Hindi nakapangangatwiran numero. Ano ang rational at irrational na mga numero
Ang materyal ng artikulong ito ay ang paunang impormasyon tungkol sa hindi nakapangangatwiran numero. Una, magbibigay kami ng kahulugan ng mga hindi makatwirang numero at ipaliwanag ito. Narito ang ilang halimbawa ng mga hindi makatwirang numero. Panghuli, tingnan natin ang ilang mga diskarte sa pag-alam kung ang isang naibigay na numero ay hindi makatwiran o hindi.
Pag-navigate sa pahina.
Kahulugan at mga halimbawa ng mga hindi makatwirang numero
Sa pag-aaral ng mga decimal fraction, hiwalay naming isinaalang-alang ang infinite non-periodic decimal fraction. Ang ganitong mga fraction ay lumabas sa decimal na pagsukat ng mga haba ng mga segment na hindi matutumbasan sa isang segment. Napansin din namin na ang walang katapusang hindi umuulit na mga decimal ay hindi mako-convert sa mga karaniwang fraction(tingnan ang conversion ng mga ordinaryong fraction sa mga decimal at vice versa), samakatuwid, ang mga numerong ito ay hindi mga rational na numero, kinakatawan nila ang tinatawag na hindi makatwiran na mga numero.
Kaya dumating kami sa kahulugan ng mga irrational na numero.
Kahulugan.
Ang mga numero na nasa decimal notation ay infinite non-recurring decimal fractions, ay tinatawag na hindi nakapangangatwiran numero.
Ang tunog na kahulugan ay nagbibigay-daan upang dalhin mga halimbawa ng mga irrational na numero. Halimbawa, ang infinite non-periodic decimal fraction 4.101100111100011110000… (ang bilang ng mga isa at mga zero ay tumataas ng isa sa bawat oras) ay ir makatwirang numero. Magbigay tayo ng isa pang halimbawa ng isang hindi makatwirang numero: −22.353335333335 ... (ang bilang ng mga triple na naghihiwalay sa mga walo ay tataas ng dalawa sa bawat pagkakataon).
Dapat pansinin na ang mga hindi makatwiran na mga numero ay medyo bihira sa anyo ng walang katapusang non-periodic decimal fraction. Karaniwan ang mga ito ay matatagpuan sa anyo , atbp., pati na rin sa anyo ng mga espesyal na ipinakilala na mga titik. Ang pinakasikat na mga halimbawa ng mga hindi makatwirang numero sa naturang notasyon ay ang arithmetic square root ng dalawa, ang numerong “pi” π=3.141592…, ang numerong e=2.718281… at ang gintong numero.
Ang mga hindi makatwirang numero ay maaari ding tukuyin sa mga tuntunin ng tunay na mga numero, na pinagsasama ang mga makatwiran at hindi makatwiran na mga numero.
Kahulugan.
Hindi nakapangangatwiran numero ay mga tunay na numero na hindi makatwiran.
Ang numerong ito ba ay hindi makatwiran?
Kapag ang isang numero ay ibinigay hindi bilang isang decimal fraction, ngunit bilang isang tiyak na ugat, logarithm, atbp., kung gayon sa maraming mga kaso medyo mahirap sagutin ang tanong kung ito ay hindi makatwiran.
Walang alinlangan, sa pagsagot sa tanong na ibinigay, ito ay lubhang kapaki-pakinabang upang malaman kung aling mga numero ang hindi makatwiran. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng mga irrational na numero na ang mga rational na numero ay hindi irrational na mga numero. Kaya, ang mga hindi makatwirang numero ay HINDI:
- may hangganan at walang katapusan na periodic decimal fraction.
Gayundin, ang anumang komposisyon ng mga rational na numero ay hindi isang hindi makatwirang numero, konektado sa pamamagitan ng mga palatandaan mga pagpapatakbo ng aritmetika (+, −, ·, :). Ito ay dahil ang kabuuan, pagkakaiba, produkto at quotient ng dalawang rational na numero ay isang rational na numero. Halimbawa, ang mga halaga ng mga expression at mga rational na numero. Dito ay napapansin natin na kung sa mga ganitong expression sa mga rational na numero ay isa lamang hindi makatwiran na numero, kung gayon ang halaga ng buong expression ay magiging isang hindi makatwirang numero. Halimbawa, sa expression, ang numero ay hindi makatwiran, at ang natitirang mga numero ay makatwiran, samakatuwid, ang hindi makatwiran na numero. Kung ito ay isang rational na numero, kung gayon ang rationality ng numero ay susundan mula dito, ngunit ito ay hindi makatwiran.
Kung ang expression, na binibigyan ng isang numero, ay naglalaman ng ilang hindi makatwiran na mga numero, root sign, logarithms, trigonometriko function, mga numerong π, e, atbp., pagkatapos ay kinakailangan na patunayan ang irrationality o rationality ng isang naibigay na numero sa bawat partikular na kaso. Gayunpaman, may ilang mga nakuha nang resulta na maaaring magamit. Ilista natin ang mga pangunahing.
Napatunayan na ang isang k-th na ugat ng isang integer ay isang rational na numero lamang kung ang numero sa ilalim ng ugat ay ang k-th na kapangyarihan ng isa pang integer, sa ibang mga kaso tulad ng isang ugat ay tumutukoy sa isang hindi makatwiran na numero. Halimbawa, ang mga numero at ay hindi makatwiran, dahil walang integer na ang parisukat ay 7, at walang integer na ang pagtaas sa ikalimang kapangyarihan ay nagbibigay ng numerong 15. At ang mga numero at ay hindi makatwiran, dahil at .
Tulad ng para sa logarithms, kung minsan ay posible na patunayan ang kanilang pagiging hindi makatwiran sa pamamagitan ng kontradiksyon. Halimbawa, patunayan natin na ang log 2 3 ay isang hindi makatwirang numero.
Sabihin nating ang log 2 3 ay isang rational na numero, hindi isang hindi makatwiran, iyon ay, maaari itong katawanin bilang isang ordinaryong fraction m/n . at payagan kaming isulat ang sumusunod na chain of equalities: . Ang huling pagkakapantay-pantay ay imposible, dahil sa kaliwang bahagi nito kakaibang numero, at maging sa kanang bahagi. Kaya dumating kami sa isang kontradiksyon, na nangangahulugan na ang aming palagay ay naging mali, at ito ay nagpapatunay na ang log 2 3 ay isang hindi makatwirang numero.
Tandaan na ang lna para sa anumang positibo at di-unit rational a ay isang hindi makatwirang numero. Halimbawa, at hindi makatwiran ang mga numero.
Pinatutunayan din na ang numero e a para sa anumang di-zero na rasyonal a ay hindi makatwiran, at ang bilang na π z para sa anumang hindi-zero na integer z ay hindi makatwiran. Halimbawa, ang mga numero ay hindi makatwiran.
Ang mga hindi makatwiran na numero ay ang mga trigonometric function din na sin , cos , tg at ctg para sa anumang rational at non-zero na halaga ng argumento. Halimbawa, ang sin1 , tg(−4) , cos5,7 , ay mga hindi makatwirang numero.
Mayroong iba pang mga napatunayang resulta, ngunit paghigpitan namin ang aming sarili sa mga nakalista na. Dapat ding sabihin na sa pagpapatunay sa mga resulta sa itaas, ang teorya na nauugnay sa algebraic na mga numero at transendente na mga numero.
Sa konklusyon, tandaan namin na ang isa ay hindi dapat gumawa ng padalus-dalos na konklusyon tungkol sa hindi makatwiran ng mga ibinigay na numero. Halimbawa, tila halata na ang isang hindi makatwirang numero sa isang hindi makatwiran na antas ay isang hindi makatwiran na numero. Gayunpaman, hindi ito palaging nangyayari. Bilang kumpirmasyon ng tininigan na katotohanan, ipinakita namin ang antas. Ito ay kilala na - isang hindi makatwiran na numero, at pinatunayan din na - isang hindi makatwiran na numero, ngunit - isang makatwirang numero. Maaari ka ring magbigay ng mga halimbawa ng mga hindi makatwirang numero, ang kabuuan, pagkakaiba, produkto at kusyente nito ay mga rational na numero. Bukod dito, hindi pa napapatunayan ang rationality o irrationality ng mga numerong π+e , π−e , π e , π π , π e at marami pang iba.
Bibliograpiya.
- Mathematics. Baitang 6: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [N. Oo. Vilenkin at iba pa]. - 22nd ed., Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.
Ang set ng lahat ng natural na numero ay tinutukoy ng letrang N. Ang mga natural na numero ay ang mga numero na ginagamit namin sa pagbilang ng mga bagay: 1,2,3,4, ... Sa ilang mga pinagkukunan, ang bilang 0 ay tinutukoy din sa mga natural na numero.
Ang set ng lahat ng integer ay tinutukoy ng letrang Z. Ang mga integer ay lahat mga integer, zero at negatibong numero:
1,-2,-3, -4, …
Ngayon idagdag natin sa set ng lahat ng integer ang set ng lahat ng ordinaryong fraction: 2/3, 18/17, -4/5, at iba pa. Pagkatapos makuha namin ang hanay ng lahat ng mga rational na numero.
Set ng mga rational na numero
Ang hanay ng lahat ng mga rational na numero ay tinutukoy ng titik Q. Ang hanay ng lahat ng mga rational na numero (Q) ay ang hanay na binubuo ng mga numero ng anyong m/n, -m/n at ang bilang 0. Sa bilang n,m maaaring anumang natural na numero. Dapat tandaan na ang lahat ng mga rational na numero ay maaaring katawanin bilang isang may hangganan o walang katapusan na PERIODIC decimal fraction. Totoo rin ang kabaligtaran, na ang anumang may hangganan o walang katapusang periodic decimal fraction ay maaaring isulat bilang isang rational na numero.
Ngunit paano naman, halimbawa, ang numerong 2.0100100010...? Ito ay isang walang katapusang NON-PERIODIC decimal. At hindi ito nalalapat sa mga rational na numero.
Sa kursong paaralan ng algebra, mga tunay (o tunay) na numero lamang ang pinag-aaralan. Ang hanay ng lahat ng tunay na numero ay tinutukoy ng letrang R. Ang hanay ng R ay binubuo ng lahat ng rational at lahat ng hindi makatwiran na numero.
Ang konsepto ng hindi makatwiran na mga numero
Ang mga hindi makatwiran na numero ay lahat ng walang katapusan na decimal na non-periodic fraction. Ang mga hindi makatwirang numero ay walang espesyal na notasyon.
Halimbawa, ang lahat ng mga numerong nakuha sa pamamagitan ng pagkuha ng square root ng mga natural na numero na hindi mga parisukat ng natural na mga numero ay magiging hindi makatwiran. (√2, √3, √5, √6, atbp.).
Ngunit huwag isipin na ang mga hindi makatwirang numero ay nakuha lamang sa pamamagitan ng pagkuha ng mga square root. Halimbawa, ang bilang na "pi" ay hindi rin makatwiran, at ito ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati. At kahit anong pilit mo, hindi mo ito makukuha sa pamamagitan ng pagkuha ng square root ng anumang natural na numero.
Kahulugan ng isang hindi makatwirang numero
Ang mga hindi makatwiran na numero ay ang mga numerong iyon, sa notasyong desimal, ay walang katapusan na mga di-pana-panahong decimal fraction.
Kaya, halimbawa, ang mga numerong nakuha sa pamamagitan ng pagkuha ng square root ng mga natural na numero ay hindi makatwiran at hindi mga parisukat ng natural na mga numero. Ngunit hindi lahat ng hindi makatwirang numero ay nakukuha sa pamamagitan ng pagkuha ng mga square root, dahil ang numerong "pi" na nakuha sa pamamagitan ng paghahati ay hindi rin makatwiran, at malamang na hindi mo ito makuha kapag sinusubukan mong kunin ang square root mula sa isang natural na numero.
Mga katangian ng mga hindi makatwirang numero
Hindi tulad ng mga numerong nakasulat sa mga infinite decimal fraction, ang mga irrational na numero lang ang nakasulat sa non-periodic infinite decimal fraction.
Ang kabuuan ng dalawang di-negatibong irrational na numero ay maaaring maging isang rational na numero.
Ang mga irrational na numero ay tumutukoy sa mga seksyon ng Dedekind sa hanay ng mga rational na numero, sa mas mababang klase na walang isang malaking bilang, at walang mas maliit sa itaas.
Anumang tunay na transendental na numero ay hindi makatwiran.
Ang lahat ng hindi makatwirang numero ay alinman sa algebraic o transendental.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero sa linya ay makapal na nakaimpake, at sa pagitan ng alinman sa dalawa sa mga numero nito ay tiyak na mayroong isang hindi makatwiran na numero.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay walang hanggan, hindi mabilang at isang set ng ika-2 kategorya.
Kapag nagsasagawa ng anumang operasyong aritmetika sa mga rational na numero, maliban sa paghahati ng 0, ang resulta nito ay isang rational na numero.
Kapag nagdaragdag ng rational number sa isang irrational na numero, ang resulta ay palaging isang hindi makatwiran na numero.
Kapag nagdaragdag ng mga hindi makatwirang numero, maaari tayong makakuha ng isang rational na numero bilang resulta.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay hindi pantay.
Ang mga numero ay hindi makatwiran
Minsan medyo mahirap sagutin ang tanong kung ang isang numero ay hindi makatwiran, lalo na sa mga kaso kung saan ang numero ay nasa anyo ng isang decimal fraction o sa anyo. numeric na expression, ugat o logarithm.
Samakatuwid, hindi magiging labis na malaman kung aling mga numero ang hindi makatwiran. Kung susundin natin ang kahulugan ng mga irrational na numero, alam na natin na ang mga rational na numero ay hindi maaaring maging hindi makatwiran.
Ang mga hindi makatwirang numero ay hindi:
Una, lahat ng natural na numero;
Pangalawa, integers;
Pangatlo, ordinaryong fraction;
Pang-apat, iba magkahalong numero;
Ikalima, ito ay mga walang katapusang periodic decimal fraction.
Bilang karagdagan sa lahat ng nasa itaas, ang anumang kumbinasyon ng mga rational na numero na ginagawa ng mga palatandaan ng mga operasyong aritmetika, tulad ng +, -, , :, ay hindi maaaring maging isang hindi makatwirang numero, dahil sa kasong ito ang resulta ng dalawang rational na numero ay magkakaroon din maging isang rational na numero.
Ngayon tingnan natin kung alin sa mga numero ang hindi makatwiran:
Alam mo ba ang tungkol sa pagkakaroon ng isang fan club kung saan ang mga tagahanga ng mahiwagang mathematical phenomenon na ito ay naghahanap ng bagong impormasyon tungkol sa Pi, sinusubukang i-unravel ang misteryo nito. Maaaring maging miyembro ng club na ito ang sinumang tao na nakakaalam ng tiyak na bilang ng Pi number pagkatapos ng decimal point;
Alam mo ba na sa Germany, sa ilalim ng proteksyon ng UNESCO, mayroong Castadel Monte palace, salamat sa mga proporsyon kung saan maaari mong kalkulahin ang Pi. Isang buong palasyo ang inialay sa numerong ito ni Haring Frederick II.
Ito ay lumabas na sinubukan nilang gamitin ang numerong Pi sa pagtatayo ng Tore ng Babel. Ngunit sa aming malaking panghihinayang, ito ay humantong sa pagbagsak ng proyekto, dahil sa oras na iyon ang eksaktong pagkalkula ng halaga ng Pi ay hindi sapat na pinag-aralan.
Ang mang-aawit na si Kate Bush sa kanyang bagong disc ay nag-record ng isang kanta na tinatawag na "Pi", kung saan ang isang daan at dalawampu't apat na numero mula sa sikat na serye ng numero 3, 141 ay tumunog ... ..
Ano ang mga irrational na numero? Bakit sila tinawag na ganyan? Saan ginagamit ang mga ito at ano ang mga ito? Iilan lamang ang makakasagot sa mga tanong na ito nang walang pag-aalinlangan. Ngunit sa katunayan, ang mga sagot sa kanila ay medyo simple, bagaman hindi lahat ay nangangailangan ng mga ito at sa napakabihirang mga sitwasyon.
Kakanyahan at pagtatalaga
Ang mga hindi makatwirang numero ay walang katapusan na hindi pana-panahon Ang pangangailangang ipakilala ang konseptong ito ay dahil sa katotohanan na upang malutas ang mga bagong umuusbong na problema, ang mga dating umiiral na konsepto ng tunay o tunay, integer, natural at rational na mga numero ay hindi na sapat. Halimbawa, upang makalkula kung ano ang parisukat ng 2, kailangan mong gumamit ng hindi umuulit na walang katapusan na mga decimal. Bilang karagdagan, marami sa mga pinakasimpleng equation ay wala ring solusyon nang hindi ipinakilala ang konsepto ng isang hindi makatwiran na numero.
Ang set na ito ay tinutukoy bilang I. At, tulad ng malinaw na, ang mga halagang ito ay hindi maaaring katawanin bilang isang simpleng fraction, sa numerator kung saan magkakaroon ng integer, at sa denominator -
Sa kauna-unahang pagkakataon, sa isang paraan o iba pa, nakatagpo ang mga Indian mathematician ng hindi pangkaraniwang bagay na ito noong ika-7 siglo, nang matuklasan na parisukat na ugat ang ilan sa mga dami ay hindi maaaring tahasang sabihin. At ang unang patunay ng pagkakaroon ng naturang mga numero ay maiugnay sa Pythagorean Hippasus, na ginawa ito sa proseso ng pag-aaral ng isosceles kanang tatsulok. Ang isang seryosong kontribusyon sa pag-aaral ng set na ito ay ginawa ng ilang iba pang mga siyentipiko na nabuhay bago ang ating panahon. Ang pagpapakilala ng konsepto ng mga hindi makatwirang numero ay nangangailangan ng rebisyon ng umiiral na sistema ng matematika, kaya naman napakahalaga ng mga ito.
pinanggalingan ng pangalan
Kung ang ratio sa Latin ay "fraction", "ratio", kung gayon ang prefix na "ir"
nagbibigay sa salita ng kasalungat na kahulugan. Kaya, ang pangalan ng hanay ng mga numerong ito ay nagpapahiwatig na hindi sila maaaring maiugnay sa isang integer o fractional, mayroon silang isang hiwalay na lugar. Ito ay sumusunod sa kanilang kalikasan.
Ilagay sa pangkalahatang pag-uuri
Ang mga hindi makatwiran na numero, kasama ang mga makatwiran, ay nabibilang sa pangkat ng tunay o tunay na mga numero, na kung saan ay kumplikado. Walang mga subset, gayunpaman, may mga algebraic at transendental na varieties, na tatalakayin sa ibaba.
Ari-arian
Dahil ang mga hindi makatwirang numero ay bahagi ng hanay ng mga tunay na numero, lahat ng kanilang mga katangian na pinag-aaralan sa aritmetika (tinatawag din silang mga pangunahing batas ng algebraic) ay nalalapat sa kanila.
a + b = b + a (commutativity);
(a + b) + c = a + (b + c) (associativity);
a + (-a) = 0 (ang pagkakaroon ng kabaligtaran na numero);
ab = ba (batas ng displacement);
(ab)c = a(bc) (distributivity);
a(b+c) = ab + ac (distributive law);
a x 1/a = 1 (ang pagkakaroon ng inverse number);
Ang paghahambing ay isinasagawa din alinsunod sa pangkalahatang mga pattern at mga prinsipyo:
Kung a > b at b > c, pagkatapos ay a > c (transitivity ng kaugnayan) at. atbp.
Siyempre, ang lahat ng hindi makatwiran na mga numero ay maaaring mabago gamit ang pangunahing mga operasyon sa aritmetika. Walang mga espesyal na patakaran para dito.
Bilang karagdagan, ang pagkilos ng axiom ng Archimedes ay umaabot sa hindi makatwiran na mga numero. Sinasabi nito na para sa alinmang dalawang dami a at b, totoo ang pahayag na sa pamamagitan ng pagkuha ng a bilang isang termino ng sapat na beses, posibleng malampasan ang b.
Paggamit
Sa kabila ng katotohanang sa ordinaryong buhay hindi gaano kadalas kailangan mong harapin ang mga ito, hindi mabibilang ang mga hindi makatwirang numero. Marami sila, ngunit halos hindi sila nakikita. Napapaligiran tayo ng mga hindi makatwirang numero sa lahat ng dako. Ang mga halimbawang pamilyar sa lahat ay pi, na 3.1415926... o e, na mahalagang base natural na logarithm, 2.718281828... Sa algebra, trigonometry at geometry, kailangan mong gamitin ang mga ito sa lahat ng oras. Sa pamamagitan ng paraan, ang sikat na kahulugan ng "gintong seksyon", iyon ay, ang ratio ng parehong mas malaking bahagi sa mas maliit, at vice versa, din
kabilang sa set na ito. Hindi gaanong kilala "pilak" - masyadong.
Sa linya ng numero, ang mga ito ay matatagpuan nang napakakapal, upang sa pagitan ng anumang dalawang dami na nauugnay sa hanay ng mga makatwiran, isang hindi makatwiran ang kinakailangang mangyari.
Marami pa ring hindi nareresolbang mga problemang nauugnay sa set na ito. Mayroong mga pamantayan gaya ng sukat ng irrationality at normality ng isang numero. Patuloy na sinusuri ng mga mathematician ang pinakamahalagang halimbawa para sa kanilang pag-aari sa isang grupo o iba pa. Halimbawa, pinaniniwalaan na ang e ay isang normal na numero, iyon ay, ang posibilidad ng iba't ibang mga digit na lumilitaw sa talaan nito ay pareho. Tungkol naman sa pi, patuloy pa rin ang pagsasaliksik tungkol dito. Ang isang sukat ng irrationality ay isang halaga na nagpapakita kung gaano kahusay ang isang partikular na numero ay maaaring tantiyahin ng mga rational na numero.
Algebraic at transendental
Tulad ng nabanggit na, ang mga hindi makatwirang numero ay may kondisyong nahahati sa algebraic at transendental. Sa kondisyon, dahil, mahigpit na pagsasalita, ang pag-uuri na ito ay ginagamit upang hatiin ang set C.
Nakatago sa ilalim ng pagtatalagang ito kumplikadong mga numero, na kinabibilangan ng tunay o tunay.
Kaya, ang isang algebraic na halaga ay isang halaga na ugat ng isang polynomial na hindi magkaparehong katumbas ng zero. Halimbawa, ang square root ng 2 ay nasa kategoryang ito dahil ito ang solusyon sa equation x 2 - 2 = 0.
Ang lahat ng iba pang tunay na numero na hindi nakakatugon sa kundisyong ito ay tinatawag na transendental. Kasama rin sa variety na ito ang pinakasikat at nabanggit na mga halimbawa - ang numerong pi at ang base ng natural na logarithm e.
Kapansin-pansin, wala ni isa o ang pangalawa ang orihinal na hinihinuha ng mga mathematician sa kapasidad na ito, ang kanilang irrationality at transcendence ay napatunayang maraming taon pagkatapos ng kanilang pagtuklas. Para sa pi, ang patunay ay ibinigay noong 1882 at pinasimple noong 1894, na nagtapos sa 2,500-taong kontrobersya tungkol sa problema ng pag-squaring ng bilog. Hindi pa rin ito lubos na nauunawaan, kaya't ang mga modernong mathematician ay may dapat gawin. Sa pamamagitan ng paraan, ang unang sapat na tumpak na pagkalkula ng halagang ito ay isinagawa ni Archimedes. Bago sa kanya, ang lahat ng mga kalkulasyon ay masyadong tinatayang.
Para sa e (ang Euler o Napier number), natagpuan ang isang patunay ng transendence nito noong 1873. Ginagamit ito sa paglutas ng mga logarithmic equation.
Kasama sa iba pang mga halimbawa ang mga halaga ng sine, cosine, at tangent para sa anumang algebraic na hindi zero na halaga.
Naipakita na namin kanina na ang $1\frac25$ ay malapit sa $\sqrt2$. Kung ito ay eksaktong katumbas ng $\sqrt2$, . Kung gayon ang ratio - $\frac(1\frac25)(1)$, na maaaring gawing ratio ng mga integer na $\frac75$ sa pamamagitan ng pag-multiply sa itaas at ibabang bahagi ng fraction sa 5, ay ang nais na halaga.
Ngunit, sa kasamaang-palad, ang $1\frac25$ ay hindi ang eksaktong halaga ng $\sqrt2$. Ang isang mas tumpak na sagot na $1\frac(41)(100)$ ay ibinibigay ng ugnayang $\frac(141)(100)$. Nakakamit namin ang higit na katumpakan kapag tinutumbas namin ang $\sqrt2$ sa $1\frac(207)(500)$. Sa kasong ito, ang ratio sa mga integer ay magiging katumbas ng $\frac(707)(500)$. Ngunit ang $1\frac(207)(500)$ ay hindi rin ang eksaktong halaga ng square root ng 2. Ang mga Greek mathematician ay gumugol ng maraming oras at pagsisikap upang makalkula eksaktong halaga$\sqrt2$, ngunit hindi sila nagtagumpay. Nabigo silang kumatawan sa ratio na $\frac(\sqrt2)(1)$ bilang ratio ng mga integer.
Sa wakas, pinatunayan ng mahusay na Greek mathematician na si Euclid na gaano man tumaas ang katumpakan ng mga kalkulasyon, imposibleng makuha ang eksaktong halaga ng $\sqrt2$. Walang fraction na, kapag squared, ay magreresulta sa 2. Sinasabing si Pythagoras ang unang nakarating sa konklusyon na ito, ngunit ang hindi maipaliwanag na katotohanang ito ay humanga sa siyentipiko kaya nanumpa siya sa kanyang sarili at nanumpa mula sa kanyang mga mag-aaral na panatilihin isang sikreto ang pagtuklas na ito. Gayunpaman, maaaring hindi totoo ang impormasyong ito.
Ngunit kung ang numerong $\frac(\sqrt2)(1)$ ay hindi maaaring katawanin bilang ratio ng mga integer, kung gayon walang numerong naglalaman ng $\sqrt2$, halimbawa $\frac(\sqrt2)(2)$ o $\frac Ang (4)(\sqrt2)$ ay hindi rin mairepresenta bilang ratio ng mga integer, dahil ang lahat ng naturang fraction ay maaaring i-convert sa $\frac(\sqrt2)(1)$ na i-multiply sa ilang numero. Kaya $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. O $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, na maaaring ma-convert sa pamamagitan ng pag-multiply sa itaas at ibaba ng $\sqrt2$ upang makakuha ng $\frac(4) (\sqrt2)$. (Hindi natin dapat kalimutan na kahit ano pa ang bilang na $\sqrt2$, kung i-multiply natin ito sa $\sqrt2$ makakakuha tayo ng 2.)
Dahil ang bilang na $\sqrt2$ ay hindi maaaring katawanin bilang isang ratio ng mga integer, ito ay tinatawag hindi makatwiran na numero. Sa kabilang banda, ang lahat ng mga numero na maaaring katawanin bilang isang ratio ng mga integer ay tinatawag makatwiran.
Ang lahat ng integer at fractional na numero, parehong positibo at negatibo, ay makatwiran.
Sa lumalabas, karamihan sa mga square root ay hindi makatwiran na mga numero. Ang mga rational square roots ay para lamang sa mga numerong kasama sa isang serye mga numerong parisukat. Ang mga numerong ito ay tinatawag ding perpektong parisukat. Ang mga rational na numero ay mga fraction din na binubuo ng mga perpektong parisukat na ito. Halimbawa, ang $\sqrt(1\frac79)$ ay isang rational na numero dahil ang $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ o $1\frac13$ (4 ang ugat parisukat ng 16, at ang 3 ay ang parisukat na ugat ng 9).
