Kahulugan at uri ng mga sistema ng mga linear equation. Sistema ng mga equation

Solusyon gawin ito gamit ang isang calculator. Isinulat namin ang pinalawak at pangunahing mga matrice:

Ang tuldok na linya ay naghihiwalay sa pangunahing matrix A. Isinulat namin ang hindi kilalang mga sistema mula sa itaas, na isinasaisip ang posibleng permutation ng mga termino sa mga equation ng system. Ang pagtukoy sa ranggo ng pinalawig na matrix, sabay-sabay nating hinahanap ang ranggo ng pangunahing isa. Sa matrix B, ang una at pangalawang column ay proporsyonal. Sa dalawang proporsyonal na column, isa lang ang maaaring mahulog sa basic minor, kaya ilipat natin, halimbawa, ang unang column sa kabila ng dashed line na may kabaligtaran na sign. Para sa system, nangangahulugan ito ng paglipat ng mga miyembro mula sa x 1 hanggang kanang bahagi mga equation.

Dinadala namin ang matrix sa isang tatsulok na anyo. Gumagana lamang kami sa mga hilera, dahil ang pagpaparami ng isang hilera ng isang matrix sa isang di-zero na numero at pagdaragdag nito sa isa pang hilera para sa system ay nangangahulugan ng pagpaparami ng equation sa parehong numero at pagdaragdag nito sa isa pang equation, na hindi nagbabago sa solusyon ng sistema. Paggawa gamit ang unang hilera: i-multiply ang unang hilera ng matrix sa pamamagitan ng (-3) at idagdag sa pangalawa at pangatlong hanay. Pagkatapos ay i-multiply namin ang unang hilera sa pamamagitan ng (-2) at idagdag ito sa pang-apat.

Ang pangalawa at pangatlong linya ay proporsyonal, samakatuwid, ang isa sa kanila, halimbawa ang pangalawa, ay maaaring i-cross out. Ito ay katumbas ng pagtanggal ng pangalawang equation ng system, dahil ito ay resulta ng pangatlo.

Ngayon ay nagtatrabaho kami sa pangalawang linya: i-multiply ito sa (-1) at idagdag ito sa pangatlo.

Ang putol-putol na menor de edad ay may pinakamataas na pagkakasunud-sunod (sa lahat ng posibleng menor de edad) at hindi zero (ito ay katumbas ng produkto ng mga elemento sa pangunahing dayagonal), at ang minor na ito ay kabilang sa parehong pangunahing matrix at ang pinalawig, kaya rangA = rangB = 3 .
menor de edad ay basic. Kabilang dito ang mga coefficient para sa hindi kilalang x 2, x 3, x 4, na nangangahulugang ang hindi kilalang x 2, x 3, x 4 ay umaasa, at ang x 1, x 5 ay libre.
Binabago namin ang matrix, iniiwan lamang ang pangunahing menor de edad sa kaliwa (na tumutugma sa punto 4 ng algorithm ng solusyon sa itaas).

Ang sistema na may mga coefficient ng matrix na ito ay katumbas ng orihinal na sistema at may anyo

Sa pamamagitan ng paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam, makikita natin:
, ,

Nakakuha kami ng mga relasyon na nagpapahayag ng mga umaasang variable x 2, x 3, x 4 sa pamamagitan ng libreng x 1 at x 5, iyon ay, nakakita kami ng isang pangkalahatang solusyon:

Ang pagbibigay ng mga di-makatwirang halaga sa mga libreng hindi alam, nakakakuha kami ng anumang bilang ng mga partikular na solusyon. Maghanap tayo ng dalawang partikular na solusyon:
1) hayaan ang x 1 = x 5 = 0, pagkatapos x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) ilagay ang x 1 = 1, x 5 = -1, pagkatapos x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Kaya, nakakita kami ng dalawang solusyon: (0.1, -3,3,0) - isang solusyon, (1.4, -7.7, -1) - isa pang solusyon.

Halimbawa 2. Siyasatin ang pagiging tugma, maghanap ng pangkalahatan at isang partikular na solusyon ng system

Solusyon. Ayusin natin ang una at pangalawang equation upang magkaroon ng unit sa unang equation at isulat ang matrix B.

Nakukuha namin ang mga zero sa ikaapat na hanay, na tumatakbo sa unang hilera:

Ngayon kunin ang mga zero sa ikatlong hanay gamit ang pangalawang hilera:

Ang ikatlo at ikaapat na hanay ay proporsyonal, kaya ang isa sa mga ito ay maaaring i-cross out nang hindi binabago ang ranggo:
I-multiply ang ikatlong hilera sa (-2) at idagdag sa ikaapat:

Nakikita namin na ang mga ranggo ng pangunahing at pinalawak na mga matrice ay 4, at ang ranggo ay tumutugma sa bilang ng mga hindi alam, samakatuwid, ang sistema ay may natatanging solusyon:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Halimbawa 3. Suriin ang system para sa compatibility at maghanap ng solusyon kung mayroon ito.

Solusyon. Binubuo namin ang pinahabang matrix ng system.

Muling ayusin ang unang dalawang equation upang magkaroon ng 1 sa kaliwang sulok sa itaas:
Ang pagpaparami ng unang hilera sa pamamagitan ng (-1), idinaragdag namin ito sa pangatlo:

I-multiply ang pangalawang linya sa (-2) at idagdag sa pangatlo:

Ang sistema ay hindi pare-pareho, dahil ang pangunahing matrix ay nakatanggap ng isang hilera na binubuo ng mga zero, na kung saan ay na-cross out kapag ang ranggo ay natagpuan, at ang huling hilera ay nananatili sa pinalawig na matrix, iyon ay, r B > r A .

Mag-ehersisyo. Siyasatin ang sistemang ito ng mga equation para sa compatibility at lutasin ito sa pamamagitan ng matrix calculus.
Solusyon

Halimbawa. Patunayan ang pagiging tugma ng system linear na equation at lutasin ito sa dalawang paraan: 1) sa pamamaraang Gauss; 2) Pamamaraan ni Cramer. (ilagay ang sagot sa form: x1,x2,x3)
Solusyon :doc :doc :xls
Sagot: 2,-1,3.

Halimbawa. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay ibinigay. Patunayan ang pagiging tugma nito. Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon ng system at isang partikular na solusyon.
Solusyon
Sagot: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Mag-ehersisyo. Maghanap ng mga pangkalahatan at partikular na solusyon para sa bawat system.
Solusyon. Pinag-aaralan namin ang sistemang ito gamit ang Kronecker-Capelli theorem.
Isinulat namin ang pinalawak at pangunahing mga matrice:

Mag-ehersisyo. Lutasin ang sistema ng mga equation.
Sagot:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
Ang pagbibigay ng mga di-makatwirang halaga sa mga libreng hindi alam, nakakakuha kami ng anumang bilang ng mga partikular na solusyon. Ang sistema ay hindi sigurado

Ang pamamaraang Gauss, na tinatawag ding paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam, ay binubuo sa mga sumusunod. Gamit ang elementarya na pagbabago, ang sistema ng mga linear na equation ay dinadala sa isang anyo na ang matrix ng mga coefficient nito ay lumalabas na trapezoidal (kapareho ng triangular o stepped) o malapit sa trapezoidal (ang direktang kurso ng paraan ng Gauss, pagkatapos - isang direktang paglipat lamang). Ang isang halimbawa ng naturang sistema at ang solusyon nito ay ipinapakita sa figure sa itaas.

Sa ganoong sistema, ang huling equation ay naglalaman lamang ng isang variable at ang halaga nito ay maaaring matagpuan nang kakaiba. Pagkatapos ang halaga ng variable na ito ay pinapalitan sa nakaraang equation ( Gaussian reverse , pagkatapos - isang reverse move lamang), kung saan matatagpuan ang nakaraang variable, at iba pa.

Sa isang trapezoidal (triangular) na sistema, tulad ng nakikita natin, ang ikatlong equation ay hindi na naglalaman ng mga variable y at x, at ang pangalawang equation - variable x .

Matapos ang matrix ng system ay kumuha ng isang trapezoidal na hugis, hindi na mahirap ayusin ang tanong ng pagiging tugma ng system, matukoy ang bilang ng mga solusyon at hanapin ang mga solusyon sa kanilang sarili.

Mga kalamangan ng pamamaraan:

1. kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation na may higit sa tatlong equation at hindi alam, ang Gauss method ay hindi kasing masalimuot ng Cramer method, dahil mas kaunting kalkulasyon ang kinakailangan kapag nilulutas ang Gauss method;
2. gamit ang paraan ng Gauss, maaari mong lutasin ang mga hindi tiyak na sistema ng mga linear na equation, iyon ay, pagkakaroon ng isang karaniwang solusyon (at susuriin natin ang mga ito sa araling ito), at gamit ang paraan ng Cramer, maaari mo lamang sabihin na ang sistema ay hindi sigurado;
3. maaari mong lutasin ang mga sistema ng mga linear na equation kung saan ang bilang ng mga hindi alam ay hindi katumbas ng bilang ng mga equation (susuriin din natin ang mga ito sa araling ito);
4. ang pamamaraan ay batay sa mga pamamaraan ng elementarya (paaralan) - ang paraan ng pagpapalit ng mga hindi alam at ang paraan ng pagdaragdag ng mga equation, na aming hinawakan sa kaukulang artikulo.

Upang ang lahat ay mapuno ng pagiging simple kung saan malulutas ang mga trapezoidal (tatsulok, hakbang) na mga sistema ng mga linear na equation, ipinakita namin ang solusyon ng naturang sistema gamit ang reverse stroke. Ang isang mabilis na solusyon sa sistemang ito ay ipinakita sa larawan sa simula ng aralin.

Halimbawa 1 Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang reverse move:

Solusyon. Sa trapezoidal system na ito, ang variable z ay natatanging natagpuan mula sa ikatlong equation. Pinapalitan namin ang halaga nito sa pangalawang equation at makuha ang halaga ng variable y:

Ngayon alam natin ang mga halaga ng dalawang variable - z at y. Pinapalitan namin ang mga ito sa unang equation at makuha ang halaga ng variable x:

Mula sa mga nakaraang hakbang, isinulat namin ang solusyon ng sistema ng mga equation:

Upang makakuha ng tulad ng isang trapezoidal na sistema ng mga linear na equation, na nalutas namin nang napakasimple, kinakailangan na mag-aplay ng isang direktang paglipat na nauugnay sa mga elementarya na pagbabago ng sistema ng mga linear na equation. Hindi rin naman masyadong mahirap.

Mga pagbabagong pang-elementarya ng isang sistema ng mga linear na equation

Sa pag-uulit ng paraan ng paaralan ng algebraic na pagdaragdag ng mga equation ng system, nalaman namin na ang isa pang equation ng system ay maaaring idagdag sa isa sa mga equation ng system, at ang bawat isa sa mga equation ay maaaring i-multiply sa ilang mga numero. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga linear na equation na katumbas ng ibinigay. Sa loob nito, ang isang equation ay naglalaman lamang ng isang variable, na pinapalitan ang halaga nito sa iba pang mga equation, dumating tayo sa isang solusyon. Ang nasabing karagdagan ay isa sa mga uri ng elementarya na pagbabago ng sistema. Kapag ginagamit ang pamamaraang Gauss, maaari tayong gumamit ng ilang uri ng pagbabago.

Ang animation sa itaas ay nagpapakita kung paano ang sistema ng mga equation ay unti-unting nagiging trapezoidal. Iyon ay, ang nakita mo sa pinakaunang animation at tiniyak na madaling mahanap ang mga halaga ng lahat ng hindi alam mula dito. Kung paano isasagawa ang gayong pagbabago at, siyempre, ang mga halimbawa, ay tatalakayin pa.

Kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation na may anumang bilang ng mga equation at hindi alam sa sistema ng mga equation at sa pinalawak na matrix ng system pwede:

1. swap lines (nabanggit ito sa pinakasimula ng artikulong ito);
2. kung bilang isang resulta ng iba pang mga pagbabagong pantay o proporsyonal na mga linya ay lumitaw, maaari silang tanggalin, maliban sa isa;
3. tanggalin ang "null" na mga hilera, kung saan ang lahat ng mga coefficient ay katumbas ng zero;
4. multiply o hatiin ang anumang string sa ilang numero;
5. magdagdag sa anumang linya ng isa pang linya na pinarami ng ilang numero.

Bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga linear na equation na katumbas ng ibinigay.

Algorithm at mga halimbawa ng paglutas sa pamamagitan ng Gauss method isang sistema ng mga linear equation na may square matrix ng system

Isaalang-alang muna ang solusyon ng mga sistema ng mga linear na equation kung saan ang bilang ng mga hindi alam ay katumbas ng bilang ng mga equation. Ang matrix ng naturang sistema ay parisukat, iyon ay, ang bilang ng mga hilera sa loob nito ay katumbas ng bilang ng mga haligi.

Halimbawa 2 Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method

Ang paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation gamit ang mga pamamaraan ng paaralan, pinarami namin ang termino sa termino ng isa sa mga equation sa ilang numero, upang ang mga coefficient ng unang variable sa dalawang equation ay magkasalungat na numero. Kapag nagdadagdag ng mga equation, inaalis ang variable na ito. Ang pamamaraang Gauss ay gumagana sa katulad na paraan.

Para gawing simple hitsura mga solusyon buuin ang augmented matrix ng system:

Sa matrix na ito, ang mga coefficient ng mga hindi alam ay matatagpuan sa kaliwa bago ang vertical bar, at ang mga libreng miyembro ay nasa kanan pagkatapos ng vertical bar.

Para sa kaginhawaan ng paghahati ng mga coefficient ng mga variable (upang makakuha ng isang dibisyon sa pamamagitan ng isa) palitan ang una at ikalawang hanay ng system matrix. Nakukuha namin ang isang sistema na katumbas ng ibinigay, dahil sa sistema ng mga linear na equation ay maaaring muling ayusin ng isa ang mga equation:

Gamit ang bagong unang equation alisin ang variable x mula sa pangalawa at lahat ng kasunod na equation. Upang gawin ito, idagdag ang unang hilera na pinarami ng (sa aming kaso ng ) sa pangalawang hilera ng matrix, at ang unang hilera ay pinarami ng (sa aming kaso sa pamamagitan ng ) sa ikatlong hilera.

Posible ito dahil

Kung mayroong higit sa tatlong mga equation sa aming system, ang unang linya ay dapat idagdag sa lahat ng kasunod na mga equation, na pinarami ng ratio ng kaukulang mga coefficient, na kinuha gamit ang isang minus sign.

Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang matrix na katumbas ng ibinigay na sistema bagong sistema equation, kung saan ang lahat ng equation, simula sa pangalawa hindi naglalaman ng variable x :

Upang gawing simple ang pangalawang hilera ng nagresultang sistema, pinarami namin ito at muling makuha ang matrix ng sistema ng mga equation na katumbas ng sistemang ito:

Ngayon, pinapanatili ang unang equation ng nagresultang sistema na hindi nagbabago, gamit ang pangalawang equation, inaalis namin ang variable y mula sa lahat ng kasunod na equation. Upang gawin ito, idagdag ang pangalawang hilera na pinarami ng (sa aming kaso, sa pamamagitan ng ) sa ikatlong hilera ng system matrix.

Kung mayroong higit sa tatlong mga equation sa aming system, ang pangalawang linya ay dapat idagdag sa lahat ng kasunod na mga equation, na pinarami ng ratio ng mga kaukulang coefficient, na kinuha gamit ang isang minus sign.

Bilang resulta, muli nating nakuha ang matrix ng sistema na katumbas ng ibinigay na sistema ng mga linear na equation:

Nakakuha kami ng isang trapezoidal system ng mga linear na equation na katumbas ng ibinigay na isa:

Kung ang bilang ng mga equation at variable ay mas malaki kaysa sa aming halimbawa, kung gayon ang proseso ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable ay magpapatuloy hanggang ang system matrix ay maging trapezoidal, tulad ng sa aming demo na halimbawa.

Hahanapin natin ang solusyon "mula sa dulo" - baligtarin. Para dito mula sa huling equation na aming tinutukoy z:
.
Ang pagpapalit ng halagang ito sa nakaraang equation, hanapin y:

Mula sa unang equation hanapin x:

Sagot: ang solusyon ng sistemang ito ng mga equation - .

: sa kasong ito, ang parehong sagot ay ibibigay kung ang sistema ay may natatanging solusyon. Kung ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, gayon din ang sagot, at ito ang paksa ng ikalimang bahagi ng araling ito.

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method mismo, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Sa harap natin ay muli ang isang halimbawa ng isang pare-pareho at tiyak na sistema ng mga linear na equation, kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam. Ang pagkakaiba sa aming halimbawa ng demo mula sa algorithm ay mayroon nang apat na equation at apat na hindi alam.

Halimbawa 4 Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method:

Ngayon ay kailangan mong gamitin ang pangalawang equation upang ibukod ang variable mula sa mga kasunod na equation. Gastos tayo gawaing paghahanda. Upang gawin itong mas maginhawa sa ratio ng mga coefficient, kailangan mong makakuha ng isang yunit sa pangalawang haligi ng pangalawang hilera. Upang gawin ito, ibawas ang ikatlong hilera mula sa pangalawang hilera, at i-multiply ang resultang pangalawang hilera sa -1.

Isagawa natin ngayon ang aktwal na pag-aalis ng variable mula sa ikatlo at ikaapat na equation. Upang gawin ito, idagdag ang pangalawa, pinarami ng , sa ikatlong linya, at ang pangalawa, pinarami ng , sa ikaapat.

Ngayon, gamit ang ikatlong equation, inaalis namin ang variable mula sa ikaapat na equation. Upang gawin ito, sa ikaapat na linya, idagdag ang pangatlo, na pinarami ng . Nakakakuha kami ng pinalawak na matrix ng isang hugis na trapezoidal.

Nakakuha kami ng isang sistema ng mga equation, na katumbas ng ibinigay na sistema:

Samakatuwid, ang mga resulta at ibinigay na mga sistema ay pare-pareho at tiyak. Nahanap namin ang pangwakas na solusyon "mula sa wakas." Mula sa ikaapat na equation, maaari nating direktang ipahayag ang halaga ng variable na "x fourth":

Pinapalitan namin ang halagang ito sa ikatlong equation ng system at makuha

,

,

Panghuli, pagpapalit ng halaga

Sa unang equation ay nagbibigay

,

kung saan matatagpuan namin ang "x first":

Sagot: Ang sistema ng mga equation na ito ay may natatanging solusyon. .

Maaari mo ring suriin ang solusyon ng system sa isang calculator na lumulutas sa pamamaraan ng Cramer: sa kasong ito, ang parehong sagot ay ibibigay kung ang system ay may natatanging solusyon.

Solusyon ng mga inilapat na problema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss sa halimbawa ng problema para sa mga haluang metal

Ang mga sistema ng mga linear na equation ay ginagamit upang magmodelo ng mga tunay na bagay ng pisikal na mundo. Malutas natin ang isa sa mga problemang ito - para sa mga haluang metal. Mga katulad na gawain - mga gawain para sa mga pinaghalong, ang gastos o tiyak na gravity ng mga indibidwal na kalakal sa isang pangkat ng mga kalakal, at mga katulad nito.

Halimbawa 5 Tatlong piraso ng haluang metal ay may kabuuang masa na 150 kg. Ang unang haluang metal ay naglalaman ng 60% tanso, ang pangalawa - 30%, ang pangatlo - 10%. Kasabay nito, sa ikalawa at ikatlong haluang metal na pinagsama, ang tanso ay 28.4 kg na mas mababa kaysa sa unang haluang metal, at sa ikatlong haluang metal, ang tanso ay 6.2 kg na mas mababa kaysa sa pangalawa. Hanapin ang masa ng bawat piraso ng haluang metal.

Solusyon. Bumubuo kami ng isang sistema ng mga linear na equation:

Ang pagpaparami ng pangalawa at pangatlong equation sa pamamagitan ng 10, nakakakuha tayo ng katumbas na sistema ng mga linear na equation:

Binubuo namin ang pinalawig na matrix ng system:

Pansin, direktang galaw. Sa pamamagitan ng pagdaragdag (sa aming kaso, pagbabawas) ng isang hilera, na pinarami ng isang numero (inilapat namin ito nang dalawang beses), ang mga sumusunod na pagbabago ay nangyayari sa pinalawak na matrix ng system:

Tapos na ang straight run. Nakakuha kami ng pinalawak na matrix ng isang hugis na trapezoidal.

Gamitin natin ang reverse. Nakahanap kami ng solusyon mula sa dulo. Nakikita natin yan.

Mula sa pangalawang equation nakita namin

Mula sa ikatlong equation -

Maaari mo ring suriin ang solusyon ng system sa isang calculator na lumulutas sa pamamaraan ng Cramer: sa kasong ito, ang parehong sagot ay ibibigay kung ang system ay may natatanging solusyon.

Ang pagiging simple ng pamamaraang Gauss ay napatunayan ng katotohanan na ang Aleman na matematiko na si Carl Friedrich Gauss ay tumagal lamang ng 15 minuto upang imbentuhin ito. Bilang karagdagan sa pamamaraan ng kanyang pangalan, mula sa gawain ni Gauss, ang kasabihang "Hindi natin dapat paghaluin ang tila hindi kapani-paniwala at hindi natural sa atin sa ganap na imposible" ay isang uri ng maikling pagtuturo para sa paggawa ng mga pagtuklas.

Sa maraming mga inilapat na gawain maaaring walang pangatlong paghihigpit, iyon ay, isang ikatlong equation, pagkatapos ay kinakailangan upang malutas ang isang sistema ng dalawang equation na may tatlong hindi alam gamit ang Gauss method, o, sa kabaligtaran, mayroong mas kaunting mga hindi alam kaysa sa mga equation. Nagsisimula na tayong lutasin ang mga ganitong sistema ng mga equation.

Gamit ang paraan ng Gauss, matutukoy mo kung pare-pareho o hindi pare-pareho ang anumang sistema n linear equation na may n mga variable.

Gauss method at mga sistema ng linear equation na may walang katapusang bilang ng mga solusyon

Ang susunod na halimbawa ay isang pare-pareho ngunit hindi tiyak na sistema ng mga linear na equation, iyon ay, mayroon itong walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Pagkatapos magsagawa ng mga pagbabagong-anyo sa pinahabang matrix ng system (pag-permute ng mga row, pagpaparami at paghahati ng mga row sa isang tiyak na numero, pagdaragdag ng isang row sa isa pa), mga row ng form

Kung sa lahat ng equation ay may anyo

Ang mga libreng miyembro ay katumbas ng zero, nangangahulugan ito na ang sistema ay hindi tiyak, iyon ay, mayroon itong walang katapusang bilang ng mga solusyon, at ang mga equation ng ganitong uri ay "labis" at hindi kasama sa system.

Halimbawa 6

Solusyon. Buuin natin ang pinahabang matrix ng system. Pagkatapos, gamit ang unang equation, inaalis namin ang variable mula sa mga kasunod na equation. Upang gawin ito, sa pangalawa, pangatlo at pang-apat na linya, idagdag ang una, na pinarami ng , ayon sa pagkakabanggit:

Ngayon idagdag natin ang pangalawang hilera sa ikatlo at ikaapat.

Bilang resulta, nakarating kami sa sistema

Ang huling dalawang equation ay naging mga equation ng form. Ang mga equation na ito ay nasiyahan para sa anumang mga halaga ng hindi alam at maaaring itapon.

Upang masiyahan ang pangalawang equation, maaari tayong pumili ng mga arbitrary na halaga para sa at , pagkatapos ay matutukoy ang halaga para sa hindi malabo: . Mula sa unang equation, ang halaga para sa ay natatanging natagpuan din: .

Parehong ang ibinigay at ang huling mga sistema ay magkatugma ngunit hindi tiyak, at ang mga formula

para sa arbitrary at bigyan kami ng lahat ng mga solusyon ng ibinigay na sistema.

Gauss method at mga sistema ng linear equation na walang solusyon

Ang sumusunod na halimbawa ay isang hindi pare-parehong sistema ng mga linear na equation, iyon ay, wala itong mga solusyon. Ang sagot sa mga naturang problema ay nabuo bilang mga sumusunod: ang sistema ay walang mga solusyon.

Tulad ng nabanggit na may kaugnayan sa unang halimbawa, pagkatapos magsagawa ng mga pagbabagong-anyo sa pinalawak na matrix ng system, mga linya ng form

naaayon sa isang equation ng form

Kung sa kanila ay mayroong hindi bababa sa isang equation na may isang non-zero free term (i.e. ), kung gayon ang sistema ng mga equation na ito ay hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon, at ito ay nakumpleto ang solusyon nito.

Halimbawa 7 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method:

Solusyon. Binubuo namin ang pinahabang matrix ng system. Gamit ang unang equation, ibubukod namin ang variable mula sa mga kasunod na equation. Upang gawin ito, idagdag ang unang pinarami sa pangalawang hanay, ang unang pinarami ng ikatlong hanay, at ang unang pinarami ng ikaapat na hanay.

Ngayon ay kailangan mong gamitin ang pangalawang equation upang ibukod ang variable mula sa mga kasunod na equation. Upang makakuha ng mga integer ratio ng mga coefficient, pinapalitan namin ang pangalawa at pangatlong hanay ng pinahabang matrix ng system.

Upang ibukod mula sa ikatlo at ikaapat na equation, idagdag ang pangalawa, pinarami ng , sa ikatlong hanay, at ang pangalawa, na pinarami ng , sa ikaapat.

Ngayon, gamit ang ikatlong equation, inaalis namin ang variable mula sa ikaapat na equation. Upang gawin ito, sa ikaapat na linya, idagdag ang pangatlo, na pinarami ng .

Ang ibinigay na sistema ay kaya katumbas ng mga sumusunod:

Ang resultang sistema ay hindi pare-pareho, dahil ang huling equation nito ay hindi masisiyahan ng anumang mga halaga ng mga hindi alam. Samakatuwid, ang sistemang ito ay walang mga solusyon.

Ang equation ay may solusyon: kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient sa mga hindi alam ay iba sa zero. Sa kasong ito, ang anumang -dimensional na vector ay tinatawag na solusyon sa equation kung, kapag ang mga coordinate nito ay pinalitan, ang equation ay naging isang pagkakakilanlan.

Pangkalahatang katangian ng pinapayagang sistema ng mga equation

Ilarawan ang sistema ng mga equation.

Solusyon:

1. Mayroon bang hindi pantay na equation?(Kung ang mga coefficient, sa kasong ito ang equation ay may anyo: at tinatawag na kontrobersyal.)

• Kung ang isang sistema ay naglalaman ng isang hindi naaayon, ang gayong sistema ay hindi naaayon at walang solusyon.

2. Hanapin ang lahat ng pinapayagang variable. (Ang hindi kilala ay tinatawagpinapayagan para sa isang sistema ng mga equation, kung ito ay pumapasok sa isa sa mga equation ng system na may isang koepisyent ng +1, at hindi pumasok sa natitirang mga equation (ibig sabihin, ito ay pumapasok na may isang koepisyent na katumbas ng zero).

3. Pinapayagan ba ang sistema ng mga equation? (Ang sistema ng mga equation ay tinatawag na nalutas, kung ang bawat equation ng system ay naglalaman ng isang nalutas na hindi alam, bukod sa kung saan walang mga coinciding)

Ang mga pinapayagang hindi alam, na kinuha nang paisa-isa mula sa bawat equation ng system, ay nabuo buong hanay ng mga pinapayagang hindi alam mga sistema. (sa aming halimbawa ito ay)

Tinatawag din ang mga pinapayagang hindi alam na kasama sa kumpletong set basic(), at hindi kasama sa set - libre ().

Sa yugtong ito, mahalagang maunawaan kung ano ang nalutas na hindi alam(kasama sa batayan at libre).

Pangkalahatang Bahagyang Pangunahing Solusyon

Pangkalahatang solusyon ng isang pinahihintulutang sistema ng mga equation ay isang hanay ng mga expression ng pinahihintulutang hindi alam sa mga tuntunin ng mga libreng termino at libreng hindi alam:

Pribadong desisyon ay tinatawag na isang solusyon na nakuha mula sa pangkalahatan para sa mga tiyak na halaga ng mga libreng variable at hindi alam.

Pangunahing solusyon ay isang partikular na solusyon na nakuha mula sa pangkalahatan sa mga zero na halaga ng mga libreng variable.

• Ang pangunahing solusyon (vector) ay tinatawag mabulok, kung ang bilang ng mga non-zero na coordinate nito ay mas mababa sa bilang ng mga pinapayagang hindi alam.
• Ang pangunahing solusyon ay tinatawag hindi nabubulok, kung ang bilang ng mga non-zero na coordinate nito ay katumbas ng bilang ng pinapayagan hindi kilalang mga sistema kasama sa kumpletong set.

Teorama (1)

Ang pinapayagang sistema ng mga equation ay palaging magkatugma(dahil mayroon itong hindi bababa sa isang solusyon); Bukod dito, kung ang sistema ay walang libreng hindi alam,(iyon ay, sa sistema ng mga equation, lahat ng pinahihintulutan ay kasama sa batayan) pagkatapos ito ay tinukoy(may kakaibang solusyon); kung mayroong hindi bababa sa isang libreng variable, kung gayon ang sistema ay hindi tinukoy(may walang katapusang bilang ng mga solusyon).

Solusyon:

1. Sinusuri kung pinapayagan ang system?

• Pinapayagan ang system (dahil ang bawat isa sa mga equation ay naglalaman ng pinapayagang hindi alam)

2. Isasama namin ang mga pinapayagang hindi alam sa set - isa mula sa bawat equation.

3. Isinulat namin ang pangkalahatang solusyon, depende sa kung saan pinapayagan ang mga hindi alam na isinama namin sa set.

4. Paghahanap ng pribadong solusyon. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang mga libreng variable na hindi namin isinama sa set upang itumbas sa mga arbitrary na numero.

Sagot: pribadong solusyon(isa sa mga pagpipilian)

5. Paghahanap ng pangunahing solusyon. Para magawa ito, itinutumbas namin ang mga libreng variable na hindi namin isinama sa set sa zero.

Pangunahing pagbabago ng mga linear equation

Ang mga sistema ng mga linear na equation ay binabawasan sa katumbas na pinapayagang mga sistema sa tulong ng mga elementarya na pagbabago.

Teorama (2)

Kung mayroon man i-multiply ang equation ng system sa ilang di-zero na numero, at iwanan ang natitirang mga equation na hindi nagbabago, pagkatapos . (iyon ay, kung i-multiply mo ang kaliwa at kanang bahagi ng equation sa parehong numero, makakakuha ka ng equation na katumbas ng ibinigay)

Teorama (3)

Kung ang magdagdag ng isa pa sa anumang equation ng system, at iwanan ang lahat ng iba pang mga equation na hindi nagbabago, kung gayon makakuha ng isang sistema na katumbas ng ibinigay. (iyon ay, kung magdagdag ka ng dalawang equation (pagdaragdag ng kanilang kaliwa at kanang bahagi), makakakuha ka ng katumbas na equation sa data)

Corollary mula sa Theorems (2 at 3)

Kung ang magdagdag sa anumang equation ng isa pa, na pinarami ng isang tiyak na numero, at iwanan ang lahat ng iba pang mga equation na hindi nagbabago, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang sistema na katumbas ng ibinigay.

Mga formula para sa muling pagkalkula ng mga coefficient ng system

Kung mayroon tayong sistema ng mga equation at gusto nating i-convert ito sa isang pinapayagang sistema ng mga equation, ang pamamaraang Jordan-Gauss ay makakatulong sa atin dito.

Pagbabago ni Jordan na may isang elemento ng paglutas ay nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang nalutas na hindi alam para sa sistema ng mga equation sa equation na may numero. (halimbawa 2).

Sabihin nating gusto nating gawing nalutas na hindi alam ang hindi alam sa mas mababang equation. Upang gawin ito, dapat nating hatiin sa pamamagitan ng upang ang kabuuan ay .

Kapag hinahati ang isang equation sa isang numero sa pamamagitan ng , ang mga coefficient nito ay muling kinakalkula ayon sa mga formula:

Upang ibukod mula sa equation na may numero , kailangan mong i-multiply ang equation na may numero sa at idagdag sa equation na ito.

Theorem (4) Sa pagbabawas ng bilang ng mga equation ng system.

Kung ang sistema ng mga equation ay naglalaman ng isang maliit na equation, kung gayon maaari itong ibukod mula sa sistema, at isang sistema na katumbas ng orihinal ay makukuha.

Theorem (5) Sa hindi pagkakatugma ng sistema ng mga equation.

Kung ang isang sistema ng mga equation ay naglalaman ng isang hindi naaayon na equation, kung gayon ito ay hindi naaayon.

Algoritmo ng pamamaraan ng Jordan-Gauss

Ang algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation ng pamamaraang Jordan-Gauss ay binubuo ng isang bilang ng mga hakbang ng parehong uri, na ang bawat isa ay gumaganap ng mga aksyon sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:

1. Sinusuri kung hindi tugma ang system. Kung ang isang sistema ay naglalaman ng isang hindi tugmang equation, kung gayon ito ay hindi naaayon.
2. Sinusuri ang posibilidad na bawasan ang bilang ng mga equation. Kung ang sistema ay naglalaman ng isang maliit na equation, ito ay na-cross out.
3. Kung pinapayagan ang sistema ng mga equation, pagkatapos ay isulat ang pangkalahatang solusyon ng system at, kung kinakailangan, mga partikular na solusyon.
4. Kung ang system ay hindi pinahihintulutan, pagkatapos ay sa equation na hindi naglalaman ng isang pinahihintulutang hindi alam, isang elemento ng paglutas ay pipiliin at isang Jordan transform ay ginanap sa elementong ito.
5. Pagkatapos ay bumalik sa punto 1.

Hanapin: dalawang pangkalahatan at dalawang katumbas na pangunahing solusyon

Solusyon:

Ang mga kalkulasyon ay ipinapakita sa sumusunod na talahanayan:

Ang mga aksyon sa mga equation ay ipinapakita sa kanan ng talahanayan. Ang mga arrow ay nagpapakita kung saan equation ang equation na may elemento ng paglutas na pinarami ng isang angkop na kadahilanan ay idinagdag.

Ang unang tatlong hanay ng talahanayan ay naglalaman ng mga coefficient ng mga hindi alam at ang mga tamang bahagi ng orihinal na sistema. Ang mga resulta ng unang pagbabago ng Jordan na may resolusyon na katumbas ng isa ay ibinibigay sa mga linya 4, 5, 6. Ang mga resulta ng pangalawang pagbabagong-anyo ng Jordan na may resolusyon na katumbas ng (-1) ay ibinibigay sa mga linya 7, 8, 9. Dahil ang ikatlong equation ay walang halaga, hindi ito maaaring isaalang-alang.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga dahilan ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

MGA SYSTEM NG LINEAR EQUATIONS

I. Paglalahad ng suliranin.

II. Pagkakatugma ng mga homogenous at heterogenous system.

III. Sistema t mga equation na may t hindi kilala. Ang panuntunan ni Cramer.

IV. Paraan ng matrix para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation.

V. Pamamaraang Gauss.

I. Paglalahad ng suliranin.

Ang sistema ng mga equation ng anyo

tinatawag na sistema m linear equation na may n hindi kilala
. Ang mga coefficient ng mga equation ng sistemang ito ay nakasulat sa anyo ng isang matrix

tinawag system matrix (1).

Ang mga numero sa kanang bahagi ng mga equation ay nabuo column ng libreng miyembro {B}:

.

Kung column ( B}={0 ), pagkatapos ay tinatawag ang sistema ng mga equation homogenous. Kung hindi, kapag ( B}≠{0 ) - sistema magkakaiba.

Ang sistema ng mga linear equation (1) ay maaaring isulat sa anyong matrix

[A]{x}={B}. (2)

Dito - hanay ng mga hindi alam.

Upang malutas ang sistema ng mga equation (1) ay nangangahulugang hanapin ang set n numero
tulad na kapag pinapalitan sa system (1) sa halip na hindi kilala
ang bawat equation ng system ay nagiging isang pagkakakilanlan. Numero
ay tinatawag na solusyon ng sistema ng mga equation.

Ang isang sistema ng mga linear equation ay maaaring magkaroon ng isang solusyon

,

maaaring magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon

o wala talagang solusyon

.

Ang mga sistema ng mga equation na walang mga solusyon ay tinatawag hindi magkatugma. Kung ang isang sistema ng mga equation ay may hindi bababa sa isang solusyon, kung gayon ito ay tinatawag magkadugtong. Ang sistema ng mga equation ay tinatawag tiyak kung mayroon itong natatanging solusyon, at hindi sigurado kung mayroon itong walang katapusang bilang ng mga solusyon.

II. Pagkakatugma ng mga homogenous at heterogenous system.

Ang kondisyon ng pagiging tugma para sa sistema ng mga linear na equation (1) ay binuo sa Kronecker-Capelli theorem: Ang isang sistema ng mga linear na equation ay may hindi bababa sa isang solusyon kung at kung ang ranggo ng matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix:
.

Ang pinalawig na matrix ng system ay ang matrix na nakuha mula sa matrix ng system sa pamamagitan ng pagtatalaga dito sa kanan ng isang column ng mga libreng miyembro:

.

Kung si Rg AA* , kung gayon ang sistema ng mga equation ay hindi pare-pareho.

Ang mga homogenous na sistema ng mga linear na equation alinsunod sa Kronecker-Capelli theorem ay palaging magkatugma. Isaalang-alang ang kaso ng isang homogenous system kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, i.e. m=n. Kung ang determinant ng matrix ng naturang sistema ay hindi katumbas ng zero, i.e.
, ang homogenous na sistema ay may natatanging solusyon, na walang kuwenta (zero). Ang mga homogenous system ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon kung mayroong mga linearly dependent na equation sa mga equation ng system, i.e.
.

Halimbawa. Isaalang-alang ang isang homogenous na sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam:

at suriin ang tanong ng bilang ng mga solusyon nito. Ang bawat isa sa mga equation ay maaaring ituring bilang ang equation ng eroplano na dumadaan sa pinagmulan ( D=0 ). Ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon kapag ang lahat ng tatlong eroplano ay nagsalubong sa isang punto. Bukod dito, ang kanilang mga normal na vector ay hindi coplanar, at, samakatuwid, ang kondisyon

.

Ang solusyon ng system sa kasong ito x=0, y=0, z=0 .

Kung hindi bababa sa dalawa sa tatlong eroplano, halimbawa, ang una at pangalawa, ay magkatulad, i.e. , kung gayon ang determinant ng matrix ng system ay katumbas ng zero, at ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Bukod dito, ang mga solusyon ay ang mga coordinate x, y, z lahat ng mga punto sa isang linya

Kung ang lahat ng tatlong mga eroplano ay nag-tutugma, ang sistema ng mga equation ay bumababa sa isang equation

,

at ang solusyon ay ang mga coordinate ng lahat ng mga punto na nakahiga sa eroplanong ito.

Kapag nag-aaral ng mga hindi magkakatulad na sistema ng mga linear na equation, ang tanong ng pagiging tugma ay malulutas gamit ang Kronecker-Capelli theorem. Kung ang bilang ng mga equation sa naturang sistema ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon kung ang determinant nito ay hindi katumbas ng zero. Kung hindi, ang system ay maaaring hindi pare-pareho o may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Halimbawa. Pinag-aaralan namin ang inhomogeneous system ng dalawang equation na may dalawang hindi alam

.

Ang mga equation ng system ay maaaring ituring na mga equation ng dalawang tuwid na linya sa eroplano. Ang sistema ay hindi pare-pareho kapag ang mga linya ay parallel, i.e.
,
. Sa kasong ito, ang ranggo ng system matrix ay 1:

Rg A=1 , dahil
,

habang ang ranggo ng augmented matrix
ay katumbas ng dalawa, dahil para dito ang menor de edad ng pangalawang ayos na naglalaman ng ikatlong hanay ay maaaring mapili bilang batayang menor.

Sa kasong isinasaalang-alang Rg AA * .

Kung ang mga linya ay nagtutugma, i.e. , pagkatapos ang sistema ng mga equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon: ang mga coordinate ng mga punto sa linya
. Sa kasong ito, si Rg A= Rg A * =1.

Ang sistema ay may natatanging solusyon kapag ang mga linya ay hindi parallel, i.e.
. Ang solusyon ng sistemang ito ay ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya

III. Sistemat mga equation na mayt hindi kilala. Ang panuntunan ni Cramer.

Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng kaso, kapag ang bilang ng mga equation ng system ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, i.e. m= n. Kung ang determinant ng system matrix ay non-zero, ang solusyon sa system ay matatagpuan gamit ang panuntunan ng Cramer:

(3)

Dito
- determinant ng system matrix,

- determinant ng matrix na nakuha mula sa [ A] kapalit i ika-column sa column ng mga libreng miyembro:

.

Halimbawa. Lutasin ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraan ni Cramer.

Solusyon :

1) hanapin ang determinant ng system

2) maghanap ng mga pantulong na pantukoy

3) maghanap ng solusyon sa system ayon sa panuntunan ng Cramer:

Ang resulta ng solusyon ay maaaring suriin sa pamamagitan ng pagpapalit sa sistema ng mga equation

Nakukuha ang mga tamang pagkakakilanlan.

IV. Paraan ng matrix para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation.

Isinulat namin ang sistema ng mga linear na equation sa matrix form (2)

[A]{x}={B}

at i-multiply ang kanan at kaliwang bahagi ng kaugnayan (2) mula sa kaliwa ng matrix [ A -1 ], kabaligtaran sa system matrix:

[A -1 ][A]{x}=[A -1 ]{B}. (2)

Sa pamamagitan ng kahulugan ng inverse matrix, ang produkto [ A -1 ][A]=[E], at sa pamamagitan ng mga katangian ng identity matrix [ E]{x}={x). Pagkatapos ay mula sa kaugnayan (2") makuha namin

{x}=[A -1 ]{B}. (4)

Ang kaugnayan (4) ay sumasailalim sa pamamaraan ng matrix para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation: ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang matrix na kabaligtaran sa matrix ng system at i-multiply dito ang column vector ng mga tamang bahagi ng system.

Halimbawa. Nalutas namin ang sistema ng mga equation na isinasaalang-alang sa nakaraang halimbawa sa pamamagitan ng pamamaraan ng matrix.

System Matrix
determinant nito det A==183 .

Haligi sa kanang bahagi
.

Upang mahanap ang matrix [ A -1 ], hanapin ang matrix na nakakabit sa [ A]:

o

Kasama sa formula para sa pagkalkula ng inverse matrix
, pagkatapos

Ngayon ay makakahanap na tayo ng solusyon sa system

Pagkatapos ay nakuha namin sa wakas .

V. Gauss na pamamaraan.

Sa isang malaking bilang ng mga hindi alam, ang solusyon ng sistema ng mga equation sa pamamagitan ng Cramer method o ang matrix method ay nauugnay sa pagkalkula ng mga high-order determinants o ang inversion ng malalaking matrice. Ang mga pamamaraang ito ay napakahirap kahit para sa mga modernong computer. Samakatuwid, upang malutas ang mga sistema ng isang malaking bilang ng mga equation, ang pamamaraang Gauss ay mas madalas na ginagamit.

Ang pamamaraang Gauss ay binubuo sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago ng pinahabang matrix ng system. Kabilang sa mga pagbabago sa elementarya na matrix ang permutation ng mga row, pagdaragdag ng mga row, multiplikasyon ng mga row sa mga numero maliban sa zero. Bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, posible na bawasan ang matrix ng system sa isang itaas na tatsulok, sa pangunahing dayagonal kung saan mayroong mga yunit, at sa ibaba ng pangunahing dayagonal - mga zero. Ito ang direktang paglipat ng pamamaraang Gauss. Ang baligtad na kurso ng pamamaraan ay binubuo sa direktang pagpapasiya ng mga hindi alam, simula sa huli.

Ilarawan natin ang pamamaraang Gauss sa halimbawa ng paglutas ng sistema ng mga equation

Sa unang hakbang ng pasulong na paglipat, tinitiyak na ang koepisyent
ng binagong sistema ay naging katumbas ng 1 , at ang mga coefficient
at
naging zero. Upang gawin ito, i-multiply ang unang equation sa pamamagitan ng 1/10 , i-multiply ang pangalawang equation sa 10 at idagdag sa una, i-multiply ang ikatlong equation sa -10/2 at idagdag ito sa una. Pagkatapos ng mga pagbabagong ito, nakukuha natin

Sa pangalawang hakbang, tinitiyak namin na pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo ang koepisyent
naging pantay 1 , at ang koepisyent
. Upang gawin ito, hinati namin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng 42 , at i-multiply ang ikatlong equation sa -42/27 at idagdag ito sa pangalawa. Kumuha kami ng isang sistema ng mga equation

Ang ikatlong hakbang ay upang makuha ang koepisyent
. Upang gawin ito, hinati namin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng (37 - 84/27) ; nakukuha namin

Dito nagtatapos ang direktang kurso ng pamamaraang Gauss, dahil ang matrix ng system ay nabawasan sa itaas na tatsulok:

Sa pamamagitan ng paglipat pabalik, nakita namin ang mga hindi alam