Mga integral ng talahanayan. Antiderivative

Mga pangunahing integral na dapat malaman ng bawat mag-aaral

Ang mga nakalistang integral ay ang batayan, ang batayan ng mga batayan. Talagang dapat tandaan ang mga formula na ito. Kapag nagkalkula ng higit pa kumplikadong integral kailangan mong gamitin ang mga ito palagi.

Bigyang-pansin ang mga formula (5), (7), (9), (12), (13), (17) at (19). Huwag kalimutang magdagdag ng di-makatwirang pare-parehong C sa iyong sagot kapag nagsasama!

Integral ng isang pare-pareho

Pagsasama ng Power Function

Sa katunayan, posible na limitahan ang ating sarili sa mga formula lamang (5) at (7), ngunit ang natitirang bahagi ng mga integral mula sa pangkat na ito ay madalas na nangyayari na ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay ng kaunting pansin sa kanila.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Mga integral ng exponential function at hyperbolic function

Siyempre, ang formula (8) (marahil ang pinaka-maginhawa para sa pagsasaulo) ay maaaring ituring na isang espesyal na kaso ng formula (9). Ang mga formula (10) at (11) para sa mga integral ng hyperbolic sine at hyperbolic cosine ay madaling hinango mula sa formula (8), ngunit mas mabuting tandaan lamang ang mga ugnayang ito.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Mga pangunahing integral ng trigonometriko function

Ang isang pagkakamali na madalas gawin ng mga mag-aaral ay nalilito nila ang mga palatandaan sa mga formula (12) at (13). Ang pag-alala na ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine, sa ilang kadahilanan ay naniniwala ang maraming tao na ang integral ng mga function ng sinx katumbas ng cosx. Hindi ito totoo! Ang integral ng sine ay katumbas ng "minus cosine", ngunit ang integral ng cosx ay katumbas ng "just sine":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Mga integral na bumababa sa kabaligtaran na mga function ng trigonometriko

Formula (16), na humahantong sa arctangent, ay natural na isang espesyal na kaso ng formula (17) para sa a=1. Katulad nito, ang (18) ay isang espesyal na kaso ng (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Mas kumplikadong integral

Maipapayo rin na tandaan ang mga formula na ito. Madalas din silang ginagamit, at ang kanilang output ay medyo nakakapagod.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Pangkalahatang mga tuntunin ng pagsasama

1) Integral ng kabuuan ng dalawang function katumbas ng kabuuan mga katumbas na integral: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Ang integral ng pagkakaiba ng dalawang function ay katumbas ng pagkakaiba ng mga katumbas na integral: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa integral sign: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Madaling makita na ang ari-arian (26) ay kumbinasyon lamang ng mga katangian (25) at (27).

4) Integral ng kumplikadong pag-andar, kung linear ang panloob na function: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Dito ang F(x) ay isang antiderivative para sa function na f(x). Pakitandaan: gumagana lang ang formula na ito kapag ang panloob na function ay Ax + B.

Mahalaga: walang unibersal na formula para sa integral ng produkto ng dalawang function, pati na rin para sa integral ng isang fraction:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (tatlumpu)

Hindi ito nangangahulugan, siyempre, na ang isang fraction o produkto ay hindi maaaring isama. Kaya lang, sa tuwing makakakita ka ng integral na tulad ng (30), kailangan mong mag-imbento ng paraan para “ipaglaban” ito. Sa ilang mga kaso, ang pagsasama-sama ng mga bahagi ay makakatulong sa iyo, sa iba ay kailangan mong gumawa ng pagbabago ng variable, at kung minsan kahit na ang "paaralan" na algebra o mga formula ng trigonometrya ay makakatulong.

Isang simpleng halimbawa ng pagkalkula ng hindi tiyak na integral

Gamitin natin ang mga formula (25) at (26) (ang integral ng kabuuan o pagkakaiba ng mga function ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga katumbas na integral. Nakukuha natin ang: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Tandaan natin na ang pare-pareho ay maaaring alisin sa integral sign (pormula (27)). Ang expression ay na-convert sa form

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Ngayon ay gamitin na lang natin ang talahanayan ng mga pangunahing integral. Kakailanganin nating maglapat ng mga formula (3), (12), (8) at (1). Isama natin ang power function, sine, exponential at constant 1. Huwag kalimutang magdagdag ng arbitrary constant C sa dulo:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Pagkatapos ng mga pagbabagong elementarya ay nakuha namin ang pangwakas na sagot:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Subukan ang iyong sarili sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan: kunin ang derivative ng resultang function at siguraduhin na ito ay katumbas ng orihinal na integrand.

Talahanayan ng buod ng mga integral

I-download ang talahanayan ng mga integral (bahagi II) mula sa link na ito

Kung ikaw ay nag-aaral sa isang unibersidad, kung nahihirapan ka sa mas mataas na matematika (mathematical analysis, linear algebra, probability theory, statistics), kung kailangan mo ng mga serbisyo ng isang kwalipikadong guro, pumunta sa pahina ng isang mas mataas na tutor sa matematika. Sama-sama nating lutasin ang iyong mga problema!

Maaaring interesado ka rin sa

Sa pahinang ito makikita mo ang:

1. Sa totoo lang, ang talahanayan ng mga antiderivatives - maaari itong ma-download mula sa PDF format at i-print;

2. Video kung paano gamitin ang talahanayang ito;

3. Isang grupo ng mga halimbawa ng pagkalkula ng antiderivative mula sa iba't ibang mga aklat-aralin at pagsusulit.

Sa mismong video, susuriin namin ang maraming mga problema kung saan kailangan mong kalkulahin ang mga antiderivatives ng mga pag-andar, kadalasang medyo kumplikado, ngunit ang pinakamahalaga, hindi sila mga function ng kapangyarihan. Ang lahat ng mga function na nakabuod sa talahanayan na iminungkahi sa itaas ay dapat na kilala sa puso, tulad ng mga derivatives. Kung wala ang mga ito, ang karagdagang pag-aaral ng mga integral at ang kanilang aplikasyon upang malutas ang mga praktikal na problema ay imposible.

Ngayon ay patuloy kaming nag-aaral ng mga antiderivative at nagpapatuloy sa kaunti pa kumplikadong paksa. Kung noong huling pagkakataon ay tumingin lamang tayo sa mga antiderivative ng mga function ng kapangyarihan at bahagyang mas kumplikadong mga konstruksyon, ngayon ay titingnan natin ang trigonometrya at marami pang iba.

Tulad ng sinabi ko sa huling aralin, ang mga antiderivatives, hindi katulad ng mga derivatives, ay hindi kailanman malulutas "kaagad" gamit ang anumang karaniwang mga patakaran. Bukod dito, ang masamang balita ay, hindi katulad ng hinalaw, ang antiderivative ay maaaring hindi maisaalang-alang sa lahat. Kung magsusulat tayo ng ganap random function at sinusubukan naming hanapin ang derivative nito, pagkatapos ay may napakataas na posibilidad na magtatagumpay kami, ngunit ang antiderivative ay halos hindi kailanman makalkula sa kasong ito. Ngunit may magandang balita: mayroong isang medyo malaking klase ng mga pag-andar na tinatawag na elementarya na mga pag-andar, ang mga antiderivative na kung saan ay napakadaling kalkulahin. At lahat ng iba pang mas kumplikadong mga konstruksyon na ibinibigay sa lahat ng uri ng mga pagsubok, mga independiyenteng pagsusulit at pagsusulit, sa katunayan, ay binubuo ng mga ito. mga pag-andar ng elementarya sa pamamagitan ng karagdagan, pagbabawas at iba pang mga simpleng operasyon. Ang mga prototype ng naturang mga pag-andar ay matagal nang kinakalkula at pinagsama sa mga espesyal na talahanayan. Ang mga pag-andar at talahanayan na ito ang gagawin namin ngayon.

Ngunit magsisimula tayo, gaya ng nakasanayan, sa isang pag-uulit: tandaan natin kung ano ang isang antiderivative, kung bakit mayroong walang katapusang marami sa kanila at kung paano tukuyin ang mga ito pangkalahatang anyo. Upang gawin ito, kinuha ko ang dalawang simpleng problema.

Paglutas ng mga madaling halimbawa

Halimbawa #1

Agad nating tandaan na ang $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ at sa pangkalahatan ang presensya ng $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ ay agad na nagpapahiwatig sa amin na ang kinakailangang antiderivative ng function ay nauugnay sa trigonometry. At, sa katunayan, kung titingnan natin ang talahanayan, makikita natin na ang $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ay hindi hihigit sa $\text(arctg)x$. Kaya't isulat natin ito:

Upang mahanap, kailangan mong isulat ang mga sumusunod:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Halimbawa Blg. 2

Dito rin pinag-uusapan natin O trigonometriko function. Kung titingnan natin ang talahanayan, kung gayon, sa katunayan, ito ang mangyayari:

Kailangan nating hanapin sa buong hanay ng mga antiderivative ang isa na dumadaan sa ipinahiwatig na punto:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Sa wakas ay isulat natin ito:

Ganun kasimple. Ang tanging problema ay upang mabilang ang mga antiderivatives mga simpleng function, kailangan mong matutunan ang talahanayan ng mga antiderivatives. Gayunpaman, pagkatapos pag-aralan ang derivative table para sa iyo, sa tingin ko hindi ito magiging problema.

Paglutas ng mga problemang naglalaman ng exponential function

Upang magsimula, isulat natin ang mga sumusunod na formula:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Tingnan natin kung paano gumagana ang lahat sa pagsasanay.

Halimbawa #1

Kung titingnan natin ang mga nilalaman ng mga bracket, mapapansin natin na sa talahanayan ng mga antiderivatives ay walang ganoong expression para sa $((e)^(x))$ na nasa isang parisukat, kaya ang parisukat na ito ay dapat na palawakin. Upang gawin ito, ginagamit namin ang mga pinaikling formula ng pagpaparami:

Hanapin natin ang antiderivative para sa bawat isa sa mga termino:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e))^ (2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Ngayon, kolektahin natin ang lahat ng termino sa isang expression at kunin ang pangkalahatang antiderivative:

Halimbawa Blg. 2

Sa pagkakataong ito ang degree ay mas malaki, kaya ang pinaikling formula ng pagpaparami ay magiging kumplikado. Kaya buksan natin ang mga bracket:

Ngayon subukan nating kunin ang antiderivative ng ating formula mula sa construction na ito:

Tulad ng makikita mo, walang kumplikado o supernatural sa mga antiderivatives ng exponential function. Lahat ng mga ito ay kinakalkula sa pamamagitan ng mga talahanayan, ngunit malamang na mapapansin ng mga matulunging estudyante na ang antiderivative na $((e)^(2x))$ ay mas malapit sa simpleng $((e)^(x))$ kaysa sa $((a )^(x ))$. Kaya, marahil mayroong ilang higit pang espesyal na panuntunan na nagpapahintulot, alam ang antiderivative na $((e)^(x))$, upang mahanap ang $((e)^(2x))$? Oo, umiiral ang gayong panuntunan. At, bukod dito, ito ay isang mahalagang bahagi ng pagtatrabaho sa talahanayan ng mga antiderivatives. Susuriin namin ngayon ito gamit ang parehong mga expression na kakatrabaho lang namin bilang isang halimbawa.

Mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa talahanayan ng mga antiderivatives

Isulat natin muli ang ating function:

Sa nakaraang kaso, ginamit namin ang sumusunod na formula upang malutas:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Ngunit ngayon gawin natin ito nang medyo naiiba: tandaan natin kung anong batayan ang $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Gaya ng nasabi ko na, dahil ang derivative na $((e)^(x))$ ay hindi hihigit sa $((e)^(x))$, kaya ang antiderivative nito ay magiging katumbas ng parehong $((e) ^ (x))$. Ngunit ang problema ay mayroon tayong $((e)^(2x))$ at $((e)^(-2x))$. Ngayon subukan nating hanapin ang derivative ng $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Muli nating isulat muli ang ating pagtatayo:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Nangangahulugan ito na kapag nakita natin ang antiderivative na $((e)^(2x))$ nakukuha natin ang sumusunod:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Tulad ng nakikita mo, nakuha namin ang parehong resulta tulad ng dati, ngunit hindi namin ginamit ang formula upang mahanap ang $((a)^(x))$. Ngayon ito ay maaaring mukhang hangal: bakit kumplikado ang mga kalkulasyon kapag mayroong isang karaniwang formula? Gayunpaman, sa bahagyang mas kumplikadong mga expression ay makikita mo na ang diskarteng ito ay napaka-epektibo, i.e. gamit ang mga derivatives upang mahanap ang mga antiderivatives.

Bilang isang warm-up, hanapin natin ang antiderivative ng $((e)^(2x))$ sa katulad na paraan:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Kapag kinakalkula, ang aming konstruksiyon ay isusulat tulad ng sumusunod:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Parehong resulta ang nakuha namin, ngunit ibang landas ang tinahak namin. Ito ang landas na ito, na ngayon ay tila mas kumplikado sa amin, na sa hinaharap ay magiging mas epektibo para sa pagkalkula ng mas kumplikadong mga antiderivative at paggamit ng mga talahanayan.

Tandaan! Ito ay lubhang mahalagang punto: ang mga antiderivative, tulad ng mga derivative, ay maaaring ituring na isang set sa iba't ibang paraan. Gayunpaman, kung ang lahat ng mga kalkulasyon at kalkulasyon ay pantay, ang sagot ay magiging pareho. Nakita namin ito sa halimbawa ng $((e)^(-2x))$ - sa isang banda, kinakalkula namin itong antiderivative na "right through", gamit ang kahulugan at kinakalkula ito gamit ang mga pagbabago, sa kabilang banda, naalala namin na ang $ ((e)^(-2x))$ ay maaaring katawanin bilang $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ at saka lang namin ginamit ang antiderivative para sa function na $( (a)^(x))$. Gayunpaman, pagkatapos ng lahat ng mga pagbabago, ang resulta ay pareho, tulad ng inaasahan.

At ngayong naiintindihan na natin ang lahat ng ito, oras na para magpatuloy sa isang bagay na mas makabuluhan. Ngayon ay susuriin natin ang dalawang simpleng mga konstruksyon, ngunit ang pamamaraan na gagamitin kapag nilutas ang mga ito ay isang mas malakas at kapaki-pakinabang na tool kaysa sa simpleng "pagtakbo" sa pagitan ng mga kalapit na antiderivatives mula sa talahanayan.

Paglutas ng problema: paghahanap ng antiderivative ng isang function

Halimbawa #1

Hatiin natin ang halaga na nasa mga numerator sa tatlong magkakahiwalay na fraction:

Ito ay isang medyo natural at nauunawaan na paglipat - karamihan sa mga mag-aaral ay walang problema dito. Muli nating isulat ang ating ekspresyon tulad ng sumusunod:

Ngayon tandaan natin ang formula na ito:

Sa aming kaso, makukuha namin ang sumusunod:

Upang maalis ang lahat ng tatlong-kuwento na fraction na ito, iminumungkahi kong gawin ang sumusunod:

Halimbawa Blg. 2

Hindi tulad ng nakaraang fraction, ang denominator ay hindi isang produkto, ngunit isang kabuuan. Sa kasong ito, hindi na natin mahahati ang ating fraction sa kabuuan ng ilan mga simpleng fraction, ngunit kailangan mong subukan kahit papaano na tiyakin na ang numerator ay naglalaman ng humigit-kumulang sa parehong expression bilang denominator. Sa kasong ito, medyo simple na gawin ito:

Ang notasyong ito, na sa wikang matematikal ay tinatawag na "pagdaragdag ng zero," ay magbibigay-daan sa amin na muling hatiin ang fraction sa dalawang piraso:

Ngayon, hanapin natin ang hinahanap natin:

Iyon lang ang mga kalkulasyon. Sa kabila ng maliwanag na mas kumplikado kaysa sa nakaraang problema, ang halaga ng mga kalkulasyon ay naging mas maliit.

Nuances ng solusyon

At ito ay kung saan ang pangunahing kahirapan ng pagtatrabaho sa mga tabular na antiderivative ay namamalagi, ito ay lalong kapansin-pansin sa pangalawang gawain. Ang katotohanan ay upang pumili ng ilang mga elemento na madaling kalkulahin sa pamamagitan ng talahanayan, kailangan nating malaman kung ano ang eksaktong hinahanap natin, at nasa paghahanap para sa mga elementong ito na binubuo ang buong pagkalkula ng mga antiderivatives.

Sa madaling salita, hindi sapat na kabisaduhin lamang ang talahanayan ng mga antiderivatives - kailangan mong makita ang isang bagay na hindi pa umiiral, ngunit kung ano ang ibig sabihin ng may-akda at tagatala ng problemang ito. Iyon ang dahilan kung bakit maraming mga mathematician, guro at propesor ang patuloy na nagtatalo: "Ano ang pagkuha ng mga antiderivatives o pagsasama - ito ba ay isang tool lamang o ito ba ay isang tunay na sining?" Sa katunayan, sa aking personal na opinyon, ang pagsasama-sama ay hindi isang sining - walang kahanga-hanga dito, ito ay pagsasanay lamang at higit na kasanayan. At para magsanay, lutasin natin ang tatlo pang seryosong halimbawa.

Nagsasanay kami sa pagsasama-sama sa pagsasanay

Gawain Blg. 1

Isulat natin ang mga sumusunod na formula:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Isulat natin ang sumusunod:

Problema Blg. 2

Isulat muli natin ito tulad ng sumusunod:

Ang kabuuang antiderivative ay magiging katumbas ng:

Problema Blg. 3

Ang kahirapan ng gawaing ito ay, hindi katulad ng mga naunang function sa itaas, walang variable na $x$ sa lahat, i.e. hindi malinaw sa atin kung ano ang idadagdag o ibawas upang makakuha ng kahit na isang bagay na katulad ng nasa ibaba. Gayunpaman, sa katunayan, ang expression na ito ay itinuturing na mas simple kaysa sa alinman sa mga nakaraang expression, dahil ang function na ito ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

Maaari mo na ngayong itanong: bakit pantay ang mga function na ito? Suriin natin:

Muli nating isulat ito:

Baguhin natin ng kaunti ang ating ekspresyon:

At kapag ipinaliwanag ko ang lahat ng ito sa aking mga mag-aaral, halos palaging ang parehong problema ay lumitaw: sa unang pag-andar ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw, sa pangalawa maaari mo ring malaman ito nang may swerte o pagsasanay, ngunit anong uri ng alternatibong kamalayan ang gagawin mo kailangang magkaroon upang malutas ang ikatlong halimbawa? Sa totoo lang, huwag kang matakot. Ang pamamaraan na ginamit namin kapag kinakalkula ang huling antiderivative ay tinatawag na "pagbubulok ng isang function sa pinakasimpleng nito", at ito ay isang napakaseryosong pamamaraan, at isang hiwalay na aralin sa video ang ilalaan dito.

Pansamantala, iminumungkahi kong bumalik sa kung ano ang aming pinag-aralan, ibig sabihin, sa exponential function at medyo kumplikado ang mga problema sa kanilang nilalaman.

Mas kumplikadong mga problema para sa paglutas ng mga antiderivative exponential function

Gawain Blg. 1

Pansinin natin ang mga sumusunod:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\kaliwa(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Upang mahanap ang antiderivative ng expression na ito, gamitin lamang ang karaniwang formula - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Sa aming kaso, ang antiderivative ay magiging ganito:

Siyempre, kumpara sa disenyo na nalutas namin, ang isang ito ay mukhang mas simple.

Problema Blg. 2

Muli, madaling makita na ang function na ito ay madaling mahahati sa dalawang magkahiwalay na termino - dalawang magkahiwalay na fraction. Muli nating isulat:

Ito ay nananatiling hanapin ang antiderivative ng bawat isa sa mga terminong ito gamit ang formula na inilarawan sa itaas:

Sa kabila ng maliwanag na malaking kumplikado exponential function Kung ikukumpara sa mga kapangyarihan, ang kabuuang dami ng mga kalkulasyon at mga kalkulasyon ay naging mas simple.

Siyempre, para sa mga mag-aaral na may kaalaman, kung ano ang napag-usapan natin (lalo na sa backdrop ng napag-usapan natin noon) ay maaaring parang mga elementarya na ekspresyon. Gayunpaman, sa pagpili ng dalawang gawaing ito para sa aralin sa video ngayon, hindi ko itinakda ang aking sarili sa layunin na sabihin sa iyo ang isa pang kumplikado at sopistikadong pamamaraan - ang gusto ko lang ipakita sa iyo ay hindi ka dapat matakot na gumamit karaniwang mga pamamaraan algebra para sa pagbabago ng orihinal na mga function.

Gamit ang isang "lihim" na pamamaraan

Sa konklusyon, nais kong tumingin sa isa pang kawili-wiling pamamaraan, na, sa isang banda, ay higit pa sa kung ano ang pangunahing tinalakay natin ngayon, ngunit, sa kabilang banda, ito ay, una, hindi lahat kumplikado, i.e. kahit na ang mga nagsisimulang mag-aaral ay maaaring makabisado ito, at, pangalawa, ito ay madalas na matatagpuan sa lahat ng uri ng mga pagsubok at pagsusulit. pansariling gawain, ibig sabihin. Ang kaalaman tungkol dito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang bilang karagdagan sa kaalaman sa talahanayan ng mga antiderivatives.

Gawain Blg. 1

Malinaw, mayroon kaming isang bagay na halos kapareho sa isang power function. Ano ang dapat nating gawin sa kasong ito? Pag-isipan natin ito: Ang $x-5$ ay hindi gaanong naiiba sa $x$ - nagdagdag lang sila ng $-5$. Isulat natin ito ng ganito:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Subukan nating hanapin ang derivative ng $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right)))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Ito ay nagpapahiwatig:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ kanan))^(\prime ))\]

Walang ganoong halaga sa talahanayan, kaya nakuha na namin ang formula na ito sa aming sarili gamit ang karaniwang antiderivative formula para sa function ng kapangyarihan. Isulat natin ang sagot tulad nito:

Problema Blg. 2

Maraming mga mag-aaral na tumitingin sa unang solusyon ay maaaring isipin na ang lahat ay napaka-simple: palitan lamang ang $x$ sa power function na may isang linear na expression, at lahat ay mahuhulog sa lugar. Sa kasamaang palad, ang lahat ay hindi gaanong simple, at ngayon ay makikita natin ito.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa unang expression, isinusulat namin ang sumusunod:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right)))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\kaliwa(4-3x \kanan))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Pagbabalik sa aming derivative, maaari naming isulat:

\[((\left(((\left(4-3x \right)))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right)))^(10)))(-30) \kanan))^(\prime ))\]

Ito ay agad na sumusunod:

Nuances ng solusyon

Pakitandaan: kung walang nagbago noong nakaraan, sa pangalawang kaso, sa halip na $-10$, $-30$ ang lumitaw. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng $-10$ at $-30$? Malinaw, sa kadahilanang $-3$. Tanong: saan ito nanggaling? Kung titingnan mong mabuti, makikita mo na ito ay kinuha bilang resulta ng pagkalkula ng derivative ng isang kumplikadong function - ang coefficient na nakatayo sa $x$ ay lilitaw sa antiderivative sa ibaba. Ito ay lubhang mahalagang tuntunin, na sa una ay hindi ko binalak na talakayin sa video tutorial ngayon, ngunit kung wala ito ang pagtatanghal ng mga tabular na antiderivative ay hindi kumpleto.

Kaya ulitin natin. Hayaan ang aming pangunahing function ng kapangyarihan:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Ngayon, sa halip na $x$, palitan natin ang expression na $kx+b$. Ano kaya ang mangyayari? Kailangan nating hanapin ang mga sumusunod:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \kanan)\cdot k)\]

Sa anong batayan natin ito inaangkin? Napakasimple. Hanapin natin ang derivative ng construction na nakasulat sa itaas:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\kaliwa(kx+b \kanan))^(n))\]

Ito ang parehong expression na orihinal na umiral. Kaya, ang pormula na ito ay tama rin, at maaari itong magamit upang madagdagan ang talahanayan ng mga antiderivatives, o mas mahusay na kabisaduhin lamang ang buong talahanayan.

Mga konklusyon mula sa "lihim: pamamaraan:

• Ang parehong mga pag-andar na tiningnan lang natin ay maaaring, sa katunayan, ay mabawasan sa mga antiderivative na ipinahiwatig sa talahanayan sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga degree, ngunit kung higit pa o mas kaunti ay makakayanan natin ang ika-apat na antas, kung gayon hindi ko gagawin ang ika-siyam na antas sa lahat ay naglakas-loob na ihayag.
• Kung palawakin natin ang mga kapangyarihan, makakakuha tayo ng ganoong dami ng mga kalkulasyon na simpleng gawain manghihiram sa amin nang hindi sapat malaking bilang ng oras.
• Iyon ang dahilan kung bakit ang mga naturang problema, na naglalaman ng mga linear na expression, ay hindi kailangang lutasin nang "magulo". Sa sandaling makatagpo ka ng isang antiderivative na naiiba mula sa isa sa talahanayan sa pamamagitan lamang ng pagkakaroon ng expression na $kx+b$ sa loob, agad na tandaan ang formula na nakasulat sa itaas, palitan ito sa iyong talahanayan na antiderivative, at lahat ay magiging magkano. mas mabilis at mas madali.

Naturally, dahil sa pagiging kumplikado at kabigatan ng diskarteng ito, babalik kami sa pagsasaalang-alang nito nang maraming beses sa mga aralin sa video sa hinaharap, ngunit iyon lang para sa ngayon. Sana ay talagang makatulong ang araling ito sa mga mag-aaral na gustong maunawaan ang mga antiderivatives at integration.

Sa paaralan, maraming tao ang nabigo sa paglutas ng mga integral o nahihirapan sa kanila. Tutulungan ka ng artikulong ito na malaman ito, dahil mahahanap mo ang lahat ng nasa loob nito. integral na mga talahanayan.

integral ay isa sa mga pangunahing kalkulasyon at konsepto sa mathematical analysis. Ang hitsura nito ay nagresulta mula sa dalawang layunin:
Unang layunin- ibalik ang isang function gamit ang derivative nito.
Pangalawang layunin- pagkalkula ng lugar na matatagpuan sa layo mula sa graph hanggang sa function na f(x) sa tuwid na linya kung saan, ang a ay mas malaki sa o katumbas ng x na mas malaki kaysa sa o katumbas ng b at ang x-axis.

Ang mga layuning ito ay humahantong sa atin sa tiyak at hindi tiyak na mga integral. Ang koneksyon sa pagitan ng mga integral na ito ay nakasalalay sa paghahanap para sa mga katangian at pagkalkula. Ngunit ang lahat ay dumadaloy at lahat ng bagay ay nagbabago sa paglipas ng panahon, ang mga bagong solusyon ay natagpuan, ang mga pagdaragdag ay natukoy, sa gayon ay humahantong sa mga tiyak at hindi tiyak na integral sa iba pang mga anyo ng pagsasama.

Anong nangyari hindi tiyak na integral tanong mo. Ito ay isang antiderivative function na F(x) ng isang variable x sa pagitan na mas malaki sa x na mas malaki kaysa sa b. ay tinatawag na anumang function F(x), sa isang ibinigay na pagitan para sa anumang pagtatalaga x, ang derivative ay katumbas ng F(x). Malinaw na ang F(x) ay antiderivative para sa f(x) sa pagitan ng a ay mas malaki kaysa sa x ay mas malaki kaysa sa b. Nangangahulugan ito na F1(x) = F(x) + C. C - ay anumang pare-pareho at antiderivative para sa f(x) sa isang ibinigay na pagitan. Ang pahayag na ito ay nababaligtad; para sa function na f(x) - 2 ang mga antiderivative ay naiiba lamang sa pare-pareho. Batay sa theorem ng integral calculus, lumalabas na ang bawat tuloy-tuloy sa pagitan a

Tiyak na integral ay nauunawaan bilang isang limitasyon sa integral sums, o sa sitwasyon ng isang ibinigay na function na f(x) na tinukoy sa ilang linya (a,b) na mayroong antiderivative F dito, ibig sabihin ay ang pagkakaiba ng mga expression nito sa mga dulo ng isang linya. F(b) - F(a).

Upang ilarawan ang pag-aaral ng paksang ito, iminumungkahi kong panoorin ang video. Sinasabi nito nang detalyado at ipinapakita kung paano maghanap ng mga integral.

Ang bawat talahanayan ng mga integral sa sarili nito ay lubhang kapaki-pakinabang, dahil nakakatulong ito sa paglutas ng isang tiyak na uri ng integral.

Lahat ng posibleng uri ng stationery at higit pa. Maaari kang bumili sa pamamagitan ng online na tindahan v-kant.ru. O sundin lamang ang link na Stationery Samara (http://v-kant.ru) ang kalidad at mga presyo ay kawili-wiling sorpresa sa iyo.

Antiderivative function at indefinite integral

Katotohanan 1. Ang pagsasama ay ang kabaligtaran na pagkilos ng pagkita ng kaibhan, ibig sabihin, pagpapanumbalik ng isang function mula sa kilalang derivative ng function na ito. Ang pag-andar kaya naibalik F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa function f(x).

Kahulugan 1. Function F(x f(x) sa ilang pagitan X, kung para sa lahat ng mga halaga x mula sa pagitan na ito ang pagkakapantay-pantay ay hawak F "(x)=f(x), iyon ay, ang function na ito f(x) ay isang derivative ng antiderivative function F(x). .

Halimbawa, ang function F(x) = kasalanan x ay isang antiderivative ng function f(x) = cos x sa buong linya ng numero, dahil para sa anumang halaga ng x (kasalanan x)" = (cos x) .

Depinisyon 2. Indefinite integral ng isang function f(x) ay ang set ng lahat ng antiderivatives nito. Sa kasong ito, ginagamit ang notasyon

∫

f(x)dx

nasaan ang tanda ∫ tinatawag na integral sign, ang function f(x) – integrand function, at f(x)dx - pagsasama at pagpapahayag.

Kaya, kung F(x) – ilang antiderivative para sa f(x), Iyon

∫

f(x)dx = F(x) +C

saan C - di-makatwirang pare-pareho (pare-pareho).

Upang maunawaan ang kahulugan ng hanay ng mga antiderivatives ng isang function bilang isang hindi tiyak na integral, angkop ang sumusunod na pagkakatulad. Hayaang magkaroon ng pinto (traditional wooden door). Ang tungkulin nito ay "maging isang pinto." Ano ang gawa sa pinto? Gawa sa kahoy. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga antiderivatives ng integrand ng function na "to be a door", iyon ay, ang indefinite integral nito, ay ang function na "to be a tree + C", kung saan ang C ay isang pare-pareho, na sa kontekstong ito ay maaaring tukuyin, halimbawa, ang uri ng puno. Kung paanong ang isang pinto ay ginawa mula sa kahoy gamit ang ilang mga tool, ang isang derivative ng isang function ay "ginawa" mula sa isang antiderivative function gamit ang mga formula na natutunan namin habang pinag-aaralan ang derivative .

Pagkatapos ang talahanayan ng mga pag-andar ng mga karaniwang bagay at ang kanilang mga kaukulang antiderivatives ("maging isang pinto" - "maging isang puno", "maging isang kutsara" - "maging metal", atbp.) ay katulad ng talahanayan ng pangunahing indefinite integrals, na ibibigay sa ibaba. Ang talahanayan ng mga indefinite integral ay naglilista ng mga karaniwang function na may indikasyon ng mga antiderivatives kung saan "ginawa" ang mga function na ito. Sa bahagi ng mga problema sa paghahanap ng hindi tiyak na integral, ibinibigay ang mga integrand na maaaring direktang isama nang walang labis na pagsisikap, iyon ay, gamit ang talahanayan ng mga hindi tiyak na integral. Sa mas kumplikadong mga problema, kailangan munang baguhin ang integrand upang magamit ang mga integral ng talahanayan.

Katotohanan 2. Kapag nire-restore ang isang function bilang isang antiderivative, dapat nating isaalang-alang ang arbitrary constant (constant) C, at upang hindi magsulat ng isang listahan ng mga antiderivative na may iba't ibang mga constant mula 1 hanggang infinity, kailangan mong magsulat ng isang set ng mga antiderivative na may arbitrary na pare-pareho. C, halimbawa, tulad nito: 5 x³+C. Kaya, ang isang di-makatwirang pare-pareho (constant) ay kasama sa pagpapahayag ng antiderivative, dahil ang antiderivative ay maaaring maging isang function, halimbawa, 5 x³+4 o 5 x³+3 at kapag naiba, 4 o 3, o anumang iba pang pare-pareho ay napupunta sa zero.

Ibigay natin ang problema sa pagsasama: para sa function na ito f(x) hanapin ang gayong function F(x), kaninong hinango katumbas ng f(x).

Halimbawa 1. Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng isang function

Solusyon. Para sa function na ito, ang antiderivative ay ang function

Function F(x) ay tinatawag na isang antiderivative para sa function f(x), kung ang derivative F(x) ay katumbas ng f(x), o, na ang parehong bagay, pagkakaiba F(x) ay pantay f(x) dx, ibig sabihin.

(2)

Samakatuwid, ang function ay isang antiderivative ng function. Gayunpaman, hindi lamang ito ang antiderivative para sa . Nagsisilbi rin sila bilang mga function

saan SA– di-makatwirang pare-pareho. Maaari itong ma-verify sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan.

Kaya, kung mayroong isang antiderivative para sa isang function, kung gayon para dito mayroong isang walang katapusang bilang ng mga antiderivative na naiiba sa isang pare-parehong termino. Ang lahat ng antiderivatives para sa isang function ay nakasulat sa form sa itaas. Ito ay sumusunod mula sa sumusunod na teorama.

Theorem (pormal na pahayag ng katotohanan 2). Kung F(x) – antiderivative para sa function f(x) sa ilang pagitan X, pagkatapos ay anumang iba pang antiderivative para sa f(x) sa parehong pagitan ay maaaring katawanin sa anyo F(x) + C, Saan SA– di-makatwirang pare-pareho.

Sa susunod na halimbawa, bumaling tayo sa talahanayan ng mga integral, na ibibigay sa talata 3, pagkatapos ng mga katangian ng hindi tiyak na integral. Ginagawa namin ito bago basahin ang buong talahanayan upang ang kakanyahan ng nasa itaas ay malinaw. At pagkatapos ng talahanayan at mga pag-aari, gagamitin namin ang mga ito nang buo sa panahon ng pagsasama.

Halimbawa 2. Maghanap ng mga hanay ng mga antiderivative function:

Solusyon. Nakahanap kami ng mga hanay ng mga antiderivative na function kung saan "ginawa" ang mga function na ito. Kapag binanggit ang mga pormula mula sa talahanayan ng mga integral, sa ngayon ay tanggapin na lamang na mayroong gayong mga pormula doon, at pag-aaralan pa natin ang talahanayan ng mga hindi tiyak na integral.

1) Paglalapat ng formula (7) mula sa talahanayan ng mga integral para sa n= 3, nakukuha namin

2) Gamit ang formula (10) mula sa talahanayan ng mga integral para sa n= 1/3, mayroon kami

3) Mula noon

pagkatapos ay ayon sa formula (7) na may n= -1/4 nahanap namin

Hindi ang function mismo ang nakasulat sa ilalim ng integral sign. f, at ang produkto nito sa pamamagitan ng differential dx. Ginagawa ito lalo na upang maipahiwatig kung saan hinahanap ang antiderivative. Halimbawa,

, ;

dito sa parehong mga kaso ang integrand ay katumbas ng , ngunit ang mga hindi tiyak na integral nito sa mga kasong isinasaalang-alang ay naiiba. Sa unang kaso, ang function na ito ay itinuturing bilang isang function ng variable x, at sa pangalawa - bilang isang function ng z .

Ang proseso ng paghahanap ng hindi tiyak na integral ng isang function ay tinatawag na pagsasama ng function na iyon.

Geometric na kahulugan ng hindi tiyak na integral

Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng isang kurba y=F(x) at alam na natin na ang tangent ng angle of inclination ng tangent sa bawat punto ay ibinigay na function f(x) abscissa ng puntong ito.

Ayon kay geometric na kahulugan derivative, tangent ng tangent angle sa isang naibigay na punto sa curve y=F(x) katumbas ng halaga ng derivative F"(x). Kaya kailangan nating hanapin ang gayong function F(x), para sa F"(x)=f(x). Kinakailangan ang pag-andar sa gawain F(x) ay isang antiderivative ng f(x). Ang mga kondisyon ng problema ay nasiyahan hindi sa pamamagitan ng isang kurba, ngunit sa pamamagitan ng isang pamilya ng mga kurba. y=F(x)- isa sa mga kurba na ito, at anumang iba pang kurba ay maaaring makuha mula dito sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin sa kahabaan ng axis Oy.

Tawagan natin ang graph ng antiderivative function ng f(x) integral curve. Kung F"(x)=f(x), pagkatapos ay ang graph ng function y=F(x) mayroong isang integral curve.

Katotohanan 3. Ang hindi tiyak na integral ay geometriko na kinakatawan ng pamilya ng lahat ng integral na kurba , tulad ng nasa larawan sa ibaba. Ang distansya ng bawat kurba mula sa pinanggalingan ng mga coordinate ay tinutukoy ng isang arbitraryong integration constant C.

Mga katangian ng hindi tiyak na integral

Fact 4. Theorem 1. Ang derivative ng isang indefinite integral ay katumbas ng integrand, at ang differential nito ay katumbas ng integrand.

Fact 5. Theorem 2. Indefinite integral ng differential ng isang function f(x) ay katumbas ng function f(x) hanggang sa isang pare-parehong termino , ibig sabihin.

(3)

Ang mga teorema 1 at 2 ay nagpapakita na ang pagkita ng kaibahan at pagsasama ay magkabaligtaran na mga operasyon.

Fact 6. Theorem 3. Ang constant factor sa integrand ay maaaring alisin sa sign ng indefinite integral , ibig sabihin.