Maghanap ng isang pangunahing hanay ng mga solusyon para sa isang homogenous na sistema. Mga homogenous na sistema ng mga linear na equation

Maaari kang mag-order detalyadong solusyon iyong gawain!!!

Upang maunawaan kung ano ang pangunahing sistema ng pagpapasya maaari mong panoorin ang video tutorial para sa parehong halimbawa sa pamamagitan ng pag-click sa . Ngayon ay lumipat tayo sa paglalarawan ng lahat ng kinakailangang gawain. Makakatulong ito sa iyo na maunawaan ang kakanyahan ng isyung ito nang mas detalyado.

Paano mahahanap ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng isang linear equation?

Kunin natin ang sistemang ito bilang isang halimbawa. linear na equation:

Maghanap tayo ng solusyon sa linear system na ito ng mga equation. Upang magsimula sa, kami isulat ang coefficient matrix ng system.

Ibahin natin ang matrix na ito sa isang tatsulok. Sinusulat namin muli ang unang linya nang walang mga pagbabago. At lahat ng elemento na nasa ilalim ng $a_(11)$ ay dapat gawing zero. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(21)$, kailangan mong ibawas ang una sa pangalawang linya, at isulat ang pagkakaiba sa pangalawang linya. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(31)$, kailangan mong ibawas ang una sa ikatlong hanay at isulat ang pagkakaiba sa ikatlong hanay. Upang makagawa ng zero sa halip na elementong $a_(41)$, kailangan mong ibawas ang unang pinarami ng 2 mula sa ikaapat na linya at isulat ang pagkakaiba sa ikaapat na linya. Upang gumawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(31)$, ibawas ang unang pinarami ng 2 mula sa ikalimang linya at isulat ang pagkakaiba sa ikalimang linya.

Sinusulat namin muli ang una at pangalawang linya nang walang mga pagbabago. At lahat ng elemento na nasa ilalim ng $a_(22)$ ay dapat gawing zero. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(32)$, kailangang ibawas ang pangalawa na pinarami ng 2 mula sa ikatlong hanay at isulat ang pagkakaiba sa ikatlong hilera. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(42)$, kailangang ibawas ang pangalawa na pinarami ng 2 mula sa ikaapat na linya at isulat ang pagkakaiba sa ikaapat na linya. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(52)$, ibawas ang pangalawa na pinarami ng 3 mula sa ikalimang linya at isulat ang pagkakaiba sa ikalimang linya.

Nakikita natin yan ang huling tatlong linya ay pareho, kaya kung ibawas mo ang pangatlo sa ikaapat at ikalima, magiging zero sila.

Para sa matrix na ito isulat bagong sistema mga equation.

Nakikita natin na mayroon lamang tayong tatlong linearly independent equation, at limang hindi alam, kaya ang pangunahing sistema ng mga solusyon ay bubuo ng dalawang vectors. Kaya kami ilipat ang huling dalawang hindi alam sa kanan.

Ngayon, nagsisimula kaming ipahayag ang mga hindi alam na nasa kaliwang bahagi sa pamamagitan ng mga nasa kanang bahagi. Magsisimula kami sa huling equation, una naming ipinapahayag ang $x_3$, pagkatapos ay pinapalitan namin ang resulta na nakuha sa pangalawang equation at ipahayag ang $x_2$, at pagkatapos ay sa unang equation at dito ipinapahayag namin ang $x_1$. Kaya, ipinahayag namin ang lahat ng hindi alam na nasa kaliwang bahagi sa pamamagitan ng mga hindi alam na nasa kanang bahagi.

Pagkatapos nito, sa halip na $x_4$ at $x_5$, maaari mong palitan ang anumang numero at hanapin ang $x_1$, $x_2$ at $x_3$. Ang bawat limang numero ay magiging ugat ng ating orihinal na sistema ng mga equation. Upang mahanap ang mga vector na kasama sa FSR kailangan nating palitan ang 1 sa halip na $x_4$, at palitan ang 0 sa halip na $x_5$, hanapin ang $x_1$, $x_2$ at $x_3$, at pagkatapos ay vice versa $x_4=0$ at $x_5=1$.

Homogeneous na sistema ng mga linear na equation sa isang field

DEPINISYON. Ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng sistema ng mga equation (1) ay isang non-empty linearly independent system ng mga solusyon nito, ang linear span na kung saan ay tumutugma sa set ng lahat ng solusyon ng system (1).

Tandaan na ang isang homogenous na sistema ng mga linear na equation na mayroon lamang isang zero na solusyon ay walang pangunahing sistema ng mga solusyon.

PANUKALA 3.11. Anumang dalawang pangunahing sistema ng mga solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay binubuo ng parehong bilang ng mga solusyon.

Patunay. Sa katunayan, anumang dalawang pangunahing sistema ng mga solusyon ng homogenous na sistema ng mga equation (1) ay katumbas at linearly na independyente. Samakatuwid, ayon sa Proposisyon 1.12, ang kanilang mga ranggo ay pantay. Samakatuwid, ang bilang ng mga solusyon na kasama sa isa pangunahing sistema, ay katumbas ng bilang ng mga solusyon na kasama sa anumang iba pang pangunahing sistema ng mga solusyon.

Kung ang pangunahing matrix A ng homogenous na sistema ng mga equation (1) ay zero, kung gayon ang anumang vector mula sa ay isang solusyon sa system (1); sa kasong ito, ang anumang koleksyon ng mga linearly independent na vectors mula sa ay isang pangunahing sistema ng mga solusyon. Kung ang ranggo ng hanay ng matrix A ay , kung gayon ang sistema (1) ay may isang solusyon lamang - zero; samakatuwid, sa kasong ito, ang sistema ng mga equation (1) ay walang pangunahing sistema ng mga solusyon.

TEOREM 3.12. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation (1) ay mas mababa sa bilang ng mga variable , kung gayon ang system (1) ay may pangunahing sistema ng mga solusyon na binubuo ng mga solusyon.

Patunay. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix A ng homogenous system (1) sero o , pagkatapos ay ipinakita sa itaas na ang teorama ay totoo. Samakatuwid, ipinapalagay sa ibaba na Sa pag-aakalang , ipapalagay natin na ang mga unang column ng matrix A ay linearly independent. Sa kasong ito, ang matrix A ay rowwise na katumbas ng reduced step matrix, at ang system (1) ay katumbas ng sumusunod na reduced step system ng mga equation:

Ito ay madaling suriin na ang anumang sistema ng mga halaga ng libre mga variable ng system(2) ay tumutugma sa isa at tanging solusyon ng system (2) at, samakatuwid, ng system (1). Sa partikular, tanging ang zero na solusyon ng system (2) at system (1) ang tumutugma sa sistema ng mga zero value.

Sa system (2), magtatalaga kami ng isang halaga na katumbas ng 1 sa isa sa mga libreng variable, at zero na halaga sa iba pang mga variable. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng mga solusyon sa sistema ng mga equation (2), na isinusulat natin bilang mga hilera ng sumusunod na matrix C:

Ang row system ng matrix na ito ay linearly independent. Sa katunayan, para sa anumang mga scalar mula sa pagkakapantay-pantay

sumusunod ang pagkakapantay-pantay

at samakatuwid ay pagkakapantay-pantay

Patunayan natin na ang linear span ng sistema ng mga hilera ng matrix C ay tumutugma sa hanay ng lahat ng mga solusyon ng system (1).

Arbitrary na solusyon ng system (1). Tapos yung vector

ay isa ring solusyon sa system (1), at

Ang isang sistema ng mga linear na equation kung saan ang lahat ng mga libreng termino ay katumbas ng zero ay tinatawag homogenous :

Ang anumang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, dahil palagi itong mayroon sero (walang kuwenta ) solusyon. Ang tanong ay lumitaw sa ilalim ng kung anong mga kondisyon ang isang homogenous na sistema ay magkakaroon ng isang di-maliit na solusyon.

Teorama 5.2.Ang isang homogenous na sistema ay may isang non-trivial na solusyon kung at kung ang ranggo ng pinagbabatayan na matrix ay mas mababa sa bilang ng mga hindi alam nito.

Bunga. Ang isang parisukat na homogenous na sistema ay may isang non-trivial na solusyon kung at kung ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay hindi katumbas ng zero.

Halimbawa 5.6. Tukuyin ang mga halaga ng parameter l kung saan ang sistema ay may mga hindi kabuluhang solusyon at hanapin ang mga solusyong ito:

Solusyon. Ang sistemang ito ay magkakaroon ng isang non-trivial na solusyon kapag ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero:

Kaya, ang sistema ay hindi mahalaga kapag l=3 o l=2. Para sa l=3, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 1. Pagkatapos, iiwan lamang ang isang equation at ipagpalagay na y=a at z=b, nakukuha namin x=b-a, ibig sabihin.

Para sa l=2, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 2. Pagkatapos, ang pagpili bilang pangunahing minor:

nakakakuha tayo ng pinasimpleng sistema

Mula dito makikita natin iyan x=z/4, y=z/2. Ipagpalagay z=4a, nakukuha namin

Ang hanay ng lahat ng mga solusyon ng isang homogenous na sistema ay may napakahalaga linear na ari-arian : kung X column 1 at X 2 - mga solusyon ng homogenous system AX = 0, pagkatapos ay anumang linear na kumbinasyon ng mga ito a X 1+b X 2 magiging solusyon din ng sistemang ito. Sa katunayan, mula noong AX 1 = 0 at AX 2 = 0 , pagkatapos A(a X 1+b X 2) = a AX 1+b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Dahil sa katangiang ito, kung ang isang linear system ay may higit sa isang solusyon, magkakaroon ng walang katapusang marami sa mga solusyong ito.

Mga Linearly Independent Column E 1 , E 2 , E k, na mga solusyon ng isang homogenous na sistema, ay tinatawag pangunahing sistema ng pagpapasya homogenous na sistema ng mga linear equation kung ang pangkalahatang solusyon ng sistemang ito ay maaaring isulat bilang isang linear na kumbinasyon ng mga column na ito:

Kung ang isang homogenous na sistema ay may n mga variable, at ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng r, pagkatapos k = n-r.

Halimbawa 5.7. Hanapin ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng sumusunod na sistema ng mga linear na equation:

Solusyon. Hanapin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system:

Kaya, ang hanay ng mga solusyon ng sistemang ito ng mga equation ay bumubuo ng isang linear na subspace ng dimensyon n - r= 5 - 2 = 3. Pinipili namin bilang pangunahing menor de edad

Pagkatapos, iiwan lamang ang mga pangunahing equation (ang natitira ay magiging isang linear na kumbinasyon ng mga equation na ito) at mga pangunahing variable (ang natitira, ang tinatawag na mga libreng variable, inililipat namin sa kanan), nakakakuha kami ng isang pinasimple na sistema ng mga equation:

Ipagpalagay x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, nahanap namin

, .

Ipagpalagay a= 1, b=c= 0, nakuha namin ang unang pangunahing solusyon; ipagpalagay b= 1, a = c= 0, nakuha namin ang pangalawang pangunahing solusyon; ipagpalagay c= 1, a = b= 0, nakukuha namin ang ikatlong pangunahing solusyon. Bilang resulta, ang normal na pangunahing sistema ng mga solusyon ay nagkakaroon ng anyo

Gamit ang pangunahing sistema, ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na sistema ay maaaring isulat bilang

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . a

Tandaan natin ang ilang mga katangian ng mga solusyon ng hindi magkakatulad na sistema ng mga linear na equation AX=B at ang kanilang kaugnayan sa kaukulang homogenous na sistema ng mga equation AX = 0.

Pangkalahatang solusyon ng isang inhomogeneous systemay katumbas ng kabuuan karaniwang solusyon ng katumbas na homogenous system na AX = 0 at isang arbitrary na partikular na solusyon ng hindi homogenous na sistema. Sa katunayan, hayaan Y 0 ay isang di-makatwirang partikular na solusyon ng isang hindi magkakatulad na sistema, i.e. AY 0 = B, at Y ay ang pangkalahatang solusyon ng isang inhomogeneous system, i.e. AY=B. Ang pagbabawas ng isang pagkakapantay-pantay mula sa isa, nakukuha natin
A(Y-Y 0) = 0, ibig sabihin. Y-Y Ang 0 ay ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous system AX=0. Dahil dito, Y-Y 0 = X, o Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Hayaang magkaroon ng anyong AX = B ang isang inhomogeneous system 1 + B 2 . Kung gayon ang pangkalahatang solusyon ng naturang sistema ay maaaring isulat bilang X = X 1 + X 2 , kung saan si AX 1 = B 1 at AX 2 = B 2. Ang pag-aari na ito ay nagpapahayag ng pangkalahatang pag-aari ng alinman mga linear na sistema(algebraic, differential, functional, atbp.). Sa pisika, ang ari-arian na ito ay tinatawag prinsipyo ng superposisyon, sa electrical at radio engineering - prinsipyo ng overlay. Halimbawa, sa teorya ng linear electrical circuits, ang kasalukuyang sa anumang circuit ay maaaring makuha bilang algebraic sum mga agos na dulot ng bawat pinagmumulan ng enerhiya nang hiwalay.

Patuloy naming i-polish ang technique mga pagbabagong elementarya sa homogenous na sistema ng mga linear na equation.
Ayon sa mga unang talata, ang materyal ay maaaring mukhang mayamot at karaniwan, ngunit ang impression na ito ay mapanlinlang. Bilang karagdagan sa karagdagang pag-unlad ng mga teknikal na pamamaraan, magkakaroon ng marami bagong impormasyon, kaya mangyaring subukang huwag pabayaan ang mga halimbawa sa artikulong ito.

Ano ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation?

Ang sagot ay nagmumungkahi mismo. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay homogenous kung ang libreng termino lahat ang equation ng system ay zero. Halimbawa:

Ito ay lubos na malinaw na ang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, ibig sabihin, laging may solusyon. At, una sa lahat, ang tinatawag na walang kuwenta solusyon . Trivial, para sa mga hindi naiintindihan ang kahulugan ng pang-uri sa lahat, ay nangangahulugang bespontovoe. Hindi sa akademya, siyempre, ngunit sa katinuan =) ... Bakit kailangan mong magpatalo, alamin natin kung ang sistemang ito ay may iba pang mga solusyon:

Halimbawa 1

Solusyon: upang malutas ang isang homogenous na sistema kinakailangan na magsulat system matrix at sa tulong ng mga pagbabagong elementarya ay dalhin ito sa isang stepped form. Tandaan na hindi na kailangang isulat dito ang vertical bar at zero column ng mga libreng miyembro - pagkatapos ng lahat, kahit anong gawin mo sa mga zero, mananatili silang zero:

(1) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -3.

(2) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1.

Ang paghahati sa ikatlong hilera ng 3 ay hindi gaanong kahulugan.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na homogenous na sistema , at, paglalapat ng reverse move ng Gaussian method, madaling i-verify na kakaiba ang solusyon.

Sagot:

Bumuo tayo ng malinaw na pamantayan: isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay mayroon walang kuwentang solusyon, kung ranggo ng system matrix(sa kasong ito, 3) ay katumbas ng bilang ng mga variable (sa kasong ito, 3 pcs.).

Nag-iinit kami at ini-tune ang aming radyo sa isang alon ng elementarya na pagbabago:

Halimbawa 2

Lutasin ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation

Upang tuluyang ayusin ang algorithm, suriin natin ang panghuling gawain:

Halimbawa 7

Lutasin ang isang homogenous system, isulat ang sagot sa vector form.

Solusyon: isinulat namin ang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dinadala namin ito sa isang stepped form:

(1) Ang tanda ng unang linya ay binago. Muli, iginuhit ko ang pansin sa paulit-ulit na natutugunan na pamamaraan, na nagbibigay-daan sa iyo upang makabuluhang pasimplehin ang sumusunod na aksyon.

(1) Ang unang linya ay idinagdag sa ika-2 at ika-3 linya. Ang unang linya na pinarami ng 2 ay idinagdag sa ika-4 na linya.

(3) Ang huling tatlong linya ay proporsyonal, dalawa sa kanila ang tinanggal.

Bilang isang resulta, ang isang karaniwang step matrix ay nakuha, at ang solusyon ay nagpapatuloy kasama ang knurled track:

- pangunahing mga variable;
ay mga libreng variable.

Ipinapahayag namin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libreng variable. Mula sa 2nd equation:

- kapalit sa 1st equation:

Kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Dahil mayroong tatlong libreng variable sa halimbawang isinasaalang-alang, ang pangunahing sistema ay naglalaman ng tatlong vectors.

Palitan natin ang isang triple ng mga halaga sa pangkalahatang solusyon at kumuha ng vector na ang mga coordinate ay nakakatugon sa bawat equation ng homogenous system. At muli, inuulit ko na lubos na kanais-nais na suriin ang bawat natanggap na vector - hindi ito kukuha ng napakaraming oras, ngunit makatipid ito ng isang daang porsyento mula sa mga pagkakamali.

Para sa isang triple ng mga halaga hanapin ang vector

At sa wakas para sa triple nakuha namin ang pangatlong vector:

Sagot: , saan

Ang mga gustong umiwas sa mga fractional na halaga ay maaaring isaalang-alang ang mga triple at makuha ang sagot sa katumbas na anyo:

Speaking of fractions. Tingnan natin ang matrix na nakuha sa problema at tanungin ang tanong - posible bang gawing simple ang karagdagang solusyon? Pagkatapos ng lahat, dito namin unang ipinahayag ang pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga fraction, pagkatapos ay ang pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga fraction, at, dapat kong sabihin, ang prosesong ito ay hindi ang pinakamadali at hindi ang pinaka-kaaya-aya.

Ang pangalawang solusyon:

Ang ideya ay subukan pumili ng iba pang mga pangunahing variable. Tingnan natin ang matrix at pansinin ang dalawa sa ikatlong hanay. Kaya bakit hindi makakuha ng zero sa tuktok? Gumawa tayo ng isa pang elementarya na pagbabago:

Ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho at may maliit na solusyon
. Para umiral ang isang nontrivial na solusyon, kinakailangan na ang ranggo ng matrix ay mas mababa sa bilang ng mga hindi alam:

Pangunahing sistema ng pagpapasya homogenous na sistema
tawagan ang sistema ng mga solusyon sa anyo ng mga vector ng haligi
, na tumutugma sa kanonikal na batayan, i.e. batayan kung saan arbitrary constants
ay halili na itinakda katumbas ng isa, habang ang iba ay nakatakda sa zero.

Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na sistema ay may anyo:

saan
ay di-makatwirang mga pare-pareho. Sa madaling salita, ang pangkalahatang solusyon ay isang linear na kumbinasyon ng pangunahing sistema ng mga solusyon.

Kaya, ang mga pangunahing solusyon ay maaaring makuha mula sa pangkalahatang solusyon kung ang mga libreng hindi alam ay halili na binibigyan ng halaga ng pagkakaisa, sa pag-aakalang lahat ng iba ay katumbas ng zero.

Halimbawa. Maghanap tayo ng solusyon sa sistema

Tinatanggap namin , pagkatapos ay makuha namin ang solusyon sa form:

Bumuo tayo ngayon ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon:

Ang pangkalahatang solusyon ay maaaring isulat bilang:

Ang mga solusyon sa isang sistema ng homogenous linear equation ay may mga sumusunod na katangian:

Sa madaling salita, ang anumang linear na kumbinasyon ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ay muling solusyon.

Solusyon ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng Gauss method

Ang paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation ay naging interesado sa mga mathematician sa loob ng ilang siglo. Ang mga unang resulta ay nakuha noong ika-18 siglo. Noong 1750, inilathala ni G. Kramer (1704–1752) ang kanyang mga gawa sa mga determinant ng square matrices at nagmungkahi ng algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix. Noong 1809, binalangkas ni Gauss ang isang bagong paraan ng solusyon na kilala bilang paraan ng pag-aalis.

Ang Gauss method, o ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam, ay binubuo sa katotohanan na, sa tulong ng elementarya na pagbabago, ang sistema ng mga equation ay nabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang stepped (o triangular) na anyo. Ang ganitong mga sistema ay nagbibigay-daan sa iyo upang patuloy na mahanap ang lahat ng mga hindi alam sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod.

Ipagpalagay na sa system (1)
(na laging posible).

(1)

Ang pagpaparami ng unang equation sa turn sa tinatawag na angkop na mga numero

at pagdaragdag ng resulta ng multiplikasyon sa mga katumbas na equation ng system, nakakakuha tayo ng katumbas na sistema kung saan ang lahat ng equation, maliban sa una, ay walang alam. X 1

(2)

Pina-multiply natin ngayon ang pangalawang equation ng system (2) sa mga naaangkop na numero, sa pag-aakalang iyon

at idagdag ito sa mga mas mababa, inaalis namin ang variable ng lahat ng equation, simula sa pangatlo.

Ang pagpapatuloy ng prosesong ito, pagkatapos
mga hakbang na nakukuha namin:

(3)

Kung hindi bababa sa isa sa mga numero
ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang katumbas na pagkakapantay-pantay ay hindi naaayon at ang sistema (1) ay hindi naaayon. Sa kabaligtaran, para sa anumang pinagsamang sistema ng numero
ay katumbas ng zero. Numero ay walang iba kundi ang ranggo ng system matrix (1).

Ang paglipat mula sa system (1) hanggang (3) ay tinatawag sa isang tuwid na linya Gaussian method, at paghahanap ng mga hindi alam mula sa (3) - paurong .

Magkomento : Mas madaling magsagawa ng mga pagbabagong-anyo hindi sa mga equation mismo, ngunit sa pinahabang matrix ng system (1).

Halimbawa. Maghanap tayo ng solusyon sa sistema