Kalkulahin ang mga halagang ito nang humigit-kumulang gamit ang kaugalian. Tinatayang Pagkalkula Gamit ang Differential

Tinatayang Pagkalkula Gamit ang Differential

Sa ang araling ito isasaalang-alang natin ang isang malawakang problema tungkol sa tinatayang pagkalkula ng halaga ng isang function gamit ang isang kaugalian. Dito at sa ibaba ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga pagkakaiba sa unang pagkakasunud-sunod, para sa maikli ay madalas kong sabihin na "differential". Ang problema ng tinatayang mga kalkulasyon sa tulong ng isang kaugalian ay may matibay na algorithm ng solusyon, at, samakatuwid, hindi dapat magkaroon ng anumang partikular na paghihirap. Ang tanging bagay ay may mga maliliit na pitfalls na lilinisin din. Kaya feel free to dive head muna.

Bilang karagdagan, ang pahina ay naglalaman ng mga formula para sa paghahanap ng ganap at kamag-anak na mga error sa pagkalkula. Ang materyal ay lubhang kapaki-pakinabang, dahil ang mga error ay kailangang kalkulahin din sa iba pang mga problema. Physicists, nasaan ang palakpakan ninyo? =)

Upang matagumpay na makabisado ang mga halimbawa, kailangan mong makahanap ng mga derivatives ng mga function kahit man lang sa isang average na antas, kaya kung ang pagkakaiba ay ganap na mali, mangyaring magsimula sa aralin Paano mahahanap ang derivative? Inirerekomenda ko rin na basahin ang artikulo Ang pinakasimpleng problema sa isang derivative, lalo na ang mga talata tungkol sa paghahanap ng derivative sa isang punto at paghahanap ng pagkakaiba sa isang punto. Sa mga teknikal na paraan, kakailanganin mo ng isang microcalculator na may iba't ibang mga pag-andar sa matematika. Maaari mong gamitin ang Excel, ngunit sa kasong ito ay hindi gaanong maginhawa.

Ang workshop ay binubuo ng dalawang bahagi:

– Tinatayang mga kalkulasyon gamit ang differential ng isang function ng isang variable.

- Tinatayang mga kalkulasyon gamit kabuuang pagkakaiba function ng dalawang variable.

Sino ang nangangailangan ng ano. Sa katunayan, posible na hatiin ang kayamanan sa dalawang tambak, sa kadahilanang ang pangalawang punto ay tumutukoy sa mga aplikasyon ng mga function ng ilang mga variable. Ngunit ano ang magagawa ko, mahilig ako sa mahabang artikulo.

Tinatayang mga kalkulasyon
gamit ang differential ng isang function ng isang variable

Ang gawaing pinag-uusapan at ang kahulugang geometriko nito ay nasasakupan na sa aralin Ano ang derivative? , at ngayon ay paghihigpitan natin ang ating sarili sa isang pormal na pagsasaalang-alang ng mga halimbawa, na sapat na upang matutunan kung paano lutasin ang mga ito.

Sa unang talata, ang function ng isang variable na panuntunan. Tulad ng alam ng lahat, ito ay tinutukoy sa pamamagitan o sa pamamagitan ng. Para sa problemang ito, mas maginhawang gamitin ang pangalawang notasyon. Lumipat tayo sa isang tanyag na halimbawa na madalas na nangyayari sa pagsasanay:

Halimbawa 1

Solusyon: Pakikopya sa iyong kuwaderno ang gumaganang formula para sa tinatayang pagkalkula gamit ang differential:

Magsimula tayo, madali lang!

Ang unang hakbang ay upang lumikha ng isang function. Sa pamamagitan ng kundisyon, iminungkahi na kalkulahin ang cube root ng numero: , kaya ang kaukulang function ay may anyo: . Kailangan nating gamitin ang formula upang makahanap ng tinatayang halaga.

Tinitingnan namin kaliwang parte mga formula , at naiisip na ang bilang na 67 ay dapat kinakatawan bilang . Ano ang pinakamadaling paraan upang gawin ito? Inirerekomenda ko ang sumusunod na algorithm: compute binigay na halaga sa calculator:
- ito ay naging 4 na may buntot, ito ay isang mahalagang patnubay para sa solusyon.

Habang pinipili natin ang "magandang" halaga, para kunin ang ugat. Natural, ang halagang ito ay dapat mas malapit hangga't maaari sa 67. Sa kasong ito: . Talaga: .

Tandaan: Kapag ang pag-angkop ay problema pa rin, tingnan lamang ang kinakalkula na halaga (sa kasong ito ), kunin ang pinakamalapit na bahagi ng integer (sa kasong ito 4) at itaas ito sa nais na kapangyarihan (sa kasong ito ). Bilang resulta, ang nais na pagpili ay gagawin: .

Kung , kung gayon ang pagtaas ng argumento: .

Kaya ang bilang na 67 ay kinakatawan bilang isang kabuuan

Una, kinakalkula namin ang halaga ng function sa punto . Sa totoo lang, nagawa na ito dati:

Ang pagkakaiba sa isang punto ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
Maaari mo ring kopyahin sa iyong kuwaderno.

Mula sa formula sumusunod na kailangan mong kunin ang unang derivative:

At hanapin ang halaga nito sa punto:

Sa ganitong paraan:

Handa na ang lahat! Ayon sa formula:

Ang nahanap na tinatayang halaga ay sapat na malapit sa halaga kinakalkula gamit ang isang microcalculator.

Sagot:

Halimbawa 2

Kalkulahin ang humigit-kumulang , pinapalitan ang mga increment ng function na may kaugalian nito.

Ito ay isang halimbawa para sa malayang solusyon. Isang magaspang na halimbawa ng pagtatapos ng gawain at isang sagot sa pagtatapos ng aralin. Para sa mga nagsisimula, inirerekomenda ko na kalkulahin mo muna eksaktong halaga sa isang microcalculator para malaman kung aling numero ang kukunin at para sa alin. Dapat tandaan na sa halimbawang ito ay magiging negatibo.

Ang ilan ay maaaring may tanong, bakit kailangan ang gawaing ito, kung maaari mong kalkulahin ang lahat nang mahinahon at mas tumpak sa isang calculator? Sumasang-ayon ako, ang gawain ay hangal at walang muwang. Ngunit susubukan kong bigyang-katwiran ito nang kaunti. Una, ang gawain ay naglalarawan ng kahulugan ng function differential. Pangalawa, noong sinaunang panahon, ang calculator ay parang isang personal na helicopter sa ating panahon. Nakita ko mismo kung paano itinapon ang isang computer na kasing laki ng isang silid mula sa lokal na institusyong polytechnical sa isang lugar noong 1985-86 (ang mga radio amateur na may mga screwdriver ay tumatakbo mula sa buong lungsod, at pagkatapos ng ilang oras ay ang kaso lamang ang natitira mula sa yunit. ). Natagpuan din ang mga antigo sa aming departamento ng pisika, gayunpaman, sa mas maliit na sukat - sa isang lugar na halos kasing laki ng isang desk ng paaralan. Ganito nagdusa ang ating mga ninuno sa mga pamamaraan ng tinatayang kalkulasyon. Ang karwahe na hinihila ng kabayo ay isa ring paraan ng transportasyon.

Sa isang paraan o iba pa, ang problema ay nanatili sa karaniwang kurso ng mas mataas na matematika, at ito ay kailangang malutas. Ito ang pangunahing sagot sa iyong katanungan =)

Halimbawa 3

sa puntong . Kalkulahin ang isang mas tumpak na halaga ng function sa isang punto gamit ang isang microcalculator, suriin ang ganap at kamag-anak na mga error sa pagkalkula.

Sa katunayan, ang parehong gawain, madali itong ma-reformulate tulad ng sumusunod: "Kalkulahin ang tinatayang halaga na may kaugalian

Solusyon: Ginagamit namin ang pamilyar na formula:
Sa kasong ito, ang isang yari na function ay ibinigay na: . Muli, iginuhit ko ang iyong pansin sa katotohanan na ito ay mas maginhawang gamitin sa halip na "laro" upang magtalaga ng isang function.

Ang halaga ay dapat na kinakatawan bilang . Well, mas madali dito, nakikita natin na ang numero 1.97 ay napakalapit sa "dalawa", kaya nagmumungkahi ito mismo. At samakatuwid: .

Gamit ang formula , kinakalkula namin ang pagkakaiba sa parehong punto.

Paghahanap ng unang derivative:

At ang halaga nito sa tuldok:

Kaya, ang pagkakaiba sa punto:

Bilang resulta, ayon sa pormula:

Ang ikalawang bahagi ng gawain ay upang mahanap ang ganap at kamag-anak na error ng mga kalkulasyon.

Absolute at relatibong error ng mga kalkulasyon

Ganap na error sa pagkalkula ay matatagpuan ayon sa pormula:

Ang modulo sign ay nagpapakita na wala kaming pakialam kung aling halaga ang mas malaki at alin ang mas maliit. mahalaga, gaano kalayo ang tinatayang resulta ay lumihis mula sa eksaktong halaga sa isang direksyon o iba pa.

Relatibong error sa pagkalkula ay matatagpuan ayon sa pormula:
, o, pareho:

Ipinapakita ang kamag-anak na error sa kung anong porsyento ang tinatayang resulta ay lumihis mula sa eksaktong halaga. Mayroong isang bersyon ng formula nang hindi dumarami ng 100%, ngunit sa pagsasanay halos palagi kong nakikita ang bersyon sa itaas na may mga porsyento.

Pagkatapos ng maikling background, bumalik kami sa aming problema, kung saan kinakalkula namin ang tinatayang halaga ng function gamit ang isang kaugalian.

Kalkulahin natin ang eksaktong halaga ng function gamit ang isang microcalculator:
, sa mahigpit na pagsasalita, ang halaga ay tinatayang pa rin, ngunit isasaalang-alang namin ito nang eksakto. Ang ganitong mga gawain ay nangyayari.

Kalkulahin natin ang ganap na error:

Kalkulahin natin ang kamag-anak na error:
, 1000 ng isang porsyento ay nakuha, kaya ang pagkakaiba ay nagbigay lamang ng isang mahusay na pagtatantya.

Sagot: , ganap na error sa pagkalkula , relatibong error sa pagkalkula

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa isang nakapag-iisang solusyon:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang tinatayang gamit ang differential ang halaga ng function sa puntong . Kalkulahin ang isang mas tumpak na halaga ng function sa isang naibigay na punto, suriin ang ganap at kamag-anak na mga error sa pagkalkula.

Isang magaspang na halimbawa ng pagtatapos ng gawain at isang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Marami ang nakapansin na sa lahat ng mga halimbawang isinasaalang-alang, lumilitaw ang mga ugat. Ito ay hindi sinasadya; sa karamihan ng mga kaso, sa problemang isinasaalang-alang, ang mga function na may mga ugat ay talagang iminungkahi.

Ngunit para sa naghihirap na mga mambabasa, naghukay ako ng isang maliit na halimbawa sa arcsine:

Halimbawa 5

Kalkulahin ang tinatayang gamit ang differential ang halaga ng function sa punto

Ang maikli ngunit nagbibigay-kaalaman na halimbawang ito ay para din sa independiyenteng desisyon. At nagpahinga ako ng kaunti upang isaalang-alang ang isang espesyal na gawain na may panibagong lakas:

Halimbawa 6

Kalkulahin ang humigit-kumulang gamit ang differential, bilugan ang resulta sa dalawang decimal na lugar.

Solusyon: Ano ang bago sa gawain? Ayon sa kundisyon, kinakailangang bilugan ang resulta sa dalawang decimal na lugar. Ngunit hindi iyon, gawain sa paaralan Ang pag-ikot, sa tingin ko, ay hindi mahirap para sa iyo. Ang punto ay mayroon tayong tangent na may isang argumento na ipinahayag sa mga degree. Ano ang gagawin kapag hiniling sa iyo na lutasin ang isang trigonometric function na may mga degree? Halimbawa, atbp.

Ang algorithm ng solusyon ay pangunahing napanatili, iyon ay, kinakailangan, tulad ng sa mga nakaraang halimbawa, upang ilapat ang formula

Isulat ang halatang function

Ang halaga ay dapat na kinakatawan bilang . Seryosong tulong talahanayan ng mga halaga ng mga function ng trigonometriko. Sa pamamagitan ng paraan, kung hindi mo pa ito nai-print, inirerekumenda kong gawin ito, dahil kailangan mong tumingin doon sa buong kurso ng pag-aaral ng mas mataas na matematika.

Sa pagsusuri sa talahanayan, napansin namin ang isang "magandang" halaga ng tangent, na malapit sa 47 degrees:

Sa ganitong paraan:

Pagkatapos ng paunang pagsusuri ang mga degree ay dapat i-convert sa radians. Oo, at gayon lamang!

Sa halimbawang ito, direkta mula sa trigonometriko talahanayan malalaman mo yan. Ang formula para sa pag-convert ng mga degree sa radians ay: (matatagpuan ang mga formula sa parehong talahanayan).

Karagdagang template:

Sa ganitong paraan: (sa mga kalkulasyon ginagamit namin ang halaga ). Ang resulta, ayon sa kinakailangan ng kundisyon, ay bilugan sa dalawang decimal na lugar.

Sagot:

Halimbawa 7

Kalkulahin ang humigit-kumulang gamit ang kaugalian, bilugan ang resulta sa tatlong decimal na lugar.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Kumpletong Solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado, isinasalin namin ang mga degree sa mga radian at sumunod sa karaniwang algorithm ng solusyon.

Tinatayang mga kalkulasyon
gamit ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable

Ang lahat ay magiging magkatulad, kaya kung dumating ka sa pahinang ito na may partikular na gawain, pagkatapos ay inirerekumenda ko muna ang pagtingin sa hindi bababa sa ilang mga halimbawa ng nakaraang talata.

Upang pag-aralan ang isang talata, kailangan mong mahanap pangalawang order na bahagyang derivatives, kung saan wala sila. Sa aralin sa itaas, tinukoy ko ang pag-andar ng dalawang variable na may titik . Sa pagsasaalang-alang sa gawaing isinasaalang-alang, mas maginhawang gamitin ang katumbas na notasyon .

Tulad ng sa kaso ng isang function ng isang variable, ang kondisyon ng problema ay maaaring mabalangkas sa iba't ibang paraan, at susubukan kong isaalang-alang ang lahat ng mga formulation na nakatagpo.

Halimbawa 8

Solusyon: Hindi mahalaga kung paano nakasulat ang kundisyon, sa solusyon mismo, upang italaga ang function, inuulit ko, mas mahusay na gamitin hindi ang titik na "Z", ngunit.

At narito ang gumaganang formula:

Bago sa amin ay talagang nakatatandang kapatid na babae ng pormula ng nakaraang talata. Lumaki lang ang variable. Ano ang masasabi ko, sa aking sarili ang solusyon algorithm ay sa panimula ay pareho!

Sa pamamagitan ng kundisyon, kinakailangan upang mahanap ang tinatayang halaga ng function sa punto .

Katawanin natin ang bilang na 3.04 bilang . Ang tinapay mismo ay humihiling na kainin:
,

Katawanin natin ang bilang na 3.95 bilang . Ang turn ay dumating sa ikalawang kalahati ng Kolobok:
,

At huwag tumingin sa lahat ng mga uri ng fox trick, mayroong isang Gingerbread Man - kailangan mong kainin ito.

Kalkulahin natin ang halaga ng function sa punto:

Ang pagkakaiba ng isang function sa isang punto ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Mula sa formula na ito ay sumusunod na kailangan mong hanapin mga partial derivatives ng unang pagkakasunud-sunod at kalkulahin ang kanilang mga halaga sa punto.

Kalkulahin natin ang mga partial derivatives ng unang order sa punto:

Kabuuang pagkakaiba sa punto:

Kaya, ayon sa formula, ang tinatayang halaga ng function sa punto :

Kalkulahin natin ang eksaktong halaga ng function sa punto:

Ang halagang ito ay ganap na tama.

Kinakalkula ang mga error gamit ang mga karaniwang formula, na tinalakay na sa artikulong ito.

Ganap na error:

Kamag-anak na error:

Sagot:, ganap na error: , relative error:

Halimbawa 9

Kalkulahin ang tinatayang halaga ng isang function sa isang punto gamit ang isang buong kaugalian, suriin ang ganap at kamag-anak na error.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ang sinumang naninirahan nang mas detalyado sa halimbawang ito ay magbibigay-pansin sa katotohanan na ang mga pagkakamali sa pagkalkula ay naging napaka, lubhang kapansin-pansin. Nangyari ito para sa sumusunod na dahilan: sa iminungkahing problema, ang mga pagtaas ng mga argumento ay sapat na malaki: . Pangkalahatang pattern ay ang mga sumusunod - mas malaki ang mga pagtaas na ito sa ganap na halaga, mas mababa ang katumpakan ng mga kalkulasyon. Kaya, halimbawa, para sa isang katulad na punto, ang mga pagtaas ay magiging maliit: , at ang katumpakan ng tinatayang mga kalkulasyon ay magiging napakataas.

Ang tampok na ito ay may bisa din para sa kaso ng isang function ng isang variable (ang unang bahagi ng aralin).

Halimbawa 10

Solusyon: Kinakalkula namin ang expression na ito nang humigit-kumulang gamit ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable:

Ang pagkakaiba sa Mga Halimbawa 8-9 ay kailangan muna nating bumuo ng isang function ng dalawang variable: . Kung paano binubuo ang function, sa tingin ko, ay intuitively malinaw sa lahat.

Ang halagang 4.9973 ay malapit sa "lima", samakatuwid: , .
Ang halaga ng 0.9919 ay malapit sa "isa", samakatuwid, ipinapalagay namin: , .

Kalkulahin natin ang halaga ng function sa punto:

Nahanap namin ang pagkakaiba sa isang punto sa pamamagitan ng formula:

Upang gawin ito, kinakalkula namin ang mga bahagyang derivatives ng unang pagkakasunud-sunod sa punto .

Ang mga derivatives dito ay hindi ang pinakasimple, at dapat kang mag-ingat:

;

.

Kabuuang pagkakaiba sa punto:

Kaya, ang tinatayang halaga ng expression na ito:

Magkalkula tayo ng mas tumpak na halaga gamit ang isang microcalculator: 2.998899527

Hanapin natin ang relatibong error sa pagkalkula:

Sagot: ,

Isang paglalarawan lamang ng nasa itaas, sa isinasaalang-alang na problema, ang mga pagtaas ng mga argumento ay napakaliit, at ang pagkakamali ay naging napakaliit.

Halimbawa 11

Gamit ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable, kalkulahin ang tinatayang halaga ng expression na ito. Kalkulahin ang parehong expression gamit ang isang microcalculator. Tantyahin sa porsyento ang relatibong error ng mga kalkulasyon.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Isang tinatayang sample ng pagtatapos sa pagtatapos ng aralin.

Tulad ng nabanggit na, ang pinakakaraniwang panauhin sa ganitong uri ng gawain ay ilang uri ng mga ugat. Ngunit paminsan-minsan ay may iba pang mga pag-andar. At isang pangwakas na simpleng halimbawa para sa pagpapahinga:

Halimbawa 12

Gamit ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable, kalkulahin ang humigit-kumulang na halaga ng function kung

Ang solusyon ay mas malapit sa ibaba ng pahina. Muli, bigyang-pansin ang mga salita ng mga gawain ng aralin, sa iba't ibang halimbawa sa pagsasagawa, ang mga pormulasyon ay maaaring magkakaiba, ngunit hindi nito pangunahing binabago ang kakanyahan at algorithm ng solusyon.

To be honest, medyo napagod ako, boring kasi yung material. Ito ay hindi pedagogical na sabihin sa simula ng artikulo, ngunit ngayon ito ay posible na =) Sa katunayan, ang mga problema ng computational mathematics ay karaniwang hindi napakahirap, hindi masyadong kawili-wili, ang pinakamahalagang bagay, marahil, ay hindi gumawa ng isang pagkakamali sa mga ordinaryong kalkulasyon.

Nawa'y hindi mabura ang mga susi ng iyong calculator!

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 2: Solusyon: Ginagamit namin ang formula:
Sa kasong ito: , ,

Sa ganitong paraan:
Sagot:

Halimbawa 4: Solusyon: Ginagamit namin ang formula:
Sa kasong ito: , ,

Isaalang-alang ang isang malawakang problema tungkol sa tinatayang pagkalkula ng halaga ng isang function gamit ang isang kaugalian.

Dito at sa ibaba, pagtutuunan natin ng pansin ang mga pagkakaiba sa unang pagkakasunud-sunod; para sa maikli, kadalasang "differential" lang ang sasabihin natin. Ang problema ng tinatayang mga kalkulasyon sa tulong ng isang kaugalian ay may matibay na algorithm ng solusyon, at, samakatuwid, hindi dapat magkaroon ng anumang partikular na paghihirap. Ang tanging bagay ay may mga maliliit na pitfalls na lilinisin din. Kaya feel free to dive head muna.

Bilang karagdagan, ang seksyon ay naglalaman ng mga formula para sa paghahanap ng ganap at kamag-anak na mga error ng mga kalkulasyon. Ang materyal ay lubhang kapaki-pakinabang, dahil ang mga error ay kailangang kalkulahin din sa iba pang mga problema.

Upang matagumpay na makabisado ang mga halimbawa, kailangan mong makahanap ng mga derivatives ng mga function kahit man lang sa isang average na antas, kaya kung ang pagkakaiba ay ganap na mali, mangyaring magsimula sa paghahanap ng derivative sa isang punto at kasama ang paghahanap ng pagkakaiba sa isang punto. Sa mga teknikal na paraan, kakailanganin mo ng isang microcalculator na may iba't ibang mga pag-andar sa matematika. Maaari mong gamitin ang mga kakayahan ng MS Excel, ngunit sa kasong ito ay hindi gaanong maginhawa.

Ang aralin ay binubuo ng dalawang bahagi:

– Tinatayang mga kalkulasyon gamit ang kaugalian ng halaga ng isang function ng isang variable sa isang punto.

– Tinatayang mga kalkulasyon gamit ang kabuuang pagkakaiba ng halaga ng isang function ng dalawang variable sa isang punto.

Ang gawaing isinasaalang-alang ay malapit na nauugnay sa konsepto ng isang pagkakaiba, ngunit dahil wala pa rin tayong aralin sa kahulugan ng isang hinalaw at isang pagkakaiba, lilimitahan natin ang ating sarili sa isang pormal na pagsasaalang-alang ng mga halimbawa, na sapat na upang matutunan. kung paano malutas ang mga ito.

Tinatayang mga kalkulasyon gamit ang differential ng isang function ng isang variable

Sa unang talata, ang function ng isang variable na panuntunan. Tulad ng alam ng lahat, ito ay tinutukoy ng y o sa pamamagitan ng f(x). Para sa problemang ito, mas maginhawang gamitin ang pangalawang notasyon. Lumipat tayo sa isang tanyag na halimbawa na madalas na nangyayari sa pagsasanay:

Halimbawa 1

Solusyon: Pakikopya sa iyong kuwaderno ang gumaganang formula para sa tinatayang pagkalkula gamit ang differential:

Magsimula tayo, madali lang!

Ang unang hakbang ay upang lumikha ng isang function. Sa pamamagitan ng kundisyon, iminungkahi na kalkulahin ang cube root ng numero: , kaya ang kaukulang function ay may anyo: .

Kailangan nating gamitin ang formula upang makahanap ng tinatayang halaga.

Tinitingnan namin kaliwang parte mga formula , at naiisip na ang bilang na 67 ay dapat kinakatawan bilang . Ano ang pinakamadaling paraan upang gawin ito? Inirerekomenda ko ang sumusunod na algorithm: kalkulahin ang halagang ito sa isang calculator:

- ito ay naging 4 na may buntot, ito ay isang mahalagang patnubay para sa solusyon.

Bilang x 0 pumili ng "magandang" halaga, para kunin ang ugat. Naturally, ang halagang ito x 0 dapat mas malapit hangga't maaari hanggang 67.

Sa kasong ito x 0 = 64. Sa katunayan, .

Tandaan: Kapag may pagpilix 0 ang problema ay lumitaw pa rin, tingnan lamang ang kinakalkula na halaga (sa kasong ito ), kunin ang pinakamalapit na bahagi ng integer (sa kasong ito 4) at itaas ito sa nais na kapangyarihan (sa kasong ito ). Bilang resulta, ang nais na pagpili ay gagawin. x 0 = 64.

Kung ang x 0 = 64, kung gayon ang pagtaas ng argumento ay: .

Kaya ang bilang na 67 ay kinakatawan bilang isang kabuuan

Una, kinakalkula namin ang halaga ng function sa punto x 0 = 64. Sa totoo lang, nagawa na ito nang mas maaga:

Ang pagkakaiba sa isang punto ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Maaari mo ring kopyahin ang formula na ito sa iyong notebook.

Mula sa formula sumusunod na kailangan mong kunin ang unang derivative:

At hanapin ang halaga nito sa punto x 0:

.

Sa ganitong paraan:

Handa na ang lahat! Ayon sa formula:

Ang nahanap na tinatayang halaga ay medyo malapit sa halaga ng 4.06154810045 na kinakalkula gamit ang isang microcalculator.

Sagot:

Halimbawa 2

Kalkulahin ang humigit-kumulang , pinapalitan ang mga increment ng function na may kaugalian nito.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Isang magaspang na halimbawa ng pagtatapos ng gawain at isang sagot sa pagtatapos ng aralin. Para sa mga nagsisimula, inirerekomenda ko na kalkulahin mo muna ang eksaktong halaga sa isang microcalculator upang malaman kung anong numero ang kukunin para sa x 0 , at alin ang - para sa Δ x. Dapat pansinin na ang Δ x sa halimbawang ito ay magiging negatibo.

Ang ilan ay maaaring may tanong, bakit kailangan ang gawaing ito, kung maaari mong kalkulahin ang lahat nang mahinahon at mas tumpak sa isang calculator? Sumasang-ayon ako, ang gawain ay hangal at walang muwang. Ngunit susubukan kong bigyang-katwiran ito nang kaunti. Una, ang gawain ay naglalarawan ng kahulugan ng function differential. Pangalawa, noong sinaunang panahon, ang calculator ay parang isang personal na helicopter sa ating panahon. Nakita ko mismo kung paano itinapon ang isang computer na kasing laki ng isang silid mula sa isa sa mga institusyon sa isang lugar noong 1985-86 (ang mga radio amateur na may mga screwdriver ay tumatakbo mula sa buong lungsod, at pagkatapos ng ilang oras ay ang kaso lamang ang natitira mula sa yunit. ). Natagpuan din ang mga antigo sa aming departamento ng pisika, gayunpaman, sa mas maliit na sukat - sa isang lugar na halos kasing laki ng isang mesa. Ganito nagdusa ang ating mga ninuno sa mga pamamaraan ng tinatayang kalkulasyon. Ang karwahe na hinihila ng kabayo ay isa ring paraan ng transportasyon.

Sa isang paraan o iba pa, ang problema ay nanatili sa karaniwang kurso ng mas mataas na matematika, at ito ay kailangang malutas. Ito ang pangunahing sagot sa iyong tanong =).

Halimbawa 3

Kalkulahin ang tinatayang gamit ang differential ang halaga ng function sa punto x= 1.97. Kalkulahin ang isang mas tumpak na halaga ng function sa isang punto x= 1.97 gamit ang isang microcalculator, suriin ang ganap at kamag-anak na mga error sa pagkalkula.

Sa katunayan, ang gawaing ito ay madaling ma-reformulate tulad ng sumusunod: “Kalkulahin ang isang tinatayang halaga na may kaugalian

Solusyon: Ginagamit namin ang pamilyar na formula:

Sa kasong ito, ang isang yari na function ay ibinigay na: . Muli, iginuhit ko ang iyong pansin sa katotohanan na upang magtalaga ng isang function, sa halip na "laro", ito ay mas maginhawang gamitin f(x).

Ibig sabihin x= 1.97 ay dapat na kinakatawan bilang x 0 = Δ x. Well, mas madali dito, nakikita natin na ang numero 1.97 ay napakalapit sa "dalawa", kaya ito ay nagmamakaawa x 0 = 2. At, samakatuwid: .

Kalkulahin ang halaga ng function sa punto x 0 = 2:

Gamit ang formula , kinakalkula namin ang pagkakaiba sa parehong punto.

Paghahanap ng unang derivative:

At ang halaga nito sa punto x 0 = 2:

Kaya, ang pagkakaiba sa punto:

Bilang resulta, ayon sa formula:

Ang ikalawang bahagi ng gawain ay upang mahanap ang ganap at kamag-anak na error ng mga kalkulasyon.

Sa isang banda, ang pagkalkula ng pagkakaiba ay mas simple kaysa sa pagkalkula ng pagtaas, sa kabilang banda, ang dy≈∆y at ang error na pinapayagan sa kasong ito ay maaaring gawing arbitraryong maliit sa pamamagitan ng pagbabawas ng ∆x. Ginagawang posible ng mga pangyayaring ito sa maraming pagkakataon na palitan ang ∆y ng dy. Mula sa tinatayang pagkakapantay-pantay na dy≈∆y, ibinigay na ∆y = f(x) - f(x 0), at dy=f'(x 0)(x-x 0), nakukuha natin ang f(x) ≈ f(x 0). ) + f'(x 0)(x - x 0), kung saan x-x 0 = ∆x.
Halimbawa. Kalkulahin ang .
Solusyon. Ang pagkuha ng function , mayroon kaming: . Sa pag-aakalang x 0 =16 (pinili natin ang ating sarili upang makuha ang ugat), ∆x = 0.02, nakukuha natin.

Halimbawa. Kalkulahin ang halaga ng function na f(x) = e x sa puntong x=0.1.
Solusyon. Bilang x 0 kinukuha natin ang bilang na 0, ibig sabihin, x 0 =0, pagkatapos ay ∆x=x-x 0 =0.1 at e 0.1 ≈e 0 + e 0.1 = 1+0.1 = 1.1. Ayon sa talahanayan e 0.1 ≈1.1052. Maliit lang ang error.
Napansin namin ang isa pang mahalagang katangian ng kaugalian. Ang formula para sa paghahanap ng differential dy=f’(x)dx ay tama tulad ng sa kaso kung kailan x ay isang malayang variable, at sa kaso kung kailan x ay isang function ng isang bagong variable t. Ang katangiang ito ng isang kaugalian ay tinatawag na invariance na katangian ng anyo nito. Halimbawa, para sa function na y=tg(x), ang kaugalian ay isusulat bilang hindi alintana kung ito ay x malayang variable o function. Kung x ay isang function at partikular na tinukoy, halimbawa x=t 2 , kung gayon ang pagkalkula ng dy ay maaaring ipagpatuloy, kung saan makikita natin ang dx=2tdt at palitan ito sa dating nakuhang expression para sa dy:
.
Kung sa halip na formula (2) gagamitin namin ang non-invariant formula (1), kung gayon sa kaso kapag ang x ay isang function, hindi namin maipagpapatuloy ang pagkalkula ng dy sa katulad na paraan, dahil ang ∆x, sa pangkalahatan, ay hindi sumasabay sa dx.

Tinatayang halaga ng pagtaas ng function

Para sa sapat na maliliit na pagtaas ng function ay humigit-kumulang katumbas ng kaugalian nito, i.e. Dy » dy at, samakatuwid,

Halimbawa 2 Hanapin ang tinatayang halaga ng pagtaas ng function na y= kapag ang argumento na x ay nagbago mula sa halagang x 0 =3 hanggang x 1 =3.01.

Solusyon. Gumagamit kami ng formula (2.3). Upang gawin ito, kinakalkula namin

X 1 - x 0 \u003d 3.01 - 3 \u003d 0.01, pagkatapos

gawin » .

Tinatayang halaga ng isang function sa isang punto

Alinsunod sa kahulugan ng pagtaas ng function na y = f(x) sa puntong x 0, kapag ang argument na Dx (Dx®0) ay nadagdagan, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) at maaaring isulat ang pormula (3.3).

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Ang mga partikular na kaso ng formula (3.4) ay ang mga expression:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3.4v)

tgDx » Dx (3.4g)

Dito, tulad ng dati, ipinapalagay na ang Dx®0.

Halimbawa 3 Hanapin ang tinatayang halaga ng function f (x) \u003d (3x -5) 5 sa punto x 1 \u003d 2.02.

Solusyon. Para sa mga kalkulasyon, ginagamit namin ang formula (3.4). Katawanin natin ang x 1 bilang x 1 = x 0 + Dx. Pagkatapos x 0 = 2, Dx = 0.02.

f(2.02)=f(2 + 0.02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2.02) = (3 × 2.02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0.02 = 1.3

Halimbawa 4 Kalkulahin ang (1.01) 5 , , ln(1.02), ln .

Solusyon

1. Gamitin natin ang formula (3.4a). Upang gawin ito, kinakatawan namin ang (1.01) 5 bilang (1+0.01) 5 .

Pagkatapos, sa pag-aakalang Dx = 0.01, n = 5, nakukuha natin

(1.01) 5 = (1 + 0.01) 5 » 1 + 5 × 0.01 = 1.05.

2. Kumakatawan sa anyo (1 - 0.006) 1/6, ayon sa (3.4a), nakukuha natin

(1 - 0.006) 1/6" 1 + .

3. Isinasaalang-alang na ln(1.02) = ln(1 + 0.02) at sa pag-aakalang Dx=0.02, sa pamamagitan ng formula (3.4b) ay nakukuha natin

ln(1.02) = ln(1 + 0.02) » 0.02.

4. Katulad nito

ln = ln(1 - 0.05) 1/5 = .

Maghanap ng mga tinatayang increment ng mga function

155. y = 2x 3 + 5 kapag ang argumentong x ay nagbago mula sa x 0 = 2 hanggang x 1 = 2.001

156. y \u003d 3x 2 + 5x + 1 para sa x 0 \u003d 3 at Dx \u003d 0.001

157. y \u003d x 3 + x - 1 na may x 0 \u003d 2 at Dx \u003d 0.01

158. y \u003d ln x sa x 0 \u003d 10 at Dx \u003d 0.01

159. y \u003d x 2 - 2x na may x 0 \u003d 3 at Dx \u003d 0.01

Maghanap ng mga tinatayang halaga ng mga pag-andar

160. y \u003d 2x 2 - x + 1 sa x 1 \u003d 2.01

161. y \u003d x 2 + 3x + 1 sa x 1 \u003d 3.02

162.y= sa punto x 1 = 1.1

163. y \u003d sa punto x 1 \u003d 3.032

164. y \u003d sa punto x 1 \u003d 3.97

165. y \u003d kasalanan 2x sa x 1 \u003d 0.015

Kalkulahin ang humigit-kumulang

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178 ln(1.003×e) 179 ln(1.05) 5 180 ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

Paggalugad ng mga function at paglalagay

Mga palatandaan ng monotonicity ng isang function

Teorama 1 (kinakailangang kondisyon para sa pagtaas (pagbaba) ng mga function) . Kung ang isang differentiable function na y = f(x), xн(a; b) ay tumataas (bumababa) sa pagitan (a; b), pagkatapos ay para sa alinmang x 0 н(a; b).

Teorama 2 (sapat na kondisyon pagtaas (pagbaba) ng pag-andar) . Kung ang isang function na y = f(x), xн(a; b) ay may positibong (negatibong) derivative sa bawat punto ng interval (a; b), ang function na ito ay tumataas (bumababa) sa interval na ito.

Extreme ang function

Kahulugan 1. Ang point x 0 ay tinatawag na maximum (minimum) point ng function y \u003d f (x) kung para sa lahat ng x mula sa ilang d-kapitbahayan ng point x 0 ang hindi pagkakapantay-pantay f (x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) para sa x ¹ x 0 .

Theorem 3 (Farm) (kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum) . Kung ang point x 0 ay ang extremum point ng function na y = f(x) at mayroong derivative sa puntong ito, kung gayon

Teorama 4 (ang unang sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum) . Hayaang maging differentiable ang function na y = f(x) sa ilang d-kapitbahayan ng puntong x 0 . Pagkatapos:

1) kung ang derivative, kapag dumadaan sa puntong x 0, nagbabago ng sign mula (+) hanggang (-), kung gayon ang x 0 ay ang pinakamataas na punto;

2) kung ang derivative, kapag dumadaan sa puntong x 0, ay nagbabago ng sign mula (-) hanggang (+), kung gayon ang x 0 ay ang pinakamababang punto;

3) kung ang derivative ay hindi nagbabago ng sign kapag dumadaan sa punto x 0, pagkatapos ay sa punto x 0 ang function ay walang extremum.

Kahulugan 2. Tinatawag ang mga punto kung saan nawawala o wala ang derivative ng isang function kritikal na mga punto ng unang uri.

gamit ang unang derivative

1. Hanapin ang domain ng kahulugan D(f) ng function na y = f(x).

3. Hanapin kritikal na puntos unang uri.

4. Ilagay ang mga kritikal na punto sa domain D(f) ng function na y = f(x) at tukuyin ang sign ng derivative sa mga pagitan kung saan hinahati ng mga kritikal na punto ang domain ng function.

5. Piliin ang maximum at minimum na mga punto ng function at kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga puntong ito.

Halimbawa 1 Siyasatin ang function na y \u003d x 3 - 3x 2 para sa isang extremum.

Solusyon. Alinsunod sa algorithm para sa paghahanap ng extremum ng isang function gamit ang unang derivative, mayroon kaming:

1. D(f): xн(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0, x = 2 ay mga kritikal na punto ng unang uri.

Derivative kapag dumadaan sa puntong x = 0

binabago ang sign mula (+) hanggang (-), kaya ito ay isang punto

Pinakamataas. Kapag dumadaan sa punto x \u003d 2, binabago nito ang sign mula sa (-) hanggang (+), samakatuwid ito ang pinakamababang punto.

5. ymax = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Pinakamataas na coordinate (0; 0).

y min \u003d f (2) \u003d 2 3 - 3 × 2 2 \u003d -4.

Pinakamababang mga coordinate (2; -4).

Teorama 5 (ang pangalawang sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum) . Kung ang function na y = f(x) ay tinukoy at dalawang beses na naiba-iba sa ilang kapitbahayan ng punto x 0 , at , pagkatapos ay sa puntong x 0 ang function na f(x) ay may maximum na kung at isang minimum kung .

Algorithm para sa paghahanap ng extremum ng isang function

gamit ang pangalawang derivative

1. Hanapin ang domain ng kahulugan D(f) ng function na y = f(x).

2. Kalkulahin ang unang derivative

1. Pagkalkula ng tinatayang halaga ng pagtaas ng function

Halimbawa. Gamit ang konsepto ng differential ng isang function, kalkulahin ang humigit-kumulang na pagbabago sa function kapag nagbago ang argumento mula 5 hanggang 5.01.

Hanapin natin ang differential ng function . Palitan ang mga halaga X 0=5, D X= 0.01. Kunin

2. Pagkalkula ng tinatayang halaga ng function

Halimbawa. Kalkulahin ang tinatayang halaga gamit ang differential 1.998 5 .

Isaalang-alang ang function , kung saan X= 1.998. Basagin natin X sa X 0 at D X (X = X 0+D X), hayaan X 0 = 2, pagkatapos ay D X = - 0,002.

Hanapin natin ang halaga , ,

Pagkatapos 1.998 5 » 32 - 0.16 = 31.84.

Derivatives at differentials ng mas mataas na mga order

Hayaang maging differentiable ang function na f(x) sa ilang pagitan. Pagkatapos, sa pag-iiba nito, nakukuha natin ang unang derivative

Kung nakita natin ang derivative ng function na f¢(x), nakukuha natin pangalawang derivative mga function f(x).

mga. y¢¢ = (y¢)¢ o .

.

Basic theorems ng differential calculus

1. Ang teorama ni Rolle. Kung ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa segment , naiba-iba sa pagitan (a, b) at ang mga value ng function sa mga dulo ng segment ay katumbas ng f(a) = f(b), kung gayon mayroong kahit isang punto c sa pagitan (a, b) ( a< c < b), в которой производная f "(с) = 0.

Ang geometric na kahulugan ng Role theorem. Ang geometriko na kahulugan ng teorem ni Rolle ay, sa ilalim ng mga kondisyon ng teorama, sa pagitan (a, b) mayroong isang punto c na sa katumbas na punto ng kurba y = f(x) ang padaplis ay kahanay ng axis ng baka. Maaaring may ilang ganoong mga punto sa isang pagitan, ngunit ang theorem ay nagsasaad ng pagkakaroon ng kahit isang puntong iyon.

Tandaan na kung hindi bababa sa isang punto ng pagitan [ a; b] function ay hindi differentiable, pagkatapos ay ang derivative ng function f(x) maaaring hindi mapunta sa zero. Halimbawa, ang function y=1-½ x Ang ½ ay tuloy-tuloy sa pagitan [-1; +1] ay naiba sa (-1;+1) maliban sa punto x 0 = 0, at f(-1) = f(1) = 0, ibig sabihin. ang kondisyon ng teorama ni Rolle ay nilabag sa isang punto x 0 = 0 (ang function ay hindi naiiba dito). Malinaw, sa walang punto sa graph ng function sa pagitan [-1; 1] ang tangent sa graph ay hindi parallel sa axis 0 x.

Ang teorama ni Rolle ay may ilan kahihinatnan :

1) Kung function f(x) sa segment [ a, b] natutugunan ang teorama ni Rolle, at f(a) = f(b) = 0, pagkatapos ay mayroong kahit isang punto c, a< с < b , ganyan f¢(c) = 0. Yung. sa pagitan ng dalawang zero ng isang function mayroong hindi bababa sa isang punto kung saan ang derivative ng function ay katumbas ng zero.

2) Kung sa itinuturing na pagitan ( a, b) function f(x) may derivative ( n-1) ika-utos at n beses na nawawala, pagkatapos ay mayroong kahit isang punto sa pagitan kung saan ang derivative ( n–1)–Ang ika-utos ay katumbas ng zero.

2. Teorama ni Lagrange. Kung ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa isang segment at naiba sa pagitan (a, b), kung gayon ang agwat na ito ay naglalaman ng hindi bababa sa isang punto c (a< c < b), такая, что .

Nangangahulugan ito na kung ang mga kondisyon ng theorem ay nasiyahan sa ilang pagitan, kung gayon ang ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento sa segment na ito ay katumbas ng halaga ng derivative sa ilang intermediate point.

Ang theorem ni Rolle na isinasaalang-alang sa itaas ay isang espesyal na kaso ng theorem ni Lagrange.

Ang ekspresyon ay tinatawag Ang finite increment formula ni Lagrange.

Ang geometriko na kahulugan ng teorama ni Lagrange.

Hayaang masiyahan ang mga kundisyon ng teorama ni Lagrange, kung gayon ang pormula ni Lagrange para sa mga may hangganang pagdaragdag ay wasto.

Hayaan ang mga puntos A at B, na nakahiga sa function graph, may mga coordinate A (a; f(a)), B (b; f(b)), pagkatapos ay malinaw na ang halaga ng fraction ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng chord AB sa O axis x, ibig sabihin. .

Sa kabilang kamay, f "(c) = tga. Kaya sa punto x= c tangent to function graph y= f(x) parallel sa chord na nag-subtend sa arc ng curve AB. Ito ang geometriko na kahulugan ng teorama ni Lagrange.

3. Teorama ni Cauchy. Kung functions f(x) at g(x) tuloy-tuloy sa segment at naiba sa pagitan (a, b) at g¢(x) ¹ 0 sa anumang punto ng agwat na ito, pagkatapos ay mayroong kahit isang punto c(a< c < b), na ang pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan:

.

Yung. ang ratio ng mga increment ng mga function sa isang partikular na segment ay katumbas ng ratio ng mga derivatives sa punto Sa.

Ang geometriko na kahulugan ng teorama ni Cauchy.

Madaling i-verify na ang geometric na kahulugan ng theorem ni Cauchy ay nag-tutugma sa geometric na kahulugan Mga teorema ni Lagrange.