Pag-squaring ng trinomial. Online na calculator. Pagpapasimple ng polynomial. Pagpaparami ng polynomial

Ang polynomial ay isang algebraic na istraktura na kumakatawan sa kabuuan o pagkakaiba ng mga elemento. Karamihan sa mga yari na formula ay may kinalaman sa mga binomial, ngunit hindi mahirap kumuha ng mga bago para sa mga istrukturang mas mataas ang pagkakasunud-sunod. Maaari kang, halimbawa, magtayo trinomial V parisukat.

Mga tagubilin

Kadalasan, habang ang isang masalimuot na pagpapahayag ay pinasimple, ang pangangailangan ay lumitaw upang bumuo trinomial V parisukat. Walang handa na formula para dito, ngunit may ilang mga pamamaraan. Halimbawa, isipin parisukat trinomial ngunit sa anyo ng isang produkto ng dalawang magkatulad na expression.

Isaalang-alang ang isang halimbawa: itaas sa parisukat trinomial 3 x + 4 x – 8.

Baguhin ang notasyon (3 x + 4 x – 8) sa (3 x + 4 x – 8) (3 x + 4 x – 8) at gamitin ang panuntunan para sa pagpaparami ng polynomial, na binubuo ng sunud-sunod na pagkalkula ng mga produkto. Una, i-multiply ang unang termino ng unang bracket sa bawat termino ng pangalawa, pagkatapos ay gawin ang parehong sa pangalawa at panghuli sa pangatlo: (3 x + 4 x – 8) (3 x + 4 x – 8) = 3 x (3 x + 4 x - 8) + 4 x (3 x + 4 x – 8) – 8 (3 x + 4 x – 8) = 9 x^4 + 12 x – 24 x + 12 x + 16 x – 32 x – 24 x – 32 x + 64 = 9 x^4 + 24 x – 32 x – 64 x + 64.

Maaari kang makarating sa parehong resulta kung maaalala mo iyon bilang resulta ng pagpaparami ng dalawa trinomial Ang natitira ay ang kabuuan ng anim na elemento, tatlo sa mga ito ay parisukat ami ng bawat termino, at ang tatlo pa - ang lahat ng posibleng pairwise na produkto sa dobleng anyo. Ang elementary formula na ito ay ganito lang ang hitsura: (a + b + c) = a + b + c + 2 a b + 2 a c + 2 b c.

Ilapat ito sa iyong halimbawa:(3 x + 4 x - 8) = (3 x + 4 x + (-8)) =(3 x) + (4 x) + (-8) + 2 (3 x) ( 4 x) + 2 (3 x) (-8) + 2 (4 x) (-8) = 9 x^4 + 16 x + 64 + 24 x – 48 x – 64 x = 9 x^4 + 24 x - 32 x - 64 x + 64.

Tulad ng nakikita mo, ang sagot ay pareho, ngunit mas kaunting pagmamanipula ang kinakailangan. Ito ay lalong mahalaga kapag ang mga monomial mismo ay mga kumplikadong istruktura. Ang pamamaraang ito ay naaangkop para sa trinomial ngunit sa anumang antas at anumang bilang ng mga variable.

Lahat ng interesante

Mahahanap mo ang ugat ng isang square trinomial gamit ang discriminant. Bilang karagdagan, para sa pinababang polynomial ng pangalawang degree, ang teorem ng Vieta, batay sa ratio ng mga coefficient, ay nalalapat. Mga Tagubilin 1 Ang mga quadratic equation ay isang medyo malawak na paksa sa...

Paraan ng pagpili buong parisukat binomial mula sa isang quadratic trinomial ay ang batayan ng algorithm para sa paglutas ng mga equation ng pangalawang degree, at ginagamit din upang pasimplehin ang masalimuot na algebraic expression. Mga Tagubilin 1Paraan para sa pagpili ng kumpletong parisukat...

Ang pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan ay isang pinaikling paraan ng pagsulat ng operasyon ng maramihang pagpaparami, kung saan ang lahat ng mga kadahilanan ay katumbas ng orihinal na numero. At ang pagkuha ng ugat ay nangangahulugan ng kabaligtaran na operasyon - pagtukoy sa multiplier na dapat na kasangkot sa ...

Mayroong ilang mga pamamaraan para sa paglutas ng isang quadratic equation, ang pinakakaraniwan ay ang pagkuha ng square ng binomial mula sa trinomial. Ang pamamaraang ito ay humahantong sa pagkalkula ng discriminant at tinitiyak ang sabay-sabay na paghahanap ng parehong mga ugat. Mga Tagubilin 1Algebraic…

Ang "equation" sa matematika ay isang pahayag na naglalaman ng ilang mathematical o algebraic na operasyon at kinakailangang may kasamang pantay na tanda. Gayunpaman, mas madalas ang konseptong ito ay hindi tumutukoy sa pagkakakilanlan sa kabuuan, ngunit sa kaliwang bahagi lamang nito...

Ang paraan ng pag-squaring ng binomial ay ginagamit upang gawing simple ang masalimuot na mga expression, gayundin upang malutas ang mga quadratic equation. Sa pagsasagawa, ito ay karaniwang pinagsama sa iba pang mga diskarte, kabilang ang factorization, pagpapangkat, atbp. Mga Tagubilin ...

Ang matrix ay isang dalawang-dimensional na hanay ng mga numero. Sa ganitong mga array, ang mga ordinaryong aritmetika na operasyon ay ginaganap (pagdaragdag, pagpaparami, pagpapalawak), ngunit ang mga operasyong ito ay binibigyang-kahulugan nang iba kaysa sa pareho sa mga ordinaryong numero. Ito ay magiging mali sa panahon ng pagtatayo...

Upang gumawa ng mga kalkulasyon nang mabilis at mahusay, pasimplehin ang mga mathematical expression. Upang gawin ito, gumamit ng mga mathematical na relasyon upang gawing mas maikli ang expression at pasimplehin ang mga kalkulasyon. Kakailanganin mo - ang konsepto ng isang monomial ng isang polynomial; -...

Ang ilang mga equation ay tila napakakomplikado sa unang tingin. Gayunpaman, kung maiisip mo ito at maglapat ng kaunting mga mathematical trick sa kanila, madali silang malulutas. Mga Tagubilin 1 Upang gawing mas simple ang isang kumplikadong equation, ilapat ang isa sa mga pamamaraan dito...

Sa matematika, ang monomial ay ang pinakasimpleng algebraic expression na binubuo ng mga variable, numero at mga palatandaan na nagsasaad mga operasyong matematikal(pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, atbp.). At isang algebraic expression na kinabibilangan ng ilan sa mga ito...

Kapag nilulutas ang mga problema sa aritmetika at algebra, minsan kailangan mong i-square ang isang fraction. Ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay kapag ang fraction ay isang decimal - sapat na ang isang regular na calculator. Gayunpaman, kung ang fraction ay karaniwan o halo-halong, kung gayon kapag gumagawa ng naturang...

Ang pagtaas ng isang numero sa pangalawang kapangyarihan ay tinatawag na squaring ng isang numero. Sa pangkalahatan, ang pagtaas ng numero sa isang kapangyarihan ay isa sa mga algebraic na operasyon na nagdudulot ng kahirapan sa pag-unawa at pagpapatupad ng mga kalkulasyon. Gayunpaman, ang pangangailangan upang bumuo ...

Kapag nilulutas ang mga problema sa aritmetika at algebraic, kung minsan ay kinakailangan na bumuo maliit na bahagi V parisukat. Ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay kapag maliit na bahagi decimal - sapat na ang isang regular na calculator. Gayunpaman, kung maliit na bahagi ordinaryo o halo-halong, pagkatapos ay kapag itinaas ang naturang numero sa parisukat Ang ilang mga paghihirap ay maaaring lumitaw.

Kakailanganin mong

• calculator, computer, Excel application.

Mga tagubilin

Upang itaas ang isang decimal maliit na bahagi V parisukat, kumuha ng engineering, i-type dito kung ano ang itinatayo parisukat maliit na bahagi at pindutin ang itaas sa pangalawang power key. Sa karamihan ng mga calculator ang button na ito ay may label na "x²". Sa isang karaniwang Windows calculator, ang function ng pagtaas sa parisukat parang "x^2". Halimbawa, parisukat ang decimal fraction 3.14 ay magiging katumbas ng: 3.14² = 9.8596.

Upang bumuo sa parisukat decimal maliit na bahagi sa isang regular (accounting) calculator, i-multiply ang numerong ito sa sarili nitong. Sa pamamagitan ng paraan, ang ilang mga modelo ng mga calculator ay nagbibigay ng kakayahang itaas ang isang numero sa parisukat kahit na sa kawalan ng isang espesyal na pindutan. Samakatuwid, basahin muna ang mga tagubilin para sa iyong partikular na calculator. Minsan ang mga "mapanlinlang" na exponentiation ay ibinibigay sa likod na pabalat o sa calculator. Halimbawa, sa maraming mga calculator, upang itaas ang isang numero sa parisukat Pindutin lamang ang "x" at "=" na mga pindutan.

Para sa pagtatayo sa parisukat karaniwang fraction(binubuo ng numerator at denominator), itaas sa parisukat hiwalay ang numerator at denominator ng fraction na ito. Ibig sabihin, gamitin ang sumusunod na panuntunan: (h / z)² = h² / z², kung saan ang h ang numerator ng fraction, z ang denominator ng fraction. Halimbawa: (3/4)² = 3²/4² = 9 /16.

Kung itinayo sa parisukat maliit na bahagi– halo-halong (binubuo ng isang integer na bahagi at isang ordinaryong fraction), pagkatapos ay bawasan muna ito sa ordinaryong anyo. Ibig sabihin, ilapat ang sumusunod na formula: (c h/z)² = ((c*z+ch) / z)² = (c*z+ch)² / z², kung saan c – buong bahagi mixed fraction. Halimbawa: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Kung nasa parisukat(hindi ) nangyayari ang mga fraction sa lahat ng oras, pagkatapos ay gamitin ang MS Excel. Upang gawin ito, ipasok ang sumusunod na formula sa isa sa mga talahanayan: = DEGREE (A2;2) kung saan ang A2 ay ang address ng cell kung saan ilalagay ang nakataas na halaga. parisukat maliit na bahagi.Upang sabihin sa programa na ang input number ay dapat ituring bilang maliit na bahagi yu (ibig sabihin, huwag i-convert ito sa desimal na anyo), i-type bago maliit na bahagi Mayroon akong numerong "0" at ang karatulang "espasyo". Iyon ay, upang maipasok, halimbawa, ang fraction 2/3, kailangan mong ipasok: "0 2/3" (at pindutin ang Enter). Sa kasong ito, ang decimal na representasyon ng ipinasok na fraction ay ipapakita sa input line. Ang halaga at representasyon ng fraction mismo ay ise-save sa orihinal nitong anyo. Bilang karagdagan, kapag gumagamit ng mga pag-andar ng matematika na ang mga argumento ay mga ordinaryong fraction, ang resulta ay ipapakita rin bilang isang ordinaryong fraction. Kaya naman parisukat ang fraction na 2/3 ay kakatawanin bilang 4/9.

Ang polynomial ay isang algebraic construction na kumakatawan sa kabuuan o pagkakaiba ng mga elemento. Maraming mga yari na formula ang may kinalaman sa mga binomial, ngunit hindi mahirap kumuha ng mga bago para sa mga pagtatayo ng mas mataas na pagkakasunud-sunod. Ito ay pinapayagan, sabihin, upang bumuo trinomial V parisukat .

Mga tagubilin

1. Ang polynomial ay ang pangunahing representasyon para sa paglutas ng mga algebraic equation at kumakatawan sa kapangyarihan, makatwiran, at iba pang mga function. Kasama sa istrukturang ito ang isang paksa na karaniwan sa kurso ng paaralan: parisukat bagong equation.

2. Kadalasan, habang nagiging mas madali ang isang napakalaking pagpapahayag, kailangan itong bumuo trinomial V parisukat. Walang handa na formula para dito, ngunit may ilang mga paraan. Sabihin nating isipin parisukat trinomial at sa anyo ng isang produkto ng 2 magkatulad na expression.

3. Isaalang-alang ang isang halimbawa: build in parisukat trinomial 3 x? + 4 x – 8.

4. Baguhin ang notasyon (3 x? + 4 x – 8)? sa pamamagitan ng (3 x? + 4 x – 8) (3 x? + 4 x – 8) at gamitin ang panuntunan para sa pagpaparami ng polynomial, na binubuo ng sunud-sunod na pagkalkula ng mga produkto. Una, i-multiply ang unang bahagi ng unang bracket sa bawat termino ng ika-2, pagkatapos ay gawin ang parehong sa pangalawa at, sa wakas, sa pangatlo: (3 x? + 4 x – 8) (3 x? + 4 x – 8) = 3 x ? (3 x? + 4 x – 8) + 4 x (3 x? + 4 x – 8) – 8 (3 x? + 4 x – 8) = 9 x^4 + 12 x? – 24 x? + 12 x? + 16 x? – 32 x – 24 x? – 32 x + 64 = 9 x^4 + 24 x? – 32 x? – 64 x + 64.

5. Maaari kang makarating sa parehong resulta kung naaalala mo na ang resulta ng pagpaparami ng 2 trinomial Ang natitira ay ang kabuuan ng anim na elemento, tatlo sa mga ito ay parisukat ami ng bawat termino, at ang tatlo pa - ang lahat ng posibleng pairwise na produkto sa dobleng anyo. Ang elementary formula na ito ay ganito lang ang hitsura: (a + b + c)? = a? +b? +c? + 2 a b + 2 a c + 2 b c.

6. Ilapat ito sa iyong halimbawa: (3 x? + 4 x – 8)? = (3 x? + 4 x + (-8))? =(3 x?)? + (4 x)? + (-8)? + 2 (3 x?) (4 x) + 2 (3 x?) (-8) + 2 (4 x) (-8) = 9 x^4 + 16 x? + 64 + 24 x? – 48 x? – 64 x = 9 x^4 + 24 x? – 32 x? – 64 x + 64.

7. Tulad ng nakikita mo, ang resulta ay pareho, ngunit mas kaunting pagmamanipula ang kinakailangan. Ito ay lalong mahalaga kapag ang mga monomial mismo ay mahirap na mga konstruksyon. Ang pamamaraang ito naaangkop para sa trinomial at bawat antas at bawat bilang ng mga variable.

Kapag nilulutas ang mga problema sa aritmetika at algebraic, paminsan-minsan ay kinakailangan na bumuo maliit na bahagi V parisukat. Mas madali para sa lahat na gawin ito kapag maliit na bahagi Ang decimal ay isang medyo ordinaryong calculator. Gayunpaman, kung maliit na bahagi karaniwan o halo-halong, pagkatapos ay kapag ang naturang numero ay itinaas sa parisukat Ang ilang mga paghihirap ay maaaring lumitaw.

Kakailanganin mong

• calculator, computer, Excel application.

Mga tagubilin

1. Upang bumuo ng isang decimal maliit na bahagi V parisukat, kumuha ng calculator ng engineering, i-type ang halaga na binuo parisukat maliit na bahagi at pindutin ang itaas sa pangalawang power key. Sa karamihan ng mga calculator ang button na ito ay may label na "x?". Sa isang karaniwang Windows calculator, ang function ng pagtaas sa parisukat parang "x^2". Sabihin nating parisukat ang decimal fraction 3.14 ay magiging katumbas ng: 3.14? = 9.8596.

2. Upang bumuo sa parisukat decimal maliit na bahagi sa isang ordinaryong (accounting) calculator, i-multiply ang numerong ito sa sarili nito. Sa pamamagitan ng paraan, ang ilang mga modelo ng mga calculator ay nagbibigay ng posibilidad na itaas ang isang numero sa parisukat kahit na sa kawalan ng isang espesyal na pindutan. Samakatuwid, basahin nang maaga ang mga tagubilin para sa isang partikular na calculator. Paminsan-minsan, ang mga halimbawa ng "mapanlinlang" na exponentiation ay ibinibigay sa likod na pabalat o sa kahon ng calculator. Halimbawa, sa maraming mga calculator upang itaas ang isang numero sa parisukat Pindutin lamang ang "x" at "=" na mga pindutan.

3. Para sa pagtatayo sa parisukat karaniwang fraction(binubuo ng numerator at denominator), itaas sa parisukat hiwalay ang numerator at denominator ng fraction na ito. Ibig sabihin, gamitin ang karagdagang panuntunan: (h/z)? = h? / z?, kung saan h ang numerator ng fraction, z ang denominator ng fraction. Halimbawa: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Kung itinayo sa parisukat maliit na bahagi– halo-halong (binubuo ng isang integer na bahagi at isang ordinaryong fraction), pagkatapos ay dalhin ito sa karaniwan nitong anyo nang maaga. Ibig sabihin, ilapat ang sumusunod na formula: (c h/z)? = ((c*z+h) / z)? = (ts*z+h)? / z?, kung saan ang c ay ang integer na bahagi ng mixed fraction. Halimbawa: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Kung built in parisukat Ang mga regular (hindi decimal) na fraction ay patuloy na idinaragdag, pagkatapos ay gamitin ang MS Excel. Upang gawin ito, ipasok ang sumusunod na formula sa isa sa mga cell ng talahanayan: = DEGREE(A2;2) kung saan ang A2 ay ang address ng cell kung saan ilalagay ang nakataas na halaga. parisukat maliit na bahagi.Upang ipaalam sa programa na ang ipinasok na numero ay dapat ituring na ordinaryo maliit na bahagi yu (i.e. huwag i-convert ito sa decimal), i-type bago maliit na bahagi Mayroon akong numerong "0" at ang karatulang "espasyo". Iyon ay, upang maipasok, sabihin, ang fraction 2/3, kailangan mong ipasok: "0 2/3" (at pindutin ang Enter). Sa kasong ito, ang decimal na representasyon ng ipinasok na fraction ay ipapakita sa input line. Ang kahulugan at representasyon ng fraction ay pananatilihin sa orihinal nitong anyo sa cell. Bilang karagdagan, kapag gumagamit ng mga pag-andar ng matematika na ang mga argumento ay mga ordinaryong fraction, ang resulta ay ipapakita rin bilang isang ordinaryong fraction. Dahil dito parisukat ang fraction na 2/3 ay kakatawanin bilang 4/9.

Ang mga matematikal na palaisipan ay kung minsan ay kaakit-akit na gusto mong matutunan kung paano likhain ang mga ito, at hindi lamang lutasin ang mga ito. Marahil ang pinaka kapana-panabik na bagay para sa mga nagsisimula ay ang lumikha ng isang magic square, isa na isang parisukat na may mga gilid na sukat nxn, kung saan ang mga tunay na numero mula 1 hanggang n2 ay nakasulat upang ang kabuuan ng mga numero sa kahabaan ng pahalang, patayo at dayagonal na mga linya ng ang parisukat ay magkapareho at katumbas ng isang numero.

Mga tagubilin

1. Bago gawin ang iyong square, unawain na walang second-order magic squares. Mayroon lamang talagang isang third-order na magic square; ang iba pang mga derivatives nito ay nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot o pagpapakita ng pangunahing parisukat sa kahabaan ng axis ng symmetry. Kung mas malaki ang order, mas malaki ang bilang ng mga tinatanggap na magic square ng order na iyon.

2. Alamin ang mga pangunahing kaalaman sa pagtatayo. Ang mga patakaran para sa pagbuo ng iba't ibang mga magic square ay nahahati sa tatlong pangkat ayon sa pagkakasunud-sunod ng parisukat, ibig sabihin, maaari itong maging kakaiba, katumbas ng doble o apat na beses ng isang kakaibang numero. Sa kasalukuyan ay walang unibersal na pamamaraan para sa pagbuo ng lahat ng mga parisukat, kahit na ang iba't ibang mga scheme ay malawakang ginagamit.

3. Samantalahin programa sa kompyuter. I-download ang kinakailangang aplikasyon at ipasok ang nais na mga halaga ng parisukat (2-3), ang programa mismo ay bumubuo ng mga kinakailangang digital na kumbinasyon.

4. Buuin ang parisukat nang nakapag-iisa. Kumuha ng n x n matrix, sa loob kung saan bumuo ng stepped rhombus. Sa loob nito, punan ang lahat ng mga parisukat sa kaliwa at pataas sa bawat dayagonal na may pagkakasunod-sunod ng mga kakaibang numero.

5. Tukuyin ang halaga ng gitnang cell O. Sa mga sulok ng magic square, ilagay ang mga sumusunod na numero: ang kanang itaas na cell ay O-1, ang kaliwang cell sa ibaba ay O+1, ang kanang ibabang cell ay O-n, at ang itaas ang kaliwang cell ay O+n. Punan ang mga walang laman na cell sa mga tatsulok ng sulok gamit ang mga primitive na panuntunan: sa mga hilera mula kaliwa hanggang kanan ang mga numero ay tumaas ng n + 1, at sa mga haligi mula sa itaas hanggang sa ibaba ang mga numero ay tumaas ng n-1.

6. Posibleng mahanap ang lahat ng mga parisukat na may pagkakasunud-sunod na katumbas ng n para lamang sa n\le 4; samakatuwid, ang mga hiwalay na pamamaraan para sa paggawa ng mga magic square na may n > 4 ay kawili-wili. Mas madali para sa lahat na kalkulahin ang disenyo ng gayong parisukat na kakaiba utos. Gumamit ng isang espesyal na formula kung saan kailangan mo lamang ilagay ang kinakailangang data upang makuha ang nais na resulta. Sabihin natin ang pare-pareho ng isang parisukat na itinayo ayon sa diagram sa Fig. 1, ay kinakalkula ng formula: S = 6a1 +105b, kung saan ang a1 ay ang 1st term ng progression, b ay ang pagkakaiba ng progression.

7. Para sa parisukat na ipinapakita sa Fig. 2, formula: S = 6*1 + 105*2 = 216

8. Bilang karagdagan, may mga algorithm para sa pagbuo ng mga pandiagonal na parisukat at perpektong mga magic square. Gumamit ng mga espesyal na programa para sa pagbuo ng mga modelong ito.

Tandaan!
Ang magic, o mahiwagang, mga parisukat ay nakakaakit ng mga mathematician mula pa noong sinaunang panahon, ngunit hanggang ngayon ay walang pagtatanghal ng lahat ng tinatanggap na mga parisukat. Ang pinakamagaan na magic square, ayon sa isang sinaunang alamat ng Tsino, ay inilalarawan sa likod ng isang malaking sagradong pagong.

Ang "equation" sa matematika ay isang talaan na naglalaman ng ilang mathematical o algebraic na operasyon at tiyak na may kasamang equal sign. Gayunpaman, mas madalas ang representasyong ito ay hindi tumutukoy sa pagkakakilanlan sa kabuuan, ngunit sa kaliwang bahagi lamang nito. Dahil dito, ang gawain ng pagtatayo mga equation V parisukat Sa halip, dapat gamitin ng lahat ang operasyong ito sa monomial o polynomial sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay.

Mga tagubilin

1. Multiply ang equation sa pamamagitan ng kanyang sarili - ito ang operasyon ng pagtaas sa pangalawang kapangyarihan, iyon ay, sa parisukat. Kung ang paunang expression ay naglalaman ng mga variable sa anumang antas, dapat na doble ang exponent. Sabihin nating (4*x?)? = (4*x?)*(4*x?) = 16*x?. Kung hindi posible na i-multiply ang mga numerical indicator na nasa equation sa iyong ulo, pagkatapos ay gumamit ng calculator, isang online na calculator, o gawin ito sa papel, "sa isang column."

2. Kung ang paunang expression ay naglalaman ng ilang idinagdag o ibinawas na mga variable na may mga numerical exponents (iyon ay, ito ay isang polynomial), kung gayon ang pagpaparami ng operasyon ay kailangang isagawa ayon sa naaangkop na mga panuntunan. Nangangahulugan ito na dapat mong i-multiply ang buong termino mga equation- multiplicable sa buong termino mga equation-factor, at pagkatapos ay gawing simple ang resultang expression. Ang katotohanan na sa iyong kaso pareho mga equation magkapareho, hindi nagbabago ng anuman sa panuntunang ito. Sabihin nating, kung ikaw ay bumuo sa parisukat ang equation na x?+4-3*x ay kinakailangan, pagkatapos ang buong operasyon ay maaaring isulat sa form na ito: (x?+4-3*x)? = (x?+4-3*x)*(x?+4-3*x) = x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x?. Ang resultang expression ay dapat na pasimplehin at, kung pinahihintulutan, ang mga power terms ay dapat ayusin sa pababang pagkakasunud-sunod ng exponent: x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x? = x? – 6*x? + 25*x? – 24*x + 16.

3. Mga formula para sa pagtaas sa parisukat Mas mainam na isaulo ang ilang partikular na madalas na nakakaharap na mga expression sa pamamagitan ng puso. Sa paaralan sila ay karaniwang kasama sa isang listahan na tinatawag na "pinaikling mga formula ng pagpaparami." Kabilang dito, sa partikular, ang mga formula para sa pagtaas ng kabuuan ng 2 variable (x+y) sa pangalawang kapangyarihan? = x?+2*x*y+y?, ang kanilang mga pagkakaiba (x-y)? = x?-2*x*y+y?, kabuuan ng 3 termino (x+y+z)? = x?+y?+z?+2*x*y+2*y*z+2*x*z at ang pagkakaiba ng 3 termino (x-y-z)? = x?+y?+z?-2*x*y+2*x*y-2*z.

Video sa paksa

Ang paraan ng pag-squaring ng binomial ay ginagamit upang pasimplehin ang napakalaking expression, gayundin upang malutas ang mga quadratic equation. Sa pagsasagawa, ito ay karaniwang pinagsama sa iba pang mga diskarte, kabilang ang factorization, pagpapangkat, atbp.

Mga tagubilin

1. Ang pamamaraan para sa paghihiwalay ng kumpletong parisukat ng isang binomial ay batay sa paggamit ng 2 formula para sa pinaikling multiplikasyon ng mga polynomial. Ang mga formula na ito ay mga espesyal na kaso ng Newton's Binomial para sa 2nd degree at nagbibigay-daan sa amin na pasimplehin ang nais na expression upang posible na magsagawa ng karagdagang pagbabawas o factorization: (m + n)² = m² + 2 m n + n²;(m – n)² = m² – 2·m·n + n².

2. Ayon sa pamamaraang ito, mula sa paunang polynomial ito ay kinakailangan upang piliin ang mga parisukat ng 2 monomials at ang kanilang kabuuan / pagkakaiba dobleng produkto. Ang paggamit ng paraang ito ay may katuturan kung ang pinakamataas na antas ng mga termino ay hindi bababa sa 2. Isipin, binibigyan ka ng gawain ng pagsasaliksik sa sumusunod na expression sa mga salik na bumababa sa antas: 4 y^4 + z^4

3. Upang malutas ang problema, kailangan mong gamitin ang paraan ng paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat. Lumalabas na ang expression ay binubuo ng 2 monomials na may mga variable na kahit na degree. Dahil dito, posibleng tukuyin ang bawat isa sa kanila ng m at n: m = 2·y²; n = z².

4. Ngayon kailangan nating bawasan ang paunang pagpapahayag sa anyo (m + n)². Naglalaman na ito ng mga parisukat ng mga terminong ito, ngunit kulang ang dobleng produkto. Kailangan mong idagdag ito nang hindi natural at pagkatapos ay ibawas ito: (2 y²)² + 2 2 y² z² + (z²)² – 2 2 y² z² = (2 y² + z²)² – 4 y² z².

5. Sa resultang expression makikita mo ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat: (2 y² + z²)² – (2 y z)² = (2 y² + z² – 2 y z) (2 y² + z² + 2 y z).

6. Ito ay lumiliko na ang pamamaraan ay binubuo ng 2 yugto: paghihiwalay ng mga monomial ng isang perpektong square m at n, pagdaragdag at pagbabawas ng kanilang dobleng produkto. Ang paraan ng paghihiwalay ng kumpletong parisukat ng isang binomial ay maaaring gamitin hindi lamang nang nakapag-iisa, kundi pati na rin sa kumbinasyon ng iba pang mga pamamaraan: pag-alis ng unibersal na kadahilanan mula sa mga bracket, pagpapalit ng isang variable, pagpapangkat ng mga termino, atbp.

7. Halimbawa 2. Piliin ang perpektong parisukat sa expression: 4 y² + 2 y z + z² Solusyon: 4 y² + 2 y z + z² = = (2 y)² + 2 2 y z + (z)² – 2·y·z = (2·y + z)² – 2·y·z.

8. Ang pamamaraan ay ginagamit upang mahanap ang mga ugat ng isang quadratic equation. Ang kaliwang bahagi ng equation ay isang trinomial ng anyong a·y? + b·y + c, kung saan ang a, b at c ay ilang mga numero, at a ? 0. a·y? + b y + c = a (y? + (b/a) y) + c = a (y? + 2 (b/(2 a)) y) + c = a ( y? + 2 (b/(2) a)) y + b?/(4 a?)) + c – b?/(4 a) = a (y + b/(2 a )) ? – (b? – 4 a c)/(4 a).

9. Ang mga kalkulasyong ito ay humahantong sa representasyon ng discriminant, na katumbas ng (b? – 4·a·c)/(4·a), at ang mga ugat ng equation ay katumbas ng: y_1,2 = ±(b/( 2 a)) ± ? ((b? – 4 a c)/(4 a)).

Mayroong ilang mga solusyon parisukat equation, lalo na ang kilalang isa - pumili mula sa trinomial parisukat ng binomial. Ang pamamaraang ito ay humahantong sa pagkalkula ng discriminant at tinitiyak ang sabay-sabay na paghahanap para sa parehong mga ugat.

Mga tagubilin

1. Algebraic equation Ang 2nd degree ay tinatawag na square. Klasikong hugis ang kaliwang bahagi ng equation na ito ay ang polynomial a x? + b x + c. Upang makuha ang formula para sa solusyon, kailangan mong ihiwalay mula sa trinomial parisukat ng binomial. Magagawa ito sa dalawang paraan. Maglipat ng libreng miyembro mula sa kanang bahagi may minus sign:a x? + b x = -c.

2. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 4 a:4 a? x? + 4 a b x = -4 a c.

3. Idagdag ang expression na b?:4 a? x? + 4 a b x + b? = -4 a c + b?.

4. Tila, sa kaliwa ay ang pinalawak na anyo ng isang parisukat na binomial na binubuo ng mga terminong 2 a x at b. Tiklupin ang ibinigay na trinomial sa isang perpektong parisukat: (2 a x + b)? = b? – 4 a.c. 2 a x + b = ±?(b? – 4 a c)

5. Mula sa: x1,2 = (-b ± ?(b? – 4 a c))/2 a. Ang pagkakaiba sa ilalim ng root sign ay tinatawag na discriminant, at ang formula ay kilala sa paglutas ng mga katulad na equation.

6. Ang ika-2 paraan ay nagsasangkot ng paghihiwalay ng dobleng produkto ng mga elemento mula sa isang monomial ng unang antas. Yung. kailangan mong matukoy mula sa terminong b x kung aling mga salik ang maaaring gamitin para sa isang kumpletong parisukat. Ang pamamaraang ito Mas mainam na makita ito sa halimbawa: x? + 4 x + 13 = 0

7. Tingnan ang monomial 4 x. Tila, maaari itong katawanin sa anyo 2 (2 x), i.e. doblehin ang produkto ng x at 2. Dahil dito, kinakailangang ihiwalay ang parisukat ng kabuuan (x + 2). Upang makumpleto ang larawan, ang termino 4 ay nawawala, na maaaring kunin mula sa libreng termino: x? + 4 x + 4 – 9 ? (x + 2)? = 9

8. Kunin ang square root: x + 2 = ±3 ? x1 = 1; x2 = -5.

9. Ang paraan ng paghihiwalay ng parisukat ng isang binomial ay malawakang ginagamit upang pasimplehin ang napakalaking algebraic na expression kasama ng iba pang mga pamamaraan: pagpapangkat, pagpapalit ng variable, paglalagay ng unibersal na salik sa labas ng mga bracket, atbp. Ang perpektong parisukat ay isa sa mga pinaikling pormula ng pagpaparami at isang espesyal na kaso ng binomial ng Newton.

Square trinomial ay tinatawag na trinomial ng anyong a*x 2 +b*x+c, kung saan ang a,b,c ay ilang mga arbitrary na tunay na numero, at ang x ay isang variable. Bukod dito, ang numero a ay hindi dapat katumbas ng zero.

Ang mga numerong a,b,c ay tinatawag na coefficients. Ang bilang a ay tinatawag na nangungunang koepisyent, ang bilang b ay ang koepisyent ng x, at ang bilang c ay tinatawag na libreng termino.

Root ng isang square trinomial Ang a*x 2 +b*x+c ay anumang halaga ng variable x na ang parisukat na trinomial a*x 2 +b*x+c ay naglalaho.

Upang mahanap ang mga ugat ng isang quadratic trinomial ito ay kinakailangan upang malutas quadratic equation ng anyong a*x 2 +b*x+c=0.

Paano mahanap ang mga ugat ng isang quadratic trinomial

Upang malutas ito, maaari mong gamitin ang isa sa mga kilalang pamamaraan.

• 1 paraan.

Paghahanap ng mga ugat ng isang square trinomial gamit ang formula.

1. Hanapin ang halaga ng discriminant gamit ang formula D =b 2 -4*a*c.

2. Depende sa halaga ng discriminant, kalkulahin ang mga ugat gamit ang mga formula:

Kung D > 0, pagkatapos ang square trinomial ay may dalawang ugat.

x = -b±√D / 2*a

Kung si D< 0, pagkatapos ang square trinomial ay may isang ugat.

Kung negatibo ang discriminant, walang mga ugat ang quadratic trinomial.

• Paraan 2.

Paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic trinomial sa pamamagitan ng paghihiwalay ng perpektong parisukat. Tingnan natin ang halimbawa ng ibinigay na quadratic trinomial. Isang pinababang quadratic equation na ang nangungunang coefficient ay katumbas ng isa.

Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic trinomial x 2 +2*x-3. Upang gawin ito, lutasin namin ang sumusunod na quadratic equation: x 2 +2*x-3=0;

Ibahin natin ang equation na ito:

Sa kaliwang bahagi ng equation ay mayroong polynomial x 2 +2*x, upang mairepresenta ito bilang isang parisukat ng kabuuan na kailangan natin doon upang magkaroon ng isa pang koepisyent na katumbas ng 1. Idagdag at ibawas ang 1 mula sa expression na ito, nakukuha natin :

(x 2 +2*x+1) -1=3

Ano ang maaaring ilarawan sa panaklong bilang parisukat ng isang binomial

Ang equation na ito ay nahahati sa dalawang kaso: alinman sa x+1=2 o x+1=-2.

Sa unang kaso, nakuha namin ang sagot x=1, at sa pangalawa, x=-3.

Sagot: x=1, x=-3.

Bilang resulta ng mga pagbabago, kailangan nating makuha ang parisukat ng binomial sa kaliwang bahagi, at isang tiyak na numero sa kanang bahagi. Ang kanang bahagi ay hindi dapat maglaman ng variable.

Kabilang sa iba't ibang mga expression na isinasaalang-alang sa algebra, ang mga kabuuan ng monomial ay sumasakop sa isang mahalagang lugar. Narito ang mga halimbawa ng gayong mga ekspresyon:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Ang kabuuan ng monomials ay tinatawag na polynomial. Ang mga termino sa isang polynomial ay tinatawag na mga termino ng polynomial. Ang mga monomial ay inuri rin bilang mga polynomial, na isinasaalang-alang ang isang monomial na isang polynomial na binubuo ng isang miyembro.

Halimbawa, isang polynomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
maaaring gawing simple.

Katawanin natin ang lahat ng termino sa anyo ng mga monomial karaniwang view:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Ipakita natin ang mga katulad na termino sa nagresultang polynomial:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Ang resulta ay isang polynomial, ang lahat ng mga termino ay monomials ng karaniwang anyo, at kasama ng mga ito ay walang mga katulad. Ang ganitong mga polynomial ay tinatawag polynomial ng karaniwang anyo.

Sa likod antas ng polynomial ng isang karaniwang anyo ang pinakamataas sa mga kapangyarihan ng mga miyembro nito. Kaya, ang binomial na \(12a^2b - 7b\) ay may ikatlong antas, at ang trinomial na \(2b^2 -7b + 6\) ay may pangalawa.

Karaniwan, ang mga tuntunin ng mga karaniwang anyo na polynomial na naglalaman ng isang variable ay nakaayos sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga exponent. Halimbawa:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Ang kabuuan ng ilang polynomial ay maaaring mabago (pinasimple) sa isang polynomial ng karaniwang anyo.

Minsan ang mga termino ng isang polynomial ay kailangang hatiin sa mga pangkat, na nakapaloob sa bawat pangkat sa mga panaklong. Dahil ang kalakip na mga panaklong ay ang kabaligtaran na pagbabago ng pambungad na mga panaklong, madali itong bumalangkas Mga panuntunan para sa pagbubukas ng mga bracket:

Kung ang isang “+” na karatula ay inilagay sa harap ng mga bracket, kung gayon ang mga terminong nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may parehong mga palatandaan.

Kung ang isang "-" na palatandaan ay inilagay sa harap ng mga bracket, pagkatapos ay ang mga termino na nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may kabaligtaran na mga palatandaan.

Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng isang monomial at isang polynomial

Gamit ang distributive property ng multiplication, maaari mong baguhin (pasimplehin) ang produkto ng isang monomial at isang polynomial sa isang polynomial. Halimbawa:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Ang produkto ng isang monomial at isang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng monomial na ito at bawat isa sa mga termino ng polynomial.

Ang resultang ito ay kadalasang binabalangkas bilang panuntunan.

Upang i-multiply ang isang monomial sa isang polynomial, dapat mong i-multiply ang monomial na iyon sa bawat isa sa mga tuntunin ng polynomial.

Nagamit na namin ang panuntunang ito nang ilang beses upang i-multiply sa isang kabuuan.

Produkto ng polynomials. Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng dalawang polynomial

Sa pangkalahatan, ang produkto ng dalawang polynomial ay magkapareho sa kabuuan ng produkto ng bawat termino ng isang polynomial at bawat termino ng isa.

Karaniwan ang sumusunod na tuntunin ay ginagamit.

Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa at idagdag ang mga resultang produkto.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Pagsusuma ng mga parisukat, pagkakaiba at pagkakaiba ng mga parisukat

Kailangan mong harapin ang ilang mga expression sa algebraic transformations nang mas madalas kaysa sa iba. Marahil ang pinakakaraniwang mga expression ay \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) at \(a^2 - b^2 \), ibig sabihin, ang parisukat ng kabuuan, ang parisukat ng ang pagkakaiba at pagkakaiba ng mga parisukat. Napansin mo na ang mga pangalan ng mga expression na ito ay tila hindi kumpleto, halimbawa, \((a + b)^2 \) ay, siyempre, hindi lamang ang parisukat ng kabuuan, ngunit ang parisukat ng kabuuan ng a at b . Gayunpaman, ang parisukat ng kabuuan ng a at b ay hindi nangyayari nang madalas; bilang isang panuntunan, sa halip na mga titik a at b, naglalaman ito ng iba't ibang, minsan medyo kumplikado, mga expression.

Ang mga expression na \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ay madaling ma-convert (pinasimple) sa mga polynomial ng karaniwang anyo; sa katunayan, naranasan mo na ang gawaing ito kapag nagpaparami ng mga polynomial:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Kapaki-pakinabang na tandaan ang mga resultang pagkakakilanlan at ilapat ang mga ito nang walang mga intermediate na kalkulasyon. Ang mga maikling pormulasyon sa salita ay nakakatulong dito.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - parisukat ng kabuuan katumbas ng kabuuan parisukat at doblehin ang produkto.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ang parisukat ng pagkakaiba ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na walang nadobleng produkto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ang pagkakaiba ng mga parisukat ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan.

Ang tatlong pagkakakilanlan na ito ay nagpapahintulot sa isa na palitan ang kaliwang bahagi nito ng mga kanang kamay sa mga pagbabagong-anyo at vice versa - kanang bahagi ng kaliwang kamay. Ang pinakamahirap na bagay ay ang makita ang kaukulang mga expression at maunawaan kung paano pinapalitan ang mga variable na a at b sa kanila. Tingnan natin ang ilang halimbawa ng paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.