Talaan ng mga karaniwang integral at pangunahing pamamaraan ng pagsasama. Mga pangunahing formula at pamamaraan ng pagsasama

Ang apat na pangunahing paraan ng pagsasama ay nakalista sa ibaba.

1) Panuntunan sa pagsasama ng kabuuan o pagkakaiba.
.
Dito at sa ibaba, ang u, v, w ay mga function ng integration variable x .

2) Pag-alis ng pare-pareho sa integral sign.
Hayaan ang c ay isang pare-parehong independyente ng x. Pagkatapos ay maaari itong alisin sa integral sign.

3) Paraan ng pagpapalit ng variable.
Isaalang-alang ang hindi tiyak na integral.
Kung posible na pumili ng gayong function φ (x) mula sa x, kaya
,
pagkatapos, pagkatapos baguhin ang variable t = φ(x) , mayroon tayo
.

4) Ang formula para sa pagsasama ng mga bahagi.
,
kung saan ang u at v ay mga function ng integration variable.

Ang pangwakas na layunin ng pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral ay, sa pamamagitan ng mga pagbabago, upang dalhin ang ibinigay na integral sa pinakasimpleng integral, na tinatawag na tabular integral. Ang mga integral ng talahanayan ay ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar gamit ang mga kilalang formula.
Tingnan ang Talaan ng mga integral >>>

Halimbawa

Kalkulahin ang hindi tiyak na integral

Solusyon

Tandaan na ang integrand ay ang kabuuan at pagkakaiba ng tatlong termino:
, at .
Inilapat namin ang pamamaraan 1 .

Dagdag pa, tandaan namin na ang mga integrand ng mga bagong integral ay pinarami ng mga constants 5, 4, at 2 , ayon sa pagkakabanggit. Inilapat namin ang pamamaraan 2 .

Sa talahanayan ng mga integral nakita natin ang formula
.
Setting n = 2 , nakita natin ang unang integral.

Isulat muli natin ang pangalawang integral sa form
.
Napapansin natin yan. Pagkatapos

Gamitin natin ang ikatlong paraan. Ginagawa namin ang pagbabago ng variable t = φ (x) = log x.
.
Sa talahanayan ng mga integral nakita natin ang formula

Dahil ang variable ng pagsasama ay maaaring ipahiwatig ng anumang titik, kung gayon

Isulat muli natin ang ikatlong integral sa anyo
.
Inilapat namin ang formula para sa pagsasama ng mga bahagi.
Hayaan .
Pagkatapos
;
;

;
;
.

Sa wakas meron na tayo
.
Kolektahin ang mga termino na may x 3 .
.

Sagot

Mga sanggunian:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, Lan, 2003.

Antiderivative function at indefinite integral

Katotohanan 1. Ang pagsasama ay ang kabaligtaran ng pagkita ng kaibhan, ibig sabihin, ang pagpapanumbalik ng isang function mula sa kilalang derivative ng function na ito. Ang function ay naibalik sa ganitong paraan F(x) ay tinatawag na primitive para sa function f(x).

Kahulugan 1. Function F(x f(x) sa ilang pagitan X, kung para sa lahat ng mga halaga x mula sa pagitan na ito ang pagkakapantay-pantay F "(x)=f(x), yan ay ibinigay na function f(x) ay ang derivative ng antiderivative function F(x). .

Halimbawa, ang function F(x) = kasalanan x ay ang antiderivative para sa function f(x) = cos x sa buong linya ng numero, dahil para sa anumang halaga ng x (kasalanan x)" = (cos x) .

Depinisyon 2. Indefinite integral ng isang function f(x) ay ang koleksyon ng lahat ng antiderivatives nito. Ito ay gumagamit ng notasyon

∫

f(x)dx

nasaan ang tanda ∫ ay tinatawag na integral sign, ang function f(x) ay isang integrand, at f(x)dx ay ang integrand.

Kaya, kung F(x) ay ilang antiderivative para sa f(x), pagkatapos

∫

f(x)dx = F(x) +C

saan C - di-makatwirang pare-pareho (pare-pareho).

Upang maunawaan ang kahulugan ng hanay ng mga antiderivatives ng isang function bilang isang hindi tiyak na integral, angkop ang sumusunod na pagkakatulad. Magkaroon ng isang pinto (isang tradisyonal na kahoy na pinto). Ang tungkulin nito ay "maging isang pinto". Ano ang gawa sa pinto? Mula sa isang puno. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga antiderivatives ng integrand "na maging isang pinto", iyon ay, ang indefinite integral nito, ay ang function na "to be a tree + C", kung saan ang C ay isang pare-pareho, na sa kontekstong ito ay maaaring magpahiwatig, para sa halimbawa, isang uri ng puno. Kung paanong ang isang pinto ay gawa sa kahoy na may ilang kasangkapan, ang derivative ng isang function ay "ginawa" ng antiderivative function na may formula na natutunan natin sa pamamagitan ng pag-aaral ng derivative .

Pagkatapos ang talahanayan ng mga pag-andar ng mga karaniwang bagay at ang kanilang kaukulang primitives ("maging isang pinto" - "maging isang puno", "maging isang kutsara" - "maging isang metal", atbp.) ay katulad ng talahanayan ng mga pangunahing di-tiyak na integral, na ibibigay sa ibaba. Ang talahanayan ng mga indefinite integral ay naglilista ng mga karaniwang function, na nagpapahiwatig ng mga antiderivatives kung saan "ginawa" ang mga function na ito. Bilang bahagi ng mga problema sa paghahanap ng isang hindi tiyak na integral, ang mga naturang integrand ay ibinibigay na maaaring direktang isama nang walang mga espesyal na pagsisikap, iyon ay, ayon sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral. Sa mas kumplikadong mga problema, dapat munang baguhin ang integrand upang magamit ang mga integral na tabular.

Katotohanan 2. Ang pagpapanumbalik ng isang function bilang isang antiderivative, dapat nating isaalang-alang ang isang arbitrary na pare-pareho (constant) C, at upang hindi magsulat ng isang listahan ng mga antiderivative na may iba't ibang mga constant mula 1 hanggang infinity, kailangan mong isulat ang isang hanay ng mga antiderivative na may arbitrary constant C, ganito: 5 x³+C. Kaya, ang isang arbitrary na pare-pareho (constant) ay kasama sa pagpapahayag ng antiderivative, dahil ang antiderivative ay maaaring maging isang function, halimbawa, 5 x³+4 o 5 x³+3 at kapag ang pagkakaiba ng 4 o 3 o anumang iba pang pare-pareho ay nawawala.

Itinakda namin ang problema sa pagsasama: para sa isang naibigay na function f(x) hanapin ang gayong function F(x), kaninong hinango ay katumbas ng f(x).

Halimbawa 1 Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng isang function

Solusyon. Para sa function na ito, ang antiderivative ay ang function

Function F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa function f(x) kung ang hinalaw F(x) ay katumbas ng f(x), o, na ang parehong bagay, ang pagkakaiba F(x) ay katumbas ng f(x) dx, ibig sabihin.

(2)

Samakatuwid, ang function ay antiderivative para sa function . Gayunpaman, hindi lamang ito ang antiderivative para sa . Mga function din sila

saan MULA SA ay isang arbitrary na pare-pareho. Maaari itong ma-verify sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan.

Kaya, kung mayroong isang antiderivative para sa isang function, kung gayon para dito mayroong isang walang katapusang hanay ng mga antiderivatives na naiiba sa pamamagitan ng isang pare-parehong summand. Ang lahat ng antiderivatives para sa isang function ay nakasulat sa form sa itaas. Ito ay sumusunod mula sa sumusunod na teorama.

Theorem (pormal na pahayag ng katotohanan 2). Kung ang F(x) ay ang antiderivative para sa function f(x) sa ilang pagitan X, pagkatapos ay anumang iba pang antiderivative para sa f(x) sa parehong pagitan ay maaaring kinakatawan bilang F(x) + C, saan MULA SA ay isang arbitrary na pare-pareho.

Sa sumusunod na halimbawa, bumaling na tayo sa talahanayan ng mga integral, na ibibigay sa talata 3, pagkatapos ng mga katangian ng hindi tiyak na integral. Ginagawa namin ito bago maging pamilyar sa buong talahanayan, upang ang kakanyahan ng nasa itaas ay malinaw. At pagkatapos ng talahanayan at mga pag-aari, gagamitin namin ang mga ito nang buo kapag nagsasama.

Halimbawa 2 Maghanap ng mga hanay ng mga antiderivatives:

Solusyon. Nakahanap kami ng mga hanay ng mga antiderivative na function kung saan "ginawa" ang mga function na ito. Kapag binanggit ang mga pormula mula sa talahanayan ng mga integral, sa ngayon, tanggapin lamang na mayroong mga ganoong pormula, at pag-aaralan natin nang kaunti pa ang talahanayan ng mga hindi tiyak na integral.

1) Paglalapat ng formula (7) mula sa talahanayan ng mga integral para sa n= 3, nakukuha namin

2) Gamit ang formula (10) mula sa talahanayan ng mga integral para sa n= 1/3, mayroon kami

3) Mula noon

pagkatapos ay ayon sa formula (7) sa n= -1/4 mahanap

Sa ilalim ng integral sign, hindi nila isinusulat ang function mismo f, at ang produkto nito sa pamamagitan ng differential dx. Ginagawa ito lalo na upang ipahiwatig kung aling variable ang hinahanap ng antiderivative. Halimbawa,

, ;

dito sa parehong mga kaso ang integrand ay katumbas ng , ngunit ang mga hindi tiyak na integral nito sa mga isinasaalang-alang na mga kaso ay lumabas na naiiba. Sa unang kaso, ang function na ito ay itinuturing bilang isang function ng isang variable x, at sa pangalawa - bilang isang function ng z .

Ang proseso ng paghahanap ng hindi tiyak na integral ng isang function ay tinatawag na pagsasama ng function na iyon.

Ang geometriko na kahulugan ng hindi tiyak na integral

Hayaang kailanganin ito upang makahanap ng isang kurba y=F(x) at alam na natin na ang padaplis ng slope ng tangent sa bawat punto nito ay isang ibinigay na function f(x) abscissa ng puntong ito.

Ayon kay geometric na kahulugan derivative, tangent ng slope ng tangent sa isang naibigay na punto sa curve y=F(x) katumbas ng halaga ng derivative F"(x). Kaya, kailangan nating hanapin ang gayong function F(x), para sa F"(x)=f(x). Kinakailangang function sa gawain F(x) ay nagmula sa f(x). Ang kalagayan ng problema ay nasiyahan hindi sa pamamagitan ng isang kurba, ngunit sa pamamagitan ng isang pamilya ng mga kurba. y=F(x)- isa sa mga kurba na ito, at anumang iba pang kurba ay maaaring makuha mula dito sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin sa kahabaan ng axis Oy.

Tawagan natin ang graph ng antiderivative function ng f(x) integral curve. Kung ang F"(x)=f(x), pagkatapos ay ang graph ng function y=F(x) ay isang integral curve.

Katotohanan 3. Ang hindi tiyak na integral ay geometriko na kinakatawan ng pamilya ng lahat ng integral na kurba tulad ng nasa larawan sa ibaba. Ang distansya ng bawat kurba mula sa pinanggalingan ay tinutukoy ng isang arbitraryong pare-pareho (constant) ng pagsasama C.

Mga katangian ng hindi tiyak na integral

Fact 4. Theorem 1. Ang derivative ng isang indefinite integral ay katumbas ng integrand, at ang differential nito ay katumbas ng integrand.

Fact 5. Theorem 2. Ang hindi tiyak na integral ng differential ng isang function f(x) ay katumbas ng function f(x) hanggang sa isang pare-parehong termino , ibig sabihin.

(3)

Ang mga teorema 1 at 2 ay nagpapakita na ang pagkita ng kaibahan at pagsasama ay magkabaligtaran na mga operasyon.

Fact 6. Theorem 3. Ang constant factor sa integrand ay maaaring alisin sa sign ng indefinite integral , ibig sabihin.

Inililista namin ang mga integral mula sa mga pag-andar ng elementarya, na kung minsan ay tinatawag na tabular:

Ang alinman sa mga formula sa itaas ay maaaring patunayan sa pamamagitan ng pagkuha ng derivative ng kanang bahagi (bilang resulta, ang integrand ay makukuha).

Mga pamamaraan ng pagsasama

Isaalang-alang natin ang ilang pangunahing paraan ng pagsasama. Kabilang dito ang:

1. Paraan ng agnas(direktang pagsasama).

Ang pamamaraang ito ay batay sa direktang aplikasyon ng mga integral na tabular, gayundin sa aplikasyon ng mga katangian 4 at 5 ng hindi tiyak na integral (i.e., pagkuha ng pare-parehong kadahilanan mula sa bracket at / o kumakatawan sa integrand bilang isang kabuuan ng mga function - pagpapalawak ng integrand sa mga termino).

Halimbawa 1 Halimbawa, upang mahanap ang (dx/x 4) maaari mong direktang gamitin ang table integral para sa x n dx. Sa katunayan, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Tingnan natin ang ilan pang halimbawa.

Halimbawa 2 Upang mahanap, ginagamit namin ang parehong integral:

Halimbawa 3 Para mahanap kailangan mong kunin

Halimbawa 4 Upang mahanap, kinakatawan namin ang integrand sa form at gamitin integral ng talahanayan para sa exponential function:

Isaalang-alang ang paggamit ng bracketing ang pare-parehong kadahilanan.

Halimbawa 5Hanapin natin, halimbawa . Isinasaalang-alang na, nakukuha namin

Halimbawa 6 Hanapin natin. Dahil ang , ginagamit namin ang table integral Kunin

Maaari mo ring gamitin ang mga panaklong at mga integral ng talahanayan sa sumusunod na dalawang halimbawa:

Halimbawa 7

(ginagamit namin at );

Halimbawa 8

(ginagamit namin at ).

Tingnan natin ang mas kumplikadong mga halimbawa na gumagamit ng sum integral.

Halimbawa 9 Halimbawa, hanapin natin
. Upang ilapat ang paraan ng pagpapalawak sa numerator, ginagamit namin ang sum cube formula , at pagkatapos ay hatiin ang resultang polynomial term sa pamamagitan ng term ng denominator.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Dapat pansinin na sa dulo ng solusyon ang isang karaniwang pare-parehong C ay nakasulat (at hindi hiwalay kapag isinasama ang bawat termino). Sa hinaharap, iminumungkahi din na alisin ang mga constant mula sa pagsasama ng mga indibidwal na termino sa proseso ng paglutas hangga't ang expression ay naglalaman ng hindi bababa sa isang hindi tiyak na integral (magsusulat kami ng isang pare-pareho sa dulo ng solusyon).

Halimbawa 10 Hanapin natin . Upang malutas ang problemang ito, isinasali namin ang numerator (pagkatapos nito, maaari naming bawasan ang denominator).

Halimbawa 11. Hanapin natin. Maaaring gamitin dito ang mga pagkakakilanlang trigonometriko.

Minsan, upang mabulok ang isang expression sa mga termino, kailangan mong gumamit ng mas kumplikadong mga diskarte.

Halimbawa 12. Hanapin natin . Sa integrand, pipiliin namin ang integer na bahagi ng fraction . Pagkatapos

Halimbawa 13 Hanapin natin

2. Paraan ng pagpapalit ng variable (paraan ng pagpapalit)

Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na formula: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kung saan ang x =(t) ay isang function na naiba-iba sa itinuturing na interval.

Patunay. Hanapin natin ang mga derivatives na may paggalang sa variable t mula sa kaliwa at tamang bahagi mga formula.

Tandaan na sa kaliwang bahagi mayroong isang kumplikadong function na ang intermediate argument ay x = (t). Samakatuwid, upang pag-iba-ibahin ito nang may paggalang sa t, una nating pinagkaiba ang integral na may paggalang sa x, at pagkatapos ay kinukuha natin ang hinango ng intermediate argument na may paggalang sa t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivative ng kanang bahagi:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Dahil ang mga derivatives na ito ay pantay-pantay, sa pamamagitan ng isang corollary ng Lagrange's theorem, ang kaliwa at kanang bahagi ng formula na pinatutunayan ay naiiba ng ilang pare-pareho. Dahil ang mga di-tiyak na integral mismo ay tinukoy hanggang sa isang hindi tiyak na pare-parehong termino, ang pare-parehong ito ay maaaring tanggalin sa panghuling notasyon. Napatunayan.

Ang matagumpay na pagbabago ng variable ay nagpapahintulot sa amin na gawing simple ang orihinal na integral, at sa pinakasimpleng mga kaso, bawasan ito sa isang tabular. Sa aplikasyon ng pamamaraang ito, ang mga pamamaraan ng linear at non-linear na pagpapalit ay nakikilala.

a) Linear substitution method tingnan natin ang isang halimbawa.

Halimbawa 1
. Lett= 1 – 2x, pagkatapos

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Dapat tandaan na ang bagong variable ay hindi kailangang isulat nang tahasan. Sa ganitong mga kaso, ang isang tao ay nagsasalita tungkol sa pagbabago ng isang function sa ilalim ng pag-sign ng kaugalian, o ng pagpapakilala ng mga constants at mga variable sa ilalim ng pag-sign ng kaugalian, i.e. tungkol sa implicit variable substitution.

Halimbawa 2 Halimbawa, hanapin natin ang cos(3x + 2)dx. Sa pamamagitan ng mga katangian ng differential dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), pagkataposcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Sa parehong itinuturing na mga halimbawa, ang linear substitution t=kx+b(k0) ay ginamit upang mahanap ang mga integral.

Sa pangkalahatang kaso, ang sumusunod na teorama ay humahawak.

Linear substitution theorem. Hayaang ang F(x) ay ilang antiderivative para sa function na f(x). Pagkataposf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kung saan ang k at b ay ilang constants,k0.

Patunay.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng integral f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Inalis namin ang constant factor k para sa integral sign: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Ngayon ay maaari nating hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng k at makuha ang assertion na patunayan hanggang sa notasyon ng isang pare-parehong termino.

Ang theorem na ito ay nagsasaad na kung ang expression (kx+b) ay pinapalitan sa kahulugan ng integral f(x)dx= F(x) + C, ito ay hahantong sa paglitaw ng karagdagang factor 1/k sa harap. ng antiderivative.

Gamit ang napatunayang teorama, malulutas namin ang mga sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 3

Hanapin natin . Dito kx+b= 3 –x, ibig sabihin, k= -1,b= 3. Pagkatapos

Halimbawa 4

Hanapin natin. Dito kx+b= 4x+ 3, ibig sabihin, k= 4,b= 3. Pagkatapos

Halimbawa 5

Hanapin natin . Dito kx+b= -2x+ 7, ibig sabihin, k= -2,b= 7. Pagkatapos

.

Halimbawa 6 Hanapin natin
. Dito kx+b= 2x+ 0, ibig sabihin, k= 2,b= 0.

.

Ihambing natin ang nakuha na resulta sa halimbawa 8, na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng agnas. Paglutas ng parehong problema sa pamamagitan ng isa pang pamamaraan, nakuha namin ang sagot
. Ihambing natin ang mga resulta: Kaya, ang mga expression na ito ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino , ibig sabihin. ang mga sagot na natanggap ay hindi sumasalungat sa bawat isa.

Halimbawa 7 Hanapin natin
. Pumili kami ng isang buong parisukat sa denominator.

Sa ilang mga kaso, ang pagbabago ng variable ay hindi binabawasan ang integral nang direkta sa isang tabular, ngunit maaari nitong gawing simple ang solusyon sa pamamagitan ng paggawang posible na ilapat ang paraan ng agnas sa susunod na hakbang.

Halimbawa 8 Halimbawa, hanapin natin . Palitan ang t=x+ 2, pagkatapos ay dt=d(x+ 2) =dx. Pagkatapos

,

kung saan ang C \u003d C 1 - 6 (kapag pinapalitan sa halip na t ang expression (x + 2), sa halip na ang unang dalawang termino, makakakuha tayo ng ½x 2 -2x - 6).

Halimbawa 9 Hanapin natin
. Hayaan ang t= 2x+ 1, pagkatapos ay dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Pinapalitan namin ang expression (2x + 1) sa halip na t, buksan ang mga bracket at magbigay ng mga katulad.

Tandaan na sa proseso ng mga pagbabagong-anyo ay dumaan kami sa isa pang pare-parehong termino, dahil maaaring tanggalin ang pangkat ng mga pare-parehong termino sa proseso ng mga pagbabago.

b) Paraan ng non-linear substitution tingnan natin ang isang halimbawa.

Halimbawa 1
. Hayaan ang t= -x 2 . Dagdag pa, maaaring ipahayag ng isa ang x sa mga tuntunin ng t, pagkatapos ay maghanap ng expression para sa dx at magpatupad ng pagbabago ng variable sa kinakailangang integral. Ngunit sa kasong ito mas madaling gawin kung hindi man. Hanapin ang dt=d(-x 2) = -2xdx. Tandaan na ang expression na xdx ay isang salik ng integrand ng kinakailangang integral. Ipinapahayag namin ito mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay xdx= - ½dt. Pagkatapos

Mga Pangunahing Integral na Dapat Malaman ng Bawat Mag-aaral

Ang mga nakalistang integral ay ang batayan, ang batayan ng mga pundasyon. Ang mga formula na ito, siyempre, ay dapat tandaan. Kapag nagkalkula ng higit pa kumplikadong integral kailangan mong patuloy na gamitin ang mga ito.

Bigyang-pansin ang mga formula (5), (7), (9), (12), (13), (17) at (19). Huwag kalimutang magdagdag ng di-makatwirang pare-parehong C sa sagot kapag nagsasama!

Integral ng isang pare-pareho

Pagsasama ng power function

Sa katunayan, maaaring ikulong ng isang tao ang sarili sa mga formula (5) at (7), ngunit ang natitirang bahagi ng mga integral mula sa pangkat na ito ay karaniwan na ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay pansin sa kanila.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Mga integral ng exponential function at ng hyperbolic function

Siyempre, ang formula (8) (marahil ang pinaka-maginhawang tandaan) ay maaaring ituring na isang espesyal na kaso ng formula (9). Ang mga formula (10) at (11) para sa mga integral ng hyperbolic sine at hyperbolic cosine ay madaling hinango mula sa formula (8), ngunit mas mabuting tandaan na lamang ang mga relasyong ito.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Mga pangunahing integral ng trigonometriko function

Isang pagkakamali na madalas gawin ng mga estudyante: nililito nila ang mga palatandaan sa mga formula (12) at (13). Ang pag-alala na ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine, sa ilang kadahilanan maraming tao ang naniniwala na ang integral ng sinx function ay katumbas ng cosx. Hindi ito totoo! Ang integral ng sine ay "minus cosine", ngunit ang integral ng cosx ay "just sine":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Mga Integral na Binabawasan sa Inverse Trigonometric Function

Formula (16), na humahantong sa arc tangent, ay natural na isang espesyal na kaso ng formula (17) para sa a=1. Katulad nito, ang (18) ay isang espesyal na kaso ng (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Mas kumplikadong integral

Ang mga formula na ito ay kanais-nais ding tandaan. Madalas din silang ginagamit, at ang kanilang output ay medyo nakakapagod.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Pangkalahatang mga panuntunan sa pagsasama

1) Integral ng kabuuan ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan mga katumbas na integral: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Ang integral ng pagkakaiba ng dalawang function ay katumbas ng pagkakaiba ng mga katumbas na integral: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa integral sign: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Madaling makita na ang ari-arian (26) ay kumbinasyon lamang ng mga katangian (25) at (27).

4) Integral ng kumplikadong pag-andar, kung linear ang panloob na function: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Dito ang F(x) ay ang antiderivative para sa function na f(x). Tandaan na ang formula na ito ay gumagana lamang kapag ang panloob na function ay Ax + B.

Mahalaga: walang unibersal na formula para sa integral ng produkto ng dalawang function, pati na rin para sa integral ng isang fraction:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (tatlumpu)

Hindi ito nangangahulugan, siyempre, na ang isang fraction o isang produkto ay hindi maaaring isama. Kaya lang sa tuwing makakakita ka ng integral na tulad ng (30), kailangan mong mag-imbento ng paraan para "ipaglaban" ito. Sa ilang mga kaso, ang pagsasama-sama ng mga bahagi ay makakatulong sa iyo, sa isang lugar na kakailanganin mong gumawa ng pagbabago ng variable, at kung minsan kahit na ang mga "paaralan" na mga formula ng algebra o trigonometry ay makakatulong.

Isang simpleng halimbawa para sa pagkalkula ng hindi tiyak na integral

Gumagamit kami ng mga formula (25) at (26) (ang integral ng kabuuan o pagkakaiba ng mga function ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga katumbas na integral. Nakukuha namin ang: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Alalahanin na ang pare-pareho ay maaaring alisin sa integral sign (pormula (27)). Ang expression ay na-convert sa form

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Ngayon ay gamitin na lang natin ang talahanayan ng mga pangunahing integral. Kakailanganin nating maglapat ng mga formula (3), (12), (8) at (1). Pagsamahin natin function ng kapangyarihan, sine, exponent at constant 1. Huwag kalimutang magdagdag ng arbitrary constant C sa dulo:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Pagkatapos ng mga pagbabagong elementarya, nakuha namin ang pangwakas na sagot:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Subukan ang iyong sarili sa pagkita ng kaibahan: kunin ang derivative ng resultang function at tiyaking katumbas ito ng orihinal na integrand.

Talahanayan ng buod ng mga integral

I-download ang talahanayan ng mga integral (bahagi II) mula sa link na ito

Kung nag-aaral ka sa isang unibersidad, kung mayroon kang anumang mga paghihirap sa mas mataas na matematika (mathematical analysis, linear algebra, probability theory, statistics), kung kailangan mo ng mga serbisyo ng isang kwalipikadong guro, pumunta sa pahina ng isang tutor sa mas mataas na matematika. Sama-sama nating lutasin ang iyong mga problema!

Baka interesado ka rin

Sa paaralan, marami ang nabigo sa paglutas ng mga integral o nahihirapan sa kanila. Tutulungan ka ng artikulong ito na malaman ito, dahil mahahanap mo ang lahat ng nasa loob nito. mga talahanayan ng mga integral.

integral ay isa sa mga pangunahing kalkulasyon at konsepto sa calculus. Ang kanyang hitsura ay dumating para sa dalawang layunin:
Unang target- ibalik ang function gamit ang derivative nito.
Pangalawang layunin- pagkalkula ng lugar na matatagpuan sa layo mula sa graph hanggang sa function na f (x) sa isang tuwid na linya kung saan ang a ay mas malaki kaysa o katumbas ng x ay mas malaki sa o katumbas ng b at ang abscissa axis.

Ang mga layuning ito ay humahantong sa atin sa tiyak at hindi tiyak na mga integral. Ang koneksyon sa pagitan ng mga integral na ito ay nakasalalay sa paghahanap para sa mga katangian at pagkalkula. Ngunit ang lahat ay dumadaloy at ang lahat ay nagbabago sa paglipas ng panahon, ang mga bagong solusyon ay natagpuan, ang mga pagdaragdag ay ipinahayag, at sa gayon ay nagdadala ng tiyak at hindi tiyak na mga integral sa iba pang mga anyo ng pagsasama.

Ano hindi tiyak na integral tanong mo. ito antiderivative function F(x) ng isang variable x sa pagitan na mas malaki sa x na mas malaki sa b. ay tinatawag na anumang function F(x), sa ibinigay na pagitan para sa anumang notasyon x, ang derivative ay katumbas ng F(x). Malinaw na ang F(x) ay isang antiderivative para sa f(x) sa pagitan na mas malaki sa x na mas malaki kaysa sa b. Samakatuwid F1(x) = F(x) + C. C - ay anumang pare-pareho at antiderivative para sa f(x) sa ibinigay na pagitan. Ang pahayag na ito ay nababaligtad, para sa function na f(x) - 2 ang mga antiderivative ay naiiba lamang sa isang pare-pareho. Batay sa theorem ng integral calculus, lumalabas na ang bawat tuloy-tuloy sa pagitan a

Tiyak na integral ay nauunawaan bilang isang limitasyon sa integral sums, o sa isang sitwasyon ibinigay na function Ang f(x) ay tinukoy sa ilang linya (а,b) na mayroong antiderivative F, na nangangahulugang ang pagkakaiba ng mga expression nito sa mga dulo ng ibinigay na linya F(b) - F(a).

Para sa kalinawan, ang pag-aaral ng paksang ito, iminumungkahi kong panoorin ang video. Ipinapaliwanag nito nang detalyado at ipinapakita kung paano maghanap ng mga integral.

Ang bawat talahanayan ng mga integral ay lubhang kapaki-pakinabang sa sarili nito, dahil nakakatulong ito sa paglutas ng isang partikular na uri ng integral.

Lahat ng posibleng uri ng stationery at higit pa. Maaari kang bumili sa pamamagitan ng online na tindahan v-kant.ru. O sundin lamang ang link na Stationery Samara (http://v-kant.ru) kalidad at mga presyo ay kawili-wiling sorpresa sa iyo.