Lutasin ang pagsasama ayon sa mga bahagi. Mga kumplikadong integral

Ang paglutas ng mga integral ay isang madaling gawain, ngunit para lamang sa mga piling tao. Ang artikulong ito ay para sa mga gustong matutong maunawaan ang mga integral, ngunit kakaunti o walang alam tungkol sa mga ito. Integral... Bakit kailangan? Paano ito kalkulahin? Ano ang mga tiyak at hindi tiyak na integral? Kung ang tanging paggamit ng integral na alam mo ay upang makakuha ng isang bagay na kapaki-pakinabang mula sa mahirap maabot na mga lugar na may hook sa hugis ng integral icon, maligayang pagdating! Alamin kung paano lutasin ang mga integral at kung bakit hindi mo magagawa kung wala ito.

Pinag-aaralan namin ang konsepto ng "integral"

Ang pagsasama ay kilala na sa Sinaunang Ehipto. Syempre hindi papasok modernong anyo, ngunit gayon pa man. Simula noon, ang mga mathematician ay nagsulat ng napakaraming libro sa paksa. Partikular na nakikilala newton at Leibniz ngunit ang kakanyahan ng mga bagay ay hindi nagbago. Paano maunawaan ang mga integral mula sa simula? Hindi pwede! Upang maunawaan ang paksang ito, kakailanganin mo pa rin ng pangunahing kaalaman sa mga pangunahing kaalaman sa pagsusuri sa matematika. Ang impormasyon tungkol sa , na kailangan din para sa pag-unawa sa mga integral, ay nasa aming blog na.

Indefinite integral

Magkaroon tayo ng ilang function f(x) .

Ang hindi tiyak na integral ng function f(x) tinatawag ang naturang function F(x) , na ang derivative ay katumbas ng function f(x) .

Sa madaling salita, ang integral ay isang reverse derivative o antiderivative. Sa pamamagitan ng paraan, tungkol sa kung paano basahin sa aming artikulo.

Ang primitive ay umiiral para sa lahat tuluy-tuloy na pag-andar. Gayundin, ang isang palaging tanda ay madalas na idinagdag sa antiderivative, dahil ang mga derivatives ng mga pag-andar na naiiba sa pamamagitan ng isang pare-parehong nag-tutugma. Ang proseso ng paghahanap ng integral ay tinatawag na integration.

Simpleng halimbawa:

Upang hindi patuloy na kalkulahin ang mga primitive elementarya na pag-andar, ito ay maginhawa upang ibuod ang mga ito sa isang talahanayan at gamitin na handa na mga halaga:

Tiyak na integral

Kapag nakikitungo sa konsepto ng isang integral, nakikitungo tayo sa mga infinitesimal na dami. Ang integral ay makakatulong na kalkulahin ang lugar ng figure, ang masa ng isang hindi homogenous na katawan, ang landas na nilakbay sa hindi pantay na paggalaw, at marami pa. Dapat tandaan na ang integral ay ang kabuuan ng walang katapusan isang malaking bilang infinitesimal terms.

Bilang halimbawa, isipin ang isang graph ng ilang function. Paano mahahanap ang lugar ng isang figure na nakatali ng isang graph ng isang function?

Sa tulong ng isang integral! Basagin natin curvilinear trapezoid, na nililimitahan ng mga coordinate axes at ng graph ng function, sa walang katapusang maliliit na segment. Kaya, ang figure ay mahahati sa manipis na mga haligi. Ang kabuuan ng mga lugar ng mga haligi ay ang lugar ng trapezoid. Ngunit tandaan na ang gayong pagkalkula ay magbibigay ng tinatayang resulta. Gayunpaman, mas maliit at mas makitid ang mga segment, magiging mas tumpak ang pagkalkula. Kung bawasan natin ang mga ito sa isang lawak na ang haba ay may posibilidad na zero, kung gayon ang kabuuan ng mga lugar ng mga segment ay may posibilidad sa lugar ng figure. Ito ang tiyak na integral, na nakasulat tulad ng sumusunod:

Ang mga puntong a at b ay tinatawag na mga limitasyon ng pagsasama.

Bari Alibasov at ang pangkat na "Integral"

Siya nga pala! Para sa aming mga mambabasa mayroon na ngayong 10% na diskwento sa

Mga Panuntunan para sa Pagkalkula ng Mga Integral para sa Mga Dummies

Mga katangian ng hindi tiyak na integral

Paano malutas ang hindi tiyak na integral? Dito ay isasaalang-alang natin ang mga katangian ng hindi tiyak na integral, na magiging kapaki-pakinabang sa paglutas ng mga halimbawa.

Ang derivative ng integral ay katumbas ng integrand:

Ang pare-pareho ay maaaring alisin mula sa ilalim ng integral sign:

Integral ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan integral. Totoo rin para sa pagkakaiba:

Mga Katangian ng Definite Integral

Linearity:

Ang tanda ng integral ay nagbabago kung ang mga limitasyon ng pagsasama ay nababaligtad:

Sa anuman puntos a, b at kasama:

Nalaman na natin na ang tiyak na integral ay ang limitasyon ng kabuuan. Ngunit paano makakuha ng isang tiyak na halaga kapag nilulutas ang isang halimbawa? Para dito, mayroong formula ng Newton-Leibniz:

Mga halimbawa ng paglutas ng mga integral

Sa ibaba ay isinasaalang-alang namin ang ilang mga halimbawa ng paghahanap ng mga hindi tiyak na integral. Nag-aalok kami sa iyo upang malayang maunawaan ang mga intricacies ng solusyon, at kung may hindi malinaw, magtanong sa mga komento.

Upang pagsama-samahin ang materyal, manood ng video kung paano niresolba ang mga integral sa pagsasanay. Huwag mawalan ng pag-asa kung ang integral ay hindi naibigay kaagad. Lumiko sa isang propesyonal na serbisyo ng mag-aaral, at anumang triple o curvilinear na integral sa ibabaw ng saradong ibabaw ay nasa iyong kapangyarihan.

Ang konsepto ng antiderivative at indefinite integral. Ang teorama sa koleksyon ng mga antiderivatives. Mga katangian ng hindi tiyak na integral. Talaan ng mga integral.

Ang function na F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa function na f(x) , sa isang ibinigay na pagitan, kung ang function na F(x) ay tuloy-tuloy sa interval na ito, at ang pagkakapantay-pantay ay totoo sa bawat panloob na punto ng pagitan: F '(x) = f(x)

Teorama 1. Kung ang isang function na F(x) ay may isang antiderivative na F(x) sa isang pagitan, ang lahat ng mga function ng form na F(x)+C ay magiging mga antiderivative din para dito sa parehong pagitan. Sa kabaligtaran, ang anumang antiderivative Ф(x) para sa function na y = f(x) ay maaaring katawanin bilang Ф(x) = F(x)+C, kung saan ang F(x) ay isa sa antiderivative function, at ang C ay isang arbitraryong pare-pareho.

Patunay:

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang antiderivative, mayroon tayong F'(x) = f(x). Isinasaalang-alang na ang derivative ng pare-pareho ay katumbas ng zero, nakuha namin

(F(x)+C)' = F'(x)+C' = F'(x) = f(x). Nangangahulugan ito na ang F(x)+C ay isang antiderivative para sa y = f(x). Ipakita natin ngayon na kung ang isang function na y = f(x) ay tinukoy sa ilang pagitan at ang F(x) ay isa sa mga antiderivatives nito, kung gayon ang Ф (x) ay maaaring katawanin bilang

Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang antiderivative, mayroon tayo

F'(x) = F(x)+C at F'(x) = f(x).

Ngunit ang dalawang pag-andar na may pantay na derivatives sa pagitan ay naiiba lamang sa isa't isa sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino. Kaya naman, Ф(x) = F(x) + C, na dapat patunayan.

Kahulugan.

Ang hanay ng lahat ng antiderivatives para sa isang function na y = f(x) sa isang naibigay na pagitan ay tinatawag na hindi tiyak na integral ng function na ito at ipinapahiwatig na ∫f(x)dx = F(x)+C

Ang function na f(x) ay tinatawag na integrand, at ang produkto f(x)*dx ay tinatawag na integrand.

Madalas na sinasabi: "kunin ang hindi tiyak na integral" o "kalkulahin ang hindi tiyak na integral", ibig sabihin sa pamamagitan nito ang sumusunod: hanapin ang hanay ng lahat ng antiderivatives para sa integrand,

Mga katangian ng hindi tiyak na integral

1. (f(x)dx) = f(x)

2. ∫f′(x)dx = f(x) + c

3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx, a ≠ 0

4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

Talaan ng mga integral

Integrasyon sa pamamagitan ng pagpapalit at ng mga bahagi sa hindi tiyak na integral.

Pamamaraan ng pagsasama ng pagpapalit ay upang ipakilala ang isang bagong integration variable (ibig sabihin, isang pagpapalit). Sa kasong ito, ang ibinigay na integral ay binabawasan sa isang bagong integral, na tabular o mababawasan dito (sa kaso ng isang "matagumpay" na pagpapalit). Pangkalahatang Pamamaraan hindi umiiral ang pagpili ng pagpapalit.

Hayaang kailanganin na kalkulahin ang integral ∫f(x)dx. Gumawa tayo ng pamalit na x =φ(t), kung saan ang φ(t) ay isang function na may tuluy-tuloy na derivative. Pagkatapos dx=φ "(t) dt at batay sa invariance property ng formula para sa pagsasama ng indefinite integral, makuha natin ang integration formula sa pamamagitan ng substitution ∫f(x)dx = ∫f(φ(t)) * φ'( t)dt Ang pormula na ito ay tinatawag ding mga kapalit na variable ng formula sa hindi tiyak na integral Matapos mahanap ang integral ng kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito, ang isa ay dapat na ipasa mula sa bagong variable na integration t pabalik sa variable na x.

Paraan ng pagsasama ayon sa mga bahagi

Hayaang ang u=u(х) at ν=v(х) ay mga function na may tuluy-tuloy na derivatives. Pagkatapos d(uv)=u dv+v du.

Ang pagsasama ng pagkakapantay-pantay na ito, makuha natin ang ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu o

∫udv =uv - ∫vdu

Ang resultang formula ay tinatawag na integration-by-parts formula. Ginagawa nitong posible na bawasan ang pagkalkula ng integral ∫udv sa pagkalkula ng integral ∫vdu, na maaaring lumabas na mas simple kaysa sa orihinal.

Dati, kami ibinigay na function, na ginagabayan ng iba't ibang mga formula at panuntunan, ay natagpuan ang hinango nito. Ang derivative ay may maraming mga aplikasyon: ito ay ang bilis ng paggalaw (o, sa pangkalahatan, ang bilis ng anumang proseso); dalisdis padaplis sa graph ng function; gamit ang derivative, maaari mong siyasatin ang function para sa monotonicity at extrema; Nakakatulong ito upang malutas ang mga problema sa pag-optimize.

Ngunit kasama ang problema ng paghahanap ng bilis mula sa isang kilalang batas ng paggalaw, mayroon ding isang kabaligtaran na problema - ang problema ng pagpapanumbalik ng batas ng paggalaw mula sa isang kilalang bilis. Isaalang-alang natin ang isa sa mga problemang ito.

Halimbawa 1 Ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya, ang bilis ng paggalaw nito sa oras na t ay ibinibigay ng formula na v=gt. Hanapin ang batas ng paggalaw.
Desisyon. Hayaan ang s = s(t) ang nais na batas ng paggalaw. Alam na ang s"(t) = v(t). Kaya, upang malutas ang problema, kailangan mong pumili ng function na s = s(t), na ang derivative ay katumbas ng gt. Madaling hulaan na $ s(t) = \frac(gt^ 2)(2) $ Sa katunayan
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt$
Sagot: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Napansin namin kaagad na ang halimbawa ay nalutas nang tama, ngunit hindi kumpleto. Nakuha namin ang $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. Sa katunayan, ang problema ay may walang katapusang maraming solusyon: anumang function ng form na $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C $, kung saan ang C ay isang arbitrary constant, ay maaaring magsilbing batas ng paggalaw, dahil $\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

Upang gawing mas tiyak ang problema, kinailangan naming ayusin ang paunang sitwasyon: ipahiwatig ang coordinate ng gumagalaw na punto sa isang punto ng oras, halimbawa, sa t = 0. Kung, sabihin nating, s(0) = s 0 , pagkatapos ay mula sa ang pagkakapantay-pantay s(t) = (gt 2)/2 + C nakukuha natin: s(0) = 0 + C, ibig sabihin, C = s 0 . Ngayon ang batas ng paggalaw ay natatanging tinukoy: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

Sa matematika, ang magkabilang kabaligtaran na mga operasyon ay binibigyan ng iba't ibang mga pangalan, nagkakaroon sila ng mga espesyal na notasyon, halimbawa: squaring (x 2) at pagkuha ng square root (\ (\ sqrt (x) \)), sine (sin x) at arcsine (arcsin x) at iba pa. Ang proseso ng paghahanap ng derivative na may paggalang sa isang ibinigay na function ay tinatawag pagkakaiba-iba, at ang kabaligtaran na operasyon, ibig sabihin, ang proseso ng paghahanap ng isang function sa pamamagitan ng isang ibinigay na derivative, - pagsasama.

Ang terminong "derivative" mismo ay maaaring bigyang-katwiran "sa isang makamundong paraan": ang function na y \u003d f (x) "ay gumagawa sa mundo" bagong feature y" = f"(x). Ang function na y \u003d f (x) ay kumikilos na parang isang "magulang", ngunit ang mga mathematician, siyempre, ay hindi tinatawag itong "magulang" o "producer", sinasabi nila na ito ay, na may kaugnayan sa function na y " = f" (x) , ang pangunahing larawan, o antiderivative.

Kahulugan. Ang isang function na y = F(x) ay tinatawag na isang antiderivative para sa isang function na y = f(x) sa isang interval X kung ang $x \in X $ ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay F"(x) = f(x)

Sa pagsasagawa, ang interval X ay karaniwang hindi tinukoy, ngunit ipinahiwatig (bilang natural na domain ng function).

Magbigay tayo ng mga halimbawa.
1) Ang function na y \u003d x 2 ay isang antiderivative para sa function na y \u003d 2x, dahil para sa anumang x ang pagkakapantay-pantay (x 2) "\u003d 2x ay totoo
2) Ang function na y \u003d x 3 ay isang antiderivative para sa function na y \u003d 3x 2, dahil para sa alinmang x ang pagkakapantay-pantay (x 3)" \u003d 3x 2 ay totoo
3) Ang function na y \u003d sin (x) ay isang antiderivative para sa function na y \u003d cos (x), dahil para sa alinmang x ang pagkakapantay-pantay (sin (x)) "= cos (x) ay totoo

Kapag naghahanap ng mga antiderivatives, pati na rin ang mga derivatives, hindi lamang mga formula ang ginagamit, kundi pati na rin ang ilang mga patakaran. Direktang nauugnay ang mga ito sa kaukulang mga panuntunan para sa pag-compute ng mga derivatives.

Alam natin na ang derivative ng isang sum ay katumbas ng sum ng derivatives. Binubuo ng panuntunang ito ang kaukulang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative.

Panuntunan 1 Ang antiderivative ng isang sum ay katumbas ng sum ng antiderivatives.

Alam natin na ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Binubuo ng panuntunang ito ang kaukulang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative.

Panuntunan 2 Kung ang F(x) ay isang antiderivative para sa f(x), kung gayon ang kF(x) ay isang antiderivative para sa kf(x).

Teorama 1. Kung ang y = F(x) ay ang antiderivative para sa function na y = f(x), kung gayon ang antiderivative para sa function na y = f(kx + m) ay ang function na $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

Teorama 2. Kung ang y = F(x) ay isang antiderivative para sa isang function na y = f(x) sa isang interval X, kung gayon ang function na y = f(x) ay may walang katapusang maraming antiderivative, at lahat sila ay may anyong y = F(x) + C.

Mga pamamaraan ng pagsasama

Paraan ng pagpapalit ng variable (paraan ng pagpapalit)

Ang paraan ng pagsasama ng pagpapalit ay binubuo sa pagpapakilala ng isang bagong variable ng pagsasama (iyon ay, isang pagpapalit). Sa kasong ito, ang ibinigay na integral ay binabawasan sa isang bagong integral, na tabular o mababawasan dito. Walang mga pangkalahatang pamamaraan para sa pagpili ng mga pamalit. Ang kakayahang matukoy nang tama ang pagpapalit ay nakuha sa pamamagitan ng pagsasanay.
Hayaang kailanganin na kalkulahin ang integral $\textstyle \int F(x)dx $. Gumawa tayo ng pamalit na $x= \varphi(t) $ kung saan ang $\varphi(t) $ ay isang function na may tuluy-tuloy na derivative.
Pagkatapos ay $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ at batay sa invariance property ng indefinite integral integration formula, nakuha namin ang substitution integration formula:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Pagsasama-sama ng mga expression tulad ng $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Kung ang m ay kakaiba, m > 0, kung gayon mas maginhawang gawin ang pagpapalit na sin x = t.
Kung ang n ay kakaiba, n > 0, kung gayon mas maginhawang gawin ang pagpapalit ng cos x = t.
Kung ang n at m ay pantay, kung gayon mas maginhawang gawin ang pagpapalit ng tg x = t.

Pagsasama ayon sa mga bahagi

Pagsasama ayon sa mga bahagi - paglalapat ng sumusunod na pormula para sa pagsasama:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
o:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Talaan ng mga hindi tiyak na integral (antiderivatives) ng ilang function

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Mga kumplikadong integral

Kinukumpleto ng artikulong ito ang paksa ng mga hindi tiyak na integral, at kabilang dito ang mga integral na itinuturing kong medyo mahirap. Ang aralin ay nilikha sa paulit-ulit na kahilingan ng mga bisita na nagpahayag ng kanilang nais na ang mas mahirap na mga halimbawa ay masuri sa site.

Ipinapalagay na ang mambabasa ng tekstong ito ay handa nang husto at alam kung paano ilapat ang mga pangunahing pamamaraan ng pagsasama. Ang mga dummies at mga taong hindi masyadong kumpiyansa sa mga integral ay dapat sumangguni sa pinakaunang aralin - Indefinite integral. Mga halimbawa ng solusyon kung saan maaari mong malaman ang paksa halos mula sa simula. Ang mas maraming karanasan na mga mag-aaral ay maaaring maging pamilyar sa mga pamamaraan at pamamaraan ng pagsasama, na hindi pa nakikita sa aking mga artikulo.

Anong mga integral ang isasaalang-alang?

Una, isinasaalang-alang namin ang mga integral na may mga ugat, para sa solusyon na sunud-sunod naming ginagamit variable na pagpapalit at integrasyon ng mga bahagi. Iyon ay, sa isang halimbawa, dalawang pamamaraan ang pinagsama nang sabay-sabay. At higit pa.

Pagkatapos ay makikilala natin ang isang kawili-wili at orihinal paraan ng pagbabawas ng integral sa sarili nito. Hindi gaanong kaunting mga integral ang nalutas sa ganitong paraan.

Ang ikatlong bilang ng programa ay magiging integral mula sa mga kumplikadong fraction, na lumipad sa rehistro ng cash sa mga nakaraang artikulo.

Pang-apat, susuriin ang mga karagdagang integral mula sa trigonometriko function. Sa partikular, may mga pamamaraan na umiiwas sa napapanahong pagpapalit ng unibersal na trigonometriko.

(2) Sa integrand, hinahati namin ang numerator sa termino ng denominator ayon sa termino.

(3) Ginagamit namin ang property ng linearity ng hindi tiyak na integral. Sa huling integral, kaagad dalhin ang function sa ilalim ng sign ng differential.

(4) Kinukuha namin ang natitirang mga integral. Tandaan na maaari mong gamitin ang mga bracket sa logarithm at hindi ang modulus, dahil .

(5) Isinasagawa namin ang reverse substitution, na nagpapahayag mula sa direktang pagpapalit na "te":

Maaaring pag-iba-ibahin ng mga masokistang estudyante ang sagot at makuha ang orihinal na integrand, tulad ng ginawa ko. Hindi, hindi, ginawa ko ang pagsusuri sa tamang kahulugan =)

Tulad ng nakikita mo, sa kurso ng solusyon, kahit na higit sa dalawang paraan ng solusyon ang kailangang gamitin, kaya upang harapin ang mga naturang integral, kailangan mo ng tiwala na mga kasanayan sa pagsasama at hindi ang pinakamababang karanasan.

Sa pagsasagawa, siyempre, ang square root ay mas karaniwan, narito ang tatlong halimbawa para sa malayang desisyon:

Halimbawa 2

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Halimbawa 3

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Halimbawa 4

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ang mga halimbawang ito ay may parehong uri, kaya ang kumpletong solusyon sa dulo ng artikulo ay para lamang sa Halimbawa 2, sa Mga Halimbawa 3-4 - isang sagot. Aling kapalit ang gagamitin sa simula ng mga desisyon, sa tingin ko, ay halata. Bakit ko pinili ang parehong uri ng mga halimbawa? Madalas na matatagpuan sa kanilang mga tungkulin. Mas madalas, marahil, tulad ng .

Ngunit hindi palaging, kapag ang ugat ng isang linear function ay nasa ilalim ng arc tangent, sine, cosine, exponent, at iba pang mga function, maraming mga pamamaraan ang kailangang ilapat nang sabay-sabay. Sa ilang mga kaso, posible na "madaling bumaba", iyon ay, kaagad pagkatapos ng kapalit, ang isang simpleng integral ay nakuha, na kinuha sa elementarya. Ang pinakamadali sa mga gawain na iminungkahi sa itaas ay ang Halimbawa 4, kung saan, pagkatapos ng kapalit, isang medyo simpleng integral ang nakuha.

Ang paraan ng pagbabawas ng integral sa sarili nito

Matalino at magandang pamamaraan. Tingnan natin ang mga klasiko ng genre:

Halimbawa 5

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Mayroong isang parisukat na binomial sa ilalim ng ugat, at kapag sinusubukang isama ang halimbawang ito, ang tsarera ay maaaring magdusa nang maraming oras. Ang nasabing integral ay kinukuha ng mga bahagi at binabawasan sa sarili nito. Sa prinsipyo, hindi ito mahirap. Kung alam mo kung paano.

Tukuyin natin ang itinuturing na integral sa pamamagitan ng isang Latin na titik at simulan ang solusyon:

Pagsasama ayon sa mga bahagi:

(1) Inihahanda namin ang integrand para sa term-by-term division.

(2) Hinahati namin ang integrat term sa pamamagitan ng termino. Marahil hindi naiintindihan ng lahat, isusulat ko nang mas detalyado:

(3) Ginagamit namin ang property ng linearity ng hindi tiyak na integral.

(4) Kinukuha namin ang huling integral ("mahabang" logarithm).

Ngayon tingnan natin ang pinakasimula ng solusyon:

At para sa pagtatapos:

Anong nangyari? Bilang resulta ng aming mga manipulasyon, ang integral ay nabawasan sa sarili nito!

Ipantay ang simula at wakas:

Lumipat kami sa kaliwang bahagi na may pagbabago ng tanda:

At sinisira namin ang deuce kanang bahagi. Ang resulta:

Ang pare-pareho, mahigpit na nagsasalita, ay dapat na idinagdag nang mas maaga, ngunit idinagdag ko ito sa dulo. Lubos kong inirerekumenda na basahin kung ano ang kalubhaan dito:

Tandaan: Mas mahigpit, ang huling yugto ng solusyon ay ganito ang hitsura:

kaya:

Ang pare-pareho ay maaaring muling pangalanan ng . Bakit kaya mong palitan ang pangalan? Dahil kailangan pa rin anuman mga halaga, at sa ganitong diwa ay walang pagkakaiba sa pagitan ng mga constant at.
Ang resulta:

Ang isang katulad na trick na may patuloy na pagpapalit ng pangalan ay malawakang ginagamit sa differential equation. At doon ako magiging mahigpit. At narito ang gayong mga kalayaan ay pinahihintulutan ko lamang upang hindi ka malito dagdag na bagay at tumuon sa mismong paraan ng pagsasama.

Halimbawa 6

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Isa pang tipikal na integral para sa independiyenteng solusyon. Kumpletong Solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin. Ang pagkakaiba sa sagot ng nakaraang halimbawa ay!

Kung nasa ilalim parisukat na ugat ang isang parisukat na trinomial ay matatagpuan, pagkatapos ang solusyon sa anumang kaso ay bumababa sa dalawang nasuri na mga halimbawa.

Halimbawa, isaalang-alang ang integral . Ang kailangan mo lang gawin ay in advance pumili ng isang buong parisukat:
.
Susunod, ang isang linear na kapalit ay isinasagawa, na namamahala "nang walang anumang mga kahihinatnan":
, na nagreresulta sa isang integral . Isang bagay na pamilyar, tama ba?

O ang halimbawang ito, na may parisukat na binomial:
Pagpili ng isang buong parisukat:
At, pagkatapos ng isang linear na kapalit , nakukuha namin ang integral , na nalulutas din ng itinuturing na algorithm.

Isaalang-alang ang dalawa pa tipikal na mga halimbawa upang tanggapin ang pagbawas ng integral sa sarili nito:
ay ang integral ng exponent na pinarami ng sine;
ay ang integral ng exponent na pinarami ng cosine.

Sa mga nakalistang integral ayon sa mga bahagi, kakailanganin mong isama nang dalawang beses na:

Halimbawa 7

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ang integrand ay ang exponent na pinarami ng sine.

Nagsasama kami ng mga bahagi nang dalawang beses at binabawasan ang integral sa sarili nito:

Bilang resulta ng dobleng pagsasama ng mga bahagi, ang integral ay nabawasan sa sarili nito. Ipantay ang simula at wakas ng solusyon:

Lumipat kami sa kaliwang bahagi na may pagbabago ng tanda at ipinahayag ang aming integral:

handa na. Kasama ang paraan, ito ay kanais-nais na magsuklay sa kanang bahagi, i.e. alisin ang exponent sa mga bracket, at ilagay ang sine at cosine sa mga bracket sa "maganda" na pagkakasunud-sunod.

Ngayon bumalik tayo sa simula ng halimbawa, o sa halip, sa pagsasama ayon sa mga bahagi:

Para itinalaga namin ang nagtatanghal. Ang tanong ay lumitaw, ito ay ang exponent na dapat palaging tinutukoy ng ? Hindi kinakailangan. Sa katunayan, sa itinuturing na integral sa panimula walang pagkakaiba, kung ano ang dapat ipahiwatig, maaaring pumunta ang isa sa kabilang paraan:

Bakit ito posible? Dahil ang exponent ay nagiging sarili nito (kapag nag-iiba at nagsasama), ang sine at cosine ay magkaparehong nagiging isa't isa (muli, kapwa kapag nag-iiba at nagsasama).

Iyon ay, ang trigonometric function ay maaari ding tukuyin. Ngunit, sa isinasaalang-alang na halimbawa, ito ay hindi gaanong makatwiran, dahil lilitaw ang mga fraction. Kung nais mo, maaari mong subukang lutasin ang halimbawang ito sa pangalawang paraan, dapat na pareho ang mga sagot.

Halimbawa 8

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Bago magpasya, isipin kung ano ang mas kumikita sa kasong ito na italaga para sa, exponential o trigonometric function? Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

At, siyempre, huwag kalimutan na ang karamihan sa mga sagot ang araling ito sapat na madaling suriin sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan!

Ang mga halimbawa ay itinuturing na hindi ang pinakamahirap. Sa pagsasagawa, ang mga integral ay mas karaniwan, kung saan ang pare-pareho ay pareho sa exponent at sa argumento ng trigonometric function, halimbawa: . Maraming mga tao ang kailangang malito sa gayong integral, at ako mismo ay madalas na nalilito. Ang katotohanan ay na sa solusyon ay may mataas na posibilidad ng paglitaw ng mga praksyon, at napakadaling mawala ang isang bagay dahil sa kawalan ng pansin. Bilang karagdagan, mayroong isang mataas na posibilidad ng error sa mga palatandaan, tandaan na mayroong isang minus sign sa exponent, at ito ay nagpapakilala ng karagdagang kahirapan.

Sa panghuling yugto, madalas itong lumalabas na ganito:

Kahit na sa dulo ng solusyon, dapat kang maging maingat at tama na makitungo sa mga fraction:

Pagsasama-sama ng mga kumplikadong fraction

Dahan-dahan kaming lumalapit sa ekwador ng aralin at nagsimulang isaalang-alang ang mga integral ng mga fraction. Muli, hindi lahat ng mga ito ay sobrang kumplikado, para lamang sa isang kadahilanan o iba pa, ang mga halimbawa ay medyo "off topic" sa ibang mga artikulo.

Ang pagpapatuloy ng tema ng mga ugat

Halimbawa 9

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Sa denominator sa ilalim ng ugat mayroong isang square trinomial plus sa labas ng root "appendage" sa anyo ng "x". Ang isang integral ng form na ito ay nalulutas gamit ang isang karaniwang pagpapalit.

Nagpasya kami:

Ang kapalit dito ay simple:

Pagtingin sa buhay pagkatapos ng kapalit:

(1) Pagkatapos ng pagpapalit, binabawasan namin ang mga termino sa ilalim ng ugat sa isang karaniwang denominator.
(2) Inalis namin ito sa ilalim ng ugat.
(3) Binabawasan natin ang numerator at denominator ng . Kasabay nito, sa ilalim ng ugat, muling inayos ko ang mga tuntunin sa isang maginhawang pagkakasunud-sunod. Sa ilang karanasan, ang mga hakbang (1), (2) ay maaaring laktawan sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga komentong aksyon nang pasalita.
(4) Ang resultang integral, gaya ng naaalala mo mula sa aralin Pagsasama-sama ng ilang fraction, ay nalutas paraan ng pagkuha buong parisukat . Pumili ng isang buong parisukat.
(5) Sa pamamagitan ng pagsasama, nakakakuha tayo ng ordinaryong "mahabang" logarithm.
(6) Isinasagawa namin ang reverse replacement. Kung sa una , pagkatapos ay bumalik: .
(7) Ang panghuling aksyon ay naglalayong pagsamahin ang resulta: sa ilalim ng ugat, muli nating dinadala ang mga termino sa isang karaniwang denominator at alisin ang mga ito mula sa ilalim ng ugat.

Halimbawa 10

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Dito, ang isang pare-pareho ay idinagdag sa nag-iisang x, at ang kapalit ay halos pareho:

Ang tanging bagay na kailangang gawin bilang karagdagan ay upang ipahayag ang "x" mula sa kapalit:

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Minsan sa naturang integral ay maaaring mayroong isang parisukat na binomial sa ilalim ng ugat, hindi nito binabago ang paraan ng paglutas ng solusyon, ito ay magiging mas simple. Pakiramdaman ang pagkakaiba:

Halimbawa 11

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Halimbawa 12

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Dapat tandaan na ang Halimbawa 11 ay eksakto binomial integral, ang paraan ng solusyon na isinaalang-alang sa aralin Mga integral ng hindi makatwirang pag-andar.

Integral ng isang hindi nabubulok na polynomial ng 2nd degree hanggang sa degree

(polynomial sa denominator)

Ang isang rarer, ngunit, gayunpaman, na nagaganap sa mga praktikal na halimbawa na anyo ng integral.

Halimbawa 13

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ngunit bumalik tayo sa halimbawa na may masuwerteng numero 13 (sa totoo lang, hindi ko nahulaan). Ang integral na ito ay mula rin sa kategorya ng mga kung saan maaari kang magdusa kung hindi mo alam kung paano lutasin.

Ang solusyon ay nagsisimula sa isang artipisyal na pagbabagong-anyo:

Sa tingin ko naiintindihan na ng lahat kung paano hatiin ang numerator sa termino ng denominator ayon sa termino.

Ang resultang integral ay kinuha sa mga bahagi:

Para sa isang integral ng form (- natural na numero) nagmula paulit-ulit downgrade na formula:
, saan ay isang integral ng isang mas mababang antas.

I-verify natin ang bisa ng formula na ito para sa solved integral .
Sa kasong ito: , , ginagamit namin ang formula:

Tulad ng nakikita mo, ang mga sagot ay pareho.

Halimbawa 14

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ginagamit ng sample na solusyon ang formula sa itaas nang dalawang beses na magkakasunod.

Kung sa ilalim ng degree ay hindi nabubulok square trinomial, pagkatapos ang solusyon ay binabawasan sa isang binomial sa pamamagitan ng pagkuha ng buong parisukat, halimbawa:

Paano kung mayroong karagdagang polynomial sa numerator? Sa kasong ito, ginagamit ang pamamaraan hindi tiyak na mga coefficient, at ang integrand ay lumalawak sa kabuuan ng mga fraction. Ngunit sa aking pagsasanay ng gayong halimbawa hindi pa nakikilala, kaya nilaktawan ko ang kasong ito sa artikulo Integrals ng isang fractional-rational function, laktawan ko na. Kung nangyayari pa rin ang gayong integral, tingnan ang aklat-aralin - ang lahat ay simple doon. Hindi ko itinuturing na kapaki-pakinabang na isama ang materyal (kahit na simple), ang posibilidad ng pagpupulong na may posibilidad na maging zero.

Pagsasama-sama ng mga kumplikadong trigonometriko function

Ang pang-uri na "mahirap" para sa karamihan ng mga halimbawa ay higit na may kondisyon. Magsimula tayo sa mga tangent at cotangent sa matataas na kapangyarihan. Mula sa punto ng view ng mga pamamaraan na ginamit upang malutas ang tangent at cotangent ay halos pareho, kaya ako ay magsasalita nang higit pa tungkol sa tangent, ibig sabihin, ang ipinakitang paraan ng paglutas ng integral ay may bisa din para sa cotangent.

Sa aralin sa itaas, tiningnan natin unibersal na trigonometrikong pagpapalit para sa mga solusyon isang tiyak na uri integral ng trigonometriko function. Ang kawalan ng unibersal na trigonometric substitution ay ang paggamit nito ay madalas na humahantong sa masalimuot na mga integral na may mahirap na mga kalkulasyon. At sa ilang mga kaso, ang unibersal na trigonometric substitution ay maaaring iwasan!

Isaalang-alang ang isa pang kanonikal na halimbawa, ang integral ng pagkakaisa na hinati ng sine:

Halimbawa 17

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Dito maaari mong gamitin ang unibersal na trigonometric substitution at makuha ang sagot, ngunit mayroong isang mas makatwirang paraan. Magbibigay ako ng kumpletong solusyon na may mga komento para sa bawat hakbang:

(1) Ginagamit namin ang trigonometric formula para sa sine ng isang dobleng anggulo.
(2) Nagsasagawa tayo ng isang artipisyal na pagbabagong-anyo: Sa denominator ay hinahati at pinaparami natin sa .
(3) Ayon sa kilalang formula sa denominator, ginagawa natin ang fraction sa isang tangent.
(4) Dinadala namin ang function sa ilalim ng sign ng differential.
(5) Kinukuha namin ang integral.

Magpares mga simpleng halimbawa para sa independiyenteng solusyon:

Halimbawa 18

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Hint: Ang pinakaunang hakbang ay ang paggamit ng formula ng pagbabawas at maingat na magsagawa ng mga aksyon na katulad ng naunang halimbawa.

Halimbawa 19

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Well, ito ay isang napaka-simpleng halimbawa.

Kumpletuhin ang mga solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa palagay ko ngayon ay walang magkakaroon ng mga problema sa mga integral:
atbp.

Ano ang ideya sa likod ng pamamaraan? Ang ideya ay sa tulong ng mga pagbabago, mga formula ng trigonometriko ayusin sa integrat tanging ang padaplis at ang derivative ng padaplis. I.e, nag-uusap kami tungkol sa pagpapalit: . Sa Mga Halimbawa 17-19, ginamit talaga namin ang kapalit na ito, ngunit ang mga integral ay napakasimple na ginawa ito sa isang katumbas na aksyon - dinadala ang function sa ilalim ng differential sign.

Ang katulad na pangangatwiran, tulad ng nabanggit ko na, ay maaaring isagawa para sa cotangent.

Mayroon ding isang pormal na kinakailangan para sa paglalapat ng pagpapalit sa itaas:

Ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng cosine at sine ay isang negatibong integer na EVEN number, Halimbawa:

para sa isang integral, isang integer negatibong EVEN na numero.

! Tandaan : kung ang integrand ay naglalaman LAMANG ng isang sine o LAMANG ng isang cosine, kung gayon ang integral ay kukunin kahit na may negatibong kakaibang antas (ang pinakasimpleng mga kaso ay nasa Mga Halimbawa Blg. 17, 18).

Isaalang-alang ang ilang mas makabuluhang gawain para sa panuntunang ito:

Halimbawa 20

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ang kabuuan ng mga degree ng sine at cosine: 2 - 6 \u003d -4 - isang negatibong integer na EVEN na numero, na nangangahulugang ang integral ay maaaring mabawasan sa mga tangent at derivative nito:

(1) Ibahin natin ang denominator.
(2) Ayon sa kilalang pormula, nakukuha natin ang .
(3) Ibahin natin ang denominator.
(4) Ginagamit namin ang formula .
(5) Dinadala namin ang function sa ilalim ng differential sign.
(6) Isinasagawa namin ang pagpapalit. Maaaring hindi isagawa ng mas maraming karanasan na mga mag-aaral ang pagpapalit, ngunit mas mahusay na palitan ang tangent ng isang titik - mas kaunting panganib ng pagkalito.

Halimbawa 21

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself.

Wait lang, magsisimula na ang championship rounds =)

Kadalasan sa integrand mayroong isang "hodgepodge":

Halimbawa 22

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ang integral na ito sa simula ay naglalaman ng isang tangent, na agad na nagmumungkahi ng pamilyar na kaisipan:

Iiwan ko ang artipisyal na pagbabago sa pinakadulo simula at ang natitirang mga hakbang nang walang komento, dahil ang lahat ay nasabi na sa itaas.

Isang pares ng mga malikhaing halimbawa para sa isang malayang solusyon:

Halimbawa 23

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Halimbawa 24

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Oo, sa kanila, siyempre, maaari mong babaan ang mga antas ng sine, cosine, gamitin ang unibersal na trigonometric substitution, ngunit ang solusyon ay magiging mas mahusay at mas maikli kung ito ay iguguhit sa pamamagitan ng mga tangent. Buong solusyon at mga sagot sa pagtatapos ng aralin

Ang formula para sa pagsasama ng mga bahagi ay:
.

Ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi ay binubuo sa paglalapat ng formula na ito. Sa praktikal na aplikasyon ito ay nagkakahalaga ng noting na ang u at v ay mga function ng integration variable. Hayaang matukoy ang variable ng integration bilang x (simbolo pagkatapos ng differential sign d sa dulo ng integral notation). Kung gayon ang u at v ay mga function ng x : u(x) at v(x) .
Pagkatapos
, .
At ang integration-by-parts formula ay nasa anyo:
.

Iyon ay, ang integrand ay dapat na binubuo ng produkto ng dalawang function:
,
isa sa kung saan tinutukoy namin bilang u: g(x) \u003d u, at ang integral ay dapat kalkulahin para sa isa pa (mas tiyak, ang antiderivative ay dapat matagpuan):
, pagkatapos dv = f(x) dx .

Sa ilang mga kaso f(x) = 1 . Ibig sabihin, sa integral
,
maaari nating ilagay ang g(x) = u, x = v .

Buod

Kaya sa ang pamamaraang ito, ang formula ng integration-by-parts ay dapat tandaan at ilapat sa dalawang anyo:
;
.

Ang mga integral na kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi

Mga integral na naglalaman ng logarithm at inverse trigonometric (hyperbolic) function

Ang mga integral na naglalaman ng logarithm at inverse trigonometric o hyperbolic function ay kadalasang pinagsama ng mga bahagi. Sa kasong ito, ang bahagi na naglalaman ng logarithm o inverse trigonometric (hyperbolic) function ay tinutukoy ng u, ang natitirang bahagi - ng dv.

Narito ang mga halimbawa ng naturang mga integral, na kinakalkula ng paraan ng pagsasama ng mga bahagi:
, , , , , , .

Mga integral na naglalaman ng produkto ng isang polynomial at sin x, cos x, o e x

Ayon sa formula para sa pagsasama ng mga bahagi, ang mga integral ng form ay matatagpuan:
, , ,
kung saan ang P(x) ay isang polynomial sa x . Sa pagsasama, ang polynomial na P(x) ay tinutukoy ng u , at e ax dx , kasi ax dx o kasalanan palakol dx- sa pamamagitan ng dv.

Narito ang mga halimbawa ng naturang mga integral:
, , .

Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga integral sa pamamagitan ng paraan ng pagsasama ng mga bahagi

Mga halimbawa ng integral na naglalaman ng logarithm at inverse trigonometric function

Halimbawa

Kalkulahin ang integral:

Detalyadong Solusyon

Dito ang integrand ay naglalaman ng logarithm. Paggawa ng mga pamalit
u= sa x,
dv=x 2dx.
Pagkatapos
,
.

Kinakalkula namin ang natitirang integral:
.
Pagkatapos
.
Sa pagtatapos ng mga kalkulasyon, kinakailangang idagdag ang pare-parehong C, dahil ang hindi tiyak na integral ay ang hanay ng lahat ng antiderivatives. Maaari rin itong idagdag sa mga intermediate na kalkulasyon, ngunit makakalat lamang ito sa mga kalkulasyon.

Mas Maikling Solusyon

Posibleng ipakita ang solusyon sa mas maikling bersyon. Upang gawin ito, hindi mo kailangang gumawa ng mga pagpapalit sa u at v, ngunit maaari mong pangkatin ang mga kadahilanan at ilapat ang formula ng integration-by-parts sa pangalawang anyo.