Anong mga halaga ang maaaring makuha ng tangent sa trigonometry? Trigonometric na bilog

Reference data para sa tangent (tg x) at cotangent (ctg x). Geometric na kahulugan, mga katangian, mga graph, mga formula. Talaan ng mga tangent at cotangent, derivatives, integrals, series expansions. Mga expression sa pamamagitan ng mga kumplikadong variable. Koneksyon sa mga hyperbolic function.

Geometric na kahulugan

|BD| - haba ng arko ng isang bilog na may sentro sa punto A.
Ang α ay ang anggulo na ipinahayag sa radians.

Tangent ( tan α) ay isang trigonometric function na depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng tapat na binti |BC| sa haba ng katabing binti |AB| .

Cotangent ( ctg α) ay isang trigonometric function depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng katabing binti |AB| sa haba ng tapat na binti |BC| .

Tangent

saan n- buo.

Sa panitikan sa Kanluran, ang tangent ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.
;
;
.

Graph ng tangent function, y = tan x

Cotangent

saan n- buo.

Sa panitikan sa Kanluran, ang cotangent ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.
Ang mga sumusunod na notasyon ay tinatanggap din:
;
;
.

Graph ng cotangent function, y = ctg x

Mga katangian ng tangent at cotangent

Periodicity

Mga function y = tg x at y = ctg x ay periodic na may period π.

Pagkakapantay-pantay

Ang tangent at cotangent function ay kakaiba.

Mga lugar ng kahulugan at halaga, pagtaas, pagbaba

Ang tangent at cotangent function ay tuloy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang mga pangunahing katangian ng tangent at cotangent ay ipinakita sa talahanayan ( n- buo).

Mga formula

Mga expression gamit ang sine at cosine

; ;
; ;
;

Mga formula para sa tangent at cotangent mula sa kabuuan at pagkakaiba

Ang natitirang mga formula ay madaling makuha, halimbawa

Produkto ng tangents

Formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga tangent

Ang talahanayan na ito ay nagpapakita ng mga halaga ng tangent at cotangent para sa ilang mga halaga ng argumento.

Mga expression na gumagamit ng mga kumplikadong numero

Mga expression sa pamamagitan ng hyperbolic function

;
;

Derivatives

; .

.
Derivative ng nth order na may paggalang sa variable x ng function:
.
Pagkuha ng mga formula para sa tangent > > > ; para sa cotangent > > >

Mga integral

Mga pagpapalawak ng serye

Upang makuha ang pagpapalawak ng tangent sa mga kapangyarihan ng x, kailangan mong kumuha ng ilang termino ng pagpapalawak sa serye ng kapangyarihan para sa mga function kasalanan x At kasi x at hatiin ang mga polynomial na ito sa bawat isa, . Ito ay gumagawa ng mga sumusunod na formula.

Sa .

sa .
saan Bn- Mga numero ng Bernoulli. Ang mga ito ay tinutukoy alinman mula sa pag-uulit na kaugnayan:
;
;
saan .
O ayon sa formula ni Laplace:

Mga kabaligtaran na pag-andar

Mga kabaligtaran na pag-andar sa tangent at cotangent ay arctangent at arccotangent, ayon sa pagkakabanggit.

Arctangent, arctg

, Saan n- buo.

Arccotangent, arcctg

, Saan n- buo.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics para sa siyentipikong manggagawa at mga inhinyero, 2012.

Ang trigonometrya ay isang sangay ng mathematical science na nag-aaral trigonometriko function at ang kanilang paggamit sa geometry. Ang pag-unlad ng trigonometrya ay nagsimula noong mga araw sinaunang Greece. Noong Middle Ages, ang mga siyentipiko mula sa Gitnang Silangan at India ay gumawa ng mahahalagang kontribusyon sa pag-unlad ng agham na ito.

Ang artikulong ito ay nakatuon sa mga pangunahing konsepto at kahulugan ng trigonometrya. Tinatalakay nito ang mga kahulugan ng mga pangunahing trigonometric function: sine, cosine, tangent at cotangent. Ang kanilang kahulugan ay ipinaliwanag at inilalarawan sa konteksto ng geometry.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sa una, ang mga kahulugan ng trigonometric function na ang argumento ay isang anggulo ay ipinahayag sa mga tuntunin ng ratio ng mga gilid ng isang right triangle.

Mga kahulugan ng trigonometriko function

Ang sine ng isang anggulo (sin α) ay ang ratio ng binti sa tapat ng anggulong ito sa hypotenuse.

Cosine ng anggulo (cos α) - ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Angle tangent (t g α) - ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.

Angle cotangent (c t g α) - ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran.

Ang mga kahulugan na ito ay ibinigay para sa matinding anggulo ng isang tamang tatsulok!

Magbigay tayo ng isang ilustrasyon.

SA tatsulok ABC na may tamang anggulo C, ang sine ng anggulo A ay katumbas ng ratio ng leg BC sa hypotenuse AB.

Ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang mga halaga ng mga function na ito mula sa mga kilalang haba ng mga gilid ng tatsulok.

Mahalagang tandaan!

Ang hanay ng mga halaga ng sine at cosine ay mula -1 hanggang 1. Sa madaling salita, ang sine at cosine ay kumukuha ng mga halaga mula -1 hanggang 1. Ang hanay ng mga halaga ng tangent at cotangent ay ang buong linya ng numero, ibig sabihin, ang mga function na ito ay maaaring tumagal sa anumang mga halaga.

Ang mga kahulugang ibinigay sa itaas ay nalalapat sa mga talamak na anggulo. Sa trigonometrya, ipinakilala ang konsepto ng isang anggulo ng pag-ikot, ang halaga nito, hindi katulad ng isang talamak na anggulo, ay hindi limitado sa 0 hanggang 90 degrees. Ang anggulo ng pag-ikot sa mga degree o radian ay ipinahayag ng anumang tunay na numero mula - ∞ hanggang + ∞ .

Sa kontekstong ito, maaari nating tukuyin ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng arbitrary na magnitude. Isipin natin ang isang bilog na yunit na may sentro nito sa pinanggalingan ng Cartesian coordinate system.

Ang paunang puntong A na may mga coordinate (1, 0) ay umiikot sa gitna ng bilog ng yunit sa isang tiyak na anggulo α at papunta sa puntong A 1. Ang kahulugan ay ibinigay sa mga tuntunin ng mga coordinate ng point A 1 (x, y).

Sine (sin) ng anggulo ng pag-ikot

Ang sine ng rotation angle α ay ang ordinate ng point A 1 (x, y). kasalanan α = y

Cosine (cos) ng anggulo ng pag-ikot

Ang cosine ng anggulo ng pag-ikot α ay ang abscissa ng punto A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) ng anggulo ng pag-ikot

Ang tangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng ordinate ng point A 1 (x, y) sa abscissa nito. t g α = y x

Cotangent (ctg) ng anggulo ng pag-ikot

Ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng abscissa ng punto A 1 (x, y) sa ordinate nito. c t g α = x y

Ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang anggulo ng pag-ikot. Ito ay lohikal, dahil ang abscissa at ordinate ng isang punto pagkatapos ng pag-ikot ay maaaring matukoy sa anumang anggulo. Iba ang sitwasyon sa tangent at cotangent. Ang tangent ay hindi natukoy kapag ang isang punto pagkatapos ng pag-ikot ay napupunta sa isang puntong may zero abscissa (0, 1) at (0, - 1). Sa ganitong mga kaso, ang expression para sa tangent t g α = y x ay walang katuturan, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Ang sitwasyon ay katulad sa cotangent. Ang pagkakaiba ay ang cotangent ay hindi tinukoy sa mga kaso kung saan ang ordinate ng isang punto ay napupunta sa zero.

Mahalagang tandaan!

Ang sinus at cosine ay tinukoy para sa anumang mga anggulo α.

Tinutukoy ang tangent para sa lahat ng anggulo maliban sa α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Tinutukoy ang cotangent para sa lahat ng mga anggulo maliban sa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Kapag nilulutas ang mga praktikal na halimbawa, huwag sabihin ang "sine ng anggulo ng pag-ikot α". Ang mga salitang "anggulo ng pag-ikot" ay tinanggal lamang, na nagpapahiwatig na malinaw na sa konteksto ang tinatalakay.

Numero

Paano ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero, at hindi ang anggulo ng pag-ikot?

Sine, cosine, tangent, cotangent ng isang numero

Sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero t ay isang numero na ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng sine, cosine, tangent at cotangent in t radian.

Halimbawa, ang sine ng numerong 10 π ay katumbas ng sine ng anggulo ng pag-ikot ng 10 π rad.

May isa pang diskarte sa pagtukoy ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero. Tingnan natin ito nang mas malapitan.

Anumang tunay na numero t ang isang punto sa bilog ng yunit ay nauugnay sa sentro sa pinagmulan ng hugis-parihaba na Cartesian coordinate system. Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay tinutukoy sa pamamagitan ng mga coordinate ng puntong ito.

Ang panimulang punto sa bilog ay punto A na may mga coordinate (1, 0).

Positibong numero t

Negatibong numero t tumutugma sa punto kung saan pupunta ang panimulang punto kung ito ay gumagalaw sa bilog na pakaliwa at dadaan sa landas t.

Ngayon na ang koneksyon sa pagitan ng isang numero at isang punto sa isang bilog ay naitatag na, nagpapatuloy tayo sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent.

Sine (kasalanan) ng t

Sine ng isang numero t- ordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na naaayon sa numero t. kasalanan t = y

Cosine (cos) ng t

Cosine ng isang numero t- abscissa ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa numero t. cos t = x

Padaplis (tg) ng t

Tangent ng isang numero t- ang ratio ng ordinate sa abscissa ng isang punto sa bilog ng yunit na naaayon sa numero t. t g t = y x = sin t cos t

Ang pinakabagong mga kahulugan ay alinsunod sa at hindi sumasalungat sa kahulugan na ibinigay sa simula ng talatang ito. Ituro ang bilog na katumbas ng numero t, ay tumutugma sa punto kung saan pupunta ang panimulang punto pagkatapos lumiko sa isang anggulo t radian.

Trigonometric function ng angular at numeric na argumento

Ang bawat halaga ng anggulo α ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine at cosine ng anggulong ito. Tulad ng lahat ng mga anggulo α maliban sa α = 90 ° + 180 ° k, ang k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng tangent. Ang Cotangent, gaya ng nakasaad sa itaas, ay tinukoy para sa lahat ng α maliban sa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Masasabi nating ang sin α, cos α, t g α, c t g α ay mga function ng anggulo alpha, o mga function ng angular argument.

Katulad nito, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa sine, cosine, tangent at cotangent bilang mga function ng isang numerical argument. Bawat totoong numero t tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine o cosine ng isang numero t. Lahat ng numero maliban sa π 2 + π · k, k ∈ Z, ay tumutugma sa isang padaplis na halaga. Ang Cotangent, katulad, ay tinukoy para sa lahat ng mga numero maliban sa π · k, k ∈ Z.

Mga pangunahing pag-andar ng trigonometrya

Sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing trigonometric function.

Karaniwang malinaw sa konteksto kung aling argumento ng trigonometriko function (angular argumento o numeric argument) ang ating pinag-uusapan.

Bumalik tayo sa mga kahulugang ibinigay sa pinakasimula at ang anggulo ng alpha, na nasa hanay mula 0 hanggang 90 degrees. Ang mga trigonometric na kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent ay ganap na pare-pareho sa mga geometric na kahulugan na ibinigay ng mga aspect ratio ng isang right triangle. Ipakita natin.

Kumuha ng isang bilog na yunit na may gitna sa isang hugis-parihaba Sistema ng Cartesian mga coordinate Iikot natin ang panimulang punto A (1, 0) sa isang anggulo na hanggang 90 degrees at gumuhit ng patayo sa abscissa axis mula sa nagresultang punto A 1 (x, y). Sa resultang tamang tatsulok, anggulo A 1 O H katumbas ng anggulo turn α, ang haba ng binti O H ay katumbas ng abscissa ng point A 1 (x, y). Ang haba ng binti sa tapat ng anggulo ay katumbas ng ordinate ng point A 1 (x, y), at ang haba ng hypotenuse ay katumbas ng isa, dahil ito ang radius ng unit circle.

Alinsunod sa kahulugan mula sa geometry, ang sine ng anggulo α ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Nangangahulugan ito na ang pagtukoy sa sine ng isang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok sa pamamagitan ng aspect ratio ay katumbas ng pagtukoy sa sine ng anggulo ng pag-ikot α, na may alpha na nakahiga sa hanay mula 0 hanggang 90 degrees.

Katulad nito, ang pagsusulatan ng mga kahulugan ay maaaring ipakita para sa cosine, tangent at cotangent.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang mga konsepto ng sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing kategorya ng trigonometrya, isang sangay ng matematika, at hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa kahulugan ng anggulo. Ang karunungan sa agham na ito sa matematika ay nangangailangan ng pagsasaulo at pag-unawa sa mga pormula at teorema, pati na rin ang pagbuo ng spatial na pag-iisip. Ito ang dahilan kung bakit ang mga kalkulasyon ng trigonometriko ay kadalasang nagdudulot ng mga paghihirap para sa mga mag-aaral at mag-aaral. Upang malampasan ang mga ito, dapat kang maging mas pamilyar sa mga function at formula ng trigonometriko.

Mga konsepto sa trigonometrya

Maintindihan mga pangunahing konsepto trigonometrya, kailangan mo munang magpasya kung ano ito kanang tatsulok at anggulo sa isang bilog, at kung bakit ang lahat ng mga pangunahing trigonometriko kalkulasyon ay nauugnay sa kanila. Ang isang tatsulok kung saan ang isa sa mga anggulo ay may sukat na 90 degrees ay hugis-parihaba. Sa kasaysayan, ang figure na ito ay kadalasang ginagamit ng mga tao sa arkitektura, nabigasyon, sining, at astronomiya. Alinsunod dito, sa pamamagitan ng pag-aaral at pagsusuri ng mga katangian ng figure na ito, ang mga tao ay dumating upang kalkulahin ang kaukulang mga ratio ng mga parameter nito.

Ang mga pangunahing kategorya na nauugnay sa mga tamang tatsulok ay ang hypotenuse at ang mga binti. Hypotenuse - ang gilid ng isang tatsulok sa tapat tamang anggulo. Ang mga binti, ayon sa pagkakabanggit, ay ang natitirang dalawang panig. Ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang mga tatsulok ay palaging 180 degrees.

Ang spherical trigonometry ay isang seksyon ng trigonometry na hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit sa mga inilapat na agham tulad ng astronomy at geodesy, ginagamit ito ng mga siyentipiko. Ang kakaibang katangian ng isang tatsulok sa spherical trigonometrya ay palaging may kabuuan ng mga anggulo na higit sa 180 degrees.

Mga anggulo ng isang tatsulok

Sa isang tamang tatsulok, ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng binti sa tapat ng nais na anggulo sa hypotenuse ng tatsulok. Alinsunod dito, ang cosine ay ang ratio ng katabing binti at hypotenuse. Ang parehong mga halagang ito ay palaging may magnitude na mas mababa sa isa, dahil ang hypotenuse ay palaging mas mahaba kaysa sa binti.

Ang tangent ng isang anggulo ay isang halaga na katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi ng nais na anggulo, o sine sa cosine. Ang Cotangent, sa turn, ay ang ratio ng katabing bahagi ng nais na anggulo sa kabaligtaran. Ang cotangent ng isang anggulo ay maaari ding makuha sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa tangent na halaga.

Circle ng unit

Ang unit circle sa geometry ay isang bilog na ang radius ay katumbas ng isa. Ang nasabing bilog ay itinayo sa isang Cartesian coordinate system, na ang gitna ng bilog ay tumutugma sa pinanggalingan, at ang paunang posisyon ng radius vector ay tinutukoy kasama ang positibong direksyon ng X axis (abscissa axis). Ang bawat punto sa bilog ay may dalawang coordinate: XX at YY, iyon ay, ang mga coordinate ng abscissa at ordinate. Sa pamamagitan ng pagpili ng anumang punto sa bilog sa XX plane at pag-drop ng isang patayo mula dito sa abscissa axis, nakakakuha kami ng isang tamang tatsulok na nabuo ng radius sa napiling punto (na tinutukoy ng titik C), ang patayo na iginuhit sa X axis (ang intersection point ay tinutukoy ng letrang G), at ang segment ay ang abscissa axis sa pagitan ng pinanggalingan (ang punto ay itinalaga ng titik A) at ang intersection point G. Ang resultang tatsulok na ACG ay isang kanang tatsulok na nakasulat sa isang bilog, kung saan ang AG ay ang hypotenuse, at ang AC at GC ay ang mga binti. Ang anggulo sa pagitan ng radius ng bilog AC at ang segment ng abscissa axis na may pagtatalagang AG ay tinukoy bilang α (alpha). Kaya, cos α = AG/AC. Isinasaalang-alang na ang AC ay ang radius ng bilog ng yunit, at ito ay katumbas ng isa, lumalabas na cos α=AG. Gayundin, kasalanan α=CG.

Bilang karagdagan, sa pag-alam sa data na ito, matutukoy mo ang coordinate ng point C sa bilog, dahil cos α=AG, at sin α=CG, na nangangahulugang ang point C ay may ibinigay na mga coordinate(cos α; sin α). Alam na ang tangent ay katumbas ng ratio ng sine sa cosine, matutukoy natin na ang tan α = y/x, at cot α = x/y. Sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga anggulo sa isang negatibong sistema ng coordinate, maaari mong kalkulahin na ang mga halaga ng sine at cosine ng ilang mga anggulo ay maaaring negatibo.

Mga kalkulasyon at pangunahing mga formula

Mga halaga ng function na trigonometric

Ang pagkakaroon ng pagsasaalang-alang sa kakanyahan ng mga pag-andar ng trigonometriko sa pamamagitan ng bilog ng yunit, maaari nating makuha ang mga halaga ng mga pag-andar na ito para sa ilang mga anggulo. Ang mga halaga ay nakalista sa talahanayan sa ibaba.

Ang pinakasimpleng trigonometriko pagkakakilanlan

Ang mga equation kung saan mayroong hindi kilalang halaga sa ilalim ng tanda ng trigonometric function ay tinatawag na trigonometric. Mga pagkakakilanlan na may halagang sin x = α, k - anumang integer:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. kasalanan x = a, |a| > 1, walang solusyon.
5. kasalanan x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Mga pagkakakilanlan na may value na cos x = a, kung saan ang k ay anumang integer:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, walang solusyon.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Mga pagkakakilanlan na may halagang tg x = a, kung saan ang k ay anumang integer:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Mga pagkakakilanlan na may value na ctg x = a, kung saan ang k ay anumang integer:

1. cot x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Mga formula ng pagbabawas

Ang kategoryang ito ng mga pare-parehong pormula ay tumutukoy sa mga pamamaraan kung saan maaari kang lumipat mula sa mga trigonometrikong pag-andar ng anyo patungo sa mga pag-andar ng isang argumento, iyon ay, bawasan ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng anumang halaga sa kaukulang mga tagapagpahiwatig ng anggulo ng ang pagitan mula 0 hanggang 90 degrees para sa higit na kaginhawahan ng mga kalkulasyon.

Ang mga formula para sa pagbabawas ng mga function para sa sine ng isang anggulo ay ganito ang hitsura:

• kasalanan(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• kasalanan(1800 - α) = kasalanan α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• kasalanan(3600 + α) = kasalanan α.

Para sa cosine ng anggulo:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Ang paggamit ng mga formula sa itaas ay posibleng napapailalim sa dalawang panuntunan. Una, kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang isang halaga (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), ang halaga ng function ay nagbabago:

• mula sa kasalanan hanggang sa cos;
• mula sa cos hanggang sa kasalanan;
• mula tg hanggang ctg;
• mula ctg hanggang tg.

Ang halaga ng function ay nananatiling hindi nagbabago kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang (π ± a) o (2π ± a).

Pangalawa, ang tanda ng pinababang pag-andar ay hindi nagbabago: kung ito ay positibo sa una, ito ay nananatiling gayon. Pareho sa mga negatibong pag-andar.

Mga formula ng karagdagan

Ang mga formula na ito ay nagpapahayag ng mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang anggulo ng pag-ikot sa pamamagitan ng kanilang mga trigonometric function. Karaniwan ang mga anggulo ay tinutukoy bilang α at β.

Ang mga formula ay ganito ang hitsura:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ang mga formula na ito ay wasto para sa anumang mga anggulo α at β.

Mga formula ng doble at triple anggulo

Ang double at triple angle trigonometric formula ay mga formula na nag-uugnay sa mga function ng mga anggulo 2α at 3α, ayon sa pagkakabanggit, sa mga trigonometric na function ng angle α. Nagmula sa mga formula ng karagdagan:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Paglipat mula sa kabuuan patungo sa produkto

Isinasaalang-alang na ang 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), na pinasimple ang formula na ito, nakuha natin ang pagkakakilanlan sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Katulad din sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Paglipat mula sa produkto hanggang sa kabuuan

Ang mga formula na ito ay sumusunod mula sa mga pagkakakilanlan ng paglipat ng isang kabuuan sa isang produkto:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Mga formula ng pagbabawas ng degree

Sa mga pagkakakilanlan na ito, ang parisukat at kubiko na kapangyarihan ng sine at cosine ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng sine at cosine ng unang kapangyarihan ng maraming anggulo:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Pangkalahatang pagpapalit

Ang mga formula para sa unibersal na trigonometric substitution ay nagpapahayag ng mga function na trigonometriko sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), na may x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kung saan x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), kung saan x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), na may x = π + 2πn.

Mga espesyal na kaso

Mga espesyal na kaso ng protozoa trigonometriko equation ay ibinigay sa ibaba (k ay anumang integer).

Mga quote para sa sine:

Mga quote para sa cosine:

Mga quote para sa tangent:

Mga quote para sa cotangent:

Theorems

Teorama ng mga sine

Mayroong dalawang bersyon ng theorem - simple at extended. Simple sine theorem: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Sa kasong ito, ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang α, β, γ ay ang magkasalungat na mga anggulo, ayon sa pagkakabanggit.

Extended sine theorem para sa isang arbitrary triangle: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Sa pagkakakilanlang ito, ang R ay tumutukoy sa radius ng bilog kung saan ang ibinigay na tatsulok ay nakasulat.

Cosine theorem

Ang pagkakakilanlan ay ipinapakita tulad ng sumusunod: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Sa formula, ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang α ay ang anggulo sa tapat ng gilid a.

Tangent theorem

Ang formula ay nagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga tangent ng dalawang anggulo at ang haba ng mga gilid sa tapat ng mga ito. Ang mga gilid ay may label na a, b, c, at ang katumbas na magkasalungat na anggulo ay α, β, γ. Formula ng tangent theorem: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Cotangent theorem

Ikinokonekta ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok na may haba ng mga gilid nito. Kung ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang A, B, C, ayon sa pagkakabanggit, ay ang mga anggulo sa tapat ng mga ito, ang r ay ang radius ng inscribed na bilog, at ang p ay ang semi-perimeter ng tatsulok, ang mga sumusunod may bisa ang mga pagkakakilanlan:

• higaan A/2 = (p-a)/r;
• higaan B/2 = (p-b)/r;
• higaan C/2 = (p-c)/r.

Aplikasyon

Trigonometry - hindi lamang teoretikal na agham may kaugnayan sa mga pormula sa matematika. Ang mga katangian, teorema at tuntunin nito ay ginagamit sa pagsasanay ng iba't ibang industriya. aktibidad ng tao— astronomiya, nabigasyon sa himpapawid at dagat, teorya ng musika, geodesy, kimika, acoustics, optika, electronics, arkitektura, ekonomiya, mechanical engineering, gawaing pagsukat, computer graphics, cartography, oceanography, at marami pang iba.

Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing konsepto ng trigonometrya, sa tulong kung saan ang isa ay maaaring mathematically ipahayag ang mga relasyon sa pagitan ng mga anggulo at haba ng mga gilid sa isang tatsulok, at hanapin ang mga kinakailangang dami sa pamamagitan ng mga pagkakakilanlan, theorems at mga panuntunan.

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan, alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong pagtatanong o mga kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.