Hanapin ang magnitude at direksyon ng gradient ng function. Vector analysis scalar field ng surface at level line directional derivative derivative ng scalar field gradient basic properties ng gradient invariant definition ng gradient rules para sa pagkalkula ng gr

1 0 Ang gradient ay nakadirekta sa kahabaan ng normal sa antas ng ibabaw (o sa antas ng linya kung ang patlang ay flat).

2 0 Ang gradient ay nakadirekta sa direksyon ng pagtaas ng pag-andar ng field.

3 0 Ang gradient module ay katumbas ng pinakamalaking derivative sa direksyon sa isang partikular na punto ng field:

Ang mga katangiang ito ay nagbibigay ng hindi nagbabagong katangian ng gradient. Sinasabi nila na ang gradU vector ay nagpapahiwatig ng direksyon at magnitude ng pinakamalaking pagbabago sa scalar field sa isang naibigay na punto.

Puna 2.1. Kung ang function na U(x,y) ay isang function ng dalawang variable, kung gayon ang vector

(2.3)

namamalagi sa oxy plane.

Hayaan ang U=U(x,y,z) at V=V(x,y,z) functions differentiable sa punto М 0 (x,y,z). Pagkatapos ay ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay hawak:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, kung saan ang , U=U() ay may derivative na may kinalaman sa .

Halimbawa 2.1. Ang function na U=x 2 +y 2 +z 2 ay ibinigay. Tukuyin ang gradient ng function sa puntong M(-2;3;4).

Solusyon. Ayon sa formula (2.2), mayroon tayo

Ang mga antas ng ibabaw ng scalar field na ito ay ang pamilya ng mga sphere x 2 +y 2 +z 2 , ang vector gradU=(-4;6;8) ay ang normal na vector ng mga eroplano.

Halimbawa 2.2. Hanapin ang gradient ng scalar field U=x-2y+3z.

Solusyon. Ayon sa formula (2.2), mayroon tayo

Ang mga antas ng ibabaw ng isang ibinigay na scalar field ay ang mga eroplano

x-2y+3z=C; ang vector gradU=(1;-2;3) ay ang normal na vector ng mga eroplano ng pamilyang ito.

Halimbawa 2.3. Hanapin ang pinakamatarik na dalisdis ng ibabaw U=x y sa puntong M(2;2;4).

Solusyon. Meron kami:

Halimbawa 2.4. Hanapin ang unit na normal na vector sa antas ng ibabaw ng scalar field U=x 2 +y 2 +z 2 .

Solusyon. Mga antas ng ibabaw ng isang ibinigay na scalar Field-sphere x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Ang gradient ay nakadirekta sa kahabaan ng normal hanggang sa antas ng ibabaw, kaya iyon

Tinutukoy ang normal na vector sa antas ng ibabaw sa puntong M(x,y,z). Para sa isang unit normal na vector, nakukuha namin ang expression

, saan

Halimbawa 2.5. Hanapin ang field gradient U= , kung saan at ang mga pare-parehong vector, r ay ang radius vector ng punto.

Solusyon. Hayaan

Pagkatapos:
. Sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng determinant, nakukuha natin

Dahil dito,

Halimbawa 2.6. Hanapin ang gradient ng distansya , kung saan ang P(x,y,z) ay ang punto ng patlang na pinag-aaralan, ang P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ay ilang nakapirming punto.

Solusyon. Mayroon kaming - unit direction vector .

Halimbawa 2.7. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga gradient ng mga function sa puntong M 0 (1,1).

Solusyon. Nahanap namin ang mga gradient ng mga function na ito sa puntong M 0 (1,1), mayroon kami

; Ang anggulo sa pagitan ng gradU at gradV sa puntong M 0 ay tinutukoy mula sa pagkakapantay-pantay

Samakatuwid =0.

Halimbawa 2.8. Hanapin ang derivative na may paggalang sa direksyon, ang radius vector ay katumbas ng

(2.4)

Solusyon. Paghahanap ng gradient ng function na ito:

Ang pagpapalit ng (2.5) sa (2.4), makuha namin

Halimbawa 2.9. Hanapin sa puntong M 0 (1;1;1) ang direksyon ng pinakamalaking pagbabago sa scalar field U=xy+yz+xz at ang magnitude ng pinakamalaking pagbabagong ito sa puntong ito.

Solusyon. Ang direksyon ng pinakamalaking pagbabago sa field ay ipinahiwatig ng vector grad U(M). Nahanap namin ito:

At, samakatuwid, . Tinutukoy ng vector na ito ang direksyon ng pinakamalaking pagtaas ng field na ito sa puntong M 0 (1;1;1). Ang halaga ng pinakamalaking pagbabago sa field sa puntong ito ay katumbas ng

Halimbawa 3.1. Maghanap ng mga linya ng vector ng field ng vector kung saan ay isang pare-pareho ang vector.

Solusyon. Mayroon kaming gayon

(3.3)

I-multiply ang numerator at denominator ng unang fraction sa x, ang pangalawa sa y, ang pangatlo sa z at idagdag ang termino sa pamamagitan ng termino. Gamit ang proportion property, nakukuha namin

Kaya xdx+ydy+zdz=0, ibig sabihin

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Ngayon, pina-multiply ang numerator at denominator ng unang fraction (3.3) sa c 1, ang pangalawa sa c 2, ang pangatlo sa c 3 at pagsusuma nito sa termino sa pamamagitan ng termino, nakukuha natin

Mula sa kung saan c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

At, samakatuwid, na may 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . Isang 2-const.

Mga kinakailangang equation ng mga linya ng vector

Ang mga equation na ito ay nagpapakita na ang mga linya ng vector ay nakuha bilang isang resulta ng intersection ng mga sphere na may isang karaniwang sentro sa pinagmulan na may mga eroplano na patayo sa vector. . Kasunod nito na ang mga linya ng vector ay mga bilog na ang mga sentro ay nasa isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan sa direksyon ng vector c. Ang mga eroplano ng mga bilog ay patayo sa tinukoy na linya.

Halimbawa 3.2. Maghanap ng vector field line dumadaan sa punto (1,0,0).

Solusyon. Mga Differential Equation mga linya ng vector

kaya mayroon tayo . Paglutas ng unang equation. O kung ipinakilala natin ang parameter t, magkakaroon tayo ng Sa kasong ito, ang equation kumukuha ng form o dz=bdt, kung saan ang z=bt+c 2 .

Gradient mga function ay isang vector quantity, ang paghahanap kung saan ay nauugnay sa kahulugan ng mga partial derivatives ng function. Ang direksyon ng gradient ay nagpapahiwatig ng landas ng pinakamabilis na paglaki ng function mula sa isang punto ng scalar field patungo sa isa pa.

Pagtuturo

1. Upang malutas ang problema sa gradient ng isang function, ang mga pamamaraan ng differential calculus ay ginagamit, ibig sabihin, paghahanap ng mga partial derivatives ng unang order sa tatlong variable. Ipinapalagay na ang mismong function at ang lahat ng partial derivatives nito ay may ari-arian ng pagpapatuloy sa domain ng function.

2. Ang gradient ay isang vector, ang direksyon kung saan ay nagpapahiwatig ng direksyon ng pinakamabilis na pagtaas sa function na F. Upang gawin ito, dalawang puntos na M0 at M1 ang pinili sa graph, na kung saan ay ang mga dulo ng vector. Ang halaga ng gradient ay katumbas ng rate ng pagtaas ng function mula sa puntong M0 hanggang sa puntong M1.

3. Naiiba ang function sa lahat ng punto ng vector na ito, samakatuwid, ang mga projection ng vector sa mga coordinate axes ay ang lahat ng partial derivatives nito. Pagkatapos ang gradient formula ay ganito ang hitsura: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, kung saan ang i, j, k ay ang unit vector coordinates. Sa madaling salita, ang gradient ng isang function ay isang vector na ang mga coordinate ay ang mga partial derivatives nito grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Halimbawa 1. Hayaang ibigay ang function na F = sin (x z?) / y. Kinakailangang hanapin ang gradient nito sa punto (?/6, 1/4, 1).

5. Solusyon. Tukuyin ang mga partial derivatives na may kinalaman sa anumang variable: F'_x \u003d 1 / y cos (xz?) z?; F'_y \u003d sin (xz?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Palitan ang sikat na point coordinates: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Ilapat ang formula ng gradient ng function: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Halimbawa 2. Hanapin ang mga coordinate ng gradient ng function F = y arсtg (z / x) sa punto (1, 2, 1).

9. Solusyon. F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -yz / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Ang scalar field gradient ay isang vector quantity. Kaya, upang mahanap ito, kinakailangan upang matukoy ang lahat ng mga bahagi ng kaukulang vector, batay sa kaalaman tungkol sa dibisyon ng scalar field.

Pagtuturo

1. Basahin sa isang aklat-aralin sa mas mataas na matematika kung ano ang gradient ng isang scalar field. Tulad ng alam mo, ang dami ng vector na ito ay may direksyon na nailalarawan sa pamamagitan ng pinakamataas na bilis pagkabulok ng scalar function. Ang ganitong pakiramdam ng isang naibigay na dami ng vector ay nabibigyang katwiran ng isang expression para sa pagtukoy ng mga bahagi nito.

2. Tandaan na ang bawat vector ay tinutukoy ng mga halaga ng mga bahagi nito. Ang mga bahagi ng vector ay aktwal na mga projection ng vector na ito sa isa o isa pang coordinate axis. Kaya, kung ang tatlong-dimensional na espasyo ay isinasaalang-alang, kung gayon ang vector ay dapat na may tatlong bahagi.

3. Isulat kung paano tinutukoy ang mga bahagi ng isang vector na gradient ng ilang field. Ang lahat ng mga coordinate ng naturang vector ay katumbas ng derivative ng scalar potential na may paggalang sa variable na ang coordinate ay kinakalkula. Iyon ay, kung kailangan mong kalkulahin ang "x" na bahagi ng field gradient vector, pagkatapos ay kailangan mong pag-iba-ibahin ang scalar function na may paggalang sa variable na "x". Tandaan na ang derivative ay dapat na quotient. Nangangahulugan ito na kapag nag-iiba, ang natitirang mga variable na hindi nakikilahok dito ay dapat ituring na mga pare-pareho.

4. Sumulat ng expression para sa scalar field. Tulad ng alam mo, ang terminong ito ay nangangahulugang ang bawat isa ay isang scalar function lamang ng ilang mga variable, na mga scalar na dami din. Ang bilang ng mga variable ng isang scalar function ay nililimitahan ng dimensyon ng espasyo.

5. Hiwalay na paghiwalayin ang scalar function na may paggalang sa bawat variable. Bilang resulta, magkakaroon ka ng tatlong bagong function. Sumulat ng anumang function sa expression para sa gradient vector ng scalar field. Anuman sa mga nakuhang function ay talagang isang indicator para sa isang unit vector ng isang ibinigay na coordinate. Kaya, ang huling gradient vector ay dapat magmukhang isang polynomial na may mga exponents bilang mga derivatives ng isang function.

Kapag isinasaalang-alang ang mga isyung kinasasangkutan ng representasyon ng isang gradient, mas karaniwan na isipin ang bawat isa bilang isang scalar field. Samakatuwid, kailangan nating ipakilala ang naaangkop na notasyon.

Kakailanganin mong

- boom;
- panulat.

Pagtuturo

1. Hayaang ibigay ang function ng tatlong argumento u=f(x, y, z). Ang partial derivative ng isang function, halimbawa patungkol sa x, ay tinukoy bilang derivative na may kinalaman sa argumentong ito, na nakuha sa pamamagitan ng pag-aayos sa natitirang mga argumento. Ang iba pang mga argumento ay magkatulad. Ang bahagyang derivative notation ay nakasulat bilang: df / dx \u003d u’x ...

2. Ang kabuuang pagkakaiba ay magiging katumbas ng du=(df/dx)dx+ (df/dy)dy+(df/dz)dz. Ang mga partial derivative ay mauunawaan bilang mga derivative sa mga direksyon ng coordinate axes. Dahil dito, ang tanong ay lumitaw sa paghahanap ng derivative na may paggalang sa direksyon binigay na vector s sa puntong M(x, y, z) (tandaan na ang direksyon ng s ay tumutukoy sa unit vector vector s^o). Sa kasong ito, ang differential vector ng mga argumento ay (dx, dy, dz)=(dscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Isinasaalang-alang ang view kabuuang pagkakaiba du, posibleng isiping ang derivative na may kinalaman sa direksyong s sa puntong M ay: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha)+ ((df/dy) |M)cos (beta) + ((df / dz) | M) cos (gamma). Kung s = s (sx, sy, sz), ang direksyon ay cosine (cos (alpha), cos (beta), cos (gamma)) ay kinakalkula (tingnan ang Fig.1a).

4. Ang kahulugan ng derivative sa direksyon, na isinasaalang-alang ang point M bilang isang variable, ay maaaring isulat muli bilang isang tuldok na produkto: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). Ang expression na ito ay magiging layunin para sa isang scalar field. Kung isasaalang-alang namin ang isang madaling function, kung gayon ang graff ay isang vector na may mga coordinate na tumutugma sa mga partial derivatives f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/dz). )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Narito ang (i, j, k) ay ang mga unit vectors ng mga coordinate axes sa hugis-parihaba Sistema ng Cartesian mga coordinate.

5. Kung gagamitin natin ang Hamilton Nabla differential vector operator, ang graff ay maaaring isulat bilang multiplikasyon ng operator vector na ito sa pamamagitan ng scalar f (tingnan ang Fig. 1b). Mula sa punto ng view ng koneksyon ng graff sa directional derivative, ang pagkakapantay-pantay (gradf, s^o)=0 ay tinatanggap kung ang mga vector na ito ay orthogonal. Dahil dito, ang graff ay madalas na tinukoy bilang ang direksyon ng pinakamabilis na metamorphosis ng isang scalar field. At mula sa punto ng view ng mga operasyon ng kaugalian (ang graff ay isa sa kanila), ang mga katangian ng graff ay eksaktong inuulit ang mga katangian ng pagkita ng kaibhan ng mga pag-andar. Sa partikular, kung f=uv, pagkatapos ay graff=(vgradu+ugradv).

Mga kaugnay na video

Gradient ito ay isang tool na sa mga graphic editor ay pinupuno ang silweta ng isang maayos na paglipat ng isang kulay patungo sa isa pa. Gradient maaaring magbigay ng silweta ang resulta ng lakas ng tunog, gayahin ang pag-iilaw, mga pagmuni-muni ng liwanag sa ibabaw ng isang bagay, o ang resulta ng paglubog ng araw sa background ng isang larawan. Ang tool na ito ay may malawak na paggamit, samakatuwid, para sa pagproseso ng mga litrato o paglikha ng mga guhit, napakahalagang matutunan kung paano ito gamitin.

Kakailanganin mong

Computer, graphics editor Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net o iba pa.

Pagtuturo

1. Buksan ang larawan sa programa o gumawa ng bago. Gumawa ng silweta o piliin ang nais na lugar sa larawan.

2. I-on ang Gradient tool sa toolbar ng graphics editor. Ilagay ang cursor ng mouse sa isang punto sa loob ng napiling lugar o silhouette, kung saan magsisimula ang unang kulay ng gradient. I-click nang matagal ang kaliwang pindutan ng mouse. Ilipat ang cursor sa punto kung saan dapat lumipat ang gradient sa huling kulay. Bitawan ang kaliwang pindutan ng mouse. Ang napiling silhouette ay mapupuno ng gradient fill.

3. Gradient y posibleng magtakda ng transparency, mga kulay at ang ratio ng mga ito sa isang tiyak na fill point. Upang gawin ito, buksan ang window ng Gradient Edit. Upang buksan ang window ng pag-edit sa Photoshop, mag-click sa halimbawa ng gradient sa panel ng Mga Pagpipilian.

4. Sa window na bubukas, ang magagamit na mga pagpipilian sa gradient fill ay ipinapakita bilang mga halimbawa. Upang i-edit ang isa sa mga opsyon, piliin ito gamit ang isang pag-click ng mouse.

5. Ang isang halimbawa ng isang gradient ay ipinapakita sa ibaba ng window sa anyo ng isang malawak na sukat na may mga slider. Ang mga slider ay nagpapahiwatig ng mga punto kung saan ang gradient ay dapat magkaroon ng tinukoy na mga collation, at sa pagitan ng mga slider, ang kulay ay pantay na lumilipat mula sa tinukoy sa unang punto hanggang sa kulay ng ika-2 punto.

6. Ang mga slider na matatagpuan sa tuktok ng sukat ay nagtatakda ng transparency ng gradient. Upang baguhin ang transparency, mag-click sa nais na slider. Lalabas ang isang field sa ibaba ng sukat, kung saan ilalagay ang kinakailangang antas ng transparency sa porsyento.

7. Ang mga slider sa ibaba ng sukat ay nagtatakda ng mga kulay ng gradient. Sa pamamagitan ng pag-click sa isa sa mga ito, magagawa mong mas gusto ang nais na kulay.

8. Gradient maaaring magkaroon ng maraming kulay ng paglipat. Upang magtakda ng isa pang kulay, mag-click sa isang bakanteng espasyo sa ibaba ng sukat. Ang isa pang slider ay lilitaw dito. Itakda ang nais na kulay para dito. Ang sukat ay magpapakita ng isang halimbawa ng isang gradient na may isa pang punto. Maaari mong ilipat ang mga slider sa pamamagitan ng pagpindot sa mga ito gamit ang suporta ng kaliwang pindutan ng mouse upang makamit ang nais na kumbinasyon.

9. Gradient Mayroong ilang mga uri na maaaring magbigay ng hugis sa mga flat silhouette. Sabihin nating, upang bigyan ang isang bilog ng hugis ng isang bola, ang isang radial gradient ay inilapat, at upang bigyan ang hugis ng isang kono, isang conical gradient ay inilapat. Upang bigyan ang ibabaw ng ilusyon ng umbok, maaari kang gumamit ng specular gradient, at maaaring gumamit ng gradient na hugis diyamante upang lumikha ng mga highlight.

Mga kaugnay na video

Ang ilang mga konsepto at termino ay ginagamit nang mahigpit sa loob ng makitid na mga limitasyon. Ang iba pang mga kahulugan ay matatagpuan sa mga lugar na mahigpit na sumasalungat. Kaya, halimbawa, ang konsepto ng "gradient" ay ginagamit ng isang physicist, at isang mathematician, at isang espesyalista sa manicure o "Photoshop". Ano ang isang gradient bilang isang konsepto? Alamin natin ito.

Ano ang sinasabi ng mga diksyunaryo?

Ano ang isang "gradient" na espesyal na pampakay na mga diksyunaryo ay binibigyang kahulugan kaugnay ng kanilang mga detalye. Isinalin mula sa Latin, ang salitang ito ay nangangahulugang - "the one that goes, grows." At tinukoy ng "Wikipedia" ang konseptong ito bilang "isang vector na nagpapahiwatig ng direksyon ng pagtaas ng magnitude." SA mga diksyunaryong nagpapaliwanag nakikita natin ang kahulugan ng salitang ito bilang "pagbabago ng anumang halaga ng isang halaga". Ang konsepto ay maaaring magdala ng parehong quantitative at qualitative na kahulugan.

Sa madaling salita, ito ay isang maayos na unti-unting paglipat ng anumang halaga sa pamamagitan ng isang halaga, isang progresibo at tuluy-tuloy na pagbabago sa dami o direksyon. Ang vector ay kinakalkula ng mga mathematician, meteorologist. Ang konseptong ito ay ginagamit sa astronomiya, medisina, sining, computer graphics. Sa ilalim ng isang katulad na termino ay tinukoy na ganap na naiiba katulad na species mga aktibidad.

Mga function sa matematika

Ano ang gradient ng isang function sa matematika? Ito ay kung saan ay nagpapahiwatig ng direksyon ng paglago ng isang function sa isang scalar field mula sa isang halaga patungo sa isa pa. Ang magnitude ng gradient ay kinakalkula gamit ang kahulugan ng mga partial derivatives. Upang malaman ang pinakamabilis na direksyon ng paglago ng function sa graph, dalawang puntos ang pinili. Tinutukoy nila ang simula at pagtatapos ng vector. Ang rate kung saan ang isang halaga ay lumalaki mula sa isang punto patungo sa isa pa ay ang magnitude ng gradient. Ang mga pag-andar ng matematika batay sa mga kalkulasyon ng tagapagpahiwatig na ito ay ginagamit sa vector computer graphics, ang mga bagay na kung saan ay mga graphic na larawan mga bagay sa matematika.

Ano ang isang gradient sa pisika?

Ang konsepto ng isang gradient ay karaniwan sa maraming sangay ng pisika: ang gradient ng optika, temperatura, bilis, presyon, atbp. Sa industriyang ito, ang konsepto ay nagsasaad ng sukat ng pagtaas o pagbaba sa isang halaga sa bawat yunit. Ito ay kinakalkula bilang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang tagapagpahiwatig. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga dami nang mas detalyado.

Ano ang isang potensyal na gradient? Sa pagtatrabaho sa isang electrostatic field, dalawang katangian ang tinutukoy: pag-igting (kapangyarihan) at potensyal (enerhiya). Ang iba't ibang dami na ito ay nauugnay sa kapaligiran. At kahit na tinukoy nila iba't ibang katangian, gayunpaman, ay may kaugnayan sa isa't isa.

Upang matukoy ang pag-igting patlang ng puwersa ang potensyal na gradient ay ginagamit - isang halaga na tumutukoy sa rate ng potensyal na pagbabago sa direksyon ng linya ng field. Paano magkalkula? Ang potensyal na pagkakaiba ng dalawang punto ng electric field ay kinakalkula mula sa kilalang boltahe gamit ang intensity vector, na katumbas ng potensyal na gradient.

Mga tuntunin ng meteorologist at geographer

Sa unang pagkakataon, ang konsepto ng isang gradient ay ginamit ng mga meteorologist upang matukoy ang pagbabago sa magnitude at direksyon ng iba't ibang meteorological indicator: temperatura, presyon, bilis ng hangin at lakas. Ito ay isang sukatan ng quantitative na pagbabago ng iba't ibang dami. Ipinakilala ni Maxwell ang termino sa matematika sa kalaunan. Sa kahulugan ng mga kondisyon ng panahon, mayroong mga konsepto ng vertical at horizontal gradients. Isaalang-alang natin ang mga ito nang mas detalyado.

Ano ang vertical temperature gradient? Isa itong value na nagpapakita ng pagbabago sa performance, na kinakalkula sa taas na 100 m. Maaari itong maging positibo o negatibo, sa kaibahan sa pahalang, na palaging positibo.

Ipinapakita ng gradient ang magnitude o anggulo ng slope sa lupa. Kinakalkula ito bilang ratio ng taas sa haba ng projection ng landas sa isang partikular na seksyon. Ipinahayag bilang isang porsyento.

Mga tagapagpahiwatig ng medikal

Ang kahulugan ng "gradient ng temperatura" ay matatagpuan din sa mga terminong medikal. Ipinapakita nito ang pagkakaiba sa mga kaukulang tagapagpahiwatig ng mga panloob na organo at sa ibabaw ng katawan. Sa biology, inaayos ng physiological gradient ang pagbabago sa physiology ng anumang organ o organismo sa kabuuan sa anumang yugto ng pag-unlad nito. Sa gamot, ang metabolic indicator ay ang intensity ng metabolism.

Hindi lamang mga pisiko, kundi pati na rin mga manggagamot ang gumagamit ng terminong ito sa kanilang trabaho. Ano ang pressure gradient sa cardiology? Tinutukoy ng konseptong ito ang pagkakaiba sa presyon ng dugo sa anumang magkakaugnay na mga seksyon ng cardiovascular system.

Ang pagbaba ng gradient ng automaticity ay isang tagapagpahiwatig ng pagbaba sa dalas ng mga paggulo ng puso sa direksyon mula sa base nito hanggang sa tuktok, na awtomatikong nangyayari. Bilang karagdagan, tinutukoy ng mga cardiologist ang lugar ng pinsala sa arterial at ang antas nito sa pamamagitan ng pagkontrol sa pagkakaiba sa mga amplitude ng systolic waves. Sa madaling salita, gamit ang amplitude gradient ng pulso.

Ano ang isang gradient ng bilis?

Kapag ang isang tao ay nagsasalita ng rate ng pagbabago ng isang tiyak na dami, ang isa ay nangangahulugan sa pamamagitan nito ang rate ng pagbabago sa oras at espasyo. Sa madaling salita, tinutukoy ng gradient ng bilis ang pagbabago sa mga spatial na coordinate na may kaugnayan sa mga temporal na tagapagpahiwatig. Ang tagapagpahiwatig na ito ay kinakalkula ng mga meteorologist, astronomer, chemist. Ang shear rate gradient ng mga fluid layer ay tinutukoy sa industriya ng langis at gas upang kalkulahin ang rate ng pagtaas ng fluid sa pamamagitan ng isang pipe. Ang nasabing tagapagpahiwatig ng mga paggalaw ng tectonic ay ang lugar ng mga kalkulasyon ng mga seismologist.

Mga tungkuling pang-ekonomiya

Upang patunayan ang mahahalagang teoretikal na konklusyon, ang konsepto ng isang gradient ay malawakang ginagamit ng mga ekonomista. Kapag nilulutas ang mga problema ng consumer, ginagamit ang isang function ng utility, na tumutulong upang kumatawan sa mga kagustuhan mula sa isang hanay ng mga alternatibo. "Pag-andar pagkakagipit sa pera" ay isang terminong ginamit upang sumangguni sa isang hanay ng mga hanay ng pagkonsumo. Ang mga gradient sa lugar na ito ay ginagamit upang kalkulahin ang pinakamainam na pagkonsumo.

gradient ng kulay

Ang terminong "gradient" ay pamilyar sa mga taong malikhain. Bagaman malayo sila sa mga eksaktong agham. Ano ang isang gradient para sa isang taga-disenyo? Since in eksaktong agham- ito ay isang unti-unting pagtaas sa halaga ng isa, at sa kulay ang tagapagpahiwatig na ito ay nagpapahiwatig ng isang makinis, nakaunat na paglipat ng mga kakulay ng parehong kulay mula sa mas magaan hanggang sa mas madilim, o kabaligtaran. Tinatawag ng mga artist ang prosesong ito na "stretching." Posible ring lumipat sa iba't ibang mga kasamang kulay sa parehong hanay.

Ang gradient stretching ng mga shade sa pangkulay ng mga silid ay nakakuha ng isang malakas na posisyon sa mga diskarte sa disenyo. Ang newfangled ombre style - isang makinis na daloy ng lilim mula sa liwanag hanggang sa madilim, mula sa maliwanag hanggang sa maputla - ay epektibong nagbabago sa anumang silid sa bahay at opisina.

Gumagamit ang mga optiko ng mga espesyal na lente sa kanilang mga salaming pang-araw. Ano ang isang gradient sa baso? Ito ay ang paggawa ng isang lens sa isang espesyal na paraan, kapag ang kulay ay nagbabago mula sa isang mas madidilim patungo sa isang mas magaan na lilim mula sa itaas hanggang sa ibaba. Ang mga produktong ginawa gamit ang teknolohiyang ito ay nagpoprotekta sa mga mata mula sa solar radiation at nagbibigay-daan sa iyong tingnan ang mga bagay kahit na sa napakaliwanag na liwanag.

Kulay sa disenyo ng web

Para sa mga nakikibahagi sa disenyo ng web at computer graphics, ang unibersal na tool na "gradient" ay kilala, sa tulong kung saan ang isang malawak na iba't ibang mga epekto ay nilikha. Ang mga transition ng kulay ay binago sa mga highlight, isang magarbong background, three-dimensionality. Ang pagmamanipula ng kulay, paggawa ng liwanag at anino ay nagdaragdag ng volume sa mga vector object. Para sa layuning ito, maraming uri ng gradients ang ginagamit:

Linear.
Radial.
korteng kono.
Salamin.
Rhomboid.
gradient ng ingay.

gradient na kagandahan

Para sa mga bisita sa mga beauty salon, ang tanong kung ano ang isang gradient ay hindi darating bilang isang sorpresa. Totoo, sa kasong ito, ang kaalaman sa mga batas sa matematika at ang mga pundasyon ng pisika ay hindi kinakailangan. Ito ay tungkol pareho ang tungkol sa mga paglipat ng kulay. Ang buhok at mga kuko ay nagiging object ng gradient. Ang pamamaraan ng ombre, na nangangahulugang "tono" sa Pranses, ay dumating sa fashion mula sa mga mahilig sa sports ng surfing at iba pang mga aktibidad sa beach. Ang natural na nasunog at muling tumubo na buhok ay naging hit. Ang mga kababaihan ng fashion ay nagsimulang espesyal na tinain ang kanilang buhok na may halos hindi kapansin-pansin na paglipat ng mga shade.

Hindi dumaan ang ombre technique mga salon ng kuko. Ang gradient sa mga kuko ay lumilikha ng isang kulay na may unti-unting pagliwanag ng plato mula sa ugat hanggang sa gilid. Nag-aalok ang mga masters ng pahalang, patayo, na may isang paglipat at iba pang mga varieties.

Karayom

Ang konsepto ng "gradient" ay pamilyar sa mga needlewomen mula sa ibang panig. Ang pamamaraan ng isang katulad na plano ay ginagamit sa paglikha ng mga bagay gawa ng kamay estilo ng decoupage. Sa ganitong paraan, ang mga bagong antigong bagay ay nilikha, o ang mga luma ay naibalik: mga kaban ng mga drawer, upuan, dibdib, at iba pa. Kasama sa decoupage ang paglalapat ng pattern gamit ang stencil, na nakabatay sa color gradient bilang background.

Ang mga artist ng tela ay nagpatibay ng pagtitina sa ganitong paraan para sa mga bagong modelo. Ang mga damit na may gradient na kulay ay nasakop ang mga catwalk. Ang fashion ay kinuha ng mga needlewomen - knitters. Ang mga niniting na damit na may makinis na paglipat ng kulay ay isang tagumpay.

Summing up ang kahulugan ng "gradient", maaari naming sabihin tungkol sa isang napakalaking lugar aktibidad ng tao, kung saan matatagpuan ang terminong ito. Ang pagpapalit ng kasingkahulugan na "vector" ay hindi palaging angkop, dahil ang vector ay, pagkatapos ng lahat, isang functional, spatial na konsepto. Ano ang kahulugan ng konsepto ng pangkalahatan? unti-unting pagbabago isang tiyak na dami, sangkap, pisikal na parameter bawat yunit para sa isang tiyak na panahon. Sa kulay, ito ay isang maayos na paglipat ng tono.

Kung sa bawat punto ng espasyo o bahagi ng espasyo ay tinukoy ang halaga ng isang tiyak na dami, kung gayon sinasabing ang larangan ng dami na ito ay ibinibigay. Ang field ay tinatawag na scalar kung ang itinuturing na halaga ay scalar, i.e. mahusay na nailalarawan sa pamamagitan ng numerical value nito. Halimbawa, ang field ng temperatura. Ang scalar field ay ibinibigay ng scalar function ng point u = /(M). Kung ang isang Cartesian coordinate system ay ipinakilala sa espasyo, pagkatapos ay mayroong isang function ng tatlong variable x, yt z - ang mga coordinate ng punto M: Definition. Ang antas ng ibabaw ng isang scalar field ay ang hanay ng mga punto kung saan ang function na f(M) ay tumatagal ng parehong halaga. Halimbawa ng Level Surface Equation 1. Maghanap ng Level Surfaces ng Scalar Field VECTOR ANALYSIS Scalar Field Level Surfaces at Level Lines Directional Derivative Derivative Gradient ng isang Scalar Field Basic Gradient Properties Invariant Definition ng Gradient Panuntunan para sa Pagkalkula ng Gradient -4 Sa pamamagitan ng kahulugan, isang antas magiging surface equation. Ito ang equation ng isang globo (na may Ф 0) na nakasentro sa pinanggalingan. Ang isang scalar field ay tinatawag na flat kung ang field ay pareho sa lahat ng mga eroplano na parallel sa ilang eroplano. Kung ang ipinahiwatig na eroplano ay kinuha bilang ang xOy na eroplano, kung gayon ang field function ay hindi nakasalalay sa z coordinate, ibig sabihin, ito ay magiging isang function lamang ng mga argumentong x at y. at gayundin ang kahulugan. Level line equation - Halimbawa 2. Hanapin ang mga linya ng antas ng isang scalar field Ang mga linya ng antas ay ibinibigay ng mga equation Sa c = 0, nakakakuha kami ng isang pares ng mga linya, nakakakuha kami ng isang pamilya ng hyperbolas (Fig. 1). 1.1. Directional derivative Magkaroon ng scalar field na tinukoy ng scalar function na u = /(Af). Kunin natin ang puntong Afo at piliin ang direksyon na tinutukoy ng vector I. Kumuha tayo ng isa pang puntong M upang ang vector M0M ay parallel sa vector 1 (Fig. 2). Tukuyin natin ang haba ng MoM vector sa pamamagitan ng A/, at ang pagtaas ng function /(Af) - /(Afo), na tumutugma sa displacement D1, ng Di. Saloobin ang tumutukoy average na bilis pagbabago ng scalar field sa bawat yunit ng haba sa ibinigay na direksyon Let now tends to zero para ang vector М0М ay mananatiling parallel sa vector I sa lahat ng oras. Definition. Kung para sa D/O ay mayroong isang may hangganang limitasyon ng kaugnayan (5), kung gayon ito ay tinatawag na derivative ng function sa ibinigay na puntong Afo sa ibinigay na direksyon I at ito ay tinutukoy ng simbolo na zr! Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan, Ang kahulugan na ito ay hindi nauugnay sa pagpili ng sistema ng coordinate, iyon ay, mayroon itong **variant na karakter. Maghanap tayo ng expression para sa derivative na may paggalang sa direksyon sa Cartesian coordinate system. Hayaan ang function / maging differentiable sa isang punto. Isaalang-alang ang halaga /(Af) sa isang punto. Pagkatapos ay ang kabuuang pagtaas ng function ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo: kung saan at ang mga simbolo ay nangangahulugan na ang mga partial derivatives ay kinakalkula sa puntong Afo. Kaya't Narito ang mga dami jfi, ^ ay ang mga direksyon na cosine ng vector. Dahil ang mga vector na MoM at ako ay co-directed, ang kanilang mga cosine ng direksyon ay pareho: Dahil si M Afo, na naninirahan sa lahat ng oras sa linya, parallel sa vector 1, kung gayon ang mga anggulo ay pare-pareho, samakatuwid Sa wakas, mula sa mga pagkakapantay-pantay (7) at (8) makuha natin ang Eamuan at 1. Ang mga partial derivatives ay mga derivatives ng function at sa mga direksyon ng coordinate axes na may panlabas na nno- Halimbawa 3. Hanapin ang derivative ng function patungo sa punto Ang vector ay may haba. Ang direksyon nito ay cosine: Sa pamamagitan ng formula (9) magkakaroon tayo ng Ang katotohanan na, ay nangangahulugan na ang scalar field sa isang punto sa direksyong ito edad- Para sa isang patag na field, ang derivative sa direksyon I sa isang punto ay kinakalkula ng formula kung saan ang a ay ang anggulo na nabuo ng vector I na may Ox axis. Zmmchmm 2. Formula (9) para sa pagkalkula ng derivative kasama ang direksyon I sa isang partikular na punto Ang Afo ay nananatiling may bisa kahit na ang puntong M ay patungo sa puntong Mo kasama ang isang kurba kung saan ang vector I ay tangent sa puntong PrISp 4. Kalkulahin ang derivative ng scalar field sa puntong Afo(l, 1). kabilang sa isang parabola sa direksyon ng curve na ito (sa direksyon ng pagtaas ng abscissa). Ang direksyon ] ng isang parabola sa isang punto ay ang direksyon ng padaplis sa parabola sa puntong ito (Larawan 3). Hayaang bumuo ang padaplis sa parabola sa puntong Afo ng isang anggulo o sa axis ng Ox. Pagkatapos kung saan nagdidirekta ng mga cosine ng isang tangent Magkalkula tayo ng mga halaga at sa isang punto. Mayroon kaming Ngayon sa pamamagitan ng formula (10) na nakuha namin. Hanapin ang derivative ng scalar field sa isang punto sa direksyon ng bilog Ang vector equation ng bilog ay may anyo. Nahanap namin ang unit vector m ng tangent sa bilog. Ang punto ay tumutugma sa halaga ng parameter. Scalar Field Gradient Hayaang ang isang scalar field ay tukuyin ng isang scalar function na ipinapalagay na differentiable. Kahulugan. Ang gradient ng isang scalar field » sa isang naibigay na punto M ay isang vector na tinutukoy ng simbolo na grad at tinukoy ng pagkakapantay-pantay Maliwanag na ang vector na ito ay nakasalalay pareho sa function / at sa puntong M kung saan ang derivative nito ay kinakalkula. Hayaang ang 1 ay isang unit vector sa direksyon Pagkatapos ay ang formula para sa derivative sa direksyon ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: . kaya, ang derivative ng function at sa direksyon 1 ay katumbas ng produkto ng tuldok ng gradient ng function na u(M) bawat unit vector 1° ng direksyon I. 2.1. Mga pangunahing katangian ng gradient Theorem 1. Ang scalar field gradient ay patayo sa level surface (o sa level line kung flat ang field). (2) Gumuhit tayo ng isang antas na ibabaw u = const sa pamamagitan ng isang arbitrary na punto M at pumili ng isang makinis na kurba L sa ibabaw na ito na dumadaan sa puntong M (Larawan 4). Hayaan akong maging isang vector tangent sa curve L sa puntong M. Dahil sa antas na ibabaw u(M) = u(M|) para sa anumang punto Mj ∈ L, pagkatapos Sa kabilang banda, = (gradu, 1°) . kaya lang. Nangangahulugan ito na ang mga vector grad at at 1° ay orthogonal. Kaya, ang vector grad at orthogonal sa anumang padaplis sa antas na ibabaw sa puntong M. Kaya, ito ay orthogonal sa antas ng ibabaw mismo sa puntong M. Theorem 2 Ang gradient ay nakadirekta sa direksyon ng pagtaas ng field function. Mas maaga ay napatunayan namin na ang gradient ng scalar field ay nakadirekta sa kahabaan ng normal hanggang sa level surface, na maaaring i-orient sa alinman sa pagtaas ng function na u(M) o patungo sa pagbaba nito. Tukuyin natin sa pamamagitan ng n ang normal ng antas ng ibabaw na nakatuon sa direksyon ng pagtaas ng function ti(M), at hanapin ang derivative ng function u sa direksyon ng normal na ito (Fig. 5). Mayroon kaming Since ayon sa kondisyon ng Fig. 5 at samakatuwid VECTOR ANALYSIS Scalar field Mga ibabaw at linya ng antas Derivative sa direksyon Derivative Gradient ng isang scalar field Mga pangunahing katangian ng gradient Invariant na kahulugan ng gradient Mga Panuntunan para sa pagkalkula ng gradient Sinusunod nito ang grad at ay nakadirekta sa parehong direksyon tulad ng napili namin ang normal na n, ibig sabihin, sa direksyon ng pagtaas ng function na u(M). Theorem 3. Ang haba ng gradient ay katumbas ng pinakamalaking derivative na may paggalang sa direksyon sa isang partikular na punto ng field, (dito, ang max $ ay kinuha sa lahat ng posibleng direksyon sa isang ibinigay na punto M hanggang sa punto). Mayroon kaming kung saan ang anggulo sa pagitan ng mga vectors 1 at grad n. Dahil ang pinakamalaking halaga ay Halimbawa 1. Hanapin ang direksyon ng pinakamalaki at ganap na scalar field sa punto at gayundin ang magnitude ng pinakamalaking pagbabagong ito sa tinukoy na punto. Ang direksyon ng pinakamalaking pagbabago sa scalar field ay ipinahiwatig ng isang vector. Mayroon kaming kaya Tinutukoy ng vector na ito ang direksyon ng pinakamalaking pagtaas sa field sa isang punto. Ang halaga ng pinakamalaking pagbabago sa field sa puntong ito ay 2.2. Invariant na kahulugan ng gradient Ang mga dami na nagpapakilala sa mga katangian ng bagay na pinag-aaralan at hindi nakadepende sa pagpili ng coordinate system ay tinatawag na mga invariant ng ibinigay na bagay. Halimbawa, ang haba ng isang curve ay isang invariant ng curve na ito, ngunit ang anggulo ng tangent sa curve na may x-axis ay hindi isang invariant. Batay sa tatlong katangian sa itaas ng scalar field gradient, maaari naming ibigay ang sumusunod na invariant na kahulugan ng gradient. Kahulugan. Ang scalar field gradient ay isang vector na nakadirekta kasama ang normal hanggang sa level surface sa direksyon ng pagtaas ng field function at pagkakaroon ng haba na katumbas ng pinakamalaking directional derivative (sa isang partikular na punto). Hayaang maging isang unit normal na vector na nakadirekta sa direksyon ng pagtaas ng field. Pagkatapos Halimbawa 2. Hanapin ang gradient ng distansya - ilang nakapirming punto, at M(x,y,z) - ang kasalukuyang. 4 Mayroon kaming kung saan ang vector ng direksyon ng unit. Mga panuntunan para sa pagkalkula ng gradient kung saan ang c ay isang pare-parehong numero. Ang mga formula sa itaas ay direktang nakuha mula sa kahulugan ng gradient at ang mga katangian ng mga derivatives. Sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto Ang patunay ay katulad ng patunay ng ari-arian Hayaan ang F(u) na maging isang differentiable scalar function. Pagkatapos 4 Sa pamamagitan ng kahulugan ng gradient, mayroon kaming Ilapat sa lahat ng mga termino sa kanang bahagi ang panuntunan sa pagkita ng kaibhan kumplikadong pag-andar. Nakukuha namin Sa partikular, ang Formula (6) ay sumusunod mula sa formula plane hanggang sa dalawang nakapirming punto ng eroplanong ito. Isaalang-alang ang isang arbitrary na ellipse na may foci Fj at F] at patunayan na ang anumang liwanag na sinag na lumalabas mula sa isang pokus ng ellipse, pagkatapos ng pagmuni-muni mula sa ellipse, ay pumapasok sa kabilang pokus nito. Ang mga level lines ng function (7) ay VECTOR ANALYSIS Scalar field Surfaces at level lines Directional derivative Derivative Scalar field gradient Mga pangunahing katangian ng gradient Invariant na kahulugan ng gradient Mga panuntunan sa pagkalkula ng Gradient Ang mga equation (8) ay naglalarawan ng isang pamilya ng mga ellipse na may foci sa mga puntong F ) at Fj. Ayon sa resulta ng Halimbawa 2, mayroon kami at radius vectors. iginuhit sa puntong P(x, y) mula sa foci F| at Fj, at samakatuwid ay nasa bisector ng anggulo sa pagitan ng mga radius vector na ito (Larawan 6). Ayon sa Tooromo 1, ang gradient PQ ay patayo sa ellipse (8) sa punto. Samakatuwid, Fig.6. ang normal sa ellipse (8) sa alinmang punto ay hinahati ang anggulo sa pagitan ng mga radius vector na iginuhit sa puntong ito. Mula dito at mula sa katotohanan na ang anggulo ng saklaw ay katumbas ng anggulo ng pagmuni-muni, nakukuha natin: isang sinag ng liwanag na lumalabas sa isang pokus ng ellipse, na masasalamin mula dito, ay tiyak na mahuhulog sa kabilang pokus ng ellipse na ito.