Mga halimbawa ng Vieta theorem na may solusyon. Ang teorama ni Vieta

Sa mathematics meron mga espesyal na trick, kung saan maraming mga quadratic equation ang nalutas nang napakabilis at walang anumang mga diskriminasyon. Bukod dito, sa wastong pagsasanay, marami ang nagsisimulang lutasin ang mga parisukat na equation sa salita, literal na "sa isang sulyap."

Sa kasamaang palad, sa modernong kurso ng matematika ng paaralan, ang mga naturang teknolohiya ay halos hindi pinag-aralan. At kailangan mong malaman! At ngayon ay isasaalang-alang natin ang isa sa mga pamamaraan na ito - ang teorama ng Vieta. Una, ipakilala natin ang isang bagong kahulugan.

Ang isang quadratic equation ng form x 2 + bx + c = 0 ay tinatawag na reduced. Pakitandaan na ang coefficient sa x 2 ay katumbas ng 1. Walang ibang mga paghihigpit sa mga coefficient.

Ang x 2 + 7x + 12 = 0 ay ang pinababang quadratic equation;
x 2 − 5x + 6 = 0 - nabawasan din;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - ngunit hindi ito nabawasan, dahil ang coefficient sa x 2 ay 2.

Siyempre, ang anumang quadratic equation ng form na ax 2 + bx + c = 0 ay maaaring gawing bawasan - sapat na upang hatiin ang lahat ng mga coefficient sa bilang na a. Magagawa natin ito palagi, dahil mula sa kahulugan quadratic equation sumusunod na ang isang ≠ 0.

Totoo, ang mga pagbabagong ito ay hindi palaging magiging kapaki-pakinabang para sa paghahanap ng mga ugat. Medyo mas mababa, sisiguraduhin namin na ito ay dapat gawin lamang kapag sa panghuling squared equation ang lahat ng mga coefficient ay integer. Sa ngayon, tingnan natin ang ilang simpleng halimbawa:

Isang gawain. I-convert ang quadratic equation sa pinababang:

3x2 − 12x + 18 = 0;

−4x2 + 32x + 16 = 0;

1.5x2 + 7.5x + 3 = 0;

2x2 + 7x − 11 = 0.

Hatiin natin ang bawat equation sa coefficient ng variable x 2 . Nakukuha namin:

3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - hinati ang lahat sa 3;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - hinati sa −4;
1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - hinati ng 1.5, ang lahat ng mga coefficient ay naging integer;
2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - hinati ng 2. Sa kasong ito, lumitaw ang mga fractional coefficient.

Tulad ng nakikita mo, ang mga ibinigay na quadratic equation ay maaaring magkaroon ng mga integer coefficient kahit na ang orihinal na equation ay naglalaman ng mga fraction.

Ngayon ay bumalangkas kami ng pangunahing teorama, kung saan, sa katunayan, ang konsepto ng isang pinababang quadratic equation ay ipinakilala:

Ang teorama ni Vieta. Isaalang-alang ang pinababang quadratic equation ng form x 2 + bx + c \u003d 0. Ipagpalagay na ang equation na ito ay may tunay na mga ugat x 1 at x 2. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:

x1 + x2 = −b. Sa madaling salita, ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng koepisyent ng variable x, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda;

x 1 x 2 = c. Ang produkto ng mga ugat ng isang quadratic equation ay katumbas ng free coefficient.

Mga halimbawa. Para sa pagiging simple, isasaalang-alang lamang namin ang ibinigay na mga quadratic equation na hindi nangangailangan ng karagdagang mga pagbabagong-anyo:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; mga ugat: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; mga ugat: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; mga ugat: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Ang teorem ni Vieta ay nagbibigay sa atin Karagdagang impormasyon tungkol sa mga ugat ng isang quadratic equation. Sa unang sulyap, ito ay maaaring mukhang kumplikado, ngunit kahit na may kaunting pagsasanay, matututunan mong "makita" ang mga ugat at literal na hulaan ang mga ito sa loob ng ilang segundo.

Isang gawain. Lutasin ang quadratic equation:

x2 − 9x + 14 = 0;

x 2 - 12x + 27 = 0;

3x2 + 33x + 30 = 0;

−7x2 + 77x − 210 = 0.

Subukan nating isulat ang mga coefficient ayon sa Vieta theorem at "hulaan" ang mga ugat:

Ang x 2 − 9x + 14 = 0 ay ang pinababang quadratic equation.
Sa pamamagitan ng Vieta theorem, mayroon tayong: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Madaling makita na ang mga ugat ay ang mga numero 2 at 7;
x 2 − 12x + 27 = 0 - nabawasan din.
Sa pamamagitan ng Vieta theorem: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Kaya ang mga ugat: 3 at 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - hindi binabawasan ang equation na ito. Ngunit aayusin natin ito ngayon sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng coefficient a \u003d 3. Nakukuha natin ang: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
Nalutas namin ayon sa Vieta theorem: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ ugat: −10 at −1;
−7x 2 + 77x − 210 = 0 - muli ang coefficient sa x 2 ay hindi katumbas ng 1, i.e. hindi ibinigay ang equation. Hinahati namin ang lahat sa numerong a = −7. Nakukuha namin ang: x 2 - 11x + 30 = 0.
Sa pamamagitan ng Vieta theorem: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; mula sa mga equation na ito ay madaling hulaan ang mga ugat: 5 at 6.

Mula sa pangangatwiran sa itaas, makikita kung paano pinapasimple ng theorem ni Vieta ang solusyon ng mga quadratic equation. Walang kumplikadong mga kalkulasyon, walang arithmetic roots at fractions. At kahit na ang discriminant (tingnan ang aralin " Paglutas ng mga quadratic equation") Hindi namin kailangan.

Siyempre, sa lahat ng aming mga pagmumuni-muni, nagpatuloy kami mula sa dalawang mahahalagang pagpapalagay, na, sa pangkalahatan, ay hindi palaging natutupad sa mga tunay na problema:

Ang quadratic equation ay nabawasan, i.e. ang koepisyent sa x 2 ay 1;
Ang equation ay may dalawang magkaibang ugat. Mula sa punto ng view ng algebra, sa kasong ito ang discriminant D > 0 - sa katunayan, una naming ipinapalagay na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay totoo.

Gayunpaman, sa karaniwang mga problema sa matematika ang mga kundisyong ito ay natutugunan. Kung, bilang isang resulta ng mga kalkulasyon, ang isang "masamang" quadratic equation ay nakuha (ang koepisyent sa x 2 ay naiiba sa 1), ito ay madaling ayusin - tingnan ang mga halimbawa sa pinakadulo simula ng aralin. Sa pangkalahatan ay tahimik ako tungkol sa mga ugat: anong uri ng gawain ito kung saan walang sagot? Siyempre magkakaroon ng mga ugat.

Kaya, ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation ayon sa Vieta theorem ay ang mga sumusunod:

Bawasan ang quadratic equation sa ibinigay na isa, kung hindi pa ito nagawa sa kondisyon ng problema;
Kung ang mga coefficient sa itaas na quadratic equation ay naging fractional, malulutas namin sa pamamagitan ng discriminant. Maaari ka ring bumalik sa orihinal na equation upang gumana sa mas "maginhawa" na mga numero;
Sa kaso ng integer coefficients, nilulutas namin ang equation gamit ang Vieta theorem;
Kung sa loob ng ilang segundo ay hindi posible na hulaan ang mga ugat, puntos namin ang Vieta theorem at lutasin sa pamamagitan ng discriminant.

Isang gawain. Lutasin ang equation: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

So, meron tayong equation na hindi nababawasan, kasi koepisyent a \u003d 5. Hatiin ang lahat sa 5, nakukuha namin: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Ang lahat ng mga coefficient ng quadratic equation ay integer - subukan nating lutasin gamit ang Vieta theorem. Mayroon kaming: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Sa kasong ito, ang mga ugat ay madaling hulaan - ito ay 2 at 5. Hindi mo kailangang magbilang sa pamamagitan ng discriminant.

Isang gawain. Lutasin ang equation: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0.

Tinitingnan namin: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - ang equation na ito ay hindi nabawasan, hinahati namin ang magkabilang panig ng coefficient a = -5. Nakukuha namin ang: x 2 - 1.6x + 0.48 = 0 - isang equation na may fractional coefficients.

Mas mainam na bumalik sa orihinal na equation at magbilang sa pamamagitan ng discriminant: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 \u003d 0.4.

Isang gawain. Lutasin ang equation: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Upang magsimula, hinahati namin ang lahat sa pamamagitan ng koepisyent a \u003d 2. Nakukuha namin ang equation x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Ito ang pinababang equation, ayon sa Vieta theorem na mayroon tayo: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Mahirap hulaan ang mga ugat ng quadratic equation sa kasong ito - sa personal, seryoso akong "nagyelo" kapag nalutas ko ang problemang ito.

Kailangan nating maghanap ng mga ugat sa pamamagitan ng discriminant: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Kung hindi mo naaalala ang ugat ng discriminant, papansinin ko lang na 1225: 25 = 49. Samakatuwid, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Ngayong alam na ang ugat ng discriminant, hindi mahirap lutasin ang equation. Nakukuha namin ang: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Sa quadratic equation, meron buong linya mga ratios. Ang mga pangunahing ay ang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at mga coefficient. Gayundin, gumagana ang isang bilang ng mga relasyon sa mga quadratic equation, na ibinibigay ng Vieta theorem.

Sa paksang ito, ipinakita namin ang Vieta theorem mismo at ang patunay nito para sa isang quadratic equation, isang theorem converse sa Vieta's theorem, at sinusuri ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema. Bibigyan namin ng espesyal na pansin ang materyal sa pagsasaalang-alang ng mga formula ng Vieta, na tumutukoy sa kaugnayan sa pagitan ng mga tunay na ugat algebraic equation degree n at mga coefficient nito.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pahayag at patunay ng teorama ni Vieta

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0 ng form x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, kung saan D = b 2 − 4 a c, nagtatatag ng ratio x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. Ito ay kinumpirma ng teorama ni Vieta.

Teorama 1

Sa isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, saan x 1 at x2- mga ugat, ang kabuuan ng mga ugat ay magiging katumbas ng ratio ng mga coefficient b at a, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay magiging katumbas ng ratio ng mga coefficient c at a, ibig sabihin. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.

Patunay 1

Inaalok namin sa iyo ang sumusunod na pamamaraan para sa pagsasagawa ng patunay: kinukuha namin ang formula ng mga ugat, binubuo ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng quadratic equation at pagkatapos ay binabago ang mga resultang expression upang matiyak na sila ay pantay. -b a at c a ayon sa pagkakabanggit.

Buuin ang kabuuan ng mga ugat x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Dalhin natin ang mga fraction sa isang common denominator - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Buksan natin ang mga bracket sa numerator ng resultang fraction at magbigay ng magkatulad na termino: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Bawasan ang fraction sa pamamagitan ng: 2 - b a \u003d - b a.

Kaya't napatunayan natin ang unang kaugnayan ng teorama ni Vieta, na tumutukoy sa kabuuan ng mga ugat ng isang quadratic equation.

Ngayon ay lumipat tayo sa pangalawang relasyon.

Upang gawin ito, kailangan nating bumuo ng produkto ng mga ugat ng quadratic equation: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.

Alalahanin ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga praksiyon at isulat ang huling produkto tulad ng sumusunod: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Isasagawa namin ang pagpaparami ng bracket sa pamamagitan ng bracket sa numerator ng fraction, o gagamitin namin ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat upang mas mabilis na mabago ang produktong ito: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Gamitin natin ang kahulugan parisukat na ugat upang magawa ang sumusunod na paglipat: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c tumutugma sa discriminant ng quadratic equation, samakatuwid, sa isang fraction sa halip na D maaaring palitan b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Buksan natin ang mga bracket, magbigay ng like terms at makakuha ng: 4 · a · c 4 · a 2 . Kung paikliin natin ito sa 4 a, pagkatapos ay nananatili ang c a. Kaya napatunayan namin ang pangalawang kaugnayan ng Vieta theorem para sa produkto ng mga ugat.

Ang talaan ng patunay ng teorama ni Vieta ay maaaring magkaroon ng isang napakasimpleng anyo, kung aalisin natin ang mga paliwanag:

x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Gamit ang discriminant ng quadratic equation sero Ang equation ay magkakaroon lamang ng isang ugat. Upang mailapat ang teorama ni Vieta sa naturang equation, maaari nating ipagpalagay na ang equation na may discriminant na katumbas ng zero ay may dalawang magkaparehong ugat. Sa katunayan, sa D=0 ang ugat ng quadratic equation ay: - b 2 a, pagkatapos x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a at x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, at dahil D \u003d 0, iyon ay, b 2 - 4 a c = 0, kung saan b 2 = 4 a c, pagkatapos b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Kadalasan sa pagsasanay, ang Vieta theorem ay inilalapat kaugnay sa pinababang quadratic equation ng form x 2 + p x + q = 0, kung saan ang nangungunang koepisyent a ay katumbas ng 1 . Sa pagsasaalang-alang na ito, ang teorama ni Vieta ay nabalangkas nang tumpak para sa mga equation ng ganitong uri. Hindi nito nililimitahan ang pangkalahatan dahil sa katotohanan na ang anumang quadratic equation ay maaaring palitan ng katumbas na equation. Upang gawin ito, kinakailangan upang hatiin ang parehong mga bahagi nito sa pamamagitan ng numero a, na naiiba sa zero.

Magbigay tayo ng isa pang pagbabalangkas ng teorama ni Vieta.

Teorama 2

Ang kabuuan ng mga ugat sa ibinigay na quadratic equation x 2 + p x + q = 0 ay magiging katumbas ng koepisyent sa x, na kinukuha sa kabaligtaran na tanda, ang produkto ng mga ugat ay magiging katumbas ng libreng termino, i.e. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.

Theorem inverse to Vieta's theorem

Kung titingnan mong mabuti ang pangalawang pagbabalangkas ng teorama ni Vieta, makikita mo iyon para sa mga ugat x 1 at x2 pinababang quadratic equation x 2 + p x + q = 0 ang mga relasyon x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q ay magiging wasto. Mula sa mga ugnayang ito x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, ito ay sumusunod na x 1 at x2 ay ang mga ugat ng quadratic equation x 2 + p x + q = 0. Kaya dumating tayo sa isang pahayag na kabaligtaran ng teorama ni Vieta.

Iminumungkahi namin ngayon na gawing pormal ang pahayag na ito bilang isang teorama at isakatuparan ang patunay nito.

Teorama 3

Kung mga numero x 1 at x2 ay ganyan x 1 + x 2 = − p at x 1 x 2 = q, pagkatapos x 1 at x2 ay ang mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 + p x + q = 0.

Patunay 2

Pagbabago ng mga coefficient p at q sa kanilang pagpapahayag sa pamamagitan ng x 1 at x2 nagpapahintulot sa iyo na baguhin ang equation x 2 + p x + q = 0 sa isang katumbas .

Kung papalitan natin ang numero sa resultang equation x 1 sa halip na x, pagkatapos makuha namin ang pagkakapantay-pantay x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Ang pagkakapantay-pantay na ito para sa alinman x 1 at x2 nagiging totoo pagkakapantay-pantay ng numero 0 = 0 , dahil x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Ibig sabihin nito ay x 1- ugat ng equation x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, at ano x 1 ito rin ang ugat ng katumbas na equation x 2 + p x + q = 0.

Pagpapalit ng equation x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numero x2 sa halip na x ay nagpapahintulot sa iyo na makakuha ng pagkakapantay-pantay x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring ituring na totoo, dahil x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Lumalabas na x2 ay ang ugat ng equation x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, at samakatuwid ay ang mga equation x 2 + p x + q = 0.

Ang theorem converse sa Vieta's theorem ay napatunayan.

Mga halimbawa ng paggamit ng teorama ni Vieta

Magpatuloy tayo ngayon sa pagsusuri ng mga pinakakaraniwang halimbawa sa paksa. Magsimula tayo sa pagsusuri ng mga problema na nangangailangan ng aplikasyon ng teorama, ang kabaligtaran ng teorama ni Vieta. Maaari itong magamit upang suriin ang mga numero na nakuha sa kurso ng mga kalkulasyon, kung ang mga ito ay mga ugat ng isang ibinigay na quadratic equation. Upang gawin ito, kailangan mong kalkulahin ang kanilang kabuuan at pagkakaiba, at pagkatapos ay suriin ang bisa ng mga ratios x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c.

Ang katuparan ng parehong mga relasyon ay nagpapahiwatig na ang mga numero na nakuha sa kurso ng mga kalkulasyon ay ang mga ugat ng equation. Kung nakikita natin na hindi bababa sa isa sa mga kundisyon ang hindi natutugunan, kung gayon ang mga numerong ito ay hindi maaaring maging mga ugat ng quadratic equation na ibinigay sa kondisyon ng problema.

Halimbawa 1

Alin sa mga pares ng mga numero 1) x 1 = - 5, x 2 = 3, o 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, o 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = Ang 2 - 7 2 ay isang pares ng mga ugat ng quadratic equation 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Solusyon

Hanapin ang mga coefficient ng quadratic equation 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . Ito ay a = 4 , b = − 16 , c = 9 . Alinsunod sa Vieta theorem, ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation ay dapat na katumbas ng -b a, yan ay, 16 4 = 4 , at ang produkto ng mga ugat ay dapat na katumbas ng c a, yan ay, 9 4 .

Suriin natin ang mga nakuhang numero sa pamamagitan ng pagkalkula ng kabuuan at produkto ng mga numero mula sa tatlong ibinigay na mga pares at paghahambing ng mga ito sa mga nakuhang halaga.

Sa unang kaso x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Iba ang value na ito sa 4 , kaya hindi mo na kailangang ipagpatuloy ang pagsuri. Ayon sa theorem, ang kabaligtaran ng Vieta's theorem, maaari nating tapusin kaagad na ang unang pares ng mga numero ay hindi ang mga ugat ng quadratic equation na ito.

Sa pangalawang kaso x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Nakikita natin na ang unang kondisyon ay natutugunan. Ngunit ang pangalawang kundisyon ay hindi: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Iba ang halaga na nakuha natin 9 4 . Nangangahulugan ito na ang pangalawang pares ng mga numero ay hindi mga ugat ng quadratic equation.

Lumipat tayo sa ikatlong pares. Dito x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 at x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Ang parehong mga kondisyon ay nasiyahan, na nangangahulugan na x 1 at x2 ay ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation.

Sagot: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2

Maaari rin nating gamitin ang kabaligtaran ng teorem ni Vieta upang mahanap ang mga ugat ng isang quadratic equation. Ang pinakamadaling paraan ay ang pumili ng mga integer na ugat ng ibinigay na quadratic equation na may mga integer coefficient. Ang iba pang mga opsyon ay maaari ding isaalang-alang. Ngunit ito ay maaaring makabuluhang kumplikado ang mga kalkulasyon.

Upang piliin ang mga ugat, ginagamit namin ang katotohanan na kung ang kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng pangalawang koepisyent ng quadratic equation, kinuha gamit ang isang minus sign, at ang produkto ng mga numerong ito ay katumbas ng libreng termino, kung gayon ang mga numerong ito ay ang mga ugat ng quadratic equation na ito.

Halimbawa 2

Bilang halimbawa, ginagamit namin ang quadratic equation x 2 − 5 x + 6 = 0. Numero x 1 at x2 maaaring maging ugat ng equation na ito kung ang dalawang pagkakapantay-pantay ay nasiyahan x1 + x2 = 5 at x 1 x 2 = 6. Piliin natin ang mga numerong iyon. Ito ang mga numero 2 at 3 dahil 2 + 3 = 5 at 2 3 = 6. Lumalabas na 2 at 3 ang mga ugat ng quadratic equation na ito.

Ang kabaligtaran ng teorama ni Vieta ay maaaring gamitin upang mahanap ang pangalawang ugat kapag ang una ay kilala o halata. Para dito maaari nating gamitin ang mga ratios x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

Halimbawa 3

Isaalang-alang ang quadratic equation 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Kailangan nating hanapin ang mga ugat ng equation na ito.

Solusyon

Ang unang ugat ng equation ay 1 dahil ang kabuuan ng mga coefficient ng quadratic equation na ito ay zero. Lumalabas na x 1 = 1.

Ngayon hanapin natin ang pangalawang ugat. Upang gawin ito, maaari mong gamitin ang ratio x 1 x 2 = c a. Lumalabas na 1 x 2 = − 3 512, saan x 2 \u003d - 3 512.

Sagot: ang mga ugat ng quadratic equation na tinukoy sa kondisyon ng problema 1 at - 3 512 .

Posibleng pumili ng mga ugat gamit ang theorem converse sa Vieta's theorem lamang sa mga simpleng kaso. Sa ibang mga kaso, mas mainam na maghanap gamit ang formula ng mga ugat ng quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant.

Salamat sa converse theorem ng Vieta, maaari rin tayong bumuo ng mga quadratic equation na ibinigay sa mga ugat x 1 at x2. Upang gawin ito, kailangan nating kalkulahin ang kabuuan ng mga ugat, na nagbibigay ng koepisyent sa x na may kabaligtaran na tanda ng pinababang quadratic equation, at ang produkto ng mga ugat, na nagbibigay ng libreng termino.

Halimbawa 4

Sumulat ng isang quadratic equation na ang mga ugat ay mga numero − 11 at 23 .

Solusyon

Tanggapin na natin yan x 1 = − 11 at x2 = 23. Ang kabuuan at produkto ng mga numerong ito ay magiging katumbas ng: x1 + x2 = 12 at x 1 x 2 = − 253. Nangangahulugan ito na ang pangalawang koepisyent ay 12, ang libreng termino − 253.

Gumagawa kami ng equation: x 2 - 12 x - 253 = 0.

Sagot: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Magagamit natin ang Vieta theorem upang malutas ang mga problema na nauugnay sa mga palatandaan ng mga ugat ng quadratic equation. Ang koneksyon sa pagitan ng teorama ni Vieta ay nauugnay sa mga palatandaan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 + p x + q = 0 sa sumusunod na paraan:

kung ang quadratic equation ay may tunay na ugat at kung ang free term q ay positibong numero, kung gayon ang mga ugat na ito ay magkakaroon ng parehong tanda na "+" o "-";
kung ang quadratic equation ay may mga ugat at kung ang free term q ay isang negatibong numero, kung gayon ang isang ugat ay magiging "+" at ang pangalawang "-".

Ang parehong mga pahayag na ito ay bunga ng formula x 1 x 2 = q at mga panuntunan para sa pagpaparami ng positibo at mga negatibong numero, pati na rin ang mga numero na may iba't ibang mga palatandaan.

Halimbawa 5

Ang mga ugat ng isang quadratic equation x 2 - 64 x - 21 = 0 positibo?

Solusyon

Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta, ang mga ugat ng equation na ito ay hindi maaaring maging positibo, dahil dapat nilang matugunan ang pagkakapantay-pantay. x 1 x 2 = − 21. Hindi ito posible sa positibo x 1 at x2.

Sagot: Hindi

Halimbawa 6

Sa anong mga halaga ng parameter r quadratic equation x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 magkakaroon ng dalawang tunay na ugat na may magkaibang mga palatandaan.

Solusyon

Magsimula tayo sa paghahanap ng mga halaga ng kung ano r, kung saan ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin natin ang discriminant at tingnan kung ano r kukuha ito ng mga positibong halaga. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Halaga ng pagpapahayag r2 + 8 positibo para sa anumang tunay r, samakatuwid, ang discriminant ay magiging mas malaki kaysa sa zero para sa anumang tunay r. Nangangahulugan ito na ang orihinal na quadratic equation ay magkakaroon ng dalawang ugat para sa anumang tunay na halaga ng parameter r.

Ngayon tingnan natin kung kailan magkakaroon ng mga ugat iba't ibang palatandaan. Posible ito kung negatibo ang kanilang produkto. Ayon sa Vieta theorem, ang produkto ng mga ugat ng pinababang quadratic equation ay katumbas ng free term. Ibig sabihin, tamang desisyon magkakaroon ng mga halaga r, kung saan ang libreng termino r − 1 ay negatibo. Kami ang magpapasya linear inequality r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Sagot: sa r< 1 .

Mga formula ng Vieta

Mayroong ilang mga formula na naaangkop para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga ugat at coefficient na hindi lamang parisukat, kundi pati na rin kubiko at iba pang mga uri ng mga equation. Tinatawag silang mga Vieta formula.

Para sa isang algebraic equation ng degree n ng anyong a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 ang equation ay itinuturing na mayroon n tunay na ugat x 1 , x 2 , … , x n, na maaaring kabilang ang sumusunod:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - isang 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + . . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0

Kahulugan 1

Kunin ang mga Vieta formula na makakatulong sa amin:

teorama sa agnas ng isang polynomial sa linear na mga kadahilanan;
kahulugan ng equal polynomials sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng lahat ng kaukulang coefficient nito.

Kaya, ang polynomial a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n at ang pagpapalawak nito sa mga linear na salik ng anyong a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) ay pantay.

Kung palawakin natin ang mga bracket pinakabagong gawa at equate ang kaukulang coefficients, pagkatapos ay makuha namin ang Vieta formula. Sa pagkuha ng n \u003d 2, makakakuha tayo ng Vieta formula para sa quadratic equation: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.

Kahulugan 2

Ang formula ng Vieta para sa isang cubic equation:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Ang kaliwang bahagi ng mga formula ng Vieta ay naglalaman ng tinatawag na elementarya na simetriko polynomial.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang discriminant, pati na rin ang mga quadratic equation, ay nagsisimulang pag-aralan sa kursong algebra sa grade 8. Maaari mong lutasin ang isang quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant at gamit ang Vieta theorem. Ang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga quadratic equation, pati na rin ang discriminant formula, ay sa halip ay hindi matagumpay na naitanim sa mga mag-aaral, tulad ng marami sa totoong edukasyon. Kaya pumasa mga taon ng paaralan, pinapalitan ng pagsasanay sa mga baitang 9-11 ang " mataas na edukasyon"at ang lahat ay nakatingin muli- "Paano lutasin ang isang quadratic equation?", "Paano hanapin ang mga ugat ng isang equation?", "Paano hanapin ang discriminant?" at...

Pormula ng Diskriminasyon

Ang discriminant D ng quadratic equation a*x^2+bx+c=0 ay D=b^2–4*a*c.
Ang mga ugat (mga solusyon) ng quadratic equation ay nakasalalay sa tanda ng discriminant (D):
D>0 - ang equation ay may 2 magkaibang tunay na ugat;
D=0 - ang equation ay may 1 ugat (2 coinciding roots):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Ang formula para sa pagkalkula ng discriminant ay medyo simple, kaya maraming mga site ang nag-aalok ng online na discriminant calculator. Hindi pa namin naiisip ang ganitong uri ng mga script, kaya sino ang nakakaalam kung paano ito ipatupad, mangyaring sumulat sa koreo Ang email address na ito ay pinoprotektahan mula sa mga spambots. Dapat ay pinagana mo ang JavaScript upang matingnan. .

Pangkalahatang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation:

Ang mga ugat ng equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
Kung ang koepisyent ng variable sa parisukat ay ipinares, pagkatapos ay ipinapayong kalkulahin hindi ang discriminant, ngunit ang ikaapat na bahagi nito
Sa ganitong mga kaso, ang mga ugat ng equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Ang pangalawang paraan upang mahanap ang mga ugat ay ang Vieta's Theorem.

Ang theorem ay binuo hindi lamang para sa mga quadratic equation, kundi pati na rin para sa polynomials. Mababasa mo ito sa Wikipedia o iba pang elektronikong mapagkukunan. Gayunpaman, upang gawing simple, isaalang-alang ang bahagi nito na may kinalaman sa pinababang mga quadratic equation, iyon ay, mga equation ng form (a=1)
Ang kakanyahan ng mga formula ng Vieta ay ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay katumbas ng koepisyent ng variable, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda. Ang produkto ng mga ugat ng equation ay katumbas ng libreng termino. Ang mga formula ng teorem ni Vieta ay may notasyon.
Ang derivation ng Vieta formula ay medyo simple. Isulat natin ang quadratic equation sa mga tuntunin ng prime factor
Tulad ng nakikita mo, ang lahat ng mapanlikha ay simple sa parehong oras. Mabisang gamitin ang Vieta formula kapag ang pagkakaiba sa modulus ng mga ugat o pagkakaiba sa modulus ng mga ugat ay 1, 2. Halimbawa, ang mga sumusunod na equation, ayon sa Vieta theorem, ay may mga ugat.

Hanggang 4 na pagsusuri ng equation ang dapat magmukhang ganito. Ang produkto ng mga ugat ng equation ay 6, kaya ang mga ugat ay maaaring ang mga halaga (1, 6) at (2, 3) o mga pares na may kabaligtaran na tanda. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7 (ang koepisyent ng variable na may kabaligtaran na tanda). Mula dito napagpasyahan namin na ang mga solusyon ng quadratic equation ay katumbas ng x=2; x=3.
Mas madaling piliin ang mga ugat ng equation sa mga divisors ng libreng termino, iwasto ang kanilang pag-sign upang matupad ang mga formula ng Vieta. Sa simula, ito ay tila mahirap gawin, ngunit sa pagsasanay sa isang bilang ng mga quadratic equation, ang diskarteng ito ay magiging mas mahusay kaysa sa pagkalkula ng discriminant at paghahanap ng mga ugat ng quadratic equation sa klasikal na paraan.
Tulad ng makikita mo, ang teorya ng paaralan ng pag-aaral ng discriminant at mga paraan upang makahanap ng mga solusyon sa equation ay walang praktikal na kahulugan - "Bakit kailangan ng mga mag-aaral ang isang quadratic equation?", "Ano ang pisikal na kahulugan ng discriminant?".

Subukan nating malaman ito ano ang inilalarawan ng discriminant?

Sa kurso ng algebra, pinag-aaralan nila ang mga function, mga scheme para sa pag-aaral ng mga function at plotting function. Sa lahat ng mga pag-andar, isang mahalagang lugar ang inookupahan ng isang parabola, ang equation na maaaring isulat sa anyo
Kaya ang pisikal na kahulugan ng quadratic equation ay ang mga zero ng parabola, iyon ay, ang mga punto ng intersection ng graph ng function na may abscissa axis Ox
Hinihiling ko sa iyo na tandaan ang mga katangian ng mga parabola na inilarawan sa ibaba. Darating ang oras upang kumuha ng mga pagsusulit, pagsusulit, o mga pagsusulit sa pasukan at magpapasalamat ka para sa reference na materyal. Ang tanda ng variable sa parisukat ay tumutugma sa kung ang mga sanga ng parabola sa graph ay tataas (a>0),

o isang parabola na may mga sanga pababa (a<0) .

Ang vertex ng parabola ay namamalagi sa pagitan ng mga ugat

Ang pisikal na kahulugan ng discriminant:

Kung ang discriminant ay mas malaki sa zero (D>0), ang parabola ay may dalawang punto ng intersection sa Ox axis.
Kung ang discriminant ay katumbas ng zero (D=0), kung gayon ang parabola sa itaas ay dumidikit sa x-axis.
At ang huling kaso, kapag ang discriminant ay mas mababa sa zero (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Hindi kumpletong quadratic equation

Pagbubuo at patunay ng teorem ni Vieta para sa mga equation na parisukat. Inverse Vieta theorem. Vieta's theorem para sa cubic equation at equation ng arbitrary order.

Quadratic equation

Ang teorama ni Vieta

Hayaan at tukuyin ang mga ugat ng pinababang quadratic equation
(1) .
Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng koepisyent sa kinuha na may kabaligtaran na tanda. Ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino:
;
.

Isang tala tungkol sa maraming ugat

Kung ang discriminant ng equation (1) ay zero, ang equation na ito ay may isang ugat. Ngunit, upang maiwasan ang masalimuot na mga pormulasyon, karaniwang tinatanggap na sa kasong ito, ang equation (1) ay may dalawang maramihang, o pantay, na mga ugat:
.

Isang patunay

Hanapin natin ang mga ugat ng equation (1). Upang gawin ito, ilapat ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
;
;
.

Paghahanap ng kabuuan ng mga ugat:
.

Upang mahanap ang produkto, inilalapat namin ang formula:
.
Pagkatapos

.

Ang teorama ay napatunayan.

Dalawang patunay

Kung ang mga numero at ang mga ugat ng quadratic equation (1), kung gayon
.
Binuksan namin ang mga bracket.

.
Kaya, ang equation (1) ay kukuha ng anyo:
.
Kung ihahambing sa (1) makikita natin:
;
.

Ang teorama ay napatunayan.

Inverse Vieta theorem

Hayaang magkaroon ng mga arbitrary na numero. Pagkatapos at ang mga ugat ng quadratic equation
,
saan
(2) ;
(3) .

Patunay ng converse theorem ni Vieta

Isaalang-alang ang quadratic equation
(1) .
Kailangan nating patunayan na kung at , pagkatapos at ang mga ugat ng equation (1).

Palitan ang (2) at (3) sa (1):
.
Ipangkat namin ang mga tuntunin ng kaliwang bahagi ng equation:
;
;
(4) .

Palitan sa (4):
;
.

Palitan sa (4):
;
.
Natupad ang equation. Ibig sabihin, ang numero ay ang ugat ng equation (1).

Ang teorama ay napatunayan.

Vieta's theorem para sa kumpletong quadratic equation

Ngayon isaalang-alang ang kumpletong quadratic equation
(5) ,
kung saan , at ilang mga numero. At .

Hinahati namin ang equation (5) sa pamamagitan ng:
.
Iyon ay, nakuha namin ang equation sa itaas
,
saan ; .

Pagkatapos ang Vieta theorem para sa kumpletong quadratic equation ay may sumusunod na anyo.

Hayaan at tukuyin ang mga ugat ng kumpletong quadratic equation
.
Pagkatapos ang kabuuan at produkto ng mga ugat ay tinutukoy ng mga formula:
;
.

Vieta's theorem para sa isang cubic equation

Katulad nito, maaari tayong magtatag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat ng isang cubic equation. Isaalang-alang ang cubic equation
(6) ,
kung saan ang , , , ay ilang mga numero. At .
Hatiin natin ang equation na ito sa pamamagitan ng:
(7) ,
saan , , .
Hayaan ang , , ang mga ugat ng equation (7) (at equation (6)). Pagkatapos

.

Ang paghahambing sa equation (7) ay makikita natin:
;
;
.

Vieta's theorem para sa isang nth degree equation

Sa parehong paraan, makakahanap ka ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat , , ... , , para sa equation ng nth degree
.

Ang theorem ni Vieta para sa isang nth degree equation ay may sumusunod na anyo:
;
;
;

.

Upang makuha ang mga formula na ito, isinusulat namin ang equation sa sumusunod na form:
.
Pagkatapos ay tinutumbasan natin ang mga koepisyent sa , , , ... , at ihambing ang libreng termino.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: isang aklat-aralin para sa ika-8 baitang ng mga institusyong pang-edukasyon, Moscow, Edukasyon, 2006.

I. Vieta's theorem para sa pinababang quadratic equation.

Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Hanapin ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation gamit ang Vieta's theorem.

Halimbawa 1) x 2 -x-30=0. Ito ang pinababang quadratic equation ( x 2 +px+q=0), ang pangalawang koepisyent p=-1, at ang libreng termino q=-30. Una, siguraduhin na ang ibinigay na equation ay may mga ugat, at ang mga ugat (kung mayroon man) ay ipapakita bilang mga integer. Para dito, sapat na na ang discriminant ay ang buong parisukat ng isang integer.

Paghahanap ng discriminant D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Ngayon, ayon sa Vieta theorem, ang kabuuan ng mga ugat ay dapat na katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha sa kabaligtaran na tanda, i.e. ( -p), at ang produkto ay katumbas ng libreng termino, i.e. ( q). Pagkatapos:

x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Kailangan nating pumili ng gayong dalawang numero upang ang kanilang produkto ay katumbas ng -30 , at ang kabuuan ay yunit. Ito ang mga numero -5 at 6 . Sagot: -5; 6.

Halimbawa 2) x 2 +6x+8=0. Mayroon kaming pinababang quadratic equation na may pangalawang coefficient p=6 at libreng miyembro q=8. Tiyaking mayroong mga integer na ugat. Hanapin natin ang discriminant D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Ang discriminant D 1 ay ang perpektong parisukat ng numero 1 , kaya ang mga ugat ng equation na ito ay mga integer. Pinipili namin ang mga ugat ayon sa Vieta theorem: ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng –p=-6, at ang produkto ng mga ugat ay q=8. Ito ang mga numero -4 at -2 .

Sa totoo lang: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Sagot: -4; -2.

Halimbawa 3) x 2 +2x-4=0. Sa pinababang quadratic equation na ito, ang pangalawang coefficient p=2, at ang libreng termino q=-4. Hanapin natin ang discriminant D1, dahil ang pangalawang coefficient ay isang even na numero. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Ang discriminant ay hindi perpektong parisukat ng isang numero, kaya ginagawa namin konklusyon: ang mga ugat ng equation na ito ay hindi mga integer at hindi mahahanap gamit ang Vieta's theorem. Kaya, malulutas namin ang equation na ito, gaya ng dati, ayon sa mga formula (sa kasong ito, ayon sa mga formula). Nakukuha namin:

Halimbawa 4). Sumulat ng isang quadratic equation gamit ang mga ugat nito kung x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Solusyon. Ang nais na equation ay isusulat sa form: x 2 +px+q=0, bukod dito, batay sa Vieta theorem –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form: x2 +3x-28=0.

Halimbawa 5). Sumulat ng quadratic equation gamit ang mga ugat nito kung:

II. Ang teorama ni Vieta para sa kumpletong quadratic equation ax2+bx+c=0.

Ang kabuuan ng mga ugat ay minus b hinati ng a, ang produkto ng mga ugat ay Sa hinati ng a:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.