Lutasin ang kumplikadong equation. Paglutas ng mga problema sa mga kumplikadong numero

FEDERAL AGENCY PARA SA EDUKASYON

INSTITUSYON NG EDUKASYONAL NG ESTADO

HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION

"VORONEZH STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY"

PANGULO NG AGLEBRA AT GEOMETRY

Mga kumplikadong numero

(mga napiling gawain)

PANGHULING KWALIPIKASYON NA GAWAIN

espesyalidad 050201.65 matematika

(na may karagdagang specialty 050202.65 informatics)

Nakumpleto ni: 5th year student

pisikal at matematika

faculty

Siyentipikong tagapayo:

VORONEZH - 2008

1. Panimula……………………………………………………...…………..…

2. Mga kumplikadong numero (mga napiling problema)

2.1. Mga kumplikadong numero sa algebraic form….……...……….….

2.2. Geometric na interpretasyon ng mga kumplikadong numero…………..…

2.3. Trigonometric na anyo ng mga kumplikadong numero

2.4. Paglalapat ng teorya ng mga kumplikadong numero sa solusyon ng mga equation ng ika-3 at ika-4 na antas………………………………………………………………………………

2.5. Mga kumplikadong numero at parameter………………………………………………….

3. Konklusyon………………………………………………………………………….

4. Listahan ng mga sanggunian……………………………………………………………………………………

1. Panimula

Sa programa ng matematika ng kurso sa paaralan, ang teorya ng numero ay ipinakilala gamit ang mga halimbawa ng mga hanay ng mga natural na numero, integer, rational, hindi makatwiran, i.e. sa hanay ng mga totoong numero na ang mga larawan ay pumupuno sa buong linya ng numero. Ngunit nasa ika-8 baitang ay walang sapat na stock ng mga tunay na numero, paglutas ng mga quadratic equation na may negatibong diskriminasyon. Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang lagyang muli ang stock ng mga tunay na numero na may kumplikadong mga numero, kung saan Kuwadrado na ugat mula sa negatibong numero may kahulugan.

Ang pagpili ng paksang "Complex Numbers" bilang tema ng aking pagtatapos gawaing kuwalipikado, ay nakasalalay sa katotohanan na ang konsepto ng isang kumplikadong numero ay nagpapalawak ng kaalaman ng mga mag-aaral tungkol sa mga numerical system, tungkol sa paglutas ng malawak na klase ng mga problema ng parehong algebraic at geometric na nilalaman, tungkol sa paglutas algebraic equation anumang antas at tungkol sa paglutas ng mga problema sa mga parameter.

Sa gawaing tesis na ito, isinasaalang-alang ang solusyon sa 82 problema.

Ang unang bahagi ng pangunahing seksyon na "Mga Kumplikadong Numero" ay nagbibigay ng mga solusyon sa mga problema sa mga kumplikadong numero sa algebraic form, tinutukoy ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, conjugation para sa mga kumplikadong numero sa algebraic form, ang antas ng isang haka-haka na yunit, ang modulus ng isang kumplikadong numero, at itinatakda din ang panuntunan sa pagkuha ng square root ng isang kumplikadong numero.

Sa ikalawang bahagi, ang mga problema ay malulutas para sa geometric na interpretasyon ng mga kumplikadong numero sa anyo ng mga punto o mga vector ng kumplikadong eroplano.

Ang ikatlong bahagi ay tumatalakay sa mga operasyon sa mga kumplikadong numero sa trigonometriko na anyo. Ginagamit ang mga formula: De Moivre at pagkuha ng isang ugat mula sa isang kumplikadong numero.

Ang ikaapat na bahagi ay nakatuon sa paglutas ng mga equation ng ika-3 at ika-4 na digri.

Kapag nilulutas ang mga problema sa huling bahagi na "Mga Kumplikadong Numero at Parameter", ang impormasyong ibinigay sa mga nakaraang bahagi ay ginagamit at pinagsama-sama. Ang isang serye ng mga problema sa kabanatang ito ay nakatuon sa pagtukoy ng mga pamilya ng mga linya sa kumplikadong eroplano na ibinigay ng mga equation (hindi pagkakapantay-pantay) na may isang parameter. Sa bahagi ng mga pagsasanay, kailangan mong lutasin ang mga equation na may isang parameter (sa ibabaw ng field C). May mga gawain kung saan ang isang kumplikadong variable ay sabay-sabay na nakakatugon sa ilang mga kundisyon. Ang isang tampok ng paglutas ng mga problema ng seksyong ito ay ang pagbawas ng marami sa kanila sa solusyon ng mga equation (hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema) ng pangalawang antas, hindi makatwiran, trigonometriko na may isang parameter.

Ang isang tampok ng pagtatanghal ng materyal ng bawat bahagi ay ang paunang input mga teoretikal na pundasyon, at kalaunan ang kanilang praktikal na aplikasyon sa paglutas ng mga problema.

Sa huli thesis isang listahan ng ginamit na panitikan ay ipinakita. Sa karamihan sa kanila, ang teoretikal na materyal ay ipinakita sa sapat na detalye at sa isang madaling paraan, ang mga solusyon sa ilang mga problema ay isinasaalang-alang, at mga praktikal na gawain para sa malayang desisyon. Nais kong bigyan ng espesyal na pansin ang mga mapagkukunan tulad ng:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Mga kumplikadong numero at ang kanilang mga aplikasyon: Textbook. . materyal Gabay sa pag-aaral ipinakita sa anyo ng mga lektura at praktikal na pagsasanay.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Mga piling problema at teorema ng elementarya na matematika. Arithmetic at Algebra. Ang libro ay naglalaman ng 320 mga problema na may kaugnayan sa algebra, arithmetic at teorya ng numero. Sa kanilang likas na katangian, ang mga gawaing ito ay malaki ang pagkakaiba sa mga karaniwang gawain sa paaralan.

2. Mga kumplikadong numero (mga napiling problema)

2.1. Mga kumplikadong numero sa anyong algebra

Ang solusyon ng maraming problema sa matematika at pisika ay binabawasan sa paglutas ng mga algebraic equation, i.e. mga equation ng form

kung saan ang a0 , a1 , …, an ay tunay na mga numero. Samakatuwid, ang pag-aaral ng algebraic equation ay isa sa kritikal na isyu sa matematika. Halimbawa, mayroon ang quadratic equation na walang tunay na ugat negatibong diskriminasyon. Ang pinakasimpleng naturang equation ay ang equation

Upang magkaroon ng solusyon ang equation na ito, kinakailangang palawakin ang hanay ng mga tunay na numero sa pamamagitan ng pagdaragdag dito ng ugat ng equation.

Tukuyin natin ang ugat na ito bilang

Dahil dito,

Ang resultang expression ay tinawag na kumplikadong mga numero dahil naglalaman ang mga ito ng parehong tunay at haka-haka na mga bahagi.

Kaya, ang mga kumplikadong numero ay tinatawag na mga expression ng form

Mga kumplikadong numero ng form

Mga kumplikadong numero ng form

Ang algebraic notation ng mga kumplikadong numero ay ginagawang posible na magsagawa ng mga operasyon sa mga ito ayon sa karaniwang mga tuntunin ng algebra.

Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming mga kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa sports. Ang mga equation ay ginagamit ng tao mula pa noong unang panahon at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Para sa kalinawan, lutasin natin ang sumusunod na problema:

Compute \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] kung \

Una sa lahat, bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang isang numero ay kinakatawan sa algebraic form, ang isa pa - sa trigonometric form. Kailangan itong gawing simple at dalhin sa sumusunod na form

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Ang expression na \ ay nagsasabi na, una sa lahat, ginagawa namin ang pagpaparami at pagtaas sa ika-10 kapangyarihan ayon sa formula ng Moivre. Ang formula na ito ay binuo para sa trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero. Nakukuha namin:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Ang pagsunod sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kumplikadong numero sa trigonometric form, gagawin namin ang sumusunod:

Sa kaso natin:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Ginagawang tama ang fraction na \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], napagpasyahan namin na posibleng "i-twist" ang 4 na pagliko \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Sagot: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Ang equation na ito ay maaaring lutasin sa ibang paraan, na bumababa sa pagdadala ng ika-2 numero sa algebraic form, pagkatapos ay pagsasagawa ng multiplication sa algebraic form, pagsasalin ng resulta sa trigonometric form at paglalapat ng Moivre formula:

Saan ko malulutas ang isang sistema ng mga equation na may mga kumplikadong numero online?

Maaari mong malutas ang sistema ng mga equation sa aming website https: // site. Ang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang online na equation ng anumang kumplikado sa ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari mo ring panoorin ang pagtuturo ng video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon kang anumang mga katanungan, maaari mong tanungin sila sa aming Vkontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.

Upang malutas ang mga problema sa mga kumplikadong numero, kailangan mong maunawaan ang mga pangunahing kahulugan. Ang pangunahing layunin ng artikulo sa pagsusuri na ito ay ipaliwanag kung ano ang mga kumplikadong numero at nagpapakita ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga pangunahing problema sa mga kumplikadong numero. Kaya, ang isang kumplikadong numero ay isang numero ng form z = a + bi, saan a, b- tunay na mga numero, na tinatawag na tunay at haka-haka na mga bahagi ng kumplikadong numero, ayon sa pagkakabanggit, at nagsasaad a = Re(z), b=Im(z).
i ay tinatawag na imaginary unit. i 2 \u003d -1. Sa partikular, ang anumang tunay na numero ay maaaring ituring na kumplikado: a = a + 0i, kung saan ang a ay totoo. Kung a = 0 at b ≠ 0, kung gayon ang numero ay tinatawag na puro haka-haka.

Ipinakilala na namin ngayon ang mga operasyon sa mga kumplikadong numero.
Isaalang-alang ang dalawang kumplikadong numero z 1 = a 1 + b 1 i at z 2 = a 2 + b 2 i.

Isipin mo z = a + bi.

Ang hanay ng mga kumplikadong numero ay nagpapalawak sa hanay ng mga tunay na numero, na siya namang nagpapalawak sa hanay mga rational na numero atbp. Ang chain of investments na ito ay makikita sa figure: N - mga integer, Z ay mga integer, Q ay makatwiran, R ay tunay, C ay kumplikado.

Representasyon ng mga kumplikadong numero

Algebraic notation.

Isaalang-alang ang isang kumplikadong numero z = a + bi, ang paraan ng pagsulat ng isang kumplikadong numero ay tinatawag algebraic. Napag-usapan na natin ang paraan ng pagsulat na ito nang detalyado sa nakaraang seksyon. Madalas gamitin ang sumusunod na paglalarawang pagguhit

trigonometrikong anyo.

Ito ay makikita mula sa figure na ang numero z = a + bi maaaring maisulat nang iba. Obvious naman yun a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Dahil dito z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) ay tinatawag na argumento ng isang kumplikadong numero. Ang representasyong ito ng isang kumplikadong numero ay tinatawag trigonometrikong anyo. Ang trigonometriko na anyo ng notasyon ay minsan napaka-maginhawa. Halimbawa, ito ay maginhawang gamitin ito para sa pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang integer na kapangyarihan, ibig sabihin, kung z = rcos(φ) + rsin(φ)i, pagkatapos z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ang formula na ito ay tinatawag Ang formula ni De Moivre.

Demonstratibong anyo.

Isipin mo z = rcos(φ) + rsin(φ)i ay isang kumplikadong numero sa trigonometric form, isinusulat namin ito sa ibang anyo z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, ang huling pagkakapantay-pantay ay sumusunod mula sa Euler formula, kaya nakuha namin bagong anyo kumplikadong mga entry ng numero: z = muling iφ, na tinatawag na demonstrative. Ang form na ito ng notasyon ay napaka-maginhawa para sa pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang kapangyarihan: z n = r n e inφ, dito n hindi kinakailangang isang integer, ngunit maaaring isang arbitrary na tunay na numero. Ang anyo ng pagsulat na ito ay kadalasang ginagamit upang malutas ang mga problema.

Pangunahing teorama ng mas mataas na algebra

Isipin na mayroon tayong quadratic equation x 2 + x + 1 = 0 . Malinaw na ang discriminant ng equation na ito ay negatibo at wala itong tunay na ugat, ngunit lumalabas na ang equation na ito ay may dalawang magkaibang kumplikadong ugat. Kaya, ang pangunahing theorem ng mas mataas na algebra ay nagsasaad na ang anumang polynomial ng degree n ay may hindi bababa sa isang kumplikadong ugat. Ito ay sumusunod mula dito na ang anumang polynomial ng degree n ay may eksaktong n kumplikadong mga ugat, na isinasaalang-alang ang kanilang multiplicity. Ang theorem na ito ay isang napakahalagang resulta sa matematika at malawakang ginagamit. Ang isang simpleng bunga ng teorama na ito ay mayroong eksaktong n natatanging n-degree na ugat ng pagkakaisa.

Mga pangunahing uri ng mga gawain

Saklaw ng seksyong ito ang mga pangunahing uri mga simpleng gawain sa mga kumplikadong numero. Karaniwan, ang mga problema sa kumplikadong mga numero ay maaaring hatiin sa mga sumusunod na kategorya.

• Nagsasagawa ng mga simpleng operasyon ng aritmetika sa mga kumplikadong numero.
• Paghahanap ng mga ugat ng polynomial sa mga kumplikadong numero.
• Pagtaas ng mga kumplikadong numero sa isang kapangyarihan.
• Pagkuha ng mga ugat mula sa mga kumplikadong numero.
• Paglalapat ng mga kumplikadong numero upang malutas ang iba pang mga problema.

Ngayon isaalang-alang pangkalahatang pamamaraan solusyon sa mga problemang ito.

Ang pinakasimpleng mga operasyon ng aritmetika na may mga kumplikadong numero ay isinasagawa ayon sa mga patakaran na inilarawan sa unang seksyon, ngunit kung ang mga kumplikadong numero ay ipinakita sa mga trigonometric o exponential form, kung gayon sa kasong ito maaari silang ma-convert sa algebraic form at magsagawa ng mga operasyon ayon sa kilalang mga patakaran.

Ang paghahanap ng mga ugat ng polynomial ay kadalasang bumababa sa paghahanap ng mga ugat quadratic equation. Ipagpalagay na mayroon tayong isang quadratic equation, kung ang discriminant nito ay hindi negatibo, kung gayon ang mga ugat nito ay magiging totoo at matatagpuan ayon sa isang kilalang formula. Kung ang discriminant ay negatibo, kung gayon D = -1∙a 2, saan a ay isang tiyak na numero, pagkatapos ay maaari naming katawanin ang discriminant sa form D = (ia) 2, Dahil dito √D = i|a|, at pagkatapos ay maaari mong gamitin ang kilalang formula para sa mga ugat ng quadratic equation.

Halimbawa. Bumalik tayo sa quadratic equation na binanggit sa itaas x 2 + x + 1 = 0.
may diskriminasyon - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Ngayon ay madali nating mahahanap ang mga ugat:

Ang pagpapataas ng mga kumplikadong numero sa isang kapangyarihan ay maaaring gawin sa maraming paraan. Kung nais mong itaas ang isang kumplikadong numero sa algebraic form sa isang maliit na kapangyarihan (2 o 3), pagkatapos ay magagawa mo ito sa pamamagitan ng direktang pagpaparami, ngunit kung ang antas ay mas malaki (sa mga problema ay madalas na mas malaki), pagkatapos ay kailangan mong isulat ang numerong ito sa mga trigonometriko o exponential na anyo at gumamit ng mga alam nang pamamaraan.

Halimbawa. Isaalang-alang ang z = 1 + i at itaas sa ikasampung kapangyarihan.
Sinusulat namin ang z sa exponential form: z = √2 e iπ/4 .
Pagkatapos z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Bumalik tayo sa algebraic form: z 10 = -32i.

Ang pag-extract ng mga ugat mula sa mga kumplikadong numero ay ang kabaligtaran na operasyon na may paggalang sa exponentiation, kaya ginagawa ito sa katulad na paraan. Upang kunin ang mga ugat, ang exponential form ng pagsulat ng isang numero ay kadalasang ginagamit.

Halimbawa. Hanapin ang lahat ng mga ugat ng degree 3 ng pagkakaisa. Upang gawin ito, makikita natin ang lahat ng mga ugat ng equation z 3 = 1, hahanapin natin ang mga ugat sa exponential form.
Palitan sa equation: r 3 e 3iφ = 1 o r 3 e 3iφ = e 0 .
Kaya naman: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, kaya φ = 2πk/3.
Ang iba't ibang mga ugat ay nakukuha sa φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Kaya 1 , e i2π/3 , e i4π/3 ay mga ugat.
O sa algebraic form:

Ang huling uri ng mga problema ay kinabibilangan ng napakalaking iba't ibang mga problema at walang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Narito ang isang simpleng halimbawa ng naturang gawain:

Hanapin ang halaga sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Kahit na ang pagbabalangkas ng problemang ito ay hindi sa tanong tungkol sa mga kumplikadong numero, ngunit sa kanilang tulong madali itong malulutas. Upang malutas ito, ang mga sumusunod na representasyon ay ginagamit:


Kung papalitan natin ngayon ang representasyong ito sa kabuuan, kung gayon ang problema ay mababawasan sa kabuuan ng karaniwang geometric na pag-unlad.

Konklusyon

Ang mga kumplikadong numero ay malawakang ginagamit sa matematika, sa artikulong ito ng pagsusuri ay isinasaalang-alang ang mga pangunahing operasyon sa mga kumplikadong numero, ilang uri ng karaniwang mga problema ang inilarawan at maikling inilarawan karaniwang pamamaraan kanilang mga solusyon, para sa isang mas detalyadong pag-aaral ng mga posibilidad ng mga kumplikadong numero, inirerekomenda na gumamit ng dalubhasang panitikan.

Panitikan

Mga Ekspresyon, Equation, at Sistema ng Equation
na may mga kumplikadong numero

Ngayon sa aralin ay gagawa tayo ng mga tipikal na aksyon na may mga kumplikadong numero, pati na rin ang master ang pamamaraan ng paglutas ng mga expression, equation at sistema ng mga equation na naglalaman ng mga numerong ito. Ang workshop na ito ay isang pagpapatuloy ng aralin, at samakatuwid kung hindi ka pamilyar sa paksa, mangyaring sundin ang link sa itaas. Kaya, iminumungkahi ko na ang mas handa na mga mambabasa ay agad na magpainit:

Halimbawa 1

Pasimplehin ang Expression , kung . Ipakita ang resulta sa trigonometric form at ilarawan ito sa complex plane.

Solusyon: kaya, kailangan mong palitan ang "kakila-kilabot" na bahagi, isagawa ang mga pagpapasimple, at isalin ang resultang kumplikadong numero sa trigonometrikong anyo. Plus damn.

Ano ang pinakamahusay na paraan upang makagawa ng desisyon? Ito ay mas kumikita upang harapin ang isang "magarbong" algebraic expression sa mga yugto. Una, ang pansin ay hindi gaanong nakakalat, at, pangalawa, kung ang gawain ay hindi na-kredito, magiging mas madaling makahanap ng isang error.

1) Pasimplehin muna natin ang numerator. Palitan ang halaga dito, buksan ang mga bracket at ayusin ang hairstyle:

... Oo, ang gayong Quasimodo mula sa mga kumplikadong numero ay lumabas ...

Ipinaaalala ko sa iyo na sa kurso ng mga pagbabagong-anyo, ganap na mapanlikhang mga bagay ang ginagamit - ang panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial at ang pagkakapantay-pantay na naging banal. Ang pangunahing bagay ay mag-ingat at huwag malito sa mga palatandaan.

2) Ngayon ang denominator ay susunod. Kung , kung gayon:

Tandaan kung ano ang ginagamit na hindi pangkaraniwang interpretasyon sum square formula. Bilang kahalili, maaari kang magbago dito subformula . Ang mga resulta ay, siyempre, magkatugma.

3) At sa wakas, ang buong expression. Kung , kung gayon:

Upang maalis ang fraction, i-multiply natin ang numerator at denominator sa expression na conjugate sa denominator. Gayunpaman, para sa mga layunin ng pag-aaplay pagkakaiba ng mga formula ng parisukat dapat ay preliminarily (at sigurado!) ilagay ang negatibong tunay na bahagi sa ika-2 lugar:

At ngayon ang pangunahing panuntunan:

KAHIT KAHIT KAHIT HINDI KAMI MAGDALI! Mas mahusay na i-play ito nang ligtas at magreseta ng karagdagang hakbang.
Sa mga expression, equation at system na may kumplikadong mga numero mapangahas na oral kalkulasyon punong-puno gaya ng dati!

Nagkaroon ng magandang contraction sa huling hakbang at iyon ay isang magandang senyales.

Tandaan : mahigpit na pagsasalita, ang paghahati ng kumplikadong numero sa kumplikadong numero 50 ay naganap dito (tandaan na ). Nanatili akong tahimik tungkol sa nuance na ito hanggang ngayon at pag-uusapan natin ito sa ibang pagkakataon.

Ipahiwatig natin ang ating tagumpay sa pamamagitan ng liham

Katawanin natin ang resulta sa trigonometric form. Sa pangkalahatan, maaari mong gawin ito nang walang pagguhit, ngunit sa sandaling ito ay kinakailangan, medyo makatuwiran na kumpletuhin ito ngayon:

Kalkulahin ang modulus ng isang complex number:

Kung gagawa ka ng pagguhit sa sukat na 1 yunit. \u003d 1 cm (2 tetrad cells), pagkatapos ay madaling suriin ang resultang halaga gamit ang isang regular na ruler.

Maghanap tayo ng argumento. Dahil ang numero ay matatagpuan sa 2nd coordinate quarter, kung gayon:

Ang anggulo ay sinusuri lamang ng isang protractor. Ito ang walang alinlangan na plus ng pagguhit.

Kaya: - ang nais na numero sa trigonometric form.

Suriin natin:
, na dapat i-verify.

Ito ay maginhawa upang makahanap ng hindi pamilyar na mga halaga ng sine at cosine sa pamamagitan ng trigonometriko talahanayan.

Sagot:

Isang katulad na halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 2

Pasimplehin ang Expression , saan . Iguhit ang resultang numero sa complex plane at isulat ito sa exponential form.

Subukang huwag laktawan ang mga tutorial. Maaaring mukhang simple ang mga ito, ngunit walang pagsasanay, ang "pagpasok sa isang puddle" ay hindi lamang madali, ngunit napakadali. Kaya't hawakan natin ito.

Kadalasan ang problema ay nagbibigay-daan sa higit sa isang solusyon:

Halimbawa 3

Kalkulahin kung ,

Solusyon: una sa lahat, bigyang-pansin natin ang orihinal na kondisyon - ang isang numero ay ipinakita sa algebraic form, at ang isa sa trigonometric form, at kahit na may mga degree. Agad nating muling isulat ito sa isang mas pamilyar na anyo: .

Sa anong anyo dapat isagawa ang mga kalkulasyon? Ang expression na , malinaw naman, ay nagsasangkot ng unang multiplikasyon at karagdagang pagtaas sa ika-10 kapangyarihan sa Formula ng De Moivre, na binuo para sa trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero. Kaya, tila mas lohikal na i-convert ang unang numero. Hanapin ang module at argumento nito:

Ginagamit namin ang panuntunan ng pagpaparami ng mga kumplikadong numero sa trigonometrikong anyo:
kung , kung gayon

Ang paggawa ng tama ng fraction, dumating kami sa konklusyon na posible na "i-twist" ang 4 na pagliko ( masaya.):

Ang pangalawang paraan ng paglutas ay isalin ang 2nd number sa algebraic form , gawin ang multiplikasyon sa algebraic form, isalin ang resulta sa trigonometriko na anyo at gamitin ang De Moivre formula.

Tulad ng nakikita mo, isang "dagdag" na aksyon. Ang mga nagnanais ay maaaring sundin ang solusyon hanggang sa wakas at tiyaking tumutugma ang mga resulta.

Walang sinasabi ang kundisyon tungkol sa anyo ng nagresultang kumplikadong numero, kaya:

Sagot:

Ngunit "para sa kagandahan" o on demand, ang resulta ay madaling maipakita sa algebraic form:

Sa sarili:

Halimbawa 4

Pasimplehin ang Expression

Narito ito ay kailangang tandaan mga aksyon na may kapangyarihan, bagama't isa kapaki-pakinabang na tuntunin wala sa manual, eto: .

At isa pang mahalagang tala: ang halimbawa ay maaaring malutas sa dalawang estilo. Ang unang pagpipilian ay ang magtrabaho kasama dalawa mga numero at maglagay ng mga fraction. Ang pangalawang opsyon ay ang katawanin ang bawat numero sa form quotient ng dalawang numero: at tanggalin ang apat na palapag. Mula sa isang pormal na pananaw, walang pagkakaiba kung paano magpasya, ngunit mayroong isang makabuluhang pagkakaiba! Mangyaring pag-isipang mabuti:
ay isang kumplikadong numero;
ay ang quotient ng dalawang kumplikadong numero ( at ), gayunpaman, depende sa konteksto, masasabi rin ito ng isa: isang numero na kinakatawan bilang isang quotient ng dalawang kumplikadong numero.

Mabilis na Solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ang mga expression ay mabuti, ngunit ang mga equation ay mas mahusay:

Mga equation na may mga kumplikadong coefficient

Paano sila naiiba sa mga "ordinaryong" equation? Coefficients =)

Sa liwanag ng pangungusap sa itaas, magsimula tayo sa halimbawang ito:

Halimbawa 5

lutasin ang equation

At isang agarang preamble sa mainit na pagtugis: orihinal kanang bahagi ang equation ay nakaposisyon bilang isang quotient ng dalawang kumplikadong mga numero (at 13), at samakatuwid ito ay magiging masamang anyo upang muling isulat ang kundisyon na may numero (kahit hindi ito magdudulot ng error). Sa pamamagitan ng paraan, ang pagkakaibang ito ay mas malinaw na nakikita sa mga praksyon - kung, medyo nagsasalita, , kung gayon ang halagang ito ay pangunahing nauunawaan bilang "buong" kumplikadong ugat ng equation, at hindi bilang isang divisor ng numero , at higit pa - hindi bilang bahagi ng numero !

Solusyon, sa prinsipyo, maaari din itong ayusin nang sunud-sunod, ngunit sa kasong ito ang laro ay hindi katumbas ng halaga ng kandila. Ang paunang gawain ay upang gawing simple ang lahat na hindi naglalaman ng hindi kilalang "Z", bilang isang resulta kung saan ang equation ay mababawasan sa anyo:

Kumpiyansa na pasimplehin ang average na fraction:

Inilipat namin ang resulta sa kanang bahagi at hanapin ang pagkakaiba:

Tandaan : at muli iginuhit ko ang iyong pansin sa makabuluhang punto - dito hindi namin ibinawas ang numero mula sa numero, ngunit summed ang mga fraction sa isang karaniwang denominator! Dapat pansinin na sa kurso ng solusyon ay hindi ipinagbabawal na magtrabaho kasama ang mga numero: , gayunpaman, sa halimbawang isinasaalang-alang, ang gayong istilo ay mas nakakapinsala kaysa kapaki-pakinabang =)

Ayon sa panuntunan ng proporsyon, ipinapahayag namin ang "z":

Ngayon ay maaari mong muling hatiin at i-multiply sa magkadugtong na expression, ngunit ang mga kahina-hinalang magkatulad na mga numero ng numerator at denominator ay nagmumungkahi ng sumusunod na paglipat:

Sagot:

Para sa mga layunin ng pag-verify, pinapalitan namin ang nagresultang halaga sa kaliwang bahagi ng orihinal na equation at nagsasagawa ng mga pagpapasimple:

- ang kanang bahagi ng orihinal na equation ay nakuha, kaya ang ugat ay matatagpuan nang tama.

…Ngayon-ngayon… pipili ako ng mas kawili-wili para sa iyo…maghintay:

Halimbawa 6

lutasin ang equation

Ang equation na ito ay bumababa sa anyo , at samakatuwid ay linear. Ang pahiwatig, sa palagay ko, ay malinaw - go for it!

Siyempre ... paano ka mabubuhay kung wala ito:

Quadratic equation na may mga kumplikadong coefficient

Sa aralin Mga kumplikadong numero para sa mga dummies natutunan namin na ang isang quadratic equation na may mga tunay na coefficient ay maaaring magkaroon ng conjugate complex na mga ugat, pagkatapos nito ay isang natural na tanong ang lumitaw: bakit, sa katunayan, ang mga coefficient mismo ay hindi maaaring kumplikado? Bubuo ako ng pangkalahatang kaso:

Quadratic equation na may arbitrary complex coefficients (1 o 2 kung saan o lahat ng tatlo ay maaaring partikular na wasto) Mayroon itong dalawa at dalawa lang kumplikadong mga ugat (maaaring isa sa mga ito o pareho ay wasto). Habang ang mga ugat (parehong totoo at may di-zero na haka-haka na bahagi) maaaring magkasabay (maging maramihan).

Ang isang parisukat na equation na may mga kumplikadong coefficient ay nalulutas sa parehong paraan tulad ng "paaralan" equation, na may ilang pagkakaiba sa computational technique:

Halimbawa 7

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation

Solusyon: ang haka-haka na yunit ay nasa unang lugar, at, sa prinsipyo, maaari mong mapupuksa ito (pagpaparami ng magkabilang panig sa), gayunpaman, walang partikular na pangangailangan para dito.

Para sa kaginhawahan, isinulat namin ang mga coefficient:

Hindi namin nawawala ang "minus" ng libreng miyembro! ... Maaaring hindi ito malinaw sa lahat - Isusulat ko muli ang equation sa karaniwang anyo :

Kalkulahin natin ang discriminant:

Narito ang pangunahing hadlang:

Aplikasyon pangkalahatang pormula pagkuha ng ugat (tingnan ang huling talata ng artikulo Mga kumplikadong numero para sa mga dummies) ay kumplikado ng mga seryosong paghihirap na nauugnay sa argumento ng radikal na kumplikadong numero (tingnan para sa iyong sarili). Ngunit may isa pang, "algebraic" na paraan! Hahanapin namin ang ugat sa form:

I-square natin ang magkabilang panig:

Ang dalawang kumplikadong numero ay magkapareho kung ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi ay pantay. Kaya, nakukuha namin ang sumusunod na sistema:

Ang sistema ay mas madaling malutas sa pamamagitan ng pagpili (isang mas masusing paraan ay ang pagpapahayag mula sa 2nd equation - palitan ang 1st, makuha at lutasin ang biquadratic equation). Ipagpalagay na ang may-akda ng problema ay hindi isang halimaw, ipinapalagay namin iyon at mga integer. Mula sa 1st equation ito ay sumusunod na "x" modulo higit sa "y". Bukod sa, positibong produkto ay nagsasabi sa amin na ang mga hindi alam ay may parehong tanda. Batay sa nabanggit, at tumututok sa 2nd equation, isusulat namin ang lahat ng mga pares na tumutugma dito:

Malinaw, ang huling dalawang pares ay nakakatugon sa 1st equation ng system, kaya:

Ang isang intermediate na tseke ay hindi makakasakit:

na dapat suriin.

Bilang isang "nagtatrabaho" na ugat, maaari kang pumili anuman ibig sabihin. Malinaw na mas mahusay na kunin ang bersyon nang walang "cons":

Natagpuan namin ang mga ugat, hindi nalilimutan, sa pamamagitan ng paraan, na:

Sagot:

Suriin natin kung ang mga natagpuang ugat ay nakakatugon sa equation :

1) Kapalit:

tamang pagkakapantay-pantay.

2) Kapalit:

tamang pagkakapantay-pantay.

Kaya, ang solusyon ay matatagpuan nang tama.

May inspirasyon ng problemang tinalakay lang:

Halimbawa 8

Hanapin ang mga ugat ng equation

Tandaan na ang square root ng puro kumplikado ang mga numero ay perpektong nakuha at gamit ang pangkalahatang formula , saan , kaya ang parehong mga pamamaraan ay ipinapakita sa sample. Ang pangalawang kapaki-pakinabang na pangungusap ay may kinalaman sa katotohanan na ang paunang pagkuha ng ugat mula sa pare-pareho ay hindi pinasimple ang solusyon.

At ngayon ay maaari kang mag-relax - sa halimbawang ito, bababa ka nang may kaunting takot :)

Halimbawa 9

Lutasin ang equation at suriin

Mga solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ang huling talata ng artikulo ay nakatuon sa

sistema ng mga equation na may mga kumplikadong numero

We relaxed and… we don’t strain =) Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng kaso – isang sistema ng dalawa linear na equation na may dalawang hindi alam:

Halimbawa 10

Lutasin ang sistema ng mga equation. Ipakita ang sagot sa algebraic at exponential form, ilarawan ang mga ugat sa drawing.

Solusyon: ang kundisyon mismo ay nagmumungkahi na ang sistema ay may natatanging solusyon, iyon ay, kailangan nating makahanap ng dalawang numero na nagbibigay-kasiyahan sa bawat isa equation ng system.

Ang sistema ay talagang malulutas sa paraang "pambata". (ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa) , ngunit ito ay mas maginhawang gamitin Mga formula ng Cramer. Compute pangunahing determinant mga sistema:

, kaya ang system ay may natatanging solusyon.

Inuulit ko na mas mahusay na huwag magmadali at magreseta ng mga hakbang nang detalyado hangga't maaari:

I-multiply natin ang numerator at denominator sa isang haka-haka na yunit at makuha ang 1st root:

Katulad nito:

Ang kaukulang kanang bahagi, p.t.p.

Isagawa natin ang pagguhit:

Kinakatawan namin ang mga ugat sa exponential form. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang kanilang mga module at argumento:

1) - ang arc tangent ng "dalawa" ay kinakalkula na "mahina", kaya iniwan namin ito tulad nito: