Saan matatagpuan ang midline ng trapezoid? Mga katangian ng midline ng isang trapezoid

Ang isang may apat na gilid na may dalawang magkatulad na gilid lamang ay tinatawag trapeze.

Ang magkatulad na panig ng isang trapezoid ay tinatawag na nito bakuran, at ang mga panig na hindi magkatulad ay tinatawag panig. Kung ang mga panig ay pantay, kung gayon ang gayong trapezoid ay isosceles. Ang distansya sa pagitan ng mga base ay tinatawag na taas ng trapezoid.

Gitnang linya ng trapezium

gitnang linya ay isang segment na nag-uugnay sa mga midpoint ng mga gilid ng trapezoid. Ang midline ng isang trapezoid ay parallel sa mga base nito.

Teorama:

Kung ang isang tuwid na linya na nagsasalubong sa gitna ng isang gilid ay kahanay sa mga base ng trapezoid, pagkatapos ay hinahati nito ang pangalawang bahagi ng trapezoid.

Teorama:

Ang haba ng midline ay katumbas ng arithmetic mean ng mga haba ng mga base nito

MN midline, AB at CD - mga base, AD at BC - mga gilid

MN=(AB+DC)/2

Teorama:

Ang haba ng midline ng isang trapezoid ay katumbas ng arithmetic mean ng mga haba ng mga base nito.

Ang pangunahing gawain: Patunayan na ang midline ng isang trapezoid ay hinahati ang isang segment na ang mga dulo ay nasa gitna ng mga base ng trapezoid.

Gitnang Linya ng Triangle

Ang segment ng linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng dalawang gilid ng isang tatsulok ay tinatawag na midline ng tatsulok. Ito ay kahanay sa ikatlong panig at ang haba nito ay kalahati ng haba ng ikatlong panig.
Teorama: Kung ang isang linya na bumabagtas sa gitnang punto ng isang gilid ng isang tatsulok ay parallel sa kabilang panig ibinigay na tatsulok, pagkatapos ay hinahati nito ang ikatlong bahagi.

AM = MC at BN = NC =>

Paglalapat ng Triangle at Trapezoid Midline Properties

Paghahati ng isang segment sa isang tiyak na halaga pantay na bahagi.
Gawain: Hatiin ang segment AB sa 5 pantay na bahagi.
Desisyon:
Hayaang ang p ay isang random na sinag na ang pinanggalingan ay punto A at hindi nasa linyang AB. Sunud-sunod kaming nagtabi ng 5 pantay na segment sa p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
Ikinonekta namin ang A 5 sa B at gumuhit ng mga linya sa pamamagitan ng A 4 , A 3 , A 2 at A 1 na parallel sa A 5 B. Nag-intersect sila sa AB sa B 4 , B 3 , B 2 at B 1 ayon sa pagkakabanggit. Hinahati ng mga puntong ito ang segment AB sa 5 pantay na bahagi. Sa katunayan, mula sa trapezoid BB 3 A 3 A 5 makikita natin na BB 4 = B 4 B 3 . Sa parehong paraan, mula sa trapezoid B 4 B 2 A 2 A 4 nakukuha natin ang B 4 B 3 = B 3 B 2

Habang mula sa trapezoid B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Pagkatapos mula sa B 2 AA 2 sumusunod na B 2 B 1 = B 1 A. Sa konklusyon, nakukuha natin:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Malinaw na upang hatiin ang segment AB sa isa pang bilang ng pantay na bahagi, kailangan nating i-proyekto ang parehong bilang ng pantay na mga segment sa ray p. At pagkatapos ay magpatuloy sa paraang inilarawan sa itaas.

Ang trapezoid ay isang espesyal na kaso ng isang quadrilateral kung saan ang isang pares ng mga gilid ay parallel. Ang terminong "trapezoid" ay nagmula sa salitang Griyego na τράπεζα, ibig sabihin ay "talahanayan", "talahanayan". Sa artikulong ito isasaalang-alang natin ang mga uri ng trapezium at mga katangian nito. Bilang karagdagan, malalaman natin kung paano kalkulahin ang mga indibidwal na elemento ng halimbawang ito, ang dayagonal ng isang isosceles trapezoid, ang midline, lugar, atbp. Ang materyal ay ipinakita sa estilo ng elementarya na sikat na geometry, iyon ay, sa isang madaling ma-access. anyo.

Pangkalahatang Impormasyon

Una, unawain natin kung ano ang quadrilateral. Itong pigura ay isang espesyal na kaso ng isang polygon na naglalaman ng apat na gilid at apat na vertices. Dalawang vertices ng isang quadrilateral na hindi magkatabi ay tinatawag na kabaligtaran. Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa dalawang di-katabing panig. Ang mga pangunahing uri ng quadrilaterals ay parallelogram, rectangle, rhombus, square, trapezoid at deltoid.

Kaya, bumalik sa trapeze. Tulad ng nasabi na natin, ang figure na ito ay may dalawang panig na magkatulad. Tinatawag silang mga base. Ang iba pang dalawa (hindi parallel) ay ang mga gilid. Sa mga materyales sa pagsusulit at iba't-ibang gumaganang kontrol napakadalas makakahanap ka ng mga gawain na may kaugnayan sa mga trapezoid, ang solusyon na kadalasang nangangailangan ng mag-aaral na magkaroon ng kaalaman na hindi ibinigay ng programa. Ang kursong geometry ng paaralan ay nagpapakilala sa mga mag-aaral sa mga katangian ng mga anggulo at dayagonal, pati na rin ang midline ng isang isosceles trapezoid. Ngunit pagkatapos ng lahat, bilang karagdagan dito, ang nabanggit na geometric figure ay may iba pang mga tampok. Ngunit higit pa sa kanila mamaya ...

Mga uri ng trapezoid

Mayroong maraming mga uri ng figure na ito. Gayunpaman, madalas na kaugalian na isaalang-alang ang dalawa sa kanila - isosceles at hugis-parihaba.

1. Ang isang hugis-parihaba na trapezoid ay isang pigura kung saan ang isa sa mga gilid ay patayo sa mga base. Mayroon itong dalawang anggulo na laging siyamnapung digri.

2. Ang isosceles trapezoid ay isang geometric figure na ang mga gilid ay pantay sa bawat isa. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo sa mga base ay magkapares din na pantay.

Ang mga pangunahing prinsipyo ng pamamaraan para sa pag-aaral ng mga katangian ng isang trapezoid

Ang pangunahing prinsipyo ay ang paggamit ng tinatawag na diskarte sa gawain. Sa katunayan, hindi na kailangang ipakilala ang mga bagong katangian ng figure na ito sa teoretikal na kurso ng geometry. Maaari silang matuklasan at mabalangkas sa proseso ng paglutas ng iba't ibang mga problema (mas mahusay kaysa sa mga sistematiko). Kasabay nito, napakahalaga na alam ng guro kung anong mga gawain ang kailangang itakda para sa mga mag-aaral sa isang pagkakataon o iba pang proseso ng edukasyon. Bukod dito, ang bawat pag-aari ng trapezoid ay maaaring katawanin bilang isang pangunahing gawain sa sistema ng gawain.

Ang pangalawang prinsipyo ay ang tinatawag na spiral na organisasyon ng pag-aaral ng "kahanga-hangang" katangian ng trapezium. Ito ay nagpapahiwatig ng pagbabalik sa proseso ng pag-aaral sa mga indibidwal na katangian ng isang naibigay geometric na pigura. Sa gayon, mas madali para sa mga mag-aaral na kabisaduhin ang mga ito. Halimbawa, ang pag-aari ng apat na puntos. Maaari itong mapatunayan kapwa sa pag-aaral ng pagkakatulad at kasunod nito sa tulong ng mga vectors. At ang pantay na lugar ng mga tatsulok na katabi ng mga gilid ng figure ay maaaring patunayan sa pamamagitan ng paglalapat hindi lamang ng mga katangian ng mga tatsulok na may pantay na taas na iginuhit sa mga gilid na nakahiga sa parehong tuwid na linya, kundi pati na rin ang paggamit ng formula S= 1/ 2(ab*sinα). Bilang karagdagan, maaari kang mag-ehersisyo sa isang inscribed na trapezoid o isang right triangle sa isang circumscribed trapezoid, atbp.

Ang paggamit ng mga tampok na "out-of-program" ng isang geometric figure sa nilalaman ng kurso sa paaralan ay isang teknolohiya ng gawain para sa pagtuturo sa kanila. Ang patuloy na pag-apila sa mga pinag-aralan na pag-aari kapag dumadaan sa iba pang mga paksa ay nagpapahintulot sa mga mag-aaral na makakuha ng mas malalim na kaalaman sa trapezoid at tinitiyak ang tagumpay ng paglutas ng mga gawain. Kaya, simulan nating pag-aralan ang kahanga-hangang figure na ito.

Mga elemento at katangian ng isang isosceles trapezoid

Tulad ng nabanggit na natin, ang mga gilid ng geometric figure na ito ay pantay. Kilala rin ito bilang tamang trapezoid. Bakit ito kapansin-pansin at bakit ito nakakuha ng ganoong pangalan? Kasama sa mga tampok ng figure na ito ang katotohanan na hindi lamang ang mga gilid at sulok sa mga base ay pantay, kundi pati na rin ang mga diagonal. Gayundin, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang isosceles trapezoid ay 360 degrees. Ngunit hindi lang iyon! Sa lahat ng kilalang trapezoid, sa paligid ng isosceles lamang ang isa ay maaaring ilarawan ang isang bilog. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang kabuuan ng mga kabaligtaran na anggulo ng figure na ito ay 180 degrees, at sa ilalim lamang ng kondisyong ito ay maaaring ilarawan ang isang bilog sa paligid ng quadrilateral. Ang susunod na katangian ng geometric figure na isinasaalang-alang ay ang distansya mula sa base vertex hanggang sa projection ng kabaligtaran na vertex papunta sa tuwid na linya na naglalaman ng base na ito ay magiging katumbas ng midline.

Ngayon, alamin natin kung paano hanapin ang mga anggulo ng isosceles trapezoid. Isaalang-alang ang isang solusyon sa problemang ito, sa kondisyon na ang mga sukat ng mga gilid ng figure ay kilala.

Desisyon

Karaniwan, ang quadrilateral ay karaniwang tinutukoy ng mga letrang A, B, C, D, kung saan ang BS at AD ang mga base. Sa isang isosceles trapezoid, ang mga gilid ay pantay. Ipagpalagay namin na ang kanilang sukat ay X, at ang mga sukat ng mga base ay Y at Z (mas maliit at mas malaki, ayon sa pagkakabanggit). Upang maisagawa ang pagkalkula, kinakailangan upang gumuhit ng taas H mula sa anggulo B. Ang resulta ay isang right-angled triangle ABN, kung saan ang AB ay ang hypotenuse, at ang BN at AN ay ang mga binti. Kinakalkula namin ang laki ng binti AN: ibinabawas namin ang mas maliit mula sa mas malaking base, at hinahati ang resulta sa 2. Isinulat namin ito sa anyo ng isang formula: (Z-Y) / 2 \u003d F. Ngayon, upang kalkulahin ang matinding anggulo ng tatsulok, ginagamit namin ang cos function. Nakukuha namin ang sumusunod na tala: cos(β) = Х/F. Ngayon ay kinakalkula namin ang anggulo: β=arcos (Х/F). Dagdag pa, sa pag-alam ng isang anggulo, matutukoy natin ang pangalawa, para dito gumawa tayo ng elementarya operasyon ng aritmetika: 180 - β. Ang lahat ng mga anggulo ay tinukoy.

Mayroon ding pangalawang solusyon sa problemang ito. Sa simula, ibinababa namin ang taas H mula sa sulok B. Kinakalkula namin ang halaga ng binti ng BN. Alam namin na ang parisukat ng hypotenuse kanang tatsulok ay katumbas ng kabuuan parisukat ng mga binti. Nakukuha namin ang: BN \u003d √ (X2-F2). Susunod, ginagamit namin trigonometriko function tg. Bilang resulta, mayroon kaming: β = arctg (BN / F). May nakitang matalim na sulok. Susunod, tinutukoy namin sa parehong paraan tulad ng unang paraan.

Pag-aari ng mga diagonal ng isang isosceles trapezoid

Isulat muna natin ang apat na panuntunan. Kung ang mga diagonal sa isang isosceles trapezoid ay patayo, kung gayon:

Ang taas ng pigura ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga base na hinati sa dalawa;

Ang taas at median na linya nito ay pantay;

Ang gitna ng bilog ay ang punto kung saan ang ;

Kung ang lateral side ay nahahati sa punto ng contact sa mga segment H at M, kung gayon ito ay katumbas ng parisukat na ugat mga produkto ng mga segment na ito;

Ang quadrilateral, na nabuo sa pamamagitan ng mga tangent point, ang vertex ng trapezoid at ang gitna ng inscribed na bilog, ay isang parisukat na ang gilid ay katumbas ng radius;

Ang lugar ng isang figure ay katumbas ng produkto ng mga base at ang produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at ang taas nito.

Mga katulad na trapezium

Ang paksang ito ay napaka-maginhawa para sa pag-aaral ng mga katangian ng isang ito. Halimbawa, hinahati ng mga dayagonal ang trapezoid sa apat na tatsulok, at ang mga katabi ng mga base ay magkatulad, at ang mga katabi ng mga gilid ay pantay. Ang pahayag na ito ay maaaring tawaging isang pag-aari ng mga tatsulok kung saan ang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito. Ang unang bahagi ng assertion na ito ay pinatunayan sa pamamagitan ng criterion ng pagkakatulad sa dalawang anggulo. Upang patunayan ang pangalawang bahagi, mas mainam na gamitin ang paraang ibinigay sa ibaba.

Katibayan ng teorama

Tinatanggap namin na ang figure ABSD (AD at BS - ang mga base ng trapezoid) ay nahahati sa mga diagonal na VD at AC. Ang kanilang intersection point ay O. Nakakuha kami ng apat na tatsulok: AOS - sa ibabang base, BOS - sa itaas na base, ABO at SOD sa mga gilid. Ang mga tatsulok na SOD at BOS ay may isang karaniwang taas kung ang mga segment na BO at OD ay ang kanilang mga base. Nakuha namin na ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga lugar (P) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga segment na ito: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Samakatuwid, PSOD = PBOS / K. Katulad nito, ang BOS at AOB triangles ay may isang karaniwang taas. Kinukuha namin ang mga segment na CO at OA bilang kanilang mga base. Nakukuha namin ang PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K at PAOB \u003d PBOS / K. Ito ay sumusunod mula dito na ang PSOD = PAOB.

Upang pagsama-samahin ang materyal, pinapayuhan ang mga mag-aaral na maghanap ng kaugnayan sa pagitan ng mga lugar ng mga tatsulok na nakuha, kung saan ang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito, sa pamamagitan ng paglutas sa sumusunod na problema. Ito ay kilala na ang mga lugar ng triangles BOS at AOD ay pantay, ito ay kinakailangan upang mahanap ang lugar ng trapezoid. Dahil PSOD \u003d PAOB, nangangahulugan ito na PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na BOS at AOD ay sumusunod na BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Samakatuwid, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Nakukuha namin ang PSOD = √ (PBOS * PAOD). Pagkatapos PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

mga katangian ng pagkakatulad

Sa patuloy na pagbuo ng paksang ito, mapapatunayan natin ang iba kawili-wiling mga tampok trapezium. Kaya, gamit ang pagkakatulad, maaari mong patunayan ang pag-aari ng isang segment na dumadaan sa isang punto na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng mga diagonal ng geometric figure na ito, parallel sa mga base. Upang gawin ito, lutasin namin ang sumusunod na problema: kinakailangan upang mahanap ang haba ng segment na RK, na dumadaan sa puntong O. Mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na AOD at BOS, sinusundan nito ang AO/OS=AD/BS. Mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na AOP at ASB, sinusunod nito ang AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Mula dito nakuha namin ang RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Katulad nito, mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na DOK at DBS, sumusunod ito na OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Mula dito nakukuha natin ang RO=OK at RK=2*BS*AD/(BS+AD). Ang segment ng linya na dumadaan sa punto kung saan nagsa-intersect ang mga diagonal parallel sa mga base at ang pagkonekta sa dalawang panig, ay hinahati ng intersection point. Ang haba nito ay ang harmonic mean ng mga base ng figure.

Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng isang trapezoid, na tinatawag na pag-aari ng apat na puntos. Ang mga intersection point ng mga diagonal (O), ang mga intersection ng pagpapatuloy ng mga gilid (E), pati na rin ang mga midpoint ng mga base (T at W) ay palaging nakahiga sa parehong linya. Ito ay madaling napatunayan ng paraan ng pagkakatulad. Ang mga nagresultang tatsulok na BES at AED ay magkatulad, at sa bawat isa sa kanila ang mga median na ET at EZH ay naghahati sa anggulo sa tuktok E sa pantay na mga bahagi. Samakatuwid, ang mga puntong E, T at W ay nasa parehong tuwid na linya. Sa parehong paraan, ang mga puntos na T, O, at G ay matatagpuan sa parehong tuwid na linya. Ang lahat ng ito ay sumusunod mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na BOS at AOD. Mula dito napagpasyahan namin na ang lahat ng apat na puntos - E, T, O at W - ay nasa isang tuwid na linya.

Gamit ang magkatulad na trapezoid, maaaring hilingin sa mga mag-aaral na hanapin ang haba ng segment (LF) na naghahati sa pigura sa dalawang magkatulad. Ang segment na ito ay dapat na parallel sa mga base. Dahil ang mga resultang trapezoids ALFD at LBSF ay magkatulad, pagkatapos ay BS/LF=LF/BP. Kasunod nito na LF=√(BS*BP). Nakuha namin na ang segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang magkatulad ay may haba na katumbas ng geometric na ibig sabihin ng mga haba ng mga base ng figure.

Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng pagkakatulad. Ito ay batay sa isang segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang pantay na laki. Tinatanggap namin na ang trapezoid ABSD ay hinati ng segment EN sa dalawang magkatulad. Mula sa vertex B, ang taas ay tinanggal, na hinati ng segment na EH sa dalawang bahagi - B1 at B2. Nakukuha namin ang: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 at PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Susunod, bumubuo kami ng isang sistema na ang unang equation ay (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 at ang pangalawa (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Kasunod nito na ang B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) at BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Nakuha namin na ang haba ng segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang pantay na mga ay katumbas ng ibig sabihin ng parisukat ng mga haba ng mga base: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Mga hinuha sa pagkakatulad

Kaya, napatunayan namin na:

1. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid ng trapezoid ay parallel sa AD at BS at katumbas ng arithmetic mean ng BS at AD (ang haba ng base ng trapezoid).

2. Ang linyang dumadaan sa punto O ng intersection ng mga diagonal na kahanay ng AD at BS ay magiging katumbas ng harmonic mean ng mga numerong AD at BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Ang segment na naghahati sa trapezoid sa magkatulad ay may haba ng geometric na mean ng mga baseng BS at AD.

4. Ang isang elemento na naghahati sa isang pigura sa dalawang magkapareho ay may haba ng mga mean square na numero AD at BS.

Upang pagsamahin ang materyal at maunawaan ang koneksyon sa pagitan ng mga isinasaalang-alang na mga segment, kailangan ng mag-aaral na buuin ang mga ito para sa isang tiyak na trapezoid. Madali niyang maipakita ang midline at ang segment na dumadaan sa punto O - ang intersection ng mga diagonal ng figure - parallel sa mga base. Ngunit saan ang ikatlo at ikaapat? Ang sagot na ito ay magdadala sa mag-aaral sa pagtuklas ng nais na kaugnayan sa pagitan ng mga average.

Isang line segment na nagdurugtong sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid

Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng figure na ito. Tinatanggap namin na ang segment na MH ay parallel sa mga base at hinahati ang mga diagonal. Tawagan natin ang mga intersection point na W at W. Ang segment na ito ay magiging katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base. Suriin natin ito nang mas detalyado. MSH - ang gitnang linya ng tatsulok na ABS, ito ay katumbas ng BS / 2. MS - ang gitnang linya ng tatsulok na ABD, ito ay katumbas ng AD / 2. Pagkatapos ay nakuha namin na ShShch = MShch-MSh, samakatuwid, Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Sentro ng grabidad

Tingnan natin kung paano tinutukoy ang elementong ito para sa isang ibinigay na geometric na pigura. Upang gawin ito, kinakailangan upang pahabain ang mga base sa magkasalungat na direksyon. Ano ang ibig sabihin nito? Kinakailangan na idagdag ang mas mababang base sa itaas na base - sa alinman sa mga gilid, halimbawa, sa kanan. At ang ibaba ay pinalawak ng haba ng tuktok sa kaliwa. Susunod, ikinonekta namin ang mga ito sa isang dayagonal. Ang punto ng intersection ng segment na ito na may gitnang linya ng figure ay ang sentro ng grabidad ng trapezoid.

Inscribed at circumscribed trapezoids

Ilista natin ang mga tampok ng naturang mga figure:

1. Ang isang trapezoid ay maaari lamang isulat sa isang bilog kung ito ay isosceles.

2. Ang isang trapezoid ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang bilog, sa kondisyon na ang kabuuan ng mga haba ng kanilang mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid.

Mga kahihinatnan ng nakasulat na bilog:

1. Ang taas ng inilarawan na trapezoid ay palaging katumbas ng dalawang radii.

2. Ang lateral side ng inilarawan na trapezoid ay sinusunod mula sa gitna ng bilog sa tamang anggulo.

Ang unang corollary ay halata, at upang patunayan ang pangalawa ito ay kinakailangan upang maitaguyod na ang SOD anggulo ay tama, na, sa katunayan, ay hindi rin magiging mahirap. Ngunit ang kaalaman sa ari-arian na ito ay magpapahintulot sa amin na gumamit ng isang right-angled na tatsulok sa paglutas ng mga problema.

Ngayon ay tinukoy namin ang mga kahihinatnan na ito para sa isang isosceles trapezoid, na kung saan ay nakasulat sa isang bilog. Nakuha namin na ang taas ay ang geometric na ibig sabihin ng mga base ng figure: H=2R=√(BS*AD). Ang pagsasanay sa pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga problema para sa mga trapezoid (ang prinsipyo ng pagguhit ng dalawang taas), dapat malutas ng mag-aaral ang sumusunod na gawain. Tinatanggap namin na ang BT ay ang taas ng isosceles figure na ABSD. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga segment AT at TD. Gamit ang formula na inilarawan sa itaas, hindi ito magiging mahirap gawin.

Ngayon, alamin natin kung paano matukoy ang radius ng isang bilog gamit ang lugar ng circumscribed trapezoid. Ibinababa namin ang taas mula sa itaas na B hanggang sa base AD. Dahil ang bilog ay nakasulat sa isang trapezoid, pagkatapos ay BS + AD \u003d 2AB o AB \u003d (BS + AD) / 2. Mula sa tatsulok na ABN makikita natin ang sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Nakukuha namin ang PABSD \u003d (BS + HELL) * R, kasunod nito ang R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Lahat ng mga formula ng midline ng isang trapezoid

Ngayon ay oras na upang lumipat sa huling elemento ng geometric figure na ito. Alamin natin kung ano ang katumbas ng gitnang linya ng trapezoid (M) sa:

1. Sa pamamagitan ng mga base: M \u003d (A + B) / 2.

2. Sa pamamagitan ng taas, base at mga anggulo:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Sa pamamagitan ng taas, dayagonal at anggulo sa pagitan nila. Halimbawa, ang D1 at D2 ay ang mga dayagonal ng isang trapezoid; α, β - mga anggulo sa pagitan nila:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Sa pamamagitan ng lugar at taas: M = P / N.

QUADRANGLES.

§ 49. TRAPEZIA.

Ang isang may apat na gilid kung saan ang dalawang magkasalungat na gilid ay parallel at ang iba pang dalawa ay hindi parallel ay tinatawag na trapezoid.

Sa drawing 252, ang quadrilateral ABDC AB || CD, AC || B.D. ABDC - trapezoid.

Ang magkatulad na panig ng isang trapezoid ay tinatawag na nito bakuran; Ang AB at CD ay ang mga base ng trapezium. Ang iba pang dalawang panig ay tinatawag panig trapesiyo; Ang AC at BD ay ang mga gilid ng trapezium.

Kung ang mga panig ay pantay, kung gayon ang isang trapezoid ay tinatawag isosceles.

Ang trapezoid ABOM ay isosceles, dahil AM=BO (Fig. 253).

Ang isang trapezoid kung saan ang isa sa mga gilid ay patayo sa base ay tinatawag hugis-parihaba(dev. 254).

Ang median line ng isang trapezoid ay isang segment na nag-uugnay sa mga midpoint ng mga gilid ng trapezoid.

Teorama. Ang midline ng isang trapezoid ay parallel sa bawat isa sa mga base nito at katumbas ng kanilang kalahating kabuuan.

Ibinigay: OS - ang gitnang linya ng ABDK trapezoid, i.e. OK \u003d OA at BC \u003d CD (Fig. 255).

Dapat nating patunayan:

1) OS || KD at OS || AB;
2)

Patunay. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng mga puntos A at C na nagsasalubong sa pagpapatuloy ng batayang KD sa isang punto E.

Sa mga tatsulok na ABC at DCE:
BC \u003d CD - ayon sa kondisyon;
/ 1 = / 2 bilang patayo,
/ 4 = / 3, bilang panloob na crosswise na nakahiga na may parallel AB at KE at secant BD. Kaya naman, /\ ABC = /\ DSE.

Kaya naman, AC = CE, i.e. Ang OS ay ang midline ng tatsulok na KAE. Kaya naman (§ 48):

1) OS || KE at, samakatuwid, OS || KD at OS || AB;
2) , ngunit DE \u003d AB (mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ABC at DCE), samakatuwid ang segment DE ay maaaring mapalitan ng segment na AB na katumbas nito. Pagkatapos makuha namin:

Napatunayan na ang theorem.

Mga ehersisyo.

1. Patunayan na ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang trapezoid na katabi ng bawat panig ay 2 d.

2. Patunayan na ang mga anggulo sa base ng isang isosceles trapezoid ay pantay.

3. Patunayan na kung ang mga anggulo sa base ng isang trapezoid ay pantay, kung gayon ang trapezoid na ito ay isosceles.

4. Patunayan na ang mga dayagonal ng isang isosceles trapezoid ay pantay sa bawat isa.

5. Patunayan na kung ang mga diagonal ng isang trapezoid ay pantay, kung gayon ang trapezoid na ito ay isosceles.

6. Patunayan na ang perimeter ng figure na nabuo ng mga segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid ng quadrangle ay katumbas ng kabuuan ng mga diagonal ng quadrangle na ito.

7. Patunayan na ang isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna ng isa sa mga gilid ng isang trapezoid na kahanay sa mga base nito ay naghahati sa kabilang panig ng trapezoid.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga dahilan ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang konsepto ng midline ng trapezoid

Una, tandaan natin kung anong pigura ang tinatawag na trapezoid.

Kahulugan 1

Ang trapezoid ay isang may apat na gilid kung saan ang dalawang panig ay parallel at ang iba pang dalawa ay hindi parallel.

Sa kasong ito, ang mga parallel na panig ay tinatawag na mga base ng trapezoid, at hindi parallel - ang mga gilid ng trapezoid.

Kahulugan 2

Ang midline ng isang trapezoid ay isang line segment na nag-uugnay sa mga midpoint ng mga gilid ng trapezoid.

Trapezium midline theorem

Ipinakilala namin ngayon ang theorem sa midline ng isang trapezoid at patunayan ito sa pamamagitan ng paraan ng vector.

Teorama 1

Ang median na linya ng trapezoid ay kahanay sa mga base at katumbas ng kalahati ng kanilang kabuuan.

Patunay.

Bigyan tayo ng trapezoid $ABCD$ na may mga base na $AD\ at\ BC$. At hayaang $MN$ ang midline ng trapezoid na ito (Fig. 1).

Figure 1. Ang gitnang linya ng trapezoid

Patunayan natin na ang $MN||AD\ at\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Isaalang-alang ang vector na $\overrightarrow(MN)$. Susunod, ginagamit namin ang polygon rule para sa pagdaragdag ng vector. Sa isang banda, nakukuha natin iyon

Sa kabila

Ang pagdaragdag ng huling dalawang pagkakapantay-pantay, nakukuha natin

Dahil ang $M$ at $N$ ay ang mga midpoint ng mga gilid ng trapezoid, mayroon kami

Nakukuha namin:

Kaya naman

Mula sa parehong pagkakapantay-pantay (dahil ang $\overrightarrow(BC)$ at $\overrightarrow(AD)$ ay codirectional, at samakatuwid ay collinear), nakuha namin ang $MN||AD$ na iyon.

Napatunayan na ang theorem.

Mga halimbawa ng mga gawain sa konsepto ng midline ng isang trapezoid

Halimbawa 1

Mga gilid ang mga trapezoid ay $15\cm$ at $17\cm$ ayon sa pagkakabanggit. Ang perimeter ng trapezoid ay $52\cm$. Hanapin ang haba ng midline ng trapezoid.

Desisyon.

Tukuyin ang midline ng trapezoid ng $n$.

Ang kabuuan ng mga panig ay

Samakatuwid, dahil ang perimeter ay $52\ cm$, ang kabuuan ng mga base ay

Samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1, nakuha natin

Sagot:$10\cm$.

Halimbawa 2

Ang mga dulo ng diameter ng bilog ay $9$ cm at $5$ cm ayon sa pagkakabanggit mula sa tangent nito. Hanapin ang diameter ng bilog na ito.

Desisyon.

Bigyan tayo ng isang bilog na may gitnang $O$ at diameter na $AB$. Iguhit ang tangent $l$ at buuin ang mga distansyang $AD=9\ cm$ at $BC=5\ cm$. Iguhit natin ang radius na $OH$ (Larawan 2).

Figure 2.

Dahil ang $AD$ at $BC$ ay ang mga distansya sa tangent, kung gayon ang $AD\bot l$ at $BC\bot l$ at dahil ang $OH$ ay ang radius, kung gayon ang $OH\bot l$, kaya naman $OH | \kaliwa|AD\kanan||BC$. Mula sa lahat ng ito, nakuha namin na ang $ ABCD$ ay isang trapezoid, at ang $OH$ ay ang midline nito. Sa pamamagitan ng Theorem 1, nakukuha natin