Sumulat ng isang equation para sa isang linya parallel sa vector. Tuwid na linya

Equation ng isang linyang dumadaan puntong ito sa direksyong ito. Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya. Ang kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawang tuwid na linya. Pagtukoy sa punto ng intersection ng dalawang linya

1. Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto A(x 1 , y 1) sa isang ibinigay na direksyon, na tinutukoy ng slope k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ang equation na ito ay tumutukoy sa isang lapis ng mga linyang dumadaan sa isang punto A(x 1 , y 1), na tinatawag na beam center.

2. Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos: A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2), nakasulat tulad nito:

Ang angular coefficient ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto ay tinutukoy ng formula

3. Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya A At B ay ang anggulo kung saan dapat paikutin ang unang tuwid na linya A sa paligid ng punto ng intersection ng mga linyang ito pakaliwa hanggang sa ito ay tumutugma sa pangalawang linya B. Kung ang dalawang tuwid na linya ay ibinigay ng mga equation na may slope

y = k 1 x + B 1 ,

Ang linyang dumadaan sa puntong K(x 0 ; y 0) at kahanay ng linyang y = kx + a ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Kung saan ang k ay ang slope ng linya.

Alternatibong formula:
Ang isang linyang dumadaan sa puntong M 1 (x 1 ; y 1) at kahanay sa linyang Ax+By+C=0 ay kinakatawan ng equation

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Halimbawa Blg. 2. Isulat ang equation ng isang linya na kahanay sa linyang 2x + 5y = 0 at bumubuo, kasama ng mga coordinate axes, isang tatsulok na ang lugar ay 5.
Solusyon . Dahil ang mga linya ay parallel, ang equation ng nais na linya ay 2x + 5y + C = 0. Ang lugar ng isang right triangle, kung saan ang a at b ang mga binti nito. Hanapin natin ang mga intersection point ng nais na linya na may mga coordinate axes:
;
.
Kaya, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Ipalit natin ito sa formula para sa lugar: . Kumuha kami ng dalawang solusyon: 2x + 5y + 10 = 0 at 2x + 5y – 10 = 0.

Halimbawa Blg. 3. Sumulat ng equation para sa isang linyang dumadaan sa punto (-2; 5) at kahanay sa linyang 5x-7y-4=0.
Solusyon. Ang tuwid na linyang ito ay maaaring katawanin ng equation na y = 5 / 7 x – 4 / 7 (dito a = 5 / 7). Ang equation ng gustong linya ay y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .

Halimbawa Blg. 4. Nang malutas ang halimbawa 3 (A=5, B=-7) gamit ang formula (2), makikita natin ang 5(x+2)-7(y-5)=0.

Halimbawa Blg. 5. Sumulat ng equation para sa isang linyang dumadaan sa punto (-2;5) at kahanay sa linyang 7x+10=0.
Solusyon. Dito A=7, B=0. Ang formula (2) ay nagbibigay ng 7(x+2)=0, i.e. x+2=0. Ang formula (1) ay hindi naaangkop, dahil ang equation na ito ay hindi maaaring lutasin na may kinalaman sa y (ang tuwid na linyang ito ay parallel sa ordinate axis).

Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos. Sa artikulo" " Ipinangako ko sa iyo na tingnan ang pangalawang paraan upang malutas ang mga ipinakitang problema sa paghahanap ng derivative, na binigyan ng isang graph ng isang function at isang tangent sa graph na ito. Tatalakayin natin ang pamamaraang ito sa , huwag palampasin! Bakit sa susunod?

Ang katotohanan ay ang formula para sa equation ng isang tuwid na linya ay gagamitin doon. Siyempre, maaari lang naming ipakita ang formula na ito at payuhan kang pag-aralan ito. Ngunit mas mainam na ipaliwanag kung saan ito nanggaling (kung paano ito hinango). Ito ay kinakailangan! Kung nakalimutan mo ito, maaari mong mabilis na maibalik itohindi magiging mahirap. Ang lahat ay nakabalangkas sa ibaba nang detalyado. Kaya, mayroon kaming dalawang puntos A sa coordinate plane(x 1;y 1) at B(x 2;y 2), ang isang tuwid na linya ay iginuhit sa pamamagitan ng mga ipinahiwatig na punto:

Narito ang direktang formula mismo:

*Iyon ay, kapag pinapalitan ang mga tiyak na coordinate ng mga puntos, nakakakuha tayo ng equation ng form na y=kx+b.

**Kung "sinasaulo" mo lang ang formula na ito, malaki ang posibilidad na malito sa mga indeks kung kailan X. Bilang karagdagan, ang mga indeks ay maaaring italaga sa iba't ibang paraan, halimbawa:

Kaya naman mahalagang maunawaan ang kahulugan.

Ngayon ang derivation ng formula na ito. Ang lahat ay napaka-simple!

Ang mga Triangles ABE at ACF ay magkatulad sa matinding anggulo (ang unang tanda ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok). Ito ay sumusunod mula dito na ang mga ratios ng mga kaukulang elemento ay pantay, iyon ay:

Ngayon ay ipinapahayag lang namin ang mga segment na ito sa pamamagitan ng pagkakaiba sa mga coordinate ng mga puntos:

Siyempre, walang magiging error kung isusulat mo ang mga ugnayan ng mga elemento sa ibang pagkakasunud-sunod (ang pangunahing bagay ay upang mapanatili ang pagkakapare-pareho):

Ang magiging resulta ay ang parehong equation ng linya. Ito lang!

Iyon ay, gaano man ang mga punto sa kanilang sarili (at ang kanilang mga coordinate) ay itinalaga, sa pamamagitan ng pag-unawa sa formula na ito ay palagi mong mahahanap ang equation ng isang tuwid na linya.

Ang formula ay maaaring makuha gamit ang mga katangian ng mga vector, ngunit ang prinsipyo ng derivation ay magiging pareho, dahil pag-uusapan natin ang proporsyonalidad ng kanilang mga coordinate. Sa kasong ito, gumagana ang parehong pagkakapareho ng mga tamang tatsulok. Sa palagay ko, ang konklusyon na inilarawan sa itaas ay mas malinaw)).

Tingnan ang output sa pamamagitan ng vector coordinates >>>

Hayaang bumuo ng isang tuwid na linya sa coordinate plane na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos na A(x 1;y 1) at B(x 2;y 2). Markahan natin ang isang di-makatwirang punto C sa linya na may mga coordinate ( x; y). Tinutukoy din namin ang dalawang vectors:

Ito ay kilala na para sa mga vectors na nakahiga sa mga parallel na linya (o sa parehong linya), ang kanilang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal, iyon ay:

— isinulat namin ang pagkakapantay-pantay ng mga ratios ng kaukulang mga coordinate:

Tingnan natin ang isang halimbawa:

Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos na may mga coordinate (2;5) at (7:3).

Hindi mo na kailangang bumuo ng tuwid na linya mismo. Inilapat namin ang formula:

Mahalagang maunawaan mo ang mga sulat kapag binubuo ang ratio. Hindi ka maaaring magkamali kung isusulat mo:

Sagot: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

Upang matiyak na ang resultang equation ay natagpuan nang tama, siguraduhing suriin - palitan ang mga coordinate ng data sa kondisyon ng mga punto dito. Dapat tama ang mga equation.

Iyon lang. Umaasa ako na ang materyal ay naging kapaki-pakinabang sa iyo.

Taos-puso, Alexander.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.

Mga katangian ng isang tuwid na linya sa Euclidean geometry.

Ang isang walang katapusang bilang ng mga tuwid na linya ay maaaring iguhit sa anumang punto.

Sa pamamagitan ng alinmang dalawang di-nagtutugmang punto ay maaaring gumuhit ng isang tuwid na linya.

Dalawang magkaibang linya sa isang eroplano ay maaaring magsalubong sa isang punto o ay

parallel (sumusunod mula sa nauna).

Sa three-dimensional na espasyo, mayroong tatlong opsyon para sa relatibong posisyon ng dalawang linya:

• nagsalubong ang mga linya;

• ang mga linya ay parallel;

• nagsalubong ang mga tuwid na linya.

Diretso linya— algebraic curve ng unang order: in Sistema ng Cartesian mga coordinate ng tuwid na linya

ay ibinigay sa eroplano sa pamamagitan ng isang equation ng unang degree (linear equation).

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Anumang tuwid na linya sa eroplano ay maaaring tukuyin ng isang first-order equation

Ax + Wu + C = 0,

at pare-pareho A, B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation pangkalahatan

equation ng isang tuwid na linya. Depende sa mga halaga ng mga constants A, B At SA Posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- isang tuwid na linya ang dumadaan sa pinanggalingan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Ni + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis OU

. B = C = 0, A ≠0- ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis OU

. A = C = 0, B ≠0- ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis Oh

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring katawanin sa sa iba't ibang anyo depende sa anumang ibinigay

paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya mula sa isang punto at isang normal na vector.

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, isang vector na may mga bahagi (A, B)

patayo sa linya na ibinigay ng equation

Ax + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang punto A(1, 2) patayo sa vector (3, -1).

Solusyon. Sa A = 3 at B = -1, buuin natin ang equation ng tuwid na linya: 3x - y + C = 0. Upang mahanap ang coefficient C

Palitan natin ang mga coordinate ng ibinigay na punto A sa resultang expression. Nakukuha natin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid

C = -1. Kabuuan: ang kinakailangang equation: 3x - y - 1 = 0.

Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos.

Hayaang magbigay ng dalawang puntos sa espasyo M 1 (x 1 , y 1 , z 1) At M2 (x 2, y 2, z 2), Pagkatapos equation ng isang linya,

dumaan sa mga puntong ito:

Kung alinman sa mga denominador katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero. Naka-on

eroplano, ang equation ng tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

Kung x 1 ≠ x 2 At x = x 1, Kung x 1 = x 2 .

Maliit na bahagi = k tinawag dalisdis tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng linyang dumadaan sa mga puntos A(1, 2) at B(3, 4).

Solusyon. Ang paglalapat ng formula na nakasulat sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at slope.

Kung ang pangkalahatang equation ng linya Ax + Wu + C = 0 patungo sa:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang nagresultang equation

equation ng isang tuwid na linya na may slope k.

Equation ng isang tuwid na linya mula sa isang punto at isang vector ng direksyon.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa punto na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang gawain

isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang nagdidirekta na vector ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Bawat non-zero vector (α 1 , α 2), na ang mga bahagi ay nakakatugon sa kondisyon

Aα 1 + Bα 2 = 0 tinawag nagdidirekta ng vector ng isang tuwid na linya.

Ax + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa puntong A(1, 2).

Solusyon. Hahanapin namin ang equation ng nais na linya sa form: Ax + By + C = 0. Ayon sa kahulugan,

Ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga sumusunod na kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

sa x = 1, y = 2 nakukuha namin C/A = -3, ibig sabihin. kinakailangang equation:

x + y - 3 = 0

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ах + Ву + С = 0 С≠0, kung gayon, paghahati sa -С, nakukuha namin:

o kung saan

Geometric na kahulugan coefficients ay ang coefficient a ay ang coordinate ng intersection point

tuwid na may axis oh A b- coordinate ng punto ng intersection ng linya na may axis OU.

Halimbawa. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng linyang ito sa mga segment.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal na equation ng isang linya.

Kung magkabilang panig ng equation Ax + Wu + C = 0 hatiin sa bilang na tinatawag na

normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal na equation ng isang linya.

Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang μ*C< 0.

R- ang haba ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa tuwid na linya,

A φ - ang anggulo na nabuo ng patayo na ito sa positibong direksyon ng axis Oh.

Halimbawa. Ang pangkalahatang equation ng linya ay ibinigay 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang magsulat Iba't ibang uri mga equation

itong tuwid na linya.

Ang equation ng linyang ito sa mga segment:

Ang equation ng linyang ito sa slope: (hatiin sa 5)

Equation ng isang linya:

cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p = 5.

Dapat tandaan na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya,

parallel sa mga palakol o dumadaan sa pinanggalingan.

Ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Kung dalawang linya ang ibinigay y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, pagkatapos ay ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito

ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2. Dalawang linya ay patayo

Kung k 1 = -1/ k 2 .

Teorama.

Direkta Ax + Wu + C = 0 At A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallel kapag ang mga coefficient ay proporsyonal

A 1 = λA, B 1 = λB. Kung din С 1 = λС, pagkatapos ay nagtutugma ang mga linya. Mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya

ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na linya.

Kahulugan. Linya na dumadaan sa isang punto M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y = kx + b

kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.

Teorama. Kung bibigyan ng punto M(x 0, y 0), pagkatapos ay ang distansya sa tuwid na linya Ax + Wu + C = 0 tinukoy bilang:

Patunay. Hayaan ang punto M 1 (x 1, y 1)- ang base ng isang patayo ay bumaba mula sa isang punto M para sa isang naibigay

direkta. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga puntos M At M 1:

(1)

Mga coordinate x 1 At sa 1 ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng linyang dumadaan ibinigay na punto M 0 patayo

binigay na tuwid na linya. Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, makuha namin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa t.u A(ha; wa) at pagkakaroon ng slope k, nakasulat sa form

y – ua=k (x – xa).(5)

Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos T. A (x 1; y 1) atbp. B (x 2; y 2), ay may anyo

Kung puntos A At SA tukuyin ang isang tuwid na linya parallel sa Ox axis (y 1 = y 2) o Oy axis (x 1 = x 2), pagkatapos ang equation ng naturang tuwid na linya ay nakasulat nang naaayon sa anyo:

y = y 1 o x = x 1(7)

Normal na equation ng isang linya

Hayaang magbigay ng isang tuwid na linya C, na dumadaan sa isang ibinigay na puntong Mo(Ho;Vo) at patayo sa vector (A;B). Ang anumang vector na patayo sa isang naibigay na linya ay tinatawag na nito normal na vector. Pumili tayo ng di-makatwirang punto sa tuwid na linya (x;y). Tapos, ibig sabihin sila produktong scalar. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat sa mga coordinate

A(x-x o)+B(y-y o)=0 (8)

Ang equation (8) ay tinatawag normal na equation ng isang linya .

Parametric at canonical equation ng linya

Hayaan itong maging tuwid l ibinigay ng panimulang punto M 0 (x 0; y 0) at vector ng direksyon ( isang 1;a 2),. Hayaan ang t. M(x;y)– anumang punto na nakahiga sa isang tuwid na linya l. Pagkatapos ang vector ay collinear sa vector. Samakatuwid, = . Sa pagsulat ng equation na ito sa mga coordinate, nakukuha namin ang parametric equation ng tuwid na linya

Huwag nating isama ang parameter t sa equation (9). Posible ito dahil ang vector ay , at samakatuwid kahit isa sa mga coordinate nito ay iba sa zero.

Hayaan at , pagkatapos , at, samakatuwid,

Ang equation (10) ay tinatawag canonical equation ng linya may gabay na vector

=(a 1; a 2). Kung at 1 =0 at , pagkatapos ay kunin ang mga equation (9).

Tinukoy ng mga equation na ito ang isang tuwid na linya na parallel sa axis, OU at dumaan sa punto

M 0 (x 0; y 0).

x=x 0(11)

Kung , , kung gayon ang mga equation (9) ay kunin ang anyo

Tinukoy ng mga equation na ito ang isang tuwid na linya na parallel sa O axis X at dumaan sa punto

M 0 (x 0; y 0). Ang canonical equation ng naturang linya ay may anyo

y=y 0(12)

Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya. Ang kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawa

Direkta

Hayaang magbigay ng dalawang linya, na tinukoy ng mga pangkalahatang equation:

At

Pagkatapos ang anggulo φ sa pagitan nila ay tinutukoy ng formula:

(13)

Parallel na kondisyon 2 direktang: (14)

Kondisyon ng perpendicularity 2 direktang: (15)

Parallel na kondisyon sa kasong ito ay may anyo: (17)

Kondisyon ng perpendicularity tuwid: (18)

Kung dalawang linya ang ibinigay canonical equation:

At

pagkatapos ay ang anggulo φ sa pagitan ng mga linyang ito ay tinutukoy ng formula:

(19)

Parallel na kondisyon tuwid: (20)

Kondisyon ng perpendicularity direktang: (21)

Distansya mula sa punto hanggang linya

Distansya d mula sa punto M(x 1; y 1) sa isang tuwid na linya Ax+By+C=0 kinakalkula ng formula

(22)

Halimbawa ng pagpapatupad Praktikal na trabaho

Halimbawa 1. Bumuo ng linya 3 X- 2sa+6=0.

Solusyon: Upang makabuo ng isang tuwid na linya, sapat na malaman ang alinman sa dalawa sa mga punto nito, halimbawa, ang mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes. Point A ng intersection ng linya na may axis ng baka ay maaaring makuha kung sa equation ng tuwid na linya ay kukuha tayo ng y = 0. Pagkatapos ay mayroon tayong 3 X+6=0, ibig sabihin. X=-2. kaya, A(–2;0).

Pagkatapos SA intersection ng isang linya na may axis OU may abscissa X=0; samakatuwid, ang ordinate ng punto SA natagpuan mula sa equation –2 y+ 6=0, ibig sabihin. y=3. kaya, SA(0;3).

Halimbawa 2. Sumulat ng equation para sa isang tuwid na linya na humaharang sa negatibong kalahating eroplano OU isang segment na katumbas ng 2 unit at mga form na may axis Oh anggulo φ =30˚.

Solusyon: Ang tuwid na linya ay nag-intersect sa axis OU sa punto SA(0;–2) at may slope k=tg φ= = . Ipagpalagay sa equation (2) k= at b= –2, nakukuha namin ang kinakailangang equation

O kaya .

Halimbawa 3. A(–1; 2) at

SA(0;–3). (y patotoo: ang slope ng tuwid na linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula (3))

Solusyon: .Mula dito mayroon tayong . Ang pagpapalit ng mga coordinate sa equation na ito t.V, makuha namin: , ibig sabihin. paunang ordinate b= –3. Pagkatapos makuha namin ang equation.

Halimbawa 4. Pangkalahatang equation ng linya 2 X – 3sa– 6 = 0 ay humantong sa isang equation sa mga segment.

Solusyon: isulat ang equation na ito sa form 2 X– 3sa=6 at hatiin ang magkabilang panig ng libreng termino: . Ito ang equation ng linyang ito sa mga segment.

Halimbawa 5. Sa pamamagitan ng punto A(1;2) gumuhit ng isang tuwid na linya na pinuputol ang pantay na mga segment sa mga positibong semi-axes ng mga coordinate.

Solusyon: Hayaang ang equation ng nais na linya ay may anyo ayon sa kondisyon A=b. Samakatuwid, ang equation ay tumatagal ng form X+ sa= A. Dahil ang punto A (1; 2) ay kabilang sa linyang ito, kung gayon ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation X + sa= A; mga. 1 + 2 = A, saan A= 3. Kaya, ang kinakailangang equation ay nakasulat tulad ng sumusunod: x + y = 3, o x + y – 3 = 0.

Halimbawa 6. Para sa straight isulat ang equation sa mga segment. Kalkulahin ang lugar ng tatsulok na nabuo ng linyang ito at ang mga coordinate axes.

Solusyon: Ibahin natin ang equation na ito gaya ng sumusunod: , o .

Bilang resulta, nakuha namin ang equation , na ang equation ng linyang ito sa mga segment. Ang tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng isang ibinigay na linya at coordinate axes ay kanang tatsulok na may mga binti na katumbas ng 4 at 3, kaya ang lugar nito ay S= (sq. unit)

Halimbawa 7. Sumulat ng isang equation para sa isang tuwid na linya na dumadaan sa punto (–2; 5) at isang generatrix na may axis Oh anggulo 45º.

Solusyon: Angular coefficient ng gustong tuwid na linya k= tan 45º = 1. Samakatuwid, gamit ang equation (5), nakukuha natin y – 5 = x– (–2), o x – y + 7 = 0.

Halimbawa 8. Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa mga puntos A(–3; 5)at SA( 7; –2).

Solusyon: Gamitin natin ang equation (6):

, o , mula sa kung saan 7 X + 10sa – 29 = 0.

Halimbawa 9. Suriin kung ang mga puntos ay kasinungalingan A(5; 2), SA(3; 1) at SA(–1; –1) sa isang tuwid na linya.

Solusyon: Gumawa tayo ng equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos A At SA:

, o

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng punto sa equation na ito SA (xB= 3 at y B = 1), nakukuha natin ang (3–5) / (–6) = = (1–2) / (–3), i.e. nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay. Kaya, ang mga coordinate ng punto SA matugunan ang equation ng tuwid na linya ( AC), ibig sabihin. .

Halimbawa 10: Sumulat ng equation para sa tuwid na linya na dumadaan sa punto A(2;-3).

Perpendikular =(-1;5)

Solusyon: Gamit ang formula (8), hinahanap natin ang equation ng linyang ito -1(x-2)+5(y+3)=0,

o sa wakas, x – 5 y - 17=0.

Halimbawa 11: Ang mga puntos ay ibinibigay M 1(2;-1) at M 2(4; 5). Isulat ang equation ng isang linyang dumadaan sa isang punto M 1 patayo sa vector Solusyon: Ang normal na vector ng nais na linya ay may mga coordinate (2;6), samakatuwid, gamit ang formula (8) nakukuha natin ang equation 2(x-2)+6(y+1)=0 o x+3y +1=0.

Halimbawa 12: At .

Solusyon: ; .

Halimbawa 13:

Solusyon: a);

Halimbawa 14: Kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

Solusyon:

Halimbawa 15: Upang malaman kung pagsasaayos ng isa't isa direktang:

Solusyon:

Halimbawa 16: hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya at .

Solusyon: .

Halimbawa 17: alamin ang mga relatibong posisyon ng mga linya:

Solusyon:a ) - ang mga tuwid na linya ay parallel;

b) - nangangahulugan ito na ang mga linya ay patayo.

Halimbawa 18: Kalkulahin ang distansya mula sa punto M(6; 8) hanggang sa tuwid na linya

Solusyon: gamit ang formula (22) nakukuha natin: .

Mga gawain para sa praktikal na aralin:

Opsyon 1

1. Bawasan ang pangkalahatang equation ng linya 2x+3y-6=0 sa isang equation sa mga segment at kalkulahin ang lugar ng tatsulok na pinutol ng linyang ito mula sa kaukulang anggulo ng coordinate;

2. V ∆ Mga tuktok ng ABC may mga coordinate ng point A (-3;4), point B (-4;-3), point C (8;1). Lumikha ng mga equation para sa gilid (AB), taas (VK) at median (CM);

3. Kalkulahin ang slope ng tuwid na linya na dumadaan sa puntong M 0 (-2;4) at parallel sa vector (6;-1);

4. Kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

4. Kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linya:

a) 2x - 3y + 7 = 0 at 3x - y + 5 = 0; b) at y = 2x – 4;

5. Tukuyin ang relatibong posisyon ng 2 tuwid na linya at ;

, kung ang mga coordinate ng mga dulo ng segment t.A(18;8) at t.B(-2;-6) ay kilala.

Opsyon 3

1. Bawasan ang pangkalahatang equation ng linya 4x-5y+20=0 sa isang equation sa mga segment at kalkulahin ang lugar ng tatsulok na pinutol ng linyang ito mula sa kaukulang anggulo ng coordinate;

2. Sa ∆ABC ang vertices ay may mga coordinate ng point A (3;-2), point B (7;3), point

C (0;8). Lumikha ng mga equation para sa gilid (AB), taas (VK) at median (CM);

3. Kalkulahin ang slope ng tuwid na linya na dumadaan sa puntong M 0 (-1;-2) at

parallel sa vector (3;-5);

4. Kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

a) 3x + y - 7 = 0 at x - y + 4 = 0; b) at ;

5. Tukuyin ang relatibong posisyon ng 2 tuwid na linya at y = 5x + 3;

6. Kalkulahin ang distansya mula sa gitna ng segment AB hanggang sa tuwid na linya , kung ang mga coordinate ng mga dulo ng segment na t.A(4;-3) at t.B(-6;5) ay kilala.

Opsyon 4

1. Bawasan ang pangkalahatang equation ng linyang 12x-5y+60=0 sa isang equation sa mga segment at kalkulahin ang haba ng segment na pinutol mula sa linyang ito ng kaukulang anggulo ng coordinate;

2. Sa ∆ABC, ang mga vertices ay may mga coordinate ng point A (0;-2), point B (3;6), point C (1;-4). Lumikha ng mga equation para sa gilid (AB), taas (VK) at median (CM);

3. Kalkulahin ang slope ng linyang dumadaan sa puntong M 0 (4;4) at kahanay sa vector (-2;7);

4. Kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

a) x +4 y + 8 = 0 at 7x - 3y + 5 = 0; b) at ;

5. Tukuyin ang relatibong posisyon ng 2 tuwid na linya at ;

6. Kalkulahin ang distansya mula sa gitna ng segment AB hanggang sa tuwid na linya , kung ang mga coordinate ng mga dulo ng segment na t.A(-4; 8) at t.B(0; 4) ay kilala.

Kontrolin ang mga tanong

1. Pangalanan ang mga equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano kapag ang punto kung saan ito dumaan at ang vector ng direksyon nito ay kilala;

2. Anong uri ng normal ang hitsura nito? pangkalahatang equation tuwid na linya sa isang eroplano;

3. Pangalanan ang equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos, ang equation ng isang linya sa mga segment, ang equation ng isang linya na may isang angle coefficient;

4. Ilista ang mga formula para sa pagkalkula ng anggulo sa pagitan ng mga linya na ibinigay ng mga equation na may isang angle coefficient. Bumuo ng mga kondisyon para sa parallelism at perpendicularity ng dalawang tuwid na linya.

5. Paano mahahanap ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya?