Solusyon ng mga equation sa EXCEL sa pamamagitan ng paraan ng kalahating paghahati, sa pamamagitan ng paraan ng chords at tangents.

Ang mga nonlinear na equation ay maaaring hatiin sa 2 klase - algebraic at transendental. Algebraic equation ay tinatawag na mga equation na naglalaman lamang ng mga algebraic function (buo, rational, irrational). Sa partikular, ang polynomial ay isang buong algebraic function. Ang mga equation na naglalaman ng iba pang mga function (trigonometric, exponential, logarithmic, at iba pa) ay tinatawag transendente.

Ang mga paraan ng solusyon ay hindi linear na equation ay nahahati sa dalawang pangkat:

1. tumpak na pamamaraan
;
2. umuulit na pamamaraan
.

Ang mga eksaktong pamamaraan ay nagpapahintulot sa iyo na isulat ang mga ugat sa anyo ng ilang may hangganang kaugnayan (pormula). Mula sa kurso ng paaralan ng algebra, kilala ang mga ganitong pamamaraan mga solusyon sa trigonometriko, logarithmic, exponential, pati na rin ang pinakasimpleng algebraic equation.

Tulad ng nalalaman, maraming mga equation at sistema ng mga equation ang walang analytical na solusyon. Una sa lahat, naaangkop ito sa karamihan ng mga transendental na equation. Napatunayan din na imposibleng makabuo ng isang pormula kung saan malulutas ng isang tao ang isang arbitraryo algebraic equation grado sa itaas ng apat. Bilang karagdagan, sa ilang mga kaso ang equation ay naglalaman ng mga coefficient na kilala lamang ng humigit-kumulang, at, samakatuwid, ang mismong problema ng tumpak na pagtukoy sa mga ugat ng equation ay nawawala ang kahulugan nito. Upang malutas ang mga ito, ginagamit namin umuulit na pamamaraan na may ibinigay na antas ng katumpakan.

Hayaan ang equation

1. Function f(x) ay tuloy-tuloy sa segment [ a, b] kasama ang kanilang 1st at 2nd order derivatives.
2. Mga halaga f(x) sa mga dulo ng segment ay mayroon iba't ibang palatandaan (f(a) * f(b) < 0).
3. Una at pangalawang derivatives f"(x) at f""(x) panatilihin ang isang tiyak na tanda sa buong pagitan.

Ang mga kundisyon 1) at 2) ay ginagarantiyahan na sa pagitan [ a, b] mayroong kahit isang ugat, at sumusunod ito mula sa 3) iyon f(x) ay monotoniko sa pagitan na ito at samakatuwid ang ugat ay magiging kakaiba.

Lutasin ang Equation (1) umuulit na pamamaraan nangangahulugang upang maitaguyod kung mayroon itong mga ugat, gaano karaming mga ugat at hanapin ang mga halaga ng mga ugat na may kinakailangang katumpakan.

Anumang value na bumabaligtad sa isang function f(x) sa zero, ibig sabihin. tulad na:

tinawag ugat mga equation(1) o sero mga function f(x).

Ang problema sa paghahanap ng ugat ng equation f(x) = 0 sa pamamagitan ng umuulit na pamamaraan ay binubuo ng dalawang yugto:

1. paghihiwalay ng ugat
- paghahanap ng tinatayang halaga ng ugat o ang segment na naglalaman nito;
2. pagpipino ng tinatayang mga ugat
- dinadala ang mga ito sa isang naibigay na antas ng katumpakan.

Ang proseso ng paghihiwalay ng mga ugat ay nagsisimula sa pagtatatag ng mga palatandaan ng pag-andar f(x) sa hangganan x=a at x=b mga punto sa lugar ng pagkakaroon nito.

Halimbawa 1 . Paghiwalayin ang mga ugat ng equation:

Gumawa tayo ng tinatayang diagram:

Samakatuwid, ang equation (2) ay may tatlong tunay na ugat na nasa pagitan ng [-3, -1], at .

Tinatayang halaga ng mga ugat ( paunang pagtatantya) ay maaari ding malaman mula sa pisikal na kahulugan mga problema, mula sa solusyon ng isang katulad na problema sa iba't ibang paunang data, o maaaring matagpuan sa graphical na paraan.

Karaniwan sa pagsasanay sa engineering graphic na paraan pagpapasiya ng tinatayang mga ugat.

Isinasaalang-alang na ang mga tunay na ugat ng equation (1) ay ang mga intersection point ng graph ng function. f(x) gamit ang x-axis, sapat na upang i-graph ang function f(x) at markahan ang mga intersection point f(x) may ehe oh o markahan sa axis Oh mga segment na naglalaman ng isang ugat. Ang pag-plot ay kadalasang maaaring lubos na pinasimple sa pamamagitan ng pagpapalit ng equation (1) katumbas kanya sa equation:

Ang equation (4) ay maaaring maginhawang muling isulat bilang isang pagkakapantay-pantay:

Kaya't malinaw na ang mga ugat ng equation (4) ay matatagpuan bilang abscissas ng mga intersection point ng logarithmic curve y= log x at hyperbole y = . Sa paggawa ng mga curve na ito, tinatayang mahahanap natin ang tanging ugat ng equation (4) o matukoy ang naglalaman ng segment nito.

Ang umuulit na proseso ay binubuo sa sunud-sunod na pagpipino ng paunang pagtatantya X 0 . Ang bawat ganoong hakbang ay tinatawag pag-ulit. Bilang resulta ng mga pag-ulit, isang pagkakasunud-sunod ng tinatayang mga halaga ng ugat ay natagpuan X 1 , X 2 , ..., xn. Kung ang mga halagang ito ay may pagtaas sa bilang ng mga pag-ulit n lapitan ang tunay na halaga ng ugat, pagkatapos ay sinasabi nila na ang umuulit na proseso nagtatagpo.

Upang mahanap ang ugat ng equation (1) na kabilang sa segment [ a, b], hinahati namin ang segment na ito sa kalahati. Kung ang f= 0 , pagkatapos x = ay ang ugat ng equation. Kung ang f ay hindi katumbas ng 0 (na, sa pagsasanay, ay malamang), pagkatapos ay pipiliin namin ang isa sa mga halves o , sa mga dulo kung saan ang function f(x) may kabaligtaran na mga palatandaan. Bagong makitid na segment [ a 1 , b 1] muling hatiin sa kalahati at gawin ang parehong mga aksyon.

Ang pamamaraan ng bisection ay praktikal na maginhawang gamitin para sa magaspang na paghahanap ng ugat ng isang naibigay na equation, ang pamamaraan ay simple at maaasahan, ito ay palaging nagtatagpo.

Halimbawa 3. Gamitin ang paraan ng bisection upang pinuhin ang ugat ng equation

f( x) = x 4 + 2 x 3 - x - 1 = 0

nakahiga sa pagitan [ 0, 1] .

Patuloy na mayroon kaming:

f(0) = - 1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 - 0,5 - 1 = - 1,19;

f(0.75) = 0.32 + 0.84 - 0.75 - 1 = - 0.59;

f(0.875) = 0.59 + 1.34 - 0.88 - 1 = + 0.05;

f(0.8125) = 0.436 + 1.072 - 0.812 - 1 = - 0.304;

f(0.8438) = 0.507 + 1.202 - 0.844 - 1 = - 0.135;

f(0.8594) = 0.546 + 1.270 - 0.859 - 1 = - 0.043 atbp.

maaaring tanggapin

x = (0.859 + 0.875) = 0.867

AT ang pamamaraang ito ang proseso ng mga pag-ulit ay bilang mga pagtatantya sa ugat ng equation (1) ang mga halaga X 1 , X 2 , ..., x n mga punto ng intersection ng chord AB na may abscissa axis (Larawan 3). Una naming isulat ang chord equation AB:

.

Para sa punto ng intersection ng chord AB kasama ang abscissa ( x = x 1 ,y= 0) nakuha namin ang equation:

Hayaan para sa katiyakan f""(x) > 0 sa a x b(nangyayari f""(x) < Ang 0 ay mababawasan sa atin kung isusulat natin ang equation sa anyo - f(x) = 0). Tapos yung curve sa = f(x) ay matambok pababa at samakatuwid ay matatagpuan sa ibaba ng chord nito AB. Mayroong dalawang kaso: 1) f(a) > 0 (Larawan 3, a) at 2) f(b) < 0 (Рисунок 3, b).

Larawan 3, a, b.

Sa unang kaso, ang katapusan a naayos at sunud-sunod na pagtatantya: x 0 = b;x , kung saan ang function f (X) ay may kabaligtaran na tanda ng pangalawang derivative nito f""(X).

Nagpapatuloy ang umuulit na proseso hanggang sa matagpuan iyon

| x i - x i - 1 |< e ,

kung saan ang e ay ang ibinigay na limitasyon ng ganap na error.

Halimbawa 4 Hanapin ang positibong ugat ng equation

f( x) = x 3 - 0,2 x 2 - 0,2 X - 1,2 = 0

na may katumpakan ng e = 0.01.

Una sa lahat, pinaghihiwalay namin ang ugat. Bilang

f(1) = -0.6< 0 и f (2) = 5,6 > 0,

pagkatapos ay ang nais na ugat x ay namamalagi sa pagitan. Ang resultang pagitan ay malaki, kaya hinahati namin ito sa kalahati. Bilang

f(1.5) = 1.425 > 0 pagkatapos ay 1< x < 1,5.

Bilang f""(x) = 6 x- 0.4 > 0 sa 1< X < 1,5 и f(1,5) > 0, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula (5) upang malutas ang problemang ibinibigay:

= 1,15;

| x 1- x 0 | \u003d 0.15\u003e e,

samakatuwid, ipinagpatuloy namin ang mga kalkulasyon;

f( X 1) = -0,173;

= 1,190;

|x 2- x 1 | \u003d 0.04\u003e e,

f (X 2) = -0,036;

= 1,198;

| x 3- x 2 | = 0,008 < e .

Kaya, maaari nating kunin ang x = 1.198 na may katumpakan ng e = 0.01.

Tandaan na ang eksaktong ugat ng equation ay x = 1.2.

Ivanov Ivan

Kapag ipinasa ang paksa ng mga pamamaraang numerical, alam na ng mga mag-aaral kung paano gamitin mga spreadsheet at sumulat ng mga programa sa Pascal. Ang gawa ng isang pinagsamang karakter. Kinakalkula sa loob ng 40 minuto. Ang layunin ng gawain ay upang ulitin at pagsamahin ang mga kasanayan sa pagtatrabaho Mga programang EXCEL, ABCPascal. Ang materyal ay naglalaman ng 2 file. Ang isa ay naglalaman ng teoretikal na materyal, dahil ito ay inaalok sa mag-aaral. Sa 2nd file, isang halimbawa ng gawain ng mag-aaral ni Ivanov na si Ivan.

I-download:

Preview:

Paglutas ng mga Equation

Analytical solution ng ilang equation na naglalaman, halimbawa, trigonometriko function maaaring makuha lamang para sa mga solong espesyal na kaso. Kaya, halimbawa, walang paraan upang malutas ang analytically kahit na tulad ng isang simpleng equation bilang cos x=x

Numerical na Pamamaraan nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang tinatayang halaga ng ugat sa anumang naibigay na katumpakan.

Ang tinatayang paghahanap ay karaniwang binubuo ng dalawang yugto:

1) paghihiwalay ng mga ugat, i.e. pagtatatag ng posibleng eksaktong mga pagitan, na naglalaman lamang ng isang ugat ng equation;

2) pagpipino ng tinatayang mga ugat, i.e. nagdadala sa kanila sa isang naibigay na antas ng katumpakan.

Isasaalang-alang namin ang mga solusyon ng mga equation ng anyong f(x)=0. Function f(x)tinukoy at tuloy-tuloy sa segment[a.b]. x halaga 0 ay tinatawag na ugat ng equation kung f(x 0 )=0

Upang paghiwalayin ang mga ugat, magpapatuloy tayo mula sa mga sumusunod na probisyon:

• Kung f(a)* f(b] \a,b\ mayroong kahit isang ugat
• Kung ang function na y = f(x) tuloy-tuloy sa segment, at f(a)*f(b) at f "(x) sa pagitan (a, b) pinapanatili ang sign, pagkatapos ay sa loob ng segment[a,b] mayroon lamang isang ugat ng equation

Ang tinatayang paghihiwalay ng mga ugat ay maaari ding isagawa sa graphically. Upang gawin ito, ang equation (1) ay pinalitan ng isang katumbas na equation p(x) = φ(x), kung saan ang mga function na p(x) at φ(x] mas simple kaysa sa function na f(x). Pagkatapos, i-plot ang mga graph ng mga function y = p(x) at y = φ(x), ang mga gustong ugat ay makukuha bilang abscissas ng mga intersection point ng mga graph na ito

pamamaraan ng dichotomy

Upang linawin ang ugat, hinahati namin ang segment[a,b] sa kalahati at kalkulahin ang halaga ng function na f(x) sa puntong x sr =(a+b)/2. Pumili ng isa sa mga kalahati o , sa dulo kung saan ang function f(x) ay may kabaligtaran na mga palatandaan.. Ipinagpapatuloy namin ang proseso ng paghahati ng segment sa kalahati at isinasagawa ang parehong pagsasaalang-alang hanggang. haba nagiging mas mababa kaysa sa tinukoy na katumpakan. Sa huling kaso, ang anumang punto ng segment ay maaaring kunin bilang isang tinatayang halaga ng ugat (bilang panuntunan, ang gitna nito ay kinuha).Ang algorithm ay lubos na mahusay, dahil sa bawat pagliko (iteration) ang agwat ng paghahanap ay hinahati; samakatuwid, ang 10 pag-ulit ay magbabawas nito ng isang salik na isang libo. Ang mga paghihirap ay maaaring lumitaw sa paghihiwalay ng ugat ng mga kumplikadong pag-andar.

Para sa tinatayang pagpapasiya ng segment kung saan matatagpuan ang ugat, maaari kang gumamit ng processor ng spreadsheet sa pamamagitan ng pag-plot ng function graph

HALIMBAWA : Tukuyin nang grapiko ang ugat ng equation. Hayaan ang f1(x) = x , a at bumuo ng mga graph ng mga function na ito. (Iskedyul). Ang ugat ay nasa hanay mula 1 hanggang 2. Dito namin tinukoy ang halaga ng ugat na may katumpakan na 0.001 (table heading sa board)

Algorithm para sa pagpapatupad ng software

1. a:=kaliwang hangganan b:=kanang hangganan
2. m:= (a+b)/2 gitna
3. tukuyin ang f(a) at f(m)
4. kung f(a)*f(m)
5. kung (a-b)/2>e ulitin simula sa punto 2
   

paraan ng chord.

Ang mga punto ng function graph sa mga dulo ng pagitan ay konektado sa pamamagitan ng isang chord. Ang intersection point ng chord at ang Ox axis (x*) at ginagamit bilang pagsubok. Dagdag pa, nagtatalo kami sa parehong paraan tulad ng sa nakaraang pamamaraan: kung f(x a ) at f(x*) ng parehong sign sa pagitan, ang lower bound ay inililipat sa puntong x*; kung hindi, ilipat ang itaas na hangganan. Susunod, gumuhit ng bagong chord, at iba pa.

Ito ay nananatiling lamang upang tukuyin kung paano hanapin ang x*. Sa katunayan, ang problema ay nabawasan sa mga sumusunod: sa pamamagitan ng 2 puntos na may hindi kilalang mga coordinate (x 1, y 1) at (x 2, y 2 ) isang tuwid na linya ay iguguhit; hanapin ang punto ng intersection ng linyang ito at ang x-axis.

Isinulat namin ang equation ng isang tuwid na linya sa dalawang punto:

Sa punto ng intersection ng linyang ito at ng Ox axis, y=0, at x=x*, iyon ay

saan

ang proseso ng pagkalkula ng tinatayang mga halaga ay nagpapatuloy hanggang, para sa dalawang magkasunod na pagtatantya ng root xn at x n _1 ang kundisyon abs(xn-x n-1) e - ibinigay na katumpakan

Ang convergence ng pamamaraan ay mas mataas kaysa sa nauna.

Ang algorithm ay naiiba lamang sa punto ng pagkalkula ng midpoint mga punto - mga interseksyon chords na may x-axis at mga kondisyon ng break (pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkatabing intersection point)

Mga equation para sa malayang solusyon: (kami ay naghahanap ng isang segment sa excel sa aming sarili)

1. sin(x/2)+1=x^2 (x=1.26)

1. x-cosx=0 (x=0.739)

1. x^2+4sinx=0 (x=-1.933)

1. x=(x+1) 3 (x=-2.325)

kung saan ang function na f(x) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa ilang finite o infinite interval x . Sa partikular, sa anyo ng mga nonlinear equation, mga modelo ng matematika pagsusuri ng mga static na katangian ng mga bagay sa disenyo o ang kanilang mga elemento. Kung ang function na f(x) ay polynomial nth degrees ng anyong a0 + a1 x + a2 x2 + ... + anxn, pagkatapos ay tinatawag na algebraic ang equation (1). Kapag ang x ay nasa ilalim ng tanda ng isang transendental na function (exponential, logarithmic, trigonometric, atbp.), ang equation ay tinatawag na transendental. Ang halaga ng x argument kung saan nawawala ang function na f(x), i.e. f(x*) = 0 ay tinatawag na ugat ng equation.

Sa pangkalahatang kaso, para sa function na f(x), walang analytical formula para sa paghahanap ng mga ugat. Bukod dito, ang kanilang eksaktong pagkalkula ay hindi palaging kinakailangan. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang mga equation na nakatagpo sa kasanayan sa engineering ay madalas na naglalaman ng mga coefficient na ang mga halaga ay may tinatayang mga halaga. Sa ganitong mga kaso, ang problema sa pagtukoy ng mga ugat na may tiyak na paunang natukoy na antas ng katumpakan ay malulutas.

Sa mga sumusunod, ipinapalagay namin na ang Eq. (1) ay may mga nakahiwalay lamang na ugat, i.e. para sa bawat isa sa kanila mayroong ilang kapitbahayan na hindi naglalaman ng iba pang mga ugat ng equation na ito. Ang proseso ng paghahanap ng mga nakahiwalay na tunay na ugat nonlinear equation may kasamang dalawang yugto:

• 1) paghihiwalay ng mga ugat, i.e. paghahanap ng mga pagitan na naglalaman ng isa at isang ugat lamang ng equation;
• 2) pagpino ng tinatayang mga halaga ng mga indibidwal na ugat sa isang naibigay na antas ng katumpakan.

Maaaring isagawa ang hakbang sa paghihiwalay ng ugat iba't ibang paraan. Una, ang tinatayang halaga ng ugat ay kung minsan ay kilala mula sa pisikal na kahulugan ng problema. Pangalawa, upang paghiwalayin ang mga ugat ay maaaring gamitin graphic na paraan, batay sa pag-plot ng isang function

non-linear equation half division

kung saan ang tinatayang halaga ng mga tunay na ugat ng equation f(x) = 0 ay tumutugma sa abscissas ng mga punto ng intersection o touch ng graph na may 0x axis (y = 0). Ang pinakakaraniwang ginagamit na paraan ng paghihiwalay ng ugat ay batay sa sumusunod na pahayag: kung sa mga dulo ng isang tiyak na pagitan ang mga halaga ng tuluy-tuloy na pag-andar f(x) ay may iba't ibang mga palatandaan, i.e. f(a)f(b) , kung gayon ang equation (1) ay mayroong kahit isang ugat sa pagitan na ito. Sa kasong ito, ang ugat ay natatangi kung ang derivative ng function na f "(x) ay umiiral at nagpapanatili ng isang palaging sign sa loob ng interval. Isaalang-alang ang pinakasimpleng algorithm para sa paghihiwalay ng mga ugat ng nonlinear equation, na nakatuon sa paggamit ng mga computer. Ang paunang interval [, ], kung saan ang function na f (x ), ay nahahati sa n segment na magkapareho ang haba

(x0, x1), (x1, x2), ..., (xn -1, xn), kung saan ang x0 x1 ...xn at x0 = , xn =

Pagkatapos ang mga halaga ng function na f(xj) ay kinakalkula sa mga puntos na xj (j =) at ang segment (xi, xi+1) ay napili, sa mga dulo kung saan ang function ay may iba't ibang mga palatandaan, i.e. f(xi)f(xi+1) 0. Kung ang haba ng segment na ito ay sapat na maliit (maaari nating ipagpalagay na ang ugat ay natatangi), kung gayon ito ay itinuturing na ang ugat ay pinaghihiwalay sa pagitan , kung saan a = xi, b = xi+1. Kung hindi, ang mga hangganan ng orihinal na agwat ay inililipat, i.e. = xi, = xi + 1, at ang pamamaraan ay paulit-ulit.

Dapat tandaan na ang haba ng paunang agwat , kung saan tinukoy ang function na f(x), ay maaaring mag-iba sa isang malawak na hanay. Samakatuwid, ang bilang ng mga segment n, pati na rin ang haba ng nais na agwat, ay mga variable na dapat itakda sa bawat partikular na kaso, na isinasaalang-alang ang pisikal na kahulugan ng problemang nalulutas.

Sa pangalawang yugto ng paglutas ng mga nonlinear na equation, ang nakuha na tinatayang mga halaga ng mga ugat ay pinino ng iba't ibang mga pamamaraan ng umuulit hanggang sa isang tiyak na tinukoy na error.

paraan ng kalahating paghahati. Para sa pamamaraang ito, mahalaga na ang function na f(x) ay tuluy-tuloy at nakatali sa isang partikular na pagitan , kung saan matatagpuan ang ugat. Ipinapalagay din na ang mga halaga ng pag-andar sa mga dulo ng pagitan f(a) at f(b) ay may magkakaibang mga palatandaan, i.e. ang kundisyon f(a)f(b) ay nasiyahan.

Tukuyin natin ang paunang agwat bilang . Upang mahanap ang ugat ng equation f(x) = 0, ang segment ay nahahati sa kalahati, i.e. ang paunang pagtatantya x0 = (a0 + b0)/2 ay kinakalkula. Kung f(x0) = 0, kung gayon ang halaga x0 = x* ay ang ugat ng equation. Kung hindi, ang isa sa mga segment o ay napili, sa mga dulo kung saan ang function na f (x) ay may iba't ibang mga palatandaan, dahil ang ugat ay nasa kalahating ito. Dagdag pa, ang napiling segment ay tinutukoy bilang , muling hinati sa kalahati ng puntong x1 = (a1 + b1)/2, atbp. Bilang resulta, sa ilang pag-ulit, ang eksaktong ugat na x* ng equation na f(x) = 0 ay nakuha, o isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga nested na segment , , ..., , ..., tulad ng f(ai)f (bi) (i =1, 2, ...) na nagtatagpo sa ugat na x*.

Kung kinakailangan upang matukoy ang root x* na may isang error, pagkatapos ay ang paghahati ng orihinal na pagitan ay ipagpapatuloy hanggang sa ang haba ng segment ay maging mas mababa sa 2, na nakasulat sa anyo ng kondisyon na bi - ai 2.

Sa kasong ito, ang gitna ng huling agwat na may kinakailangang antas ng katumpakan ay nagbibigay ng tinatayang halaga ng ugat

x* (ai + bi) / 2.

Ang half-division method ay madaling ipatupad sa isang computer at ito ang pinakaunibersal sa mga umuulit na pamamaraan para sa pagpino ng mga ugat. Ang application nito ay ginagarantiyahan ang pagkuha ng solusyon para sa anumang tuluy-tuloy na function f(x) kung ang isang agwat ay makikita kung saan ito nagbabago ng sign. Sa kaso kapag ang mga ugat ay hindi pinaghihiwalay, ang isa sa mga ugat ng equation ay matatagpuan. Ang pamamaraan ay palaging nagtatagpo, ngunit ang rate ng convergence ay maliit, dahil ang katumpakan ay tinatayang nadoble sa isang pag-ulit. Samakatuwid, sa pagsasagawa, ang paraan ng bisection ay karaniwang ginagamit upang halos mahanap ang mga ugat ng equation, dahil sa pagtaas ng kinakailangang katumpakan, ang halaga ng mga kalkulasyon ay tumataas nang malaki.

pamamaraan ng dichotomy ay may pangalan nito mula sa sinaunang salitang Griyego, na nangangahulugang paghahati sa dalawa. Iyon ang dahilan kung bakit ang pamamaraang ito ay may pangalawang pangalan: ang paraan ng kalahating paghahati. Madalas namin itong ginagamit. Halimbawa, ang paglalaro ng larong "Hulaan ang numero", kung saan hinuhulaan ng isang manlalaro ang isang numero mula 1 hanggang 100, at sinusubukan ng isa pang hulaan ito, na ginagabayan ng mga pahiwatig na "higit pa" o "mas mababa". Ito ay lohikal na ipagpalagay na ang unang numero ay tatawagin na 50, at ang pangalawa kung ito ay mas mababa - 25, kung ito ay higit pa - 75. Kaya, sa bawat yugto (pag-ulit), ang kawalan ng katiyakan ng hindi alam ay bumaba ng 2 beses. Yung. kahit na ang pinaka malas na tao sa mundo ay huhulaan ang nakatagong numero sa hanay na ito sa 7 hula sa halip na 100 random na mga pahayag.

Half division method sa paglutas ng equation

Tamang solusyon ang equation sa pamamagitan ng half-division method ay posible lamang kung alam na mayroong ugat sa ibinigay na pagitan at ito ay natatangi. Hindi ito nangangahulugan na ang pamamaraan ng dichotomy ay maaari lamang gamitin upang malutas ang mga linear na equation. Upang mahanap ang mga ugat ng mas mataas na pagkakasunud-sunod na mga equation gamit ang paraan ng paghahati-hati, kailangan mo munang paghiwalayin ang mga ugat ayon sa mga segment. Ang proseso ng paghihiwalay ng mga ugat ay isinasagawa sa pamamagitan ng paghahanap ng una at pangalawang derivatives ng function at equating ang mga ito sa zero f "(x) \u003d 0 at f "" (x) \u003d 0. Susunod, ang mga palatandaan ng f ( x) ay tinutukoy sa kritikal at hangganan na mga punto. Ang agwat kung saan nagbabago ang function sign |a,b|, kung saan f(a)*f(b)< 0.

Algorithm ng Dichotomy Method

Ang algorithm ng pamamaraan ng dichotomy ay napaka-simple. Isaalang-alang ang segment |a,b| kung saan mayroong isang ugat x 1

Sa unang yugto x 0 =(a+b)/2 ay kinakalkula

Susunod, ang halaga ng function sa puntong ito ay tinutukoy: kung f(x 0)< 0, то , если наоборот, то ,т.е происходит сужение интервала. Таким образом в результате формируется последовательность x i , где i - номер иттерации.

Huminto ang mga pagkalkula kapag pagkakaiba b-a mas mababa sa kinakailangang error.

Bilang halimbawa ng paggamit ng paraan ng paghahati-hati, makikita natin ang ugat sa pagitan ng equation x 3 -3*x+1=0 na may katumpakan na 10 -3

Tulad ng makikita mula sa talahanayan, ang ugat ay 0.347. Ang bilang ng mga pag-ulit ay 10. Kondisyon ng pagwawakas: a-b=0.0009< 10 -3

Half division method o dichotomy method ay ang pinakamadaling lutasin ang equation sa mga numerical na pamamaraan.

I-download:

Paglutas ng equation sa pamamagitan ng dichotomy - Paglutas ng equation sa pamamagitan ng paghahati sa kalahati sa Pascal.

PANIMULA 4

1. PAHAYAG NG SULIRANIN 5

2. PAGPILI AT PAGLALARAWAN NG MGA PARAAN NG SOLUSYON 6

2.1. HALF METHOD 6

2.2. PARAAN CHORD 9

2.3. PARAAN NG NEWTON (TANGENTE METHOD) 12

3. CORESPONDENCE SA PAGITAN NG MGA VARIABLE NA TINANGGAP SA DESCRIPTION NG PROBLEMA AT SA PROGRAM 15

4. STRUCTURAL DIAGRAM NG MGA PROGRAMA AT PAGLALARAWAN NITO 18

5. PAGLISTING NG PROGRAMA 26

6. PAG-AARAL NG KASO AT PAGSUSURI NG RESULTA 27

7. MANWAL NG USER 32

KONKLUSYON 33

MGA SANGGUNIAN 34

MGA APENDICES 35

APENDIKS A 36

APENDIKS B. 38

APENDIKS E. 39

PANIMULA

Ang Pascal, isa sa mga pinakakaraniwang procedurally oriented programming language noong 80s at 90s, ay may sarili nitong medyo kawili-wiling kasaysayan, na nagsimula sa anunsyo noong 1965 ng isang kumpetisyon upang lumikha ng isang bagong programming language - ang kahalili ng Algol - 60. Isang Swiss scientist ang nakibahagi sa kompetisyon na si Nikolaus Wirth, na nagtrabaho sa computer science department sa Stanford University. Ang proyektong iminungkahi niya ay tinanggihan ng komisyon noong 1967. Ngunit hindi tumigil sa pagtatrabaho si Wirth. Pagbalik sa Switzerland, kasama ang mga kawani ng Swiss Federal Institute of Technology sa Zurich, na noong 1968 ay binuo niya bagong bersyon ang wikang Pascal, na ipinangalan sa mahusay na Pranses na matematiko at mekaniko na si Blaise Pascal, na lumikha ng unang makina sa pagkalkula noong 1642. Noong 1971, inilathala ni N. Wirth ang isang paglalarawan ng kanyang wika, at noong 1975 isang manwal para sa mga gumagamit ng bersyon ng Pascal ay binuo, na halos naging batayan ng pamantayan ng wika. Ngunit ang pamantayan ng wika ay lumitaw lamang noong 1982.

Idinisenyo para sa pag-aaral, ang wika ay naging napaka-simple at sa parehong oras ay mahigpit. Gayunpaman, sa lalong madaling panahon naging malinaw na ito ay lubos na epektibo sa iba't ibang uri ng mga aplikasyon. Sinusuportahan ng Pascal ang pinakabagong mga pamamaraan ng disenyo ng software (top-down, modular na disenyo, structured programming). Kaugnay nito, maraming mga pagpapatupad ng wika para sa iba't ibang mga arkitektura ng makina ang lumitaw, at ang pagbuo ng Borland International para sa mga personal na computer na katugma sa IBM ay naging pinakamatagumpay at tanyag. Ang pagpapatupad ng wikang ito ay tinatawag na Turbo Pascal (Turbo Pascal) at mayroon nang ilang bersyon.

Ang Turbo Pascal ay isang programming system na may kasamang text editor, compiler, linker, loader, debugger, file system, system library, help system. Ang lahat ng mga sangkap na ito ay pinagsama sa isang pinagsamang kapaligiran na may isang multi-window na interface at isang binuo na sistema ng menu, na nagsisiguro ng mataas na produktibo ng programmer kapag lumilikha ng mga programa para sa pang-industriya, pang-agham at komersyal na layunin.

1. PAHAYAG NG SULIRANIN

Sumulat ng isang programa sa wikang pamprograma ng Pascal na lumulutas ng isang nonlinear equation. Ang resulta ng programa ay dapat na ipakita sa screen at sa isang file.

Ipatupad ang sumusunod na menu sa programa:

1-Ipasok ang data mula sa file

2-Magpasok ng data mula sa keyboard

I-debug ang programa sa equation na f(x)=x 2 -x-6 na may katumpakan na 0.001

2. PAGPILI AT PAGLALARAWAN NG MGA PARAAN NG SOLUSYON

Ang proseso ng paghahanap ng tinatayang halaga ng mga ugat ng equation ay maaaring nahahati sa dalawang yugto: 1) paghihiwalay ng mga ugat; 2) pagpino ng mga ugat sa isang naibigay na antas ng katumpakan. Ang ugat ξ ay isinasaalang-alang hiwalay sa segment , kung sa segment na ito ang equation

: paraan ng kalahating paghahati, Newton

2.1. HALF METHOD

Hayaan ang equation f(x) = 0, kung saan f (X) ay isang tuluy-tuloy na pag-andar. Kinakailangang hanapin ang ugat ng equation na ito ξ hanggang ε, kung saan ang e ay ilang positibong sapat na maliit na numero.

Ipagpalagay namin na ang ugat ξ ay pinaghiwalay at matatagpuan sa segment [ a, b], ibig sabihin, ang hindi pagkakapantay-pantay a ≤ ξ ≤ b. Numero a at b ay ang tinatayang mga halaga ng ugat ξ, ayon sa pagkakabanggit, na may kakulangan at may labis. Ang error ng mga pagtatantya na ito ay hindi lalampas sa haba ng segment b – a. Kung ang b – a≤ε, pagkatapos ay makakamit ang kinakailangang katumpakan ng pagkalkula, at maaaring kunin ang tinatayang halaga ng ugat ξ a, o b. Ngunit kung b – a> ε, kung gayon ang kinakailangang katumpakan ng pagkalkula ay hindi pa nakakamit at kinakailangan upang paliitin ang mga pagitan kung saan matatagpuan ang ugat na ξ, ibig sabihin, upang piliin ang mga naturang numero a at b upang masiyahan ang mga hindi pagkakapantay-pantay a b at . Kapag nagkalkula, dapat huminto at para sa tinatayang halaga ng ugat, hanggang ε, kunin ang alinman a, o b. Dapat tandaan na ang halaga ng ugat ay magiging mas tumpak kapag hindi ang mga dulo ng segment ang kinuha bilang tinatayang halaga ng ugat. a at b, at sa gitna ng segment na ito, i.e. . Ang error sa kasong ito ay hindi lalampas sa halaga
.

Halimbawang paraan. Hayaan ang equation f(x) = 0 [f(x) – tuluy-tuloy na pag-andar] at ang ugat ε ay pinaghihiwalay sa segment [ a, b], ibig sabihin. f(a) ∙ f(b) b – a> ε. Kinakailangang hanapin ang halaga ng ugat ξ hanggang ε (Fig. 2.1)

Ang prinsipyo ng paglutas ng isang equation ng uri y=f(x) sa pamamagitan ng paraan ng pagsubok

Ang prinsipyo ng paglutas ng isang equation ng uri y=f(x) sa pamamagitan ng paraan ng paghahati-hati

Sa segment [ a, b] pumili ng isang punto a 1 nang arbitraryo, na hahatiin ito sa dalawang segment at . Sa dalawang segment na ito, dapat mong piliin ang isa sa mga dulo kung saan ang function ay kumukuha ng mga halaga na magkasalungat sa sign. Sa ating halimbawa f(a) ∙ f(a 1) > 0, f(a 1) ∙ f(b) a 1 , b]. Pagkatapos, sa makitid na segment na ito, muli tayong kusang kumuha ng punto a 2 at hanapin ang mga palatandaan ng mga produkto f(a 1) ∙ f(a 2) at f(a 2) ∙ f(b). Bilang f(a 2)× f(b) a 2 , b]. Ipinagpapatuloy namin ang prosesong ito hanggang sa ang haba ng segment kung saan matatagpuan ang ugat ay maging mas mababa sa ε. Nakukuha namin ang root ξ bilang arithmetic mean ng mga dulo ng nahanap na segment, at ang error ng root ay hindi lalampas sa ε/2.

Halimbawang paraan sa form na ito sa isang computer ay hindi ginagamit. Para sa paghahanda ng mga programa at kalkulasyon sa isang computer, ang paraan ng sampling ay ginagamit sa anyo ng tinatawag na paraan ng paghahati-hati.

Hayaan ang ugat ξ ng equation f(X) = 0 ay pinaghihiwalay at nasa pagitan ng [ a, b], ibig sabihin. f(a) ∙ f(b) b – a> ε [dito f(x) ay isang tuluy-tuloy na function]. Gaya ng dati, kunin ang segment [ a, b] isang intermediate point, ngunit hindi basta-basta, ngunit upang ito ang midpoint ng segment [ a, b], ibig sabihin. kasama = (a + b)/2. Pagkatapos ang segment [ a, b] point c ay nahahati sa dalawang pantay na segment [ a, kasama] at [ kasama, b], na ang haba ay katumbas ng ( b – a)/2 (Larawan 2.2). Kung ang f(kasama) = 0, pagkatapos kasama ay ang eksaktong ugat ng equation f(X) = 0. Kung f(kasama) ≠ 0, pagkatapos ay mula sa dalawang resultang mga segment [ a, kasama] at [ kasama, b] piliin ang isa sa dulo kung saan ang function f(x) tumatagal sa magkasalungat na mga halaga ng tanda; sabihin natin ito [ a l , b isa ]. Pagkatapos ang segment [ a l , b 1] hatiin din sa kalahati at isagawa ang parehong pangangatwiran. Nakukuha namin ang segment [ a 2 , b 2 ], na ang haba ay katumbas ng ( b – a)/2 2 . Ang proseso ng paghahati ng segment sa kalahati ay isinasagawa hanggang, sa ilang ika-na yugto, alinman sa gitna ng segment ang magiging ugat ng equation (isang kaso na napakabihirang sa pagsasanay), o ang segment [ a n b n] ganyan b n- a n = ( b– a)/2 n ≤ ε at a n ≤ ξ ≤ b n (numero n ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga dibisyon na ginawa). Numero a n at b n - mga ugat ng equation f(X) = 0 hanggang ε. Para sa tinatayang halaga ng ugat, tulad ng nabanggit sa itaas, dapat kumuha ng ξ = ( a n+ b n)/2, at ang error ay hindi lalampas sa ( b – a)/2n +1 .

2.2. PARAAN NG CHORD

Ang paraan ng chord ay isa sa mga karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga algebraic at transendental na equation. Sa panitikan, matatagpuan din ito sa ilalim ng mga pangalang "false position method" (regula falsi), "linear interpolation method" at "proportional parts method".

Hayaang maibigay ang equation na f(x) = 0, kung saan ang f(x) ay isang tuluy-tuloy na function na may mga derivatives ng una at pangalawang order sa pagitan [a, b]. Ang ugat ay itinuturing na hiwalay at matatagpuan sa segment [a, b], i.e. f(a)-f(b)

Ang ideya ng paraan ng mga chord ay na sa isang sapat na maliit na pagitan [a, b] ang arko ng curve y = f(x) ay pinalitan ng isang chord subtending ito. Bilang tinatayang halaga ng ugat, ang punto ng intersection ng chord na may axis ng baka.

Mas maaga, isinasaalang-alang namin ang apat na kaso ng lokasyon ng arko ng curve, na isinasaalang-alang ang mga halaga ng una at pangalawang derivatives.

Isaalang-alang ang mga kaso kapag ang una at pangalawang derivative ay may parehong mga palatandaan, ibig sabihin, f "(x) ∙ f"" (x) > 0.

Hayaan, halimbawa, f (a) 0, f "(x)\u003e 0, f "" (x)\u003e 0 (Fig. 3.18, a). Ang graph ng function ay dumadaan sa mga puntos na A 0 (a). ; f (a)), B (b; f (b)) - Ang nais na ugat ng equation f (x) \u003d 0 ay ang abscissa ng punto ng intersection ng graph ng function na y \u003d f (x ) na may Ox axis. Ang puntong ito ay hindi alam sa amin, ngunit sa halip ay kunin namin ang puntong x 1 ng intersection ng chord A at B sa Ox axis. Ito ang magiging tinatayang halaga ng ugat.

Ang equation ng isang chord na dumadaan sa mga puntos A 0 at B ay may anyo

Hanapin ang value x \u003d x 1 kung saan y \u003d 0:

Ang pormula na ito ay tinatawag na pormula ng paraan ng mga kuwerdas. Ngayon ang ugat ξ ay nasa loob ng segment. Kung ang halaga ng root x 1 ay hindi angkop sa amin, maaari itong pinuhin sa pamamagitan ng paglalapat ng paraan ng chord sa segment [x 1, b].

Ikonekta natin ang punto A 1 (x 1; f (x 1) sa punto B (b; f (b)) at hanapin ang x 2 - ang punto ng intersection ng chord A 1 B sa axis ng Ox:

Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, nakita namin

Nagpapatuloy ang proseso hanggang sa makakuha tayo ng tinatayang ugat na may partikular na antas ng katumpakan.

Ayon sa mga formula sa itaas, ang mga ugat ay kinakalkula din para sa kaso kapag f(a) > 0, f(b)

Ngayon isaalang-alang ang mga kaso kapag ang una at pangalawang derivatives ay may iba't ibang mga palatandaan, i.e. f"(x) ∙ f"(x)

Hayaan, halimbawa, f(a) > 0, f(b) 0 (Fig. 3.19, a). Ikonekta ang mga puntos na A (a; f (a)) at B 0 (b; f (b)) at isulat ang equation ng chord na dumadaan sa A at B 0:

Hanapin natin ang x 1 bilang punto ng intersection ng chord na may axis na Ox, na nagtatakda ng y \u003d 0:

Ang ugat ξ ay nakapaloob na ngayon sa loob ng segment. Ang paglalapat ng sword of chords sa segment [a, x 1], nakakakuha tayo ng Paraan para sa paglutas ng isang nonlinear equation Laboratory work >> Mathematics

Mga mag-aaral na nag-aaral ng paksang "Numerical paraan" at pagsasagawa ng gawaing laboratoryo ... Isinasaalang-alang ng mga alituntunin ang isang bilang ng paraan paghahanap ng mga ugat ng isang nonlinear equation at ... Samakatuwid pinakamahalaga mayroon paraan tinatayang solusyon ng isang equation na may ibinigay na ...