Paano isulat ang equation ng isang tuwid na linya. Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

at ang mga constants A, B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Depende sa mga halaga pare-pareho ang A, B at C, posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Ni + C \u003d 0) - ang linya ay kahanay sa axis ng Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Oy axis

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa Oy axis

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - ang linya ay tumutugma sa axis ng baka

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring katawanin sa iba't ibang anyo depende sa anumang naibigay na paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, ang isang vector na may mga bahagi (A, B) ay patayo sa linyang ibinigay ng equation na Ax + By + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A(1, 2) patayo sa (3, -1).

Desisyon. Buuin natin sa A \u003d 3 at B \u003d -1 ang equation ng tuwid na linya: 3x - y + C \u003d 0. Upang mahanap ang coefficient C, pinapalitan namin ang mga coordinate sa resultang expression ibinigay na punto A. Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C \u003d 0, samakatuwid, C \u003d -1. Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos

Hayaang ibigay sa espasyo ang dalawang puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), pagkatapos ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito:

Kung alinman sa mga denominador sero, ang katumbas na numerator ay dapat itumbas sa zero. Sa eroplano, ang equation ng tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1 kung x 1 = x 2.

Fraction = k ay tinatawag slope factor tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Desisyon. Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya mula sa isang punto at isang slope

Kung ang kabuuang Ax + Wu + C = 0 ay humahantong sa form:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang resultang equation equation ng isang tuwid na linya na may slopek.

Equation ng isang tuwid na linya na may vector ng punto at direksyon

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa talata na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang pagtatalaga ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang direktang vector ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Ang bawat non-zero vector (α 1, α 2), ang mga bahagi nito ay nakakatugon sa kondisyon A α 1 + B α 2 = 0 ay tinatawag na directing vector ng linya

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa punto A(1, 2).

Desisyon. Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Alinsunod sa kahulugan, ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0. para sa x = 1, y = 2 makuha namin ang C / A = -3, i.e. gustong equation:

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C≠0, kung gayon, paghahati sa –C, nakukuha natin: o

geometric na kahulugan coefficients sa na ang coefficient a ay ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may x-axis, at b- ang coordinate ng punto ng intersection ng tuwid na linya kasama ang Oy axis.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linyang x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya

Kung ang magkabilang panig ng equation na Ax + Vy + C = 0 ay i-multiply sa numero , na tinatawag na normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normal na equation ng isang tuwid na linya. Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang ang μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya 12x - 5y - 65 \u003d 0. Kinakailangang isulat Iba't ibang uri mga equation ng linyang ito.

ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

; cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p=5.

Dapat pansinin na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya na kahanay sa mga axes o dumadaan sa pinagmulan.

Halimbawa. Pinutol ng tuwid na linya ang pantay na positibong mga segment sa mga coordinate axes. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya kung ang lugar ng tatsulok na nabuo ng mga segment na ito ay 8 cm 2.

Desisyon. Ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Halimbawa. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto A (-2, -3) at ang pinagmulan.

Desisyon. Ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: , kung saan x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2 . Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/ k 2 .

Teorama. Ang mga tuwid na linya Ax + Vy + C \u003d 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay magkatulad kapag ang mga coefficient A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ay proporsyonal. Kung din С 1 = λС, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang ibinigay na linya

Kahulugan. Ang linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Teorama. Kung ang isang punto M(x 0, y 0) ay ibinigay, kung gayon ang distansya sa linya Ax + Vy + C \u003d 0 ay tinukoy bilang

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M hanggang sa ibinigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

(1)

Ang x 1 at y 1 coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan ibinigay na punto Ang M 0 ay patayo sa isang ibinigay na linya. Kung ibahin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Napatunayan na ang theorem.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.

Desisyon. Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.

Desisyon. Nahanap namin ang equation ng side AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito: saan b = 17. Kabuuan: .

Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.

Mga katangian ng isang tuwid na linya sa Euclidean geometry.

Mayroong walang katapusang maraming mga linya na maaaring iguhit sa anumang punto.

Sa pamamagitan ng alinmang dalawang di-nagtutugmang punto, mayroon lamang isang tuwid na linya.

Dalawang di-nagkataon na linya sa eroplano ay maaaring mag-intersect sa isang punto, o ay

parallel (sumusunod mula sa nauna).

Sa tatlong-dimensional na espasyo, mayroong tatlong opsyon para sa relatibong posisyon ng dalawang linya:

nagsalubong ang mga linya;

tuwid na mga linya ay parallel;

nagsalubong ang mga tuwid na linya.

Diretso linya- algebraic curve ng unang order: sa Cartesian coordinate system, isang tuwid na linya

ay ibinigay sa eroplano sa pamamagitan ng isang equation ng unang degree (linear equation).

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

at pare-pareho A, B hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation pangkalahatan

straight line equation. Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at Sa Posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Ni + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis Oh

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring kinakatawan sa iba't ibang anyo depende sa anumang ibinigay

paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector.

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, isang vector na may mga bahagi (A, B)

patayo sa linya na ibinigay ng equation

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto A(1, 2) patayo sa vector (3, -1).

Desisyon. Buuin natin sa A \u003d 3 at B \u003d -1 ang equation ng tuwid na linya: 3x - y + C \u003d 0. Upang mahanap ang coefficient C

pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na punto A sa resultang expression. Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid

C = -1. Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos.

Hayaang magbigay ng dalawang puntos sa espasyo M 1 (x 1 , y 1 , z 1) at M2 (x 2, y 2 , z 2), pagkatapos straight line equation,

dumaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero. Sa

eroplano, ang equation ng isang tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1, kung x 1 = x 2 .

Maliit na bahagi = k tinawag slope factor tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Desisyon. Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang slope.

Kung ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 dalhin sa form:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang resultang equation

equation ng isang tuwid na linya na may slope k.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa isang punto at isang nakadirekta na vector.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa punto na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang gawain

isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang vector ng direksyon ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Bawat non-zero vector (α 1 , α 2), na ang mga bahagi ay nakakatugon sa kondisyon

Aα 1 + Bα 2 = 0 tinawag vector ng direksyon ng tuwid na linya.

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa punto A(1, 2).

Desisyon. Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Ayon sa kahulugan,

ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

sa x=1, y=2 nakukuha natin C/ A = -3, ibig sabihin. gustong equation:

x + y - 3 = 0

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C≠0, kung gayon, paghahati ng -C, nakukuha natin:

o , saan

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient a ay ang coordinate ng intersection point

tuwid na may ehe oh a b- ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may axis OU.

Halimbawa. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya.

Kung magkabilang panig ng equation Ah + Wu + C = 0 hatiin sa bilang , na tinatawag na

normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal na equation ng isang tuwid na linya.

Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang μ * C< 0.

R- ang haba ng patayo na bumaba mula sa pinagmulan hanggang sa linya,

a φ - ang anggulo na nabuo ng patayo na ito sa positibong direksyon ng axis Oh.

Halimbawa. Ibinigay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang sumulat ng iba't ibang uri ng mga equation

itong tuwid na linya.

Ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

Ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

Equation ng isang tuwid na linya:

cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p=5.

Dapat tandaan na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya,

parallel sa mga palakol o dumadaan sa pinanggalingan.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Kung dalawang linya ang ibinigay y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, pagkatapos ay ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito

ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2. Dalawang linya ay patayo

kung k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorama.

Direkta Ah + Wu + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay parallel kapag ang mga coefficient ay proporsyonal

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Kung din С 1 \u003d λС, pagkatapos ay nagtutugma ang mga linya. Mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya

ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto ay patayo sa isang ibinigay na linya.

Kahulugan. Isang linyang dumadaan sa isang punto M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y = kx + b

kinakatawan ng equation:

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.

Teorama. Kung ang isang punto ay ibinigay M(x 0, y 0), tapos ang layo ng pila Ah + Wu + C = 0 tinukoy bilang:

Patunay. Hayaan ang punto M 1 (x 1, y 1)- ang base ng patayo ay bumaba mula sa punto M para sa isang naibigay

direkta. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga puntos M at M 1:

(1)

Mga coordinate x 1 at 1 ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo

binigay na linya. Kung ibahin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Napatunayan na ang theorem.

Ang linyang dumadaan sa puntong K(x 0; y 0) at kahanay ng linyang y = kx + a ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Kung saan ang k ay ang slope ng tuwid na linya.

Alternatibong formula:
Ang linyang dumadaan sa puntong M 1 (x 1 ; y 1) at kahanay ng linyang Ax+By+C=0 ay kinakatawan ng equation

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Halimbawa #1. Buuin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 0 (-2.1) at sa parehong oras:
a) parallel sa tuwid na linya 2x+3y -7 = 0;
b) patayo sa linya 2x+3y -7 = 0.
Desisyon . Katawanin natin ang slope equation bilang y = kx + a . Upang gawin ito, inilipat namin ang lahat ng mga halaga maliban sa y sa kanang bahagi: 3y = -2x + 7 . Pagkatapos ay hatiin natin ang kanang bahagi sa coefficient 3 . Nakukuha namin ang: y = -2/3x + 7/3
Hanapin ang equation na NK na dumadaan sa puntong K(-2;1) parallel sa tuwid na linya y = -2 / 3 x + 7 / 3
Ang pagpapalit ng x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 ay nakukuha namin:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
o
y = -2 / 3 x - 1 / 3 o 3y + 2x +1 = 0

Halimbawa #2. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na kahanay ng tuwid na linya 2x + 5y = 0 at bumubuo, kasama ng mga coordinate axes, isang tatsulok na ang lugar ay 5.
Desisyon . Dahil ang mga linya ay parallel, ang equation ng kinakailangang linya ay 2x + 5y + C = 0. Lugar kanang tatsulok, kung saan ang a at b ang mga binti nito. Hanapin ang mga punto ng intersection ng nais na linya na may mga coordinate axes:
;
.
Kaya, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Palitan sa formula para sa lugar: . Kumuha kami ng dalawang solusyon: 2x + 5y + 10 = 0 at 2x + 5y - 10 = 0 .

Halimbawa #3. Isulat ang equation ng linyang dumadaan sa punto (-2; 5) at ang parallel na linya 5x-7y-4=0 .
Desisyon. Ang tuwid na linyang ito ay maaaring katawanin ng equation na y = 5/7 x – 4/7 (dito a = 5/7). Ang equation ng gustong linya ay y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .

Halimbawa #4. Ang paglutas ng halimbawa 3 (A=5, B=-7) gamit ang formula (2), makikita natin ang 5(x+2)-7(y-5)=0.

Halimbawa numero 5. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto (-2;5) at isang parallel na tuwid na linya 7x+10=0.
Desisyon. Dito A=7, B=0. Ang formula (2) ay nagbibigay ng 7(x+2)=0, i.e. x+2=0. Ang pormula (1) ay hindi naaangkop, dahil ang equation na ito ay hindi malulutas nang may kinalaman sa y (ang tuwid na linyang ito ay parallel sa y-axis).

Aralin mula sa seryeng "Geometric Algorithm"

Kamusta mahal na mambabasa!

Ngayon ay magsisimula tayong mag-aral ng mga algorithm na may kaugnayan sa geometry. Ang katotohanan ay mayroong maraming mga problema sa Olympiad sa computer science na may kaugnayan sa computational geometry, at ang solusyon sa mga naturang problema ay kadalasang nagdudulot ng mga paghihirap.

Sa ilang mga aralin, isasaalang-alang namin ang isang bilang ng mga elementarya na subproblema kung saan nakabatay ang solusyon sa karamihan ng mga problema ng computational geometry.

Sa araling ito, susulat tayo ng isang programa para sa paghahanap ng equation ng isang tuwid na linya pagdaan sa ibinigay dalawang tuldok. Upang malutas ang mga geometric na problema, kailangan namin ng ilang kaalaman sa computational geometry. Ilalaan natin ang bahagi ng aralin upang makilala sila.

Impormasyon mula sa computational geometry

Ang computational geometry ay isang sangay ng computer science na nag-aaral ng mga algorithm para sa paglutas ng mga geometric na problema.

Ang paunang data para sa mga naturang problema ay maaaring isang hanay ng mga punto sa eroplano, isang hanay ng mga segment, isang polygon (ibinigay, halimbawa, sa pamamagitan ng isang listahan ng mga vertice nito sa clockwise order), atbp.

Ang resulta ay maaaring alinman sa isang sagot sa ilang tanong (gaya ng isang punto ay nabibilang sa isang segment, nagsa-intersect ang dalawang segment, ...), o ilang geometric na bagay (halimbawa, ang pinakamaliit na convex polygon na nagkokonekta sa mga ibinigay na punto, ang lugar ng isang polygon, atbp.).

Isasaalang-alang namin ang mga problema ng computational geometry lamang sa eroplano at sa Cartesian coordinate system lamang.

Mga vector at coordinate

Upang mailapat ang mga pamamaraan ng computational geometry, kinakailangan na isalin ang mga geometric na imahe sa wika ng mga numero. Ipinapalagay namin na sa eroplano ay ibinigay sistemang cartesian mga coordinate, kung saan ang direksyon ng pag-ikot ay counterclockwise ay tinatawag na positibo.

Ngayon ang mga geometric na bagay ay tumatanggap ng analytical expression. Kaya, upang magtakda ng isang punto, sapat na upang tukuyin ang mga coordinate nito: isang pares ng mga numero (x; y). Maaaring tukuyin ang isang segment sa pamamagitan ng pagtukoy sa mga coordinate ng mga dulo nito, maaaring tukuyin ang isang tuwid na linya sa pamamagitan ng pagtukoy ng mga coordinate ng isang pares ng mga punto nito.

Ngunit ang pangunahing tool para sa paglutas ng mga problema ay mga vectors. Hayaan akong ipaalala sa iyo, samakatuwid, ng ilang impormasyon tungkol sa kanila.

Segment ng linya AB, na may punto PERO isinasaalang-alang ang simula (punto ng aplikasyon), at ang punto AT- ang dulo ay tinatawag na vector AB at tinutukoy ng alinman sa , o isang naka-bold na maliit na titik, halimbawa a .

Upang tukuyin ang haba ng isang vector (iyon ay, ang haba ng kaukulang segment), gagamitin namin ang simbolo ng module (halimbawa, ).

Ang isang di-makatwirang vector ay magkakaroon ng mga coordinate na katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng kaukulang mga coordinate ng pagtatapos at simula nito:

tuldok dito A at B may mga coordinate ayon sa pagkakabanggit.

Para sa mga kalkulasyon, gagamitin namin ang konsepto oriented na anggulo, iyon ay, isang anggulo na isinasaalang-alang pagsasaayos ng isa't isa mga vector.

Naka-orient na anggulo sa pagitan ng mga vector a at b positibo kung ang pag-ikot ay malayo sa vector a sa vector b ay ginagawa sa positibong direksyon (counterclockwise) at negatibo sa kabilang kaso. Tingnan ang fig.1a, fig.1b. Ito rin ay sinabi na ang isang pares ng mga vectors a at b positively (negatively) oriented.

Kaya, ang halaga ng oriented na anggulo ay nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng enumeration ng mga vectors at maaaring kumuha ng mga halaga sa pagitan.

Maraming mga problema sa computational geometry ang gumagamit ng konsepto ng vector (skew o pseudoscalar) na mga produkto ng mga vector.

Ang produkto ng vector ng mga vectors a at b ay ang produkto ng mga haba ng mga vector na ito at ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga ito:

Vector na produkto ng mga vector sa mga coordinate:

Ang expression sa kanan ay isang second-order determinant:

Hindi tulad ng kahulugan na ibinigay sa analytic geometry, ito ay isang scalar.

Tanda produkto ng vector tinutukoy ang posisyon ng mga vector na nauugnay sa bawat isa:

a at b positibong nakatuon.

Kung ang halaga ay , kung gayon ang pares ng mga vector a at b negatibong nakatuon.

Ang cross product ng nonzero vectors ay zero kung at kung sila ay collinear ( ). Nangangahulugan ito na nakahiga sila sa parehong linya o sa parallel na linya.

Isaalang-alang natin ang ilang mga simpleng gawain na kailangan para sa paglutas ng mga mas kumplikado.

Tukuyin natin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga coordinate ng dalawang puntos.

Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang magkaibang puntos na ibinigay ng kanilang mga coordinate.

Hayaang magbigay ng dalawang di-nagtutugmang puntos sa linya: na may mga coordinate (x1;y1) at may mga coordinate (x2; y2). Alinsunod dito, ang vector na may simula sa punto at dulo sa punto ay may mga coordinate (x2-x1, y2-y1). Kung ang P(x, y) ay isang arbitrary na punto sa aming linya, kung gayon ang mga coordinate ng vector ay (x-x1, y - y1).

Sa tulong ng cross product, ang kondisyon para sa collinearity ng mga vectors at maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Yung. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Muli naming isinusulat ang huling equation tulad ng sumusunod:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Kaya, ang tuwid na linya ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng isang equation ng form (1).

Gawain 1. Naibibigay ang mga coordinate ng dalawang puntos. Hanapin ang representasyon nito sa anyong ax + by + c = 0.

Sa araling ito, nakilala namin ang ilang impormasyon mula sa computational geometry. Nalutas namin ang problema ng paghahanap ng equation ng linya sa pamamagitan ng mga coordinate ng dalawang puntos.

Sa susunod na aralin, susulat tayo ng isang programa upang mahanap ang intersection point ng dalawang linya na ibinigay ng ating mga equation.

Equation ng isang linya sa isang eroplano.

Tulad ng nalalaman, ang anumang punto sa eroplano ay tinutukoy ng dalawang coordinate sa ilang coordinate system. Ang mga sistema ng coordinate ay maaaring magkakaiba depende sa pagpili ng batayan at pinagmulan.

Kahulugan. Line equation ay ang kaugnayan y = f(x) sa pagitan ng mga coordinate ng mga puntos na bumubuo sa linyang ito.

Tandaan na ang line equation ay maaaring ipahayag sa parametric na paraan, iyon ay, ang bawat coordinate ng bawat punto ay ipinahayag sa pamamagitan ng ilang independiyenteng parameter. t.

Ang isang tipikal na halimbawa ay ang tilapon ng isang gumagalaw na punto. Sa kasong ito, ang oras ay gumaganap ng papel ng isang parameter.

Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

bukod dito, ang mga constants A, B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras, i.e. A 2 + B 2  0. Tinatawag itong first-order equation ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at C, posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

C \u003d 0, A  0, B  0 - ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

A \u003d 0, B  0, C  0 (Ni + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Ox axis

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Oy axis

B \u003d C \u003d 0, A  0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa Oy axis

A \u003d C \u003d 0, B  0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis ng Ox

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring ipakita sa iba't ibang anyo depende sa anumang naibigay na paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector.

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, ang isang vector na may mga bahagi (A, B) ay patayo sa linyang ibinigay ng equation na Ax + By + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A (1, 2) patayo sa vector (3, -1).

Buuin natin sa A \u003d 3 at B \u003d -1 ang equation ng tuwid na linya: 3x - y + C \u003d 0. Upang mahanap ang coefficient C, pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na punto A sa resultang expression.

Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C \u003d 0, samakatuwid C \u003d -1.

Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos.

Hayaang ibigay sa espasyo ang dalawang puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), pagkatapos ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero.

Sa isang eroplano, ang equation ng isang tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1  x 2 at x \u003d x 1, kung x 1 \u003d x 2.

Maliit na bahagi
=k ay tinatawag slope factor tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang slope.

Kung ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ax + Vy + C = 0 ay humahantong sa anyo:

at italaga
, pagkatapos ay tinatawag ang resultang equation equation ng isang tuwid na linya na may slopek.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa isang punto at isang nakadirekta na vector.

Kahulugan. Bawat non-zero vector ( 1 ,  2), ang mga bahagi na nakakatugon sa kundisyon A 1 + B 2 = 0 ay tinatawag na directing vector ng linya

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa puntong A(1, 2).

Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Alinsunod sa kahulugan, ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1A + (-1)B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C/A = 0.

sa x = 1, y = 2 nakukuha namin ang С/A = -3, i.e. gustong equation:

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C 0, kung gayon, ang paghahati sa –C, nakukuha natin:
o

, saan

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient a ay ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may x-axis, at b- ang coordinate ng punto ng intersection ng tuwid na linya kasama ang Oy axis.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linyang x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya.

Kung magkabilang panig ng equation na Ax + Wy + C = 0 na hinati sa numero
, na tinatawag na normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcos + ysin - p = 0 –

normal na equation ng isang tuwid na linya.

Dapat piliin ang sign  ng normalizing factor upang ang С< 0.

p ay ang haba ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa tuwid na linya, at  ay ang anggulo na nabuo ng patayo na ito na may positibong direksyon ng Ox axis.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linya 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang sumulat ng iba't ibang uri ng equation para sa linyang ito.

ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

normal na equation ng isang tuwid na linya:

; cos = 12/13; kasalanan = -5/13; p=5.

Dapat pansinin na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya na kahanay sa mga axes o dumadaan sa pinagmulan.

Halimbawa. Pinutol ng tuwid na linya ang pantay na positibong mga segment sa mga coordinate axes. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya kung ang lugar ng tatsulok na nabuo ng mga segment na ito ay 8 cm 2.

Ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 ay hindi akma sa kondisyon ng problema.

Kabuuan:
o x + y - 4 = 0.

Halimbawa. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto A (-2, -3) at ang pinagmulan.

Ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo:
, kung saan x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2 .

Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/k 2 .

Teorama. Mga tuwid na linya Ax + Vy + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ay parallel kapag ang mga coefficients A ay proporsyonal 1 =  A, B 1 =  B. Kung din C 1 =  C, pagkatapos ay nag-tutugma ang mga linya.

Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto

patayo sa linyang ito.

Kahulugan. Ang linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.

Teorama. Kung ang isang punto M(x 0 , y 0 ), kung gayon ang distansya sa linyang Ax + Vy + C = 0 ay tinukoy bilang

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M hanggang sa ibinigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

Ang x 1 at y 1 coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo sa isang tuwid na linya.

Kung ibahin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Napatunayan na ang theorem.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.

Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.

Nahanap namin ang equation ng side AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.

k = . Pagkatapos y =
. kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito:
saan b = 17. Kabuuan:
.

Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.

Analytical geometry sa espasyo.

Line equation sa espasyo.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo sa pamamagitan ng isang punto at

vector ng direksyon.

Kumuha ng isang arbitrary na linya at isang vector (m, n, p) parallel sa ibinigay na linya. Vector tinawag gabay na vector tuwid.

Kumuha tayo ng dalawang arbitrary na puntos na M 0 (x 0 , y 0 , z 0) at M(x, y, z) sa tuwid na linya.

Tukuyin natin ang radius vectors ng mga puntong ito bilang at , halata naman yun - =
.

kasi mga vector
at ay collinear, kung gayon ang kaugnayan ay totoo
= t, kung saan ang t ay ilang parameter.

Sa kabuuan, maaari nating isulat: = + t.

kasi ang equation na ito ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng anumang punto sa linya, kung gayon ang resultang equation ay parametric equation ng isang tuwid na linya.

Ang vector equation na ito ay maaaring katawanin sa coordinate form:

Ang pagbabago ng sistemang ito at pag-equate ng mga halaga ng parameter t, nakuha namin canonical equation tuwid na linya sa espasyo:

Kahulugan. Mga cosine ng direksyon Ang direktang ay ang mga cosines ng direksyon ng vector , na maaaring kalkulahin ng mga formula:

;

.

Mula dito nakukuha natin ang: m: n: p = cos : cos : cos.

Tinatawag ang mga numerong m, n, p mga kadahilanan ng slope tuwid. kasi ay isang di-zero na vector, ang m, n at p ay hindi maaaring maging zero sa parehong oras, ngunit ang isa o dalawa sa mga numerong ito ay maaaring maging zero. Sa kasong ito, sa equation ng isang tuwid na linya, ang kaukulang mga numerator ay dapat na katumbas ng zero.

Equation ng isang tuwid na linya sa pagpasa ng espasyo

sa pamamagitan ng dalawang puntos.

Kung ang dalawang di-makatwirang puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2) ay minarkahan sa isang tuwid na linya sa espasyo, kung gayon ang mga coordinate ng mga puntong ito ay dapat matugunan ang equation ng tuwid na linya na nakuha sa itaas: