Ang pinakasimpleng differential equation ng unang order ay mga halimbawa. First Order Linear Equation

Ang differential equation ay isang equation na kinabibilangan ng isang function at isa o higit pa sa mga derivatives nito. Karamihan mga praktikal na gawain mga function ay pisikal na dami, ang mga derivative ay tumutugma sa mga rate ng pagbabago ng mga dami na ito, at tinutukoy ng equation ang relasyon sa pagitan ng mga ito.

Tinatalakay ng artikulong ito ang mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang uri ng ordinaryong differential equation, na ang mga solusyon ay maaaring isulat bilang mga pag-andar ng elementarya, iyon ay, polynomial, exponential, logarithmic at trigonometric function, pati na rin ang kanilang mga inverse function. Marami sa mga equation na ito ay matatagpuan sa totoong buhay, bagaman ang karamihan sa iba pang mga differential equation ay hindi malulutas ng mga pamamaraang ito, at para sa kanila ang sagot ay isinulat bilang mga espesyal na function o power series, o matatagpuan sa pamamagitan ng mga numerical na pamamaraan.

Upang maunawaan ang artikulong ito, kailangan mong malaman ang differential at integral calculus, pati na rin magkaroon ng ilang pag-unawa sa mga partial derivatives. Inirerekomenda din na malaman ang mga pangunahing kaalaman ng linear algebra bilang inilapat sa mga differential equation, lalo na ang second-order differential equation, bagama't sapat ang kaalaman sa differential at integral calculus upang malutas ang mga ito.

Paunang impormasyon

Ang mga differential equation ay may malawak na klasipikasyon. Ang artikulong ito ay nagsasalita tungkol sa ordinaryong differential equation, iyon ay, tungkol sa mga equation na kinabibilangan ng function ng isang variable at mga derivatives nito. Ang mga ordinaryong differential equation ay mas madaling maunawaan at malutas kaysa partial differential equation, na kinabibilangan ng mga function ng ilang variable. Hindi isinasaalang-alang ng artikulong ito ang mga partial differential equation, dahil ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito ay karaniwang tinutukoy ng kanilang partikular na anyo.
- Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga ordinaryong differential equation.
  - d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
- Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng partial differential equation.
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\partial y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
Umorder Ang differential equation ay tinutukoy ng pagkakasunud-sunod ng pinakamataas na derivative na kasama sa equation na ito. Ang una sa mga ordinaryong differential equation sa itaas ay nasa unang pagkakasunud-sunod, habang ang pangalawa ay sa pangalawang pagkakasunud-sunod. Degree ng isang differential equation ay tinatawag na pinakamataas na kapangyarihan kung saan itinaas ang isa sa mga termino ng equation na ito.
- Halimbawa, ang equation sa ibaba ay third order at second power.
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d)) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ kanan)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
Ang differential equation ay linear differential equation kung ang function at lahat ng derivatives nito ay nasa unang kapangyarihan. Kung hindi, ang equation ay nonlinear differential equation. Ang mga linear differential equation ay kapansin-pansin na ang mga linear na kumbinasyon ay maaaring gawin mula sa kanilang mga solusyon, na magiging mga solusyon din sa equation na ito.
- Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga linear differential equation.
- Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng non-linear differential equation. Ang unang equation ay non-linear dahil sa sine term.
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
Karaniwang desisyon Ang ordinaryong differential equation ay hindi natatangi, kabilang dito di-makatwirang mga pare-pareho ng pagsasama. Sa karamihan ng mga kaso, ang bilang ng mga arbitrary na constant ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng equation. Sa pagsasagawa, ang mga halaga ng mga constant na ito ay tinutukoy ng ibinigay paunang kondisyon, iyon ay, sa pamamagitan ng mga halaga ng function at mga derivatives nito sa x = 0. (\displaystyle x=0.) Ang bilang ng mga paunang kundisyon na kailangan upang mahanap pribadong desisyon differential equation, sa karamihan ng mga kaso ay katumbas din ng pagkakasunud-sunod ng equation na ito.
- Halimbawa, titingnan ng artikulong ito ang paglutas ng equation sa ibaba. Ito ay isang pangalawang order na linear differential equation. Ang kanyang karaniwang desisyon naglalaman ng dalawang di-makatwirang mga pare-pareho. Upang mahanap ang mga constant na ito, kailangang malaman ang mga paunang kondisyon sa x (0) (\displaystyle x(0)) at x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Karaniwan ang mga paunang kondisyon ay ibinibigay sa punto x = 0 , (\displaystyle x=0,), bagama't hindi ito kinakailangan. Isasaalang-alang din ng artikulong ito kung paano maghanap ng mga partikular na solusyon para sa mga ibinigay na paunang kundisyon.
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Mga hakbang

Bahagi 1

Mga equation ng unang order

Kapag ginagamit ang serbisyong ito, maaaring ilipat ang ilang impormasyon sa YouTube.

Linear na equation unang order. Tinatalakay ng seksyong ito ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga linear differential equation ng unang order sa pangkalahatan at mga espesyal na kaso, kapag ang ilang termino ay katumbas ng zero. Magpanggap na tayo y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) at q (x) (\displaystyle q(x)) ay mga function x . (\displaystyle x.)
D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Ayon sa isa sa mga pangunahing theorems ng mathematical analysis, ang integral ng derivative ng isang function ay isa ring function. Kaya, ito ay sapat na upang isama lamang ang equation upang mahanap ang solusyon nito. Sa kasong ito, dapat itong isaalang-alang na kapag kinakalkula ang hindi tiyak na integral, lumilitaw ang isang di-makatwirang pare-pareho.
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)
Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Ginagamit namin ang pamamaraan paghihiwalay ng mga variable. Sa kasong ito, ang iba't ibang mga variable ay inililipat sa iba't ibang panig ng equation. Halimbawa, maaari mong ilipat ang lahat ng miyembro mula sa y (\displaystyle y) sa isa, at lahat ng miyembro ay may x (\displaystyle x) sa kabilang panig ng equation. Maaari ring ilipat ang mga miyembro d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) at d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), na kasama sa mga expression ng derivatives, gayunpaman, dapat tandaan na ang mga ito ay makatarungan simbolo, na maginhawa para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function. Isang talakayan sa mga terminong ito, na tinatawag na mga kaugalian, ay nasa labas ng saklaw ng artikulong ito.
- Una, kailangan mong ilipat ang mga variable sa magkabilang panig ng equals sign.
  - 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
- Pinagsasama namin ang magkabilang panig ng equation. Pagkatapos ng pagsasama, lumilitaw ang mga arbitrary na constant sa magkabilang panig, na maaaring ilipat sa kanang bahagi mga equation.
  - ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
  - y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Halimbawa 1.1. Sa huling hakbang, ginamit namin ang panuntunan e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) at pinalitan e C (\displaystyle e^(C)) sa C (\displaystyle C), dahil isa rin itong arbitrary na pare-pareho ng pagsasama.
  - d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
  - 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))
P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Upang mahanap ang pangkalahatang solusyon, ipinakilala namin integrating factor bilang isang katangian ng x (\displaystyle x) upang bawasan ang kaliwang bahagi sa isang karaniwang derivative at sa gayon ay malutas ang equation.
- I-multiply ang magkabilang panig μ (x) (\displaystyle \mu (x))
  - μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
- Upang bawasan ang kaliwang bahagi sa isang karaniwang derivative, ang mga sumusunod na pagbabago ay dapat gawin:
  - d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- Ang huling pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Ito ay isang integrating factor na sapat upang malutas ang anumang first order linear equation. Ngayon ay maaari tayong makakuha ng isang formula para sa paglutas ng equation na ito na may kinalaman sa µ , (\displaystyle \mu ,) bagaman para sa pagsasanay ay kapaki-pakinabang na gawin ang lahat ng mga intermediate na kalkulasyon.
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Halimbawa 1.2. Sa halimbawang ito, isinasaalang-alang namin kung paano maghanap ng partikular na solusyon sa isang differential equation na may ibinigay na mga paunang kundisyon.
  - t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
  - d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
  - d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
  - 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
Paglutas ng mga linear na equation ng unang pagkakasunud-sunod (naitala ng Intuit - National Open University).
Nonlinear First Order Equation. Sa seksyong ito, isinasaalang-alang ang mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang nonlinear differential equation ng unang pagkakasunud-sunod. Bagama't walang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation, ang ilan sa mga ito ay maaaring malutas gamit ang mga pamamaraan sa ibaba.
D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Kung ang function f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) ay maaaring hatiin sa mga function ng isang variable, ang naturang equation ay tinatawag separable differential equation. Sa kasong ito, maaari mong gamitin ang pamamaraan sa itaas:
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
- Halimbawa 1.3.
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ begin(aligned)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(nakahanay)))
D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Magpanggap na tayo g (x , y) (\displaystyle g(x, y)) at h (x , y) (\displaystyle h(x, y)) ay mga function x (\displaystyle x) at y . (\displaystyle y.) Pagkatapos homogenous differential equation ay isang equation kung saan g (\displaystyle g) at h (\displaystyle h) ay homogenous na pag-andar ang parehong antas. Iyon ay, ang mga pag-andar ay dapat masiyahan ang kondisyon g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) saan k (\displaystyle k) ay tinatawag na antas ng homogeneity. Anumang homogenous differential equation ay maaaring ibigay ng isang naaangkop pagbabago ng mga variable (v = y / x (\displaystyle v=y/x) o v = x / y (\displaystyle v=x/y)) upang i-convert sa isang equation na may mga separable variable.
- Halimbawa 1.4. Ang paglalarawan sa itaas ng homogeneity ay maaaring mukhang malabo. Tingnan natin ang konseptong ito na may isang halimbawa.
  - d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
  - Upang magsimula, dapat tandaan na ang equation na ito ay hindi linear na may paggalang sa y . (\displaystyle y.) Nakikita rin natin na sa kasong ito imposibleng paghiwalayin ang mga variable. Gayunpaman, ang differential equation na ito ay homogenous, dahil pareho ang numerator at denominator ay homogenous na may kapangyarihan na 3. Samakatuwid, maaari tayong gumawa ng pagbabago ng mga variable v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
  - d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
  - y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
  - d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Bilang resulta, mayroon kaming isang equation para sa v (\displaystyle v) na may mga nakabahaging variable.
  - v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
  - y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) ito Bernoulli differential equation - espesyal na uri nonlinear equation ng unang degree, ang solusyon na maaaring isulat gamit ang elementary functions.
- I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
  - (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- Ginagamit namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function sa kaliwang bahagi at binabago ang equation sa isang linear equation na may paggalang sa y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) na maaaring malutas sa pamamagitan ng mga pamamaraan sa itaas.
  - d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)(\mathrm (d) )x))=0.) ito equation sa kabuuang pagkakaiba . Ito ay kinakailangan upang mahanap ang tinatawag na potensyal na function φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), na nakakatugon sa kondisyon d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)
- Upang matupad ang kondisyong ito, kinakailangan na magkaroon kabuuang derivative. Isinasaalang-alang ng kabuuang derivative ang pag-asa sa iba pang mga variable. Upang kalkulahin ang kabuuang derivative φ (\displaystyle \varphi ) sa x , (\displaystyle x,) ipinapalagay namin iyon y (\displaystyle y) maaaring depende rin sa x . (\displaystyle x.)
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- Ang paghahambing ng mga termino ay nagbibigay sa atin M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) at N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Ito ay isang tipikal na resulta para sa mga equation na may ilang mga variable, kung saan ang mga halo-halong derivatives ng makinis na mga function ay katumbas ng bawat isa. Minsan tinatawag ang kasong ito Ang teorama ni Clairaut. Sa kasong ito, ang differential equation ay isang equation sa kabuuang differentials kung ang sumusunod na kondisyon ay nasiyahan:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
- Ang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation sa kabuuang pagkakaiba ay katulad ng paghahanap ng mga potensyal na function sa pagkakaroon ng ilang mga derivatives, na tatalakayin natin sa madaling sabi. Una nating pinagsama M (\displaystyle M) sa x . (\displaystyle x.) Dahil ang M (\displaystyle M) ay isang function at x (\displaystyle x), at y , (\displaystyle y,) kapag nagsasama, nakakakuha tayo ng hindi kumpletong function φ , (\displaystyle \varphi ,) may label na bilang φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Kasama rin sa resulta ang umaasa sa y (\displaystyle y) pare-pareho ng pagsasama.
  - φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
- Pagkatapos nito, para makuha c (y) (\displaystyle c(y)) maaari mong kunin ang bahagyang derivative ng resultang function na may paggalang sa y , (\displaystyle y,) ipantay ang resulta N (x , y) (\displaystyle N(x, y)) at pagsamahin. Maaari ding isama muna ang isa N (\displaystyle N), at pagkatapos ay kunin ang partial derivative na may kinalaman sa x (\displaystyle x), na magpapahintulot sa amin na makahanap ng isang arbitrary na function d(x). (\displaystyle d(x).) Ang parehong mga pamamaraan ay angkop, at kadalasan ang mas simpleng function ay pinili para sa pagsasama.
  - N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ bahagyang (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
- Halimbawa 1.5. Maaari kang kumuha ng mga partial derivatives at i-verify na ang equation sa ibaba ay isang total differential equation.
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
  - d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
  - x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
- Kung ang differential equation ay hindi isang kabuuang differential equation, sa ilang pagkakataon ay makakahanap ka ng integrating factor na magbibigay-daan sa iyong i-convert ito sa isang total differential equation. Gayunpaman, ang mga naturang equation ay bihirang ginagamit sa pagsasanay, at bagaman ang integrating factor umiiral, hanapin ang mangyayari Hindi madali, kaya hindi isinasaalang-alang ang mga equation na ito sa artikulong ito.

Bahagi 2

Mga equation ng pangalawang order

Mga homogenous na linear differential equation na may pare-parehong coefficient. Ang mga equation na ito ay malawakang ginagamit sa pagsasanay, kaya ang kanilang solusyon ay pinakamahalaga. Sa kasong ito nag-uusap kami hindi tungkol sa mga homogenous na function, ngunit tungkol sa katotohanan na mayroong 0 sa kanang bahagi ng equation. Ipapakita ng susunod na seksyon kung paano ang katumbas na magkakaiba differential equation. sa ibaba a (\displaystyle a) at b (\displaystyle b) ay mga pare-pareho.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Katangiang equation. Ang differential equation na ito ay kapansin-pansin dahil madali itong malutas kung bibigyan mo ng pansin kung anong mga katangian ang dapat magkaroon ng mga solusyon nito. Makikita sa equation na y (\displaystyle y) at ang mga derivatives nito ay proporsyonal sa isa't isa. Mula sa mga nakaraang halimbawa, na isinasaalang-alang sa seksyon sa mga first-order na equation, alam namin na ang exponential function lang ang may ganitong katangian. Samakatuwid, ito ay posible na ilagay sa harap ansatz(isang edukadong hula) tungkol sa kung ano ang magiging solusyon sa ibinigay na equation.
- Ang solusyon ay kukuha ng anyo ng isang exponential function e r x , (\displaystyle e^(rx),) saan r (\displaystyle r) ay isang pare-pareho na ang halaga ay makikita. I-substitute ang function na ito sa equation at kunin ang sumusunod na expression
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- Ang equation na ito ay nagpapahiwatig na ang produkto ng isang exponential function at isang polynomial ay dapat na zero. Ito ay kilala na ang exponent ay hindi maaaring katumbas ng zero para sa anumang mga halaga ng antas. Kaya't napagpasyahan namin na ang polynomial ay katumbas ng zero. Kaya, binawasan namin ang problema ng paglutas ng isang differential equation sa isang mas simpleng problema ng paglutas ng isang algebraic equation, na tinatawag na characteristic equation para sa isang ibinigay na differential equation.
  - r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
  - r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- Mayroon kaming dalawang ugat. Dahil ang differential equation na ito ay linear, ang pangkalahatang solusyon nito ay isang linear na kumbinasyon ng mga partial na solusyon. Dahil ito ay isang pangalawang order equation, alam namin na ito ay Talaga pangkalahatang solusyon, at walang iba. Ang isang mas mahigpit na katwiran para dito ay nakasalalay sa mga theorems sa pagkakaroon at pagiging natatangi ng solusyon, na matatagpuan sa mga aklat-aralin.
- Ang isang kapaki-pakinabang na paraan upang suriin kung ang dalawang solusyon ay linearly na independyente ay ang pagkalkula Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- ito ang determinant ng matrix, sa mga hanay kung saan mayroong mga function at ang kanilang mga sunud-sunod na derivatives. Ang linear algebra theorem ay nagsasaad na ang mga function sa Wronskian ay linearly dependent kung ang Wronskian ay katumbas ng zero. Sa seksyong ito, maaari naming subukan kung ang dalawang solusyon ay linearly independent sa pamamagitan ng pagtiyak na ang Wronskian ay hindi zero. Ang Wronskian ay mahalaga sa paglutas ng mga nonhomogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient sa pamamagitan ng paraan ng pagkakaiba-iba ng parameter.
  - w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- Sa mga tuntunin ng linear algebra, ang set ng lahat ng mga solusyon ng isang ibinigay na differential equation ay bumubuo ng isang vector space na ang dimensyon ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng differential equation. Sa puwang na ito, maaaring pumili ng batayan mula sa linearly independent mga desisyon mula sa bawat isa. Ito ay posible dahil sa ang katunayan na ang function y (x) (\displaystyle y(x)) wasto linear operator. Derivative ay linear operator, dahil binabago nito ang espasyo ng mga naiba-iba na function sa espasyo ng lahat ng function. Ang mga equation ay tinatawag na homogenous sa mga kaso kung saan para sa ilan linear operator L (\displaystyle L) ito ay kinakailangan upang mahanap ang isang solusyon sa equation L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)
Bumaling tayo ngayon sa ilang partikular na halimbawa. Ang kaso ng maraming ugat ng katangiang equation ay isasaalang-alang sa ibang pagkakataon, sa seksyon sa pagbabawas ng order.
Kung ang mga ugat r ± (\displaystyle r_(\pm )) ay magkaibang tunay na mga numero, ang differential equation ay may sumusunod na solusyon
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))
Dalawang kumplikadong ugat. Ito ay sumusunod mula sa pangunahing theorem ng algebra na ang mga solusyon sa polynomial equation na may real coefficients ay may mga ugat na tunay o bumubuo ng mga pares ng conjugate. Samakatuwid, kung ang kumplikadong numero r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) ay ang ugat ng katangian na equation, kung gayon r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) ay din ang ugat ng equation na ito. Kaya, ang solusyon ay maaaring isulat sa form c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) gayunpaman, ito ay isang kumplikadong numero at hindi kanais-nais sa paglutas ng mga praktikal na problema.
- Sa halip, maaari mong gamitin Formula ng Euler e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), na nagpapahintulot sa amin na isulat ang solusyon sa form trigonometriko function:
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
- Ngayon ay maaari mo na sa halip na pare-pareho c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) isulat c 1 (\displaystyle c_(1)), at ang expression i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) pinalitan ng c 2 . (\displaystyle c_(2).) Pagkatapos nito makuha namin ang sumusunod na solusyon:
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
- May isa pang paraan upang isulat ang solusyon sa mga tuntunin ng amplitude at phase, na mas angkop para sa mga pisikal na problema.
- Halimbawa 2.1. Maghanap tayo ng solusyon ang differential equation sa ibaba na may ibinigay na mga paunang kondisyon. Para dito, kinakailangan na kunin ang nakuha na solusyon, gayundin ang hinango nito, at palitan ang mga ito sa mga paunang kundisyon, na magpapahintulot sa amin na matukoy ang mga arbitrary na constant.
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
  - x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
  - x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\kaliwa(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
  - x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
Paglutas ng mga differential equation ng nth order na may pare-parehong coefficient (naitala ng Intuit - National Open University).
Pag-downgrade ng order. Ang pagbabawas ng order ay isang paraan para sa paglutas ng mga differential equation kapag ang isang linearly independent na solusyon ay kilala. Ang pamamaraang ito ay binubuo sa pagpapababa ng pagkakasunud-sunod ng equation ng isa, na nagpapahintulot sa equation na malutas gamit ang mga pamamaraan na inilarawan sa nakaraang seksyon. Hayaang malaman ang solusyon. Ang pangunahing ideya ng pagpapababa ng order ay upang makahanap ng solusyon sa form sa ibaba, kung saan kinakailangan upang tukuyin ang function v (x) (\displaystyle v(x)), pinapalitan ito sa differential equation at paghahanap v(x). (\displaystyle v(x).) Isaalang-alang natin kung paano magagamit ang pagbabawas ng pagkakasunud-sunod upang malutas ang isang differential equation na may pare-parehong coefficient at maramihang mga ugat.

Maramihang mga ugat homogenous differential equation na may pare-parehong coefficient. Alalahanin na ang isang pangalawang-order na equation ay dapat magkaroon ng dalawang linearly independent na solusyon. Kung ang katangiang equation ay maraming ugat, ang hanay ng mga solusyon hindi bumubuo ng isang puwang dahil ang mga solusyong ito ay linearly dependent. Sa kasong ito, ang pagbabawas ng order ay dapat gamitin upang makahanap ng pangalawang linearly independent na solusyon.
- Hayaang magkaroon ng maraming ugat ang katangiang equation r (\displaystyle r). Ipinapalagay namin na ang pangalawang solusyon ay maaaring isulat bilang y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), at i-substitute ito sa differential equation. Sa kasong ito, karamihan sa mga termino, maliban sa terminong may pangalawang derivative ng function v , (\displaystyle v,) ay mababawasan.
  - v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- Halimbawa 2.2. Ibinigay ang sumusunod na equation, na mayroong maraming mga ugat r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Kapag pinapalitan, karamihan sa mga tuntunin ay kinansela.
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
  - y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(nakahanay)))
  - v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\begin(\begin )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
- Tulad ng aming ansatz para sa isang differential equation na may pare-parehong coefficient, sa kasong ito ang pangalawang derivative lamang ang maaaring katumbas ng zero. Dalawang beses kaming nagsasama at makuha ang nais na expression para sa v (\displaystyle v):
  - v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- Pagkatapos ay ang pangkalahatang solusyon ng isang differential equation na may pare-parehong coefficient, kung ang katangian na equation ay may maramihang mga ugat, ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo. Para sa kaginhawahan, maaari mong tandaan na upang makakuha ng linear na kalayaan, sapat na upang i-multiply lamang ang pangalawang termino sa x (\displaystyle x). Ang hanay ng mga solusyon na ito ay linearly independent, at sa gayon ay nahanap namin ang lahat ng solusyon sa equation na ito.
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Nalalapat ang pagbabawas ng order kung alam ang solusyon y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), na makikita o ibibigay sa pahayag ng problema.
- Naghahanap kami ng solusyon sa form y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) at isaksak ito sa equation na ito:
  - v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- Dahil ang y 1 (\displaystyle y_(1)) ay isang solusyon sa differential equation, lahat ng termino na may v (\displaystyle v) ay lumiliit. Bilang resulta, nananatili ito first order linear equation. Upang makita ito nang mas malinaw, baguhin natin ang mga variable w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
  - y 1 w′ + (2 y 1′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
  - w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\kanan)(\mathrm (d) )x\kanan))
  - v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
- Kung ang mga integral ay maaaring kalkulahin, makuha namin ang pangkalahatang solusyon bilang isang kumbinasyon ng mga elementary function. Kung hindi, ang solusyon ay maaaring iwanang sa integral form.
Cauchy-Euler equation. Ang Cauchy-Euler equation ay isang halimbawa ng second-order differential equation na may mga variable coefficients, na may mga eksaktong solusyon. Ang equation na ito ay ginagamit sa pagsasanay, halimbawa, upang malutas ang Laplace equation sa spherical coordinates.
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Katangiang equation. Tulad ng makikita mo, sa differential equation na ito, ang bawat termino ay naglalaman ng power factor, ang antas nito ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng kaukulang derivative.
- Kaya, maaaring subukan ng isa na maghanap ng solusyon sa form y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) kung saan tutukuyin n (\displaystyle n), tulad ng naghahanap kami ng solusyon sa anyo ng exponential function para sa isang linear differential equation na may pare-parehong coefficient. Pagkatapos ng pagkita ng kaibhan at pagpapalit, nakukuha namin
  - x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- Upang magamit ang katangiang equation, dapat nating ipagpalagay iyon x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Dot x = 0 (\displaystyle x=0) tinawag regular na isahan na punto differential equation. Ang ganitong mga punto ay mahalaga kapag nilulutas ang mga differential equation gamit ang power series. Ang equation na ito ay may dalawang ugat, na maaaring magkaiba at totoo, maramihan o kumplikadong conjugate.
  - n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))
Dalawang magkaibang tunay na ugat. Kung ang mga ugat n ± (\displaystyle n_(\pm )) ay totoo at naiiba, kung gayon ang solusyon ng differential equation ay may sumusunod na anyo:
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))
Dalawang kumplikadong ugat. Kung ang katangiang equation ay may mga ugat n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), ang solusyon ay isang kumplikadong function.
- Upang baguhin ang solusyon sa isang tunay na function, gumawa kami ng pagbabago ng mga variable x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) yan ay t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) at gamitin ang Euler formula. Ang mga katulad na aksyon ay isinagawa nang mas maaga kapag tinutukoy ang mga arbitrary na constant.
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
- Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ay maaaring isulat bilang
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
Maramihang mga ugat. Upang makakuha ng pangalawang linearly independent na solusyon, kinakailangan na bawasan muli ang order.
- Ito ay nangangailangan ng kaunting pag-compute, ngunit ang prinsipyo ay pareho: pinapalitan namin y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) sa isang equation na ang unang solusyon ay y 1 (\displaystyle y_(1)). Pagkatapos ng mga pagbawas, ang sumusunod na equation ay nakuha:
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- Ito ay isang first order linear equation na may kinalaman sa v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Ang solusyon niya ay v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Kaya, ang solusyon ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo. Medyo madaling matandaan - para makuha ang pangalawang linearly independent na solusyon, kailangan mo lang ng karagdagang termino ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
Inhomogeneous linear differential equation na may pare-parehong coefficient. Ang mga nonhomogeneous equation ay may anyo L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) saan f (x) (\displaystyle f(x))- tinatawag na libreng miyembro. Ayon sa teorya ng differential equation, ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito ay isang superposition pribadong desisyon y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) at karagdagang solusyon y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Gayunpaman, sa kasong ito, ang isang partikular na solusyon ay hindi nangangahulugang isang solusyon na ibinigay ng mga paunang kondisyon, ngunit sa halip ay isang solusyon na dahil sa pagkakaroon ng inhomogeneity (free term). Ang komplementaryong solusyon ay ang solusyon ng katumbas na homogenous equation kung saan f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Ang pangkalahatang solusyon ay isang superposisyon ng dalawang solusyong ito, dahil L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), at mula noon L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) ang gayong superposisyon ay talagang isang pangkalahatang solusyon.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
Pamamaraan hindi tiyak na mga coefficient. Ang paraan ng mga indeterminate coefficient ay ginagamit sa mga kaso kung saan ang libreng termino ay isang kumbinasyon ng exponential, trigonometric, hyperbolic o mga function ng kapangyarihan. Tanging ang mga function na ito ay ginagarantiyahan na magkaroon ng isang tiyak na bilang ng mga linearly independent derivatives. Sa seksyong ito, makakahanap tayo ng isang partikular na solusyon sa equation.
- Ihambing ang mga tuntunin sa f (x) (\displaystyle f(x)) na may mga termino sa pagwawalang-bahala sa mga patuloy na kadahilanan. Tatlong kaso ang posible.
  - Walang magkaparehong miyembro. Sa kasong ito, isang partikular na solusyon y p (\displaystyle y_(p)) ay magiging isang linear na kumbinasyon ng mga termino mula sa y p (\displaystyle y_(p))
  - f (x) (\displaystyle f(x)) naglalaman ng miyembro x n (\displaystyle x^(n)) at isang miyembro mula sa y c , (\displaystyle y_(c),) saan n (\displaystyle n) ay zero o isang positibong integer, at ang terminong ito ay tumutugma sa isang solong ugat ng katangian na equation. Sa kasong ito y p (\displaystyle y_(p)) ay bubuo ng kumbinasyon ng function x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) ang mga linearly independent derivatives nito, gayundin ang iba pang termino f (x) (\displaystyle f(x)) at ang kanilang mga linearly independent derivatives.
  - f (x) (\displaystyle f(x)) naglalaman ng miyembro h (x) , (\displaystyle h(x),) na isang gawain x n (\displaystyle x^(n)) at isang miyembro mula sa y c , (\displaystyle y_(c),) saan n (\displaystyle n) ay katumbas ng 0 o isang positibong integer, at ang terminong ito ay tumutugma sa maramihan ugat ng katangiang equation. Sa kasong ito y p (\displaystyle y_(p)) ay isang linear na kumbinasyon ng function x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(saan s (\displaystyle s)- multiplicity ng root) at ang mga linearly independent derivatives nito, pati na rin ang iba pang miyembro ng function f (x) (\displaystyle f(x)) at ang mga linearly independent derivatives nito.
- Isulat natin y p (\displaystyle y_(p)) bilang isang linear na kumbinasyon ng mga termino sa itaas. Salamat sa mga coefficient na ito sa isang linear na kumbinasyon ang pamamaraang ito tinatawag na paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent. Sa paglitaw ng mga nakapaloob sa y c (\displaystyle y_(c)) ang kanilang mga miyembro ay maaaring itapon dahil sa pagkakaroon ng mga arbitrary constants sa y c . (\displaystyle y_(c).) After that nag substitute kami y p (\displaystyle y_(p)) sa isang equation at katumbas ng mga katulad na termino.
- Tinutukoy namin ang mga coefficient. Sa yugtong ito, ang sistema algebraic equation, na kadalasang malulutas nang walang anumang problema. Ang solusyon ng sistemang ito ay ginagawang posible na makuha y p (\displaystyle y_(p)) at sa gayon ay malutas ang equation.
- Halimbawa 2.3. Isaalang-alang ang isang inhomogeneous differential equation na ang libreng termino ay naglalaman ng isang may hangganang bilang ng mga linearly independent derivatives. Ang isang partikular na solusyon ng naturang equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng hindi tiyak na coefficients.
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
  - y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
  - 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(nakahanay)))
  - ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ wakas(mga kaso)))
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
Paraan ng Lagrange. Ang Lagrange method, o ang paraan ng variation ng arbitrary constants, ay isang mas pangkalahatang paraan para sa paglutas ng hindi magkakatulad na differential equation, lalo na sa mga kaso kung saan ang free term ay hindi naglalaman ng finite number of linearly independent derivatives. Halimbawa, sa mga libreng miyembro tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) o x − n (\displaystyle x^(-n)) upang makahanap ng isang partikular na solusyon, kinakailangan na gumamit ng pamamaraang Lagrange. Ang pamamaraang Lagrange ay maaari pa ngang gamitin upang malutas ang mga differential equation na may variable coefficients, bagama't sa kasong ito, maliban sa Cauchy-Euler equation, ito ay mas madalas na ginagamit, dahil ang karagdagang solusyon ay karaniwang hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng mga pag-andar ng elementarya.
- Ipagpalagay natin na ang solusyon ay may sumusunod na anyo. Ang derivative nito ay ibinibigay sa pangalawang linya.
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
  - y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
- Dahil ang iminungkahing solusyon ay naglalaman ng dalawa hindi kilalang dami, ito ay kinakailangan upang magpataw karagdagang kundisyon. Pinipili namin ang karagdagang kundisyong ito sa sumusunod na anyo:
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
- Ngayon ay makukuha natin ang pangalawang equation. Pagkatapos palitan at muling ipamahagi ang mga miyembro, maaari mong pagsama-samahin ang mga miyembro v 1 (\displaystyle v_(1)) at mga miyembro mula sa v 2 (\displaystyle v_(2)). Kinansela ang mga tuntuning ito dahil y 1 (\displaystyle y_(1)) at y 2 (\displaystyle y_(2)) ay mga solusyon ng katumbas na homogenous equation. Bilang resulta, nakukuha natin ang sumusunod na sistema ng mga equation
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aligned)))
- Ang sistemang ito ay maaaring mabago sa isang matrix equation ng form A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) kaninong solusyon x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Para sa matrix 2 × 2 (\displaystyle 2\beses 2) baligtad na matris ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati sa pamamagitan ng determinant, pag-permute sa mga elemento ng dayagonal, at pagbabago ng tanda ng mga elementong nasa labas ng dayagonal. Sa katunayan, ang determinant ng matrix na ito ay isang Wronskian.
  - (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
- Mga ekspresyon para sa v 1 (\displaystyle v_(1)) at v 2 (\displaystyle v_(2)) ay nakalista sa ibaba. Tulad ng sa paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod, sa kasong ito, lumilitaw ang isang arbitrary na pare-pareho sa panahon ng pagsasama, na kinabibilangan ng karagdagang solusyon sa pangkalahatang solusyon ng equation ng kaugalian.
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
Lecture ng National Open University Intuit na pinamagatang "Linear differential equation of the n-th order with constant coefficients".

Praktikal na paggamit

Ang mga differential equation ay nagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng isang function at isa o higit pa sa mga derivatives nito. Dahil ang mga ganitong relasyon ay napakakaraniwan, ang mga differential equation ay nakahanap ng malawak na aplikasyon sa karamihan iba't ibang lugar, at dahil nakatira tayo sa apat na dimensyon, ang mga equation na ito ay kadalasang mga differential equation sa pribado derivatives. Tinatalakay ng seksyong ito ang ilan sa mga pinakamahalagang equation ng ganitong uri.

Exponential na paglago at pagkabulok. radioactive decay. Pinagsamang interes. Ang bilis ng mga reaksiyong kemikal. Ang konsentrasyon ng mga gamot sa dugo. Walang limitasyong paglaki ng populasyon. Batas ng Newton-Richmann. Sa totoong mundo, maraming mga sistema kung saan ang rate ng paglago o pagkabulok sa anumang oras ay proporsyonal sa dami ng sa sandaling ito oras o maaaring mahusay na tinantya ng modelo. Ito ay dahil ang solusyon sa differential equation na ito, ang exponential function, ay isa sa pinakamahalagang function sa matematika at iba pang agham. Sa pangkalahatan, sa ilalim ng kontroladong paglaki ng populasyon, maaaring magsama ang system ng mga karagdagang termino na naglilimita sa paglaki. Sa equation sa ibaba, ang pare-pareho k (\displaystyle k) maaaring mas malaki o mas mababa sa zero.
- d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
Harmonic vibrations. Sa parehong klasikal at quantum mechanics, ang harmonic oscillator ay isa sa pinakamahalagang pisikal na sistema dahil sa pagiging simple nito at malawak na aplikasyon para sa pagtatantya ng mas kumplikadong mga sistema tulad ng isang simpleng pendulum. Sa klasikal na mekanika, ang mga harmonic oscillations ay inilalarawan ng isang equation na nag-uugnay sa posisyon ng isang materyal na punto sa pagbilis nito sa pamamagitan ng batas ni Hooke. Sa kasong ito, maaari ding isaalang-alang ang damping at driving forces. Sa expression sa ibaba x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- time derivative ng x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta ) ay isang parameter na naglalarawan sa lakas ng pamamasa, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- angular frequency ng system, F (t) (\displaystyle F(t)) ay isang puwersang umaasa sa oras. Ang harmonic oscillator ay naroroon din sa mga electromagnetic oscillatory circuit, kung saan maaari itong ipatupad nang mas tumpak kaysa sa mga mekanikal na sistema.
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
Bessel equation. Ang Bessel differential equation ay ginagamit sa maraming lugar ng physics, kabilang ang solusyon ng wave equation, ang Laplace equation, at ang Schrödinger equation, lalo na sa pagkakaroon ng cylindrical o spherical symmetry. Ang second-order differential equation na ito na may variable coefficients ay hindi isang Cauchy-Euler equation, kaya ang mga solusyon nito ay hindi maaaring isulat bilang elementary functions. Ang mga solusyon ng equation ng Bessel ay ang mga function ng Bessel, na pinag-aralan nang mabuti dahil sa katotohanang ginagamit ang mga ito sa maraming lugar. Sa expression sa ibaba α (\displaystyle \alpha ) ay isang pare-pareho na tumutugma utos Mga function ng Bessel.
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
Mga equation ni Maxwell. Kasama ng puwersa ng Lorentz, ang mga equation ni Maxwell ay bumubuo ng batayan ng klasikal na electrodynamics. Ito ay apat na partial differential equation para sa electric E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) at magnetic B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) mga patlang. Sa mga expression sa ibaba ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- density ng singil, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) ay ang kasalukuyang density, at ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) at μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) ay ang electric at magnetic constants, ayon sa pagkakabanggit.
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(\cdot)\ (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
Schrödinger equation. Sa quantum mechanics, ang Schrödinger equation ay ang pangunahing equation ng motion na naglalarawan sa paggalaw ng mga particle alinsunod sa pagbabago sa wave function. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) sa oras. Ang equation ng paggalaw ay inilalarawan ng pag-uugali Hamiltonian H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - operator, na naglalarawan sa enerhiya ng system. Ang isa sa mga kilalang halimbawa ng Schrödinger equation sa physics ay ang equation para sa isang non-relativistic particle, na napapailalim sa potensyal V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Maraming mga sistema ang inilalarawan ng equation na Schrödinger na umaasa sa oras, na may equation sa kaliwang bahagi. E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) saan E (\displaystyle E) ay ang enerhiya ng butil. Sa mga expression sa ibaba ℏ (\displaystyle \hbar ) ay ang pinababang Planck constant.
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\kanan)\Psi )
wave equation. Imposibleng isipin ang pisika at teknolohiya nang walang mga alon, naroroon sila sa lahat ng uri ng mga sistema. Sa pangkalahatan, ang mga alon ay inilalarawan ng equation sa ibaba, kung saan u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) ay ang nais na function, at c (\displaystyle c)- eksperimento na tinutukoy na pare-pareho. Si d'Alembert ang unang nakatuklas na para sa one-dimensional na kaso ang solusyon sa wave equation ay anuman function na may argumento x − c t (\displaystyle x-ct), na naglalarawan sa alon malayang anyo umaabot sa kanan. Ang pangkalahatang solusyon para sa one-dimensional na case ay isang linear na kumbinasyon ng function na ito na may pangalawang function na may argumento x + c t (\displaystyle x+ct), na naglalarawan ng alon na kumakalat sa kaliwa. Ang solusyon na ito ay ipinakita sa pangalawang linya.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
- u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
Navier-Stokes equation. Inilalarawan ng mga equation ng Navier-Stokes ang paggalaw ng mga likido. Dahil ang mga likido ay naroroon sa halos lahat ng larangan ng agham at teknolohiya, ang mga equation na ito ay lubhang mahalaga para sa paghula ng lagay ng panahon, pagdidisenyo ng mga eroplano, pag-aaral ng mga agos ng karagatan, at paglutas ng maraming iba pang mga problema. mga inilapat na gawain. Ang mga equation ng Navier-Stokes ay mga non-linear na partial differential equation, at sa karamihan ng mga kaso ay napakahirap lutasin ang mga ito, dahil ang non-linearity ay humahantong sa kaguluhan, at upang makakuha ng matatag na solusyon sa pamamagitan ng mga numerical na pamamaraan, paghahati sa napakaliit. kinakailangan ang mga cell, na nangangailangan ng makabuluhang kapangyarihan sa pag-compute. Para sa mga praktikal na layunin sa hydrodynamics, ang mga pamamaraan tulad ng pag-average ng oras ay ginagamit upang magmodelo ng mga magulong daloy. Higit pang mga pangunahing katanungan, tulad ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng mga solusyon para sa nonlinear equation sa mga partial derivatives, at ang patunay ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng solusyon para sa Navier-Stokes equation sa tatlong dimensyon ay isa sa mga problema sa matematika ng milenyo. Nasa ibaba ang incompressible fluid flow equation at ang continuity equation.
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac ) (\bfial (\) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

Maraming mga differential equation ang hindi malulutas ng mga pamamaraan sa itaas, lalo na ang mga nabanggit sa huling seksyon. Nalalapat ito sa mga kaso kung saan naglalaman ang equation variable na logro at hindi isang Cauchy-Euler equation, o kapag ang equation ay non-linear, maliban sa ilang napakabihirang kaso. Gayunpaman, ang mga pamamaraan sa itaas ay nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang maraming mahahalagang equation ng kaugalian na madalas na nakatagpo sa iba't ibang larangan ng agham.
Hindi tulad ng pagkita ng kaibhan, na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang derivative ng anumang function, ang integral ng maraming mga expression ay hindi maaaring ipahayag sa elementarya function. Samakatuwid, huwag mag-aksaya ng oras sa pagsubok na kalkulahin ang integral kung saan imposible. Tingnan ang talahanayan ng mga integral. Kung ang solusyon ng isang differential equation ay hindi maipahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar, kung minsan ito ay maaaring kinakatawan sa integral form, at sa kasong ito ay hindi mahalaga kung ang integral na ito ay maaaring kalkulahin nang analytical.

Mga babala

Hitsura Ang differential equation ay maaaring nakaliligaw. Halimbawa, nasa ibaba ang dalawang first-order differential equation. Ang unang equation ay madaling malutas gamit ang mga pamamaraan na inilarawan sa artikulong ito. Sa unang tingin, isang maliit na pagbabago y (\displaystyle y) sa y 2 (\displaystyle y^(2)) sa pangalawang equation ay ginagawa itong non-linear at nagiging napakahirap lutasin.
- d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Madalas banggitin lang differential equation ginagawang hindi komportable ang mga mag-aaral. Bakit ito nangyayari? Kadalasan, dahil kapag pinag-aaralan ang mga pangunahing kaalaman ng materyal, lumilitaw ang isang puwang sa kaalaman, dahil sa kung saan ang karagdagang pag-aaral ng mga difur ay nagiging simpleng pagpapahirap. Walang malinaw kung ano ang gagawin, paano magpasya kung saan magsisimula?

Gayunpaman, susubukan naming ipakita sa iyo na ang mga difur ay hindi kasing hirap ng tila.

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng mga differential equation

Mula sa paaralan, alam natin ang pinakasimpleng mga equation kung saan kailangan nating hanapin ang hindi kilalang x. Sa totoo lang differential equation bahagyang naiiba lamang sa kanila - sa halip na isang variable X kailangan nilang maghanap ng isang function y(x) , na gagawing pagkakakilanlan ang equation.

D differential equation ay may malaking praktikal na kahalagahan. Hindi ito abstract mathematics na walang kinalaman sa mundo sa paligid natin. Sa tulong ng mga differential equation, maraming tunay na natural na proseso ang inilalarawan. Halimbawa, ang mga string vibrations, ang paggalaw ng isang harmonic oscillator, sa pamamagitan ng mga differential equation sa mga problema ng mechanics, hanapin ang bilis at acceleration ng isang katawan. Gayundin DU ay malawakang ginagamit sa biology, chemistry, economics at marami pang ibang agham.

Differential equation (DU) ay isang equation na naglalaman ng mga derivatives ng function na y(x), ang function mismo, independent variable at iba pang mga parameter sa iba't ibang kumbinasyon.

Maraming uri ng differential equation: ordinaryong differential equation, linear at non-linear, homogenous at non-homogeneous, differential equation ng una at mas mataas na order, partial differential equation, at iba pa.

Ang solusyon sa isang differential equation ay isang function na ginagawa itong isang pagkakakilanlan. May mga pangkalahatan at partikular na solusyon ng remote control.

Ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay ang pangkalahatang hanay ng mga solusyon na ginagawang pagkakakilanlan ang equation. Ang isang partikular na solusyon ng isang differential equation ay isang solusyon na nakakatugon sa mga karagdagang kundisyon na tinukoy sa simula.

Ang pagkakasunud-sunod ng isang differential equation ay tinutukoy ng pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga derivatives na kasama dito.

Ordinaryong differential equation

Ordinaryong differential equation ay mga equation na naglalaman ng isang independent variable.

Isaalang-alang ang pinakasimpleng ordinaryong differential equation ng unang order. Mukhang:

Ang equation na ito ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pagsasama ng kanang bahagi nito.

Mga halimbawa ng naturang mga equation:

Nahihiwalay na Variable Equation

AT pangkalahatang pananaw ganito ang hitsura ng ganitong uri ng equation:

Narito ang isang halimbawa:

Ang paglutas ng naturang equation, kailangan mong paghiwalayin ang mga variable, dalhin ito sa form:

Pagkatapos nito, nananatili itong isama ang parehong bahagi at makakuha ng solusyon.

Mga linear differential equation ng unang order

Ang ganitong mga equation ay nasa anyo:

Narito ang p(x) at q(x) ay ilang function ng independent variable, at y=y(x) ang kinakailangang function. Narito ang isang halimbawa ng naturang equation:

Ang paglutas ng naturang equation, kadalasang ginagamit nila ang paraan ng variation ng isang arbitrary na pare-pareho o kumakatawan sa nais na function bilang isang produkto ng dalawang iba pang mga function y(x)=u(x)v(x).

Upang malutas ang mga naturang equation, kinakailangan ang isang tiyak na paghahanda, at magiging mahirap na dalhin ang mga ito "sa isang kapritso".

Isang halimbawa ng paglutas ng DE na may mga separable variable

Kaya isinasaalang-alang namin ang pinakasimpleng uri ng remote control. Ngayon tingnan natin ang isa sa kanila. Hayaan itong maging isang equation na may mga separable variable.

Una, muling isinulat namin ang derivative sa isang mas pamilyar na anyo:

Pagkatapos ay paghiwalayin namin ang mga variable, iyon ay, sa isang bahagi ng equation ay kokolektahin namin ang lahat ng "laro", at sa isa pa - ang "xes":

Ngayon ay nananatili itong pagsamahin ang parehong bahagi:

Pinagsasama namin at nakuha ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito:

Siyempre, ang paglutas ng mga differential equation ay isang uri ng sining. Kailangan mong maunawaan kung anong uri ang pag-aari ng isang equation, at matutunan din na makita kung anong mga pagbabago ang kailangan mong gawin dito upang dalhin ito sa isang anyo o iba pa, hindi banggitin lamang ang kakayahang mag-iba at magsama. At nangangailangan ng pagsasanay (tulad ng lahat) upang magtagumpay sa paglutas ng DE. At kung sa sandaling ito ay wala kang oras upang malaman kung paano nalutas ang mga differential equation o ang problemang Cauchy ay tumaas na parang buto sa iyong lalamunan o hindi mo alam, makipag-ugnayan sa aming mga may-akda. Sa maikling panahon bibigyan ka namin ng handa at detalyadong solusyon, upang maunawaan ang mga detalye kung saan maaari mong maginhawa para sa iyo anumang oras. Pansamantala, iminumungkahi naming manood ng video sa paksang "Paano lutasin ang mga differential equation":

Nalutas ang mga first order differential equation na may kinalaman sa derivative

Paano malutas ang mga first order differential equation

Hayaang magkaroon tayo ng first-order differential equation na nalutas na may kinalaman sa derivative:
.
Hinahati ang equation na ito sa pamamagitan ng , sa , nakakakuha tayo ng equation ng form:
,
saan .

Susunod, titingnan natin kung nabibilang ang mga equation na ito sa isa sa mga uri na nakalista sa ibaba. Kung hindi, muli naming isusulat ang equation sa anyo ng mga pagkakaiba. Upang gawin ito, isinulat namin at i-multiply ang equation sa pamamagitan ng . Nakukuha namin ang equation sa anyo ng mga kaugalian:
.

Kung ang equation na ito ay hindi isang equation sa kabuuang differentials, pagkatapos ay isasaalang-alang namin na sa equation na ito ay isang independent variable, at ito ay isang function ng . Hatiin natin ang equation sa pamamagitan ng:
.
Susunod, titingnan namin kung ang equation na ito ay kabilang sa isa sa mga uri na nakalista sa ibaba, kung isasaalang-alang iyon at napalitan na.

Kung ang isang uri ay hindi natagpuan para sa equation na ito, pagkatapos ay titingnan natin kung posible na gawing simple ang equation sa pamamagitan ng isang simpleng pagpapalit. Halimbawa, kung ang equation ay:
,
tapos mapapansin natin yun. Pagkatapos ay gumawa kami ng isang pagpapalit. Pagkatapos nito, ang equation ay magkakaroon ng mas simpleng anyo:
.

Kung hindi ito makakatulong, susubukan naming humanap ng integrating factor.

Nahihiwalay na Variable Equation

;
.
Hatiin at pagsamahin. Kapag nakuha namin:
.

Mga equation na bumababa sa mga equation na may mga separable variable

Mga homogenous na equation

Malutas namin sa pamamagitan ng pagpapalit:
,
saan ang isang function ng . Pagkatapos
;
.
Paghiwalayin ang mga variable at pagsamahin.

Mga Equation na Nagbabawas sa Homogeneous

Ipinakilala namin ang mga variable at:
;
.
Ang mga constant at pinili upang ang mga libreng termino ay mawala:
;
.
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng homogenous na equation sa mga variable at .

Pangkalahatang homogenous equation

Gumagawa kami ng pagpapalit. Nakukuha namin ang isang homogenous na equation sa mga variable at .

Linear differential equation

Mayroong tatlong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga linear equation.

2) Paraan ng Bernoulli.
Naghahanap kami ng isang solusyon sa anyo ng isang produkto ng dalawang function at mula sa isang variable:
.
;
.
Maaari nating piliin ang isa sa mga function na ito nang basta-basta. Samakatuwid, habang pinipili namin ang anumang di-zero na solusyon ng equation:
.

3) Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng pare-pareho (Lagrange).
Dito muna natin lutasin ang homogenous equation:

Ang pangkalahatang solusyon ng homogenous equation ay may anyo:
,
kung saan ay isang pare-pareho. Susunod, pinapalitan namin ang pare-pareho ng isang function depende sa variable:
.
Palitan sa orihinal na equation. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng equation kung saan natin tinutukoy .

Mga equation ni Bernoulli

Sa pamamagitan ng pagpapalit, ang Bernoulli equation ay nabawasan sa isang linear equation.

Ang equation na ito ay maaari ding malutas sa pamamagitan ng Bernoulli method. Iyon ay, naghahanap kami ng isang solusyon sa anyo ng isang produkto ng dalawang pag-andar depende sa variable:
.
Pinapalitan namin ang orihinal na equation:
;
.
Habang pinipili namin ang anumang di-zero na solusyon ng equation:
.
Ang pagkakaroon ng natukoy , kami ay kumuha ng isang equation na may mga separable variable para sa .

Riccati equation

Hindi ito nareresolba sa pangkalahatang paraan. Pagpapalit

ang Riccati equation ay binawasan sa anyo:
,
kung saan ay isang pare-pareho; ; .
Susunod, pagpapalit:

parang:
,
saan .

Ang mga katangian ng Riccati equation at ilang mga espesyal na kaso ng solusyon nito ay ipinakita sa pahina
Riccati differential equation >>>

Mga equation ni Jacobi

Nalutas sa pamamagitan ng pagpapalit:
.

Mga Equation sa Kabuuang Mga Pagkakaiba

Sa kondisyon
.
Kapag natugunan ang kundisyong ito, ang expression sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay ang pagkakaiba ng ilang function:
.
Pagkatapos
.
Mula dito nakukuha natin ang integral ng differential equation:
.

Upang mahanap ang function, ang pinaka-maginhawang paraan ay ang paraan ng sunud-sunod na pagpili ng differential. Para dito, ginagamit ang mga formula:
;
;
;
.

Salik ng pagsasanib

Kung ang first-order differential equation ay hindi nabawasan sa alinman sa mga nakalistang uri, maaari mong subukang humanap ng integrating factor. Ang isang integrating factor ay tulad ng isang function, kapag pinarami nito, ang differential equation ay nagiging isang equation sa kabuuang differentials. Ang isang first order differential equation ay may walang katapusang bilang ng mga integrating factor. gayunpaman, karaniwang pamamaraan upang mahanap ang integrating factor ay hindi.

Hindi nalutas ang mga equation para sa derivative na y"

Mga equation na umaamin ng solusyon na may kinalaman sa derivative y"

Una kailangan mong subukang lutasin ang equation na may paggalang sa derivative. Kung maaari, ang equation ay maaaring bawasan sa isa sa mga uri na nakalista sa itaas.

Mga Equation na Nagbibigay-daan sa Factorization

Kung maaari mong i-factor ang equation:
,
pagkatapos ang problema ay nabawasan sa sunud-sunod na solusyon ng mas simpleng mga equation:
;
;

;
. Naniniwala kami . Pagkatapos
o kaya .
Susunod, isasama namin ang equation:
;
.
Bilang resulta, nakukuha namin ang pagpapahayag ng pangalawang variable sa pamamagitan ng parameter.

Higit pa pangkalahatang equation:
o
ay nalulutas din sa parametric form. Upang gawin ito, kailangan mong pumili ng isang function upang mula sa orihinal na equation ay maaari mong ipahayag o sa pamamagitan ng parameter .
Upang ipahayag ang pangalawang variable sa mga tuntunin ng parameter , isinasama namin ang equation:
;
.

Nalutas ang mga equation na may kinalaman sa y

Mga equation ni Clairaut

Ang equation na ito ay may pangkalahatang solusyon

Lagrange equation

Naghahanap kami ng solusyon sa parametric form. Ipinapalagay namin , kung saan ang isang parameter.

Mga equation na humahantong sa Bernoulli equation

Ang mga equation na ito ay binabawasan sa Bernoulli equation kung hahanapin natin ang kanilang mga solusyon sa parametric form sa pamamagitan ng paglalagay ng parameter at paggawa ng substitution.

Mga sanggunian:
V.V. Stepanov, Kurso ng Differential Equation, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, Lan, 2003.

Sa tingin ko, dapat tayong magsimula sa kasaysayan ng isang maluwalhating kasangkapang pangmatematika bilang mga equation ng kaugalian. Tulad ng lahat ng differential at integral calculus, ang mga equation na ito ay naimbento ni Newton sa pagtatapos ng ika-17 siglo. Itinuring niya ang napakaimportanteng pagtuklas na ito sa kanya kaya na-encrypt pa niya ang mensahe, na ngayon ay maaaring isalin ng ganito: "Ang lahat ng mga batas ng kalikasan ay inilarawan sa pamamagitan ng mga differential equation." Ito ay maaaring mukhang isang pagmamalabis, ngunit ito ay totoo. Anumang batas ng pisika, kimika, biology ay maaaring ilarawan ng mga equation na ito.

Isang malaking kontribusyon sa pag-unlad at paglikha ng teorya ng differential equation ang ginawa ng mga mathematician na sina Euler at Lagrange. Nasa ika-18 siglo na, natuklasan at binuo nila ang kanilang pinag-aaralan ngayon sa mga matataas na kurso ng mga unibersidad.

Nagsimula ang isang bagong milestone sa pag-aaral ng mga differential equation salamat kay Henri Poincare. Lumikha siya ng isang "kuwalitatibong teorya ng mga equation ng kaugalian", na, kasama ang teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable, ay gumawa ng isang makabuluhang kontribusyon sa pundasyon ng topology - ang agham ng espasyo at mga katangian nito.

Ano ang mga differential equation?

Maraming tao ang natatakot sa isang parirala.Gayunpaman, sa artikulong ito ay idedetalye natin ang buong kakanyahan ng napaka-kapaki-pakinabang na kagamitang pangmatematika na ito, na sa totoo lang ay hindi kasing kumplikado ng tila mula sa pangalan. Upang simulan ang pag-uusap tungkol sa mga first-order differential equation, dapat mo munang makilala ang mga pangunahing konsepto na likas na nauugnay sa kahulugang ito. Magsimula tayo sa kaugalian.

Differential

Alam ng maraming tao ang konseptong ito mula sa paaralan. Gayunpaman, tingnan natin ito nang mas malapitan. Isipin ang isang graph ng isang function. Maaari nating dagdagan ito sa isang lawak na ang alinman sa mga segment nito ay magiging isang tuwid na linya. Dito kukuha kami ng dalawang puntos na walang katapusan na malapit sa isa't isa. Ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga coordinate (x o y) ay magiging isang infinitesimal na halaga. Tinatawag itong differential at tinutukoy ng mga sign na dy (differential mula sa y) at dx (differential mula sa x). Napakahalagang maunawaan na ang pagkakaiba ay hindi isang may hangganang halaga, at ito ang kahulugan at pangunahing tungkulin nito.

At ngayon ay kinakailangang isaalang-alang ang sumusunod na elemento, na magiging kapaki-pakinabang sa atin sa pagpapaliwanag ng konsepto ng isang differential equation. Ito ay isang derivative.

Derivative

Malamang narinig nating lahat ang konseptong ito sa paaralan. Ang derivative ay sinasabing ang rate ng paglago o pagbaba ng isang function. Gayunpaman, ang karamihan sa kahulugan na ito ay nagiging hindi maintindihan. Subukan nating ipaliwanag ang derivative sa mga tuntunin ng mga pagkakaiba. Bumalik tayo sa isang infinitesimal na segment ng isang function na may dalawang puntos na nasa pinakamababang distansya sa isa't isa. Ngunit kahit na para sa distansya na ito, ang function ay namamahala sa pagbabago ng ilang halaga. At upang ilarawan ang pagbabagong ito, nakabuo sila ng isang derivative, na kung hindi man ay maaaring isulat bilang isang ratio ng mga kaugalian: f (x) "=df / dx.

Ngayon ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa mga pangunahing katangian ng derivative. Tatlo lang sila:

Ang derivative ng kabuuan o pagkakaiba ay maaaring katawanin bilang kabuuan o pagkakaiba ng mga derivatives: (a+b)"=a"+b" at (a-b)"=a"-b".
Ang pangalawang pag-aari ay nauugnay sa pagpaparami. Ang derivative ng isang produkto ay ang kabuuan ng mga produkto ng isang function at ang derivative ng isa pa: (a*b)"=a"*b+a*b".
Ang derivative ng pagkakaiba ay maaaring isulat bilang sumusunod na pagkakapantay-pantay: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Ang lahat ng mga katangiang ito ay magiging kapaki-pakinabang sa amin para sa paghahanap ng mga solusyon sa mga first-order na differential equation.

Mayroon ding mga partial derivatives. Sabihin nating mayroon tayong function na z na nakasalalay sa mga variable na x at y. Upang kalkulahin ang partial derivative ng function na ito, sabihin, may kinalaman sa x, kailangan nating kunin ang variable na y bilang isang pare-pareho at simpleng pagkakaiba.

integral

Ang isa pang mahalagang konsepto ay ang integral. Sa katunayan, ito ang direktang kabaligtaran ng derivative. Mayroong ilang mga uri ng integrals, ngunit upang malutas ang pinakasimpleng differential equation, kailangan namin ang pinaka-walang halaga

Kaya, Sabihin nating mayroon tayong ilang dependency ng f sa x. Kinukuha namin ang integral mula dito at nakuha ang function na F (x) (kadalasang tinatawag na antiderivative), ang derivative nito ay katumbas ng orihinal na function. Kaya F(x)"=f(x). Kasunod din nito na ang integral ng derivative ay katumbas ng orihinal na function.

Kapag nilulutas ang mga differential equation, napakahalagang maunawaan ang kahulugan at pag-andar ng integral, dahil kailangan mong dalhin ang mga ito nang madalas upang makahanap ng solusyon.

Ang mga equation ay naiiba depende sa kanilang kalikasan. Sa susunod na seksyon, isasaalang-alang natin ang mga uri ng first-order differential equation, at pagkatapos ay matututuhan natin kung paano lutasin ang mga ito.

Mga klase ng differential equation

Ang "Diffura" ay nahahati ayon sa pagkakasunud-sunod ng mga derivatives na kasangkot sa kanila. Kaya, mayroong una, pangalawa, pangatlo at higit pang pagkakasunud-sunod. Maaari din silang hatiin sa ilang mga klase: ordinaryong at bahagyang derivatives.

Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga ordinaryong differential equation ng unang pagkakasunud-sunod. Tatalakayin din natin ang mga halimbawa at paraan upang malutas ang mga ito sa mga sumusunod na seksyon. Isasaalang-alang lamang namin ang mga ODE, dahil ito ang mga pinakakaraniwang uri ng mga equation. Ang mga ordinaryong ay nahahati sa mga subspecies: na may mga separable variable, homogenous at heterogenous. Susunod, malalaman mo kung paano sila naiiba sa isa't isa, at matutunan kung paano lutasin ang mga ito.

Bilang karagdagan, ang mga equation na ito ay maaaring pagsamahin, upang pagkatapos na makuha namin ang isang sistema ng mga differential equation ng unang pagkakasunud-sunod. Isasaalang-alang din namin ang mga naturang sistema at matutunan kung paano lutasin ang mga ito.

Bakit namin isinasaalang-alang lamang ang unang order? Dahil kailangan mong magsimula sa isang simple, at imposibleng ilarawan ang lahat na may kaugnayan sa mga differential equation sa isang artikulo.

Nahihiwalay na Variable Equation

Ito marahil ang pinakasimpleng first-order differential equation. Kabilang dito ang mga halimbawa na maaaring isulat ng ganito: y "=f (x) * f (y). Upang malutas ang equation na ito, kailangan namin ng formula para sa pagre-represent sa derivative bilang ratio ng mga differentials: y" = dy / dx. Gamit ito, nakukuha natin ang sumusunod na equation: dy/dx=f(x)*f(y). Ngayon ay maaari nating buksan ang pamamaraan para sa paglutas ng mga karaniwang halimbawa: hahatiin natin ang mga variable sa mga bahagi, iyon ay, ililipat natin ang lahat ng may variable na y sa bahagi kung saan matatagpuan ang dy, at gagawin natin ang parehong sa x variable. Nakukuha namin ang isang equation ng anyo: dy/f(y)=f(x)dx, na nalulutas sa pamamagitan ng pagkuha ng mga integral ng parehong bahagi. Huwag kalimutan ang tungkol sa pare-pareho, na dapat itakda pagkatapos kunin ang integral.

Ang solusyon ng anumang "diffurance" ay isang function ng dependence ng x sa y (sa aming kaso) o, kung mayroong isang numerical na kondisyon, kung gayon ang sagot ay nasa anyo ng isang numero. Tingnan natin tiyak na halimbawa ang buong kurso ng solusyon:

Naglilipat kami ng mga variable sa iba't ibang direksyon:

Ngayon kumukuha kami ng mga integral. Ang lahat ng mga ito ay matatagpuan sa isang espesyal na talahanayan ng mga integral. At nakukuha namin:

log(y) = -2*cos(x) + C

Kung kinakailangan, maaari naming ipahayag ang "y" bilang isang function ng "x". Ngayon ay masasabi natin na ang ating differential equation ay malulutas kung walang ibinigay na kondisyon. Maaaring magbigay ng kundisyon, halimbawa, y(n/2)=e. Pagkatapos ay pinapalitan lang natin ang halaga ng mga variable na ito sa solusyon at hanapin ang halaga ng pare-pareho. Sa aming halimbawa, ito ay katumbas ng 1.

Mga homogenous na differential equation ng unang order

Ngayon ay lumipat tayo sa mas mahirap na bahagi. Ang mga homogenous na differential equation ng unang pagkakasunud-sunod ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo tulad ng sumusunod: y "= z (x, y). Dapat tandaan na homogenous ang right-hand function ng dalawang variable, at hindi ito maaaring hatiin sa dalawang dependencies : z sa x at z sa y. Suriin kung ang equation ay homogenous o hindi ay medyo simple: ginagawa namin ang pagpapalit ng x=k*x at y=k*y. Ngayon ay kinakansela namin ang lahat ng k.Kung ang lahat ng mga titik na ito ay nabawasan , kung gayon ang equation ay homogenous at maaari mong ligtas na magpatuloy upang malutas ito. Sa hinaharap , sabihin nating: ang prinsipyo ng paglutas ng mga halimbawang ito ay napakasimple din.

Kailangan nating gumawa ng kapalit: y=t(x)*x, kung saan ang t ay ilang function na nakasalalay din sa x. Pagkatapos ay maaari nating ipahayag ang derivative: y"=t"(x)*x+t. Ang pagpapalit ng lahat ng ito sa aming orihinal na equation at pinasimple ito, nakakakuha kami ng isang halimbawa na may mga separable variable na t at x. Malutas namin ito at makuha ang dependence t(x). Kapag nakuha namin ito, pinapalitan lang namin ang y=t(x)*x sa dati naming kapalit. Pagkatapos makuha namin ang pagtitiwala ng y sa x.

Upang gawing mas malinaw, tingnan natin ang isang halimbawa: x*y"=y-x*e y/x .

Kapag nagsuri sa isang kapalit, ang lahat ay nabawasan. So homogenous talaga ang equation. Ngayon gumawa kami ng isa pang kapalit na aming napag-usapan: y=t(x)*x at y"=t"(x)*x+t(x). Pagkatapos ng pagpapagaan, nakukuha namin ang sumusunod na equation: t "(x) * x \u003d -e t. Nilulutas namin ang nagresultang halimbawa na may mga pinaghiwalay na variable at nakuha ang: e -t \u003dln (C * x). Kailangan lang naming palitan ang t na may y / x (dahil kung y \u003d t * x, pagkatapos t \u003d y / x), at makuha namin ang sagot: e -y / x \u003d ln (x * C).

Mga linear differential equation ng unang order

Panahon na upang isaalang-alang ang isa pang malawak na paksa. Susuriin namin ang hindi magkakatulad na mga equation ng kaugalian ng unang pagkakasunud-sunod. Paano sila naiiba sa naunang dalawa? Alamin natin ito. Ang mga linear differential equation ng unang pagkakasunud-sunod sa pangkalahatang anyo ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: y " + g (x) * y \u003d z (x). Ito ay nagkakahalaga ng paglilinaw na ang z (x) at g (x) ay maaaring maging pare-pareho ang mga halaga .

At ngayon isang halimbawa: y" - y*x=x 2 .

Mayroong dalawang mga paraan upang malutas, at susuriin namin ang pareho sa pagkakasunud-sunod. Ang una ay ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants.

Upang malutas ang equation sa ganitong paraan, kailangan mo munang ipantay ang kanang bahagi sa zero at lutasin ang resultang equation, na, pagkatapos ilipat ang mga bahagi, ay kukuha ng anyo:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Ngayon kailangan nating palitan ang pare-parehong C 1 ng function na v(x), na kailangan nating hanapin.

Baguhin natin ang derivative:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

I-substitute natin ang mga expression na ito sa orihinal na equation:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Makikita na ang dalawang termino ay kinansela sa kaliwang bahagi. Kung sa ilang halimbawa ay hindi ito nangyari, may ginawa kang mali. Ituloy natin:

v"*e x2/2 = x 2 .

Ngayon lutasin natin ang karaniwang equation kung saan kailangan nating paghiwalayin ang mga variable:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Upang kunin ang integral, kailangan nating ilapat ang pagsasama ayon sa mga bahagi dito. Gayunpaman, hindi ito ang paksa ng aming artikulo. Kung interesado ka, maaari mong matutunan kung paano gawin ang mga naturang aksyon sa iyong sarili. Hindi ito mahirap, at may sapat na kasanayan at pangangalaga, hindi ito tumatagal ng maraming oras.

Bumaling tayo sa pangalawang paraan para sa paglutas ng mga hindi magkakatulad na equation: ang Bernoulli method. Aling diskarte ang mas mabilis at mas madali ay nasa iyo.

Kaya, kapag nilulutas ang equation sa paraang ito, kailangan nating gumawa ng kapalit: y=k*n. Narito ang k at n ay ilang mga function na umaasa sa x. Pagkatapos ay magiging ganito ang derivative: y"=k"*n+k*n". Pinapalitan namin ang parehong mga kapalit sa equation:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Pagpapangkat:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Ngayon kailangan nating i-equate sa zero kung ano ang nasa bracket. Ngayon, kung pagsasamahin natin ang dalawang resultang equation, makakakuha tayo ng sistema ng mga first-order differential equation na kailangang lutasin:

Nilulutas namin ang unang pagkakapantay-pantay bilang isang ordinaryong equation. Upang gawin ito, kailangan mong paghiwalayin ang mga variable:

Kinukuha namin ang integral at makuha ang: ln(n)=x 2 /2. Pagkatapos, kung ipahayag natin ang n:

Ngayon ay pinapalitan namin ang nagresultang pagkakapantay-pantay sa pangalawang equation ng system:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

At sa pagbabago, nakakakuha tayo ng parehong pagkakapantay-pantay tulad ng sa unang paraan:

dk=x 2 /e x2/2 .

Hindi rin namin susuriin ang mga karagdagang aksyon. Ito ay nagkakahalaga ng pagsasabi na sa una ang solusyon ng mga first-order differential equation ay nagdudulot ng mga makabuluhang paghihirap. Gayunpaman, sa isang mas malalim na pagsasawsaw sa paksa, nagsisimula itong maging mas mahusay at mas mahusay.

Saan ginagamit ang mga differential equation?

Ang mga differential equation ay aktibong ginagamit sa physics, dahil halos lahat ng mga pangunahing batas ay nakasulat sa differential form, at ang mga formula na nakikita natin ay ang solusyon ng mga equation na ito. Sa kimika, ginagamit ang mga ito para sa parehong dahilan: ang mga pangunahing batas ay nagmula sa kanila. Sa biology, ginagamit ang mga differential equation upang imodelo ang pag-uugali ng mga system, tulad ng predator-prey. Maaari din silang magamit upang lumikha ng mga modelo ng pagpaparami ng, halimbawa, isang kolonya ng mga mikroorganismo.

Paano makakatulong ang mga differential equation sa buhay?

Ang sagot sa tanong na ito ay simple: hindi. Kung hindi ka isang scientist o engineer, malamang na hindi sila magiging kapaki-pakinabang sa iyo. Gayunpaman, para sa pangkalahatang pag-unlad Hindi masakit na malaman kung ano ang isang differential equation at kung paano ito malulutas. At pagkatapos ay ang tanong ng isang anak na lalaki o babae "ano ang isang kaugalian equation?" hindi ka malito. Buweno, kung ikaw ay isang siyentipiko o isang inhinyero, kung gayon naiintindihan mo mismo ang kahalagahan ng paksang ito sa anumang agham. Ngunit ang pinakamahalagang bagay ay ngayon ang tanong na "kung paano malutas ang isang first-order differential equation?" lagi kang makakasagot. Sumang-ayon, ito ay palaging maganda kapag naiintindihan mo kung ano ang mga tao kahit na natatakot na maunawaan.

Mga pangunahing problema sa pag-aaral

Ang pangunahing problema sa pag-unawa sa paksang ito ay ang mahinang kasanayan sa pagsasama-sama at pagkakaiba-iba ng mga function. Kung ikaw ay masama sa pagkuha ng mga derivatives at integrals, pagkatapos ay dapat kang matuto nang higit pa, master iba't ibang pamamaraan pagsasama-sama at pagkakaiba-iba, at pagkatapos lamang magpatuloy sa pag-aaral ng materyal na inilarawan sa artikulo.

May mga taong nagulat kapag nalaman nila na ang dx ay maaaring ilipat, dahil kanina (sa paaralan) ay nakasaad na ang fraction dy / dx ay hindi nahahati. Dito kailangan mong basahin ang literatura sa derivative at maunawaan na ito ay ang ratio ng mga infinitesimal na dami na maaaring manipulahin kapag nilulutas ang mga equation.

Hindi agad napagtanto ng marami na ang solusyon ng mga first-order differential equation ay kadalasang isang function o isang integral na hindi maaaring makuha, at ang maling akala na ito ay nagbibigay sa kanila ng maraming problema.

Ano pa ang maaaring pag-aralan para sa mas mahusay na pag-unawa?

Pinakamainam na simulan ang karagdagang paglulubog sa mundo ng differential calculus na may mga espesyal na aklat-aralin, halimbawa, sa calculus para sa mga mag-aaral ng mga non-mathematical specialty. Pagkatapos ay maaari kang magpatuloy sa mas espesyal na panitikan.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasabi na, bilang karagdagan sa mga differential equation, mayroon ding mga integral na equation, kaya palagi kang mayroong isang bagay na pagsusumikapan at isang bagay na pag-aaralan.

Konklusyon

Inaasahan namin na pagkatapos basahin ang artikulong ito ay mayroon kang ideya kung ano ang mga differential equation at kung paano malutas ang mga ito nang tama.

Sa anumang kaso, ang matematika ay kahit papaano ay kapaki-pakinabang sa atin sa buhay. Nagbubuo ito ng lohika at atensyon, kung wala ang bawat tao ay parang walang mga kamay.

Pagtuturo

Kung ang equation ay ipinakita bilang: dy/dx = q(x)/n(y), sumangguni sa kategorya ng mga differential equation na may mga separable variable. Ang mga ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagsulat ng kundisyon sa mga kaugalian gaya ng sumusunod: n(y)dy = q(x)dx. Pagkatapos ay isama ang parehong bahagi. Sa ilang mga kaso, ang solusyon ay nakasulat sa anyo ng mga integral na kinuha mula sa mga kilalang function. Halimbawa, sa kaso ng dy/dx = x/y, nakukuha natin ang q(x) = x, n(y) = y. Isulat ito bilang ydy = xdx at isama. Dapat mong makuha ang y^2 = x^2 + c.

sa linear mga equation ipatungkol ang mga equation na "una". Ang isang hindi kilalang function kasama ang mga derivatives nito ay kasama sa naturang equation hanggang sa unang antas lamang. Ang linear ay may anyo na dy/dx + f(x) = j(x), kung saan ang f(x) at g(x) ay mga function depende sa x. Ang solusyon ay isinulat gamit ang mga integral na kinuha mula sa mga kilalang function.

Tandaan na maraming differential equation ang second-order equation (naglalaman ng pangalawang derivatives). Halimbawa, ito ang equation ng simpleng harmonic motion, na isinulat bilang pangkalahatan: md 2x / dt 2 = -kx. Ang ganitong mga equation ay may, sa , bahagyang mga solusyon. Ang equation ng simpleng harmonic motion ay isang halimbawa ng isang medyo mahalaga: linear differential equation na mayroon pare-pareho ang kadahilanan.

Kung mayroon lamang isang linear equation sa mga kondisyon ng problema, pagkatapos ay bibigyan ka ng karagdagang mga kondisyon dahil kung saan makakahanap ka ng solusyon. Basahing mabuti ang problema upang mahanap ang mga kundisyong ito. Kung ang mga variable Ang x at y ay distansya, bilis, timbang - huwag mag-atubiling itakda ang limitasyon x≥0 at y≥0. Posible na ang x o y ay nagtatago ng bilang ng , mansanas, atbp. – kung gayon ang mga halaga ay maaari lamang . Kung x ang edad ng anak, malinaw na hindi siya maaaring mas matanda kaysa sa kanyang ama, kaya ipahiwatig ito sa mga kondisyon ng problema.

Mga Pinagmulan:

kung paano lutasin ang isang equation na may isang variable

Ang mga gawain para sa differential at integral calculus ay mahalagang elemento ng pagsasama-sama ng teorya ng mathematical analysis, isang seksyon ng mas mataas na matematika na pinag-aralan sa mga unibersidad. kaugalian ang equation ay nalutas sa pamamagitan ng paraan ng pagsasama.

Pagtuturo

Ang differential calculus ay nagsisiyasat ng mga katangian. Sa kabaligtaran, ang pagsasama ng isang function ay nagbibigay-daan, ayon sa ibinigay na mga katangian, i.e. derivatives o differentials ng isang function upang mahanap ito mismo. Ito ang solusyon ng differential equation.

Anuman ay isang ratio sa pagitan ng hindi kilalang halaga at kilalang data. Sa kaso ng isang differential equation, ang papel ng hindi alam ay ginagampanan ng function, at ang papel ng mga kilalang dami ay ginagampanan ng mga derivatives nito. Bilang karagdagan, ang ratio ay maaaring maglaman ng isang independiyenteng variable: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, kung saan ang x ay isang hindi kilalang variable, ang y (x) ay ang function na tutukuyin, ang pagkakasunud-sunod ng equation ay ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng derivative (n).

Ang nasabing equation ay tinatawag na ordinary differential equation. Kung mayroong ilang mga independyenteng variable sa ugnayan at mga partial derivatives (differentials) ng mga function na may kinalaman sa mga variable na ito, kung gayon ang equation ay tinatawag na differential equation na may partial derivatives at may anyo: x∂z/∂y - ∂z/∂ x = 0, kung saan ang z(x, y) ay ang gustong function.

Kaya, upang matutunan kung paano lutasin ang mga differential equation, kailangan mong makahanap ng mga antiderivatives, i.e. lutasin ang problema ng inverse differentiation. Halimbawa: Lutasin ang first order equation na y’ = -y/x.

SolusyonPalitan ang y' ng dy/dx: dy/dx = -y/x.

Dalhin ang equation sa isang form na maginhawa para sa pagsasama. Upang gawin ito, i-multiply ang magkabilang panig sa dx at hatiin sa y:dy/y = -dx/x.

Pagsamahin: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - log |x| +C.

Ang solusyon na ito ay tinatawag na general differential equation. Ang C ay isang pare-pareho na ang hanay ng mga halaga ay tumutukoy sa hanay ng mga solusyon sa equation. Para sa anumang partikular na halaga ng C, ang solusyon ay magiging kakaiba. Ang ganitong solusyon ay isang partikular na solusyon ng isang differential equation.

Solusyon ng karamihan sa mga equation ng mas mataas degrees ay walang malinaw na formula, tulad ng paghahanap ng mga ugat ng isang parisukat mga equation. Gayunpaman, mayroong ilang mga paraan ng pagbabawas na nagbibigay-daan sa iyong baguhin ang isang mas mataas na antas ng equation sa isang mas visual na anyo.

Pagtuturo

Ang pinakakaraniwang paraan para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na degree ay pagpapalawak. Ang diskarte na ito ay isang kumbinasyon ng pagpili ng mga integer na ugat, mga divisors ng libreng termino, at ang kasunod na paghahati ng pangkalahatang polynomial sa anyo (x - x0).

Halimbawa, lutasin ang equation na x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0. Solusyon. Ang libreng miyembro ng polynomial na ito ay -3, samakatuwid, ang mga integer divisors nito ay maaaring ±1 at ±3. I-substitute ang mga ito nang paisa-isa sa equation at alamin kung nakuha mo ang pagkakakilanlan: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

Pangalawang ugat x = -1. Hatiin sa expression (x + 1). Isulat ang resultang equation (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0. Ang degree ay bumaba sa pangalawa, samakatuwid, ang equation ay maaaring magkaroon ng dalawa pang ugat. Upang mahanap ang mga ito, lutasin ang quadratic equation: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

Ang discriminant ay isang negatibong halaga, na nangangahulugan na ang equation ay wala nang tunay na mga ugat. Hanapin ang mga kumplikadong ugat ng equation: x = (-2 + i √11)/2 at x = (-2 – i √11)/2.

Ang isa pang paraan para sa paglutas ng isang mas mataas na degree na equation ay ang pagbabago ng mga variable upang parisukat ito. Ginagamit ang diskarteng ito kapag ang lahat ng kapangyarihan ng equation ay pantay, halimbawa: x^4 - 13 x² + 36 = 0

Ngayon hanapin ang mga ugat ng orihinal na equation: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Tip 10: Paano Matukoy ang Mga Redox Equation

Ang isang kemikal na reaksyon ay isang proseso ng pagbabagong-anyo ng mga sangkap na nangyayari na may pagbabago sa kanilang komposisyon. Ang mga sangkap na pumapasok sa reaksyon ay tinatawag na inisyal, at ang mga nabuo bilang resulta ng prosesong ito ay tinatawag na mga produkto. Ito ay nangyayari na sa panahon kemikal na reaksyon binabago ng mga elementong bumubuo sa panimulang materyales ang kanilang estado ng oksihenasyon. Iyon ay, maaari nilang tanggapin ang mga electron ng ibang tao at ibigay ang kanilang sarili. Sa parehong mga kaso, nagbabago ang kanilang singil. Ang ganitong mga reaksyon ay tinatawag na mga reaksiyong redox.