2 paralelogram ang mga katangian at katangian nito. Proyekto ng pananaliksik na "parallelogram at mga katangian nito"
Ang konsepto ng paralelogram
Kahulugan 1
Paralelogram ay isang may apat na gilid kung saan ang magkabilang panig ay parallel sa isa't isa (Larawan 1).
Larawan 1.
Ang paralelogram ay may dalawang pangunahing katangian. Isaalang-alang natin sila nang walang patunay.
Ari-arian 1: Ang magkasalungat na panig at anggulo ng isang paralelogram ay pantay, ayon sa pagkakabanggit, sa bawat isa.
Ari-arian 2: Ang mga diagonal na iginuhit sa isang paralelogram ay hinahati ng kanilang intersection point.
Mga tampok ng paralelogram
Isaalang-alang ang tatlong katangian ng isang paralelogram at ipakita ang mga ito sa anyo ng mga theorems.
Teorama 1
Kung ang dalawang gilid ng isang quadrilateral ay pantay-pantay sa isa't isa at parallel din, kung gayon ang quadrangle na ito ay magiging parallelogram.
Patunay.
Bigyan tayo ng quadrilateral $ ABCD$. Kung saan $AB||CD$ at $AB=CD$ Gumuhit tayo ng diagonal na $AC$ dito (Larawan 2).
Figure 2.
Isaalang-alang ang magkatulad na linya na $AB$ at $CD$ at ang kanilang secant na $AC$. Pagkatapos
\[\angle CAB=\angle DCA\]
parang mga crosswise na sulok.
Ayon sa $I$ na pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok,
dahil ang $AC$ ang kanilang karaniwang panig, at $AB=CD$ ayon sa pagpapalagay. ibig sabihin
\[\angle DAC=\angle ACB\]
Isaalang-alang ang mga linyang $AD$ at $CB$ at ang kanilang secant na $AC$; sa pamamagitan ng huling pagkakapantay-pantay ng mga cross-lying na anggulo, nakuha namin ang $AD||CB$.) Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan ng $1$, ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.
Napatunayan na ang theorem.
Teorama 2
Kung ang magkasalungat na gilid ng isang quadrilateral ay pantay, kung gayon ito ay isang paralelogram.
Patunay.
Bigyan tayo ng quadrilateral $ ABCD$. Kung saan ang $AD=BC$ at $AB=CD$. Gumuhit tayo ng diagonal na $AC$ dito (Larawan 3).
Larawan 3
Dahil ang $AD=BC$, $AB=CD$, at $AC$ ay isang karaniwang panig, pagkatapos ay sa pamamagitan ng $III$ triangle equality test,
\[\triangle DAC=\triangle ACB\]
\[\angle DAC=\angle ACB\]
Isaalang-alang ang mga linyang $AD$ at $CB$ at ang kanilang secant na $AC$, sa pamamagitan ng huling pagkakapantay-pantay ng mga cross-lying na anggulo ay makukuha natin ang $AD||CB$. Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan ng $1$, ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.
\[\angle DCA=\angle CAB\]
Isaalang-alang ang mga linyang $AB$ at $CD$ at ang kanilang secant na $AC$, sa pamamagitan ng huling pagkakapantay-pantay ng mga cross-lying na anggulo ay makukuha natin ang $AB||CD$. Samakatuwid, ayon sa Depinisyon 1, ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.
Napatunayan na ang theorem.
Teorama 3
Kung ang mga diagonal na iginuhit sa isang may apat na gilid ay nahahati sa dalawang pantay na bahagi sa pamamagitan ng kanilang intersection point, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.
Patunay.
Bigyan tayo ng quadrilateral $ ABCD$. Iguhit natin ang mga dayagonal na $AC$ at $BD$ dito. Hayaang magsalubong ang mga ito sa puntong $O$ (Larawan 4).
Larawan 4
Dahil, sa pamamagitan ng kondisyon na $BO=OD,\ AO=OC$, at ang mga anggulo na $\angle COB=\angle DOA$ ay patayo, kung gayon, sa pamamagitan ng $I$ triangle equality test,
\[\triangle BOC=\triangle AOD\]
\[\angle DBC=\angle BDA\]
Isaalang-alang ang mga linyang $BC$ at $AD$ at ang kanilang secant na $BD$, ayon sa huling pagkakapantay-pantay ng mga cross-lying na anggulo ay makukuha natin ang $BC||AD$. Gayundin ang $BC=AD$. Samakatuwid, ayon sa Theorem $1$, ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.
Balangkas ng aralin.
Algebra Baitang 8
Guro Sysoi A.K.
Paaralan 1828
Paksa ng aralin: "Parallelogram at mga katangian nito"
Uri ng aralin: pinagsama
Layunin ng Aralin:
1) Tiyakin ang asimilasyon ng isang bagong konsepto - isang paralelogram at mga katangian nito
2) Ipagpatuloy ang pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan upang malutas ang mga problemang geometriko;
3) Pag-unlad ng isang kultura ng pagsasalita sa matematika
Plano ng aralin:
(Slide 1)
Ipinapakita ng slide ang pahayag ni Lewis Carroll. Ipaalam sa mga mag-aaral ang layunin ng aralin. Nasusuri ang kahandaan ng mga mag-aaral para sa aralin.
2. Pag-update ng kaalaman
(Slide 2)
Sa board na mga gawain para sa oral na gawain. Inaanyayahan ng guro ang mga mag-aaral na isipin ang mga problemang ito at itaas ang kanilang mga kamay sa mga nakakaunawa kung paano lutasin ang problema. Pagkatapos malutas ang dalawang problema, tinawag ang isang mag-aaral sa pisara upang patunayan ang theorem sa kabuuan ng mga anggulo, na nakapag-iisa na gumagawa ng karagdagang mga konstruksyon sa pagguhit at pinatutunayan ang teorama nang pasalita.
Ginagamit ng mga mag-aaral ang formula para sa kabuuan ng mga anggulo ng isang polygon:
3. Pangunahing katawan
(Slide 3)
Nasa pisara ang kahulugan ng paralelogram. Ang guro ay nagsasalita tungkol sa isang bagong pigura at bumubuo ng isang kahulugan, na ginagawa ang mga kinakailangang paliwanag gamit ang pagguhit. Pagkatapos, sa checkered na bahagi ng pagtatanghal, gamit ang isang marker at isang ruler, ay nagpapakita kung paano gumuhit ng isang paralelogram (ilang mga kaso ay posible)
(Slide 4)
Binubalangkas ng guro ang unang katangian ng paralelogram. Anyayahan ang mga mag-aaral na sabihin, ayon sa larawan, kung ano ang ibinigay at kung ano ang kailangang patunayan. Pagkatapos nito, lalabas sa pisara ang ibinigay na gawain. Ang mga mag-aaral ay hulaan (marahil sa tulong ng isang guro) na ang nais na pagkakapantay-pantay ay dapat patunayan sa pamamagitan ng mga pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, na maaaring makuha sa pamamagitan ng pagguhit ng isang dayagonal (isang dayagonal ay lilitaw sa pisara). Susunod, hulaan ng mga mag-aaral kung bakit pantay ang mga tatsulok at tinatawag ang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok (lumalabas ang kaukulang anyo). Oral na ipaalam ang mga katotohanan na kinakailangan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok (sa kanilang pangalan, lumilitaw ang kaukulang visualization). Susunod, ang mga mag-aaral ay bumalangkas ng pag-aari ng pantay na tatsulok, lumilitaw ito sa anyo ng punto 3 ng patunay at pagkatapos ay nakapag-iisa na kumpletuhin ang patunay ng teorama nang pasalita.
(Slide 5)
Binubalangkas ng guro ang pangalawang katangian ng paralelogram. Lumilitaw sa pisara ang isang guhit ng paralelogram. Nag-aalok ang guro na sabihin mula sa larawan kung ano ang ibinigay, kung ano ang kailangang patunayan. Matapos maiulat nang tama ng mga mag-aaral kung ano ang ibinigay at kung ano ang kailangang patunayan, lilitaw ang kondisyon ng theorem. Hulaan ng mga mag-aaral na ang pagkakapantay-pantay ng mga bahagi ng mga dayagonal ay mapapatunayan sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulokAOB at COD. Gamit ang nakaraang pag-aari ng isang paralelogram, hulaan ang tungkol sa pagkakapantay-pantay ng mga panigAB at CD. Pagkatapos ay naiintindihan nila na kinakailangan upang makahanap ng pantay na mga anggulo at, gamit ang mga katangian ng magkatulad na linya, pinatutunayan nila ang pagkakapantay-pantay ng katabi ng pantay na partido mga sulok. Ang mga yugtong ito ay makikita sa slide. Ang katotohanan ng teorama ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok - binibigkas ng mga mag-aaral ang kaukulang visualization sa slide.
(Slide 6)
Binubalangkas ng guro ang ikatlong katangian ng paralelogram. Depende sa oras na natitira hanggang sa katapusan ng aralin, maaaring bigyan ng guro ang mga mag-aaral ng pagkakataon na patunayan ang ari-arian na ito sa kanilang sarili, o limitahan ito sa pagbabalangkas nito, at ipaubaya ang mismong patunay sa mga mag-aaral bilang takdang aralin. Ang patunay ay maaaring batay sa kabuuan ng mga anggulo ng inscribed na polygon, na naulit sa simula ng aralin, o sa kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo para sa dalawang magkatulad na linya.AD at BC, at isang secant, halimbawaAB.
4. Pag-aayos ng materyal
Sa yugtong ito, ang mga mag-aaral, gamit ang mga naunang pinag-aralan na theorems, ay malulutas ang mga problema. Ang mga ideya para sa paglutas ng problema ay pinipili ng mga mag-aaral sa kanilang sarili. Dahil maraming posibleng pagpipilian sa disenyo at lahat sila ay nakasalalay sa kung paano hahanapin ng mga mag-aaral ang solusyon sa problema, walang visualization ng solusyon sa mga problema, at ang mga mag-aaral ay nakapag-iisa na gumuhit ng bawat yugto ng solusyon sa isang hiwalay na board. na may nakasulat na solusyon sa isang kuwaderno.
(Slide 7)
Lumilitaw ang kondisyon ng gawain. Iminumungkahi ng guro ang pagbabalangkas ng "Given" ayon sa kondisyon. Matapos ang tamang pagbuo ng mga mag-aaral maikling tala Ang mga kundisyon sa pisara ay lilitaw na "Ibinigay". Ang proseso ng paglutas ng problema ay maaaring magmukhang ganito:
Draw height BH (na-render)
Ang Triangle AHB ay isang right triangle. Ang anggulo A ay katumbas ng anggulo C at katumbas ng 30 0 (sa pamamagitan ng pag-aari ng magkasalungat na mga anggulo sa isang paralelogram). 2BH \u003d AB (sa pamamagitan ng pag-aari ng binti na nakahiga sa tapat ng anggulo sa 30 0 in kanang tatsulok). Kaya AB = 13 cm.
AB \u003d CD, BC \u003d AD (sa pamamagitan ng pag-aari ng magkabilang panig sa isang paralelogram) Kaya AB \u003d CD \u003d 13cm. Dahil ang perimeter ng parallelogram ay 50 cm, pagkatapos ay BC \u003d AD \u003d (50 - 26): 2 \u003d 12 cm.
Sagot: AB=CD=13cm, BC=AD=12cm.
(Slide 8)
Lumilitaw ang kondisyon ng gawain. Iminumungkahi ng guro ang pagbabalangkas ng "Given" ayon sa kondisyon. Pagkatapos ay lilitaw ang "Dano" sa screen. Sa tulong ng mga pulang linya, ang isang quadrilateral ay napili, tungkol sa kung saan kailangan mong patunayan na ito ay isang paralelogram. Ang proseso ng paglutas ng problema ay maaaring magmukhang ganito:
kasi Ang BK at MD ay patayo sa parehong linya, pagkatapos ay ang mga linya ng BK at MD ay parallel.
Sa pamamagitan ng mga katabing sulok maipapakita na ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo sa mga linyang BM at KD at secant MD ay katumbas ng 180 0 . Samakatuwid, ang mga linyang ito ay parallel.
Dahil ang magkasalungat na gilid ng quadrilateral BMDK ay pairwise parallel, ang quadrilateral na ito ay isang parallelogram.
5. Pagtatapos ng aralin. pag-uugali ng kinalabasan.
(Slide 8)
Mga tanong sa slide bagong paksa kung saan tumugon ang mga mag-aaral.
Ang parallelogram ay isang may apat na gilid na ang magkabilang panig ay magkapareho sa mga pares. Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng base nito (a) at taas nito (h). Maaari mo ring mahanap ang lugar nito sa pamamagitan ng dalawang gilid at isang anggulo at sa pamamagitan ng mga dayagonal.
Mga katangian ng paralelogram
1. Magkapareho ang magkabilang panig.
Una sa lahat, iguhit ang dayagonal \(AC \) . Dalawang tatsulok ang nakuha: \(ABC \) at \(ADC \) .
Dahil ang \(ABCD \) ay isang paralelogram, totoo ang sumusunod:
\(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 \) parang nakahiga.
\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 \) parang nakahiga.
Samakatuwid, (sa pangalawang batayan: at ang \(AC\) ay karaniwan).
At, samakatuwid, \(\tatsulok ABC = \tatsulok ADC \), pagkatapos ay \(AB = CD \) at \(AD = BC \) .
2. Magkapareho ang magkasalungat na anggulo.
Ayon sa patunay katangian 1 Alam natin yan \(\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 \). Kaya ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ay: \(\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 \). Kung ganoon \(\tatsulok ABC = \tatsulok ADC \) makuha natin ang \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .
3. Ang mga dayagonal ay hinahati ng intersection point.
Sa pamamagitan ng ari-arian 1 alam natin na magkapareho ang magkabilang panig: \(AB = CD \) . Muli nating napapansin ang pantay na mga anggulo na nakahiga sa crosswise.
Kaya, ito ay nakikita na \(\triangle AOB = \triangle COD \) ayon sa pangalawang criterion para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok (dalawang anggulo at isang gilid sa pagitan nila). Ibig sabihin, \(BO = OD \) (sa tapat ng mga sulok \(\angle 2 \) at \(\angle 1 \) ) at \(AO = OC \) (sa tapat ng mga sulok \(\angle 3 \) at \( \angle 4 \) ayon sa pagkakabanggit).
Mga tampok ng paralelogram
Kung isang tanda lamang ang naroroon sa iyong problema, kung gayon ang figure ay isang paralelogram at maaari mong gamitin ang lahat ng mga katangian ng figure na ito.
Para sa mas mahusay na pagsasaulo, tandaan na ang tanda ng paralelogram ay sasagot sa sumusunod na tanong - "paano malalaman?". Iyon ay, kung paano malalaman na ang isang ibinigay na pigura ay isang paralelogram.
1. Ang paralelogram ay isang may apat na gilid na ang dalawang panig ay magkapantay at magkatulad.
\(AB = CD \) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD \)- paralelogram.
Isaalang-alang natin nang mas detalyado. Bakit \(AD || BC \) ?
\(\tatsulok ABC = \tatsulok ADC \) sa ari-arian 1: \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) bilang crosswise na may parallel na \(AB \) at \(CD \) at secant \(AC \) .
Ngunit kung \(\tatsulok ABC = \tatsulok ADC \), pagkatapos ay \(\angle 3 = \angle 4 \) (sila ay nasa tapat ng \(AD || BC \) (\(\angle 3 \) at \(\angle 4 \) - magkatapat din ang nakahiga).
Ang unang tanda ay tama.
2. Ang paralelogram ay isang may apat na gilid na ang magkabilang panig ay pantay.
Ang \(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) ay isang paralelogram.
Isaalang-alang natin ang tampok na ito. Iguhit muli ang dayagonal na \(AC \).
Sa pamamagitan ng ari-arian 1\(\tatsulok ABC = \tatsulok ACD \).
Ito ay sumusunod na: \(\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC \) at \(\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD \), ibig sabihin, ang \(ABCD\) ay isang paralelogram.
Ang pangalawang tanda ay tama.
3. Ang paralelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang anggulo ay pantay.
\(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \Rightarrow ABCD \)- paralelogram.
\(2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) \)(dahil \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) ayon sa kahulugan).
Iyon pala, \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \). Ngunit ang \(\alpha \) at \(\beta \) ay panloob na isang panig sa secant \(AB \) .
Gitnang antas
Paralelogram, parihaba, rhombus, parisukat (2019)
1. Paralelogram
Tambalang salitang "paralelogram"? At sa likod nito ay isang napakasimpleng pigura.
Well, iyon ay, kumuha kami ng dalawang parallel na linya:
Tinawid ng dalawa pa:
At sa loob - isang paralelogram!
Ano ang mga katangian ng paralelogram?
Mga katangian ng paralelogram.
Ibig sabihin, ano ang maaaring gamitin kung ang isang paralelogram ay ibinigay sa problema?
Ang tanong na ito ay sinasagot ng sumusunod na teorama:
Iguhit natin ang lahat nang detalyado.
Ano ang unang punto ng teorama? At ang katotohanan na kung MAY paralelogram ka, kung gayon sa lahat ng paraan
Ang pangalawang talata ay nangangahulugan na kung mayroong isang paralelogram, kung gayon, muli, sa lahat ng paraan:
Well, at sa wakas, ang pangatlong punto ay nangangahulugan na kung MAY paralelogram ka, siguraduhing:
Tingnan kung ano ang isang kayamanan ng pagpili? Ano ang dapat gamitin sa gawain? Subukang tumuon sa tanong ng gawain, o subukan lang ang lahat - ang ilang uri ng "susi" ay gagawin.
At ngayon tanungin natin ang ating sarili ng isa pang tanong: kung paano makilala ang isang paralelogram "sa mukha"? Ano ang dapat mangyari sa isang quadrilateral upang magkaroon tayo ng karapatang bigyan ito ng "pamagat" ng isang paralelogram?
Ang tanong na ito ay sinasagot ng ilang mga palatandaan ng isang paralelogram.
Mga tampok ng paralelogram.
Pansin! Magsimula.
Paralelogram.
Bigyang-pansin: kung nakakita ka ng hindi bababa sa isang palatandaan sa iyong problema, mayroon kang eksaktong paralelogram, at maaari mong gamitin ang lahat ng mga katangian ng isang paralelogram.
2. Parihaba
Hindi ko akalain na magiging balita ito sa iyo.
Ang unang tanong ay: ang isang parihaba ba ay isang paralelogram?
Siyempre ito ay! Pagkatapos ng lahat, mayroon siyang - tandaan, ang aming sign 3?
At mula dito, siyempre, ito ay sumusunod na para sa isang parihaba, tulad ng para sa anumang parallelogram, at, at ang mga diagonal ay nahahati sa intersection point sa kalahati.
Ngunit mayroong isang parihaba at isang natatanging katangian.
Rectangle Property
Bakit kakaiba ang ari-arian na ito? Dahil walang ibang paralelogram na may pantay na diagonal. Bumalangkas tayo nang mas malinaw.
Bigyang-pansin: upang maging isang parihaba, ang isang quadrilateral ay dapat munang maging isang parallelogram, at pagkatapos ay ipakita ang pagkakapantay-pantay ng mga diagonal.
3. Brilyante
At muli ang tanong ay: ang isang rhombus ay isang paralelogram o hindi?
Sa buong kanan - isang paralelogram, dahil mayroon itong at (tandaan ang aming tanda 2).
At muli, dahil ang isang rhombus ay isang paralelogram, kung gayon dapat itong magkaroon ng lahat ng mga katangian ng isang paralelogram. Nangangahulugan ito na ang isang rhombus ay may magkasalungat na mga anggulo na pantay-pantay, ang magkabilang panig ay parallel, at ang mga diagonal ay hinahati sa punto ng intersection.
Mga Katangian ng Rhombus
Tingnan ang larawan:
Tulad ng sa kaso ng isang rektanggulo, ang mga katangiang ito ay natatangi, iyon ay, para sa bawat isa sa mga katangiang ito, maaari nating tapusin na hindi lamang tayo isang paralelogram, ngunit isang rhombus.
Mga palatandaan ng isang rhombus
At bigyang-pansin muli: dapat mayroong hindi lamang isang quadrilateral na may patayo na mga diagonal, ngunit isang paralelogram. Tiyaking:
Hindi, siyempre hindi, kahit na ang mga diagonal nito at patayo, at ang dayagonal ay ang panggitnang guhit ng mga anggulo u. Ngunit ... ang mga diagonal ay hindi nahahati, ang intersection point sa kalahati, samakatuwid - HINDI isang paralelogram, at samakatuwid ay HINDI isang rhombus.
Iyon ay, ang isang parisukat ay isang parihaba at isang rhombus sa parehong oras. Tingnan natin kung ano ang lalabas dito.
Malinaw ba kung bakit? - rhombus - ang bisector ng anggulo A, na katumbas ng. Kaya ito ay nahahati (at gayundin) sa dalawang anggulo sa kahabaan.
Well, medyo malinaw: ang mga diagonal ng rectangle ay pantay; Ang mga diagonal ng rhombus ay patayo, at sa pangkalahatan - ang mga diagonal ng parallelogram ay nahahati sa punto ng intersection sa kalahati.
GITNANG ANTAS
Mga katangian ng quadrilaterals. Paralelogram
Mga katangian ng paralelogram
Pansin! Ang mga salita " mga katangian ng paralelogram» nangangahulugan na kung mayroon kang gawain meron paralelogram, pagkatapos ay magagamit ang lahat ng sumusunod.
Theorem sa mga katangian ng isang paralelogram.
Sa anumang paralelogram:
Tingnan natin kung bakit ito totoo, sa madaling salita PATUNAYAN NAMIN teorama.
Kaya bakit 1) totoo?
Dahil ito ay isang paralelogram, kung gayon:
- parang nakahiga crosswise
- bilang nakahiga sa kabila.
Samakatuwid, (sa batayang II: at - pangkalahatan.)
Well, minsan, pagkatapos - iyon lang! - napatunayan.
Pero pala! Napatunayan din namin 2)!
Bakit? Ngunit pagkatapos ng lahat (tingnan ang larawan), iyon ay, ibig sabihin, dahil.
3 na lang ang natitira).
Upang gawin ito, kailangan mo pa ring gumuhit ng pangalawang dayagonal.
At ngayon nakikita natin iyon - ayon sa tanda ng II (ang anggulo at gilid "sa pagitan" nila).
Napatunayan ang mga ari-arian! Lumipat tayo sa mga palatandaan.
Mga tampok ng paralelogram
Alalahanin na ang tanda ng isang paralelogram ay sumasagot sa tanong na "paano malalaman?" Na ang pigura ay isang paralelogram.
Sa mga icon ay ganito:
Bakit? Masarap maunawaan kung bakit - sapat na iyon. Pero tingnan mo:
Well, nalaman namin kung bakit totoo ang sign 1.
Well, mas madali iyon! Gumuhit ulit tayo ng dayagonal.
Ibig sabihin:
At ay madali din. Pero... iba!
Ibig sabihin, . Wow! Ngunit din - panloob na isang panig sa isang secant!
Samakatuwid ang katotohanan na nangangahulugan na.
At kung titingnan mo mula sa kabilang panig, kung gayon sila ay panloob na isang panig sa isang secant! At samakatuwid.
Tingnan kung gaano ito kahusay?!
At muli lamang:
Eksaktong pareho, at.
Bigyang-pansin: kung nahanap mo kahit na isang tanda ng isang paralelogram sa iyong problema, pagkatapos ay mayroon ka eksakto paralelogram at maaari mong gamitin lahat katangian ng isang paralelogram.
Para sa kumpletong kalinawan, tingnan ang diagram:
Mga katangian ng quadrilaterals. Parihaba.
Mga katangian ng parihaba:
Ang punto 1) ay medyo halata - pagkatapos ng lahat, ang tanda 3 () ay natupad lamang
At punto 2) - sobrang importante. Kaya patunayan natin yan
Kaya, sa dalawang binti (at - pangkalahatan).
Well, dahil ang mga tatsulok ay pantay, kung gayon ang kanilang mga hypotenuse ay pantay din.
Napatunayan na!
At isipin, ang pagkakapantay-pantay ng mga diagonal ay isang natatanging pag-aari ng isang parihaba sa lahat ng parallelograms. Ibig sabihin, totoo ang sumusunod na pahayag
Tingnan natin kung bakit?
Kaya, (ibig sabihin ang mga anggulo ng paralelogram). Ngunit muli, tandaan na - isang paralelogram, at samakatuwid.
Ibig sabihin, . At, siyempre, sumusunod mula dito na ang bawat isa sa kanila Kung tutuusin, sa dami ng dapat nilang ibigay!
Dito natin napatunayan na kung paralelogram biglang (!) ay magiging pantay na diagonal, pagkatapos ito eksaktong parihaba.
Ngunit! Bigyang-pansin! Ito ay tungkol sa paralelograms! Wala kahit ano ang quadrilateral na may pantay na diagonal ay isang parihaba, at lamang paralelogram!
Mga katangian ng quadrilaterals. Rhombus
At muli ang tanong ay: ang isang rhombus ay isang paralelogram o hindi?
Sa buong kanan - isang paralelogram, dahil mayroon itong at (Tandaan ang aming tanda 2).
At muli, dahil ang isang rhombus ay isang parallelogram, dapat itong magkaroon ng lahat ng mga katangian ng isang paralelogram. Nangangahulugan ito na ang isang rhombus ay may magkasalungat na mga anggulo na pantay-pantay, ang magkabilang panig ay parallel, at ang mga diagonal ay hinahati sa punto ng intersection.
Ngunit mayroon ding mga espesyal na katangian. Nagformulate kami.
Mga Katangian ng Rhombus
Bakit? Buweno, dahil ang isang rhombus ay isang paralelogram, kung gayon ang mga diagonal nito ay nahahati sa kalahati.
Bakit? Oo, kaya naman!
Sa madaling salita, ang mga diagonal at naging bisectors ng mga sulok ng rhombus.
Tulad ng kaso ng isang parihaba, ang mga katangiang ito ay katangi-tangi, ang bawat isa sa kanila ay tanda rin ng rhombus.
Mga palatandaan ng rhombus.
Bakit ganon? At tingnan mo
Samakatuwid, at pareho ang mga tatsulok na ito ay isosceles.
Upang maging isang rhombus, ang isang quadrilateral ay dapat munang "maging" isang parallelogram, at pagkatapos ay ipakita na ang feature 1 o feature 2.
Mga katangian ng quadrilaterals. parisukat
Iyon ay, ang isang parisukat ay isang parihaba at isang rhombus sa parehong oras. Tingnan natin kung ano ang lalabas dito.
Malinaw ba kung bakit? Square - rhombus - ang bisector ng anggulo, na katumbas ng. Kaya ito ay nahahati (at gayundin) sa dalawang anggulo sa kahabaan.
Well, medyo malinaw: ang mga diagonal ng rectangle ay pantay; Ang mga diagonal ng rhombus ay patayo, at sa pangkalahatan - ang mga diagonal ng parallelogram ay nahahati sa punto ng intersection sa kalahati.
Bakit? Well, ilapat lang ang Pythagorean Theorem sa.
BUOD AT BATAYANG FORMULA
Mga katangian ng paralelogram:
- Ang magkasalungat na panig ay pantay: , .
- Ang mga magkasalungat na anggulo ay: , .
- Ang mga anggulo sa isang gilid ay nagdaragdag ng hanggang sa: , .
- Ang mga diagonal ay nahahati sa intersection point sa kalahati: .
Mga katangian ng parihaba:
- Ang mga dayagonal ng isang parihaba ay: .
- Ang rektanggulo ay isang paralelogram (lahat ng mga katangian ng isang paralelogram ay natutupad para sa isang parihaba).
Mga katangian ng rhombus:
- Ang mga dayagonal ng rhombus ay patayo: .
- Ang mga dayagonal ng isang rhombus ay ang mga bisector ng mga anggulo nito: ; ; ; .
- Ang rhombus ay isang parallelogram (lahat ng mga katangian ng isang paralelogram ay natutupad para sa isang rhombus).
Mga katangian ng parisukat:
Ang isang parisukat ay isang rhombus at isang parihaba sa parehong oras, samakatuwid, para sa isang parisukat, ang lahat ng mga katangian ng isang parihaba at isang rhombus ay natutupad. Pati na rin ang.
Ito ay isang may apat na gilid na ang magkabilang panig ay magkaparehong magkaparehas.
Ari-arian 1 . Anumang dayagonal ng isang paralelogram ay hinahati ito sa dalawang pantay na tatsulok.
Patunay . Ayon sa II sign (cross-lying corners and a common side).
Napatunayan ang teorama.
Ari-arian 2 . Sa isang paralelogram, ang magkabilang panig ay pantay at ang magkasalungat na mga anggulo ay pantay.
Patunay .
Gayundin,
Napatunayan ang teorama.
Property 3. Sa isang diagonal parallelogram, ang intersection point ay nahahati sa kalahati.
Patunay .
Napatunayan ang teorama.
Ari-arian 4 . Ang angle bisector ng isang parallelogram, intersecting sa kabaligtaran, hinahati ito sa isang isosceles triangle at isang trapezoid. (Ch. salita - tuktok - dalawang isosceles? -ka).
Patunay .
Napatunayan ang teorama.
Ari-arian 5 . Sa isang paralelogram, ang isang segment na may mga dulo sa magkabilang panig, na dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal, ay nahahati sa puntong ito.
Patunay .
Napatunayan ang teorama.
Ari-arian 6 . Ang anggulo sa pagitan ng mga taas na bumaba mula sa vertex ng obtuse angle ng parallelogram ay katumbas ng acute angle ng parallelogram.
Patunay .
Napatunayan ang teorama.
Ari-arian 7 . Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang paralelogram na katabi ng isang panig ay 180°.
Patunay .
Napatunayan ang teorama.
Konstruksyon ng bisector ng isang anggulo. Mga katangian ng angle bisector ng isang tatsulok.
1) Bumuo ng arbitrary ray DE.
2) Sa isang naibigay na sinag, bumuo ng isang arbitrary na bilog na may sentro sa tuktok at pareho
nakasentro sa simula ng itinayong sinag.
3) F at G - mga punto ng intersection ng bilog na may mga gilid ng ibinigay na anggulo, H - punto ng intersection ng bilog na may constructed ray
Bumuo ng bilog na may sentro sa punto H at radius na katumbas ng FG.
5) I - ang punto ng intersection ng mga bilog ng constructed beam.
6) Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng vertex at I.
IDH - kinakailangang anggulo.
)
Ari-arian 1 . Ang angle bisector ng isang tatsulok ay naghahati sa kabaligtaran na bahagi sa proporsyon sa mga katabing panig.
Patunay . Hayaang ang x, y ay mga segment ng gilid c. Ipinagpapatuloy namin ang ray BC. Sa ray BC, nag-plot kami ng isang segment na CK mula sa C na katumbas ng AC.
