Lahat tungkol sa mga tamang tatsulok. Kanang tatsulok: konsepto at katangian

Gilid a maaaring makilala bilang katabi ng sulok B At sa tapat ng sulok A, at sa gilid b- paano katabi ng sulok A At sa tapat ng sulok B.

Mga Uri ng Tamang Triangles

• Kung ang mga haba ng lahat ng tatlong panig ng isang tamang tatsulok ay mga integer, kung gayon ang tatsulok ay tinatawag Pythagorean triangle, at ang mga haba ng mga gilid nito ay bumubuo ng tinatawag na Pythagorean triple.

Ari-arian

taas

Taas ng isang tamang tatsulok.

Mga ugnayang trigonometriko

Hayaan h At s (h>s) sa mga gilid ng dalawang parisukat na nakasulat sa isang tamang tatsulok na may hypotenuse c. Pagkatapos:

Perimeter ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan radii ng inscribed at tatlong circumscribed na bilog.

Mga Tala

Mga link

• Weisstein, Eric W. Right Triangle (English) sa website ng Wolfram MathWorld.
• Wentworth G.A. Isang Teksto-Aklat ng Geometry . - Ginn & Co., 1895.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Tingnan kung ano ang "Right Triangle" sa ibang mga diksyunaryo:

kanang tatsulok- — Mga paksa industriya ng langis at gas EN kanang tatsulok ... Handbook ng Teknikal na Tagasalin

At (simple) tatsulok, tatsulok, asawa. 1. Isang geometric na pigura na napapalibutan ng tatlong magkasalungat na tuwid na linya na bumubuo ng tatlong panloob na anggulo (mat.). Mapurol na tatsulok. Talamak na tatsulok. Kanang tatsulok.…… Diksyunaryo Ushakov

RECTANGULAR, rectangular, rectangular (geom.). Ang pagkakaroon ng tamang anggulo (o tamang anggulo). Kanang tatsulok. Mga parihabang figure. Paliwanag na Diksyunaryo ng Ushakov. D.N. Ushakov. 1935 1940 ... Paliwanag na Diksyunaryo ng Ushakov

Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Triangle (mga kahulugan). Ang tatsulok (sa Euclidean space) ay isang geometric na pigura na nabuo ng tatlong mga segment ng linya na nag-uugnay sa tatlong di-linear na mga punto. Tatlong tuldok, ... ... Wikipedia

tatsulok- ▲ isang polygon na mayroong, tatlo, angle triangle ang pinakasimpleng polygon; ay binibigyan ng 3 puntos na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya. tatsulok. matinding anggulo. acute-angled. kanang tatsulok: binti. hypotenuse. isosceles triangle. ▼…… Diksyonaryo ng ideograpiko ng wikang Ruso

TRIANGLE, a, asawa. 1. Ang geometric figure ay isang polygon na may tatlong sulok, pati na rin ang anumang bagay, isang aparato ng form na ito. Parihabang t. Kahoy na t. (para sa pagguhit). Soldier's t.(sulat ng sundalo na walang sobre, nakatiklop sa isang sulok; kolokyal). 2… Paliwanag na diksyunaryo ng Ozhegov

Triangle (polygon)- Mga Triangle: 1 acute, rectangular at obtuse; 2 regular (equilateral) at isosceles; 3 bisector; 4 median at sentro ng grabidad; 5 taas; 6 orthocenter; 7 gitnang linya. TRIANGLE, polygon na may 3 gilid. Minsan sa ilalim... Illustrated Encyclopedic Dictionary

encyclopedic Dictionary

tatsulok- ngunit; m. 1) a) Isang geometric na pigura na nililigiran ng tatlong intersecting na tuwid na linya na bumubuo ng tatlong panloob na anggulo. Parihabang, isosceles triangle/flax. Kalkulahin ang lugar ng tatsulok. b) resp. ano o may def. Isang pigura o bagay na may ganitong anyo. ... ... Diksyunaryo ng maraming expression

NGUNIT; m. 1. Isang geometric na pigura na nililigiran ng tatlong intersecting na tuwid na linya na bumubuo ng tatlong panloob na anggulo. Parihabang, isosceles m. Kalkulahin ang lugar ng tatsulok. // ano o may def. Isang pigura o bagay na may ganitong hugis. T. bubong. T.…… encyclopedic Dictionary

Pagtuturo

Ang mga anggulo sa tapat ng mga binti a at b ay ilalarawan ng A at B, ayon sa pagkakabanggit. Ang hypotenuse, ayon sa kahulugan, ay ang gilid ng isang right-angled na tatsulok na nasa tapat ng tamang anggulo (sa parehong oras, ang hypotenuse ay bumubuo ng talamak mga anggulo sa iba pang panig ng tatsulok). Tukuyin natin ang haba ng hypotenuse sa pamamagitan ng s.

Kakailanganin mong:
Calculator.

Gamitin ang sumusunod na expression para sa binti: a=sqrt(c^2-b^2), kung alam mo ang mga halaga ng hypotenuse at ang kabilang binti. Ang expression na ito ay nagmula sa Pythagorean theorem, na nagsasaad na ang parisukat ng hypotenuse ng isang tatsulok ay ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Kinukuha ng sqrt operator ang square root. Ang sign na "^2" ay nangangahulugan ng pagtaas sa pangalawang kapangyarihan.

Gamitin ang formula na a=c*sinA kung alam mo ang hypotenuse (c) at ang anggulo na kabaligtaran ng ninanais (itinalaga namin ang anggulong ito bilang A).
Gamitin ang expression na a=c*cosB upang mahanap ang binti kung alam mo ang hypotenuse (c) at ang anggulo na katabi ng gustong binti (itinalaga namin ang anggulong ito bilang B).
Kalkulahin ang binti mula sa a=b*tgA sa kaso na ang binti b at ang anggulo sa tapat ng nais na binti ay ibinigay (napagkasunduan naming tukuyin ang anggulong ito bilang A).

Tandaan:
Kung sa iyong gawain ang binti ay hindi natagpuan ng alinman sa mga inilarawan na pamamaraan, malamang na maaari itong mabawasan sa isa sa kanila.

Nakatutulong na mga Pahiwatig:
Ang lahat ng mga expression na ito ay nagmula sa mga kilalang kahulugan trigonometriko function, samakatuwid, kahit na nakalimutan mo ang isa sa mga ito, maaari mo itong palaging mabilis na bawiin gamit ang mga simpleng operasyon. Gayundin, ito ay kapaki-pakinabang na malaman ang mga halaga ng trigonometriko function para sa pinaka-karaniwang mga anggulo 30, 45, 60, 90, 180 degrees.

Mga kaugnay na video

Mga Pinagmumulan:

• "Manwal sa matematika para sa mga aplikante sa mga unibersidad", ed. G.N. Yakovleva, 1982
• binti ng isang kanang tatsulok

parisukat na tatsulok mas tumpak na tinatawag na right triangle. Ang mga relasyon sa pagitan ng mga gilid at anggulo ng geometric figure na ito ay tinalakay nang detalyado sa matematikal na disiplina ng trigonometrya.

Kakailanganin mong

• - papel;
• - panulat;
• - Mga talahanayan ng Bradis;
• - calculator.

Pagtuturo

Hanapin tatsulok gamit ang Pythagorean theorem. Ayon sa teorama na ito, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti: c2 \u003d a2 + b2, kung saan ang c ay ang hypotenuse tatsulok, a at b ang mga binti nito. Upang mailapat ito, kailangan mong malaman ang haba ng alinmang dalawang panig ng isang hugis-parihaba tatsulok.

Kung tinukoy ng mga kondisyon ang mga sukat ng mga binti, hanapin ang haba ng hypotenuse. Upang gawin ito, gumamit ng extract Kuwadrado na ugat mula sa kabuuan ng mga binti, ang bawat isa ay dapat munang parisukat.

Kalkulahin ang haba ng isa sa mga binti, kung ang mga sukat ng hypotenuse at ang kabilang binti ay kilala. Gamit ang isang calculator, kunin ang square root ng pagkakaiba sa pagitan ng hypotenuse at sikat na binti, parisukat din.

Kung ang hypotenuse at isa sa mga talamak na anggulo na katabi nito ay ibinigay sa problema, gamitin ang mga talahanayan ng Bradys. Ibinibigay nila ang mga halaga ng trigonometric function para sa isang malaking bilang mga sulok. Gamitin ang calculator na may mga function ng sine at cosine, pati na rin ang mga teorema ng trigonometrya na naglalarawan ng ugnayan sa pagitan ng mga gilid at isang parihabang tatsulok.

Hanapin ang mga binti gamit ang mga pangunahing trigonometric function: a = c*sin α, b = c*cos α, kung saan ang a ay ang binti na katapat ng anggulo α, b ang binti na katabi ng anggulo α. Kalkulahin ang laki ng mga gilid sa parehong paraan tatsulok, kung ang hypotenuse at isa pang talamak na anggulo ay ibinigay: b = c*sin β, a = c*cos β, kung saan ang b ay ang binti na katapat ng anggulo β, at ang binti na katabi ng anggulo β.

Sa kaso ng a at ang katabi nitong acute angle β, tandaan na sa isang right triangle ang kabuuan ng mga acute angle ay palaging 90°: α + β = 90°. Hanapin ang halaga ng anggulo sa tapat ng leg a: α \u003d 90 ° - β. O gamitin ang mga formula ng pagbabawas ng trigonometriko: sin α \u003d sin (90 ° - β) \u003d cos β; tg α = tg (90° - β) = ctg β = 1/tg β.

Mga kaugnay na video

Mga Pinagmumulan:

• Paano mahanap ang mga gilid ng isang tamang tatsulok sa pamamagitan ng binti at talamak na anggulo sa 2019

Tip 3: Paano makahanap ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok

Direkta carbonic ang tatsulok ay marahil ang isa sa mga pinakasikat na geometric figure mula sa isang makasaysayang punto ng view. Ang "pantalon" ng Pythagorean ay maaari lamang makipagkumpitensya sa "Eureka!" Archimedes.

Kakailanganin mong

• - pagguhit ng isang tatsulok;
• - pinuno;
• - protraktor.

Pagtuturo

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180 degrees. sa isang hugis-parihaba tatsulok ang isang anggulo (kanan) ay palaging magiging 90 degrees, at ang iba ay talamak, i.e. mas mababa sa 90 degrees bawat isa. Upang matukoy kung aling anggulo sa isang hugis-parihaba tatsulok ay tuwid, sukatin ang mga gilid ng tatsulok gamit ang isang ruler at tukuyin ang pinakamalaki. Ito ang hypotenuse (AB) at kabaligtaran tamang anggulo(C). Ang natitirang dalawang panig ay bumubuo ng isang tamang anggulo at mga binti (AC, BC).

Kapag natukoy mo na kung aling anggulo ang talamak, maaari kang gumamit ng protractor para kalkulahin ang anggulo, o kalkulahin ito gamit ang mga pormula sa matematika.

Upang matukoy ang halaga ng anggulo sa tulong ng isang protractor, ihanay ang tuktok nito (ipahiwatig natin ito sa titik A) na may isang espesyal na marka sa ruler sa gitna ng protractor, ang AC leg ay dapat na nag-tutugma sa itaas na gilid nito. Markahan sa kalahating bilog na bahagi ng protractor ang punto kung saan ang hypotenuse AB. Ang halaga sa puntong ito ay tumutugma sa halaga ng anggulo sa mga degree. Kung ang 2 mga halaga ay ipinahiwatig sa protractor, kung gayon para sa isang matinding anggulo kailangan mong pumili ng isang mas maliit, para sa isang mapurol - isang mas malaki.

Hanapin ang resultang halaga sa reference na Bradis at tukuyin kung aling anggulo ang tumutugma sa resultang numerical value. Ginamit ng aming mga lola ang pamamaraang ito.

Sa atin, ito ay sapat na upang kumuha ng pagkalkula function mga formula ng trigonometriko. Halimbawa, ang built-in na Windows calculator. Ilunsad ang application na "Calculator", sa item ng menu na "View", piliin ang item na "Engineering". Kalkulahin ang sine ng gustong anggulo, halimbawa, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

Ilipat ang calculator sa kabaligtaran na mga pag-andar sa pamamagitan ng pag-click sa INV button sa display ng calculator, pagkatapos ay mag-click sa arcsine function button (minarkahan sa display bilang kasalanan hanggang sa minus one degree). Ang sumusunod na inskripsiyon ay lilitaw sa window ng pagkalkula: asind (0.5) = 30. Iyon ay, ang nais na anggulo ay 30 degrees.

Mga katangian ng isang tamang tatsulok

Dear seventh graders, alam niyo na ba kung ano mga geometric na numero ay tinatawag na mga tatsulok, alam mo kung paano patunayan ang mga palatandaan ng kanilang pagkakapantay-pantay. Alam mo rin ang tungkol sa mga espesyal na kaso ng mga tatsulok: isosceles at rectangular. Ang mga katangian ng isosceles triangle ay kilala sa iyo.

Ngunit kahit na ang mga tamang tatsulok ay may maraming mga katangian. Ang isang halatang isa ay nauugnay sa theorem sa kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang tatsulok: sa isang tamang tatsulok, ang kabuuan ng mga talamak na anggulo ay 90°. Matututuhan mo ang pinakakahanga-hangang katangian ng right triangle sa grade 8 kapag pinag-aralan mo ang sikat na Pythagorean theorem.

At ngayon ay pag-uusapan natin ang tungkol sa dalawa pang mahahalagang katangian. Ang isa sa mga ito ay tumutukoy sa mga tamang tatsulok na may anggulo na 30°, at ang isa pa sa mga arbitrary na tamang tatsulok. Bumalangkas at patunayan natin ang mga katangiang ito.

Alam mo na sa geometry ay kaugalian na magbalangkas ng mga assertion na kabaligtaran sa mga napatunayan, kapag ang kondisyon at konklusyon sa assertion ay nabaligtad. Ang magkasalungat na mga pahayag ay hindi palaging totoo. Sa aming kaso, ang parehong magkasalungat na pahayag ay totoo.

Ari-arian 1.1 Sa isang kanang tatsulok, ang binti sa tapat ng 30° anggulo ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

Patunay: Isaalang-alang ang isang parihabang ∆ ABC, kung saan ÐA=90°, ÐB=30°, pagkatapos ay ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, samakatuwid, na kinakailangan upang patunayan.

Property 1.2 (reverse sa property 1.1) Kung ang binti ng isang kanang tatsulok ay kalahati ng hypotenuse, kung gayon ang kabaligtaran na anggulo ay 30°.

Ari-arian 2.1 Sa isang kanang tatsulok, ang median na iginuhit sa hypotenuse ay kalahati ng hypotenuse.

Isaalang-alang ang isang parihabang ∆ ABC, kung saan ÐB=90°.

BD-median, ibig sabihin, AD=DC. Patunayan natin yan.

Upang patunayan ito, gumawa tayo ng karagdagang konstruksiyon: ipagpatuloy natin ang BD sa kabila ng puntong D upang ang BD=DN at ikonekta ang N sa A at C..gif" width="616" height="372 src=">

Ibinigay: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm

1. ÐEBC=30o, dahil sa isang parihabang ∆BCE ang kabuuan ng mga acute na anggulo ay 90o

2.BE=14cm(property 1)

3. ÐABE=30o, dahil ÐA+ÐABE=ÐBEC (pag-aari ng panlabas na anggulo ng isang tatsulok) samakatuwid ∆AEB- isosceles AE=EB=14cm.

BC=2AN=20 cm (property 2).

Gawain 3. Patunayan na ang altitude at median ng isang right triangle na iginuhit sa hypotenuse ay bumubuo ng isang anggulo na katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga acute na anggulo ng triangle.

Ibinigay: ∆ ABC, РВАС=90°, AM-median, AH-taas.

Patunayan: РМАН=РС-РВ.

Patunay:

1) РМАС=РС (sa pamamagitan ng property 2 ∆ AMC-isosceles, AM=CM)

2) RMAN=RMAS-RNAS=Rs-RNAS.

Ito ay nananatiling patunayan na ang PNAS=PB. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na РВ+РС=90° (sa ∆ ABC) at РНАС+РС=90° (mula sa ∆ ANS).

Kaya, РМАН=РС-РВ, na kinakailangang patunayan.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Ibinigay: ∆ABC, ÐBAC=90°, AH-height, .

Hanapin: РВ, РС.

Solusyon: Iguhit ang median na AM. Hayaan ang AH=x, pagkatapos ay BC=4x at

VM=MS=AM=2x.

Sa isang rectangular ∆ AMN, ang hypotenuse AM ay 2 beses na mas malaki kaysa sa leg AN, kaya ÐAMN=30°. Dahil VM=AM,

РВ=РВАМ100%">

Ipagpatuloy natin ang AC na lampas sa punto A upang AD=AC. Pagkatapos ∆ABC=∆ABD (para sa 2 binti). BD=BC=2AC=CD, kaya ang ∆DBC ay equilateral, ÐC=60o at RABC=30o.

Gawain 5

Sa isang isosceles triangle, ang isa sa mga anggulo ay 120o, ang base ay 10 cm. Hanapin ang taas na iginuhit sa gilid.

Solusyon: upang magsimula, tandaan namin na ang anggulo ng 120o ay maaari lamang sa tuktok ng tatsulok at ang taas na iginuhit sa gilid ay mahuhulog sa pagpapatuloy nito.

AB - hagdan, K - kuting.

Sa anumang posisyon ng hagdan, hanggang sa tuluyang bumagsak sa lupa ∆ABC-rectangular. SC - median ∆ABC.

Ayon sa property 2 SK=1/2AB. Iyon ay, sa anumang sandali sa oras, ang haba ng segment ng SC ay pare-pareho.

Sagot: ang punto K ay lilipat sa isang arko ng isang bilog na may sentro C at radius SK=1/2AB.

Mga gawain para sa malayang solusyon.

Ang isa sa mga anggulo ng right triangle ay 60°, at ang pagkakaiba sa pagitan ng hypotenuse at ng mas maliit na binti ay 4cm. hanapin ang haba ng hypotenuse. Sa isang parihabang ∆ ABC na may hypotenuse BC at anggulo B na katumbas ng 60o, ang taas AD ay iginuhit. Hanapin ang DC kung DB=2cm. Sa ∆АВС РС=90о, СD - taas, ВС=2ВD. Patunayan na AD=3BD. Ang taas ng isang right triangle ay naghahati sa hypotenuse sa mga bahagi na 3cm at 9cm. Hanapin ang mga anggulo ng tatsulok at ang distansya mula sa midpoint ng hypotenuse hanggang sa mas malaking binti. Hinahati ng bisector ang tatsulok sa dalawang isosceles na tatsulok. Hanapin ang mga anggulo ng orihinal na tatsulok. Hinahati ng median ang tatsulok sa dalawang isosceles na tatsulok. Posible bang makahanap ng mga sulok

orihinal na tatsulok?

Average na antas

Kanang tatsulok. Kumpletong may larawang gabay (2019)

KARAPATAN TRIANGLE. UNANG ANTAS.

Sa mga problema, ang isang tamang anggulo ay hindi kinakailangan - ang ibabang kaliwang bahagi, kaya kailangan mong matutunan kung paano makilala ang isang tamang tatsulok sa form na ito,

at sa ganyan

at sa ganyan

Ano ang maganda sa right triangle? Well... una sa lahat, may mga espesyal na magagandang pangalan para sa kanyang mga panig.

Pansin sa pagguhit!

Tandaan at huwag malito: binti - dalawa, at ang hypotenuse - isa lamang(ang tanging, natatangi at pinakamahaba)!

Buweno, ang mga pangalan ay tinalakay, ngayon ang pinakamahalagang bagay: ang Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem.

Ang theorem na ito ay ang susi sa paglutas ng maraming problema na kinasasangkutan ng isang right triangle. Ito ay pinatunayan ni Pythagoras sa ganap na sinaunang panahon, at mula noon ay nagdulot ito ng maraming benepisyo sa mga nakakaalam nito. At ang pinakamagandang bagay sa kanya ay simple siya.

Kaya, Pythagorean theorem:

Naaalala mo ba ang biro: "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng panig!"?

Iguhit natin itong napaka Pythagorean na pantalon at tingnan ang mga ito.

Mukha ba talagang shorts? Buweno, sa aling panig at saan sila pantay? Bakit at saan nanggaling ang biro? At ang biro na ito ay tiyak na konektado sa Pythagorean theorem, mas tiyak sa paraan mismo ni Pythagoras na bumalangkas ng kanyang theorem. At binalangkas niya ito ng ganito:

"Sum lugar ng mga parisukat, na binuo sa mga binti, ay katumbas ng parisukat na lugar itinayo sa hypotenuse.

Hindi ba medyo iba ang tunog, di ba? At kaya, nang iguhit ni Pythagoras ang pahayag ng kanyang teorama, isang larawan lamang ang lumabas.

Sa larawang ito, ang kabuuan ng mga lugar ng maliliit na parisukat ay katumbas ng lugar ng malaking parisukat. At upang mas matandaan ng mga bata na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse, isang taong matalino ang nag-imbento ng biro na ito tungkol sa pantalon ng Pythagorean.

Bakit natin ngayon binabalangkas ang Pythagorean theorem

Nagdusa ba si Pythagoras at nagsalita tungkol sa mga parisukat?

Tingnan mo, noong sinaunang panahon walang ... algebra! Walang mga palatandaan at iba pa. Walang mga inskripsiyon. Naiisip mo ba kung gaano kahirap para sa mga mahihirap na sinaunang mag-aaral na kabisaduhin ang lahat gamit ang mga salita??! At maaari tayong matuwa na mayroon tayong simpleng pormulasyon ng Pythagorean theorem. Ulitin natin itong muli upang mas matandaan:

Ngayon ay dapat na madali:

Well, ang pinakamahalagang teorama tungkol sa isang tamang tatsulok ay tinalakay. Kung interesado ka sa kung paano ito napatunayan, basahin ang susunod na antas ng teorya, at ngayon ay magpatuloy tayo ... sa madilim na kagubatan ... ng trigonometrya! Sa mga katakut-takot na salita sine, cosine, tangent at cotangent.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle.

Sa katunayan, ang lahat ay hindi masyadong nakakatakot. Siyempre, ang "tunay" na kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay dapat tingnan sa artikulo. Pero ayaw mo talaga diba? Maaari tayong magalak: upang malutas ang mga problema tungkol sa isang tamang tatsulok, maaari mong punan ang mga sumusunod na simpleng bagay:

Bakit puro kanto lang? Saan ang sulok? Upang maunawaan ito, kailangan mong malaman kung paano isinusulat sa mga salita ang mga pahayag 1 - 4. Tingnan, unawain at tandaan!

1.
Ito ay talagang ganito:

Paano ang anggulo? Mayroon bang isang binti na nasa tapat ng sulok, iyon ay, ang kabaligtaran (para sa sulok) na binti? Syempre meron! Ito ay isang cathet!

Ngunit paano ang anggulo? Tingnan mong mabuti. Aling paa ang katabi ng sulok? Siyempre, ang pusa. Kaya, para sa anggulo, ang binti ay katabi, at

At ngayon, pansin! Tingnan kung ano ang nakuha namin:

Tingnan kung gaano ito kahusay:

Ngayon ay lumipat tayo sa tangent at cotangent.

Paano ito ilagay sa mga salita ngayon? Ano ang paa na nauugnay sa sulok? Kabaligtaran, siyempre - ito ay "namamalagi" sa tapat ng sulok. At ang cathet? Katabi ng kanto. Kaya ano ang nakuha namin?

Tingnan kung paano binabaligtad ang numerator at denominator?

At ngayon muli ang mga sulok at ginawa ang palitan:

Buod

Isulat natin sa madaling sabi ang lahat ng ating natutunan.

Pythagorean theorem:

Ang pangunahing right triangle theorem ay ang Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem

Oo nga pala, naaalala mo ba kung ano ang mga binti at hypotenuse? Kung hindi, pagkatapos ay tingnan ang larawan - i-refresh ang iyong kaalaman

Posible na nagamit mo na ang Pythagorean theorem nang maraming beses, ngunit naisip mo na ba kung bakit totoo ang ganoong teorama. Paano mo ito mapapatunayan? Gawin natin tulad ng mga sinaunang Griyego. Gumuhit tayo ng isang parisukat na may gilid.

Nakita mo kung gaano katusong hinati namin ang mga gilid nito sa mga segment ng haba at!

Ngayon ikonekta natin ang mga minarkahang puntos

Dito kami, gayunpaman, ay may nabanggit na iba pa, ngunit ikaw mismo ay tumingin sa larawan at isipin kung bakit ganito.

Ano ang lugar ng mas malaking parisukat? Tama, . Paano ang mas maliit na lugar? Tiyak, . Ang kabuuang lugar ng apat na sulok ay nananatili. Isipin na kinuha namin ang dalawa sa kanila at sumandal sa isa't isa na may hypotenuses. Anong nangyari? Dalawang parihaba. Kaya, ang lugar ng "mga pinagputulan" ay pantay.

Pagsama-samahin natin ang lahat.

Ibahin natin:

Kaya binisita namin ang Pythagoras - pinatunayan namin ang kanyang teorama sa isang sinaunang paraan.

Kanang tatsulok at trigonometrya

Para sa isang tamang tatsulok, ang mga sumusunod na relasyon ay nagtataglay:

Ang sine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse

Ang cosine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Ang tangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti.

Ang cotangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa kabaligtaran na binti.

At muli, ang lahat ng ito sa anyo ng isang plato:

Ito ay napaka-maginhawa!

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok

I. Sa dalawang paa

II. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

III. Sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle

IV. Kasama ang binti at matinding anggulo

a)

b)

Pansin! Narito ito ay napakahalaga na ang mga binti ay "katugma". Halimbawa, kung ito ay magiging ganito:

TAPOS HINDI PANTAY ANG TRIANGLES, sa kabila ng katotohanan na mayroon silang isang magkaparehong talamak na anggulo.

Kailangan sa parehong triangles ang binti ay katabi, o sa pareho - kabaligtaran.

Napansin mo ba kung paano naiiba ang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok mula sa karaniwang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok? Tingnan ang paksang "at bigyang-pansin ang katotohanan na para sa pagkakapantay-pantay ng "ordinaryong" triangles, kailangan mo ang pagkakapantay-pantay ng kanilang tatlong elemento: dalawang panig at isang anggulo sa pagitan nila, dalawang anggulo at isang gilid sa pagitan nila, o tatlong panig. Ngunit para sa pagkakapantay-pantay ng mga right-angled triangles, dalawang katumbas na elemento lamang ang sapat. Ang galing diba?

Humigit-kumulang sa parehong sitwasyon na may mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok.

Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tamang tatsulok

I. Matinding sulok

II. Sa dalawang paa

III. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

Median sa isang kanang tatsulok

Bakit ganun?

Isaalang-alang ang isang buong parihaba sa halip na isang tamang tatsulok.

Gumuhit tayo ng isang dayagonal at isaalang-alang ang isang punto - ang punto ng intersection ng mga diagonal. Ano ang alam mo tungkol sa mga dayagonal ng isang parihaba?

At ano ang kasunod nito?

Kaya nangyari yun

1. - median:

Tandaan ang katotohanang ito! Malaking tulong!

Ang mas nakakagulat ay totoo rin ang kabaligtaran.

Anong kabutihan ang makukuha mula sa katotohanan na ang median na iginuhit sa hypotenuse ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse? Tingnan natin ang larawan

Tingnan mong mabuti. Mayroon kaming: , iyon ay, ang mga distansya mula sa punto hanggang sa lahat ng tatlong vertice ng tatsulok ay naging pantay. Ngunit sa isang tatsulok ay mayroon lamang isang punto, ang mga distansya mula sa kung saan halos lahat ng tatlong vertices ng tatsulok ay pantay, at ito ang CENTER OF THE CIRCUM na inilarawan. So anong nangyari?

Kaya magsimula tayo sa "bukod...".

Tingnan natin ang i.

Ngunit ang mga katulad na tatsulok ay may lahat ng pantay na anggulo!

Ang parehong masasabi tungkol sa at

Ngayon pagsamahin natin ito:

Anong gamit ang makukuha mula sa "triple" na pagkakatulad na ito.

Well, halimbawa - dalawang formula para sa taas ng isang right triangle.

Isinulat namin ang mga relasyon ng mga kaukulang partido:

Upang mahanap ang taas, malulutas namin ang proporsyon at makuha unang formula na "Taas sa isang kanang tatsulok":

Kaya, ilapat natin ang pagkakatulad: .

Ano ang mangyayari ngayon?

Muli naming lutasin ang proporsyon at makuha ang pangalawang formula:

Ang parehong mga formula na ito ay dapat na napakahusay na naaalala at ang isa na mas maginhawang ilapat. Isulat natin muli ang mga ito.

Pythagorean theorem:

Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti:.

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok:

• sa dalawang paa:
• kasama ang binti at hypotenuse: o
• kasama ang binti at ang katabing talamak na anggulo: o
• kasama ang binti at ang kabaligtaran na talamak na anggulo: o
• sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle: o.

Mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok:

• isang matalim na sulok: o
• mula sa proporsyonalidad ng dalawang binti:
• mula sa proporsyonalidad ng binti at hypotenuse: o.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle

• Ang sine ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse:
• Ang cosine ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:
• Ang tangent ng isang talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi:
• Ang cotangent ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran:.

Taas ng tamang tatsulok: o.

Sa isang tamang tatsulok, ang median na iginuhit mula sa vertex ng tamang anggulo ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse: .

Lugar ng isang tamang tatsulok:

• sa pamamagitan ng mga catheter:

Kahulugan.Kanang tatsulok - tatsulok, ang isa sa mga anggulo ay tama (pantay).

Ang tamang tatsulok ay isang espesyal na kaso ng isang ordinaryong tatsulok. Samakatuwid, ang lahat ng mga katangian ng mga ordinaryong tatsulok para sa mga hugis-parihaba ay napanatili. Ngunit may ilang partikular na katangian dahil sa pagkakaroon ng tamang anggulo.

Karaniwang notasyon (Larawan 1):

- tamang anggulo;

- hypotenuse;

- binti;

.

kanin. isa.

MULA SAkanang tatsulok na katangian.

Ari-arian 1. Ang kabuuan ng mga anggulo at isang tamang tatsulok ay .

Patunay. Alalahanin na ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay . Isinasaalang-alang ang katotohanan na , nakukuha natin na ang kabuuan ng natitirang dalawang anggulo ay Iyon ay,

Ari-arian 2. Sa isang kanang tatsulok hypotenuse higit sa alinman sa binti(ay ang pinakamalaking bahagi).

Patunay. Alalahanin na sa isang tatsulok sa tapat ng mas malaking anggulo ay namamalagi malaking party(at vice versa). Ito ay sumusunod mula sa ari-arian 1 na napatunayan sa itaas na ang kabuuan ng mga anggulo at ang tamang tatsulok ay katumbas ng . Dahil ang anggulo ng isang tatsulok ay hindi maaaring maging 0, ang bawat isa sa kanila ay mas mababa sa . Nangangahulugan ito na ito ang pinakamalaki, at, samakatuwid, ang pinakamalaking bahagi ng tatsulok ay nasa tapat nito. Kaya, ang hypotenuse ay ang pinakamalaking gilid ng isang right triangle, iyon ay:.

Ari-arian 3. Sa isang kanang tatsulok, ang hypotenuse mas mababa sa halaga binti.

Patunay. Ang ari-arian na ito ay nagiging malinaw kung ating aalalahanin hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok.

hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok

Sa anumang tatsulok, ang kabuuan ng alinmang dalawang panig ay mas malaki kaysa sa ikatlong panig.

Ang Property 3 ay agad na sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay na ito.

Tandaan: sa kabila ng katotohanan na ang bawat isa sa mga binti nang paisa-isa ay mas mababa kaysa sa hypotenuse, ang kanilang kabuuan ay lumalabas na mas malaki. Sa isang numerical na halimbawa, ganito ang hitsura: , ngunit .

sa:

1st sign (sa 2 gilid at ang anggulo sa pagitan nila): kung ang dalawang tatsulok ay may pantay na panig at ang anggulo sa pagitan nila, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho.

2nd sign (sa gilid at dalawang magkatabing anggulo): kung ang mga tatsulok ay may pantay na gilid at dalawang anggulo na katabi ng isang naibigay na panig, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho. Tandaan: gamit ang katotohanan na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay pare-pareho at katumbas ng , madaling patunayan na ang kondisyon ng "katabing" ng mga anggulo ay hindi kinakailangan, iyon ay, ang tanda ay magiging totoo sa sumusunod na pagbabalangkas: "... isang gilid at dalawang anggulo ay pantay, pagkatapos ...".

3rd sign (sa 3 panig): kung ang lahat ng tatlong panig ng isang tatsulok ay pantay, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho.

Naturally, ang lahat ng mga palatandaang ito ay nananatiling totoo para sa mga tamang tatsulok. Gayunpaman, ang mga tamang tatsulok ay may isang mahalagang katangian - sila ay palaging may isang pares ng pantay na tamang anggulo. Samakatuwid, ang mga palatandaang ito ay pinasimple para sa kanila. Kaya, bumalangkas tayo ng mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok:

1st sign (sa dalawang paa): kung ang mga binti ng mga tamang tatsulok ay pantay sa mga pares, kung gayon ang mga tatsulok ay katumbas ng bawat isa (Larawan 2).

Ibinigay:

kanin. 2. Ilustrasyon ng unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok

Patunayan:

Patunay: sa tamang tatsulok: . Kaya, maaari nating gamitin ang unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok (sa 2 panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito) at makuha ang: .

2-ika-sign (sa binti at anggulo): kung ang binti at talamak na anggulo ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng binti at talamak na anggulo ng isa pang kanang tatsulok, kung gayon ang gayong mga tatsulok ay katumbas ng bawat isa (Larawan 3).

Ibinigay:

kanin. 3. Ilustrasyon ng pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok

Patunayan:

Patunay: tandaan namin kaagad na ang katotohanan na ang mga anggulo na katabi ng magkapantay na mga binti ay pantay ay hindi pangunahing. Sa katunayan, ang kabuuan ng mga talamak na anggulo ng isang right triangle (sa pamamagitan ng property 1) ay katumbas ng . Samakatuwid, kung ang isang pares ng mga anggulong ito ay pantay, kung gayon ang isa ay pantay (dahil ang kanilang mga kabuuan ay pareho).

Ang patunay ng tampok na ito ay bumababa sa paggamit pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok(sa 2 sulok at gilid). Sa katunayan, ayon sa kondisyon, ang mga binti at isang pares ng mga anggulo na katabi ng mga ito ay pantay. Ngunit ang pangalawang pares ng mga anggulo na katabi ng mga ito ay binubuo ng mga anggulo . Kaya, maaari nating gamitin ang pangalawang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok at makuha ang: .

3rd sign (sa pamamagitan ng hypotenuse at anggulo): kung ang hypotenuse at ang acute angle ng isang right triangle ay katumbas ng hypotenuse at ang acute angle ng isa pang right triangle, kung gayon ang mga triangles ay katumbas ng bawat isa (Fig. 4).

Ibinigay:

kanin. 4. Ilustrasyon ng ikatlong tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok

Patunayan:

Patunay: para patunayan ang sign na ito, maaari mong gamitin kaagad ang pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok- sa gilid at dalawang anggulo (mas tiyak, sa kinahinatnan, na nagsasaad na ang mga anggulo ay hindi kailangang magkatabi sa gilid). Sa katunayan, sa pamamagitan ng kundisyon: , , at mula sa mga katangian ng mga tamang tatsulok ay sinusunod nito iyon . Kaya, maaari nating gamitin ang pangalawang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, at makuha ang: .

Ika-4 na palatandaan (sa hypotenuse at binti): kung ang hypotenuse at leg ng isang right triangle ay pantay-pantay ayon sa pagkakabanggit sa hypotenuse at leg ng isa pang right triangle, kung gayon ang mga triangles ay katumbas ng bawat isa (Fig. 5).

Ibinigay:

kanin. 5. Ilustrasyon ng ikaapat na tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok

Patunayan:

Patunay: Upang patunayan ang sign na ito, gagamitin namin ang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, na aming binuo at napatunayan sa huling aralin, ibig sabihin: kung ang mga tatsulok ay may pantay na dalawang panig at isang mas malaking anggulo, kung gayon ang mga tatsulok ay pantay. Sa katunayan, sa pamamagitan ng pagpapalagay, mayroon kaming dalawa pantay na panig. Bilang karagdagan, sa pamamagitan ng pag-aari ng mga tamang tatsulok: . Ito ay nananatiling upang patunayan na ang tamang anggulo ay ang pinakamalaking sa tatsulok. Ipagpalagay natin na hindi ito ang kaso, na nangangahulugan na dapat mayroong kahit isa pang anggulo na mas malaki kaysa sa . Ngunit pagkatapos ay ang kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok ay magiging mas malaki. Ngunit ito ay imposible, na nangangahulugan na ang gayong anggulo ay hindi maaaring umiral sa isang tatsulok. Samakatuwid, ang tamang anggulo ay ang pinakamalaking sa isang tamang tatsulok. Kaya, maaari mong gamitin ang sign na nabuo sa itaas, at makakuha ng: .

Bumubuo kami ngayon ng isa pang pag-aari, na katangian lamang para sa mga tamang tatsulok.

Ari-arian

Ang binti sa tapat ng anggulo sa ay 2 beses na mas maliit kaysa sa hypotenuse(Larawan 6).

Ibinigay:

kanin. 6.

Patunayan:AB

Patunay: magsagawa ng karagdagang konstruksyon: pahabain ang linya sa kabila ng punto sa pamamagitan ng isang segment na katumbas ng . Kumuha tayo ng punto. Dahil ang mga anggulo at magkatabi, ang kanilang kabuuan ay katumbas ng . Since , saka ang anggulo .

Kaya mga tamang tatsulok (sa pamamagitan ng dalawang binti: - pangkalahatan, - sa pamamagitan ng pagbuo) - ang unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok.

Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng lahat ng kaukulang elemento. Ibig sabihin, . Saan: . Bilang karagdagan, (mula sa pagkakapantay-pantay ng lahat ng parehong mga tatsulok). Nangangahulugan ito na ang tatsulok ay isosceles (dahil ito ay may pantay na mga anggulo sa base), ngunit ang isang isosceles triangle, isa sa mga anggulo ay pantay, ay equilateral. Ito ay sumusunod mula dito, sa partikular, iyon .

Pag-aari ng binti sa tapat ng anggulo sa

Ito ay nagkakahalaga ng pagpuna na ang kabaligtaran na pahayag ay totoo din: kung sa isang kanang tatsulok ang hypotenuse ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa isa sa mga binti, kung gayon ang talamak na anggulo sa tapat ng binti na ito ay katumbas ng.

Tandaan: tanda nangangahulugan na kung ang ilang pahayag ay totoo, kung gayon ang tatsulok ay isang tamang tatsulok. Iyon ay, pinapayagan ka ng tampok na makilala ang isang tamang tatsulok.

Mahalagang huwag malito ang sign ari-arian- iyon ay, kung ang tatsulok ay right-angled, kung gayon mayroon itong gayong mga katangian ... Kadalasan ang mga palatandaan at katangian ay magkabaligtaran, ngunit hindi palaging. Halimbawa, ang pag-aari ng isang equilateral triangle: ang isang equilateral triangle ay may isang anggulo. Ngunit hindi ito magiging tanda ng isang equilateral triangle, dahil hindi lahat ng triangle ay may anggulo, ay equilateral.