Discriminant at mga ugat ng quadratic equation. Quadratic equation

Umaasa ako na pagkatapos pag-aralan ang artikulong ito, matututunan mo kung paano hanapin ang mga ugat ng isang kumpletong quadratic equation.

Sa tulong ng discriminant, ang kumpletong quadratic equation lamang ang malulutas; upang malutas ang hindi kumpletong quadratic equation, ginagamit ang iba pang mga pamamaraan, na makikita mo sa artikulong "Paglutas ng hindi kumpletong quadratic equation".

Anong mga quadratic equation ang tinatawag na complete? ito mga equation ng anyong ax 2 + b x + c = 0, kung saan ang mga coefficient a, b at c ay hindi katumbas ng zero. Kaya, upang malutas ang kumpletong quadratic equation, kailangan nating kalkulahin ang discriminant D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Depende sa kung anong halaga mayroon ang discriminant, isusulat namin ang sagot.

Kung ang discriminant ay isang negatibong numero (D< 0),то корней нет.

Kung ang discriminant ay zero, kung gayon x \u003d (-b) / 2a. Kapag ang discriminant positibong numero(D > 0),

pagkatapos x 1 = (-b - √D)/2a, at x 2 = (-b + √D)/2a.

Halimbawa. lutasin ang equation x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Sagot: 2.

Lutasin ang Equation 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Sagot: walang ugat.

Lutasin ang Equation 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Sagot: - 3.5; isa.

Kaya isipin natin ang solusyon ng kumpletong quadratic equation sa pamamagitan ng scheme sa Figure 1.

Ang mga formula na ito ay maaaring gamitin upang malutas ang anumang kumpletong quadratic equation. Kailangan mo lang mag-ingat ang equation ay isinulat bilang polynomial karaniwang view

a x 2 + bx + c, kung hindi, maaari kang magkamali. Halimbawa, sa pagsulat ng equation na x + 3 + 2x 2 = 0, maaari kang magkamali na magpasya na

a = 1, b = 3 at c = 2. Pagkatapos

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 at pagkatapos ang equation ay may dalawang ugat. At hindi ito totoo. (Tingnan ang halimbawa 2 solusyon sa itaas).

Samakatuwid, kung ang equation ay hindi isinulat bilang isang polynomial ng standard form, una ang kumpletong quadratic equation ay dapat na nakasulat bilang isang polynomial ng standard form (sa unang lugar ay dapat mayroong isang monomial na may pinakamalaking exponent, iyon ay. a x 2 , pagkatapos ay may mas kaunti – bx, at pagkatapos ay ang libreng termino Sa.

Kapag nilulutas ang nasa itaas na quadratic equation at ang quadratic equation na may pantay na koepisyent para sa ikalawang termino, maaari ding gumamit ng ibang mga formula. Kilalanin natin ang mga formula na ito. Kung sa buong quadratic equation na may pangalawang termino ang coefficient ay kahit na (b = 2k), kung gayon ang equation ay maaaring malutas gamit ang mga formula na ipinapakita sa diagram ng Figure 2.

Ang isang kumpletong quadratic equation ay tinatawag na reduced kung ang coefficient sa x 2 katumbas ng pagkakaisa at ang equation ay nasa anyo x 2 + px + q = 0. Ang nasabing equation ay maaaring ibigay upang malutas, o makuha sa pamamagitan ng paghahati ng lahat ng coefficient ng equation sa coefficient. a nakatayo sa x 2 .

Ang Figure 3 ay nagpapakita ng isang diagram ng solusyon ng pinababang parisukat
mga equation. Isaalang-alang ang halimbawa ng aplikasyon ng mga formula na tinalakay sa artikulong ito.

Halimbawa. lutasin ang equation

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Lutasin natin ang equation na ito gamit ang mga formula na ipinapakita sa Figure 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Sagot: -1 - √3; –1 + √3

Makikita mo na ang coefficient sa x sa equation na ito ay isang even number, iyon ay, b \u003d 6 o b \u003d 2k, kung saan k \u003d 3. Pagkatapos ay subukan nating lutasin ang equation gamit ang mga formula na ipinapakita sa figure diagram D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Sagot: -1 - √3; –1 + √3. Napansin na ang lahat ng mga coefficient sa quadratic equation na ito ay nahahati ng 3 at naghahati, nakukuha natin ang pinababang quadratic equation x 2 + 2x - 2 = 0 Nalulutas namin ang equation na ito gamit ang mga formula para sa pinababang quadratic.
equation figure 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Sagot: -1 - √3; –1 + √3.

Tulad ng nakikita mo, kapag nilulutas ang equation na ito gamit ang iba't ibang mga formula, nakuha namin ang parehong sagot. Samakatuwid, ang pagkakaroon ng mahusay na pinagkadalubhasaan ang mga formula na ipinapakita sa diagram ng Figure 1, maaari mong palaging malutas ang anumang kumpletong quadratic equation.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

paglalarawan ng bibliograpiya: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation // Young scientist. 2016. №6.1. S. 17-20..03.2019).



Ang aming proyekto ay nakatuon sa mga paraan ng paglutas ng mga quadratic equation. Ang layunin ng proyekto: upang matutunan kung paano lutasin ang mga quadratic equation sa mga paraan na hindi kasama sa kurikulum ng paaralan. Gawain: hanapin ang lahat mga posibleng paraan lutasin ang mga quadratic equation at alamin kung paano gamitin ang mga ito sa iyong sarili at ipakilala ang mga kaklase sa mga pamamaraang ito.

Ano ang "quadratic equation"?

Quadratic equation- equation ng form palakol2 + bx + c = 0, saan a, b, c- ilang mga numero ( isang ≠ 0), x- hindi kilala.

Ang mga numerong a, b, c ay tinatawag na coefficients ng quadratic equation.

• a ay tinatawag na unang koepisyent;
• b ay tinatawag na pangalawang koepisyent;
• c - libreng miyembro.

At sino ang unang "nag-imbento" ng mga quadratic equation?

Ang ilang mga algebraic technique para sa paglutas ng mga linear at quadratic na equation ay kilala noon pang 4000 taon na ang nakakaraan sa Ancient Babylon. Ang natagpuang sinaunang Babylonian clay tablets, na may petsang nasa pagitan ng 1800 at 1600 BC, ay ang pinakamaagang ebidensya ng pag-aaral ng quadratic equation. Ang parehong mga tablet ay naglalaman ng mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang mga uri ng quadratic equation.

Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang antas sa sinaunang panahon ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng lupa at mga gawaing lupa ng isang militar na kalikasan, pati na rin ang pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo.

Ang tuntunin para sa paglutas ng mga equation na ito, na nakasaad sa mga tekstong Babylonian, ay talagang kasabay ng modernong isa, ngunit hindi alam kung paano napunta ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na nakasaad sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan. Kahit na mataas na lebel pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga tekstong cuneiform ay kulang sa konsepto negatibong numero at karaniwang pamamaraan mga solusyon ng quadratic equation.

Babylonian mathematician mula noong mga ika-4 na siglo B.C. ginamit ang square complement method upang malutas ang mga equation na may positibong mga ugat. Mga 300 B.C. Nakaisip si Euclid ng isang mas pangkalahatang paraan ng solusyong geometriko. Ang unang mathematician na nakahanap ng mga solusyon sa isang equation na may mga negatibong ugat sa anyo ng isang algebraic formula ay isang Indian scientist. Brahmagupta(India, ika-7 siglo AD).

Binalangkas ni Brahmagupta ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong kanonikal na anyo:

ax2 + bx = c, a>0

Sa equation na ito, ang mga coefficient ay maaaring negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay esensyal na tumutugma sa atin.

Sa India, karaniwan ang mga pampublikong kompetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema. Sa isa sa mga lumang aklat ng India, ang mga sumusunod ay sinabi tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay nanggagaling sa mga bituin sa taglay nitong kinang, gayundin ang isang may-aral na tao ay hihigit sa kaluwalhatian sa mga pampublikong pagpupulong, na nagmumungkahi at naglulutas ng mga problema sa algebraic.” Ang mga gawain ay kadalasang binibihisan sa anyong patula.

Sa isang algebraic treatise Al-Khawarizmi isang pag-uuri ng linear at quadratic equation ay ibinigay. Ang may-akda ay naglista ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:

1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat", ibig sabihin, ax2 = bx.

2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng numero", ibig sabihin, ax2 = c.

3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang", ibig sabihin, ax2 = c.

4) "Ang mga parisukat at numero ay katumbas ng mga ugat", ibig sabihin, ax2 + c = bx.

5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng numero", ibig sabihin, ax2 + bx = c.

6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat", ibig sabihin, bx + c == ax2.

Para kay Al-Khwarizmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga tuntunin ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend, hindi mga pagbabawas. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Binabalangkas ng may-akda ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito, gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-muqabala. Ang kanyang desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi banggitin ang katotohanan na ito ay purong retorika, dapat tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri, ang Al-Khwarizmi, tulad ng lahat ng mga mathematician bago ang ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero. solusyon, marahil dahil sa tiyak mga praktikal na gawain hindi mahalaga. Kapag nilulutas ang kumpletong mga parisukat na equation, itinakda ni Al-Khwarizmi ang mga patakaran para sa paglutas ng mga ito gamit ang mga partikular na halimbawang numero, at pagkatapos ang kanilang mga geometric na patunay.

Ang mga form para sa paglutas ng mga quadratic equation sa modelo ng Al-Khwarizmi sa Europa ay unang inilarawan sa "Book of the Abacus", na isinulat noong 1202. Italyano na matematiko Leonard Fibonacci. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero.

Ang aklat na ito ay nag-ambag sa pagkalat ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga gawain mula sa aklat na ito ang inilipat sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-14-17 siglo. Pangkalahatang tuntunin ang mga solusyon ng quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form x2 + bx = c kasama ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga sign at coefficient b, c, ay nabuo sa Europe noong 1544. M. Stiefel.

Derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation sa pangkalahatang pananaw Ang Viet ay mayroon, ngunit ang Viet ay nakilala lamang ang mga positibong ugat. Italian mathematician Tartaglia, Cardano, Bombelli kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. isaalang-alang, bilang karagdagan sa positibo, at negatibong mga ugat. Sa siglo XVII lamang. salamat sa trabaho Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay nasa modernong anyo.

Isaalang-alang ang ilang mga paraan upang malutas ang mga quadratic equation.

Mga karaniwang paraan upang malutas ang mga quadratic equation mula sa kurikulum ng paaralan:

1. Factorization ng kaliwang bahagi ng equation.
2. Buong parisukat na paraan ng pagpili.
3. Solusyon ng mga quadratic equation sa pamamagitan ng formula.
4. Graphical na solusyon ng isang quadratic equation.
5. Solusyon ng mga equation gamit ang theorem ni Vieta.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang solusyon ng pinababa at hindi pinababang mga quadratic na equation gamit ang Vieta theorem.

Alalahanin na upang malutas ang ibinigay na mga quadratic equation, sapat na upang makahanap ng dalawang numero na ang produkto nito ay katumbas ng libreng termino, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda.

Halimbawa.x 2 -5x+6=0

Kailangan mong maghanap ng mga numero na ang produkto ay 6 at ang kabuuan ay 5. Ang mga numerong ito ay magiging 3 at 2.

Sagot: x 1 =2, x 2 =3.

Ngunit maaari mong gamitin ang paraang ito para sa mga equation na may unang koepisyent na hindi katumbas ng isa.

Halimbawa.3x 2 +2x-5=0

Kinukuha namin ang unang coefficient at i-multiply ito sa libreng term: x 2 +2x-15=0

Ang mga ugat ng equation na ito ay mga numero na ang produkto ay katumbas ng - 15, at ang kabuuan ay katumbas ng - 2. Ang mga numerong ito ay 5 at 3. Upang mahanap ang mga ugat ng orihinal na equation, hinati namin ang nakuha na mga ugat sa unang koepisyent .

Sagot: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng "transfer".

Isaalang-alang ang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0, kung saan a≠0.

Ang pagpaparami ng parehong bahagi nito sa a, nakukuha natin ang equation na a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Hayaan ang ax = y, kung saan ang x = y/a; pagkatapos ay dumating tayo sa equation na y 2 + by + ac = 0, na katumbas ng ibinigay. Nahanap natin ang mga ugat nito sa 1 at sa 2 gamit ang Vieta theorem.

Sa wakas ay nakukuha natin ang x 1 = y 1 /a at x 2 = y 2 /a.

Sa pamamaraang ito, ang koepisyent a ay pinarami ng libreng termino, na parang "inilipat" dito, samakatuwid ito ay tinatawag na "paglipat" na paraan. Ginagamit ang paraang ito kapag madaling mahanap ang mga ugat ng isang equation gamit ang teorama ng Vieta at, higit sa lahat, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.

Halimbawa.2x 2 - 11x + 15 = 0.

"Ilipat" natin ang koepisyent 2 sa libreng termino at gawin ang kapalit na makuha natin ang equation na y 2 - 11y + 30 = 0.

Ayon sa inverse theorem ni Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Sagot: x 1 =2.5; X 2 = 3.

7. Mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation.

Hayaang ibigay ang quadratic equation ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Kung a + b + c \u003d 0 (i.e., ang kabuuan ng mga coefficient ng equation ay zero), kung gayon x 1 \u003d 1.

2. Kung a - b + c \u003d 0, o b \u003d a + c, pagkatapos ay x 1 \u003d - 1.

Halimbawa.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Dahil a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), pagkatapos ay x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Sagot: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Halimbawa.132x 2 + 247x + 115 = 0

kasi a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), pagkatapos ay x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Sagot: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Mayroong iba pang mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation. ngunit ang kanilang paggamit ay mas kumplikado.

8. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang nomogram.

Fig 1. Nomogram

Ito ay isang luma at kasalukuyang nakalimutang paraan para sa paglutas ng mga quadratic equation, na inilagay sa p. 83 ng koleksyon: Bradis V.M. Apat na digit na mathematical table. - M., Edukasyon, 1990.

Talahanayan XXII. Nomogram para sa Paglutas ng Equation z2 + pz + q = 0. Ang nomogram na ito ay nagpapahintulot, nang hindi nilulutas ang quadratic equation, na matukoy ang mga ugat ng equation sa pamamagitan ng mga coefficient nito.

Ang curvilinear scale ng nomogram ay binuo ayon sa mga formula (Larawan 1):

Ipagpalagay OS = p, ED = q, OE = a(lahat sa cm), mula sa Fig. 1 pagkakatulad ng mga tatsulok SAN at CDF nakukuha natin ang proporsyon

kung saan, pagkatapos ng mga pagpapalit at pagpapagaan, ang equation ay sumusunod z 2 + pz + q = 0, at ang sulat z nangangahulugang ang label ng anumang punto sa curved scale.

kanin. 2 Paglutas ng isang quadratic equation gamit ang isang nomogram

Mga halimbawa.

1) Para sa equation z 2 - 9z + 8 = 0 binibigyan ng nomogram ang mga ugat z 1 = 8.0 at z 2 = 1.0

Sagot: 8.0; 1.0.

2) Lutasin ang equation gamit ang nomogram

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Hatiin ang mga coefficient ng equation na ito ng 2, makuha natin ang equation z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Ang nomogram ay nagbibigay ng mga ugat z 1 = 4 at z 2 = 0.5.

Sagot: 4; 0.5.

9. Geometric na paraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Halimbawa.X 2 + 10x = 39.

Sa orihinal, ang problemang ito ay binabalangkas tulad ng sumusunod: "Ang parisukat at sampung ugat ay katumbas ng 39."

Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid x, ang mga parihaba ay itinayo sa mga gilid nito upang ang kabilang panig ng bawat isa sa kanila ay 2.5, samakatuwid, ang lugar ng bawat isa ay 2.5x. Ang resultang figure ay pagkatapos ay pupunan sa isang bagong parisukat ABCD, pagkumpleto ng apat na pantay na mga parisukat sa mga sulok, ang gilid ng bawat isa sa kanila ay 2.5, at ang lugar ay 6.25

kanin. 3 Graphical na paraan solusyon ng equation x 2 + 10x = 39

Ang lugar S ng parisukat na ABCD ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga lugar: ang orihinal na parisukat x 2, apat na parihaba (4 ∙ 2.5x = 10x) at apat na nakalakip na parisukat (6.25 ∙ 4 = 25), i.e. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Ang pagpapalit ng x 2 + 10x sa numero 39, nakuha namin na S \u003d 39 + 25 \u003d 64, na nagpapahiwatig na ang gilid ng parisukat na ABCD, i.e. segment AB \u003d 8. Para sa nais na bahagi x ng orihinal na parisukat, nakukuha namin

10. Solusyon ng mga equation gamit ang theorem ni Bezout.

Ang teorama ni Bezout. Ang natitira pagkatapos hatiin ang polynomial P(x) sa binomial x - α ay katumbas ng P(α) (iyon ay, ang halaga ng P(x) sa x = α).

Kung ang bilang na α ay ang ugat ng polynomial P(x), kung gayon ang polynomial na ito ay mahahati ng x -α nang walang natitira.

Halimbawa.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Hatiin ang P(x) sa (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, o x-3=0, x=3; Sagot: x1 =2, x2 =3.

Konklusyon: Ang kakayahang mabilis at makatwiran na malutas ang mga quadratic equation ay kailangan lamang para sa paglutas ng mas kumplikadong mga equation, halimbawa, fractional rational equation, equation ng mas mataas na degree, biquadratic equation, at sa mataas na paaralan trigonometriko, exponential at logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng lahat ng mga pamamaraan na natagpuan para sa paglutas ng mga quadratic equation, maaari naming payuhan ang mga kaklase, bilang karagdagan sa mga karaniwang pamamaraan, upang malutas sa pamamagitan ng paraan ng paglipat (6) at lutasin ang mga equation sa pamamagitan ng pag-aari ng mga coefficient (7), dahil mas madaling ma-access ang mga ito para sa pag-unawa. .

Panitikan:

1. Bradis V.M. Apat na digit na mathematical table. - M., Edukasyon, 1990.
2. Algebra grade 8: textbook para sa grade 8. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teleyakovsky ika-15 ed., binago. - M.: Enlightenment, 2015
3. https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan. Isang gabay para sa mga guro. / Ed. V.N. Mas bata. - M.: Enlightenment, 1964.

KOMPLEXONG MGA BILANG XI

§ 253. Pagkuha ng square roots mula sa mga negatibong numero.
Paglutas ng mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon

Sa pagkakaalam natin,

i 2 = - 1.

gayunpaman,

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Kaya, mayroong hindi bababa sa dalawang mga halaga para sa square root ng - 1, ibig sabihin i at - i . Pero baka meron pa kumplikadong mga numero, kaninong mga parisukat ang - 1?

Upang linawin ang tanong na ito, ipagpalagay na ang parisukat ng isang kumplikadong numero isang + bi katumbas ng - 1. Pagkatapos

(isang + bi ) 2 = - 1,

a 2 + 2abi - b 2 = - 1

Ang dalawang kumplikadong mga numero ay pantay-pantay kung at kung ang kanilang mga tunay na bahagi at ang mga coefficient ng mga haka-haka na bahagi ay pantay. kaya lang

Ayon sa pangalawang equation ng system (1), kahit isa sa mga numero a at b dapat katumbas ng zero. Kung ang b = 0, pagkatapos ay magbubunga ang unang equation a 2 = - 1. Bilang a tunay, at samakatuwid a 2 > 0. Hindi-negatibong numero a 2 ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero - 1. Samakatuwid, pagkakapantay-pantay b = 0 ay imposible sa kasong ito. Ito ay nananatiling kilalanin na a = 0, ngunit mula sa unang equation ng system ay nakukuha natin: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Samakatuwid, ang tanging kumplikadong mga numero na ang mga parisukat ay -1 ay ang mga numero i at - i , Ito ay may kondisyong isinulat bilang:

√-1 = ± i .

Sa pamamagitan ng katulad na pangangatwiran, mapapatunayan ng mga mag-aaral na mayroong eksaktong dalawang numero na ang mga parisukat ay katumbas ng negatibong numero - a . Ang mga numerong ito ay √ a i at -√ a i . Conventionally, ito ay nakasulat tulad nito:

√- a = ± √ a i .

Sa ilalim ng √ a dito ang aritmetika, iyon ay, positibo, ugat ay sinadya. Halimbawa, √4 = 2, √9 =.3; kaya lang

√-4 = + 2i , √-9 = ± 3 i

Kung kanina, kung isasaalang-alang ang mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon, sinabi namin na ang mga naturang equation ay walang mga ugat, ngayon ay hindi na posible na sabihin ito. Ang mga quadratic na equation na may mga negatibong diskriminasyon ay may mga kumplikadong ugat. Ang mga ugat na ito ay nakuha sa pamamagitan ng mga formula na kilala sa amin. Hayaan, halimbawa, ibinigay ang equation x 2 + 2X + 5 = 0; pagkatapos

X 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Kaya ang equation na ito ay may dalawang ugat: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Ang mga ugat na ito ay magkakaugnay. Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang kanilang kabuuan ay katumbas ng - 2, at ang produkto ay 5, kaya ang Vieta's theorem ay natupad.

Mga ehersisyo

2022. (Us tn o.) Lutasin ang mga equation:

a) x 2 = - 16; b) x 2 = - 2; sa 3 x 2 = - 5.

2023. Hanapin ang lahat ng kumplikadong numero na ang mga parisukat ay pantay:

a) i ; b) 1/2 - √ 3/2 i ;

2024. Lutasin ang mga quadratic equation:

a) x 2 - 2x + 2 = 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; sa) x 2 - 14x + 74 = 0.

Lutasin ang mga sistema ng mga equation (No. 2025, 2026):

2027. Patunayan na ang mga ugat ng isang quadratic equation na may mga tunay na coefficient at negatibong discriminant ay kapwa conjugate.

2028. Patunayan na ang theorem ng Vieta ay totoo para sa anumang mga quadratic equation, at hindi lamang para sa mga equation na may non-negative discriminant.

2029. Sumulat ng isang quadratic equation na may tunay na coefficient, ang mga ugat nito ay:

a) X 1 = 5 - i , X 2 = 5 + i ; b) X 1 = 3i , X 2 = - 3i .

2030. Bumuo ng isang quadratic equation na may tunay na coefficients, ang isa sa mga ugat nito ay katumbas ng (3 - i ) (2i - 4).

2031. Sumulat ng isang quadratic equation na may totoong coefficients, isa sa mga ugat nito ay 32 - i
1- 3i .

Ang mga problema sa quadratic equation ay pinag-aralan din sa kurikulum ng paaralan at sa mga unibersidad. Nauunawaan ang mga ito bilang mga equation ng form a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kung saan x- variable, a,b,c – constants; a<>0 . Ang problema ay upang mahanap ang mga ugat ng equation.

Ang geometric na kahulugan ng quadratic equation

Ang graph ng isang function na kinakatawan ng isang quadratic equation ay isang parabola. Ang mga solusyon (roots) ng isang quadratic equation ay ang mga punto ng intersection ng parabola sa x-axis. Ito ay sumusunod na mayroong tatlong posibleng mga kaso:
1) ang parabola ay walang mga punto ng intersection sa x-axis. Nangangahulugan ito na ito ay nasa itaas na eroplano na may mga sanga pataas o ang mas mababang isa ay may mga sanga pababa. Sa ganitong mga kaso, ang quadratic equation ay walang tunay na ugat (ito ay may dalawang kumplikadong ugat).

2) ang parabola ay may isang punto ng intersection sa axis na Ox. Ang nasabing punto ay tinatawag na vertex ng parabola, at ang quadratic equation sa loob nito ay nakakakuha ng pinakamababa o pinakamataas na halaga nito. Sa kasong ito, ang quadratic equation ay may isang tunay na ugat (o dalawang magkaparehong ugat).

3) Ang huling kaso ay mas kawili-wili sa pagsasanay - mayroong dalawang punto ng intersection ng parabola na may abscissa axis. Nangangahulugan ito na mayroong dalawang tunay na ugat ng equation.

Batay sa pagsusuri ng mga coefficient sa mga kapangyarihan ng mga variable, ang mga kagiliw-giliw na konklusyon ay maaaring iguguhit tungkol sa paglalagay ng parabola.

1) Kung ang koepisyent a ay mas malaki kaysa sa zero, ang parabola ay nakadirekta paitaas, kung negatibo, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

2) Kung ang coefficient b ay mas malaki kaysa sa zero, kung gayon ang vertex ng parabola ay nasa kaliwang kalahating eroplano kung aabutin negatibong kahulugan- pagkatapos ay sa kanan.

Derivation ng isang formula para sa paglutas ng isang quadratic equation

Ilipat natin ang pare-pareho mula sa quadratic equation

para sa pantay na tanda, nakukuha namin ang expression

I-multiply ang magkabilang panig sa 4a

Para makaalis buong parisukat idagdag sa parehong bahagi b^2 at gawin ang pagbabago

Mula dito mahahanap natin

Formula ng discriminant at mga ugat ng quadratic equation

Ang discriminant ay ang halaga ng radical expression. Kung ito ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na kinakalkula ng formula Kapag ang discriminant ay zero, ang quadratic equation ay may isang solusyon (dalawang coinciding roots), na madaling makuha mula sa itaas na formula para sa D=0. Kapag ang discriminant ay negatibo, walang tunay na ugat ng equation. Gayunpaman, upang pag-aralan ang mga solusyon ng quadratic equation sa kumplikadong eroplano, at ang kanilang halaga ay kinakalkula ng formula

Ang teorama ni Vieta

Isaalang-alang ang dalawang ugat ng isang quadratic equation at bumuo ng isang quadratic equation sa kanilang batayan. Mula sa notasyon, ang Vieta theorem mismo ay madaling sumusunod: kung mayroon tayong quadratic equation ng form kung gayon ang kabuuan ng mga ugat nito ay katumbas ng koepisyent p, kinuha sa kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ng equation ay katumbas ng libreng termino q. Ang formula para sa itaas ay magmumukhang Kung ang pare-parehong a sa classical na equation ay nonzero, pagkatapos ay kailangan mong hatiin ang buong equation dito, at pagkatapos ay ilapat ang Vieta theorem.

Iskedyul ng quadratic equation sa mga salik

Hayaang itakda ang gawain: i-decompose ang quadratic equation sa mga salik. Upang maisagawa ito, lutasin muna natin ang equation (hanapin ang mga ugat). Susunod, pinapalitan natin ang mga natagpuang ugat sa formula para sa pagpapalawak ng quadratic equation. Ang problemang ito ay malulutas.

Mga gawain para sa isang quadratic equation

Gawain 1. Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation

x^2-26x+120=0 .

Solusyon: Isulat ang mga coefficient at palitan sa discriminant formula

ugat ng binigay na halaga katumbas ng 14, madaling mahanap ito gamit ang isang calculator, o tandaan ito sa madalas na paggamit, gayunpaman, para sa kaginhawahan, sa dulo ng artikulo ay bibigyan kita ng isang listahan ng mga parisukat ng mga numero na madalas na matatagpuan sa mga naturang gawain .
Ang nahanap na halaga ay pinapalitan sa root formula

at nakukuha namin

Gawain 2. lutasin ang equation

2x2+x-3=0.

Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation, isulat ang mga coefficient at hanapin ang discriminant


Gamit ang mga kilalang formula, makikita natin ang mga ugat ng quadratic equation

Gawain 3. lutasin ang equation

9x2 -12x+4=0.

Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation. Tukuyin ang discriminant

Nakuha namin ang kaso kapag ang mga ugat ay nag-tutugma. Nahanap namin ang mga halaga ng mga ugat sa pamamagitan ng formula

Gawain 4. lutasin ang equation

x^2+x-6=0 .

Solusyon: Sa mga kaso kung saan may maliliit na coefficient para sa x, ipinapayong ilapat ang Vieta theorem. Sa pamamagitan ng kondisyon nito, nakakakuha tayo ng dalawang equation

Mula sa pangalawang kondisyon, nakuha namin na ang produkto ay dapat na katumbas ng -6. Nangangahulugan ito na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Mayroon kaming sumusunod na posibleng pares ng mga solusyon(-3;2), (3;-2) . Isinasaalang-alang ang unang kundisyon, tinatanggihan namin ang pangalawang pares ng mga solusyon.
Ang mga ugat ng equation ay

Gawain 5. Hanapin ang mga haba ng mga gilid ng isang parihaba kung ang perimeter nito ay 18 cm at ang lawak ay 77 cm 2.

Solusyon: Ang kalahati ng perimeter ng isang parihaba ay katumbas ng kabuuan ng mga katabing gilid. Tukuyin natin ang x - malaking bahagi, pagkatapos ay 18-x ang mas maliit na bahagi nito. Ang lugar ng isang rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga haba na ito:
x(18x)=77;
o
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Hanapin natin ang discriminant mga equation

Kinakalkula namin ang mga ugat ng equation

Kung ang x=11, pagkatapos 18x=7 , vice versa ay totoo din (kung x=7, pagkatapos ay 21-x=9).

Suliranin 6. I-factorize ang quadratic 10x 2 -11x+3=0 equation.

Solusyon: Kalkulahin ang mga ugat ng equation, para dito makikita natin ang discriminant

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa formula ng mga ugat at kalkulahin

Inilapat namin ang formula para sa pagpapalawak ng quadratic equation sa mga tuntunin ng mga ugat

Pagpapalawak ng mga bracket, makukuha natin ang pagkakakilanlan.

Quadratic equation na may parameter

Halimbawa 1. Para sa anong mga halaga ng parameter a , may isang ugat ba ang equation (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0?

Solusyon: Sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ng halaga a=3, makikita natin na wala itong solusyon. Dagdag pa, gagamitin namin ang katotohanan na sa isang zero discriminant, ang equation ay may isang ugat ng multiplicity 2. Isulat natin ang discriminant

pasimplehin ito at katumbas ng zero

Nakakuha kami ng isang quadratic equation na may paggalang sa parameter a, ang solusyon kung saan ay madaling makuha gamit ang Vieta theorem. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang kanilang produkto ay 12. Sa pamamagitan ng simpleng enumeration, itinatatag namin na ang mga numero 3.4 ang magiging ugat ng equation. Dahil tinanggihan na natin ang solusyon a=3 sa simula ng mga kalkulasyon, ang tanging tama ay - a=4. Kaya, para sa a = 4, ang equation ay may isang ugat.

Halimbawa 2. Para sa anong mga halaga ng parameter a , ang equation a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 may higit sa isang ugat?

Solusyon: Isaalang-alang muna ang mga isahan na puntos, sila ang magiging mga halaga a=0 at a=-3. Kapag a=0, ang equation ay pasimplehin sa anyo na 6x-9=0; x=3/2 at magkakaroon ng isang ugat. Para sa a= -3 makuha natin ang pagkakakilanlan 0=0 .
Kalkulahin ang discriminant

at hanapin ang mga halaga ng isang kung saan ito ay positibo

Mula sa unang kundisyon nakakakuha tayo ng>3. Para sa pangalawa, makikita natin ang discriminant at ang mga ugat ng equation


Tukuyin natin ang mga pagitan kung saan kumukuha ang function ng mga positibong halaga. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng puntong a=0 nakukuha natin 3>0 . Kaya, sa labas ng pagitan (-3; 1/3) ang function ay negatibo. Huwag kalimutan ang tuldok a=0 na dapat na hindi kasama, dahil ang orihinal na equation ay may isang ugat dito.
Bilang resulta, nakakakuha kami ng dalawang pagitan na nakakatugon sa kondisyon ng problema

Magkakaroon ng maraming katulad na mga gawain sa pagsasanay, subukang harapin ang mga gawain sa iyong sarili at huwag kalimutang isaalang-alang ang mga kondisyon na kapwa eksklusibo. Pag-aralan nang mabuti ang mga formula para sa paglutas ng mga quadratic equation, madalas silang kailangan sa mga kalkulasyon sa iba't ibang mga problema at agham.

Sa pagpapatuloy ng paksang "Paglutas ng mga Equation", ang materyal sa artikulong ito ay magpapakilala sa iyo sa mga quadratic equation.

Isaalang-alang natin ang lahat nang detalyado: ang kakanyahan at notasyon ng quadratic equation, itakda ang mga kasamang termino, pag-aralan ang scheme para sa paglutas ng hindi kumpleto at kumpletong equation, makikilala natin ang formula ng mga ugat at ang discriminant, magtatatag tayo ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient, at siyempre magbibigay tayo ng visual na solusyon ng mga praktikal na halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Quadratic equation, mga uri nito

Quadratic equation ay ang equation na nakasulat bilang a x 2 + b x + c = 0, saan x– variable, a , b at c ay ilang mga numero, habang a ay hindi zero.

Kadalasan, ang mga quadratic equation ay tinatawag ding mga equation ng pangalawang degree, dahil sa katunayan ang isang quadratic equation ay algebraic equation ikalawang antas.

Magbigay tayo ng isang halimbawa upang ilarawan ang ibinigay na kahulugan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, atbp. ay mga quadratic equation.

Kahulugan 2

Mga numero a , b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, habang ang coefficient a ay tinatawag na una, o senior, o coefficient sa x 2, b - ang pangalawang coefficient, o coefficient sa x, a c tinatawag na libreng miyembro.

Halimbawa, sa quadratic equation 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 ang pinakamataas na koepisyent ay 6 , ang pangalawang koepisyent ay − 2 , at ang libreng termino ay katumbas ng − 11 . Bigyang-pansin natin ang katotohanan na kapag ang coefficients b at/o c ay negatibo, kung gayon maikling porma mga talaan ng form 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ngunit hindi 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Linawin din natin ang aspetong ito: kung ang coefficients a at/o b pantay 1 o − 1 , kung gayon ay hindi sila maaaring magkaroon ng tahasang bahagi sa pagsulat ng quadratic equation, na ipinaliwanag ng mga kakaibang katangian ng pagsulat ng ipinahiwatig na mga numerical coefficient. Halimbawa, sa quadratic equation y 2 − y + 7 = 0 ang senior coefficient ay 1 at ang pangalawang coefficient ay − 1 .

Mga pinababang at hindi pinababang quadratic equation

Ayon sa halaga ng unang koepisyent, ang mga quadratic equation ay nahahati sa nabawasan at hindi nabawas.

Kahulugan 3

Pinababang quadratic equation ay isang quadratic equation kung saan ang leading coefficient ay 1 . Para sa iba pang mga halaga ng nangungunang koepisyent, ang quadratic equation ay hindi nabawasan.

Narito ang ilang mga halimbawa: ang mga quadratic equation x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 ay nababawasan, sa bawat isa kung saan ang leading coefficient ay 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- unreduced quadratic equation, kung saan ang unang coefficient ay iba sa 1 .

Anumang unreduced quadratic equation ay maaaring ma-convert sa isang pinababang equation sa pamamagitan ng paghahati sa parehong mga bahagi nito sa unang coefficient (katumbas na pagbabago). Ang binagong equation ay magkakaroon ng parehong mga ugat gaya ng ibinigay na hindi pinababang equation o hindi rin magkakaroon ng mga ugat sa lahat.

Pagsasaalang-alang case study ay magbibigay-daan sa amin na biswal na ipakita ang paglipat mula sa isang hindi nabawas na quadratic equation patungo sa isang pinababang equation.

Halimbawa 1

Ibinigay ang equation na 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Kinakailangang i-convert ang orihinal na equation sa pinababang anyo.

Solusyon

Ayon sa scheme sa itaas, hinahati namin ang parehong bahagi ng orihinal na equation sa nangungunang koepisyent 6 . Pagkatapos makuha namin: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, at ito ay kapareho ng: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 − 7: 3 = 0 at higit pa: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Mula rito: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Kaya, ang isang equation na katumbas ng ibinigay ay nakuha.

Sagot: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Kumpleto at hindi kumpletong quadratic equation

Bumaling tayo sa kahulugan ng isang quadratic equation. Sa loob nito, tinukoy namin iyon isang ≠ 0. Ang isang katulad na kondisyon ay kinakailangan para sa equation a x 2 + b x + c = 0 ay eksaktong parisukat, dahil a = 0 ito ay mahalagang transforms sa linear equation b x + c = 0.

Sa kaso kung saan ang mga coefficient b at c ay katumbas ng zero (na posible, parehong indibidwal at magkasanib), ang quadratic equation ay tinatawag na hindi kumpleto.

Kahulugan 4

Hindi kumpletong quadratic equation ay isang quadratic equation a x 2 + b x + c \u003d 0, kung saan kahit isa sa mga coefficient b at c(o pareho) ay zero.

Kumpletuhin ang quadratic equation ay isang quadratic equation kung saan ang lahat ng mga numerical coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Talakayin natin kung bakit ang mga uri ng quadratic equation ay binibigyan ng tiyak na mga pangalan.

Para sa b = 0, ang quadratic equation ay nasa anyo a x 2 + 0 x + c = 0, na kapareho ng a x 2 + c = 0. Sa c = 0 ang quadratic equation ay nakasulat bilang a x 2 + b x + 0 = 0, na katumbas a x 2 + b x = 0. Sa b = 0 at c = 0 ang equation ay kukuha ng anyo a x 2 = 0. Ang mga equation na nakuha namin ay naiiba sa buong quadratic equation na ang kanilang mga kaliwang bahagi ay hindi naglalaman ng alinman sa isang term na may variable na x, o isang libreng termino, o pareho nang sabay-sabay. Sa totoo lang, ang katotohanang ito ay nagbigay ng pangalan sa ganitong uri ng mga equation - hindi kumpleto.

Halimbawa, ang x 2 + 3 x + 4 = 0 at − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ay mga kumpletong quadratic equation; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Ginagawang posible ng kahulugang ibinigay sa itaas na makilala ang mga sumusunod na uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

• a x 2 = 0, ang mga coefficient ay tumutugma sa naturang equation b = 0 at c = 0 ;
• a x 2 + c \u003d 0 para sa b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 para sa c = 0 .

Isaalang-alang ang sunud-sunod na solusyon ng bawat uri ng hindi kumpletong quadratic equation.

Solusyon ng equation a x 2 \u003d 0

Tulad ng nabanggit na sa itaas, ang naturang equation ay tumutugma sa mga coefficient b at c, katumbas ng zero. Ang equation a x 2 = 0 maaaring i-convert sa isang katumbas na equation x2 = 0, na nakukuha natin sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng orihinal na equation sa numero a, hindi katumbas ng zero. Malinaw na katotohanan, na siyang ugat ng equation x2 = 0 ay zero dahil 0 2 = 0 . Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat, na ipinaliwanag ng mga katangian ng degree: para sa anumang numero p , hindi katumbas ng zero, ang hindi pagkakapantay-pantay p2 > 0, mula sa kung saan ito ay sumusunod na kapag p ≠ 0 pagkakapantay-pantay p2 = 0 hinding-hindi maaabot.

Kahulugan 5

Kaya, para sa hindi kumpletong quadratic equation a x 2 = 0, mayroong isang natatanging ugat x=0.

Halimbawa 2

Halimbawa, lutasin natin ang isang hindi kumpletong quadratic equation − 3 x 2 = 0. Ito ay katumbas ng equation x2 = 0, ang tanging ugat nito ay x=0, kung gayon ang orihinal na equation ay may iisang ugat - zero.

Ang solusyon ay buod tulad ng sumusunod:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solusyon ng equation a x 2 + c \u003d 0

Susunod sa linya ay ang solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation, kung saan b \u003d 0, c ≠ 0, iyon ay, mga equation ng form a x 2 + c = 0. Ibahin natin ang equation na ito sa pamamagitan ng paglilipat ng termino mula sa isang gilid ng equation patungo sa isa, pagbabago ng sign sa kabaligtaran at paghahati sa magkabilang panig ng equation sa isang numero na hindi katumbas ng zero:

• magtiis c sa kanang bahagi, na nagbibigay ng equation a x 2 = − c;
• hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng a, nakukuha natin bilang resulta x = - c a .

Ang aming mga pagbabagong-anyo ay katumbas, ayon sa pagkakabanggit, ang resultang equation ay katumbas din ng orihinal, at ang katotohanang ito ay ginagawang posible upang makagawa ng konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation. Mula sa kung ano ang mga halaga a at c depende sa halaga ng expression - c a: maaari itong magkaroon ng minus sign (halimbawa, kung a = 1 at c = 2, pagkatapos - c a = - 2 1 = - 2) o isang plus sign (halimbawa, kung a = -2 at c=6, pagkatapos - c a = - 6 - 2 = 3); ito ay hindi katumbas ng zero dahil c ≠ 0. Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang mga sitwasyon kung kailan - c a< 0 и - c a > 0 .

Sa kaso kapag - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p pagkakapantay-pantay p 2 = - c a ay hindi maaaring totoo.

Ang lahat ay naiiba kapag - c a > 0: tandaan ang square root, at magiging halata na ang ugat ng equation x 2 \u003d - c a ay magiging numero - c a, dahil - c a 2 \u003d - c a. Madaling maunawaan na ang bilang - - c a - ay ang ugat din ng equation x 2 = - c a: sa katunayan, - - c a 2 = - c a .

Ang equation ay hindi magkakaroon ng iba pang mga ugat. Maaari nating ipakita ito gamit ang kabaligtaran na pamamaraan. Una, itakda natin ang notasyon ng mga ugat na matatagpuan sa itaas bilang x 1 at − x 1. Ipagpalagay natin na ang equation x 2 = - c a ay mayroon ding ugat x2, na iba sa mga ugat x 1 at − x 1. Alam natin iyon sa pamamagitan ng pagpapalit sa equation sa halip na x ang mga ugat nito, binabago natin ang equation sa isang patas na pagkakapantay-pantay sa numero.

Para sa x 1 at − x 1 isulat ang: x 1 2 = - c a , at para sa x2- x 2 2 \u003d - c a. Pagbuo sa mga ari-arian numerical equalities, ibinabawas natin ang isang tunay na pagkakapantay-pantay mula sa kabilang termino ayon sa termino, na magbibigay sa atin ng: x 1 2 − x 2 2 = 0. Gamitin ang mga katangian ng mga pagpapatakbo ng numero upang muling isulat ang huling pagkakapantay-pantay bilang (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Ito ay kilala na ang produkto ng dalawang numero ay zero kung at kung hindi bababa sa isa sa mga numero ay zero. Mula sa sinabi, sinusundan iyon x1 − x2 = 0 at/o x1 + x2 = 0, na pareho x2 = x1 at/o x 2 = − x 1. Ang isang malinaw na kontradiksyon ay lumitaw, dahil sa una ay napagkasunduan na ang ugat ng equation x2 naiiba mula sa x 1 at − x 1. Kaya, napatunayan namin na ang equation ay walang ibang mga ugat maliban sa x = - c a at x = - - c a .

Binubuod namin ang lahat ng mga argumento sa itaas.

Kahulugan 6

Hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + c = 0 ay katumbas ng equation x 2 = - c a , na:

• hindi magkakaroon ng mga ugat sa - c a< 0 ;
• magkakaroon ng dalawang ugat x = - c a at x = - - c a kapag - c a > 0 .

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng paglutas ng mga equation a x 2 + c = 0.

Halimbawa 3

Nabigyan ng quadratic equation 9 x 2 + 7 = 0 . Ito ay kinakailangan upang mahanap ang solusyon nito.

Solusyon

Inilipat namin ang libreng termino sa kanang bahagi ng equation, pagkatapos ay kukuha ng anyo ang equation 9 x 2 \u003d - 7.
Hinahati namin ang magkabilang panig ng resultang equation sa pamamagitan ng 9 , dumating tayo sa x 2 = - 7 9 . Sa kanang bahagi ay nakikita natin ang isang numero na may minus sign, na nangangahulugang: ang ibinigay na equation ay walang mga ugat. Pagkatapos ay ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation 9 x 2 + 7 = 0 hindi magkakaroon ng mga ugat.

Sagot: ang equation 9 x 2 + 7 = 0 walang ugat.

Halimbawa 4

Ito ay kinakailangan upang malutas ang equation − x2 + 36 = 0.

Solusyon

Ilipat natin ang 36 sa kanang bahagi: − x 2 = − 36.
Hatiin natin ang dalawang bahagi sa − 1 , nakukuha namin x2 = 36. Sa kanang bahagi ay isang positibong numero, kung saan maaari nating tapusin iyon x = 36 o x = - 36 .
Kinukuha namin ang ugat at isulat ang huling resulta: isang hindi kumpletong quadratic equation − x2 + 36 = 0 may dalawang ugat x=6 o x = -6.

Sagot: x=6 o x = -6.

Solusyon ng equation a x 2 +b x=0

Suriin natin ang ikatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation, kung kailan c = 0. Upang makahanap ng solusyon sa isang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + b x = 0, ginagamit namin ang paraan ng factorization. I-factorize natin ang polynomial, na nasa kaliwang bahagi ng equation, na inaalis ang common factor sa mga bracket. x. Ang hakbang na ito ay gagawing posible na baguhin ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation sa katumbas nito x (a x + b) = 0. At ang equation na ito, sa turn, ay katumbas ng set ng mga equation x=0 at a x + b = 0. Ang equation a x + b = 0 linear, at ang ugat nito: x = − b a.

Kahulugan 7

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + b x = 0 magkakaroon ng dalawang ugat x=0 at x = − b a.

Pagsamahin natin ang materyal sa isang halimbawa.

Halimbawa 5

Kinakailangang hanapin ang solusyon ng equation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Solusyon

Ilabas natin x sa labas ng mga bracket at kunin ang equation na x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ang equation na ito ay katumbas ng mga equation x=0 at 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Ngayon ay dapat mong lutasin ang resultang linear equation: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Sa madaling sabi, isinulat namin ang solusyon ng equation tulad ng sumusunod:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o x = 3 3 7

Sagot: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminant, formula ng mga ugat ng isang quadratic equation

Upang makahanap ng solusyon sa mga quadratic equation, mayroong isang root formula:

Kahulugan 8

x = - b ± D 2 a, kung saan D = b 2 − 4 a c ay ang tinatawag na discriminant ng isang quadratic equation.

Ang pagsulat ng x \u003d - b ± D 2 a ay mahalagang nangangahulugang x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Magiging kapaki-pakinabang na maunawaan kung paano nakuha ang ipinahiwatig na pormula at kung paano ilapat ito.

Derivation ng formula ng mga ugat ng isang quadratic equation

Ipagpalagay na nahaharap tayo sa gawain ng paglutas ng isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0. Magsagawa tayo ng ilang katumbas na pagbabago:

• hatiin ang magkabilang panig ng equation sa bilang a, naiiba sa zero, nakuha namin ang pinababang quadratic equation: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• piliin ang buong parisukat sa kaliwang bahagi ng resultang equation:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Pagkatapos nito, ang equation ay kukuha ng anyo: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• ngayon posible na ilipat ang huling dalawang termino sa kanang bahagi, binabago ang pag-sign sa kabaligtaran, pagkatapos nito makuha namin: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• sa wakas, binabago namin ang expression na nakasulat sa kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Kaya, dumating tayo sa equation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , na katumbas ng orihinal na equation a x 2 + b x + c = 0.

Tinalakay namin ang solusyon ng naturang mga equation sa mga nakaraang talata (ang solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation). Ang karanasang natamo ay ginagawang posible upang makagawa ng konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• para sa b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• para sa b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, ang equation ay may anyo na x + b 2 · a 2 = 0, pagkatapos ay x + b 2 · a = 0.

Mula dito, ang tanging ugat na x = - b 2 · a ay kitang-kita;

• para sa b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, ang tama ay: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 o x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , na siyang katulad ng x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 o x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , i.e. ang equation ay may dalawang ugat.

Posibleng tapusin na ang presensya o kawalan ng mga ugat ng equation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (at samakatuwid ang orihinal na equation) ay nakasalalay sa tanda ng expression b 2 - 4 a c 4 · isang 2 na nakasulat sa kanang bahagi. At ang tanda ng pagpapahayag na ito ay ibinibigay ng tanda ng numerator, (ang denominator 4 a 2 ay palaging magiging positibo), iyon ay, ang tanda ng pagpapahayag b 2 − 4 a c. Ang ekspresyong ito b 2 − 4 a c binigay ang isang pangalan - ang discriminant ng isang quadratic equation at ang letrang D ay tinukoy bilang pagtatalaga nito. Dito maaari mong isulat ang kakanyahan ng discriminant - sa pamamagitan ng halaga at tanda nito, napagpasyahan nila kung ang quadratic equation ay magkakaroon ng tunay na mga ugat, at, kung gayon, kung gaano karaming mga ugat - isa o dalawa.

Bumalik tayo sa equation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Isulat muli natin ito gamit ang discriminant notation: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Balikan natin ang mga konklusyon:

Kahulugan 9

• sa D< 0 ang equation ay walang tunay na ugat;
• sa D=0 ang equation ay may iisang ugat x = - b 2 · a ;
• sa D > 0 ang equation ay may dalawang ugat: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 o x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Batay sa mga katangian ng mga radical, ang mga ugat na ito ay maaaring isulat bilang: x \u003d - b 2 a + D 2 a o - b 2 a - D 2 a. At kapag binuksan namin ang mga module at bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, nakukuha namin ang: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Kaya, ang resulta ng aming pangangatwiran ay ang derivation ng formula para sa mga ugat ng quadratic equation:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , discriminant D kinakalkula ng formula D = b 2 − 4 a c.

Ginagawang posible ng mga formula na ito, kapag mas malaki sa zero ang discriminant, upang matukoy ang parehong tunay na pinagmulan. Kapag ang discriminant ay zero, ang paglalapat ng parehong mga formula ay magbibigay ng parehong ugat bilang ang tanging solusyon sa quadratic equation. Sa kaso kapag negatibo ang discriminant, sinusubukang gamitin ang quadratic root formula, haharap tayo sa pangangailangang kunin Kuwadrado na ugat mula sa isang negatibong numero, na magdadala sa atin nang higit pa sa mga tunay na numero. Sa isang negatibong discriminant, ang quadratic equation ay hindi magkakaroon ng mga tunay na ugat, ngunit posible ang isang pares ng kumplikadong conjugate root, na tinutukoy ng parehong mga formula ng ugat na nakuha namin.

Algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation gamit ang root formula

Posibleng lutasin ang isang quadratic equation sa pamamagitan ng kaagad na paggamit ng root formula, ngunit karaniwang ginagawa ito kapag kinakailangan upang makahanap ng mga kumplikadong ugat.

Sa karamihan ng mga kaso, ang paghahanap ay karaniwang sinadya hindi para sa kumplikado, ngunit para sa mga tunay na ugat ng isang quadratic equation. Pagkatapos ito ay pinakamainam, bago gamitin ang mga pormula para sa mga ugat ng quadratic equation, una upang matukoy ang discriminant at siguraduhin na ito ay hindi negatibo (kung hindi man ay aming tapusin na ang equation ay walang tunay na mga ugat), at pagkatapos ay magpatuloy upang kalkulahin ang halaga ng mga ugat.

Ang pangangatwiran sa itaas ay ginagawang posible na bumalangkas ng isang algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation.

Kahulugan 10

Upang malutas ang isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, kailangan:

• ayon sa pormula D = b 2 − 4 a c hanapin ang halaga ng discriminant;
• sa D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• para sa D = 0 hanapin ang tanging ugat ng equation sa pamamagitan ng formula x = - b 2 · a ;
• para sa D > 0, tukuyin ang dalawang tunay na ugat ng quadratic equation sa pamamagitan ng formula x = - b ± D 2 · a.

Tandaan na kapag ang discriminant ay zero, maaari mong gamitin ang formula x = - b ± D 2 · a , magbibigay ito ng parehong resulta tulad ng formula x = - b 2 · a .

Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation

Ipinakita namin ang solusyon ng mga halimbawa para sa iba't ibang mga halaga ng discriminant.

Halimbawa 6

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga ugat ng equation x 2 + 2 x - 6 = 0.

Solusyon

Isinulat namin ang mga numerical coefficient ng quadratic equation: a \u003d 1, b \u003d 2 at c = − 6. Susunod, kumilos kami ayon sa algorithm, i.e. Simulan nating kalkulahin ang discriminant, kung saan pinapalitan natin ang mga coefficient a , b at c sa discriminant formula: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Kaya, nakuha namin ang D > 0, na nangangahulugan na ang orihinal na equation ay magkakaroon ng dalawang tunay na ugat.
Upang mahanap ang mga ito, ginagamit namin ang root formula x \u003d - b ± D 2 · a at, pinapalitan ang naaangkop na mga halaga, nakukuha namin: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Pinapasimple namin ang resultang expression sa pamamagitan ng pag-alis ng salik sa tanda ng ugat, na sinusundan ng pagbawas ng fraction:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 o x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 o x = - 1 - 7

Sagot: x = - 1 + 7 , x = - 1-7 .

Halimbawa 7

Ito ay kinakailangan upang malutas ang isang quadratic equation − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solusyon

Tukuyin natin ang discriminant: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Sa ganitong halaga ng discriminant, ang orihinal na equation ay magkakaroon lamang ng isang ugat, na tinutukoy ng formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Sagot: x = 3, 5.

Halimbawa 8

Ito ay kinakailangan upang malutas ang equation 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Solusyon

Ang mga numerical coefficient ng equation na ito ay magiging: a = 5 , b = 6 at c = 2 . Ginagamit namin ang mga halagang ito upang mahanap ang discriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Ang computed discriminant ay negatibo, kaya ang orihinal na quadratic equation ay walang tunay na ugat.

Sa kaso kapag ang gawain ay upang ipahiwatig ang mga kumplikadong ugat, inilalapat namin ang root formula sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga operasyon na may mga kumplikadong numero:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 o x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i o x = - 3 5 - 1 5 i .

Sagot: walang tunay na mga ugat; ang kumplikadong mga ugat ay: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Sa kurikulum ng paaralan, bilang isang pamantayan, walang kinakailangang maghanap ng mga kumplikadong ugat, samakatuwid, kung ang diskriminasyon ay tinukoy bilang negatibo sa panahon ng desisyon, ang sagot ay agad na naitala na walang tunay na mga ugat.

Root formula para sa kahit na pangalawang coefficient

Ang root formula x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) ay ginagawang posible na makakuha ng isa pang formula, mas compact, na nagpapahintulot sa iyo na makahanap ng mga solusyon sa quadratic equation na may pantay na koepisyent sa x (o may koepisyent. ng anyo 2 a n, halimbawa, 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ipakita natin kung paano hinango ang formula na ito.

Ipagpalagay na nahaharap tayo sa gawain ng paghahanap ng solusyon sa quadratic equation a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Kumilos kami ayon sa algorithm: tinutukoy namin ang discriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , at pagkatapos ay gamitin ang root formula:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Hayaang ang expression n 2 − a c ay denoted bilang D 1 (minsan ito ay denoted D "). Pagkatapos ang formula para sa mga ugat ng itinuturing na quadratic equation na may pangalawang coefficient 2 n ay kukuha ng anyo:

x \u003d - n ± D 1 a, kung saan D 1 \u003d n 2 - a c.

Madaling makita na D = 4 · D 1 , o D 1 = D 4 . Sa madaling salita, ang D 1 ay isang quarter ng discriminant. Malinaw, ang tanda ng D 1 ay kapareho ng tanda ng D, na nangangahulugan na ang tanda ng D 1 ay maaari ding magsilbi bilang isang tagapagpahiwatig ng pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng isang quadratic equation.

Kahulugan 11

Kaya, upang makahanap ng solusyon sa isang quadratic equation na may pangalawang coefficient na 2 n, kinakailangan:

• hanapin ang D 1 = n 2 − a c ;
• sa D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• para sa D 1 = 0, tukuyin ang tanging ugat ng equation sa pamamagitan ng formula x = - n a ;
• para sa D 1 > 0, tukuyin ang dalawang tunay na ugat gamit ang formula x = - n ± D 1 a.

Halimbawa 9

Kinakailangang lutasin ang quadratic equation 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Solusyon

Ang pangalawang koepisyent ng ibinigay na equation ay maaaring katawanin bilang 2 · (− 3) . Pagkatapos ay muling isulat namin ang ibinigay na quadratic equation bilang 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kung saan ang a = 5 , n = − 3 at c = − 32 .

Kalkulahin natin ang ikaapat na bahagi ng discriminant: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Ang resultang halaga ay positibo, na nangangahulugan na ang equation ay may dalawang tunay na ugat. Tinutukoy namin ang mga ito sa pamamagitan ng kaukulang formula ng mga ugat:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 o x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 o x = - 2

Posibleng magsagawa ng mga kalkulasyon gamit ang karaniwang formula para sa mga ugat ng isang parisukat na equation, ngunit sa kasong ito ang solusyon ay magiging mas mahirap.

Sagot: x = 3 1 5 o x = - 2 .

Pagpapasimple ng anyo ng mga quadratic equation

Minsan posible na i-optimize ang anyo ng orihinal na equation, na magpapasimple sa proseso ng pagkalkula ng mga ugat.

Halimbawa, ang quadratic equation 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ay malinaw na mas maginhawa para sa paglutas kaysa sa 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Mas madalas, ang pagpapasimple ng anyo ng isang quadratic equation ay ginagawa sa pamamagitan ng pag-multiply o paghahati ng parehong bahagi nito sa isang tiyak na numero. Halimbawa, sa itaas ay nagpakita kami ng pinasimple na representasyon ng equation na 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, na nakuha sa pamamagitan ng paghahati sa parehong bahagi nito sa 100.

Ang ganitong pagbabago ay posible kapag ang mga coefficient ng quadratic equation ay hindi magkapareho mga pangunahing numero. Pagkatapos, kadalasan, ang parehong bahagi ng equation ay nahahati sa pinakamalaking karaniwang divisor ng mga ganap na halaga ng mga coefficient nito.

Bilang halimbawa, ginagamit namin ang quadratic equation 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Tukuyin natin ang gcd ng mga ganap na halaga ng mga coefficient nito: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Hatiin natin ang parehong bahagi ng orihinal na quadratic equation sa 6 at makuha ang katumbas na quadratic equation 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng quadratic equation, ang mga fractional coefficient ay karaniwang inaalis. Sa kasong ito, i-multiply sa hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga coefficient nito. Halimbawa, kung ang bawat bahagi ng quadratic equation 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 ay pinarami ng LCM (6, 3, 1) \u003d 6, pagkatapos ay isusulat ito sa higit pa simpleng anyo x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Sa wakas, tandaan namin na halos palaging alisin ang minus sa unang koepisyent ng quadratic equation, binabago ang mga palatandaan ng bawat termino ng equation, na nakamit sa pamamagitan ng pagpaparami (o paghahati) ng parehong bahagi ng -1. Halimbawa, mula sa quadratic equation - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, maaari kang pumunta sa pinasimple na bersyon nito 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient

Ang kilalang formula para sa mga ugat ng quadratic equation x = - b ± D 2 · a ay nagpapahayag ng mga ugat ng equation sa mga tuntunin ng mga numerical coefficient nito. Batay sa formula na ito, mayroon kaming pagkakataon na magtakda ng iba pang mga dependency sa pagitan ng mga ugat at coefficient.

Ang pinakatanyag at naaangkop ay ang mga formula ng Vieta theorem:

x 1 + x 2 \u003d - b a at x 2 \u003d c a.

Sa partikular, para sa ibinigay na quadratic equation, ang kabuuan ng mga ugat ay ang pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Halimbawa, sa pamamagitan ng anyo ng quadratic equation 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, posible na agad na matukoy na ang kabuuan ng mga ugat nito ay 7 3, at ang produkto ng mga ugat ay 22 3.

Makakahanap ka rin ng ilang iba pang ugnayan sa pagitan ng mga ugat at koepisyent ng isang quadratic equation. Halimbawa, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang quadratic equation ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga coefficient:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter