa partikular, ang mode at median.

Ang mode ng isang random na variable ay ang pinaka-malamang na halaga nito, sa mahigpit na pagsasalita, gumagamit lamang kami ng mga x discrete variable

Para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, ang mode ay ang halaga kung saan ang probability density ay maximum

Median s. sa. Ang X ay ang halaga nito na Me, ibig sabihin, ito ay pantay na posibilidad kung ang random na variable ay lumabas na mas mababa o mas malaki kaysa sa Akin

Sa geometrically, ang median ay ang abscissa ng punto kung saan nahahati sa mga hit ang lugar na nalilimitahan ng distribution curve.

' P Ang graph ng distribution function ay may anyo

Gawain 5.50

May automatic traffic light sa intersection.

1 minutong berdeng ilaw ay naka-on at 0.5 minuto ay pula, pagkatapos ay 1 minuto ay berdeng ilaw, 0.5 minuto ay pula at, t, d

may nagmamaneho hanggang sa isang intersection sa isang kotse sa isang random na sandali, hindi nauugnay sa trabaho

ilaw trapiko

a) hanapin ang posibilidad na madaanan niya ang intersection nang walang tigil

b) hanapin ang average na oras ng paghihintay sa intersection

Ang sandali ng pagpasa ng kotse sa intersection ay ibinahagi nang pantay sa pagitan na katumbas ng

Ang panahon ng pagbabago ng kulay sa ilaw ng trapiko

Ang panahong ito ay 1+0.5=1.5 minuto

Upang ang sasakyan ay dumaan sa intersection nang walang tigil, sapat na iyon

Ang sandali ng pagtawid sa intersection ay nahulog sa pagitan ng oras (0.1)

Para sa isang random na halaga, napapailalim sa batas ng pare-pareho ang density sa pagitan (0,1,5)

Ang posibilidad na mapasok ito sa pagitan (0.1) ay Ang oras ng paghihintay ay isang mixed random variable, na may posibilidad na ito ay 0, at sa Probability ito ay tumatagal ng anumang halaga sa pagitan ng 0 at 0.5 minuto na may parehong probability density

Average na oras ng paghihintay sa isang intersection

Batas sa pamamahagi ng Poisson

Sa maraming praktikal na problema, kailangang harapin ng isang tao ang mga random na variable na ibinahagi ayon sa isang kakaibang batas, na tinatawag na batas ni Poisson. Isipin mo

Isang discrete na value na maaari lang tumagal sa mga non-negative na integer value

0,1,2,...,m,...,

at ang pagkakasunud-sunod ng mga halagang ito ay halos walang limitasyon.

Ang isang random variable X ay sinasabing ibinahagi ayon sa batas ng Poisson kung ang posibilidad na

Aabutin ang ilang mga halaga m ay ipinahayag ng formula

kung saan ang a ay ilang positibong halaga na tinatawag na parameter ng Poisson. Ang serye ng pamamahagi ng random variable X, na ibinahagi ayon sa batas ng Poisson, ay may anyo;

Ang dispersion ng X ay

Ang posibilidad na matamaan ang isang random na variable na sumusunod sa normal na batas sa isang partikular na lugar.

Sa maraming problemang nauugnay sa mga random na variable na karaniwang ipinamamahagi, kinakailangan upang matukoy ang posibilidad na matamaan ang isang random na variable X, napapailalim sa normal na batas na may mga parameter.

m, s, sa seksyon mula a hanggang b.

Upang kalkulahin ang posibilidad na ito, ginagamit namin ang pangkalahatang formula.

R(a< C< b) = F(b) – F(a) (1)

kung saan ang F(b) ay ang distribution function ng X sa punto b

F(a)-distribution function ng X sa punto a

Hanapin natin ang distribution function na F(x) ng isang random variable na ibinahagi ayon sa normal na batas na may mga parameter na m, s. Densidad

ang distribusyon ng X ay katumbas ng:

Mula dito nakita namin ang function ng pamamahagi:

Gumagawa kami ng pagbabago ng variable sa integral:

At isaisip natin ito:

Ang integral na ito ay hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar, ngunit para dito

ginawa ang mga mesa.

Ang tabular distribution function (ang tinatawag na probability integral table) ay tinutukoy ng:

Madaling makita na ang function na ito ay walang iba kundi isang distribution function para sa isang normal na distributed random

mga halaga na may mga parameter m=0; s=1

Ang distribution function na Ф*(x) ay tinatawag ding normal distribution function.

Ipinapahayag namin ang distribution function ng X na may mga parameter na m, s sa pamamagitan ng normal na distribution function:

Ngayon, hanapin natin ang posibilidad na matamaan ang isang random na variable X sa segment mula a hanggang b.

Ayon sa formula (1):

Kaya, ipapahayag namin ang posibilidad na matamaan ang segment mula sa isang hanggang

B random variable na ibinahagi ayon sa normal na batas sa pamamahagi na may anumang mga parameter, sa pamamagitan ng standard distribution function na Ф*(х) na naaayon sa normal na batas na may mga parameter na m=0 at s=1. Tandaan na ang mga argumento ng function na Ф* sa huling formula ay may simpleng kahulugan:

May distansya mula sa kanang dulo ng seksyon b hanggang sa gitna ng scattering, na ipinahayag sa mga karaniwang paglihis;

Mayroong parehong distansya para sa kaliwang dulo ng seksyon, at ang distansya ay itinuturing na positibo kung ang dulo ay matatagpuan sa kanan ng scattering center, at negatibo kung ito ay nasa kaliwa.

Tulad ng anumang function ng pamamahagi, ang function na Ф*(х) ay may mga sumusunod na katangian:

3. Ang Ф*(х) ay isang hindi bumababa na function.

Bilang karagdagan, mula sa simetrya ng normal na distribusyon na may mga parameter m=0 at s=1 na may paggalang sa pinanggalingan, ito ay sumusunod na

4.F*(-x)=1-F*(x).

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa.

Ang random variable X, na ibinahagi ayon sa normal na batas, ay isang error sa pagsukat ng isang tiyak na distansya.

Kapag sumusukat, pinapayagan ang isang sistematikong error sa direksyon ng labis na pagtatantya ng 1.2 (m); ang standard deviation ng error sa pagsukat ay 0.8(m).

Hanapin ang posibilidad na ang paglihis ng sinusukat na halaga mula sa tunay na halaga ay hindi lalampas sa 1.6(m) sa ganap na halaga.

Ang error sa pagsukat ay isang random na variable X, napapailalim sa normal na batas na may mga parameter na m=12, s=0.8.

Kailangan nating hanapin ang posibilidad na bumagsak ang value na ito sa segment mula sa

a=--1, b hanggang b= +1.6.

Ayon sa formula na mayroon tayo:

Gamit ang mga function table Ф*(0.5)=0.6915 at Ф*(-3.5)=0.0002

Р(-1.6<х<1,6)=0,6915-0,0002=0,6913

Problema 5.48.

Ang pagtanggi ng mga bola para sa mga bearings ay isinasagawa tulad ng sumusunod:

kung ang bola ay hindi dumaan sa isang butas na may diameter na d2>d1, kung gayon ang laki nito ay itinuturing na katanggap-tanggap. Kung ang alinman sa mga kundisyong ito ay hindi natutugunan, ang bola ay tatanggihan. Ito ay kilala na ang bola diameter D ay isang normal na ibinahagi random variable na may mga katangian

Tukuyin ang posibilidad q na ang bola ay tatanggihan.

q= 1- p(d1< d < d2);

Ito ay kilala na ang laki D ng isang bola para sa isang tindig ay isang random na variable na ibinahagi ayon sa normal na batas. Ang pagtanggi sa bola ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng ipinahiwatig sa nakaraang problema. Ito ay kilala na ang average na laki ng bola ay katumbas ng

At ang kasal ay 10% ng kabuuang output.Tukuyin ang standard deviation ng ball diameter sd.

Katulad ng nakaraang problema, ang posibilidad ng kasal

saan

Gawain 5-54

Ang random variable na x ay napapailalim sa normal na batas na may mathematical mx=0. Ang posibilidad ng random variable na ito ay ipinapakita sa mga seksyon mula -1 hanggang 1 ay 0.5.

Saan ang parity ng pamamahagi

Bumuo tayo ng graph ng distribution parity function

Dapat may chart dito

Problema 5-58.

Mayroong random na variable na x, napapailalim sa normal na batas e sa pamamagitan ng mathematical expectation mx, at ang standard deviation sigma mula sa x. Tinatayang kinakailangan

Palitan ang normal na batas ng batas ng pare-pareho ang density sa pagitan ng alpha, beta; ang mga hangganan ng alpha, beta ay pinili upang mapanatili ang mga pangunahing katangian ng random na variable x na hindi nagbabago: ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba.

Opsyon 2

Nasaan ang density ng pamamahagi

Bumuo tayo ng isang graph ng density ng pamamahagi.

PANUNTUNAN NG TATLONG s

Hayaang maipamahagi ang normal na halaga X ayon sa normal na batas na may mga parameter na M at s. Ipapakita namin na, na may katumpakan ng hanggang sa 03%, nangyayari na ang isang dami na sumusunod sa batas ay tumatagal sa mga posibleng halaga na hindi lumihis mula sa scattering center ng ± 3s.

Gusto naming hanapin kung ano

Hindi lalampas sa 0003

Napakahalaga ng panuntunang 3s sa mga istatistika.

Ang isa sa mga pinakakaraniwang panuntunan ng 3s ay ang eksperimento sa pagsasala. Sa isang eksperimento sa screening, ang mga outlier ay na-screen out.

Pangunahing gawain ng mga istatistika ng matematika