Paano putulin ang square root. Paano hatiin ang mga square root

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Oras na para i-disassemble mga paraan ng pagkuha ng ugat. Ang mga ito ay batay sa mga katangian ng mga ugat, sa partikular, sa pagkakapantay-pantay, na wasto para sa anumang hindi negatibong numero b.

Sa ibaba ay isasaalang-alang natin ang mga pangunahing pamamaraan ng pagkuha ng mga ugat.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso - ang pagkuha ng mga ugat mula sa mga natural na numero gamit ang isang talahanayan ng mga parisukat, isang talahanayan ng mga cube, atbp.

Kung ang mga talahanayan ng mga parisukat, cube, atbp. ay wala sa kamay, ito ay lohikal na gamitin ang paraan ng pagkuha ng ugat, na kung saan ay nagsasangkot ng decomposing ang root number sa simpleng mga kadahilanan.

Hiwalay, ito ay nagkakahalaga ng tirahan, na posible para sa mga ugat na may kakaibang exponents.

Panghuli, isaalang-alang ang isang paraan na nagbibigay-daan sa iyong hanapin nang sunud-sunod ang mga digit ng halaga ng ugat.

Magsimula na tayo.

Gamit ang isang talahanayan ng mga parisukat, isang talahanayan ng mga cube, atbp.

Sa pinakasimpleng mga kaso, pinapayagan ng mga talahanayan ng mga parisukat, cube, atbp. ang pagkuha ng mga ugat. Ano ang mga talahanayan na ito?

Ang talahanayan ng mga parisukat ng mga integer mula 0 hanggang 99 kasama (ipinapakita sa ibaba) ay binubuo ng dalawang zone. Ang unang zone ng talahanayan ay matatagpuan sa isang kulay-abo na background; sa pamamagitan ng pagpili ng isang tiyak na hilera at isang tiyak na haligi, pinapayagan kang gumawa ng isang numero mula 0 hanggang 99. Halimbawa, pumili tayo ng isang hilera ng 8 sampu at isang haligi ng 3 mga yunit, kasama nito naayos namin ang bilang na 83. Ang pangalawang zone ay sumasakop sa natitirang bahagi ng talahanayan. Ang bawat isa sa mga cell nito ay matatagpuan sa intersection ng isang tiyak na hilera at isang tiyak na haligi, at naglalaman ng parisukat ng kaukulang numero mula 0 hanggang 99 . Sa intersection ng aming napiling hilera ng 8 tens at column 3 ng isa, mayroong isang cell na may numerong 6889, na siyang parisukat ng numerong 83.

Ang mga talahanayan ng mga cube, mga talahanayan ng ika-apat na kapangyarihan ng mga numero mula 0 hanggang 99 at iba pa ay katulad ng talahanayan ng mga parisukat, tanging ang mga ito ay naglalaman ng mga cube, ikaapat na kapangyarihan, atbp. sa pangalawang zone. kaukulang mga numero.

Mga talahanayan ng mga parisukat, cube, ikaapat na kapangyarihan, atbp. pinapayagan kang mag-extract ng square roots, cube roots, fourth roots, atbp. ayon sa pagkakabanggit mula sa mga numero sa mga talahanayang ito. Ipaliwanag natin ang prinsipyo ng kanilang aplikasyon sa pagkuha ng mga ugat.

Sabihin nating kailangan nating kunin ang ugat ng nth degree mula sa numero a, habang ang numero a ay nakapaloob sa talahanayan ng nth degree. Ayon sa talahanayang ito, nakita natin ang bilang b na ang a=b n . Pagkatapos , samakatuwid, ang bilang b ang magiging ninanais na ugat ng nth degree.

Bilang halimbawa, ipakita natin kung paano kinukuha ang cube root ng 19683 gamit ang cube table. Nahanap namin ang numerong 19 683 sa talahanayan ng mga cube, mula dito nalaman namin na ang numerong ito ay isang kubo ng numero 27, samakatuwid, .

Malinaw na ang mga talahanayan ng n-th degrees ay napaka-maginhawa kapag kumukuha ng mga ugat. Gayunpaman, ang mga ito ay madalas na wala sa kamay, at ang kanilang compilation ay nangangailangan ng isang tiyak na tagal ng oras. Bukod dito, madalas na kinakailangan upang kunin ang mga ugat mula sa mga numero na hindi nakapaloob sa kaukulang mga talahanayan. Sa mga kasong ito, kailangang gumamit ng iba pang paraan ng pagkuha ng mga ugat.

Decomposition ng root number sa prime factor

Ang isang medyo maginhawang paraan upang kunin ang ugat mula sa isang natural na numero (kung, siyempre, ang ugat ay nakuha) ay upang mabulok ang root number sa mga pangunahing kadahilanan. Ang kanyang ang kakanyahan ay ang mga sumusunod: pagkatapos ay medyo madaling irepresenta ito bilang isang degree na may nais na tagapagpahiwatig, na nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang halaga ng ugat. Ipaliwanag natin ang puntong ito.

Hayaang makuha ang ugat ng ika-n degree mula sa natural na bilang a, at ang halaga nito ay katumbas ng b. Sa kasong ito, ang pagkakapantay-pantay a=b n ay totoo. Bilang b bilang anuman natural na numero ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng lahat ng mga pangunahing kadahilanan nito p 1 , p 2 , ..., p m sa anyo p 1 p 2 ... p m , at ang root number a sa kasong ito ay kinakatawan bilang (p 1 p 2 ... p m) n. Dahil ang pagkabulok ng numero sa prime factor ay natatangi, ang agnas ng root number a sa prime factor ay magmumukhang (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , na ginagawang posible na kalkulahin ang halaga ng ugat bilang .

Tandaan na kung ang factorization ng root number a ay hindi maaaring katawanin sa anyo (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , kung gayon ang ugat ng nth degree mula sa naturang numero a ay hindi ganap na nakuha.

Ating harapin ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Halimbawa.

Kunin ang square root ng 144 .

Solusyon.

Kung babalik tayo sa talahanayan ng mga parisukat na ibinigay sa nakaraang talata, malinaw na makikita na 144=12 2 , kung saan malinaw na ang square root ng 144 ay 12 .

Ngunit sa liwanag ng puntong ito, kami ay interesado sa kung paano ang ugat ay nakuha sa pamamagitan ng decomposing ang root number 144 sa prime kadahilanan. Tingnan natin ang solusyong ito.

Mag-decompose tayo 144 hanggang sa pangunahing mga kadahilanan:

Ibig sabihin, 144=2 2 2 2 3 3 . Batay sa nagresultang pagkabulok, ang mga sumusunod na pagbabago ay maaaring isagawa: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Kaya naman, .

Gamit ang mga katangian ng antas at pag-aari ng mga ugat, ang solusyon ay maaaring mabuo nang medyo naiiba: .

Sagot:

Upang pagsama-samahin ang materyal, isaalang-alang ang mga solusyon ng dalawa pang halimbawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang root value.

Solusyon.

Ang prime factorization ng root number 243 ay 243=3 5 . kaya, .

Sagot:

Halimbawa.

Ang halaga ba ng ugat ay isang integer?

Solusyon.

Upang masagot ang tanong na ito, i-decompose natin ang root number sa mga prime factor at tingnan kung maaari itong katawanin bilang isang cube ng isang integer.

Mayroon kaming 285 768=2 3 3 6 7 2 . Ang resultang agnas ay hindi kinakatawan bilang isang cube ng isang integer, dahil ang degree pangunahing salik Ang 7 ay hindi multiple ng tatlo. Samakatuwid, ang cube root ng 285,768 ay hindi ganap na kinuha.

Sagot:

Hindi.

Pagkuha ng mga ugat mula sa mga fractional na numero

Panahon na upang malaman kung paano kinukuha ang ugat mula sa isang fractional number. Hayaang isulat ang fractional root number bilang p/q . Ayon sa pag-aari ng ugat ng quotient, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod tuntunin sa ugat ng fraction: Ang ugat ng isang fraction ay katumbas ng quotient ng paghahati ng ugat ng numerator sa ugat ng denominator.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkuha ng ugat mula sa isang fraction.

Halimbawa.

Ano ang square root ng karaniwang fraction 25/169 .

Solusyon.

Ayon sa talahanayan ng mga parisukat, nakita namin na ang square root ng numerator ng orihinal na fraction ay 5, at ang square root ng denominator ay 13. Pagkatapos . Kinukumpleto nito ang pagkuha ng ugat mula sa ordinaryong fraction 25/169.

Sagot:

Ang ugat ng isang decimal fraction o isang mixed number ay kinukuha pagkatapos palitan ang root number ng mga ordinaryong fraction.

Halimbawa.

Kunin ang cube root ng decimal na 474.552.

Solusyon.

Isipin ang orihinal decimal sa anyo ng isang ordinaryong fraction: 474.552=474552/1000. Pagkatapos . Nananatili itong kunin ang mga ugat ng kubo na nasa numerator at denominator ng resultang fraction. kasi 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 at 1 000=10 3 , pagkatapos At . Ito ay nananatiling lamang upang makumpleto ang mga kalkulasyon .

Sagot:

.

Pag-extract ng ugat ng isang negatibong numero

Hiwalay, ito ay nagkakahalaga ng paninirahan sa pagkuha ng mga ugat mula sa mga negatibong numero. Kapag nag-aaral ng mga ugat, sinabi namin na kapag ang exponent ng ugat ay isang kakaibang numero, kung gayon ang isang negatibong numero ay maaaring nasa ilalim ng tanda ng ugat. Ibinigay namin ang gayong mga notasyon ng sumusunod na kahulugan: para sa isang negatibong numero −a at isang kakaibang exponent ng ugat 2 n−1, mayroon kaming . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagbibigay panuntunan para sa pagkuha ng mga kakaibang ugat mula sa mga negatibong numero: upang kunin ang ugat ng negatibong numero, kailangan mong kunin ang ugat ng kabaligtaran na positibong numero, at maglagay ng minus sign sa harap ng resulta.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawang solusyon.

Halimbawa.

Hanapin ang root value.

Solusyon.

Binabago namin ang orihinal na expression upang sa ilalim ng tanda ng ugat ay lumabas ito positibong numero: . Ngayon halo-halong numero palitan ng ordinaryong fraction: . Inilapat namin ang panuntunan ng pagkuha ng ugat mula sa isang ordinaryong fraction: . Ito ay nananatiling kalkulahin ang mga ugat sa numerator at denominator ng resultang fraction: .

Dalhin natin maikling tala mga solusyon: .

Sagot:

.

Bitwise na Paghahanap ng Root Value

Sa pangkalahatang kaso, sa ilalim ng ugat mayroong isang numero na, gamit ang mga diskarteng tinalakay sa itaas, ay hindi maaaring katawanin bilang ika-n na kapangyarihan ng anumang numero. Ngunit sa parehong oras, mayroong isang pangangailangan upang malaman ang halaga ng isang ibinigay na ugat, hindi bababa sa hanggang sa isang tiyak na tanda. Sa kasong ito, upang kunin ang ugat, maaari kang gumamit ng isang algorithm na nagbibigay-daan sa iyong patuloy na makakuha ng sapat na bilang ng mga halaga ng mga digit ng nais na numero.

Ang unang hakbang ng algorithm na ito ay upang malaman kung ano ang pinakamahalagang bit ng root value. Upang gawin ito, ang mga numerong 0, 10, 100, ... ay sunud-sunod na itinataas sa power n hanggang sa makuha ang isang numerong lumampas sa root number. Pagkatapos ay ang numero na itinaas namin sa kapangyarihan ng n sa nakaraang hakbang ay magsasaad ng kaukulang mataas na pagkakasunud-sunod.

Halimbawa, isaalang-alang ang hakbang na ito ng algorithm kapag kumukuha parisukat na ugat sa lima. Kinukuha namin ang mga numerong 0, 10, 100, ... at kuwadrado ang mga ito hanggang sa makakuha kami ng numerong mas malaki sa 5 . Mayroon kaming 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , na nangangahulugan na ang pinakamahalagang digit ay ang digit ng mga yunit. Ang halaga ng bit na ito, pati na rin ang mga mas mababa, ay makikita sa mga susunod na hakbang ng root extraction algorithm.

Ang lahat ng mga sumusunod na hakbang ng algorithm ay naglalayong sa sunud-sunod na pagpipino ng halaga ng ugat dahil sa ang katunayan na ang mga halaga ng susunod na mga digit ng nais na halaga ng ugat ay matatagpuan, simula sa pinakamataas at paglipat sa pinakamababa . Halimbawa, ang halaga ng ugat sa unang hakbang ay 2 , sa pangalawa - 2.2 , sa pangatlo - 2.23 , at iba pa 2.236067977 ... . Ilarawan natin kung paano matatagpuan ang mga halaga ng mga bit.

Ang paghahanap ng mga bit ay isinasagawa sa pamamagitan ng enumeration ng kanilang mga posibleng halaga 0, 1, 2, ..., 9 . Sa kasong ito, ang ika-n na kapangyarihan ng mga kaukulang numero ay kinakalkula nang magkatulad, at inihahambing ang mga ito sa root number. Kung sa ilang yugto ang halaga ng degree ay lumampas sa radikal na numero, kung gayon ang halaga ng digit na tumutugma sa nakaraang halaga ay itinuturing na natagpuan, at ang paglipat sa susunod na hakbang ng root extraction algorithm ay ginawa, kung hindi ito mangyayari, kung gayon ang halaga ng digit na ito ay 9 .

Ipaliwanag natin ang lahat ng mga puntong ito gamit ang parehong halimbawa ng pagkuha ng square root ng lima.

Una, hanapin ang halaga ng digit ng mga yunit. Uulitin namin ang mga halaga 0, 1, 2, …, 9 , kinakalkula ayon sa pagkakabanggit 0 2 , 1 2 , …, 9 2 hanggang sa makakuha kami ng halagang mas malaki kaysa sa radical number 5 . Ang lahat ng mga kalkulasyong ito ay maginhawang ipinakita sa anyo ng isang talahanayan:

Kaya ang halaga ng digit ng unit ay 2 (dahil 2 2<5 , а 2 3 >5). Lumipat tayo sa paghahanap ng halaga ng ikasampung puwesto. Sa kasong ito, i-square namin ang mga numero 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, paghahambing ng nakuha na mga halaga sa root number 5:

Mula noong 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , kung gayon ang halaga ng ikasampung lugar ay 2 . Maaari kang magpatuloy sa paghahanap ng halaga ng hundredths na lugar:

Kaya ang susunod na halaga ng ugat ng lima ay natagpuan, ito ay katumbas ng 2.23. At upang patuloy kang makahanap ng mga halaga pa: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Upang pagsama-samahin ang materyal, susuriin namin ang pagkuha ng ugat na may katumpakan ng hundredths gamit ang isinasaalang-alang na algorithm.

Una, tukuyin namin ang senior digit. Upang gawin ito, i-cube namin ang mga numero 0, 10, 100, atbp. hanggang sa makakuha tayo ng numerong higit sa 2,151.186 . Mayroon kaming 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , kaya ang pinaka makabuluhang digit ay ang tens digit.

Tukuyin natin ang halaga nito.

Mula noong 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186 , kung gayon ang halaga ng sampung digit ay 1 . Lumipat tayo sa mga yunit.

Kaya, ang halaga ng isang lugar ay 2 . Lumipat tayo sa sampu.

Dahil kahit na ang 12.9 3 ay mas mababa sa radikal na numero 2 151.186 , ang halaga ng ikasampung lugar ay 9 . Ito ay nananatiling gawin ang huling hakbang ng algorithm, ito ay magbibigay sa amin ng halaga ng ugat na may kinakailangang katumpakan.

Sa yugtong ito, ang halaga ng ugat ay makikita hanggang sa daan-daang: .

Sa pagtatapos ng artikulong ito, nais kong sabihin na maraming iba pang mga paraan upang kunin ang mga ugat. Ngunit para sa karamihan ng mga gawain, ang mga napag-aralan natin sa itaas ay sapat na.

Bibliograpiya.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

Hello kitties! Huling oras na sinuri namin nang detalyado kung ano ang mga ugat (kung hindi mo matandaan, inirerekumenda ko ang pagbabasa). Ang pangunahing konklusyon ng araling iyon: mayroon lamang isang unibersal na kahulugan ng mga ugat, na kailangan mong malaman. Ang natitira ay walang kapararakan at pag-aaksaya ng oras.

Ngayon ay higit pa tayo. Matututo tayong magparami ng mga ugat, pag-aaralan natin ang ilang problemang nauugnay sa multiplikasyon (kung hindi malulutas ang mga problemang ito, maaari silang maging fatal sa pagsusulit) at magsasanay tayo nang maayos. Kaya mag-stock ng popcorn, gawing komportable ang iyong sarili - at magsisimula na tayo. :)

Hindi ka pa naninigarilyo, hindi ba?

Ang aralin ay naging medyo malaki, kaya hinati ko ito sa dalawang bahagi:

1. Una, titingnan natin ang mga patakaran para sa pagpaparami. Ang takip ay tila nagpapahiwatig: ito ay kapag mayroong dalawang ugat, mayroong isang "multiply" na senyales sa pagitan nila - at gusto naming gawin ang isang bagay dito.
2. Pagkatapos ay susuriin natin ang baligtad na sitwasyon: mayroong isang malaking ugat, at naiinip kaming ipakita ito bilang produkto ng dalawang ugat sa mas simpleng paraan. Sa kung anong takot ang kinakailangan ay isang hiwalay na tanong. Susuriin lamang namin ang algorithm.

Para sa mga hindi makapaghintay na tumalon sa Part 2, welcome kayo. Magsimula tayo sa natitira sa pagkakasunud-sunod.

Pangunahing tuntunin sa pagpaparami

Magsimula tayo sa pinakasimpleng - classical square roots. Ang mga pinapahiwatig ng $\sqrt(a)$ at $\sqrt(b)$. Para sa kanila, ang lahat ay karaniwang malinaw:

tuntunin sa pagpaparami. Upang i-multiply ang isang square root sa isa pa, kailangan mo lamang na i-multiply ang kanilang mga radical expression, at isulat ang resulta sa ilalim ng karaniwang radical:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Walang karagdagang mga paghihigpit na ipinapataw sa mga numero sa kanan o kaliwa: kung ang mga ugat ng multiplier ay umiiral, kung gayon ang produkto ay umiiral din.

Mga halimbawa. Isaalang-alang ang apat na halimbawa na may mga numero nang sabay-sabay:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing kahulugan ng panuntunang ito ay upang gawing simple ang mga hindi makatwiran na expression. At kung sa unang halimbawa ay nakuha namin ang mga ugat mula sa 25 at 4 nang walang anumang mga bagong panuntunan, kung gayon ang lata ay magsisimula: $\sqrt(32)$ at $\sqrt(2)$ ay hindi binibilang sa kanilang sarili, ngunit ang kanilang produkto ay lumabas na isang eksaktong parisukat, kaya ang ugat nito ay katumbas ng isang rational na numero.

Hiwalay, gusto kong tandaan ang huling linya. Doon, ang parehong mga radikal na expression ay mga fraction. Salamat sa produkto, maraming mga kadahilanan ang nagkansela, at ang buong expression ay nagiging isang sapat na numero.

Siyempre, hindi lahat ay palaging magiging napakaganda. Minsan magkakaroon ng kumpletong crap sa ilalim ng mga ugat - hindi malinaw kung ano ang gagawin dito at kung paano magbago pagkatapos ng multiplikasyon. Maya-maya, kapag sinimulan mong pag-aralan ang mga hindi makatwirang equation at hindi pagkakapantay-pantay, magkakaroon ng lahat ng uri ng mga variable at function sa pangkalahatan. At kadalasan, ang mga nagtitipon ng mga problema ay umaasa lamang sa katotohanan na makakahanap ka ng ilang mga tuntunin o mga kadahilanan sa pagkontrata, pagkatapos nito ang gawain ay lubos na mapadali.

Bilang karagdagan, hindi kinakailangan na i-multiply ang eksaktong dalawang ugat. Maaari mong i-multiply ang tatlo nang sabay-sabay, apat - oo kahit sampu! Hindi nito babaguhin ang panuntunan. Tingnan mo:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

At muli isang maliit na pangungusap sa pangalawang halimbawa. Tulad ng nakikita mo, sa ikatlong multiplier, mayroong isang decimal na bahagi sa ilalim ng ugat - sa proseso ng mga kalkulasyon, pinapalitan namin ito ng isang regular, pagkatapos nito ang lahat ay madaling nabawasan. Kaya: Lubos kong inirerekumenda na alisin ang mga decimal fraction sa anumang hindi makatwiran na mga expression (iyon ay, naglalaman ng hindi bababa sa isang radikal na icon). Makakatipid ito sa iyo ng maraming oras at nerbiyos sa hinaharap.

Ngunit ito ay isang lyrical digression. Ngayon isaalang-alang natin ang isang mas pangkalahatang kaso - kapag ang root exponent ay naglalaman ng isang arbitrary na numero na $n$, at hindi lamang ang "klasikal" na dalawa.

Ang kaso ng isang di-makatwirang tagapagpahiwatig

Kaya, nalaman namin ang mga square root. At ano ang gagawin sa mga cube? O sa pangkalahatan na may mga ugat ng di-makatwirang degree na $n$? Oo, ang lahat ay pareho. Ang panuntunan ay nananatiling pareho:

Upang i-multiply ang dalawang ugat ng degree $n$, sapat na upang i-multiply ang kanilang mga radikal na expression, pagkatapos kung saan ang resulta ay nakasulat sa ilalim ng isang radikal.

Sa pangkalahatan, walang kumplikado. Maliban kung ang dami ng mga kalkulasyon ay maaaring higit pa. Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Mga halimbawa. Kalkulahin ang mga produkto:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

At muli pansin ang pangalawang ekspresyon. Pinaparami namin ang mga ugat ng kubo, inaalis ang decimal na bahagi, at bilang isang resulta, nakukuha namin ang produkto ng mga numerong 625 at 25 sa denominator. Ito ay medyo malaking numero - sa personal, hindi ko agad kalkulahin kung ano ang katumbas nito sa.

Samakatuwid, pinili lang namin ang eksaktong cube sa numerator at denominator, at pagkatapos ay ginamit ang isa sa mga pangunahing katangian (o, kung gusto mo, ang kahulugan) ng ugat ng $n$th degree:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\kaliwa| isang\kanan|. \\ \end(align)\]

Ang ganitong mga "scam" ay makakatipid sa iyo ng maraming oras sa isang pagsusulit o pagsusulit, kaya tandaan:

Huwag magmadali upang i-multiply ang mga numero sa radikal na expression. Una, suriin: paano kung ang eksaktong antas ng anumang expression ay "naka-encrypt" doon?

Sa lahat ng kaliwanagan ng pangungusap na ito, dapat kong aminin na ang karamihan sa mga hindi handa na mga estudyante ay hindi nakikita ang eksaktong mga antas. Sa halip, pinarami nila ang lahat ng bagay sa unahan, at pagkatapos ay nagtataka: bakit sila nakakuha ng mga brutal na numero? :)

Gayunpaman, ang lahat ng ito ay larong pambata kumpara sa ating pag-aaralan ngayon.

Pagpaparami ng mga ugat na may iba't ibang exponent

Well, ngayon ay maaari nating i-multiply ang mga ugat na may parehong exponents. Paano kung magkaiba ang mga score? Sabihin, paano mo i-multiply ang isang ordinaryong $\sqrt(2)$ ng ilang crap tulad ng $\sqrt(23)$? Posible bang gawin ito?

Oo, siyempre kaya mo. Ang lahat ay ginagawa ayon sa formula na ito:

Panuntunan sa pagpaparami ng ugat. Upang i-multiply ang $\sqrt[n](a)$ sa $\sqrt[p](b)$, gawin lamang ang sumusunod na pagbabago:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Gayunpaman, ang formula na ito ay gagana lamang kung Ang mga radikal na ekspresyon ay hindi negatibo. Ito ay isang napakahalagang pangungusap, kung saan babalik tayo sa ibang pagkakataon.

Sa ngayon, tingnan natin ang ilang halimbawa:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Ngayon, alamin natin kung saan nanggaling ang non-negativity requirement, at ano ang mangyayari kung lalabagin natin ito. :)

Bakit kailangang hindi negatibo ang mga radikal na expression?

Siyempre, maaari kang maging tulad ng mga guro sa paaralan at mag-quote ng isang aklat-aralin na may matalinong hitsura:

Ang pangangailangan ng di-negatibiti ay nauugnay sa iba't ibang mga kahulugan ng mga ugat ng pantay at kakaibang antas (ayon sa pagkakabanggit, ang kanilang mga domain ng kahulugan ay iba rin).

Well, naging mas malinaw? Sa personal, nang basahin ko ang kalokohang ito sa ika-8 baitang, naintindihan ko sa aking sarili ang isang bagay na tulad nito: "Ang kinakailangan ng hindi negatibo ay nauugnay sa *#&^@(*#@^#)~%" - sa madaling salita, ako Hindi ko maintindihan ang mga bagay na iyon sa oras na iyon. :)

Kaya ngayon ipapaliwanag ko ang lahat sa normal na paraan.

Una, alamin natin kung saan nagmula ang multiplication formula sa itaas. Upang gawin ito, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang isang mahalagang katangian ng ugat:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Sa madaling salita, maaari nating ligtas na itaas ang root expression sa anumang natural na kapangyarihan $k$ - sa kasong ito, ang root index ay kailangang i-multiply sa parehong kapangyarihan. Samakatuwid, madali nating bawasan ang anumang mga ugat sa isang karaniwang tagapagpahiwatig, pagkatapos nito ay dumarami tayo. Dito nagmula ang multiplication formula:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ngunit may isang problema na lubhang naglilimita sa paggamit ng lahat ng mga formula na ito. Isaalang-alang ang numerong ito:

Ayon sa ibinigay na formula, maaari tayong magdagdag ng anumang antas. Subukan nating magdagdag ng $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Inalis namin ang minus nang tumpak dahil sinusunog ng parisukat ang minus (tulad ng anumang iba pang kahit na antas). At ngayon gawin natin ang reverse transformation: "bawasan" ang dalawa sa exponent at degree. Pagkatapos ng lahat, ang anumang pagkakapantay-pantay ay mababasa sa parehong kaliwa-papuntang-kanan at kanan-papuntang-kaliwa:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Ngunit pagkatapos ay isang kabaliwan ang nangyari:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Hindi ito maaaring dahil $\sqrt(-5) \lt 0$ at $\sqrt(5) \gt 0$. Nangangahulugan ito na para sa kahit na mga kapangyarihan at negatibong mga numero, ang aming formula ay hindi na gumagana. Pagkatapos nito, mayroon kaming dalawang pagpipilian:

1. Upang labanan laban sa pader upang sabihin na ang matematika ay isang hangal na agham, kung saan "may ilang mga patakaran, ngunit ito ay hindi tumpak";
2. Ipakilala ang mga karagdagang paghihigpit kung saan ang formula ay magiging 100% gumagana.

Sa unang pagpipilian, kailangan nating patuloy na mahuli ang mga "hindi gumagana" na mga kaso - ito ay mahirap, mahaba at sa pangkalahatan ay fu. Samakatuwid, ginusto ng mga mathematician ang pangalawang opsyon. :)

Ngunit huwag mag-alala! Sa pagsasagawa, ang paghihigpit na ito ay hindi nakakaapekto sa mga kalkulasyon sa anumang paraan, dahil ang lahat ng inilarawan na mga problema ay may kinalaman lamang sa mga ugat ng isang kakaibang antas, at ang mga minus ay maaaring alisin sa kanila.

Samakatuwid, bumubuo kami ng isa pang panuntunan na nalalapat sa pangkalahatan sa lahat ng mga aksyon na may mga ugat:

Bago i-multiply ang mga ugat, siguraduhin na ang mga radikal na expression ay hindi negatibo.

Halimbawa. Sa numerong $\sqrt(-5)$, maaari mong alisin ang minus mula sa ilalim ng root sign - pagkatapos ay magiging maayos ang lahat:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Pakiramdaman ang pagkakaiba? Kung nag-iiwan ka ng minus sa ilalim ng ugat, pagkatapos ay kapag ang radikal na expression ay parisukat, ito ay mawawala, at ang crap ay magsisimula. At kung una kang kumuha ng minus, maaari mo ring itaas / alisin ang isang parisukat hanggang sa ikaw ay asul sa mukha - ang numero ay mananatiling negatibo. :)

Kaya, ang pinaka tama at pinaka-maaasahang paraan upang i-multiply ang mga ugat ay ang mga sumusunod:

1. Alisin ang lahat ng mga minus mula sa ilalim ng mga radical. Ang mga minus ay nasa mga ugat lamang ng kakaibang multiplicity - maaari silang ilagay sa harap ng ugat at, kung kinakailangan, bawasan (halimbawa, kung mayroong dalawa sa mga minus na ito).
2. Magsagawa ng multiplikasyon ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas sa aralin ngayon. Kung pareho ang mga indeks ng mga ugat, i-multiply lang ang mga expression ng ugat. At kung magkaiba sila, ginagamit namin ang masamang formula na \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Nasisiyahan kami sa resulta at magagandang marka. :)

Well? Magpractice ba tayo?

Halimbawa 1. Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Ito ang pinakasimpleng opsyon: ang mga tagapagpahiwatig ng mga ugat ay pareho at kakaiba, ang problema ay nasa minus lamang ng pangalawang multiplier. Tinitiis namin ang minus nafig na ito, pagkatapos ay madaling isaalang-alang ang lahat.

Halimbawa 2. Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ihanay)\]

Dito, marami ang malito sa katotohanan na ang output ay naging isang hindi makatwiran na numero. Oo, nangyayari ito: hindi namin ganap na mapupuksa ang ugat, ngunit hindi bababa sa pinasimple namin ang expression.

Halimbawa 3. Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Ito ang gusto kong makuha ang iyong atensyon. Mayroong dalawang puntos dito:

1. Sa ilalim ng ugat ay hindi isang tiyak na numero o antas, ngunit ang variable na $a$. Sa unang sulyap, ito ay medyo hindi pangkaraniwan, ngunit sa katotohanan, kapag nilutas ang mga problema sa matematika, madalas mong kailangang harapin ang mga variable.
2. Sa huli, nagawa naming "bawasan" ang root exponent at degree sa radical expression. Madalas itong nangyayari. At nangangahulugan ito na posible na makabuluhang gawing simple ang mga kalkulasyon kung hindi mo gagamitin ang pangunahing formula.

Halimbawa, maaari mong gawin ito:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

Sa katunayan, ang lahat ng mga pagbabago ay ginanap lamang sa pangalawang radikal. At kung hindi mo ipinta nang detalyado ang lahat ng mga intermediate na hakbang, pagkatapos ay sa dulo ang halaga ng mga kalkulasyon ay makabuluhang bababa.

Sa katunayan, nakatagpo na kami ng katulad na gawain sa itaas kapag nilulutas ang halimbawang $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Ngayon ay mas madali itong maisulat:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Buweno, nalaman namin ang pagpaparami ng mga ugat. Ngayon isaalang-alang ang kabaligtaran na operasyon: ano ang gagawin kapag may trabaho sa ilalim ng ugat?

Ang paghahati ng mga ugat ng mga bulaklak ay kinakailangan lamang kung magpasya kang agad na makakuha ng isang pares ng malakas at mature na mga halaman na magiging handa para sa pamumulaklak sa hinaharap sa isang "kaganapan". Ngunit kung isasaalang-alang natin ang isyung ito mula sa ibang anggulo, maaari nating sabihin na ang paghahati ng mga ugat ay maaaring makaapekto sa kondisyon ng mga halaman, lalo na kung ang mga ugat ay hindi maayos na pinangangasiwaan.

Bago pag-aralan ang tanong - kung paano hatiin ang mga ugat, kinakailangan na magpasya sa mga halaman na maaaring palaganapin sa ganitong paraan. Una sa lahat, ito ay mga mala-damo na specimen na may magandang sistema ng ugat. Ang mga bulaklak at shrub ay maaaring hatiin sa ganitong paraan.

Root division algorithm:

1. Alisin ang bulaklak sa lupa at ipagpag ang isang malaking tipak ng lupa.

2. Banlawan ang natitirang lupa ng tubig, ngunit hindi mo kailangang ganap na linisin ang mga ugat, ang pangunahing bagay ay ang lupa ay hindi makagambala sa iyo kapag naghahati.

4. Gupitin ang mga shoots sa taas na 10 cm. Ang kaganapang ito ay makakatulong upang magamit ang mga puwersa ng mga bulaklak upang maibalik ang mga ugat, at hindi ang paglago ng mga shoots.

5. Kung ang mga proseso ng ugat ay nagsimulang tumigas, at malinaw na walang magandang mangyayari sa kanila, kung gayon ang mga ugat na ito ay mapuputol.

6. Dilaw at tuyong mga shoots, ang mga dahon ay agad na nawasak.

7. Bigyang-pansin ang katotohanan na ang gitnang bahagi ng bulaklak ay hindi dapat hatiin. Ang mga lateral roots lang ang pinaghihiwalay mo.

8. Ang mga seksyon ay ginagamot ng uling, at ang mga bagong halaman ay itinatanim sa mga espesyal na kaldero.

Ano pa ang dapat mong malaman tungkol sa paghahati ng mga ugat?

Huwag gawin ang prosesong ito habang ang halaman ay namumulaklak. Mas mainam na gugulin ito pagkatapos ng panahong ito. Kung mahirap sundin ang rekomendasyong ito, pagkatapos ng ilang araw bago ang proseso, ang mga putot at bulaklak ay nawasak, kung hindi man ang bulaklak ay hindi makakapag-ugat.

Ang palumpong sa bukas na lupa ay nahahati sa taglagas, at panloob na mga bulaklak sa tagsibol. Bago alisin ang halaman mula sa lupa, ang lupa ay mahusay na natubigan upang ang root system ay hindi masira. Sa anumang kaso huwag hilahin ang halaman sa bahagi ng lupa. Ang root system ay kinuha kasama ng lupa, kumakatok sa palayok. Kung ang bulaklak ay lumalaki sa isang kama ng bulaklak, pagkatapos ay maingat itong hinukay at kinuha sa tulong ng mga tool sa hardin. Ang isang matalim na kutsilyo ay ginagamit upang mabawasan ang pinsala sa root system. Huwag sirain ang root system gamit ang iyong mga kamay! Ito ay negatibong makakaapekto sa estado ng hinaharap na bulaklak.

Tandaan! Huwag hatiin ang bush sa maliliit na bahagi, dahil maaaring makaapekto ito sa kanilang paglaki at pag-unlad. Ang kaligtasan ay magiging minimal. Huwag kalimutan na dapat mayroong isang pang-adultong shoot sa bawat bahagi.

Ang mga halaman ay hindi maaaring itanim kaagad sa bukas na lupa, dahil kailangan nila ng panahon ng pagbawi, at ang mga sinag ng araw ay negatibong makakaapekto sa mga halaman.

Ang mga pakinabang ng pagpapalaganap sa pamamagitan ng paghahati ng bush

Bilang karagdagan sa katotohanan na mayroong higit pang mga halaman, sila ay pinasisigla din. Pagkatapos ng lahat, walang kabuluhan na makipagtalo sa katotohanan na ang biyolohikal na edad ng lahat ng nabubuhay na nilalang ay hindi walang hanggan, at ang halaman ay walang pagbubukod. Kaya maaari mong i-update ang iyong mga perennials sa pamamagitan ng paghati sa mga ugat nang walang karagdagang mga punla.

Ang pagkakaroon ng mga square root sa isang expression ay nagpapalubha sa proseso ng paghahati, ngunit may mga panuntunan kung saan ang pagtatrabaho sa mga fraction ay nagiging mas madali.

Ang tanging bagay na kailangan mong tandaan sa lahat ng oras- Ang mga radikal na pagpapahayag ay nahahati sa mga radikal na pagpapahayag, at mga salik sa mga salik. Sa proseso ng paghahati ng mga square root, pinapasimple namin ang fraction. Gayundin, tandaan na ang ugat ay maaaring nasa denominator.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Paraan 1. Dibisyon ng mga radikal na ekspresyon

Algoritmo ng pagkilos:

Sumulat ng isang fraction

Kung ang expression ay hindi kinakatawan bilang isang fraction, ito ay kinakailangan upang isulat ito tulad nito, dahil mas madaling sundin ang prinsipyo ng paghahati ng mga square root.

Halimbawa 1

144 ÷ 36 , ang expression na ito ay dapat na muling isulat tulad nito: 144 36

Gumamit ng isang root sign

Kung pareho ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga square root, kinakailangang isulat ang kanilang mga root expression sa ilalim ng parehong root sign upang gawing mas madali ang proseso ng solusyon.

Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang radikal na expression (o numero) ay isang expression sa ilalim ng root sign.

Halimbawa 2

144 36 . Ang expression na ito ay dapat na nakasulat na ganito: 144 36

Hatiin ang mga expression ng ugat

Hatiin lamang ang isang expression sa isa pa, at isulat ang resulta sa ilalim ng root sign.

Halimbawa 3

144 36 = 4 , isinusulat namin ang expression na ito tulad ng sumusunod: 144 36 = 4

Pasimplehin ang radikal na expression (kung kinakailangan)

Kung ang root expression o isa sa mga kadahilanan ay isang perpektong parisukat, pasimplehin ang expression na iyon.

Alalahanin na ang perpektong parisukat ay isang numero na parisukat ng ilang integer.

Halimbawa 4

Ang 4 ay isang perpektong parisukat dahil 2 × 2 = 4. Samakatuwid:

4 = 2 × 2 = 2. Samakatuwid 144 36 = 4 = 2 .

Paraan 2. Pagbulok ng radikal na pagpapahayag sa mga salik

Algoritmo ng pagkilos:

Sumulat ng isang fraction

Isulat muli ang expression bilang isang fraction (kung ito ay kinakatawan bilang tulad). Lubos nitong pinapasimple ang proseso ng paghahati ng mga expression na may square roots, lalo na kapag factoring.

Halimbawa 5

8 ÷ 36 , isulat muli ng ganito 8 36

I-factor ang bawat isa sa mga radikal na expression

I-factor ang numero sa ilalim ng root, tulad ng anumang iba pang integer, isulat lamang ang mga kadahilanan sa ilalim ng root sign.

Halimbawa 6

8 36 = 2 x 2 x 2 6 x 6

Pasimplehin ang numerator at denominator ng isang fraction

Upang gawin ito, kinakailangan na kumuha ng mga kadahilanan na puno ng mga parisukat mula sa ilalim ng root sign. Kaya, ang factor ng root expression ay nagiging factor bago ang root sign.

Halimbawa 7

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , kung saan sumusunod: 8 36 = 2 2 6

I-rationalize ang denominator (alisin ang ugat)

Sa matematika, may mga panuntunan ayon sa kung saan ang pag-iwan ng ugat sa denominator ay isang tanda ng masamang lasa, i.e. ito ay ipinagbabawal. Kung mayroong isang square root sa denominator, pagkatapos ay alisin ito.

I-multiply ang numerator at denominator sa square root na gusto mong alisin.

Halimbawa 8

Sa expression na 6 2 3, kinakailangang i-multiply ang numerator at denominator sa 3 upang maalis ito sa denominator:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Pasimplehin ang resultang expression (kung kinakailangan)

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga numero na maaari at dapat bawasan. Pasimplehin ang mga expression na tulad ng gagawin mo sa anumang fraction.

Halimbawa 9

Ang 2 6 ay pinapasimple sa 1 3 ; kaya ang 2 2 6 ay pinapasimple sa 1 2 3 = 2 3

Paraan 3. Paghahati ng mga square root na may mga salik

Algoritmo ng pagkilos:

Pasimplehin ang Mga Multiplier

Alalahanin na ang mga kadahilanan ay ang mga numero sa harap ng root sign. Upang gawing simple ang mga kadahilanan, kakailanganin mong hatiin o bawasan ang mga ito. Huwag hawakan ang root expression!

Halimbawa 10

4 32 6 16 . Una, binabawasan namin ang 4 6: hinahati namin sa 2 ang numerator at denominator: 4 6 \u003d 2 3.

Pasimplehin ang mga square root

Kung ang numerator ay pantay na mahahati ng denominator, pagkatapos ay hatiin. Kung hindi, pasimplehin ang mga radikal na expression tulad ng iba pa.

Halimbawa 11

Ang 32 ay pantay na nahahati ng 16, kaya: 32 16 = 2

I-multiply ang pinasimple na mga kadahilanan sa pamamagitan ng pinasimple na mga ugat

Tandaan ang panuntunan: huwag mag-iwan ng mga ugat sa denominator. Samakatuwid, pinaparami lang natin ang numerator at denominator sa ugat na ito.

Halimbawa 12

2 3 × 2 = 2 2 3

Rationalize ang denominator (alisin ang ugat sa denominator)

Halimbawa 13

4 3 2 7 . I-multiply ang numerator at denominator sa 7 upang maalis ang ugat sa denominator.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Paraan 4. Dibisyon sa pamamagitan ng binomial na may square root

Algoritmo ng pagkilos:

Tukuyin kung ang binomial (binomial) ay nasa denominator

Alalahanin na ang binomial ay isang expression na may kasamang 2 monomial. Ang pamamaraang ito ay nagaganap lamang sa mga kaso kung saan ang denominator ay binomial na may square root.

Halimbawa 14

1 5 + 2 - mayroong binomial sa denominator, dahil mayroong dalawang monomial.

Maghanap ng expression na conjugate sa binomial

Alalahanin na ang conjugate binomial ay isang binomial na may parehong monomial ngunit magkasalungat na mga palatandaan. Upang gawing simple ang expression at maalis ang ugat sa denominator, dapat mong i-multiply ang conjugate binomials.

Halimbawa 15

Ang 5 + 2 at 5 - 2 ay conjugate binomials.

I-multiply ang numerator at denominator sa binomial na conjugate sa binomial sa denominator

Makakatulong ang opsyong ito na alisin ang ugat sa denominator, dahil ang produkto ng conjugate binomials ay katumbas ng pagkakaiba ng mga parisukat ng bawat binomial term: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

Halimbawa 16

1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

Ito ay sumusunod mula dito: 1 5 + 2 = 5 - 2 23 .

Payo:

1. Kung nagtatrabaho ka sa mga square root ng magkahalong numero, pagkatapos ay i-convert ang mga ito sa isang hindi tamang fraction.
2. Ang pagkakaiba sa pagitan ng pagdaragdag at pagbabawas mula sa paghahati ay ang mga radikal na expression sa kaso ng paghahati ay hindi inirerekomenda na pasimplehin (dahil sa buong mga parisukat).
3. Huwag kailanman (!) iwanan ang ugat sa denominator.
4. Walang mga decimal o halo-halong bago ang ugat - kailangan mong i-convert ang mga ito sa isang ordinaryong fraction, at pagkatapos ay pasimplehin.
5. Ang denominator ba ay kabuuan o pagkakaiba ng dalawang monomial? I-multiply ang naturang binomial sa conjugate binomial nito at alisin ang ugat sa denominator.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter