Hanapin ang directional derivative ng function sa isang punto. Direksiyonal na derivative

Ipinapakilala ang konsepto ng partial derivative ng isang function ng ilang variable, dinagdagan namin ang mga variable nang paisa-isa, na iniiwan ang lahat ng iba pang argumento na hindi nagbabago. Sa partikular, kung isasaalang-alang natin ang isang function ng dalawang variable na z = f(x,y), kung gayon ang variable na x ay binigyan ng pagtaas ng Δx, at pagkatapos ay sa domain ng kahulugan ng function mayroong isang paglipat mula sa isang punto na may mga coordinate (x,y) sa isang puntong may mga coordinate (x + Δx ;y); o ang variable na y ay binigyan ng pagtaas ng Δy, at pagkatapos ay sa domain ng kahulugan ng function ay nagkaroon ng paglipat mula sa isang punto na may mga coordinate (x,y) patungo sa isang punto na may mga coordinate (x; y + Δy) (tingnan ang Figure 5.6 ). Kaya, ang punto kung saan kinuha namin ang partial derivative ng function ay lumipat sa mga direksyon na kahanay sa mga coordinate axes sa eroplano (alinman sa parallel sa x-axis o parallel sa ordinate). Isaalang-alang natin ngayon ang kaso kapag ang direksyon ay maaaring kunin nang arbitraryo, i.e. Ang mga pagtaas ay ibinibigay sa ilang mga variable nang sabay-sabay. Para sa kaso ng isang function ng dalawang variable, lilipat tayo sa punto (x + Δx; y + Δy), at ang displacement ay magiging Δ l(tingnan ang Larawan 5.6).

Kapag lumipat sa sa direksyong ito ang function na z ay makakatanggap ng dagdag na Δ l z = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), na tinatawag na pagtaas ng function na z sa isang ibinigay na direksyon l.

Hinango ng z l` sa direksyon l function ng dalawang variable
z = f(x,y) ay ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa direksyong ito sa halaga ng displacement Δ l dahil ang huli ay may posibilidad na zero, i.e. .

Derivative z l` nailalarawan ang rate ng pagbabago ng function sa direksyon l.

Ang konsepto ng directional derivative ay maaaring gawing pangkalahatan sa mga function na may anumang bilang ng mga variable.

Figure 5.6 – Paglipat ng isang punto sa isang direksyon l

Mapapatunayan na ang z l` = z x `cos α + z y `cos β, kung saan ang α at β ay ang mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng direksyon ng paggalaw ng punto na may mga coordinate axes (tingnan ang Figure 5.6).

Halimbawa, hanapin natin ang derivative ng function z = ln (x 2 + xy) sa punto
(3; 1) sa direksyon mula sa puntong ito hanggang sa punto (6; -3) (tingnan ang Larawan 5.7).

Upang gawin ito, hanapin muna ang mga partial derivatives ng function na ito sa punto (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3* 1) = 7/12;
z y ` = x/(x 2 + xy) = 3/(3 2 + 3*1) = 3/12 = 1/4.

Tandaan na Δx = 6 – 3 = 3; Δy = -3 – 1 = -4; (Δ l) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ l| = 5. Pagkatapos cos α = 3/5; cos β = -4/5; z l` = z x `cos α + z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 – 1*4)/(4*5) = 3/20.

Pag-andar ng gradient

Mula sa kursong matematika ng paaralan alam natin na ang isang vector sa isang eroplano ay isang nakadirekta na segment. Ang simula at wakas nito ay may dalawang coordinate. Ang mga coordinate ng vector ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga panimulang coordinate mula sa mga coordinate ng pagtatapos.

Ang konsepto ng isang vector ay maaaring palawakin sa n-dimensional na espasyo (sa halip na dalawang coordinate ay magkakaroon ng n coordinate).

Gradient grad z ng function z = f(x 1, x 2, ...x n) ay ang vector ng mga partial derivatives ng function sa isang punto, i.e. vector na may mga coordinate .

Mapapatunayan na ang gradient ng isang function ay nagpapakilala sa direksyon ng pinakamabilis na paglaki ng antas ng isang function sa isang punto.

Halimbawa, para sa function na z = 2x 1 + x 2 (tingnan ang Figure 5.8), ang gradient sa anumang punto ay magkakaroon ng mga coordinate (2; 1). Maaari mong itayo ito sa isang eroplano iba't ibang paraan, pagkuha ng anumang punto bilang simula ng vector. Halimbawa, maaari mong ikonekta ang point (0; 0) sa point (2; 1), o point (1; 0) sa point (3; 1), o point (0; 3) sa point (2; 4), o iba pa.P. (Tingnan ang Larawan 5.8). Ang lahat ng mga vector na binuo sa ganitong paraan ay magkakaroon ng mga coordinate (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Mula sa Figure 5.8 malinaw na nakikita na ang antas ng pag-andar ay tumataas sa direksyon ng gradient, dahil ang mga itinayong linya ng antas ay tumutugma sa mga halaga ng antas 4 > 3 > 2.

Figure 5.8 - Gradient ng function z = 2x 1 + x 2

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa - ang function na z = 1/(x 1 x 2). Ang gradient ng function na ito ay hindi na palaging magiging pareho sa iba't ibang puntos, dahil ang mga coordinate nito ay tinutukoy ng mga formula (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Ipinapakita ng Figure 5.9 ang mga linya ng antas ng function na z = 1/(x 1 x 2) para sa mga antas 2 at 10 (ang tuwid na linya 1/(x 1 x 2) = 2 ay ipinahiwatig ng isang tuldok na linya, at ang tuwid na linya
1/(x 1 x 2) = 10 – solidong linya).

Figure 5.9 - Mga gradient ng function z = 1/(x 1 x 2) sa iba't ibang punto

Kunin, halimbawa, ang punto (0.5; 1) at kalkulahin ang gradient sa puntong ito: (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2). Tandaan na ang punto (0.5; 1) ay nasa antas na linya 1/(x 1 x 2) = 2, dahil z = f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. Upang ilarawan ang vector ( -4; -2) sa Figure 5.9, ikinonekta namin ang punto (0.5; 1) sa punto (-3.5; -1), dahil
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Kumuha tayo ng isa pang punto sa parehong linya ng antas, halimbawa, punto (1; 0.5) (z = f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). Kalkulahin natin ang gradient sa puntong ito
(-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). Upang ilarawan ito sa Figure 5.9, ikinonekta namin ang punto (1; 0.5) sa punto (-1; -3.5), dahil (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

Kumuha tayo ng isa pang punto sa parehong linya ng antas, ngunit ngayon lamang sa isang hindi positibong coordinate quarter. Halimbawa, punto (-0.5; -1) (z = f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). Ang gradient sa puntong ito ay magiging katumbas ng
(-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Ilarawan natin ito sa Figure 5.9 sa pamamagitan ng pagkonekta ng punto (-0.5; -1) sa punto (3.5; 1), dahil (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Dapat tandaan na sa lahat ng tatlong kaso na isinasaalang-alang, ang gradient ay nagpapakita ng direksyon ng paglago ng antas ng function (patungo sa antas ng linya 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Mapapatunayan na ang gradient ay palaging patayo sa linya ng antas (level surface) na dumadaan sa isang naibigay na punto.

Direksiyonal na derivative.

Ipasok sa eroplano XOY matatagpuan ang punto M 0 (x 0 ,y 0 ). Magtakda tayo ng isang arbitrary na anggulo a at isaalang-alang ang isang hanay ng mga punto sa parehong eroplano, ang mga coordinate na kung saan ay tinutukoy mula sa mga formula

x = x 0 + t cos a, y = y 0 + t kasalanan a. (1)

Dito t- isang parameter na maaaring katumbas ng anumang numero. Mula sa mga formula (1) ito ay sumusunod:

(y - y 0)/(x - x 0) = tg a

Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga puntos M(x,y), na ang mga coordinate ay nakakatugon sa mga pagkakapantay-pantay (1), ay nasa isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 0 (x 0 ,y 0) at bahagi ng anggulo a may ehe OX. Ang bawat halaga t tumutugma sa isang punto M(x,y), nakahiga sa linyang ito, at ayon sa formula (1) mula sa distansya sa pagitan ng mga punto M 0 (x 0 ,y 0) at M(x,y) katumbas t. Maaari nating isaalang-alang ang tuwid na linyang ito bilang isang axis ng numero na may positibong direksyon na tinutukoy ng pagtaas ng parameter t. Tukuyin natin ang positibong direksyon ng axis na ito sa pamamagitan ng simbolo l.

l.Derivative ng isang function z = f(x,y) sa punto M 0 (x 0 ,y 0)patungo sa l tinawag na numero

Ang directional derivative ng isang function ay maaaring bigyan ng geometric na interpretasyon. Kung sa pamamagitan ng direkta l, na tinutukoy ng mga formula (1), gumuhit ng patayong eroplano P(sa katunayan, sa tatlong-dimensional na espasyo, ang mga equation (1) ay tumutukoy sa mismong eroplanong ito), pagkatapos ang eroplanong ito ay magsa-intersect sa surface-graph ng function. z = f(x,y) kasama

ilang spatial curve L. Tangent ng anggulo sa pagitan ng pahalang na eroplano at ang padaplis sa kurba na ito sa punto M 0 (x 0 ,y 0) ay katumbas ng derivative ng function sa puntong ito sa direksyon l.

Sa anumang kurso ng mathematical analysis, napatunayan na ang directional derivative, na tinutukoy ng formula (2), ay maaaring katawanin sa anyo.

Tandaan na ang partial derivative na may kinalaman sa x ay derivative din ng direksyon. Ang direksyong ito ay tinutukoy ng mga pagkakapantay-pantay: cos a = 1; kasalanan a = 0. Katulad nito, ang partial derivative na may kinalaman sa y ay ang derivative na may paggalang sa direksyon, na maaaring tukuyin ng mga kondisyon cos a = 0; kasalanan a = 1.

Bago pag-aralan ang formula (3), ipinakita namin ang ilang mga konsepto at katotohanan mula sa kursong vector algebra. Ipasok ang isang eroplano na may coordinate system XOY binigyan ng nakadirekta na segment o (na parehong bagay) isang vector, at ang punto M 0 (x 0 ,y 0) ang panimulang punto nito, at M 1 (x 1 ,y 1) - punto ng pagtatapos. Tukuyin natin ang coordinate ng vector sa kahabaan ng axis OX bilang isang numero na katumbas ng x 1 ‑ x 0, at ang coordinate sa kahabaan ng axis bilang isang numero na katumbas ng y 1 ‑ y 0 . Kung tinukoy mo ang isang nakaayos na pares ng anumang numero a At b, kung gayon ang mga numerong ito ay maituturing na mga coordinate ng ilang vector sa eroplano XOY, at ang haba ng vector na ito ay tinutukoy ng formula

,

at ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig g vector sa axis OX tinutukoy mula sa pormula tg g = b/a(tandaan na ang pag-alam sa halaga ng tg g, pati na rin ang tanda ng alinman sa mga numero a At b, matutukoy natin ang anggulo g tumpak sa 2 p).

Isusulat namin ang representasyon ng isang vector sa anyo ng isang pares ng mga coordinate nito sa form. Ang representasyong ito ay may isa katangian na tampok: ito hindi tinutukoy ang lokasyon ng vector sa eroplano XOY. Upang matukoy ito, kailangan mong tukuyin, kasama ang mga coordinate ng vector, halimbawa, ang mga coordinate ng panimulang punto nito o, bilang maaari itong tawagin, ang punto ng aplikasyon ng vector.

Kung ang dalawang vector ay ibinigay: at , pagkatapos produktong scalar ng mga vector na ito ay tinatawag na numero ( j- anggulo sa pagitan ng mga vector).

Sa anumang kurso ng vector algebra ito ay napatunayan na ang scalar product ng mga vectors at katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng parehong coordinate ng mga vectors na ito:

= a 1 b 1 + a 2 b 2 . (4)

Hayaan sa ilang lugar G eroplano XOY function na tinukoy z = f(x,y) , na may tuluy-tuloy na partial derivatives na may paggalang sa parehong mga argumento.

Gradient o gradient vector mga function f(x,y) sa puntong (x,y) О G ay ang vector na ibinibigay ng formula

.

Function f tumutukoy sa bawat punto ng lugar G ang gradient vector na nagmumula sa puntong ito.

Bumalik tayo ngayon sa formula (3). kanya kanang bahagi maaari nating isaalang-alang ito bilang isang scalar product ng mga vectors. Ang una sa kanila ay ang gradient vector ng function z = f(x,y) sa punto M 0 (x 0 ,y 0):

.

Ang pangalawa ay isang vector . Ito ay isang vector na may haba 1 at isang anggulo ng pagkahilig sa axis ng Ox na katumbas ng a.

Ngayon ay maaari nating tapusin na ang derivative ng function z = f(x,y) sa direksyon na tinutukoy ng anggulo a ikiling sa axis OX, sa punto M 0 (x 0 ,y 0) ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

. (5)

Dito b- ang anggulo sa pagitan ng vector at ng vector na tumutukoy sa direksyon kung saan kinuha ang derivative. Isinasaalang-alang din dito iyon

Scalar field tinatawag ang isang bahagi ng espasyo (o lahat ng espasyo), bawat punto kung saan tumutugma ang numerical value ng ilang scalar quantity.

Mga halimbawa

Ang isang katawan na may tiyak na halaga ng temperatura sa bawat punto ay isang scalar field.

Isang hindi homogenous na katawan, ang bawat punto ay tumutugma sa isang tiyak na density - isang scalar density field.

Sa lahat ng mga kasong ito, ang scalar quantity U ay hindi nakasalalay sa oras, ngunit nakasalalay sa posisyon (coordinate) ng point M sa espasyo, iyon ay, ito ay isang function ng tatlong variable, ito ay tinatawag na pag-andar sa larangan. At sa kabaligtaran, ang bawat function ng tatlong variable u=f(x, y, z) tumutukoy ng ilang scalar field.

Flat function scalar field depende sa dalawang variable z=f(x, y).

Isaalang-alang ang scalar field u=f(x, y, z).

Isang vector na ang mga coordinate ay ang mga partial derivatives ng function na kinakalkula sa ibinigay na punto, tinawag gradient function sa puntong ito o ang gradient ng scalar field.

Isaalang-alang ang isang vector at dalawang puntos dito M 0 (x 0 , y 0 , z 0) At . Hanapin natin ang pagtaas ng function sa direksyon:

Direksiyonal na derivative ang sumusunod na limitasyon ay tinatawag kung ito ay umiiral:

nasaan ang mga direksyon cosine ng vector; Ang α, β, γ ay ang mga anggulo na nabuo ng vector na may mga coordinate axes, kung .

Para sa isang function ng dalawang variable, ang mga formula na ito ay nasa anyo:

o ,

kasi .

May kaugnayan sa pagitan ng gradient at ng directional derivative sa parehong punto.

Teorama. Ang scalar product ng gradient ng isang function at isang vector ng ilang direksyon ay katumbas ng derivative ng function na ito sa direksyon ng vector na ito:

.

Bunga. Ang directional derivative ay may pinakamataas na halaga, kung ang direksyong ito ay tumutugma sa direksyon ng gradient (bigyang-katwiran ang iyong sarili gamit ang kahulugan produkto ng tuldok at isinasaalang-alang iyon).

Mga konklusyon:

1. Ang gradient ay isang vector na nagpapakita ng direksyon ng pinakamalaking pagtaas sa function sa isang partikular na punto at pagkakaroon ng isang module ayon sa numerong katumbas ng rate ng pagtaas na ito:

.

2. Ang derivative ng direksyon ay ang rate ng pagbabago ng isang function sa direksyon: kung , pagkatapos ay tumataas ang function sa direksyon na ito, kung , pagkatapos ay bumababa ang function.

3. Kung ang vector ay kasabay ng isa sa mga vector, kung gayon ang derivative na may paggalang sa direksyon ng vector na ito ay tumutugma sa kaukulang partial derivative.

Halimbawa, kung , pagkatapos .

Halimbawa

Binigay ang function , tuldok A(1, 2) at vector.

Hanapin ang: 1);

Solusyon

1) Hanapin ang mga partial derivatives ng function at kalkulahin ang mga ito sa punto A.

, .

Pagkatapos .

2) Hanapin ang mga cosiine ng direksyon ng vector:

Sagot: ; .

Panitikan [ 1,2]

Mga tanong sa sariling pagsubok:

1. Ano ang tinatawag na function ng dalawang variable, ang domain ng kahulugan nito?

2. Paano tinutukoy ang mga partial derivatives?

3. Ano ito? geometriko na kahulugan partial derivatives?

4. Ano ang gradient ng scalar field sa isang naibigay na punto?

5. Ano ang tawag sa directional derivative?

6. Bumuo ng mga panuntunan para sa paghahanap ng extrema ng isang function ng dalawang variable.

Opsyon 1

Gawain Blg. 1

A) ; b) ;

V); G) .

Gawain Blg. 2 Suriin ang isang function para sa continuity: hanapin ang mga discontinuity point ng function at tukuyin ang kanilang uri. Bumuo ng schematic graph ng function.

Gawain Blg. Ibinigay kumplikadong numero Z. Kinakailangan: isulat ang bilang na Z sa algebraic at trigonometric forms. .

Gawain Blg. 4.

1) y = 3x 5 – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) .

Gawain Blg. 5. Magsiyasat ng function gamit ang differential calculus method at, gamit ang mga resulta ng pag-aaral, bumuo ng graph. .

Gawain Blg. 6. Ang function na z=f(x,y) ay ibinigay. Suriin kung hawak ang pagkakakilanlan na F≡0?

Gawain Blg. 7 Nabigyan ng function Z=x 2 +xy+y 2, punto at vector. Hanapin:

1) grad z sa punto A;

2) derivative sa isang punto A sa direksyon ng vector .

Opsyon 2

Gawain Blg. 1 Kalkulahin ang mga limitasyon ng mga function nang hindi gumagamit ng panuntunan ng L'Hopital.

A) ; b) ;

V) ; G) .

Gawain Blg. 2 Suriin ang isang function para sa continuity: hanapin ang mga discontinuity point ng function at tukuyin ang kanilang uri. Bumuo ng schematic graph ng function.

Gawain Blg. 3 Given a complex number Z. Kinakailangan: isulat ang number Z sa algebraic at trigonometric forms.

Gawain Blg. 4. Hanapin ang unang pagkakasunud-sunod na mga derivative ng mga function na ito.

Isaalang-alang ang function na u(x, y, z) sa point M(x, y, z) at point M 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Gumuhit tayo ng 1 vector sa pamamagitan ng mga puntos na M at M. Ang mga anggulo ng pagkahilig ng vector na ito sa direksyon ng mga coordinate axes x, y, z ay ilalarawan ng a, b, g, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga cosine ng mga anggulong ito ay tinatawag mga cosine ng direksyon vector

Tukuyin natin ang distansya sa pagitan ng mga puntos na M at M 1 sa vector bilang DS.

kung saan ang mga dami e 1 , e 2 , e 3 ay infinitesimal sa .

Mula sa mga geometric na pagsasaalang-alang ito ay malinaw:

Kaya, ang mga pagkakapantay-pantay sa itaas ay maaaring kinakatawan bilang mga sumusunod:

Tandaan na ang dami s ay scalar. Tinutukoy lamang nito ang direksyon ng vector.

Mula sa equation na ito ang sumusunod na kahulugan ay sumusunod:

Ang limitasyon ay tinatawag derivative ng function na u(x, y, z) sa direksyon ng vector sa isang punto na may mga coordinate (x, y, z).

Ipaliwanag natin ang kahulugan ng mga pagkakapantay-pantay sa itaas gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa 9.1. Kalkulahin ang derivative ng function na z = x 2 + y 2 x sa punto A(1, 2) sa direksyon ng vector. B (3, 0).

Solusyon. Una sa lahat, kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate ng vector.

Ang paghahanap ng mga partial derivatives ng function na z in pangkalahatang pananaw:

Ang mga halaga ng mga dami na ito sa punto A:

Upang mahanap ang mga direksyon ng cosine ng isang vector, ginagawa namin ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo:

=

Isang arbitrary na vector na nakadirekta kasama binigay na vector, ibig sabihin. pagtukoy sa direksyon ng pagkakaiba-iba.

Mula dito nakukuha namin ang mga halaga ng mga cosines ng direksyon ng vector:

cosa = ; cosb = -

Sa wakas makuha namin: - derivative na halaga ibinigay na function sa direksyon ng vector.

Kung sa ilang domain D isang function na u = u(x, y, z) at ilang vector ang ibinigay na ang mga projection sa coordinate axes ay katumbas ng mga value ng function na u sa kaukulang punto

,

pagkatapos ang vector na ito ay tinatawag gradient mga function u.

Sa kasong ito, sinasabi nila na sa rehiyon D ang isang larangan ng mga gradient ay tinukoy.

Teorama: Hayaang ibigay ang function na u = u(x, y, z) at ang gradient field

.

Pagkatapos ang derivative na may paggalang sa direksyon ng ilang vector ay katumbas ng projection ng vector gradu papunta sa vector.

Patunay: Isaalang-alang ang isang unit vector at ilang function na u = u(x, y, z) at hanapin ang scalar product ng mga vectors at gradu.

Ang expression sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay ang derivative ng function na u sa direksyon ng s.

Yung. . Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vectors gradu at tinutukoy ng j, kung gayon ang produktong scalar ay maaaring isulat bilang produkto ng moduli ng mga vector na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila. Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang vector ay yunit, i.e. ang modulus nito ay katumbas ng isa, maaari nating isulat:

Ang expression sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay ang projection ng vector grad u sa vector.

Ang teorama ay napatunayan.

Upang ilarawan ang geometriko at pisikal na kahulugan gradient, sabihin natin na ang gradient ay isang vector na nagpapakita ng direksyon ng pinakamabilis na pagbabago ng ilang scalar field u sa isang punto. Sa pisika, mayroong mga konsepto tulad ng gradient ng temperatura, gradient ng presyon, atbp. Yung. ang direksyon ng gradient ay ang direksyon ng pinaka mabilis na paglaki mga function.

Mula sa isang geometric na representasyong punto ng view, ang gradient ay patayo sa ibabaw ng antas ng function.

1) Ang kaso ng isang function ng dalawang variable. Ang direksyon ay ibinibigay ng isang vector. Pumili tayo ng unit vector na tumutukoy sa direksyon sa eroplano: . Ang vector na ito ay bumubuo ng isang anggulo na may positibong direksyon ng axis ng OX. Ang derivative ng isang function ng dalawang variable na may paggalang sa direksyon ay karaniwang tinatawag na expression .

2) Ang kaso ng isang function ng tatlong variable. Hayaang magbigay ng unit vector, na bumubuo ng mga anggulo sa OX, OY at OZ axes, ayon sa pagkakabanggit. Kung tinutukoy natin ang mga coordinate ng isang vector sa pamamagitan ng , pagkatapos ay gamit ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors na nakukuha natin. Gayundin, . Ang Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ang unit vector na bumubuo ng mga anggulo sa OX, OY at OZ axes, ay may mga coordinate . Ang derivative ng isang function ng tatlong variable na may kinalaman sa direksyon ay karaniwang tinatawag na expression

.

Kahulugan.Gradient Ang mga function ay karaniwang tinatawag na vectors . Para sa kadahilanang ito, ang derivative ng function sa direksyon na tinukoy ng unit vector ay maaaring kalkulahin gamit ang formula , kung saan sa kanang bahagi ng formula ay ang scalar product ng gradient ng function at ang unit direction vector.

Pangunahing katangian ng isang gradient: sa lahat ng posibleng direksyon, ang directional derivative ay tumatagal ng pinakamalaking, at positibo, na halaga sa direksyon ng gradient. Ang pag-aari na ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang scalar na produkto. Dahil ang positivity ng derivative ay nangangahulugan ng paglago ng function, direksyon ng gradient sa isang punto - ϶ᴛᴏ direksyon ng pinakamalaking paglaki ng function.

Mga partial derivative ng mas mataas na order.

Anumang partial derivative ng isang function ng mga variable mismo ay isang function din ng mga variable. Ang partial derivative ng partial derivative ng isang function ng ilang variable ay karaniwang tinatawag second order partial derivative mga function Bukod dito, kung ang mga variable na may paggalang sa kung aling mga derivatives ay unang kinuha mula sa function at pagkatapos ay mula sa function ay hindi nag-tutugma, tulad ng isang bahagyang derivative ay karaniwang tinatawag na mixed. Pangalawang order ng partial derivative notation: . Sa kaso kapag- tuluy-tuloy na pag-andar sa paligid ng isang tiyak na punto, sa puntong ito.

Ang mga partial derivatives ng anumang order ay ipinakilala nang katulad.

HALIMBAWA
Nai-post sa ref.rf
Hanapin mula sa function. Meron kami
.

Upang makalkula ang parehong derivative gamit ang MAXIM, ginagamit namin ang command diff(log(x+3*y),x,2,y,1).

Mga pagkakaiba sa mas mataas na order.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga derivatives, ang mga kaugalian ng mas mataas na mga order ay ipinakilala, iyon ay, mga pagkakaiba mula sa mga kaugalian. Isaalang-alang ang isang function ng tatlong variable. Ang pagkakaiba ng function na ito ay ang expression . Tandaan na ang mga derivative na kasama sa huling expression ay mga function ng , at ang mga pagkakaiba ng mga variable ay hindi nakadepende sa . Para sa kadahilanang ito, sa ilalim ng kondisyon ng pagpapatuloy ng mga halo-halong derivatives, ang second-order differential ay may anyo

Sa huling pormula sinamantala namin ang pag-aari ng pagkakapantay-pantay ng mga halo-halong derivatives. Madaling makita na ang second-order differential formula ay katulad ng second-order formula para sa kabuuan ng tatlong termino. Hindi mahirap bilangin ang pangalawa at pangatlong pagkakasunod-sunod na pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable: ,

Mag-ehersisyo. Hanapin para sa function sa punto (1,1).

Ang formula ni Taylor para sa isang function ng ilang mga variable.

Tulad ng sa kaso ng mga function ng isang variable, para sa mga function ng maraming mga variable ang Taylor formula ay nagbibigay ng koneksyon sa pagitan ng pagtaas ng isang function sa isang punto at ang mga pagkakaiba nito sa parehong punto:

saan .

Sa partikular, para sa isang function ng dalawang variable mayroon kami:

Dito .

Direksiyonal na derivative. - konsepto at mga uri. Pag-uuri at mga tampok ng kategoryang "Directional derivative." 2017, 2018.