Numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation Pamamaraan ni Newton. Tangent na paraan

Desisyon nonlinear equation Pamamaraan ni Newton

Mayroong ilang mga pagbabago sa pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa kuryente. Ginagawa nilang posible na taasan ang rate ng convergence ng umuulit na proseso at bawasan ang oras ng pagkalkula.

Pangunahin dignidad paraan - ito ay may mabilis na convergence.

Ideya ng pamamaraan binubuo ng sunud-sunod na pagpapalit sa bawat pag-ulit ng pagkalkula ng orihinal na nonlinear system ng mga equation ng ilang auxiliary linear system ng mga equation, ang solusyon na ginagawang posible upang makuha ang susunod na approximation ng mga hindi alam, mas malapit sa nais na solusyon ( linearization).

Isaalang-alang ang isang nonlinear equation sa pangkalahatang anyo:

Ang nais na solusyon ng equation ay ang punto kung saan ang kurba ay nag-intersect sa x-axis.

Itinakda namin ang paunang pagtatantya ng hindi alam x(0). Tukuyin ang halaga ng function sa puntong ito w(x(0)) at gumuhit ng tangent sa curve sa punto B. Ang punto ng intersection ng tangent na ito sa x-axis ay tumutukoy sa susunod na pagtatantya ng hindi alam x (1) atbp.

Palawakin natin ang equation (1) sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto x(0). Isaalang-alang ang mga termino ng pagpapalawak na naglalaman lamang ng 1st derivative:

(2)

x - x (0) = Δx- pagwawasto sa hindi alam. Kung tutukuyin natin ito, matutukoy natin ang susunod na pagtatantya.

Mula sa (2) tinutukoy namin ang pagwawasto (3)

Pagkatapos ay ang susunod na pagtatantya: (5)

Katulad nito, nakukuha namin sa-ika-approximation:

Ito ay paulit-ulit na pormula ng pamamaraan ni Newton para sa paglutas ng mga nonlinear equation. Pinapayagan nito ang isa na matukoy ang sunud-sunod na pagtatantya ng mga hindi alam.

Ang formula (6) ay maaaring makuha sa ibang paraan mula sa figure:

Ang umuulit na proseso ay nagtatagpo kung ito ay bumababa at lumalapit 0 . Ang resulta ay makakamit kung .

Komentaryo sa geometric na interpretasyon

Ang umuulit na hakbang ng pamamaraan ay binabawasan upang palitan ang kurba ng isang tuwid na linya, na inilalarawan ng kaliwang bahagi ng equation (2). Ito ay padaplis sa kurba sa punto. Ang prosesong ito ay tinatawag linearization. Point ng intersection ng tangent sa curve na may axis X nagbibigay ng isa pang approximation ng hindi alam . Samakatuwid ang pamamaraang ito ay tinatawag padaplis na paraan.

Halimbawa:

Halimbawa:

Upang matukoy sa pamamaraang ito ang lahat ng mga ugat ng isang nonlinear equation, kinakailangan upang matukoy sa anumang paraan tinatayang ang lokasyon ng mga ugat na ito at itakda ang mga unang pagtatantya sa paligid ng mga ito.

Ang isang madaling paraan upang matukoy ang lugar ng ugat ay tab stop.

Newton na umuulit na proseso hindi nagtatagpo, kung ang mga unang pagtatantya ay pinili upang:

Ang proseso ay alinman sa hindi nagtatagpo o nagtatagpo ng napakasama.

Paraan ng Newton-Raphson para sa solusyon ng SNAU

Ipinakita ni Raphson na iminungkahi ng umuulit na pamamaraan ni Newton para sa paglutas isa hindi linear mga equation, maaaring magamit upang malutas mga sistema nonlinear equation.

Kasabay nito, upang malutas ang mga sistema ng mga nonlinear na equation, sa halip na isang hindi alam, kinakailangang isaalang-alang ang set (vector) hindi kilala:

sa halip na isang tira ng equation, isasaalang-alang namin natitirang vector mga equation ng system:

Isang derivative sa (6) ang pinapalitan matrix ng mga derivatives. Ang operasyon ng paghahati sa (6) ay pinapalitan ng multiplikasyon ng reverse matrix ng mga derivatives. Sa kasong ito, ang Newton-Raphson method ay naiiba sa Newton method sa pamamagitan ng paglipat mula sa isang one-dimensional na problema sa multidimensional.

Isaalang-alang ang isang sistema ng tunay na non-linear algebraic equation:

(7)

Maaari itong isulat sa matrix form:

saan X= x 2 - vector - column ng mga hindi alam;

w 1 (x 1, x 2, ... x n)

W = w Ang 2 (x 1, x 2, ... x n) ay isang vector function.

w n (x 1, x 2, ... x n)

Hayaan ay ang mga unang pagtatantya ng mga hindi alam. Palawakin natin ang bawat equation ng system (7) sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto X (0), ibig sabihin, nagsasagawa kami ng tinatayang pagpapalit ng orihinal na mga nonlinear na equation na may mga linear, kung saan ang 1st derivative lang ang pinapanatili (linearization). Bilang resulta, ang sistema ng mga equation (7) ay nasa anyo:

(9)

Bilang resulta, nakuha namin sistema ng mga linear na equation(linearized system), kung saan hindi alam ang mga pagwawasto. Ang mga coefficient para sa mga hindi alam sa sistemang ito ay ang mga unang derivatives ng mga equation wj ng orihinal na nonlinear system sa lahat ng hindi alam Xi.. Bumubuo sila ng isang matrix ng mga coefficient - Jacobian matrix:

=

Ang bawat row ng matrix ay binubuo ng mga unang derivatives ng susunod na equation ng nonlinear system sa lahat ng hindi alam.

Isinulat namin ang linearized system (9) sa matrix form:

(10)

Dito, ay ang vector ng mga nalalabi ng mga equation ng orihinal na sistema. Ang mga elemento nito ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga hindi alam sa mga equation ng isang nonlinear system ng sunud-sunod na pagtatantya;

- jacobi matrix. Ang mga elemento nito ay ang unang partial derivatives ng lahat ng equation ng orihinal na sistema sa lahat ng hindi alam;

- vector ng pagwawasto sa ninanais na hindi alam. Sa bawat pag-ulit, maaari itong isulat:

Ang System (10), na isinasaalang-alang ang tinanggap na notasyon, ay maaaring isulat:

(12)

Ang sistemang ito linear tungkol sa mga susog ΔX (k).

Ang System (13) ay isang linearized na sistema ng mga equation na pumapalit sa orihinal na SNAU sa bawat hakbang ng umuulit na proseso.

Ang system (13) ay nalutas sa pamamagitan ng anumang kilalang pamamaraan, bilang isang resulta ay makikita natin ang vector ng pagwawasto . Pagkatapos mula sa (11) mahahanap natin sunud-sunod na pagtatantya hindi alam:

yun. lahat umuulit na hakbang Ang proseso ay binubuo sa paglutas ng linear system (13) at pagtukoy sa susunod na pagtatantya mula sa (14).

Mula sa (11) at (12) ay maaaring makuha ng isa ang kabuuan paulit-ulit na formula(sa anyong matrix) na naaayon sa pamamaraang Newton–Raphson:

(15)

Ito ay may istraktura na naaayon sa formula (6).

Ang formula (15) ay ginagamit sa mga praktikal na kalkulasyon bihira, dahil dito kinakailangan na baligtarin ang Jacobian matrix (ng mataas na dimensyon) sa bawat pag-ulit ng mga kalkulasyon. Sa totoong mga kalkulasyon, ang mga pagwawasto ay tinutukoy sa pamamagitan ng paglutas ng linear system (13).

Kontrol sa pagkumpleto ng umuulit na proseso, ginagawa namin ang vector ng mga nalalabi:

Ang kundisyong ito ay dapat matugunan para sa mga nalalabi lahat mga equation ng system.

Algorithm para sa paglutas ng SNAU sa pamamagitan ng Newton-Raphson na pamamaraan

1. Pagtatakda ng vector ng mga unang pagtatantya ng mga hindi alam .

Itakda ang katumpakan ng pagkalkula є , iba pang mga parameter ng pagkalkula

2. Pagpapasiya ng mga nalalabi ng nonlinear equation sa punto ng approximation ;

2.3. Pagpapasiya ng mga elemento ng Jacobi matrix sa punto ng susunod na pagtatantya ng mga hindi alam;

2.4. Solusyon ng linearized system (13) sa pamamagitan ng anumang kilalang pamamaraan. Pagpapasiya ng mga pagwawasto sa mga hindi alam.

2.5. Kahulugan ng susunod na pagtatantya ng mga hindi alam alinsunod sa (14).

2.6. Kontrol sa pagkumpleto ng umuulit na proseso alinsunod sa (16). Kung hindi natugunan ang kundisyon, bumalik sa hakbang 2.

Halimbawa:

Lutasin ang SLAE sa pamamagitan ng Newton-Raphson method:

(solusyon X 1 \u003d X 2 \u003d 2)

Isinulat namin ang mga equation sa anyo ng mga nalalabi:

Tinutukoy namin ang mga elemento ng Jacobian matrix:

Jacobian matrix:

Ipinapatupad namin ang algorithm ng pamamaraang Newton-Raphson:

1) Unang pag-ulit:

Mga paunang hula

Mga nalalabi

Jacobian matrix:

Linearized na sistema ng mga equation:

1st approximation ng mga hindi alam:

2) Pangalawang pag-ulit

3) Pangatlong pag-ulit:

… ……… …… …… …… ……..

Paglutas ng mga sistema ng steady state equation sa pamamagitan ng Newton-Raphson method

Ang non-linear steady state equation sa anyo ng power balance para sa -th node ay may anyo:

(17)

Ito ay isang equation na may mga kumplikadong hindi alam at coefficient. Upang ang mga naturang equation ng form (17) maaaring magpasya sa pamamagitan ng Newton-on-Raphson na pamamaraan, sila ay nababago: ang tunay at haka-haka na mga bahagi ay pinaghihiwalay. Bilang resulta nito, bawat isa kumplikadong equation ng form (17) ay nabubulok sa dalawang tunay na equation na tumutugma sa balanse ng aktibo at reaktibong kapangyarihan sa node:

Narito, ang mga tinukoy na kapangyarihan sa node;

Hindi kilalang mga bahagi ng boltahe sa mga node. Kailangan sila

tinutukoy mula sa pagkalkula.

Sa kanang bahagi ng mga equation (18) ay ang kinakalkula na kabuuang kapangyarihan ng mga overcurrent sa mga sanga na angkop para sa -th node.

Isulat natin ang mga equation na ito (18) sa anyo mga nalalabi:

Ang mga nalalabi ng mga equation (19) ay tumutugma sa kinakalkula kawalan ng timbang aktibo at reaktibong kapangyarihan sa -th node.

Inilalarawan ng mga nalalabi ang node mode і at mga non-linear na function ng hindi kilalang mga boltahe sa mga node. Kailangang -> 0.

Lutasin natin ang system sa pamamagitan ng Newton-Raphson method 2n mga equation ng form (19), iyon ay, upang malutas ang problema ng pagkalkula ng matatag na estado ng isang electric network sa pamamagitan ng Newton-Raphson na pamamaraan, kailangan mo:

1) bumuo ng isang sistema 2n mga equation ng form (19) para sa lahat ng node de-koryenteng network, maliban sa pagbabalanse;

2) ayusin ang umuulit na proseso ng pamamaraang Newton-Raphson

upang malutas ang sistemang ito ng mga equation. Bilang resulta ng desisyon

makuha namin ang nais na bahagi ng stress sa mga node.

Isinulat namin ang sistemang ito ng mga equation sa pangkalahatang anyo:

(20)

Nakakuha ng system ng 2 non-linear mga natitirang equation na may 2 hindi alam, na. Hindi alam sa loob nito ang mga bahagi ng boltahe - mga module at anggulo.

Upang malutas ang sistema (20) sa pamamagitan ng pamamaraang Newton-Raphson, kinakailangan na mag-compose pantulong linearized system ng mga equation ng form (13), paglutas kung saan sa bawat pag-ulit, tinutukoy namin ang mga pagwawasto sa mga hindi alam:

(21)

Isinasaalang-alang ang tinanggap na notasyon, ang sistema (21) ay maaaring isulat:

(22)

nasaan ang Jacobi matrix, ang mga elemento nito ay partial derivatives ng mga equation ng system (20) na may paggalang sa lahat ng hindi alam - mga bahagi ng stress

Ang natitirang vector ng mga equation ng system (20). Ang kanilang mga halaga ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga hindi alam sa mga equation ng sunud-sunod na pagtatantya;

Vector ng pagwawasto para sa mga hindi alam:

; ΔӨi = Ө i (k+1) - Ө i (k), ΔU i \u003d U i (k + 1) - U i (k) .

Upang matukoy ang mga elemento ng Jacobi matrix, ginagamit namin analytic differentiation, ibig sabihin. iniiba namin ang bawat equation ng system (20) na may paggalang sa mga kinakailangang halaga - anggulo at stress moduli. Upang mabuo ang Jacobian matrix, kailangan ng isa na makakuha ng analytical expression para sa mga derivatives ng mga sumusunod uri ng hayop:

1) Derivative ng natitirang equation ng aktibong kapangyarihan ng th node na may paggalang sa anggulo ng boltahe ng parehong node: ;

2) Ang derivative ng natitirang equation ng aktibong kapangyarihan ng th node na may paggalang sa anggulo ng boltahe ng katabing j- ika node: ;

3) Derivative ng pagkakaiba ng aktibong kapangyarihan ng th node modulo ang boltahe ng parehong node: ;

4) Derivative ng pagkakaiba ng aktibong kapangyarihan ng th node modulo ang boltahe ng katabing node: ;

Katulad nito, apat pang uri ng derivatives ang tinukoy - derivatives ng natitirang reactive power equation ng th node sa lahat ng hindi alam:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Isinasaalang-alang ang mga derivatives na ito, ang Jacobi matrix ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo:

(23)

Tukuyin natin analitikong mga ekspresyon para sa mga derivatives, pinag-iiba ang mga equation ng system (20) na may paggalang sa hindi kilalang mga dami. Magkamukha sila:

(24)

Jacobian matrix sa pangkalahatang kaso - isang parisukat na matrix, simetriko, na may sukat , ang mga elemento nito ay mga partial derivatives ng mga residual ng mga equation (power imbalance) sa lahat ng hindi alam.

Kung ang mga node ay hindi magkakaugnay, kung gayon ang kaukulang mga derivative sa Jacobian matrix, na matatagpuan sa labas ng dayagonal, ay magiging katumbas ng zero (katulad ng matrix ng conductivities) - mula noon. sa kaukulang mga formula (24) ang mutual conductivity yij ay isang kadahilanan at. yij =0.

Ang bawat hilera ng matrix ay ang derivative ng susunod na equation ng system (20).

Ang presensya sa scheme ng kunwa na network ng mga espesyal na node (reference at pagbabalanse ng mga node, FM node) ay nakakaapekto istraktura mga sistema ng steady-state equation at sa istruktura ng Jacobian matrix:

1. Para sa mga node na may pag-aayos ng modyul stresses (FM), kung saan ang ibinigay at hindi alam ay at , mula sa Jacobi matrix hindi kasama linya ng mga derivatives (dahil Q i ay hindi nakatakda, kung gayon ang reactive power balance equation (18), (19) ay hindi maaaring i-compile) at ang column ng mga derivatives (dahil ang boltahe modulus U i kilala at ito ay hindi kasama sa listahan ng mga hindi alam).

2. Para sa pagsuporta at pagbabalanse ng mga node, ang mga kaukulang row at column ng matrix ay hindi kasama;

3. Kung ang mga node ay hindi direktang konektado, ang mga kaukulang derivatives sa matrix ay katumbas ng zero.

Ang Jacobian matrix ay maaaring hatiin sa apat harangan:

1) - derivatives ng hindi balanseng mga equation aktibo kapangyarihan (20) mga sulok mga stress;

2) - derivatives ng hindi balanseng equation aktibo kapangyarihan ayon sa mga module mga stress;

3) - derivatives ng hindi balanseng equation reaktibo kapangyarihan (20) mga sulok mga stress;

4) - derivatives ng imbalance equation reaktibo kapangyarihan ayon sa mga module mga stress.

Ito ay mga matrice-cells ng mga partial derivatives ng aktibo at reaktibong power unbalance na may paggalang sa hindi kilalang mga anggulo at mga module ng boltahe. Sa pangkalahatan, ito ay mga square matrice ng dimensyon n×n.

Sa pag-iisip na ito, ang Jacobi matrix ay maaaring katawanin bilang harangan matrice:

saan subvector ng hindi kilalang dami.

Sa pag-iisip na ito, ang linearized na sistema ng mga equation (22) ay maaaring isulat sa anyo:

. (25)

Paglutas nito linear na sistema mga equation (sa pamamagitan ng anumang kilalang pamamaraan) sa

Para sa bawat pag-ulit ng pamamaraan, nakakahanap kami ng mga pagwawasto sa mga hindi alam , at pagkatapos

regular pagtatantya hindi alam:

(26)

Ang susunod na pagtatantya ng mga hindi alam ay maaari ding makuha gamit ang umuulit na pormula Paraang Newton-Raphson na katulad ng (15):

- (27)

Nangangailangan ito ng pagbabaligtad ng Jacobian matrix sa bawat pag-ulit - isang masalimuot na operasyon sa pagtutuos.

Algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng steady state equation sa pamamagitan ng Newton-Raphson method

1. Pagtatakda ng mga paunang halaga ng hindi kilalang mga stress. Tinatanggap namin bilang mga paunang pagtatantya: , i.e. na-rate na mga boltahe ng mga node;

2. Pagtatakda ng mga kondisyon ng pagkalkula: katumpakan ε , limitahan ang bilang ng mga pag-ulit , mga salik na nagpapabilis, atbp.

3. Pagtukoy sa mga nalalabi ng mga equation alinsunod sa mga equation (20) na may sunud-sunod na pagtatantya ng mga hindi alam;

4. Pagtukoy sa mga elemento ng Jacobi matrix alinsunod sa (24) na may sunud-sunod na pagtatantya ng mga hindi alam;

5. Paglutas ng linearized na sistema ng mga equation (25) at pagtukoy ng mga pagwawasto sa mga hindi alam;

6. Pagpapasiya ng sunud-sunod na pagtatantya ng mga hindi alam alinsunod sa (26);

7. Sinusuri ang pagkumpleto ng umuulit na proseso:

Ang mga natitirang halaga ng mga equation para sa lahat ng mga node ay dapat na mas mababa kaysa sa tinukoy na katumpakan.

Kung ang kundisyon ay hindi natugunan, pagkatapos ay bumalik sa hakbang 3 at ulitin ang pagkalkula gamit ang mga bagong pagtatantya ng mga hindi alam.

May numero mga pagbabago sa pamamaraang Newton-Raphson. Kasama ang:

1. Binagong paraan ng Newton-Raphson.

Ang Jacobi matrix ay kinakalkula nang isang beses sa mga paunang halaga ng mga hindi alam. Sa kasunod na mga pag-ulit, ito ay kinuha pare-pareho. Ito ay makabuluhang binabawasan ang dami ng pag-compute sa bawat pag-ulit, ngunit pinapataas ang bilang ng mga pag-ulit.

2. Pinaghiwalay na pamamaraan ng Newton-Raphson.

Ang mga derivatives ng mga species ay napakaliit at ang kanilang mga halaga ay maaaring napapabayaan. Bilang resulta, dalawang bloke ang nananatili sa Jacobi matrix - ang ika-1 at ika-4, at ang sistema (25), na binubuo ng mga equation, breaks up sa dalawang independiyenteng sistema na may dimensyon. Ang bawat isa sa mga sistemang ito ay nalutas nang hiwalay mula sa isa pa. Ito ay humahantong sa isang pagbawas sa dami ng mga kalkulasyon at ang kinakailangang memorya ng computer.



Mga keyword:

Layunin: pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi linear na equation na may isang hindi alam at subukan ang mga ito sa eksperimentong gawain.

Mga gawain sa trabaho:

1. Suriin ang mga espesyal na literatura at piliin ang pinaka makatwirang paraan upang malutas ang mga hindi linear na equation, na nagpapahintulot sa lahat ng mga nagtapos na malalim na pag-aralan at pag-aralan ang paksang ito mataas na paaralan.
2. Bumuo ng ilang aspeto ng pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear equation gamit ang ICT.
3. Alamin ang mga paraan para sa paglutas ng mga nonlinear equation:

‒ Hakbang na pamamaraan

‒ Paraan ng paghahati-hati

‒ Pamamaraan ni Newton

Panimula.

Kung walang mathematical literacy, imposibleng matagumpay na makabisado ang mga pamamaraan ng paglutas ng mga problema sa physics, chemistry, biology at iba pang mga paksa. Buong complex mga likas na agham binuo at binuo batay sa kaalaman sa matematika. Halimbawa, ang pag-aaral ng ilang mga problemang pangkasalukuyan ng matematikal na pisika ay humahantong sa pangangailangang lutasin ang mga nonlinear na equation. Ang solusyon ng nonlinear equation ay kinakailangan sa nonlinear optics, plasma physics, theory of superconductivity, at low temperature physics. May sapat na dami ng literatura sa paksang ito, ngunit maraming mga aklat-aralin at artikulo ang mahirap maunawaan ng isang mag-aaral sa high school. Sa papel na ito, isinasaalang-alang ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation na maaaring magamit sa paglutas ng mga inilapat na problema ng pisika at kimika. Ang isang kawili-wiling aspeto ay ang aplikasyon ng teknolohiya ng impormasyon sa solusyon ng mga equation at mga problema sa matematika.

paraan ng hakbang.

Hayaang kailanganin na lutasin ang isang nonlinear equation ng form na equation F(x)=0. Ipagpalagay din natin na binibigyan tayo ng ilang pagitan ng paghahanap . Kinakailangang hanapin ang pagitan [а,b] ng haba h na naglalaman ng unang ugat ng equation, simula sa kaliwang hangganan ng pagitan ng paghahanap.

kanin. 1. Hakbang na paraan

Mayroong ilang mga paraan upang malutas ang gayong problema. Ang pamamaraan ng hakbang ay ang pinakasimpleng mga pamamaraan ng numero para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ngunit upang makamit ang mataas na katumpakan, kinakailangan upang makabuluhang bawasan ang hakbang, at ito ay lubos na nagpapataas ng oras ng pagkalkula. Algorithm para sa paglutas ng mga equation gamit ang ang pamamaraang ito ay binubuo ng dalawang yugto.

akoyugto. Seksyon ng ugat.

Sa yugtong ito, ang mga seksyon ay tinutukoy, sa bawat isa ay mayroon lamang isang ugat ng equation. Mayroong ilang mga opsyon para sa pagpapatupad ng yugtong ito:

• Pinapalitan namin ang mga halaga ng X (mas mabuti na may ilang medyo maliit na hakbang) at tingnan kung saan nagbabago ang sign ng function. Kung ang pag-andar ay nagbago ng tanda, nangangahulugan ito na mayroong isang ugat sa seksyon sa pagitan ng dati at kasalukuyang halaga ng X (kung ang pag-andar ay hindi nagbabago sa likas na katangian ng pagtaas / pagbaba, kung gayon maaari itong maitalo na mayroon lamang ugat sa pagitan na ito).
• Paraan ng graphic. Bumubuo kami ng isang graph at sinusuri kung anong mga pagitan ang namamalagi ng isang ugat.
• Sinisiyasat namin ang mga katangian ng isang partikular na function.

IIyugto. Pagpino ng ugat.

Sa yugtong ito, ang halaga ng mga ugat ng equation, na tinutukoy nang mas maaga, ay tinukoy. Bilang isang tuntunin, ang mga umuulit na pamamaraan ay ginagamit sa yugtong ito. Halimbawa, ang pamamaraan kalahating dibisyon(dichotomies) o pamamaraan ni Newton.

Paraan ng kalahating paghahati

Isang mabilis at medyo simpleng numerical na paraan para sa paglutas ng mga equation batay sa sunud-sunod na pagpapaliit ng pagitan na naglalaman ng natatanging ugat ng equation F(x) = 0 hanggang sa maabot ang tinukoy na katumpakan E. Karaniwang ginagamit ang paraang ito kapag nilulutas quadratic equation at mga equation ng mas mataas na antas. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay may isang makabuluhang disbentaha - kung ang segment [a, b] ay naglalaman ng higit sa isang ugat, kung gayon hindi posible na makamit ang magagandang resulta sa tulong nito.

kanin. 2. Paraan ng dichotomy

Ang algorithm ng pamamaraang ito ay ang mga sumusunod:

– Tukuyin ang isang bagong approximation ng root x sa gitna ng segment [a;b]: x=(a+b)/2.

‒ Hanapin ang mga halaga ng function sa mga punto a at x: F(a) at F(x).

‒ Suriin ang kundisyon F(a)*F(x)

‒ Pumunta sa hakbang 1 at hatiin muli ang bahagi sa kalahati. Ipagpatuloy ang algorithm hanggang sa kondisyon |F(x)|

Pamamaraan ni Newton

Ang pinakatumpak sa mga pamamaraan ng numerical na solusyon; angkop para sa paglutas ng napakasalimuot na mga equation, ngunit kumplikado ng pangangailangang kalkulahin ang mga derivatives sa bawat hakbang. ay kung ang x n ay ilang pagtatantya sa ugat ng equation , pagkatapos ay ang susunod na approximation ay tinukoy bilang ang ugat ng padaplis sa function na f(x) na iginuhit sa puntong x n .

Ang equation ng tangent sa function na f(x) sa puntong x n ay may anyo:

Sa tangent equation, ilagay natin ang y \u003d 0 at x \u003d x n +1.

Pagkatapos ang algorithm ng sunud-sunod na mga kalkulasyon sa pamamaraan ni Newton ay ang mga sumusunod:

Ang convergence ng tangent method ay quadratic, ang order ng convergence ay 2.

Kaya, ang convergence ng Newton's tangent method ay napakabilis.

Nang walang anumang mga pagbabago, ang pamamaraan ay pangkalahatan sa kumplikadong kaso. Kung ang ugat x i ay ang ugat ng pangalawang multiplicity at mas mataas, kung gayon ang pagkakasunud-sunod ng convergence ay bumaba at nagiging linear.

Kasama sa mga disadvantage ng pamamaraan ni Newton ang lokalidad nito, dahil ginagarantiyahan itong mag-converge para sa isang arbitrary na panimulang pagtatantya lamang kung ang kundisyon , kung hindi, mayroong convergence lamang sa ilang kapitbahayan ng ugat.

Ang pamamaraan ni Newton (paraan ng tangent) ay karaniwang ginagamit kung ang equation f(x) = 0 ay may ugat , at ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

1) function y=f(x) ay tinukoy at tuloy-tuloy para sa ;

2) f(a) f(b) (ang function ay kumukuha ng mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan sa mga dulo ng segment [ a;b]);

3) derivatives f"(x) at f""(x) panatilihin ang sign sa segment [ a;b] (ibig sabihin, function f(x) tumataas o bumababa sa segment [ a;b], habang pinapanatili ang direksyon ng convexity);

Ang kahulugan ng pamamaraan ay ang mga sumusunod: sa segment [ a;b] napili ang naturang numero x 0 , sa ilalim ng kung saan f(x0) ay may parehong tanda ng f""(x0), ibig sabihin, ang kondisyon f(x 0) f""(x) > 0. Kaya, ang isang punto na may abscissa ay pinili x0, kung saan ang padaplis sa curve y=f(x) sa segment [ a;b] tumatawid sa axis baka. Para sa isang punto x0 Una, maginhawang pumili ng isa sa mga dulo ng segment.

Isaalang-alang natin ang algorithm na ito sa isang partikular na halimbawa.

Bigyan tayo ng pagtaas ng tungkulin y = f(x) = x 2– 2, tuloy-tuloy sa pagitan (0;2), at pagkakaroon f "(x)=2x>0 at f ""(x) = 2> 0.

Sa aming kaso, ang tangent equation ay may anyo: y-y 0 \u003d 2x 0 (x-x 0). AT bilang isang punto x 0 pumili ng isang punto B 1 (b; f(b)) = (2,2). Gumuhit kami ng tangent sa function y = f(x) sa punto B 1 , at tukuyin ang punto ng intersection ng padaplis at ang axis baka tuldok x 1. Nakukuha namin ang equation ng unang tangent: y-2=2 2(x-2), y=4x-6. Baka: x 1 =

kanin. 3. Konstruksyon ng unang tangent sa graph ng function na f(x)

y=f(x) baka sa pamamagitan ng isang punto x 1, nakakakuha kami ng isang punto B 2 =(1.5; 0.25). Gumuhit muli ng tangent sa function y = f(x) sa punto B 2, at tukuyin ang intersection point ng tangent at baka tuldok x2.

Equation ng pangalawang tangent: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y=3x - 4.25. Intersection point ng tangent at axis Baka: x 2 =.

Pagkatapos ay nakita namin ang punto ng intersection ng function y=f(x) at isang patayo sa axis baka sa pamamagitan ng punto x 2, makuha namin ang punto B 3 at iba pa.

kanin. 4. Konstruksyon ng pangalawang tangent sa graph ng function na f(x)

Ang unang pagtatantya ng ugat ay tinutukoy ng formula:

= 1.5.

Ang pangalawang pagtatantya ng ugat ay tinutukoy ng formula:

=

Ang ikatlong pagtatantya ng ugat ay tinutukoy ng formula:

Sa gayon , i-th approximation ng ugat ay tinutukoy ng formula:

Isinasagawa ang mga kalkulasyon hanggang sa ang mga decimal na lugar na kailangan sa sagot ay tumugma, o ang tinukoy na katumpakan e ay maabot - hanggang sa ang hindi pagkakapantay-pantay ay matupad |xi-xi-1|

Sa aming kaso, ihambing natin ang pagtatantya na nakuha sa ikatlong hakbang sa tunay na sagot. Tulad ng nakikita mo, nasa ikatlong hakbang na kami ay nakakuha ng error na mas mababa sa 0.000002.

Paglutas ng Equation sa CADMathCAD

Para sa pinakasimpleng equation ng form f(x) = 0 ang solusyon sa MathCAD ay matatagpuan gamit ang function ugat.

ugat(f (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - nagbabalik ng halaga X 1 , na kabilang sa segment [ a, b ] , kung saan ang expression o function f (X ) nagiging 0. Ang parehong mga argumento sa function na ito ay dapat na mga scalar. Ang function ay nagbabalik ng isang scalar.

kanin. 5. Paglutas ng isang non-linear equation sa MathCAD (root function)

Kung ang isang error ay nangyari bilang isang resulta ng paglalapat ng function na ito, kung gayon ito ay maaaring mangahulugan na ang equation ay walang mga ugat, o ang mga ugat ng equation ay matatagpuan malayo mula sa unang pagtatantya, ang expression ay may lokal na max at min sa pagitan ng paunang pagtatantya at mga ugat.

Upang matukoy ang sanhi ng error, kinakailangan upang suriin ang graph ng function f(x). Makakatulong ito upang malaman ang pagkakaroon ng mga ugat ng equation f(x) = 0 at, kung sila, pagkatapos ay tukuyin ang kanilang tinatayang mga halaga. Kung mas tiyak ang paunang pagtatantya ng ugat ay napili, mas mabilis na mahahanap ang eksaktong halaga nito.

Kung hindi alam ang paunang pagtatantya, ipinapayong gamitin ang function lutasin . Sa kasong ito, kung ang equation ay naglalaman ng ilang mga variable, kailangan mong tukuyin pagkatapos keyword solve ay isang listahan ng mga variable na may paggalang sa kung saan ang equation ay nalutas.

kanin. 6. Paglutas ng non-linear equation sa MathCAD (solve function)

Konklusyon

Ang pag-aaral ay tumingin sa kung paano mga pamamaraan sa matematika, at ang solusyon ng mga equation gamit ang programming sa CAD MathCAD. Iba't ibang Pamamaraan may sariling merito at demerits. Dapat tandaan na ang aplikasyon ng isang paraan o iba ay nakasalalay sa mga paunang kondisyon ng ibinigay na equation. Yaong mga equation na mahusay na nalutas sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng factorization na kilala sa paaralan, atbp., walang saysay na lutasin ang higit pa kumplikadong paraan. Inilapat na mga gawain mathematician na mahalaga para sa physics, chemistry at nangangailangan ng mga kumplikadong computational operations kapag ang paglutas ng mga equation ay matagumpay na nalutas, halimbawa, sa tulong ng programming. Ang mga ito ay mahusay na nalutas sa pamamagitan ng pamamaraan ni Newton.

Upang pinuhin ang mga ugat, maaari kang mag-aplay ng ilang mga pamamaraan para sa paglutas ng parehong equation. Ang pag-aaral na ito ang naging batayan ng gawaing ito. Kasabay nito, madaling masubaybayan kung aling paraan ang pinakamatagumpay sa paglutas ng bawat yugto ng equation, at kung aling paraan ang mas mainam na huwag ilapat sa yugtong ito.

Ang pinag-aralan na materyal, sa isang banda, ay nag-aambag sa pagpapalawak at pagpapalalim ng kaalaman sa matematika, na nagbibigay ng interes sa matematika. Sa kabilang banda, mahalaga na malutas ang mga problema ng tunay na matematika para sa mga kukuha ng propesyon ng teknikal at direksyon ng engineering. Samakatuwid, ang gawaing ito ay mahalaga para sa karagdagang edukasyon(halimbawa, sa mas mataas na edukasyon).

Panitikan:

1. Mityakov S. N. Informatics. Kumplikado mga materyales sa pagtuturo. - Nizhny Novgorod: Nizhny Novgorod. estado tech. unibersidad, 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Branching theory ng mga solusyon ng nonlinear equation. M.: Nauka, 1969. - 527 p.
3. Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Mathematics Handbook para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng mga VTU - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V.P., Kurbatova E.V. Mathematics: pagtuturo. - Rostov n / a.: Phoenix, 2005.
5. Savin A.P. encyclopedic Dictionary batang mathematician. - M.: Pedagogy, 1989.
6. Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics para sa mga siyentipiko at mga inhinyero. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Mas mataas na matematika batay sa Mathcad. Pangkalahatang kurso. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Numerical na pamamaraan batay sa Mathcad. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.

Mga keyword: nonlinear equation, applied mathematics, MathCAD, Newton's method, step method, dichotomy method..

Anotasyon: Ang artikulo ay nakatuon sa pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation, kabilang ang paggamit ng MathCAD computer-aided design system. Ang pamamaraan ng hakbang, ang mga pamamaraan ng kalahating paghahati at Newton ay isinasaalang-alang, ang mga detalyadong algorithm para sa paglalapat ng mga pamamaraang ito ay ibinigay, at paghahambing na pagsusuri tinukoy na mga pamamaraan.

Pederal na Ahensya para sa Edukasyon

Sochi Pambansang Unibersidad negosyo sa turismo at resort

Faculty ng Information Technology at Mathematics

Departamento ng General Mathematics

Takdang-aralin ayon sa disiplina

"Mga Pamamaraan sa Numero"

"Ang pamamaraan ni Newton at ang mga pagbabago nito para sa paglutas ng mga sistema ng mga nonlinear na equation"

Ginawa:

3rd year student

pangkat 06-INF

Lavrenko M.V.

Sinuri:

associate professor, kandidato

pedagogical sciences

Kaugnay ng pag-unlad ng bagong teknolohiya ng kompyuter, ang pagsasanay sa inhinyero sa ating mga araw ay lalong nahaharap sa mga problema sa matematika, ang eksaktong solusyon na napakahirap o imposibleng makuha. Sa mga kasong ito, karaniwang ginagamit ng isa ang isa o isa pang tinatayang pagkalkula. Iyon ang dahilan kung bakit natanggap ang tinatayang at numerical na pamamaraan ng pagsusuri sa matematika mga nakaraang taon malawakang pag-unlad at nakakuha ng pambihirang kahalagahan.

Dito sa term paper ang sikat na pamamaraan ni Newton at ang pagbabago nito para sa paglutas ng mga sistema ng mga nonlinear na equation ay isinasaalang-alang. Ang paglutas ng mga sistema ng nonlinear equation ay isa sa pinakamahirap na problema sa computational mathematics. Ang kahirapan ay upang matukoy kung ang sistema ay may solusyon, at kung gayon, ilan. Pinag-aaralan namin ang convergence ng basic at pinasimpleng pamamaraan ng Newton at ang pamamaraang nakuha mula sa pamamaraan ni Newton sa pamamagitan ng paglalapat ng umuulit na proseso para sa tinatayang inversion ng Jacobi matrices.

Maikling inilalarawan din nito ang: mga pamamaraan ng maling posisyon, ang paraan ng secant, ang paraan ng Steffensen, na kadalasang lumalabas na ang pinakamahusay na pagpipilian para sa paglutas ng mga sistema ng nonlinear equation kaysa sa secant method o sa false position method.

Ang sikat na paraan ng Newton ay isa sa pinaka mabisang pamamaraan paglutas ng iba't ibang di-linear na problema. Ang formula ng pagkalkula ng pamamaraan ay maaaring makuha gamit ang iba't ibang mga diskarte. Isaalang-alang natin ang dalawa sa kanila.

1) Paraan ng mga tangent.

Kunin natin ang formula ng pagkalkula ng pamamaraan para sa paglutas ng nonlinear equation

Ang equation ng isang tangent na iginuhit sa isang graph ng isang function

Ipinagpapalagay sa pagkakapantay-pantay (1.1)

pagpapahayag mula dito

Dahil sa geometric na interpretasyong ito, ang pamamaraang ito ay madalas na tinutukoy bilang padaplis na paraan .

Hayaang kailanganin upang malutas ang sistema ng mga equation

real-valued function P tunay na mga variable

ang sistemang ito (2.1) ay maaaring isulat bilang isang solong equation

may kinalaman sa vector function F argumentong vector x. Kaya, ang orihinal na problema ay maaaring ituring bilang isang problema tungkol sa mga zero ng non-linear na pagmamapa

2) Paraan ng linearization.

Halimbawa:

Itakda natin ang gawaing hahanapin wasto ang mga ugat ng equation na ito.

At tiyak na mayroon! - mula sa mga artikulo tungkol sa mga function graph at equation ng mas mataas na matematika alam na alam mo kung ano ang schedule polynomial function kakaibang degree intersects ang axis ng hindi bababa sa isang beses, kaya ang aming equation ay kahit na isang tunay na ugat. Isa. O dalawa. O tatlo.

Una, ito ay nagmamakaawa upang suriin kung ang makatwiran mga ugat. Ayon kay kaukulang teorama, tanging ang mga numerong 1, -1, 3, -3 lamang ang maaaring mag-claim ng "pamagat" na ito, at sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ay madaling matiyak na wala sa mga ito ang "nababagay". Kaya, nananatili ang mga hindi makatwirang halaga. Ang (mga) hindi makatwirang ugat ng isang 3rd degree polynomial ay matatagpuan eksakto (ipahayag sa mga tuntunin ng mga radikal) sa pamamagitan ng tinatawag na Mga formula ni Cardano , ngunit ang pamamaraang ito ay medyo mahirap. At para sa mga polynomial ng ika-5 at mas mataas na antas ng pangkalahatan pamamaraang analitikal ay hindi umiiral sa lahat, at, bilang karagdagan, sa pagsasanay mayroong maraming iba pang mga equation kung saan eksaktong mga halaga hindi maaaring makuha ang tunay na mga ugat (bagaman mayroon sila).

Gayunpaman, sa inilapat (halimbawa, engineering) mga gawain, higit pa sa katanggap-tanggap na gumamit ng tinatayang mga halaga na nakalkula na may tiyak na katumpakan.

Itakda natin ang katumpakan para sa ating halimbawa. Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na kailangan nating hanapin ang GANOONG tinatayang halaga ng ugat (ugat) kung saan tayo garantisadong mali, hindi hihigit sa 0.001 (isang ikalibo) .

Ito ay lubos na malinaw na ang solusyon ay hindi maaaring magsimula "nang random" at samakatuwid, sa unang hakbang, ang mga ugat magkahiwalay. Ang paghiwalayin ang isang ugat ay nangangahulugan ng paghahanap ng sapat na maliit (karaniwang solong) segment kung saan kabilang ang ugat na ito, at kung saan walang ibang mga ugat. Ang pinakasimple at naa-access graphical na paraan ng paghihiwalay ng ugat. Buuin natin punto sa punto function graph :

Ito ay sumusunod mula sa pagguhit na ang equation , tila, ay may isang tunay na ugat , na kabilang sa segment . Sa mga dulo ng agwat na ito, ang function tumatagal ng mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan: , at mula sa katotohanan pagpapatuloy ng function sa segment isang elementarya na paraan upang pinuhin ang ugat ay agad na nakikita: hinahati namin ang pagitan sa kalahati at piliin ang segment sa mga dulo kung saan tumatagal ang function. iba't ibang palatandaan. Sa kasong ito, ito ay malinaw na isang segment. Hinahati namin ang nagresultang agwat sa kalahati at muling piliin ang segment na "iba't ibang tanda". atbp. Ang ganitong mga sunud-sunod na aksyon ay tinatawag mga pag-ulit. Sa kasong ito, dapat itong isagawa hanggang sa ang haba ng segment ay maging mas mababa sa dalawang beses ang katumpakan ng mga kalkulasyon, at para sa tinatayang halaga ng ugat, ang gitna ng huling "iba't ibang nilagdaan" na segment ay dapat piliin.

Ang isinasaalang-alang na pamamaraan ay nakatanggap ng natural na pangalan - paraan ng kalahating paghahati. At ang kawalan ng pamamaraang ito ay bilis. Dahan-dahan. Ang bagal. Napakaraming pag-ulit ang kailangang gawin bago natin maabot ang kinakailangang katumpakan. Sa pag-unlad ng teknolohiya ng computer, ito, siyempre, ay hindi isang problema, ngunit ang matematika ay para sa matematika, upang maghanap ng mga pinaka-makatwirang solusyon.

At isa sa higit pa mabisang paraan ang paghahanap ng tinatayang halaga ng ugat ay tumpak padaplis na paraan. Ang maikling geometric na kakanyahan ng pamamaraan ay ang mga sumusunod: una, gamit ang isang espesyal na pamantayan (higit pa tungkol diyan mamaya) isa sa mga dulo ng segment ang napili. Ang wakas na ito ay tinatawag na pangunahin approximation ng ugat, sa ating halimbawa: . Ngayon gumuhit kami ng tangent sa graph ng function sa puntong may abscissa (asul na tuldok at lila na tangent):

Ang tangent na ito ay tumawid sa x-axis sa dilaw na punto, at tandaan na sa unang hakbang ay halos "tama na natin ang ugat"! Ito ay una pagtatantya ng ugat. Susunod, ibababa namin ang dilaw na patayo sa graph ng function at "pindutin" ang orange na tuldok. Muli kaming gumuhit ng tangent sa pamamagitan ng orange point, na tatawid sa axis kahit na mas malapit sa ugat! atbp. Madaling maunawaan na, gamit ang padaplis na paraan, lumalapit tayo sa layunin nang mabilis, at kakailanganin lamang ng ilang mga pag-ulit upang makamit ang katumpakan.

Dahil ang padaplis ay tinukoy sa mga tuntunin ng derivative ng function, pagkatapos ang araling ito ay napunta sa seksyong "Derivatives" bilang isa sa mga aplikasyon nito. At nang hindi pumunta sa mga detalye teoretikal na pagpapatibay ng pamamaraan, isasaalang-alang ko ang teknikal na bahagi ng isyu. Sa pagsasagawa, ang problemang inilarawan sa itaas ay nangyayari nang humigit-kumulang sa sumusunod na pormulasyon:

Halimbawa 1

Sa pamamagitan ng graphic na pamamaraan hanapin ang pagitan kung saan matatagpuan ang tunay na ugat ng equation. Gamit ang pamamaraan ni Newton, kunin ang tinatayang halaga ng ugat na may katumpakan na 0.001

Narito ang isang "matipid na bersyon" ng gawain, kung saan ang pagkakaroon ng isang tunay na ugat ay agad na nakasaad.

Desisyon: sa unang hakbang paghiwalayin ang ugat nang grapiko. Magagawa ito sa pamamagitan ng pag-plot (tingnan ang mga guhit sa itaas), ngunit ang diskarte na ito ay may ilang mga disadvantages. Una, ito ay hindi isang katotohanan na ang iskedyul ay simple (hindi namin alam in advance), a software- hindi ito palaging magagamit. At pangalawa (bunga mula sa 1st), na may mataas na posibilidad na hindi ka makakakuha ng kahit isang eskematiko na pagguhit, ngunit isang magaspang na pagguhit, na, siyempre, ay hindi maganda.

Buweno, bakit kailangan natin ng karagdagang paghihirap? Imagine ang equation sa anyo, MAINGAT na bumuo ng mga graph at markahan ang ugat sa drawing ("x" coordinate ng punto ng intersection ng mga graph):

Obvious Advantage sa ganitong paraan ay ang mga graph ng mga function na ito ay binuo sa pamamagitan ng kamay nang mas tumpak at mas mabilis. Oo nga pala, tandaan mo yan tuwid tumawid kubiko parabola sa isang punto, na nangangahulugan na ang iminungkahing equation ay mayroon lamang isang tunay na ugat. Magtiwala ngunit i-verify ;-)

Kaya, ang aming "kliyente" ay kabilang sa segment at "sa pamamagitan ng mata" ay humigit-kumulang katumbas ng 0.65-0.7.

Sa pangalawang hakbang kailangang pumili paunang pagtatantya ugat. Kadalasan ito ay isa sa mga dulo ng segment. Ang paunang pagtatantya ay dapat matugunan ang sumusunod na kondisyon:

Hanapin natin una at pangalawa nagmula na mga function :

at suriin ang kaliwang dulo ng segment:

Kaya, ang zero ay "hindi magkasya."

Sinusuri ang kanang dulo ng segment:

- maayos ang lahat! Bilang paunang pagtataya, pipiliin namin ang .

Sa ikatlong hakbang ang daan patungo sa ugat ay naghihintay sa atin. Ang bawat kasunod na approximation ng ugat ay kinakalkula batay sa nakaraang data gamit ang sumusunod paulit-ulit mga formula:

Nagtatapos ang proseso kapag natugunan ang kundisyon, kung saan ang paunang natukoy na katumpakan ng mga kalkulasyon. Bilang resulta, ang "nth" approximation ay kinukuha bilang tinatayang halaga ng ugat: .

Ang mga karaniwang kalkulasyon ay sumusunod:

(karaniwang ginagawa ang rounding sa 5-6 decimal place)

Dahil ang halaga na nakuha ay mas malaki kaysa sa , pagkatapos ay magpatuloy tayo sa 1st approximation ng root:

Kinakalkula namin:

, kaya kailangang pumunta sa 2nd approximation:

Pumunta tayo sa susunod na bilog:

, kaya, ang mga pag-ulit ay tapos na, at ang 2nd approximation ay dapat kunin bilang ang tinatayang halaga ng ugat, na, alinsunod sa ibinigay na katumpakan, ay dapat na bilugan hanggang sa isang libo:

Sa pagsasagawa, ito ay maginhawa upang ipasok ang mga resulta ng mga kalkulasyon sa isang talahanayan, habang upang medyo paikliin ang talaan, ang fraction ay madalas na tinutukoy ng:

Ang mga kalkulasyon mismo, kung maaari, ay pinakamahusay na ginawa sa Excel - ito ay mas maginhawa at mas mabilis:

Sagot: tumpak sa 0.001

Ipinapaalala ko sa iyo na ang pariralang ito ay nagpapahiwatig ng katotohanan na nagkamali kami sa pagtatasa tunay na halaga ugat ng hindi hihigit sa 0.001. Maaaring kumuha ng microcalculator ang mga nagdududa at muling palitan ang tinatayang halaga na 0.674 sa kaliwang bahagi ng equation.

At ngayon, "i-scan" natin ang kanang column ng talahanayan mula sa itaas hanggang sa ibaba at tandaan na ang mga halaga ay patuloy na bumababa sa ganap na halaga. Ang epektong ito ay tinatawag convergence paraan na nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ang ugat na may arbitraryong mataas na katumpakan. Ngunit ang convergence ay hindi palaging nagaganap - ito ay ibinigay isang bilang ng mga kondisyon na na-miss ko. Sa partikular, ang segment kung saan nakahiwalay ang ugat ay dapat sapat na maliit- kung hindi, ang mga halaga ay random na magbabago, at hindi namin makumpleto ang algorithm.

Ano ang gagawin sa mga ganitong kaso? Suriin kung ang mga tinukoy na kundisyon ay natutugunan (tingnan ang link sa itaas), at kung kinakailangan, bawasan ang segment. Kaya, medyo nagsasalita, kung sa nasuri na halimbawa ang agwat ay hindi angkop sa amin, dapat nating isaalang-alang, halimbawa, ang segment . Sa pagsasagawa, nakatagpo ako ng mga ganitong kaso at ito ay talagang nakakatulong! Ang parehong ay dapat gawin kung ang parehong dulo ng "malawak" na bahagi ay hindi nakakatugon sa kundisyon (ibig sabihin, wala sa kanila ang angkop para sa papel ng paunang pagtatantya).

Ngunit kadalasan ang lahat ay gumagana tulad ng orasan, bagaman hindi walang mga pitfalls:

Halimbawa 2

Tukuyin ang graphically ang bilang ng mga tunay na ugat ng equation , paghiwalayin ang mga ugat na ito at gamit ang pamamaraan ni Newton, hanapin ang tinatayang halaga ng mga ugat na may katumpakan

Ang kalagayan ng problema ay naging kapansin-pansing mas mahirap: una, naglalaman ito ng makapal na pahiwatig na ang equation ay may higit sa isang ugat, pangalawa, ang pangangailangan para sa katumpakan ay tumaas, at, pangatlo, sa graph ng function. mas mahirap makayanan.

At samakatuwid desisyon nagsisimula kami sa isang nakakatipid na trick: kinakatawan namin ang equation sa form at gumuhit ng mga graph:


Ito ay sumusunod mula sa pagguhit na ang aming equation ay may dalawang tunay na ugat:

Ang algorithm, tulad ng naiintindihan mo, ay kailangang "iikot" nang dalawang beses. Ngunit ito ay para pa rin sa pinakamahirap na kaso, nangyayari na kailangan mong siyasatin ang 3-4 na mga ugat.

1) Gamit ang pamantayan alamin kung alin sa mga dulo ng segment ang pipiliin bilang paunang pagtatantya ng unang ugat. Paghahanap ng mga derivative function :

Pagsubok sa kaliwang dulo ng segment:

- nilapitan!

Kaya, ay ang paunang pagtatantya.

Pipino natin ang ugat sa pamamagitan ng pamamaraan ni Newton gamit ang recursive formula:
- hanggang sa fraction modulo ay hindi magiging mas mababa sa kinakailangang katumpakan:

At dito ang salitang "module" ay nakakakuha ng di-ilusyon na kahalagahan, dahil ang mga halaga ay negatibo:


Para sa parehong dahilan, ang espesyal na pansin ay dapat bayaran sa bawat susunod na pagtatantya:

Sa kabila ng medyo mataas na kinakailangan para sa katumpakan, natapos muli ang proseso sa ika-2 pagtatantya: , samakatuwid:

Tumpak sa 0.0001

2) Hanapin ang tinatayang halaga ng ugat.

Sinusuri namin ang "kuto" sa kaliwang dulo ng segment:

, samakatuwid, hindi ito angkop bilang isang paunang pagtatantya.

Ang problema sa paghahanap ng mga solusyon sa isang sistema ng n nonlinear algebraic o transcendental equation na may n hindi alam ng anyo

malawak na isinasaalang-alang sa computational practice. Ang mga katulad na sistema ng mga equation ay maaaring lumitaw, halimbawa, sa numerical simulation ng nonlinear physical system sa yugto ng paghahanap para sa kanilang mga nakatigil na estado. Sa ilang mga kaso, ang mga sistema ng form (6.1) ay nakuha nang hindi direkta, sa proseso ng paglutas ng ilang iba pang problema sa pagkalkula. Halimbawa, kapag sinusubukang i-minimize ang isang function ng ilang variable, maaaring hanapin ng isa ang mga puntong iyon sa isang multidimensional space kung saan ang gradient ng function. sero. Sa kasong ito, kailangang lutasin ng isa ang sistema ng mga equation (6.1) gamit ang kaliwang bahagi, ang mga projection ng gradient papunta sa mga coordinate axes.

Sa vector notation, ang system (6.1) ay maaaring isulat sa mas compact na anyo

vector column ng mga function, ang simbolo () T ay nagsasaad ng operasyon ng transpon-

Ang paghahanap ng mga solusyon sa isang sistema ng non-linear equation ay isang mas mahirap na gawain kaysa sa paglutas ng isang non-linear equation. Gayunpaman, ang isang bilang ng mga umuulit na pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation ay maaari ding palawigin sa mga sistema ng nonlinear equation.

Simpleng paraan ng pag-ulit

Ang paraan ng simpleng pag-ulit para sa mga sistema ng nonlinear equation ay mahalagang generalization ng paraan ng parehong pangalan para sa isang equation. Ito ay batay sa katotohanan na ang sistema ng mga equation (6.1) ay nabawasan sa anyo

x 1= g 1(x 1, x 2, … , x n ) , x 2= g 2(x 1, x 2, … , x n ) ,

……………………

x n= g n(x 1 , x 2 , … , x n) ,

at ang mga pag-ulit ay isinasagawa ayon sa mga formula

x 1 (k + 1) \u003d g 1 (x 1 (k), x 2 (k), ..., x n (k)), x 2 (k + 1) \u003d g 2 (x 1 (k) ), x 2 (k ), … , x n (k )) ,

……………………………

x n (k + 1 )= g n (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) .

Dito ipinahihiwatig ng superscript ang approximation number. Ang umuulit na proseso (6.3) ay nagsisimula sa ilang paunang pagtataya

(x 1 (0 ) ,x 2 (0 ) ,… ,x n (0 ) ) at magpatuloy hanggang sa mga increment na module

sa lahat ng argumento pagkatapos ng isang k-iteration ay hindi bababa sa ibinigay na halaga ε :x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .

Kahit na ang paraan ng simpleng pag-ulit ay direktang humahantong sa solusyon at madaling i-program, mayroon itong dalawang makabuluhang disbentaha. Ang isa sa mga ito ay mabagal na convergence. Ang isa pa ay kung ang paunang pagtatantya ay pinili na malayo sa totoong solusyon (X 1 ,X 2 ,… ,X n ), kung gayon ang convergence

ang pamamaraan ay hindi ginagarantiyahan. Malinaw na ang problema sa pagpili ng paunang pagtatantya, na hindi simple kahit para sa isang solong equation, ay nagiging napakakomplikado para sa mga nonlinear system.

Lutasin ang sistema ng mga nonlinear na equation:

Walang direktang pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear system pangkalahatang pananaw. Sa ilang mga kaso lamang ang system (4.1) ay direktang malulutas. Halimbawa, para sa kaso ng dalawang equation, minsan posible na ipahayag ang isang hindi alam sa mga tuntunin ng isa at sa gayon ay bawasan ang problema sa paglutas ng isang nonlinear equation na may kinalaman sa isang hindi alam.

Karaniwang ginagamit ang mga iterative na pamamaraan upang malutas ang mga sistema ng mga nonlinear na equation.

Pamamaraan ni Newton

Sa kaso ng isang equation F (x) = 0, ang algorithm ng pamamaraan ni Newton ay madaling nakuha sa pamamagitan ng pagsulat ng mga equation ng tangent sa curve y = F (x) . Ang pamamaraan ni Newton para sa mga sistema ng mga equation ay batay sa paggamit ng pagpapalawak ng mga function F 1 (x 1 ... x n) sa isang serye ng Taylor, at ang mga terminong naglalaman ng

Itatapon ang lahat ng pangalawang (at mas mataas na pagkakasunud-sunod) na mga derivative. Hayaan ang mga tinatayang halaga ng hindi alam ng system (4.1) ay katumbas ng

responsable a 1 ,a 2 ,....,a n . Ang problema ay ang paghahanap ng mga increment (sa pamamagitan ng

Palawakin natin ang kaliwang bahagi ng Eqs. (4.1) na isinasaalang-alang ang pagpapalawak sa isang serye ng Taylor, na nililimitahan ang ating sarili sa mga linear na termino na nauugnay sa

Ang pagpapalit sa system (4.1), makuha namin ang sumusunod na sistema ng linear algebraic equation tungkol sa mga pagtaas:

x 2 \u003d a 2, ... x n \u003d a n.

Ang determinant ng system (4.3) ay ang Jacobian:

… … … …

∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n

x 1= a 1,

Para sa pagkakaroon ng isang natatanging solusyon sa system, ang Jacobian ay dapat na iba sa zero sa bawat pag-ulit.

Kaya, ang umuulit na proseso ng paglutas ng sistema ng mga equation sa pamamagitan ng Newton method ay binubuo sa pagtukoy ng mga increment x 1 ,x 2 , ...,x n sa mga halaga ng mga hindi alam sa bawat pag-ulit sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng linear algebraic equation (4.3). Ang bilang ay hihinto kung ang lahat ng mga pagtaas ay nagiging maliit sa ganap na halaga: maxx i< ε . В ме-

Mahalaga rin ang pamamaraan ni Newton para sa isang mahusay na pagpili ng paunang pagtatantya upang matiyak ang magandang tagpo. Lumalala ang convergence sa pagtaas ng bilang ng mga equation ng system.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang paggamit ng pamamaraan ni Newton upang malutas ang isang sistema ng dalawang equation:

∂ ∂ F 1. x

Ang mga halaga sa kanang bahagi ay kinakalkula sa x = a ,y = b .