Mga halimbawa sa paksa ng formula ng paghahagis. Mga formula ng pagbabawas: patunay, mga halimbawa, tuntunin ng mnemonic

Nabibilang sila sa seksyong "trigonometry" ng matematika. Ang kanilang kakanyahan ay upang dalhin ang trigonometric function ng mga anggulo sa isang mas "simpleng" form. Maraming maisusulat tungkol sa kahalagahan ng kanilang kaalaman. Mayroong 32 sa mga formula na ito!

Huwag mag-alala, hindi mo kailangang matutunan ang mga ito, tulad ng maraming iba pang mga formula sa kurso ng matematika. Hindi mo kailangang punan ang iyong ulo ng hindi kinakailangang impormasyon, kailangan mong kabisaduhin ang "mga susi" o mga batas, at tandaan o pagbatayan gustong pormula hindi magiging problema. Sa pamamagitan ng paraan, kapag sumulat ako sa mga artikulo "... kailangan mong matuto !!!" - ito ay nangangahulugan na ito ay talagang kinakailangan upang matutunan ito.

Kung hindi ka pamilyar sa mga formula ng pagbabawas, kung gayon ang pagiging simple ng kanilang derivation ay kawili-wiling sorpresa sa iyo - mayroong isang "batas" kung saan ito ay madaling gawin. At isusulat mo ang alinman sa 32 formula sa loob ng 5 segundo.

Ililista ko lamang ang ilan sa mga gawain na magiging pagsusulit sa matematika, kung saan walang kaalaman sa mga formula na ito ay may mataas na posibilidad na mabigo sa solusyon. Halimbawa:

- mga gawain upang malutas kanang tatsulok, kung saan pinag-uusapan natin ang tungkol sa panlabas na anggulo, at mga problema sa mga panloob na anggulo, kailangan din ang ilan sa mga formula na ito.

- mga gawain para sa pagkalkula ng mga halaga ng trigonometric expression; pagbabago ng numerical trigonometriko expression; mga pagbabagong-anyo ng literal na trigonometriko na mga ekspresyon.

– mga gawain para sa padaplis at geometric na kahulugan padaplis, kailangan ng reduction formula para sa tangent, pati na rin ang iba pang gawain.

- mga problema sa stereometric, sa kurso ng paglutas ay madalas na kinakailangan upang matukoy ang sine o cosine ng isang anggulo na nasa saklaw mula 90 hanggang 180 degrees.

At ito ay mga puntos lamang na nauugnay sa pagsusulit. At sa kurso ng algebra mismo mayroong maraming mga problema, sa solusyon kung saan, nang walang kaalaman sa mga pormula ng pagbawas, imposibleng gawin ito.

Kaya ano ang humahantong sa at paano pinapasimple ng mga itinakda na formula ang solusyon ng mga problema para sa atin?

Halimbawa, kailangan mong tukuyin ang sine, cosine, tangent, o cotangent ng anumang anggulo sa pagitan ng 0 at 450 degrees:

Ang anggulo ng alpha ay mula 0 hanggang 90 degrees

* * *

Kaya, ito ay kinakailangan upang maunawaan ang "batas" na gumagana dito:

1. Tukuyin ang sign ng function sa kaukulang quarter.

Paalalahanan ko sila:

2. Tandaan ang sumusunod:

pagbabago ng function sa cofunction

ang function ay hindi nagbabago sa cofunction

Ano ang ibig sabihin ng konsepto - ang isang function ay nagbabago sa isang cofunction?

Sagot: ang sine ay nagbabago sa cosine o vice versa, tangent sa cotangent o vice versa.

Iyon lang!

Ngayon, ayon sa ipinakita na batas, nagsusulat kami ng ilang mga formula ng pagbawas nang nakapag-iisa:

Ang anggulong ito ay nasa ikatlong quarter, ang cosine sa ikatlong quarter ay negatibo. Hindi namin binabago ang function para sa cofunction, dahil mayroon kaming 180 degrees, na nangangahulugang:

Ang anggulo ay nasa unang quarter, ang sine sa unang quarter ay positibo. Hindi namin binabago ang function sa isang cofunction, dahil mayroon kaming 360 ​​degrees, na nangangahulugang:

Narito ang isa pang karagdagang kumpirmasyon na ang mga sine mga katabing sulok ay pantay:

Ang anggulo ay nasa ikalawang quarter, ang sine sa ikalawang quarter ay positibo. Hindi namin binabago ang function sa isang cofunction, dahil mayroon kaming 180 degrees, na nangangahulugang:

Sa hinaharap, gamit ang property ng periodicity, evenness (oddity), madali mong matukoy ang halaga ng anumang anggulo: 1050 0 , -750 0 , 2370 0 at anumang iba pa. Magkakaroon ng isang artikulo tungkol dito sa hinaharap, huwag palampasin ito!

Kapag gumamit ako ng mga pormula ng pagbabawas sa paglutas ng mga problema, tiyak na sasangguni ako sa artikulong ito upang palagi mong mai-refresh sa iyong memorya ang teoryang ipinakita sa itaas. Iyon lang. Umaasa ako na ang materyal ay naging kapaki-pakinabang sa iyo.

Kumuha ng materyal ng artikulo sa format na PDF

Taos-puso, Alexander.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.

Trigonometry. Mga formula ng pagbabawas.

Ang mga formula sa paghahagis ay hindi kailangang ituro, kailangan nilang maunawaan. Unawain ang algorithm para sa kanilang output. Ito ay napakadali!

Kumuha tayo ng unit circle at ilagay ang lahat ng degree measures (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) dito.

Suriin natin ang sin(a) at cos(a) function sa bawat quarter.

Tandaan na tinitingnan natin ang function ng sin (a) kasama ang Y axis, at ang cos (a) function kasama ang X axis.

Sa unang quarter, makikita na ang function kasalanan(a)>0
At pag-andar cos(a)>0
Ang unang quarter ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang degree measure, bilang (90-α) o (360+α).

Sa ikalawang quarter, makikita na ang function kasalanan(a)>0, dahil ang y-axis ay positibo sa quarter na iyon.
Isang function cos(a) dahil ang x-axis ay negatibo sa quarter na iyon.
Ang ikalawang quarter ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang degree measure, bilang (90+α) o (180-α).

Sa ikatlong quarter, makikita na ang mga function kasalanan(a) Ang ikatlong quarter ay maaaring ilarawan sa mga tuntunin ng mga degree bilang (180+α) o (270-α).

Sa fourth quarter, makikita na ang function sin(a) dahil ang y-axis ay negatibo sa quarter na iyon.
Isang function cos(a)>0, dahil ang x-axis ay positibo sa quarter na iyon.
Ang ikaapat na quarter ay maaaring ilarawan sa mga tuntunin ng mga degree bilang (270+α) o (360-α).

Ngayon tingnan natin ang mga pormula ng pagbabawas mismo.

Tandaan natin ang isang simple algorithm:
1. quarter.(Laging tingnan kung saang quarter ka naroroon).
2. Tanda.(Para sa isang quarter, tingnan ang positibo o negatibong cosine o sine function).
3. Kung mayroon kang (90° o π/2) at (270° o 3π/2) sa mga bracket, kung gayon mga pagbabago sa function.

At kaya sinimulan naming i-disassemble ang algorithm na ito sa quarters.

Alamin kung ano ang magiging katumbas ng expression na cos(90-α).
Pag-usapan natin ang algorithm:
1. Unang quarter.


Will cos(90-α) = kasalanan(α)

Alamin kung ano ang magiging katumbas ng expression na sin (90-α).
Pag-usapan natin ang algorithm:
1. Unang quarter.


Will kasalanan(90-α) = cos(α)

Alamin kung ano ang magiging katumbas ng expression na cos(360+α).
Pag-usapan natin ang algorithm:
1. Unang quarter.
2. Sa unang quarter, positibo ang sign ng cosine function.

Will cos(360+α) = cos(α)

Alamin kung ano ang magiging katumbas ng expression na sin (360 + α).
Pag-usapan natin ang algorithm:
1. Unang quarter.
2. Sa unang quarter, positibo ang sign ng sine function.
3. Walang (90° o π/2) at (270° o 3π/2) sa mga bracket, kung gayon ang function ay hindi nagbabago.
Will kasalanan(360+α) = kasalanan(α)

Alamin kung ano ang magiging katumbas ng expression na cos(90+α).
Pag-usapan natin ang algorithm:
1. Ikalawang quarter.

3. Mayroong (90 ° o π / 2) sa mga bracket, pagkatapos ay nagbabago ang function mula sa cosine hanggang sa sine.
Will cos(90+α) = -sin(α)

Alamin kung ano ang magiging katumbas ng expression na sin (90 + α).
Pag-usapan natin ang algorithm:
1. Ikalawang quarter.

3. Mayroong (90 ° o π / 2) sa mga bracket, pagkatapos ay nagbabago ang function mula sa sine patungo sa cosine.
Will kasalanan(90+α) = cos(α)

Alamin kung ano ang magiging katumbas ng expression na cos(180-α).
Pag-usapan natin ang algorithm:
1. Ikalawang quarter.
2. Sa ikalawang quarter, negatibo ang sign ng cosine function.
3. Walang (90° o π/2) at (270° o 3π/2) sa mga bracket, kung gayon ang function ay hindi nagbabago.
Will cos(180-α) = cos(α)

Alamin kung ano ang magiging katumbas ng expression na sin (180-α).
Pag-usapan natin ang algorithm:
1. Ikalawang quarter.
2. Sa ikalawang quarter, positibo ang sign ng sine function.
3. Walang (90° o π/2) at (270° o 3π/2) sa mga bracket, kung gayon ang function ay hindi nagbabago.
Will kasalanan(180-α) = kasalanan(α)

Pinag-uusapan ko ang tungkol sa ikatlo at ikaapat na quarter sa katulad na paraan, gagawa kami ng isang talahanayan:

Mag-subscribe sa channel sa YOUTUBE at panoorin ang video, maghanda para sa mga pagsusulit sa matematika at geometry sa amin.

Mayroong dalawang panuntunan para sa paggamit ng mga formula ng cast.

1. Kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang (π/2 ±a) o (3*π/2 ±a), kung gayon mga pagbabago sa pangalan ng function kasalanan sa cos, cos sa kasalanan, tg sa ctg, ctg sa tg. Kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang (π ±a) o (2*π ±a), kung gayon ang pangalan ng function ay nananatiling hindi nagbabago.

Tingnan ang figure sa ibaba, ito ay nagpapakita ng eskematiko kung kailan dapat baguhin ang tanda at kung kailan hindi.

2. Ang panuntunang "kung paano ka noon, kaya ka nananatili."

Ang tanda ng pinababang pag-andar ay nananatiling pareho. Kung ang orihinal na function ay may plus sign, ang pinababang function ay mayroon ding plus sign. Kung ang orihinal na function ay may minus sign, ang pinababang function ay mayroon ding minus sign.

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga palatandaan ng pangunahing trigonometric function depende sa quarter.

Kalkulahin ang Kasalanan(150˚)

Gamitin natin ang mga formula ng pagbabawas:

Ang Sin(150˚) ay nasa ikalawang quarter, makikita natin mula sa figure na ang sign ng kasalanan sa quarter na ito ay +. Nangangahulugan ito na ang function sa itaas ay magkakaroon din ng plus sign. Inilapat namin ang pangalawang panuntunan.

Ngayon 150˚ = 90˚ +60˚. Ang 90˚ ay π/2. Iyon ay, nakikitungo tayo sa kaso π / 2 + 60, samakatuwid, ayon sa unang tuntunin, binabago natin ang pag-andar mula sa kasalanan hanggang sa cos. Bilang resulta, nakukuha natin ang Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Kung nais, ang lahat ng mga pormula ng pagbabawas ay maaaring ibuod sa isang talahanayan. Ngunit mas madaling tandaan ang dalawang panuntunang ito at gamitin ang mga ito.

Kailangan mo ng tulong sa iyong pag-aaral?

Paano matandaan ang mga formula para sa pagbabawas ng mga function ng trigonometriko? Madali lang kung gagamit ka ng asosasyon. Ang asosasyong ito ay hindi ko inimbento. Tulad ng nabanggit na, ang isang magandang samahan ay dapat "kumapit", iyon ay, pukawin ang matingkad na damdamin. Hindi ko matatawag na positibo ang mga emosyong dulot ng asosasyong ito. Ngunit nagbibigay ito ng isang resulta - pinapayagan ka nitong matandaan ang mga formula ng pagbabawas, na nangangahulugang may karapatang umiral. Sabagay, kung hindi mo gusto, hindi mo naman kailangang gamitin, di ba?

Ang mga formula ng pagbabawas ay: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Naaalala namin na ang +α ay nagbibigay ng counterclockwise na paggalaw, - α - clockwise na paggalaw.

Upang gumana sa mga formula ng pagbabawas, kailangan ng dalawang puntos:

1) inilalagay namin ang senyales na mayroon ang paunang pag-andar (sa mga aklat-aralin na isinulat nila: mababawasan. Ngunit, upang hindi malito, mas mahusay na tawagan itong paunang), kung isasaalang-alang namin ang α bilang anggulo ng unang quarter, na ay maliit.

2) Pahalang na diameter - π ± α, 2π ± α, 3π ± α ... - sa pangkalahatan, kapag walang fraction, hindi nagbabago ang pangalan ng function. Vertical π / 2 ± α, 3π / 2 ± α, 5π / 2 ± α ... - kapag mayroong fraction, nagbabago ang pangalan ng function: sine - sa cosine, cosine - sa sine, tangent - sa cotangent at cotangent - sa padaplis.

Ngayon, sa totoo lang, ang asosasyon:

vertical diameter (mayroong fraction) -

mga lasing na nakatayo. Ano ang mangyayari sa kanya ng maaga

o huli? Tama, babagsak.

Magbabago ang pangalan ng function.

Kung pahalang ang diameter, nagsisinungaling na ang lasing. Tulog, malamang. Walang mangyayari sa kanya, naka horizontal position na siya. Alinsunod dito, ang pangalan ng function ay hindi nagbabago.

Ibig sabihin, sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α), atbp. bigyan ±cosα,

at kasalanan(π±α), kasalanan(2π±α), kasalanan(3π±α), … — ±sinα.

Tulad ng alam na natin.

Paano ito gumagana? Tingnan natin ang mga halimbawa.

1) cos(π/2+α)=?

Nagiging kami sa π/2. Dahil ang ibig sabihin ng +α ay pasulong tayo, counterclockwise. Nahulog tayo sa quarter ng II, kung saan ang cosine ay may sign na "-". Nagbabago ang pangalan ng function ("nakatayo ang lasing", na nangangahulugang babagsak ito). Kaya,

cos(π/2+α)=-sinα.

Nagiging 2π tayo. Dahil -α - bumalik tayo, iyon ay, clockwise. Nahulog kami sa IV quarter, kung saan ang tangent ay may sign na "-". Ang pangalan ng function ay hindi nagbabago (ang diameter ay pahalang, "ang lasing ay nagsisinungaling na"). Kaya, tg(2π-α)=- tgα.

3) ctg²(3π/2-α)=?

Ang mga halimbawa kung saan ang function ay itinaas sa pantay na kapangyarihan ay mas madaling lutasin. Ang kahit na antas na "-" ay nag-aalis, iyon ay, kailangan mo lamang malaman kung ang pangalan ng function ay nagbabago o nananatili. Ang diameter ay patayo (mayroong isang bahagi, "ang lasing ay nakatayo", ay mahuhulog), ang pangalan ng function ay nagbabago. Nakukuha namin ang: ctg²(3π/2-α)= tg²α.

At isa pang gawain B11 sa parehong paksa - mula sa totoong PAGGAMIT sa matematika.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Sa maikling video tutorial na ito, matututunan natin kung paano mag-apply mga formula ng pagbabawas para sa paglutas ng mga totoong problema B11 mula sa pagsusulit sa matematika. Tulad ng nakikita mo, mayroon kaming dalawa trigonometriko expression, bawat isa ay naglalaman ng mga sine at cosine, pati na rin ang ilang medyo brutal na numerical na argumento.

Bago lutasin ang mga problemang ito, tandaan natin kung ano ang mga formula ng pagbabawas. Kaya, kung mayroon tayong mga expression tulad ng:

Pagkatapos ay maaari nating alisin ang unang termino (ng anyong k · π/2) ayon sa mga espesyal na tuntunin. Magdrawing tayo trigonometriko bilog, minarkahan namin ang mga pangunahing punto dito: 0, π/2; π; 3π/2 at 2π. Pagkatapos ay titingnan natin ang unang termino sa ilalim ng tanda ng trigonometric function. Meron kami:

1. Kung ang termino ng interes sa amin ay nasa vertical axis trigonometriko bilog(halimbawa: 3π/2; π/2, atbp.), pagkatapos ang orihinal na function ay papalitan ng isang co-function: ang sine ay pinapalitan ng isang cosine, at ang cosine, sa kabaligtaran, ng isang sine.
2. Kung ang aming termino ay nasa pahalang na axis, kung gayon ang orihinal na function ay hindi nagbabago. Tanggalin lang ang unang termino sa expression - at iyon na.

Kaya, nakakakuha tayo ng trigonometric function na hindi naglalaman ng mga termino ng anyong k · π/2. Gayunpaman, ang gawain sa mga formula ng pagbabawas ay hindi nagtatapos doon. Ang punto ay na bago ang aming bagong feature, na nakuha pagkatapos "i-discard" ang unang termino, maaaring mayroong plus o minus sign. Paano matukoy ang tanda na ito? Ngayon ay malalaman natin.

Isipin na ang anggulong α, na nananatili sa loob ng trigonometric function pagkatapos ng mga pagbabago, ay may napakaliit na sukat. Ngunit ano ang ibig sabihin ng "maliit na sukat"? Ipagpalagay na α ∈ (0; 30°) - ito ay sapat na. Kunin natin ang isang function bilang isang halimbawa:

Pagkatapos, kasunod ng aming mga pagpapalagay na α ∈ (0; 30°), napagpasyahan namin na ang anggulo 3π/2 − α ay nasa ikatlong coordinate quadrant, ibig sabihin, 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Naaalala namin ang tanda ng orihinal na function, i.e. y = sin x sa pagitan na ito. Malinaw, ang sine sa ikatlong coordinate quarter ay negatibo, dahil sa kahulugan, ang sine ay ang ordinate ng dulo ng gumagalaw na radius (sa madaling salita, ang sine ay ang y coordinate). Well, ang y coordinate sa lower half-plane ay palaging tumatagal mga negatibong halaga. Kaya naman, sa ikatlong quarter ay negatibo rin ang y.

Batay sa mga pagsasaalang-alang na ito, maaari nating isulat ang panghuling expression:

Problema B11 - 1 opsyon

Ang parehong mga pamamaraan na ito ay medyo angkop para sa paglutas ng problema B11 mula sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri sa matematika. Ang pagkakaiba lang ay na sa maraming totoong buhay na problema sa B11, sa halip na isang radian measure (ibig sabihin, ang mga numerong π, π/2, 2π, atbp.), isang degree measure ang ginagamit (i.e. 90°, 180°, 270° at atbp.). Tingnan natin ang unang gawain:

Harapin muna natin ang numerator. cos 41° ay isang non-table value, kaya wala tayong magagawa dito. Sa ngayon, hayaan muna natin.

Ngayon tingnan ang denominator:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Malinaw, mayroon kaming formula ng pagbabawas sa harap namin, kaya ang sine ay pinalitan ng cosine. Bilang karagdagan, ang anggulo na 41° ay nasa segment (0°; 90°), i.e. sa unang quarter ng coordinate - eksakto kung kinakailangan upang ilapat ang mga formula ng pagbabawas. Ngunit pagkatapos ay 90° + 41° ang pangalawang coordinate quarter. Ang orihinal na function na y = sin x ay positibo doon, kaya naman naglalagay kami ng plus sign sa harap ng cosine sa huling hakbang (sa madaling salita, wala kaming inilagay).

Ito ay nananatiling humarap sa huling elemento:

cos 240° = cos (180° + 60°) = -cos 60° = -0.5

Dito makikita natin na ang 180° ay ang pahalang na axis. Dahil dito, hindi magbabago ang mismong function: nagkaroon ng cosine - at mananatili rin ang cosine. Ngunit muli ang tanong ay lumitaw: ang plus o minus ba ay nasa harap ng resultang expression cos 60 °? Tandaan na ang 180° ay ang ikatlong coordinate quadrant. Ang cosine ay negatibo doon, samakatuwid, ang cosine ay magtatapos sa isang minus sign. Sa kabuuan, nakukuha namin ang konstruksiyon -cos 60 ° = -0.5 - ito ay isang tabular na halaga, kaya ang lahat ay madaling kalkulahin.

Ngayon ay pinapalitan namin ang nakuha na mga numero sa orihinal na formula at makuha ang:

Tulad ng nakikita mo, ang bilang na cos 41 ° sa numerator at denominator ng fraction ay madaling nabawasan, at ang karaniwang expression ay nananatili, na katumbas ng −10. Sa kasong ito, ang minus ay maaaring alisin at ilagay sa harap ng fraction sign, o "panatilihin" sa tabi ng pangalawang multiplier hanggang sa pinakahuling hakbang ng mga kalkulasyon. Alinmang paraan, ang sagot ay -10. Iyon lang, ang problema B11 ay nalutas na!

Problema B14 - 2nd opsyon

Lumipat tayo sa pangalawang gawain. Bago sa amin ay isang fraction muli:

Well, mayroon tayong 27° sa unang coordinate quadrant, kaya wala tayong babaguhin dito. Ngunit ang kasalanan 117 ° ay dapat ipinta (sa ngayon ay walang anumang parisukat):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Halatang nasa harap na naman namin pormula ng pagbabawas: 90° ang vertical axis, kaya ang sine ay magiging cosine. Bilang karagdagan, ang anggulo na α = 117° = 90° + 27° ay nasa pangalawang coordinate quadrant. Ang orihinal na function na y = sin x ay positibo doon, samakatuwid, bago ang cosine pagkatapos ng lahat ng pagbabago, ang plus sign ay nananatili pa rin. Sa madaling salita, walang idinagdag doon - iniiwan namin ito nang ganoon: cos 27 °.

Bumalik kami sa orihinal na expression na kailangang suriin:

Tulad ng nakikita natin, ang pangunahing kadahilanan ay lumitaw sa denominator pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo. trigonometriko pagkakakilanlan: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Kabuuan -4: 1 = -4 - kaya nahanap namin ang sagot sa pangalawang problema B11.

Tulad ng nakikita mo, sa tulong ng mga pormula ng pagbabawas, ang mga naturang gawain mula sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri sa matematika ay malulutas sa loob lamang ng ilang linya. Walang mga sinus ng kabuuan at mga cosine ng pagkakaiba. Ang kailangan lang nating tandaan ay trigonometric circle lang.