Limitado ang function mula sa ibaba. Limitadong pag-andar

Dahil ang mga ipinahiwatig na lugar ay pantay-pantay

SΔOAC=0,5∙O.C.∙O.A.∙ kasalanan α= 0.5sinα, S sekta. OAC = 0,5∙O.C. 2 ∙α=0.5α, SΔOBC=0,5∙O.C.∙BC= 0.5tgα.

Kaya naman,

kasalanan α< α < tg α.

Hatiin natin ang lahat ng termino ng hindi pagkakapantay-pantay sa kasalanan α > 0: .

Pero . Samakatuwid, batay sa Theorem 4 sa mga limitasyon, napagpasyahan namin na ang nagmula na pormula ay tinatawag na unang kapansin-pansin na limitasyon.

Kaya, ang unang kapansin-pansing limitasyon ay nagsisilbing magbunyag ng kawalan ng katiyakan. Tandaan na ang resultang formula ay hindi dapat malito sa mga limitasyon Mga halimbawa.

11. Limitasyon at ang mga nauugnay na limitasyon nito.

ANG IKALAWANG KATANGAHAN NA LIMIT

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nagsisilbing ipakita ang kawalan ng katiyakan ng 1 ∞ at ganito ang hitsura:

Bigyang-pansin natin ang katotohanan na sa formula para sa pangalawang kapansin-pansin na limitasyon, ang exponent ay dapat maglaman ng isang expression na kabaligtaran sa na idinagdag sa yunit sa base (dahil sa kasong ito posible na magpakilala ng pagbabago ng mga variable at bawasan ang hinahangad na limitasyon sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon)

Mga halimbawa.

1. Pag-andar f(x)=(x-1) Ang 2 ay infinitesimal sa x→1, mula noong (tingnan ang figure).

2. Pag-andar f(x)= tg x– infinitesimal sa x→0.

3. f(x)= log(1+ x) – infinitesimal sa x→0.

4. f(x) = 1/x– infinitesimal sa x→∞.

Itatag natin ang sumusunod na mahalagang relasyon:

Teorama. Kung ang function y=f(x) kinakatawan sa x→a bilang isang kabuuan ng isang pare-parehong numero b at infinitesimal magnitude α(x): f (x)=b+ α(x) Yung .

Sa kabaligtaran, kung , pagkatapos f (x)=b+α(x), Saan a(x)– infinitesimal sa x→a.

Patunay.

1. Patunayan natin ang unang bahagi ng pahayag. Mula sa pagkakapantay-pantay f(x)=b+α(x) dapat |f(x) – b|=| α|. Pero dahil a(x) ay infinitesimal, pagkatapos ay para sa arbitrary ε mayroong δ - isang kapitbahayan ng punto a, sa harap ng lahat x mula sa kung saan, mga halaga a(x) masiyahan ang relasyon |α(x)|< ε. Pagkatapos |f(x) – b|< ε. At ito ay nangangahulugan na.

2. Kung , pagkatapos ay para sa anumang ε >0 para sa lahat X mula sa ilang δ – kapitbahayan ng isang punto a kalooban |f(x) – b|< ε. Ngunit kung ating ipahiwatig f(x) – b= α, Iyon |α(x)|< ε, ibig sabihin ay a– infinitesimal.

Isaalang-alang natin ang mga pangunahing katangian ng infinitesimal function.

Teorama 1. Algebraic sum dalawa, tatlo, at sa pangkalahatan ang anumang may hangganang bilang ng mga infinitesimal ay isang infinitesimal na function.

Patunay. Magbigay tayo ng patunay para sa dalawang termino. Hayaan f(x)=α(x)+β(x), saan at . Kailangan nating patunayan iyon para sa anumang arbitrary na maliit na ε > 0 ang natagpuan δ> 0, para sa x, nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |x – isang|<δ , gumanap |f(x)|< ε.

Kaya, ayusin natin ang isang di-makatwirang numero ε > 0. Dahil ayon sa mga kondisyon ng theorem α(x) ay isang infinitesimal function, pagkatapos ay mayroong δ 1 > 0, na |x – a|< δ 1 mayroon kami |α(x)|< ε / 2. Gayundin, mula noong β(x) ay infinitesimal, pagkatapos ay mayroong δ 2 > 0, na |x – a|< δ 2 mayroon kami | β(x)|< ε / 2.

Kunin natin δ=min(δ 1 , δ2 } .Tapos sa vicinity ng point a radius δ ang bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay masisiyahan |α(x)|< ε / 2 at | β(x)|< ε / 2. Samakatuwid, sa lugar na ito magkakaroon

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

mga. |f(x)|< ε, na kung ano ang kailangang patunayan.

Teorama 2. Produkto ng isang infinitesimal function a(x) para sa isang limitadong function f(x) sa x→a(o kailan x→∞) ay isang infinitesimal function.

Patunay. Dahil ang function f(x) ay limitado, pagkatapos ay mayroong isang numero M tulad na para sa lahat ng mga halaga x mula sa ilang kapitbahayan ng isang punto a|f(x)|≤M. Bukod dito, mula noong a(x) ay isang infinitesimal function sa x→a, pagkatapos ay para sa isang di-makatwirang ε > 0 mayroong isang kapitbahayan ng punto a, kung saan mananatili ang hindi pagkakapantay-pantay |α(x)|< ε /M. Pagkatapos ay sa mas maliit na mga kapitbahayan na mayroon kami | αf|< ε /M= ε. At ito ay nangangahulugan na af– infinitesimal. Para sa okasyon x→∞ ang patunay ay isinasagawa nang katulad.

Mula sa napatunayang teorama ito ay sumusunod:

Bunga 1. Kung at , kung gayon

Bunga 2. Kung c= const, pagkatapos .

Teorama 3. Ratio ng isang infinitesimal function α(x) bawat function f(x), na ang limitasyon ay iba sa zero, ay isang infinitesimal na function.

Patunay. Hayaan . Pagkatapos 1 /f(x) may limitadong function. Samakatuwid, ang isang fraction ay ang produkto ng isang infinitesimal function at isang limitadong function, i.e. ang function ay infinitesimal.

Mga halimbawa.

1. Malinaw na kapag x→+∞ function y=x 2 + 1 ay walang hanggan malaki. Ngunit pagkatapos, ayon sa theorem formulated sa itaas, ang function ay infinitesimal sa x→+∞, ibig sabihin. .

Ang converse theorem ay maaari ding mapatunayan.

Teorama 2. Kung ang function f(x)- infinitesimal sa x→a(o x→∞) at hindi naglalaho, kung gayon y= 1/f(x) ay isang walang katapusang malaking function.

Isagawa ang patunay ng theorem sa iyong sarili.

Mga halimbawa.

3. , dahil ang mga function at ay infinitesimal sa x→+∞, kung gayon, bilang ang kabuuan ng infinitesimal function ay isang infinitesimal function. Ang isang function ay ang kabuuan ng isang pare-parehong numero at isang infinitesimal na function. Dahil dito, sa pamamagitan ng Theorem 1 para sa infinitesimal functions ay nakukuha natin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay.

Kaya, ang pinakasimpleng katangian ng infinitesimal at infinites large functions ay maaaring isulat gamit ang mga sumusunod na conditional relations: A≠ 0

13. Infinitesimal functions ng parehong order, equivalent infinitesimals.

Infinitesimal functions at tinatawag na infinitesimal ng parehong pagkakasunud-sunod ng kaliit kung , denote . At sa wakas, kung wala ito, kung gayon ang mga infinitesimal na pag-andar ay hindi maihahambing.

HALIMBAWA 2. Paghahambing ng infinitesimal functions

Katumbas na infinitesimal function.

Kung , pagkatapos ay infinitesimal function ay tinatawag katumbas, magpakilala ~ .

Mga lokal na katumbas na function:

Kapag kung

Ilang katumbas(sa ):

One-sided na mga limitasyon.

Sa ngayon ay isinasaalang-alang namin ang pagtukoy sa limitasyon ng isang function kung kailan x→a sa isang arbitrary na paraan, i.e. ang limitasyon ng function ay hindi nakadepende sa kung paano ito matatagpuan x patungo sa a, sa kaliwa o kanan ng a. Gayunpaman, medyo karaniwan na makahanap ng mga function na walang limitasyon sa ilalim ng kundisyong ito, ngunit mayroon silang limitasyon kung x→a, nananatili sa isang gilid ng A, kaliwa o kanan (tingnan ang figure). Samakatuwid, ang mga konsepto ng isang panig na mga limitasyon ay ipinakilala.

Kung f(x) tends to the limit b sa x pag-aalaga sa isang tiyak na numero a Kaya x tumatanggap lamang ng mga halagang mas mababa sa a, pagkatapos ay sumulat sila at tumawag blimit ng function na f(x) sa punto a sa kaliwa.

Kaya ang numero b tinatawag na limitasyon ng function y=f(x) sa x→a sa kaliwa, kung anuman ang positibong numerong ε, mayroong gayong numerong δ (mas maliit a

Gayundin, kung x→a at tumatagal ng malalaking halaga a, pagkatapos ay sumulat sila at tumawag b limitasyon ng function sa punto A sa kanan. Yung. numero b tinawag limitasyon ng function na y=f(x) bilang x→a sa kanan, kung anuman ang positibong numerong ε, mayroong isang bilang na δ (mas malaki A) na taglay ng hindi pagkakapantay-pantay para sa lahat.

Tandaan na kung ang mga limitasyon sa kaliwa at kanan sa punto a para sa function f(x) huwag mag-coincide, kung gayon ang function ay walang limitasyon (two-sided) sa punto A.

Mga halimbawa.

1. Isaalang-alang ang function y=f(x), tinukoy sa segment bilang sumusunod

Hanapin natin ang mga limitasyon ng function f(x) sa x→ 3. Malinaw, at

Sa madaling salita, para sa anumang di-makatwirang maliit na bilang ng epsilon, mayroong isang delta na numero depende sa epsilon na mula sa katotohanan na para sa anumang x na nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay ay sumusunod na ang mga pagkakaiba sa mga halaga ng function sa mga puntong ito ay magiging arbitraryong maliit.

Pamantayan para sa pagpapatuloy ng isang function sa isang punto:

Function kalooban tuloy-tuloy sa punto A kung at kung ito ay tuloy-tuloy lamang sa punto A pareho sa kanan at sa kaliwa, iyon ay, upang sa punto A ay mayroong dalawang isang panig na mga limitasyon, sila ay pantay sa isa't isa at katumbas ng halaga ng ang function sa point A.

Kahulugan 2: Ang pag-andar ay tuloy-tuloy sa isang set kung ito ay tuloy-tuloy sa lahat ng punto ng set na ito.

Derivative ng isang function sa isang punto

Hayaang tukuyin ang dana sa isang kapitbahayan. Isaalang-alang natin

Kung umiiral ang limitasyong ito, kung gayon ito ay tinatawag derivative ng function na f sa punto .

Derivative ng isang function– ang limitasyon ng ratio ng increment ng function sa increment ng argument, kapag ang argument ay incremented.

Ang operasyon ng pagkalkula o paghahanap ng derivative sa isang punto ay tinatawag pagkakaiba-iba .

Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan.

Derivative mga function f(x) sa punto x=x 0 ay tinatawag na ratio ng pagtaas ng isang function sa puntong ito sa pagtaas ng argument, dahil ang huli ay may posibilidad na zero. Ang paghahanap ng derivative ay tinatawag na pagkakaiba-iba. Ang derivative ng function ay kinakalkula gamit ang pangkalahatang tuntunin pagkakaiba-iba: Ipahiwatig natin f(x) = u, g(x) = v- function na differentiable sa isang punto X. Mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan 1) (ang derivative ng isang sum ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives nito) 2) (mula dito, sa partikular, sumusunod na ang derivative ng produkto ng isang function at isang constant ay katumbas ng produkto ng derivative nito. function at ang pare-pareho) 3) Derivative ng isang quotient: , kung g  0 4) Derivative ng isang complex function: 5) Kung ang function ay tinukoy parametrically: , pagkatapos

Mga halimbawa.

1. y = x a – function ng kapangyarihan na may di-makatwirang tagapagpahiwatig.

Implicit function

Kung ang isang function ay ibinibigay ng equation na y=ƒ(x), niresolba nang may kinalaman sa y, ang function ay ibinibigay sa tahasang anyo (explicit function).

Sa ilalim implicit na gawain nauunawaan ng mga function ang kahulugan ng isang function sa anyo ng isang equation F(x;y)=0, hindi naresolba nang may kinalaman sa y.

Kahit ano obviously ibinigay na function Ang y=ƒ (x) ay maaaring isulat bilang implicitly na ibinigay ng equation na ƒ(x)-y=0, ngunit hindi vice versa.

Hindi laging madali, at minsan imposible, na lutasin ang isang equation para sa y (halimbawa, y+2x+cozy-1=0 o 2 y -x+y=0).

Kung ang implicit function ay ibinibigay ng equation na F(x; y) = 0, kung gayon upang mahanap ang derivative ng y na may paggalang sa x ay hindi na kailangang lutasin ang equation na may kinalaman sa y: sapat na upang pag-iba-ibahin ang equation na ito patungkol sa x, habang isinasaalang-alang ang y bilang isang function ng x, at pagkatapos ay lutasin ang nagresultang equation para sa y."

Ang derivative ng isang implicit function ay ipinahayag sa mga tuntunin ng argumento x at ang function na y.

Halimbawa:

Hanapin ang derivative ng function na y, na ibinigay ng equation x 3 + y 3 -3xy = 0.

Solusyon: Ang function na y ay implicitly na tinukoy. Nag-iiba tayo nang may paggalang sa x ang pagkakapantay-pantay x 3 + y 3 -3xy = 0. Mula sa resultang relasyon

3x 2 +3y 2 y"-3(1 y+x y")=0

kasunod nito na y 2 y"-xy"=y-x 2, ibig sabihin, y"=(y-x 2)/(y 2 -x).

Higher order derivatives

Ito ay malinaw na ang derivative

mga function y=f(x) mayroon ding function mula sa x:

y" =f " (x)

Kung ang function f" (x) ay differentiable, kung gayon ang derivative nito ay tinutukoy ng simbolo y"" =f "" (x) x dalawang beses.
Ang derivative ng pangalawang derivative, i.e. mga function y""=f""(x), tinawag pangatlong derivative ng function na y=f(x) o derivative ng function na f(x) ng ikatlong order at ipinahihiwatig ng mga simbolo

Sa lahat n-i derivative o derivative n ika-utos na function y=f(x) ipinahihiwatig ng mga simbolo

Phil Leibniz:

Ipagpalagay natin na ang mga function at naiba-iba kasama ng kanilang mga derivatives hanggang sa ika-10 order kasama. Ang paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng produkto ng dalawang function, makuha namin

Ihambing natin ang mga expression na ito sa mga kapangyarihan ng binomial:

Kapansin-pansin ang tuntunin sa pagsusulatan: upang makakuha ng formula para sa 1st, 2nd o 3rd order derivative ng produkto ng mga function at , kailangan mong palitan ang mga kapangyarihan at sa expression para sa (kung saan n= 1,2,3) derivatives ng mga kaukulang order. Bilang karagdagan, ang mga zero na kapangyarihan ng mga dami at dapat mapalitan ng mga derivatives ng zero order, ibig sabihin sa kanila ang mga function at:

Paglalahat ng panuntunang ito sa kaso ng mga derivatives ng arbitrary order n, nakukuha namin Ang formula ni Leibniz,

nasaan ang binomial coefficients:

Ang teorama ni Rolle.

Ang teorama na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap kritikal na puntos at pagkatapos ay gumagamit sapat na kondisyon siyasatin ang function para sa extrema.

Hayaan ang 1) f(x) na tukuyin at tuloy-tuloy sa ilang saradong pagitan; 2) mayroong isang finite derivative, hindi bababa sa bukas na pagitan (a;b); 3) sa mga dulo pagitan f-i kumukuha ng pantay na halaga f(a) = f(b). Pagkatapos sa pagitan ng mga puntos a at b ay mayroong isang punto c na ang derivative sa puntong ito ay magiging = 0.

Ayon sa theorem tungkol sa pag-aari ng mga function na tuluy-tuloy sa isang interval, ang function na f(x) ay tumatagal sa kanyang max at min values ​​sa interval na ito.

f(x 1) = M – max, f(x 2) = m – min; x 1 ;x 2 О

1) Hayaan ang M = m, ibig sabihin. m £ f(x) £ M

Ang Þ f(x) ay kukuha ng mga pare-parehong halaga sa pagitan mula a hanggang b, at Þ ang derivative nito ay magiging katumbas ng zero. f’(x)=0

2) Hayaan M>m

kasi ayon sa mga kondisyon ng theorem f(a) = f(b) Þ nito pinakamaliit o pinakamalaki halaga f-i ay hindi kukuha sa mga dulo ng segment, ngunit ang Þ ay kukuha ng M o m sa interior point ng segment na ito. Pagkatapos, sa pamamagitan ng teorama ni Fermat, f'(c)=0.

Ang teorama ni Lagrange.

May hangganang Formula ng Pagtaas o Ang ibig sabihin ng teorama ng halaga ni Lagrange nagsasaad na kung ang isang function f ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a;b] at naiba sa pagitan ( a;b), pagkatapos ay mayroong isang punto tulad na

Ang teorama ni Cauchy.

Kung ang mga function na f(x) at g(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan at naiba-iba sa pagitan (a, b) at g¢(x) ¹ 0 sa pagitan (a, b), kung gayon mayroong hindi bababa sa isa punto e, a< e < b, такая, что

Yung. ang ratio ng mga increment ng mga function sa isang ibinigay na segment ay katumbas ng ratio ng mga derivatives sa point e. Mga halimbawa ng kurso sa paglutas ng problema ng mga lektura Pagkalkula ng volume ng isang katawan mula sa mga kilalang lugar ng magkatulad na mga seksyon nito Integral calculus

Mga halimbawa ng pagpapatupad gawaing kurso Electrical engineering

Upang patunayan ang teorama na ito, sa unang sulyap ay napakaginhawang gamitin ang teorama ni Lagrange. Isulat ang isang finite difference formula para sa bawat function at pagkatapos ay hatiin ang mga ito sa isa't isa. Gayunpaman, ang ideyang ito ay mali, dahil point e para sa bawat function ay karaniwang naiiba. Siyempre, sa ilang mga espesyal na kaso ang puntong ito ng pagitan ay maaaring maging pareho para sa parehong mga pag-andar, ngunit ito ay isang napakabihirang pagkakataon, at hindi isang panuntunan, at samakatuwid ay hindi magagamit upang patunayan ang teorama.

Patunay. Isaalang-alang ang function ng helper

Bilang x→x 0, ang halaga ng c ay may kaugaliang x 0; Pumunta tayo sa limitasyon sa nakaraang pagkakapantay-pantay:

kasi , Yung .

kaya lang

(ang limitasyon ng ratio ng dalawang infinitesimal katumbas ng limitasyon ang relasyon ng kanilang mga derivatives, kung ang huli ay umiiral)

Ang panuntunan ng L'Hopital, sa ∞/∞.

Limitahan ang teorama monotonikong pag-andar. Ang isang patunay ng teorama ay ibinibigay gamit ang dalawang pamamaraan. Ibinibigay din ang mga kahulugan ng mahigpit na pagtaas, di-pagbaba, mahigpit na pagbaba at hindi pagtaas ng mga function. Kahulugan ng isang monotonikong function.

Mga Kahulugan

Mga kahulugan ng pagtaas at pagbaba ng mga function
Hayaan ang function f (x) ay tinukoy sa ilang hanay ng mga tunay na numero X.
Tinatawag ang function mahigpit na tumataas (mahigpit na bumababa), kung para sa lahat x′, x′′ ∈ X kaya na x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′) (f (x′) > f(x′′) ) .
Tinatawag ang function hindi bumababa (hindi tumataas), kung para sa lahat x′, x′′ ∈ X kaya na x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) ) .

Kasunod nito na ang isang mahigpit na pagtaas ng function ay hindi rin bumababa. Ang isang mahigpit na pagpapababa ng function ay hindi rin tumataas.

Kahulugan ng isang monotonikong function
Tinatawag ang function monotonous, kung ito ay hindi bumababa o hindi tumataas.

Upang pag-aralan ang monotonicity ng isang function sa isang tiyak na set X, kailangan mong hanapin ang pagkakaiba ng mga halaga nito sa dalawang di-makatwirang punto na kabilang sa set na ito. Kung , kung gayon ang function ay mahigpit na tumataas; kung , hindi bumababa ang function; kung , pagkatapos ay mahigpit na bumababa; kung , hindi ito tumataas.

Kung sa isang tiyak na set ang function ay positibo: , pagkatapos ay upang matukoy ang monotonicity, maaari mong pag-aralan ang quotient ng paghahati ng mga halaga nito sa dalawang arbitrary na punto ng set na ito. Kung , kung gayon ang function ay mahigpit na tumataas; kung , hindi bumababa ang function; kung , pagkatapos ay mahigpit na bumababa; kung , hindi ito tumataas.

Teorama
Hayaan ang function f (x) hindi bumababa sa pagitan (a, b), Saan .
Kung ito ay bounded sa itaas ng bilang M:, pagkatapos ay mayroong isang may hangganan kaliwang limitasyon sa punto b:. Kung f (x) ay hindi limitado mula sa itaas, kung gayon .
Kung f (x) ay nililimitahan sa ibaba ng bilang na m : , pagkatapos ay may hangganang kanang limitasyon sa puntong a : . Kung f (x) ay hindi nakatali sa ibaba, kung gayon .

Kung ang mga punto a at b ay nasa infinity, kung gayon sa mga expression ang mga palatandaan ng limitasyon ay nangangahulugan na .
Ang teorama na ito ay maaaring mabalangkas nang mas compact.

Hayaan ang function f (x) hindi bumababa sa pagitan (a, b), Saan . Pagkatapos ay mayroong isang panig na mga limitasyon sa mga punto a at b:
;
.

Isang katulad na theorem para sa isang hindi tumataas na function.

Hayaang hindi tumaas ang function sa pagitan kung saan . Pagkatapos ay mayroong isang panig na mga limitasyon:
;
.

Bunga
Hayaang maging monotoniko ang function sa pagitan. Pagkatapos sa anumang punto mula sa agwat na ito, mayroong isang panig na may hangganan na mga limitasyon ng function:
At .

Katibayan ng teorama

Ang pag-andar ay hindi bumababa

b - huling numero

Ang function ay limitado mula sa itaas

1.1.1. Hayaang ma-bound ang function mula sa itaas ng numerong M: para sa .

.
;
.

Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos
sa .
Ibahin natin ang huling hindi pagkakapantay-pantay:
;
;
.
Dahil, kung gayon. Pagkatapos
sa .

sa .
"Mga kahulugan ng one-sided na limitasyon ng isang function sa isang end point").

Ang pag-andar ay hindi limitado mula sa itaas

1. Hayaang hindi bumaba ang function sa pagitan.
1.1. Hayaang may hangganan ang bilang b: .
1.1.2. Hayaang ang function ay hindi nakatali sa itaas.
Patunayan natin na sa kasong ito ay may hangganan.

.

sa .

Tukuyin natin ang . Pagkatapos ay para sa sinumang mayroon, kaya
sa .
Nangangahulugan ito na ang limitasyon sa kaliwa sa punto b ay (tingnan ang "Mga kahulugan ng isang panig na walang katapusan na mga limitasyon ng isang function sa isang dulong punto").

b maaga plus infinity

Ang function ay limitado mula sa itaas

1. Hayaang hindi bumaba ang function sa pagitan.
1.2.1. Hayaang ma-bound ang function mula sa itaas ng numerong M: para sa .
Patunayan natin na sa kasong ito ay may hangganan.

Dahil ang function ay bounded sa itaas, mayroong isang may hangganan supremum
.
Ayon sa kahulugan ng isang eksaktong upper bound, ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
;
para sa anumang positibong mayroong isang argumento para sa kung saan
.

Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos sa . O kaya
sa .

Kaya, nalaman namin na para sa sinuman ay mayroong isang numero, kaya
sa .
"Mga kahulugan ng one-sided na limitasyon sa infinity").

Ang pag-andar ay hindi limitado mula sa itaas

1. Hayaang hindi bumaba ang function sa pagitan.
1.2. Hayaang ang bilang b ay katumbas ng plus infinity: .
1.2.2. Hayaang ang function ay hindi nakatali sa itaas.
Patunayan natin na sa kasong ito ay may hangganan.

Dahil ang function ay hindi nakatali sa itaas, kung gayon para sa anumang numero M mayroong isang argumento kung saan
.

Dahil ang function ay hindi bumababa, pagkatapos ay kapag . Pagkatapos sa .

Kaya para sa anumang mayroong isang numero, kaya
sa .
Nangangahulugan ito na ang limitasyon sa ay katumbas ng (tingnan ang "Mga kahulugan ng isang panig na walang katapusan na mga limitasyon sa infinity").

Ang pag-andar ay hindi tumataas

Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang function ay hindi tumaas. Maaari mong, tulad ng nasa itaas, isaalang-alang ang bawat opsyon nang hiwalay. Ngunit sasakupin namin sila kaagad. Para dito ginagamit namin. Patunayan natin na sa kasong ito ay may hangganan.

Isaalang-alang ang finite infimum ng set ng mga value ng function:
.
Dito ang B ay maaaring maging isang may hangganang numero o isang punto sa infinity. Ayon sa kahulugan ng isang eksaktong lower bound, ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
;
para sa anumang kapitbahayan ng punto B mayroong isang argumento kung saan
.
Ayon sa mga kondisyon ng teorama, . kaya lang .

Dahil ang pag-andar ay hindi tumaas, pagkatapos ay kapag . Simula noon
sa .
O kaya
sa .
Susunod, tandaan namin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa kaliwang butas na kapitbahayan ng punto b.

Kaya, nalaman namin na para sa anumang kapitbahayan ng punto, mayroong isang butas na kaliwang kapitbahayan ng punto b tulad na
sa .
Nangangahulugan ito na ang limitasyon sa kaliwa sa punto b ay:

(tingnan ang unibersal na kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy).

Limitahan sa punto a

Ngayon ay ipapakita namin na may limitasyon sa punto a at hanapin ang halaga nito.

Isaalang-alang natin ang pag-andar. Ayon sa mga kondisyon ng theorem, ang function ay monotoniko para sa . Palitan natin ang variable na x ng - x (o gumawa ng substitution at pagkatapos ay palitan ang variable t ng x ). Pagkatapos ang function ay monotoniko para sa . Pagpaparami ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng -1 at ang pagbabago ng kanilang pagkakasunud-sunod ay dumating kami sa konklusyon na ang function ay monotoniko para sa .

Sa katulad na paraan madaling ipakita na kung hindi ito bumababa, kung gayon hindi ito tataas. Pagkatapos, ayon sa kung ano ang napatunayan sa itaas, mayroong isang limitasyon
.
Kung hindi ito tumaas, hindi ito bumababa. Sa kasong ito, may limitasyon
.

Ngayon ay nananatiling ipakita na kung mayroong limitasyon ng isang function sa , pagkatapos ay mayroong limitasyon ng function sa , at ang mga limitasyong ito ay pantay:
.

Ipakilala natin ang notasyon:
(1) .
Ipahayag natin ang f sa mga tuntunin ng g:
.
Kumuha tayo ng di-makatwirang positibong numero. Hayaang magkaroon ng epsilon neighborhood ng point A. Ang kapitbahayan ng epsilon ay tinukoy para sa parehong may hangganan at walang katapusang mga halaga ng A (tingnan ang "Kapitbahayan ng isang punto"). Dahil mayroong isang limitasyon (1), kung gayon, ayon sa kahulugan ng isang limitasyon, para sa anumang may umiiral na ganoon
sa .

Hayaan ang isang bilang isang may hangganan. Ipahayag natin ang kaliwang butas na kapitbahayan ng punto -a gamit ang mga hindi pagkakapantay-pantay:
sa .
Palitan natin ang x ng -x at isaalang-alang na:
sa .
Ang huling dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa nabutas na kanang kapitbahayan ng punto a. Pagkatapos
sa .

Hayaan ang isang maging isang walang katapusang bilang, . Inuulit namin ang pangangatwiran.
sa ;
sa ;
sa ;
sa .

Kaya, nalaman namin na para sa sinuman ay mayroong ganoon
sa .
Ibig sabihin nito ay
.

Ang teorama ay napatunayan.